Circuiti del II ordine. Contengono due elementi dinamici Il loro comportamento è rappresentato da un equazione differenziale del II ordine.

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1 rcu l II orn onngono u lmn nmc Il loro compormno è rpprsno un quzon ffrnzl l II orn.

2 rcuo sr uonomo KT Drno rornno Occorr conoscr c..: I,? I V I V λ λ, λ ± Equzon crrsc

3 λ, α α ± α [ s ] Frqunz lbr o nurl For smorzmno Pulszon rsonnz α > α α α < so sorsmorzo so smorzmno crco so soosmorzo so snz smorzmno

4 . α > so sorsmorzo > > 4 λ, c rl sn λ λ l crscr spos sorsmorz rspos è l somm sponnzl, cscun con l su cosn mpo 4

5 . α 4 so smorzmno crco λ λ α α α α Non può ssr l soluzon con c.. m un sol cosn!!! α α α α α f λ Poso f α αf f α α α α α α 5 α c rl concn

6 α α spos crcmn smorz α τ/α 6

7 . α < 4 < < α so soosmorzo λ, α ± α α ± c complss conug Frqunz nurl smorz j { } α j * α j jφ α j { α j } φ α cos φ α α [ cos cos φ sn sn φ ] [ B cos B sn ] spos oscllor smorz sponnzlmn τ/α Tπ/ 7

8 8 [ ] φ φ φ φ α α sn B B B B B B sn B B ; cos n ; cos cos [ ] φ λ α ± ± ± sn B B j j, cos cos 4. so snz smorzmno

9 α crcuo snz pr solo n or w cos φ cos cosn sn φ φ sn φ φ sn φ cos φ sn φ cos [ ] nrg l crcuo non pn l mpo: quno l nrg nl connsor umn, l nrg nll nuor mnusc 9 crs

10 Smorzmno: grul pr ll nrg mmgzzn, ou ll prsnz rssor. Il for smorzmno α rmn l rpà con l qul l rspos s smorz. α crcuo con /; α< rspos oscllor rcuo snz pr rspos non smorz, sorsmorz, crcmn smorz, soosmorz Oscllzon: ou llo scmbo connuo nrg r nuor connsor rspos sorsmorz qull crcmn smorz sono sml. rspos sorsmorz h l mssm locà cmno non h oscllzon rspos crcmn smorz h l mnm locà cmno

11 rcuo prlllo uonomo I K V λ λ Occorr conoscr c..: V,? V I V I λ, ± λ, α ± α ; α

12 . α > > so sorsmorzo > 4 λ, λ λ l crscr. α so con smorzmno crco 4 λ λ α l crscr

13 sn j α α λ α α, cos 4. ± < < < so soosmorzo

14 V s spos l grno un crcuo sr Pr > rnsor rgm Vs λ rns λ α rns α rns cos sn sorsmorz smorzmno crco soosmorz rg V s s rmnno ll c.., 4

15 spos l grno un crcuo prlllo I Pr > I s I s rnsor rgm λ rns λ α rns α rns cos sn sorsmorz smorzmno crco soosmorz rg I s s rmnno ll c.., 5

16 rcu l II orn nl cso gnrl Pr rmnr l rspos l grno x x rmnr l c.. x rmnr l lor fnl x rmnr l rspos rnsor spgnno gn. Inpnn soluzon ll q.n omogn ssoc rmnr l cosn nll x rnsor mponno l c.. x x x rnsor 6

17 7 Equzon so ; ; ; ; ; k D h n h u u n n x x h k n u x Du x Bu x x x è l or so, l mrc so, u è l or ngrsso, l or usc. Equzon usc Il or usc è n ogn sn combnzon lnr l or ngrsso llo so nllo ssso sn

18 rlzon ngrsso-usc n n n n m u b m m b n n m n u m......b u b u x x Du D x u x Du x Bu Bu D u D u 8

19 Equzon ffrnzl ornr onzon pr u ncmn nullo pr < con l fno n ogn sn ssumr lor rl n ogn sn ssr spcfco n moo non mbguo 9

20 Equzon ffrnzl ornr n. Hp: u noo pr > no l su n- r n o p pr > n λ n n λ n... q. crrsc rc rl sn λ, λ,..., λ o λ λ... n λ n n b s s hnno k rc rl concn, corrsponn o λ k k... k rmn sono :

21 Equzon ffrnzl ornr n. c s s hnno M copp ugul rc complss conug λ ± o [ ] M M... cos b B B... B sn b M jb corrsponn rmn sono : M pr un copp rc complss conug o [ cos b Bsn b ] ± jb pr rc o mmgnr pur [ cos b Bsn b ] ± jb

22 Pr l clcolo ll ngrl prcolr non ss un moo gnrl In cs prcolr ngrsso polnoml, csol, c. l clcolo gol cos cos sn cos sn cos cos cos θ ϕ σ σ σ σ B u b b b u D B u B u D B u u p n n p n n p p p Ingrsso csol f Ingrsso polnoml Ingrsso snusol Ingrsso sponnzl c Ingrsso lnr b Ingrsso cosn p Noo l nmno ll ngrl s rmnno coffcn mponno l sosfcmno ll lzon I/O Equzon ffrnzl ornr n.

23 n p p o λ cosn ngrzon s rmnno mponno l conzon nzl n n E ONDIZIONI INIZII SI POSSONO DETEMINE NOTO O STTO DE IUITO IN

24 FEQUENZE IBEE λ sono l rc ll quzon crrsc prnono l nom frqunz lbr hnno l mnson ll nrso un mpo sono npnn ll ngrsso s pon u, pr quso prnono l nom lbr l loro nrso / λτ sono l cosn mpo s u l λ sono pr rl ng, opo un mpo suffcnmn lungo rmn λ s nuno l usc l crcuo sgu l ngrsso Imλ λ { } s λ < l rspos rnsor conrg zro opo un cro mpo. Pr mn l sol rspos rgm s s s { λ } < { λ} { λ } > ETE SSOUTMENTE STBIE ETE SEMPIEMENTE STBIE ETE INSTBIE 4

25 x x Bu x Du In mol cs l componn u prsnno ll sconnuà ll sn. Il or so è connuo o sconnuo? f f lm ε ε ε f f lm ε f ε ε Ingrno l q n so r - x x x Bu x x Bu x x o so un r non gnr è connuo nch s l ngrsso è sconnuo 5

26 TEOEM QUNDO ETE NON ONTIENE PEOSI HIUSI MGIE DI SOI GENETOI DI TENSIONE E ONDENSTOI, O O- II DI SOI GENETOI DI OENTE E INDUTTOI r non gnr, O E VIBII DI STTO SONO MENO DISONTINUE DE INGESSO ONSEGUENZ QUNDO SI PPI UN INGESSO HE H NE ISTNTE INIZIE UN DISONTINUIT DI I SPEIE E VIBII DI STTO SI ONSEVNO, IOE NON MBINO T - E SVO PE I SI IN UI SI BBINO ONDIZIONI PTOOGIHE 6

27 u E u δ c MGI E c c c c ESEMPIO c c u Non sono npnn c c c u c c c u c u u c c c u E c c 7

28 δ OIO Non sono npnn c c 8

29 Orn un crcuo Smbrrbb ch ss un corrsponnz r l orn l crcuo l numro componn nmc Es. : IUITO DE Iº ODINE VIBIE DI STTO c EQ. DIFF. DE Iº ODINE Tu l lgm non smpr uno uno. Pr sblr l orn un crcuo occorr rfcr l numro conzon nzl c npnn ch possmo mporr ll sn. In gnrl l numro conzon nzl npnn conc col numro lmn nmc, mno ch non ssno ncol r l c oppur r l ou ll lgg Krchhoff. 9

30 Pr crcu pss l orn n l crcuo è nn D -n -n n D n. lmn nmc n n. mgl E connn sol cpcor gn. nson n. coccl connn sol nuor gn. corrn n

31 ESEMPIO Mgl -E Noo : so n - : nullo f δ con f Eq. so

32 m n cmo l rlzon I/O consr lo so non s Ingrmol r - ESEMPIO n

33 ESEMPIO Mgl -E Noo : so n f δ - : nullo con f Eq. so

34 4 m n cmo l rlzon I/O consr lo so non s Ingrmol r - ESEMPIO n

35 5 c ESEMPIO o-cclo - sono u so ff rbl con nullo so n Noo : - : f f δ c c c c

36 6 Esmpo n : ngrno fr - ll : n onzon f f f f c c

37 7 Esmpo n lbr frq. h : s ll Ingrsso grno : > > > K K δ c c p - τ λ λ λ

38 Esmpo n c / / 8

39 9 Esmpo [ ] [ ] [ ] K H H K K H K H K H K H K H δ p p n sno cosno : rmn guglno sn sn cos cos sn cos sn sn cos cos Ingrsso cosnusol : λ

40 4 Esmpo n [ ] [ ] sn cos sn cos sn cos N N N N H K K c c p p p p p τ τ τ τ λ λ

41 Esmpo n / c - p rs p p Pr >> conc con p rgm snusol 4

42 4 Esmpo n [ ] grno : rspos ll rmp 'l'ngrl ll rspos l Ingrsso rmp : : : B B B B Bδ mp δ δ Grno Bδ cr r - cg g - cg g - - τ τ τ λ τ r B / cr

43 4 Esmpo n : : T BT T B B δ δ mp δ δ Grno T BTδ T δ T B Bδ Bδ g r r - r - - g > < T pr T pr Ingrsso Trngolr : u BT T