Cenni sul filtro di Kalman e il Recupero di Robustezza con la Tecnica LQG/LTR. Docente Prof. Francesco Amato

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1 Cenni sul filtro di Kalman e il Recupero di Robustezza con la ecnica LQG/LR Docente Prof. Francesco Amato Ingegneria dell'automazione Corso di Sistemi di Controllo Multivariabile - Prof. F. Amato Versione. Dicembre

2 Filtro di Kalman Consideriamo un sistema LI soggetto a rumore stocastico x Ax + Bu + p y Cx + n p, n incorrelati, E gaussiani, bianchi [ ] p(t)p ( τ ) Πδ ( t τ ) Π [ ( )] τ Nδ ( t τ ) N > E n(t)n media Consideriamo poi un osservatore dello stato del sistema come in figura. G G a nulla Amato Versione. Dicembre

3 p n u (A,B,C) y OSS ξ Amato Versione. Dicembre 3

4 Il filtro di Kalman è un particolare osservatore descritto dalle equazioni ξ Aξ + Bu + K f in cui la matrice dei guadagni K f minimizzare l indice di qualità V f ( y Cξ ) è scelta con l obiettivo di [ ( t) cc e( )] : lim E e t t dove e:x-ξ, rappresenta al solito l errore di stima e c è un vettore assegnato. Il prossimo teorema si può dimostrare utilizzando la dualità tra il problema LQ stocastico e il filtraggio ottimo in presenza di rumore. Amato Versione. Dicembre 4

5 eorema [Filtro di Kalman]. Dato il sistema x y p, n E Ax + Cx + Bu + p n incorrelati, gaussiani, bianchi a media nulla [ ] p(t)p ( τ ) Πδ ( t τ ) Π [ ( )] τ Nδ ( t τ ) N > E n(t)n G G e un osservatore nella forma ξ Aξ + Bu + K f ( y Cξ ) Amato Versione. Dicembre 5

6 Se la coppia (A,C ) è stabilizzabile e la coppia (A,G ) è rivelabile, o ciò che è lo stesso la coppia (A,G) è stabilizzabile e la coppia (A,C) è rivelabile, si ha che: L equazione di Riccati AS+SA +Π-SC N - CS ammette una unica soluzione S* semidefinita positiva L osservatore con guadagno K f S*C N - (filtro di Kalman) è asintoticamente stabile Detto ex-ξ l errore di stima, viene minimizzato l indice V f [ ( t) cc e( )] : lim E e t t il cui valore ottimo è V f r( S cc ) Amato Versione. Dicembre 6

7 Si noti che il regolatore ottimo LQ effettua un compromesso tra la velocità con cui lo stato tende a zero e l ampiezza dei segnali di controllo. In maniera duale, il filtro di Kalman effettua un compromesso tra la velocità di ricostruzione dello stato e la depurazione delle uscite dal rumore di misura. Amato Versione. Dicembre 7

8 Esempio. Consideriamo il problema di trovare uno stimatore ottimo dello stato per il sistema Amato Versione. Dicembre 8 [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( τ δ υ τ δ τ + + t N t p t p E n x y p x x Si ha / / 3/ υ υ υ υ υ υ N SC K S f

9 L equazione del filtro di Kalman è (B) ξ ( A K C) K y ξ f + La Fd tra y e ζ (la variabile di stato stimata) è f υs s + υ s + Quando υ tende a zero il filtro tende a diventare un derivatore. Questo è un esempio di cheap estimation, il duale del cheap control. Amato Versione. Dicembre 9

10 Controllo ottimo LQG Il controllo ottimo LQG (Linear Quadratic Gaussian) può essere definito come segue. Dato il sistema x Ax + Bu + p y Cx + n p, n incorrelati, E gaussiani, bianchi [ ] p(t)p ( τ ) Πδ ( t τ ) Π [ ( )] τ Nδ ( t τ ) N > E n(t)n G G a media trovare un controllore dinamico con retroazione di uscita che minimizza l indice di qualità [ x Qx u Ru] limt E + nulla Amato Versione. Dicembre

11 eorema di Separazione. La legge di controllo ottimo che minimizza l indice di qualità è data da u-kξ dove K è la legge di controllo ottimo LQ e ξ è lo stato stimato da un filtro di Kalman ottimo. Quindi KR - B P* dove P* è soluzione dell ARE A P+PA+Q-PBR - B P V*r(P*K f NK f )+r(s*q), K f S*C N - dove S* è soluzione dell ARE AS+SA +Π-SC N - CS Il sistema a ciclo chiuso è asintoticamente stabile. Amato Versione. Dicembre

12 Il eorema di Separazione dimostra che il problema LQG può essere ricondotto alla soluzione di due equazioni di Riccati disaccoppiate. Il controllore ottimo è dinamico e dello stesso ordine del sistema. Il controllore così ottenuto può essere realizzato in due modi diversi. La prima realizzazione che vedremo è quella dello stimatore. Amato Versione. Dicembre

13 - u B Φ(s) C y K B ξ Φ(s) + + K f + - C Amato Versione. Dicembre 3

14 Lo svantaggio di questo schema è che per la sua implementazione occorre misurare la u(t). Il vantaggio è che il controllore è asintoticamente stabile. L altra realizzazione possibile è quella in cascata. In altri termini si valuta la Md tra u e y e si implementa un controllore avente tale Md. Amato Versione. Dicembre 4

15 Sostituendo u-kξ nell equazione dello stimatore ξ Aξ + Bu + K f ( y Cξ ) si ottiene l rappresentazione ISU del controllore ξ u Kξ ( A BK K C) f ξ + Dunque la Md del controllore risulta essere K f y F( s) K ( ) si A + BK + K f C K f Amato Versione. Dicembre 5

16 - F(s) u (A,B,C) y Lo svantaggio è che, in questo caso il controllore può risultare instabile. Però non è necessario misurare u. Amato Versione. Dicembre 6

17 Esempio. Consideriamo il sistema Amato Versione. Dicembre 7 [ ] [ ] lim N P R Q Ru u Qx x E V n x y p u x x t

18 La soluzione è Amato Versione. Dicembre 8 [ ] [ ] [ ] 6 * * + Q S r NK K P r V N C S K P B R K P S f f f

19 Recupero dei margini di robustezza LQ in presenza di osservatore tecnica LQG-LR Sappiamo che nello schema controlloreosservatore, anche se il guadagno del controllore K è progettato con tecnica LQ, i margini di robustezza non valgono più. Facciamo riferimento allo schema nella figura seguente. Amato Versione. Dicembre 9

20 - x u x u B Φ(s) C x x y K B ξ + y Φ(s) + L x + - C Amato Versione. Dicembre

21 Ricordiamo che la Md che si ottiene aprendo il ciclo in corrispondenza di u è data da Da cui: Φ ξ ξ Bu' + LCΦBu LCξ ( ) Φ + LC ( Bu' + LCΦBu) Dall ultima uguaglianza deriva il fatto che il risultato sui margini di robustezza garantiti non si può applicare. In effetti esistono esempi in letteratura in cui viene mostrato come questi margini possano diventare arbitrariamente piccoli. Amato Versione. Dicembre

22 Un ragionamento analogo si può applicare in riferimento a y e y. Il punto in corrispondenza di y (interno al controllore) esibisce i margini di fase e guadagno del regolatore ottimo LQ, mentre per il punto in corrispondenza di y, che ha rilevanza fisica, non si può dire nulla. uttavia, è possibile recuperare i margini di robustezza esibiti dal LQR, se, in luogo di un osservatore qualsiasi, si progetta in modo opportuno un filtro di Kalman. Amato Versione. Dicembre

23 Per questo scopo risulta utile il prossimo risultato. Definizione. Un sistema quadrato descritto dalla tripla (A,B,C) si dice essere a fase minima se la funzione CΦ(s)B non ha zeri nel semipiano destro. Amato Versione. Dicembre 3

24 Lemma. Sia K f (υ) il guadagno del filtro di Kalman ottimo progettato per il sistema descritto dalla tripla (A,B,C) con caratteristiche del rumore pari a Π N BB υ Allora se la tripla (A,B,C) è a fase minima si ha υ ( υ) K f I BU υ dove U è una matrice ortonormale. Amato Versione. Dicembre 4

25 Consideriamo l ARE del filtro di Kalman: AS( υ) + S( υ) A + BB S( υ) C CS( υ) υ Nell ipotesi in cui (A,B) è stabilizzabile e (A,B,C) è a fase minima si dimostra che ( υ) lim S υ e dunque lim υ υ S ( υ) C CS( υ) BB Amato Versione. Dicembre 5

26 Poiché risulta K f υ) si ha υ υ ( υ ) S( C υ K f ( υ) K f ( υ) Data una equazione matriciale del tipo XX DD, con X e D delle stesse dimensioni, la soluzione più generale si può scrivere come XDU, con U arbitraria matrice ortonormale. Da qui si ha l asserto del lemma. A questo punto indichiamo con R(s,υ) la Md del controllore in cui il guadagno dell osservatore K f (υ) è quello di un filtro di Kalman ottimo, progettato in base alla procedura descritta prima. BB Amato Versione. Dicembre 6

27 eorema [Loop transfer recovery ingresso dell impianto]. Consideriamo il sistema descritto dalla terna (A,B,C), supposto essere quadrato e a fase minima. Allora ( s, ) CΦ( s) B K ( s B υ R υ Φ ) In questo modo le caratteristiche di robustezza che si presentano all ingresso dell impianto recuperano asintoticamente i margini di robustezza LQ. Amato Versione. Dicembre 7

28 Si noti che in un normale problema LQG le matrici di covarianza del rumore di processo e di misura sono assegnate a priori. Nella tecnica LQG-LR rappresentano dei gradi di libertà che noi utilizzziamo per recuperare i margini. In definitiva prima si progetta il guadagno del controllore K con tecnica LQR, dopodiché si passa al progetto del guadagno del filtro di Kalman con PBB e υ sufficientemente piccolo. La tecnica ora descritta permette il recupero dei margini all ingresso dell impianto; stante la dualità tra regolatore LQ e filtro di Kalman con una procedura del tutto analoga è possibile recuperare i margini all uscita. Amato Versione. Dicembre 8

29 Nei teoremi che abbiamo enunciato è richiesta l inversione della matrice CΦ(s)B che quindi deve essere quadrata; di qui la necessità che il numero di ingressi (m) sia pari al numero di uscite (r). Se ciò non si verifica, la procedura si può ancora applicare, ma richiede un accorgimento preliminare. Definizione. Un sistema descritto dalla tripla (A,B,C) con m ingressi ad r uscite si dice a fase minima se la Md CΦ(s)B ha rango massimo nel semipiano destro del piano complesso. Amato Versione. Dicembre 9

30 La definizione ora enunciata recupera quella precedente come caso particolare quando il sistema è quadrato. Consideriamo di nuovo il problema del recupero dei margini all ingresso dell impianto. Supponiamo m<r e che CΦ(s)B sia a fase minima. Passo. Si aggiungono r-m colonne a B, diciamole B a, in modo che CΦ(s) (B B a ) sia quadrata, di dimensioni rxr ed ancora a fase minima Amato Versione. Dicembre 3

31 Passo. Si aggiungono r-m righe nulle a K in modo che la matrice K s) ( B B ) a Φ( sia quadrata di dimensioni rxr. È facile riconoscere che il Passo equivale ad aggiungere r-m righe nulle a R(s,υ); definiamo: Rˆ ( s, υ) : R ( s, υ) Amato Versione. Dicembre 3

32 Ovviamente in questo caso il guadagno del filtro di Kalman K f (υ) va calcolato in riferimento a matrici di covarianza del tipo: Amato Versione. Dicembre 3 ( ) I N B B B B P a a ˆ υ Per il teorema precedente si ha ( ) ( ) a B a B s K B B s C s R ) ( ) ( ), ˆ( Φ Φ υ υ Che può riscriversi Φ Φ Φ Φ ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( a B a s K B s K B s C s R B s C s R υ υ υ

33 In definitiva υ K ( s, υ) CΦ( s) B KΦ( s) B È facile rendersi conto che in questo caso la procedura duale non è applicabile. Dunque nel caso in cui il sistema abbia più uscite che ingressi è possibile recuperare i margini di robustezza solo all ingresso dell impianto. Amato Versione. Dicembre 33

34 Viceversa nel caso in cui m>r (più ingressi che uscite) con la procedura duale di quella descritta è possibile recuperare i margini all uscita ma non all ingresso. Solo se la Md del sistema è originariamente quadrata è possibile recuperare i margini indifferentemente all ingresso o all uscita, ma non contemporaneamente all ingresso e all uscita. Possiamo riassumere questo risultato come segue. Amato Versione. Dicembre 34

35 Sia CΦ(s)B la Md di un sistema con m ingressi ed r uscite e a fase minima, allora: Se m r è possibile progettare un controllore tale che il sistema a ciclo chiuso presenti all ingresso dell impianto i margini di robustezza del regolatore LQ Se m r è possibile progettare un controllore tale che il sistema a ciclo chiuso presenti all uscita dell impianto i margini di robustezza del regolatore LQ Amato Versione. Dicembre 35

36 Se il sistema non è a fase minima, la tecnica LQG- LR, non si può applicare. Infatti le Md target KΦ(s)B e CΦ(s)K f sono a fase minima. Poiché un controllore stabilizzante non può cancellare gli zeri a parte reale positiva con poli instabili, il prodotto tra controllore e impianto deve conservare anche al limite per υ che tende a zero (o ρ che tende a zero) la struttura non a fase minima dell impianto. Amato Versione. Dicembre 36