Analisi numerica e confronto tra le principali teorie per piastre e gusci meccanici

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1 POLITECNICO DI TORINO Facoltà di Ingegneria Corso di Larea in Ingegneria Aerospaiale Tesi di Larea Analisi nmerica e confronto tra le principali teorie per piastre e gsci meccanici Relatore: Prof. Erasmo Carrera Candidato: Salvatore Vitale Settembre 27

2 Ringraiamenti Desidero ringraiare innanittto il Prof. Carrera, che mi ha segito con paiena in qesti mesi, trasmettendomi ttto il so entsiasmo e la sa professionalità. Ringraio anche l Ing. Brischetto per la paiena e l aito donatomi drante la stesra di qesto lavoro di tesi. Voglio dedicare qesta tesi a mia madre, mio padre e mia sorella che mi hanno spportato e incoraggiato drante i momenti bi di qesto lngo e faticoso cammino fatto di gioie e d amaree. Graie, sena di voi nlla sarebbe stato possibile. La meta agognata è stata ragginta, ma è stato il percorso fatto a riempirmi di gioia e d orgoglio poiché in qesti anni sono crescito come ingegnere, ma sopratttto come omo. Con qesto lavoro di tesi si chide n importante capitolo della mia vita nella sperana e nella criosità che no novo si apra regalandomi altrettanta soddisfaione. I

3 Indice Ringraiamenti I Teorie per piastre e gsci mltistrato 3. Introdione Sistemi di riferimento adottati Formlaione nificata PVD (Principle of Virtal Displacement) RMVT (Reissner Mixed Variational Theorem) Descriione LW ed ESL delle variabili Presentaione dei nclei fondamentali per la formlaione nificata 8.3 Formlaione agli spostamenti Modelli ESL di primo ordine e più Fnione Zig Zag di Mrakami Modelli LW di primo ordine e più. Espansione di Legendre Formlaione mista Teorie ESL per modello RMVT Teorie LW per modello RMVT Riepilogo delle teorie considerate. Utilio degli acronimi Piastra Legge di Hooke Caso ortotropo Caso ortotropo tiliato per la formlaione mista Relaioni fra deformaioni e spostamenti Plane stress e plane strain Gscio Geometria Legge di Hooke Relaioni fra deformaioni e spostamenti Conclsioni PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci 3 2. Introdione Nclei fondamentali per piastre Assnioni generali Eqaioni costittive II

4 INDICE Relaioni geometriche Eqaioni di governo Nclei fondamentali per gsci Assnioni generali Eqaioni costittive Relaioni geometriche Eqaioni di governo RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci 4 3. Introdione Nclei fondamentali per piastre Assnioni generali Eqaioni costittive Relaioni geometriche Eqaioni di governo Nclei fondamentali per gsci Assnioni generali Eqaioni costittive Relaioni geometriche Eqaioni di governo Analisi generale del thickness locking Introdione Piastra isotropa monostrato Thickness locking Conclsioni Metodi per correggere il thickness locking Conclsioni Piastra ortotropa monostrato Thickness locking Conclsioni Metodi per correggere il thickness locking Conclsioni Conclsioni finali sl fenomeno del TL Risltati per piastre mono e mlti strato Introdione Analisi statica PVD ed RMVT Piastra isotropa monostrato Grafici Piastra ortotropa monostrato Piastra isotropa mltistrato Grafici Analisi dinamica PVD ed RMVT Piastra isotropa monostrato III

5 INDICE Assessment delle freqene fondamentali Plottaggio dei modi Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply 6 6. Introdione Analisi statica PVD ed RMVT Pannello sandwich Grafici Pannello sandwich con rigidea variabile Grafici Piastra cross-ply /9/ Grafici Piastra cross-ply /9// Grafici Analisi dinamica PVD ed RMVT Pannello sandwich mltistrato Assessment delle freqene fondamentali Plottaggio dei modi delle fondamentali Pannello sandwich con rigidea variabile Risltati per gsci mono e mlti strato Introdione Analisi statica PVD ed RMVT Gscio monostrato isotropo Grafici Gscio isotropo mltistrato Grafici Risltati per gsci cilindrici di Ren e sandwich Introdione Analisi statica PVD ed RMVT Gscio sandwich Grafici Gscio cilindrico di Ren Cilindo di Ren con fibre a Grafici Cilindro di Ren con fibre a / Grafici Cilindro di Ren con fibre a 9// Grafici IV

6 INDICE Premessa Lo scopo principale di qesto lavoro è qello di confrontare, attraverso lo stdio di n analisi statica e dinamica, ttte le principali teorie note il letteratra per piastre e gsci meccanici di materiale differente ed implementate nella nified formlation svilppata dal Prof. Carrera. Inoltre analieremo il meccanismo del thickness locking mettendo in evidena ttte le problematiche che tale problema comporta, come sia possibile correggerlo e qali sono le case che l hanno generato. Di segito riportiamo i contenti dei vari capitoli così da avere ben chiara la strada che è stata segita. Capitolo Nel primo capitolo vengono trattate le teorie rigardanti piastre e gsci nel caso meccanico, partendo dalle relaioni geometriche e fisiche per gingere alla formlaione nificata che ci permetterà di scrivere i nclei fondamentali rigardanti i modelli P V D e RMV T sia per le piastre che per i gsci. In tale capitolo inoltre sono presentate le varie teorie Layer Wise ed Eqivalent Single Layer sia per la trattaione mista, che per qella agli spostamenti. Capitolo 2 In qesto capitolo si ricaveranno i nclei fondamentali per piastre e gsci nel caso meccanico, basandosi slla formlaione agli spostamenti. Capitolo 3 Qesto capitolo sarà dedicato alla stesra dei nclei fondamentali per piastre e gsci sempre nel caso meccanico, ma stavolta tiliando la formlaione mista. Capitolo 4 In qesto importante capitolo si applicano e si verificano ttte le teorie tiliate nei precedenti capitoli applicandole ad na piastra isotropa monostrato ed ad na piastra ortotropa monostrato analiando in generale il problema del thickness locking e ttti i vari metodi per correggerlo seleionando qelli che fnionano meglio. Capitolo 5 In qesto capitolo viene esegita na dettagliata analisi statica tiliando i modelli P V D e RMV T e le varie teorie principali s piastre di tipo isotropo monostrato, ortotropo monostrato ed isotropo mltistrato. Inoltre viene svilppata n analisi dinamica slla piastra isotropa monostrato con l assessment delle freqene fondamentali e il relativo plottaggio dei modi. Capitolo 6 Nel capitolo sei viene svolta no stdio statico applicando i modelli P V D e RMV T e le varie teorie principali s vari pannelli di tipo sandwich e piastre cross ply con diverse disposiioni delle fibre. Inoltre viene svilppata n analisi dinamica si vari pannelli di tipo sandwich con l assessment delle freqene fondamentali e il relativo plottaggio delle fondamentali. Capitolo 7 In qesto capitolo vengono raccolti i risltati per gsci di tipo di monostrato isotropo e mltistrato isotropo attraverso n analisi statica applicando i modelli P V D e RMV T e le varie teorie principali.

7 INDICE Capitolo 8 In qesta seione vengono analiati attraverso n analisi statica applicando i modelli P V D e RMV T e le varie teorie principali s gsci di tipo sandwich e gsci cilindrici di Ren con diverse disposiioni delle fibre. 2

8 Capitolo Teorie per piastre e gsci mltistrato. Introdione Per strttre mltistrato s intendono piastre o gsci costititi da più strati sovrapposti, i qali in genere hanno proprietà meccaniche diverse tra loro. Le piastre sono elementi considerati bidimensionali in qanto na dimensione rislta trascrabile rispetto alle altre de, mentre i gsci sono anch essi elementi bidimensionali, ma presentano crvatre lngo le de direioni nel piano. Per stdiare tali elementi occorrono teorie che siano in grado di ridrre il problema da tridimensionale a bidimensionale; ciò pò essere fatto tramite de diversi tipi di approccio: - tipo asintotico - tipo assiomatico. Nelle teorie asintotiche si introdce n parametro indicativo dello spessore, e facendo tendere qesto a ero, si cerca di capire il grado di approssimaione della relativa teoria bidimensionale. Nelle teorie assiomatiche invece, si impone il soddisfacimento di particolari reqisiti dai qali scatriscono i relativi modelli matematici. In qesta tesi verranno tiliati modelli matematici derivanti da n approccio di tipo assiomatico, si sppone infatti l assena di delaminaioni. Ciò comporta che gli spostamenti lngo qalsiasi direione debbano essere gali all interfaccia fra no strato e qello adiacente in modo da avere la continità degli spostamenti lngo la direione. Tali spostamenti però, debbono avere la discontinità delle derivate prime lngo, poichè le tensioni trasversali σ x, σ y, e σ all interfaccia debbono essere gali per ragioni di eqilibrio fra i de strati adiacenti. Attenione però, che tali tensioni trasversali sono legate alle derivate prime degli spostamanti graie a coefficienti che dipendono dalle proprietà meccaniche di ciascn strato; poichè tali proprietà sono diverse da strato a strato, l nico modo per avere continità delle tensioni trasversali è qello di avere derivate degli spostamenti diverse da strato a strato. Ttto ciò rislta chiaro dall osservaione della figra.: Generalmente tale dimensione è lo spessore. 3

9 Teorie per piastre e gsci mltistrato Z Y layer k+ layer k X yy k+ xy k+ xx k+ y k+ k k+ x k+ yy k xy k xx k y k x k discontinos continos Figra.. Condiioni di eqilibrio all interfaccia Per qanto rigarda invece le tensioni nel piano, ossia σ xx, σ yy e σ xy, qeste possono essere diverse fra no strato e l altro (vedi ancora figra.). Qindi riepilogando, le tensioni trasversali e gli spostamenti debbono essere contini come fnione lngo, mentre non debbono essere contine le derivate prime (n esempio tipico di tali andamenti si pò ritrovare in figra.2). Tale condiione prende il nome di: reqisiti C ossia continità lngo della fnione in qestione ( sta appnto per derivata di ordine ero) (Cfr.[43]). Qindi i modelli matematici che vedremo scatriscono dal soddisfacimento di tale reqisito, il qale a sa volta proviene dal fatto di aver imposto che non ci sia delaminaione fra no strato ed il so adiacente; ecco perchè le teorie che vedremo sono teorie assiomatiche, poichè derivano dall imposiione di determinate condiioni. In qesto capitolo saranno presi in consideraione de differenti modi di procedere, sempre relativi ovviamente ad n approccio di tipo assiomatico, essi sono: PVD Principle of Virtal Displacement RMVT Reissner Mixed Variational Theorem Il ttto verrà svilppato sia per le piastre che per i gsci, ma prima di fare ttto ciò occorre soffermarsi slla descriione della nified formlation e solo dopo introdrremo le opportne relaioni geometriche e fisiche per piastre e gsci che ci condrranno alla scrittra dei nclei fondamentali. 4

10 Teorie per piastre e gsci mltistrato Figra.2. Distribione tipica delle tensioni nel piano, degli spostamenti, e delle tensioni trasversali lngo lo spessore di na lamina mltistrato... Sistemi di riferimento adottati Vediamo i sistemi di riferimento adottati sia per la piastra che per il gscio. Per la piastra il sistema di riferimento è qello di figra.3, qi si introdce na sperficie di riferimento Ω, ed n sistema di assi cartesiani (x,y,), in ci l asse rislta perpendicolare al piano individato dagli assi x e y. E chiaro che il ttto pò essere replicato per ogni singolo strato, graie all introdione di n opportno pedice k. y h k=n L k h k, k k k k x k,yk x b k= x,y a Figra.3. Geometria e sistema di riferimento per piastra mltistrato Per qanto rigarda il gscio invece, la geometria di riferimento è qella di figra.4; anche qi si definisce na sperficie di riferimento Ω, in qesto caso crva, e poi de coordinate crvilinee s tale piano che sono α e β, e la coordinata perpendicolare. Come per la piastra il ttto si pò replicare per vari strati graie all agginta di n pedice k. 5

11 Teorie per piastre e gsci mltistrato Z K=N l l K=N l - αk Ω h α, β β k h k Γ k Ω k Z k K=2 K= K+ Z k (K+)-bottom K K-top h k Ω k K-bottom (K-)-top K- Figra.4. Geometria e sistema di riferimento per gscio mltistrato.2 Formlaione nificata La formlaione nificata è stata introdotta dal Prof. Carrera per descrivere ed implementare in maniera nificata n elevato nmero di teorie e di metodi agli elementi finiti, in modo da avere come parametri liberi sia l ordine N dell espansione lngo, che il nmero N n dei nodi per l elemento finito (Cfr.[47]). In n approccio di tipo assiomatico, si possono avere de differenti modi di procedere, sempre relativi al calcolo variaionale, essi sono la formlaione agli spostamenti (PVD) e la formlaione mista (RMVT); il ttto pò essere fatto sia per le piastre che per i gsci. Le teorie si gsci e le piastre vengono ottente graie ai segenti passi: 6

12 Teorie per piastre e gsci mltistrato. Le distribioni lngo degli sfori e degli spostamenti sono svilppate graie ad n certo nmero di fnioni base che sono relative a specifiche teorie per gsci e piastre. 2. Il comportamento del materiale rislta assegnato, ad esempio la Legge di Hooke. 3. Sono date le relaioni geometriche, ad esempio si assme la relaione che lega gli sfori agli spostamenti. 4. Si tilia il teorema di Gass o opportne integraioni per parti, per risolvere le eqaioni di governo con le relative condiioni al contorno, sia per la formlaione P V D che RMV T..2. PVD (Principle of Virtal Displacement) Nella formlaione agli spostamenti viene assnta come incognita il solo vettore degli spostamenti, così per esso viene introdotta n opportna espansione lngo : in essa si ha: = F τ τ (.) = ( x, y, ), ossia le tre componenti dello spostamento del pnto P (x,y,) rispetto all opportno sistema di riferimento cartesiano, vedi per piastre e gsci le figre.3 e.4. τ = ( τx, τy, τ ), sono variabili dello spostamento lngo la sperficie di riferimento Ω del pnto P Ω (x,y,). F τ sono opportne fnioni introdotte, che variano con. L ordine dell espansione, così come la scelta delle fnioni base per costrire le fnioni F τ, sono completamente libere. Impiegando il principio dei lavori virtali si ha: (δɛ T pgσ ph + δɛ T ngσ nh )dv = ρδüdv + δl e (.2) V in essa ρ k indica la densità di massa, infatti viene moltiplicata per l acceleraione. T indica la trasposiione dei vettori e V è il volme del corpo. Il pedice p sta ad indicare le componenti degli sfori e delle deformaioni nel piano, σ p = [σ xx,σ yy,σ xy ], e ɛ p = [ɛ xx,ɛ yy,ɛ xy ]. Il pedice n indica invece le componenti degli sfori e delle deformaioni fori dal piano, σ n = [σ x,σ y,σ ], e ɛ n = [ɛ x,ɛ y,ɛ ]. Il pedice H sottolinea il fatto che gli sfori sono stati calcolati tramita la legge di Hooke, mentre il pedice G sta ad indicare che le deformaioni vengono determinate da relaioni geometriche. Infine, δl e è la variaione del lavoro virtale fatto dalle fore esterne. V 7

13 Teorie per piastre e gsci mltistrato.2.2 RMVT (Reissner Mixed Variational Theorem) Nella formlaione mista sono assnte come variabili sia lo spostamento che gli sfori normali σ n ; essi vengono espansi nella direione dello spessore: = F τ τ (.3) σ nm = F τ σ nmτ (.4) Il pedice M sta ad indicare che sono valori assnti, mentre il vettore σ nmτ = [σ xmτ,σ ymτ,σ Mτ ] rappresenta gli sfori normali assnti del pnto P Ω (x,y,) nel piano di riferimento Ω. Impiegando il teorema variaionale misto di Reissner si ottiene: (δɛ T pgσ ph + δɛ T ngσ nm + δσ T nm(ɛ ng ɛ nh ))dv = ρδüdv + δl e (.5) V.2.3 Descriione LW ed ESL delle variabili L assnione sgli spostamenti (caso relativo al metodo PVD), oppre sgli spostamenti e gli sfori trasversali (caso relativo al metodo RMVT), pò essere fatta sia sl singolo strato, che sll intero mltistrato. Nel primo caso si ha la LW (Layer Wise), nel secondo caso invece si ha la ESL (Eqivalent Single Layer). Se siamo n descriione LW, τ e σ nmτ sono variabili del singolo strato, ed esse sono diverse per ciascn strato. Invece in na descriione ESL τ e σ nmτ sono variabili dell intera piastra o gscio, ed essi sono gali per l intero mltistrato. In figra.5 sono riportati degli esempi relativi all ESL ed al LW. V Figra.5. Esempio di ESL e di LW. Casi lineari e cbici..2.4 Presentaione dei nclei fondamentali per la formlaione nificata In qesto paragrafo vedremo le relaioni geometriche, la legge di Hooke e le eqaioni di governo, relative al caso PVD e RMVT. Per ora non sarà detto nlla s come sono fatti i vettori e le matrici relative ai de casi; il ttto sarà poi ripreso in apposite seioni prima della stesra completa dei nclei fondamentali. 8

14 Teorie per piastre e gsci mltistrato Caso PVD Le relaioni geometriche che intercorrono fra deformaioni nel piano e spostamenti, e deformaioni fori dal piano e spostamenti sono: dove D n e D p sono matrici [3 3] di operatori differeniali. La legge di Hooke invece assme la forma segente: ɛ k pg = D p k (.6) ɛ k ng = D n k (.7) σ k ph = C k pp ɛ k pg + C k pn ɛ k ng (.8) σ k nh = C k np ɛ k pg + C k nn ɛ k ng (.9) dove C K pp, C K pn, C K np, C K nn, sono matrici [3 3] riferite al sistema di riferimento strttra, ossia agli assi problema. Avendo a disposiione qeste relaioni, ora si ottiene l eqaione di governo relativa ad ogni singolo strato: δ k τ : O d S s + O d Düs = f (.) Il pedice τ indica variaioni virtali delle variabili spostamento, mentre s indica valori finiti degli spostamenti. f indica il vettore di carico, mentre O d S e O d D sono matrici [3 3] che rappresentano rispettivamenta i contribti statici e qelli dinamici; esse comprendono gli indici τ, s, e k (nmero strati), e per ogni τ, s, e k, tali matrici hanno 9 termini. Per ottenere le eqaioni e le matrici finali occorre costrire n opportno loop s qesti 3 indici. Caso RMVT In qesto caso ho come variabili, non solo gli spostamenti, ma anche gli sfori trasversali, qindi la legge di Hooke richiesta è diversa, poichè deve essere presentata in na forma mista: σ k ph = C k pp ɛ k pg + C k pn σ k nm (.) ɛ k nh = C k np ɛ k pg + C k nn σ k nm (.2) In qesto caso le eqaioni di governo sono rappresentate da n sistema di de eqaioni per ogni strato, qesto perchè nel caso RMVT le incognite sono sia lo spostamento che gli sfori trasversali. δ k τ : O s + O σ σ ns + O d Düs = f (.3) δσ k nτ : O σ s + O σσ σ ns = f σ (.4) 9

15 Teorie per piastre e gsci mltistrato Osservaioni I nclei fondamentali scritti nelle eqaioni. e.3, sono n estensione delle matrici iniiali [3 3] della legge di Hooke. Ciò viene fatto graie ad n integraione lngo la direione dello spessore delle fnioni F τ e F s per ogni valore di τ e s, segita da n integraione in che sposta le fnioni da n generico pnto P (x,y,) del dominio della piastra o gscio, alla sperficie di riferimento P Ω (x,y). La dimensione finale della matrice originale [3 3] dipende dall ordine di espansione (N) sato per le variabili spostamento, e spostamento più sfori nel caso RMV T (Cfr.[49])..3 Formlaione agli spostamenti In qesta seione presenteremo i modelli per piastre e gsci mltistrato basati slla formlaione PVD, ossia avente come variabili solo gli spostamenti. Il ttto sarà descritto in modo tale da non fare differene fra la geometria della piastra (coordinate x, y e ) e la geometria del gscio (coordinate α, β e ). Le teoria più semplice basata slla formlaione agli spostamenti è la CLT (Classical Lamination Theory) la qale si basa slle ipotesi di Kirchhoff. Tale teoria enncia che: - spessore rimane costante qando la piastra s inflette, - la sa seione si conserva perpendicolare all asse deformato, - resta piana. Tali ipotesi assiomatiche si trasformano in relaioni; infatti l ipotesi di spessore costante si tradce in ɛ =, mentre l ipotesi che la seione resta perpendicolare si tradce in scorrimento al taglio nllo e qindi γ x = γ y =. Qest ltima ipotesi mi permette di scrivere le rotaioni attorno a x e y come derivate rispetto ad x ed y dello spostamento lngo. Invece l ipotesi spessore costante mi porta a dire che lo spostamento lngo non cambia e resta sempre qello riferito alla sperficie di riferimento Ω. Il ttto in eqaioni si tradce nel segente modello degli spostamenti: x (x,y,) = x (x,y),x (x,y) y (x,y,) = y (x,y),y (x,y) (.5) (x,y,) = (x,y) Un modello più accrato di qesto è qello che si rifà alle assnioni di Reissner-Mindlin, in qesto caso si rimove l ipotesi di trascrare la deformabilità al taglio e qindi le rotaioni non sono più sostitibili con le derivate dello spostamento lngo rispetto ad x e y; qesta teoria prende il nome di FSDT (First order Shear Deformation Theory). Anche ora l ipotesi ɛ = permane e qindi lo spostamento lngo resta costante con. Ecco qindi il modello agli spostamenti in qesto caso: x (x,y,) = x (x,y) + φ x (x,y) y (x,y,) = y (x,y) + φ y (x,y) (.6) (x,y,) = (x,y)

16 Teorie per piastre e gsci mltistrato Da qeste scatriscono poi teorie di ordine speriore che sono le HSDT (High Order Shear Deformation Theories), nelle qali si amenta l ordine di espansione dei termini in relativi però solo alle componenti di spostamento nel piano; ciò perchè permane ancora l ipotesi di ɛ =. Se invece rimoviamo pre tale ipotesi ed estendiamo lo svilppo in anche per lo spostamento, ecco allora le teorie di ordine speriore vere e proprie che chiameremo HOT (High Order Theories). Nel segito ci occperemo proprio di tali teorie, iniiando da qelle relative al modello PVD nella visione ESL (Eqivalent Single Layer), continando con le LW (Layer Wise), per poi vedere nella prossima seione qelle relative al modello RMVT sia nella visione ESL che LW..3. Modelli ESL di primo ordine e più In na teoria Eqivalent Single Layer le variabili in qestione non cambiano da strato a strato e qindi non c è bisogno del pedice k, ed inoltre nel caso PVD tali variabili sono solo gli spostamenti. In n modello al primo ordine posso qindi scrivere: x (x,y,) = x (x,y) + x (x,y) y (x,y,) = y (x,y) + y (x,y) (.7) (x,y,) = (x,y) + (x,y) Il pedice indica valori riferiti alla sperficie Ω; tale modello acqista l acronimo ED, dove E sta per ESL, D sta per formlaione agli spostamenti, e sta per primo ordine di espansione in. Il ttto si pò scrivere in forma compatta se pongo: ed inoltre τ =,; F = ; F = (.8) = ( x, y, ); = ( x, y, ); = ( x, y, ) (.9) Così in forma compatta il modello agli spostamenti del primo ordine diventa: = F + F = F τ τ ; con τ =, (.2) Si pò osservare che se dalla ED elimino in il termine lineare, ottengo la EDd, coincidente con la F SDT, poichè con tale operaione ripristino l ipotesi di ɛ =. A partire dalla ED, amentando l ordine di espansione in, si ottengono le EDN, ad esempio la ED2 se mi arresto al secondo ordine come svilppo in, la ED3 se svilppo fino al tero ordine in, e così via. I modelli di ordine speriore compaiono allora nella segente forma: x (x,y,) = x (x,y) + x (x,y) + 2 x2 (x,y) N xn (x,y) y (x,y,) = y (x,y) + y (x,y) + 2 y2 (x,y) N yn (x,y) (.2) (x,y,) = (x,y) + (x,y) (x,y) N N (x,y)

17 Teorie per piastre e gsci mltistrato Anche ora il ttto si pò scrivere nella forma compatta: = F + F F N N = F τ τ ; con τ =,,2,...,N (.22) N è l ordine di espansione e le F τ valgono: F =, F =, F 2 = 2,..., F N = N (.23) Qindi, riepilogando, ttte qeste teorie dal primo ordine fino agli ordini speriori si scrivono con gli acronimi: ED, ED2, ED3,..., EDN..3.2 Fnione Zig Zag di Mrakami La fnione di Mrakami ci permette di introdrre l effetto ig-ag rimanendo comnqe nell ambito della Eqivalent Single Layer, sena bisogno di passare alle teorie di tipo Layer Wise (Cfr.[5]). Così ad esempio si pò avere la FSDT con in più la fnione ig-ag: x (x,y,) = x (x,y) + x (x,y) + ( ) k ζ k xz y (x,y,) = y (x,y) + y (x,y) + ( ) k ζ k yz (.24) (x,y,) = (x,y) Il pedice Z indica che è stata introdotta la fnione di Mrakami, il ci significato rislta chiaro dall osservaione della figra.6. Si ha na coordinata adimensionale che vale ζ k = 2 k /h k ed inoltre l esponente k cambia di segno in ogni strato. Il ttto è qindi n artificio per ottenere la discontinità della derivata prima dello spostamento, cosa che le teorie ESL non permettono di fare, ma che invece rislta importante se si vole avere continità degli sfori trasversali lngo i vari strati. Ora il ttto si pò estendere al caso Figra.6. Fnione di Mrakami per caso lineare e cbico. della ED, che modificata con l agginta della fnione di Mrakami per i motivi sopra esposti diventa na EDZ dove Z sta per ig-ag fnction. x (x,y,) = x (x,y) + x (x,y) + ( ) k ζ k xz y (x,y,) = y (x,y) + y (x,y) + ( ) k ζ k yz (.25) (x,y,) = (x,y) + (x,y) + ( ) k ζ k Z 2

18 Teorie per piastre e gsci mltistrato poi si intodcono le segenti notaioni: e τ =,,2; F = ; F = ; F 2 = F Z = ( ) k ζ k (.26) = ( x, y, ); = ( x, y, ); = ( x, y, ); Z = ( xz, yz, Z ) (.27) in tal modo ecco la forma compatta: = + ( ) k ζ k Z + ; con τ =,,Z (.28) Rislta chiaro che il ttto si pò estendere anche a modelli di ordine speriore così da avere EDZ2, EDZ3,..., EDZN: x (x,y,) = x + x + 2 x N xn (x,y) + ( ) k ζ k xz y (x,y,) = y + y + 2 y N yn (x,y) + ( ) k ζ k yz (.29) (x,y,) = N N (x,y) + ( ) k ζ k Z Ttto ciò in forma compatta si scriva come: = + ( ) k ζ k Z + r r = F τ τ ; con τ =,,2,...,N (.3) dova N è l ordine di espansione (Cfr.[56]), e qindi: F = ; F = ; F 2 = 2 ;...; F N = N ; F N = F Z = ( ) k ζ k (.3).3.3 Modelli LW di primo ordine e più. Espansione di Legendre Rimanendo sempre nell ambito della formlaione agli spostamenti, si pò ora descrivere la teoria Layer Wise dove la variabile rislta diversa per ogni singolo strato, comportando così la necessità di imporre le condiioni di compatibilità ad ogni interfaccia. Se siamo n ordine di espansione in pari ad si perviene alla LD; qi il modello degli spostamenti è il segente: k x(x,y,) = k x(x,y) + k x(x,y) k y(x,y,) = k y(x,y) + k y(x,y) (.32) k (x,y,) = k (x,y) + k (x,y) l apice k è relativo a ciascn strato, e qesta è la sostaniale differena rispetto al modello ED, in ci invece la variabile spostamento è relativa all intero mltistrato. Per avere le condiioni di compatibilità ad ogni interfaccia si potrebbero tiliare i polinomi di Lagrange; ad essi si preferisce però, l tilio dei polinomi di Legendre. Viene adottata la segente espansione: k x = F t k xt + F b k xb k y = F t k yt + F b k yb (.33) k = F t k t + F b k b 3

19 Teorie per piastre e gsci mltistrato i pedici t e b indicano i valori relativi rispettivamente alla parte speriore (top) ed inferiore (bottom) della sperficie dello strato (layer) in qestione. Le fnioni F τ (ζ k ) dato no strato generico k sono così definite: F τ = P + P ; F b = P P 2 2 (.34) dove P j = P j (ζ k ) è il polinomio di Legendre di ordine j definito nel dominio - ζ k. I polinomi di Legendre sono così fatti: P =, P = ζ k, P 2 = 3ζ2 k, P 3 = 5ζ3 k 2 2 3ζ k 2, P 4 = 35ζ4 k 8 5ζ2 k Graie alla scelta di qesto tipo di polinomi le fnioni prima definite hanno la segente proprietà: ζ k = { : Ft = ; F b = ; F r = : F t = ; F b = ; F r =, Così non ho bisogno di lteriori eqaioni per imporre le condiioni C formlaione nificata rislta essere: (.35) (Cfr.[47]). La k = F t k t + F b k b = F τ k τ, con τ = t,b (.36) Qesta teoria è nota con l acronimo LD dove L sta per Layer Wise, D per formlaione agli spostamenti (Displacement), ed sta per primo ordine di espansione. Le teorie Layer Wise di ordine speriore sono così fatte: dove k x = F t k xt + F b k xb + F 2 k x F N k xn k y = F t k yt + F b k yb + F 2 k y F N k yn (.37) k = F t k t + F b k b + F 2 k F N k N Così la formlaione nificata rislta essere: F r = P r P r 2, con r = 2,3,...,N (.38) k = F t k t + F b k b + F r k r = F τ k τ con τ = t,b, r = 2,3,..,N (.39) Si hanno così gli acronimi LD2, LD3, LD4,..., LDN, in fnione dell ordine di espansione..4 Formlaione mista Nella formlaione mista si hanno come variabili sia gli spostamenti, che gli sfori normali σ n. Per qanto rigarda le σ n, qeste vengono viste per ogni singolo strato in modo da poter imporre la loro continità; qindi per le σ n so na teoria Layer Wise. Nel modello RMVT gli sfori normali sono trattati sempre con la LW, allora la differena 4

20 Teorie per piastre e gsci mltistrato risiede nel come vengono trattati gli spostamenti, cioè si ha n modello RMV T con teoria Layer Wise se gli spostamenti sono visti nella visione LW, invece si ha modello RMV T con teoria Eqivalent Single Layer se gli spostamenti sono visti nella visione ESL (Cfr.[45]). Prima di vedere la descriione ESL e LW per la formlaione mista, soffermiamoci slla formlaione nificata rigardante gli sfori normali. Partiamo dal caso lineare, ed siamo al solito, così come avevamo già fatto per gli spostamenti, n espansione di Legendre: ed in forma compatta si ha: σ k x = F t σ k tx + F b σ k xb σ k y = F t σ k ty + F b σ k yb (.4) σ k = F t σ k t + F b σ k b σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb = F τ σ k nτ, con τ = t,b (.4) Il ttto si pò replicare anche per casi di ordine speriore, così da avere: ed in forma compatta: σ k x = F t σ k tx + F b σ k xb + F 2 σ k x F N σ k xn σ k y = F t σ k ty + F b σ k yb + F 2 σ k y F N σ k yn (.42) σ k = F t σ k t + F b σ k b + F 2 σ k F N σ k N σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ con τ = t,b, r = 2,3,..,N (.43) Possiamo così ora vedere le teorie ESL e LW per il modello RMVT..4. Teorie ESL per modello RMVT Nel caso di Eqivalent Single Layer gli sfori normali sono visti sempre come al paragrafo precedente (cioè con na teoria Layer Wise), mentre gli spostamenti sono visti con la teoria Eqivalent Single Layer. Vediamo al primo ordine direttamente la forma compatta: = F + F = F τ τ con τ =, σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb = F τ σ k nτ con τ = t,b (.44) tale teoria è denominata con l acronimo EMni dove E sta per Eqivalent Single Layer, M sta per Formlaione Mista, indica il primo ordine di espansione, ed ni sta ad indicare che la continità interlaminare non è stata ancora imposta. Tale forma compatta estendiamola ora al caso degli svilppi di ordine speriore: = F + F + F r r = F τ τ con τ =,,...,N σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ con τ = t,b,2,...,n (.45) 5

21 Teorie per piastre e gsci mltistrato si hanno così gli acronimi EM2ni, EM3ni,..., EMNni, dove la continità interlaminare contina a non essere imposta. Se voglio imporre la continità interlaminare, dico che: in più slla sperfici esterne si ha: σ k nt = σ k+ nb, con k =,N l (.46) σ nb = σ nb, σ N l nt = σ nt (.47) imponendo tali condiioni i modelli risltanti hanno acronimi EM C, EM C2,..., EM CN, dove C sta ad indicare appnto la continità interlaminare. In tal caso siccome lo spostamento è strtttato con la teoria ESL, per esso posso anche introdrre la Fnione Zig-Zag di Mrakami, ricordando che ho appena imposto le condiioni di continità interlaminare, al primo ordine si ha che: = F + F + ( ) k ζ k Z = F τ τ con τ =, σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb = F τ σ k nτ con τ = t,b (.48) in qesto caso l acronimo tiliato è EM ZC poichè è na Eqivalent Single Layer con formlaione mista, in ci Z sta per Zig-Zag Fnction, e C indica la continità interlaminare. Se prosegiamo con l ordine di espansione ho le EMZCN; in forma compatta si scrive: = F + F + ( ) k ζ k Z + F r r = F τ τ con τ =,,...,N σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ con τ = t,b,2,...,n (.49).4.2 Teorie LW per modello RMVT In qesto caso si ha na descriione LW completa in qanto sia gli spostamenti che gli sfori trasversali sano la teoria Layer Wise. Al primo ordine, qindi nel caso lineare si ha: k = F t k t + F b k b = F τ k τ con τ = t,b σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb = F τ σ k nτ con τ = t,b (.5) mentre per ordini speriori: k = F t k t + F b k b + F r k r = F τ k τ con τ = t,b,2,...,n σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ con τ = t,b,2,...,n (.5) In qesti modelli gli acronimi tiliati sono: LM, LM2,..., LMN (Cfr.[44]). 6

22 Teorie per piastre e gsci mltistrato.5 Riepilogo delle teorie considerate. Utilio degli acronimi. Gli acronimi vengono tiliati per descrivere in modo completo e semplice le teorie bidimensionali che stanno alla base dei modelli presentati nei precedenti paragrafi. Infatti n modello pò tiliare il calcolo variaionale di tipo PVD o RMVT, la descriione delle variabili in gioco pò essere di tipo LW o ESL, si possono scegliere ordini di espansione diversi, si pò considerare o meno gli effetti della σ e della ɛ, e così via. Un completo riepilogo si ha in figra.7, in ci si spiega pre come tali acronimi vengono costriti. La prima lettera pò essere na L se le variabili sono descritte con la teoria Figra.7. Significato e costrione degli acronimi Layer Wise, o na E se si sa l Eqivalent Single Layer. Qindi sege na lettera D se si è impiegata na formlaione agli spostamenti basata sl principio dei lavori virtali, o na M se si tilia n formlaione mista basata sl calcolo variaionale di Reissner-Mindlin. Dopo qeste de lettere possono segire na Z se si tiene conto dell effetto Zig-Zag, e pre na C se si è prevista la continità interlaminare. Infine si ha n nmero che indica l ordine di espansione in. Si pò fare n riepilogo per vedere nei vari modelli come si possono combinare le varie teorie bidimensionali. PVD ESL: visto che l nica variabile è lo spostamento non vedrò mai n EDCN poichè la continità interlaminare sgli sfori normali non la posso imporre dato che qest ltimi non sono delle variabili. Si hanno qindi modelli EDN e modelli EDNd se tolgo l espansione in per qanto rigarda la, e modelli EDZN se introdco per gli spostamenti la fnione Zig-Zag. LW : i modelli che si hanno sono gli LDN, non posso avere la Z poichè non ho bisogno della Zig-ag fnction visto che già ogni strato è trattato singolarmente, e non ho la C poichè in qanto formlaione PVD gli sfori trasversali non sono delle variabili. 7

23 Teorie per piastre e gsci mltistrato RMVT ESL: in qesto caso le variabili sono sia gli spostamenti che gli sfori trasversali, ho così le EMN, e le EMCN poichè in qesto caso visto che si tilia n modello RMVT, gli sfori trasversali sono delle variabili e qindi si pò imporre la continità interlaminare, in qesto caso visto che si è nell ambito dell Eqivalent Single Layer si hanno pre le EM ZCN in qanto posso introdrre la Zig-Zag fnction visto che lo spostamento è considerato nico per l intero mltistrato. LW : i modelli che si hanno sono gli LMNin qando non ho continità interlaminare sgli sfori trasversali, e gli LMN qando ho continità interlaminare. Non ho la Z poichè le variabili in gioco sono già riferite ad ogni singolo strato..6 Piastra.6. Legge di Hooke Caso Isotropo Nel caso isotropo il materiale presenta infiniti piani di simmetria, ciò comporta che il nmero di coefficienti indipendenti sati per esprimere la legge di Hooke sono soltanto de. Al solito focaliiamo la nostra attenione sl generico strato k: σxx k C k C2 k C3 k ɛ k xx σyy k C2 k C22 k C k 23 ɛ k yy σ xy k C k 66 ɛ k xy σx k = C55 k ɛ k (.52) x σy k C44 k ɛ k y C3 k C23 k C33 k σ k i vari coefficienti della matrice possono essere espressi in fnione di de soli coefficienti indipendenti: C k = C k 22 = C k 33 = λ k + 2 µ k C k 2 = C k 3 = C k 23 = λ k C k 44 = C k 55 = C k 66 = µ k (.53) ɛ k dove: µ k G k = Ek 2 (+υ k ) λ k = υ k E k (+υ k )( 2υ k ) (.54) in ci µ k e λ k sono i coefficienti di Lamè, E k indica il modlo di Yong, G k è il modlo di elasticità trasversale, e υ k il coefficiente di Poisson. 8

24 Teorie per piastre e gsci mltistrato.6.2 Caso ortotropo Nel caso di materiale ortotropo si hanno tre soli piani di simmetria. Indichiamo con,2,3 gli assi che individano le coordinate nel sistema di riferimento materiale, se si tilia tale sistema di riferimento la legge di Hooke è pittosto semplice e non differisce come strttra da qella del caso isotropo, così si ha: σ k C k C2 k C3 k ɛ k σ22 k C2 k C22 k C k 23 ɛ k 22 σ 2 k C k 66 ɛ k 2 σ3 k = C55 k ɛ k (.55) 3 σ23 k C44 k ɛ k 23 C3 k C23 k C33 k ɛ k 33 σ k 33 la matrice ha la stessa strttra di qella del caso del materiale isotropo, ma ovviamente il significato dei vari coefficienti è del ttto diverso: C k = E k C k 22 = E k 2 υ23 k υk 32 ; C k 2 = E k υ2 k +υk 3 υk 23 = E k υ k 2 k +υk 32 υk 3 2 k υ3 k υk 3 ; C k k 3 = E k υ3 k +υk 2 υk 32 = E k υ k 3 k +υk 2 υk 23 3 k C k 33 = E k 3 υ2 k υk 2 ; C k k 23 = E2 k υ32 k +υk 2 υk 3 = E k υ k 23 k +υk 2 υk 3 3 k (.56) C k 44 = G k 23; C k 55 = G k 3; C k 66 = G k 2 k = υ k 2υ k 2 υ k 23υ k 32 υ k 3υ k 3 2υ k 2υ k 32υ k 3 dove: E k, E2 k, E3 k sono i modli di Yong nelle tre direioni degli assi materiali υij k rappresentano i coefficienti di Poisson G k 23, G k 3, G k 2 sono i modli di elasticità trasversale. Fra coefficienti di Poisson e modli di Yong vale la segente relaione: υ k ij E k i = υk ji (i,j =,2,3) (.57) Ej k Se però non mi riferisco più agli assi materiali ma facciamo riferimento, come nella pratica accade spesso, ad n sistema di riferimento della strttra (anche detto assi problema), la strttra della matrice nella legge di Hooke cambia, così come il significato dei coefficienti. Indichiamo con pedice m gli sfori e gli spostamenti nel sistema assi materiali, e sena alcn pedice gli sfori e gli spostamenti nel sistema strttra, così si ha: σ k m = [ σ k σ k 22 σ k 2 σ k 3 σ k 23 σ k 33 ] T (.58) 9

25 Teorie per piastre e gsci mltistrato ɛ k m = [ ɛ k ɛ k 22 ɛ k 2 ɛ k 3 ɛ k 23 ɛ k 33 ] T (.59) σ k = [ σ k xx σ k yy σ k xy σ k x σ k y σ k ] T (.6) ɛ k = [ ɛ k xx ɛ k yy ɛ k xy ɛ k x ɛ k y ɛ k ] T (.6) le relaioni che intercorrono fra le grandee espresse nel sistema di riferimento strttra e qello materiale sono: σ k = T k σ k m (.62) ɛ k m = T kt ɛ k (.63) la matrice che lega i de sistemi di riferimento è qella che contiene i coseni direttori della rotaione che si è effettata, per arrivare ad essa osserviamo qindi la figra.8, tale matrice T contenta nelle relaioni.62 e.63 ha la segente forma: Figra.8. Coordinate problema o strttra e coordinate materiale T k = cos 2 θ sin 2 θ sin 2θ sin 2 θ cos 2 θ sin 2θ sin θ cos θ sin θ cos θ cos 2 θ sin 2 θ cos θ sin θ sin θ cos θ k (.64) 2

26 Teorie per piastre e gsci mltistrato La legge di Hooke per il caso di assi materiali si pò scrivere in forma compatta: σ k m = C k ɛ k m (.65) sostitendo così la.63 nella.65, tenendo presente la.62, si ottiene in forma compatta la legge di Hooke per il caso del sistema di riferimento strttra: σ k = T k C k T kt ɛ k (.66) in essa la matrice di elasticità vale: C k = T k C k T kt = C k C 2 k C 2 k C 22 k C 6 k C 26 k C 6 k Ck 3 C 26 k Ck 23 C 66 k Ck 36 Ck 55 Ck 45 Ck 45 Ck 44 C 3 k C 23 k C k 36 Ck 33 (.67) così la legge di Hooke diviene: σ k = C k ɛ k (.68).6.3 Caso ortotropo tiliato per la formlaione mista Inanittto introdciamo na sddivisione della relaione.68 in de contribti, qelli sl piano e qelli fori dal piano, ossia normali. Ttto ciò sarà estremamente tile qando si applicheranno il principio dei lavori virtali e l eqaione mista di Reissner. Splittiamo qindi gli sfori e le deformaioni in componenti nel piano e componenti normali: σ k p = [ σ k xx σ k yy σ k xy ] T ; σ k n = [ σ k x σ k y σ k ] T (.69) ɛ k p = [ ] ɛ k xx ɛ k yy ɛ k T xy ; ɛ k n = [ ] ɛ k x ɛ k y ɛ k T (.7) in tal modo la matrice di elasticità viene sddivisa in qattro parti: C k C 2 k C 6 k Ck 3 C k pp = C 2 k C 22 k C 26 k ; C k pn = Ck 23 Ck 36 C k 6 C k 26 C k 66 (.7) C k np = C k 3 C k 23 C k 36 ; C k nn = C 55 k C 45 k C 45 k C 44 k Ck 33 (.72) 2

27 Teorie per piastre e gsci mltistrato così la legge di Hooke per gli assi problema si pò riscrivere come: σk p σ k n = C k pp C k np il ttto eqivale alle segenti de eqaioni: C k pn C k nn ɛk p ɛ k n (.73) σ k p = C k ppɛ k p + C k pnɛ k n (.74) σ k n = C k npɛ k p + C k nnɛ k n (.75) ovviamente i pedici p ed n indicano rispettivamente le componenti nel piano e fori dal piano. La legge di Hooke si pò ancora elaborare in n modo diverso che rislterà molto tile nella formlaione mista di Reissner, nel fare ciò i novi coefficienti che si otterranno saranno scritti novamente sena la tilde, ma ciò non significa che si ritorna agli assi materiali, siamo infatti ancora nel sistema di riferimento strttra, è solo na scelta per non appesantire lteriormente la notaione e distingere così i coefficienti che saranno tiliati nella formlaione agli spostamenti dai coefficienti che verranno tiliati nella formlaione mista. Così si ha dalla.75: ) σ k ɛ k n = ( Ck nn n sostitendo la.76 in.74: [ σ k p = C k pp C ( ) ] k pn Ck nn Ck np ɛ k p + C k pn Le.76 e.77 diventano pertanto: ( ) Ck nn Ck npɛ k p (.76) ( ) Ck nn σ k n (.77) σ k p = C k ppɛ k p + C k pnσ k n (.78) ɛ k n = C k npɛ k p + C k nnσ k n (.79) in esse sempre facendo riferimento al sistema strttra, i coefficienti che verranno tiliati nella formlaione mista di Reissner (sono qelli sena la tilde) sono legati a qelli che verranno tiliati nella formlaione agli spostamenti (i coefficienti con la tilde) nel segente modo: C k pp = C k pp C ( ) k pn Ck nn Ck np C k pn = C k pn ( Ck nn C k np = ( Ck nn C k nn = ( Ck nn ) ) ) Ck np (.8) 22

28 Teorie per piastre e gsci mltistrato Il ttto in forma esplicita: C k pp = C k ( C k 3) 2 C k 33 C 2 k C 3 k C C k 33 k 23 C 6 k C 3 k C C k 33 k 36 C 2 k C 3 k C C k 33 k 23 C k 22 ( C k 23) 2 C k 33 C 26 k C 23 k C C k 33 k 36 C 6 k C 3 k C C k 33 k 36 C 26 k C 23 k C C k 33 k 36 C k 66 ( C k 36) 2 C k 33 C k pn = C k np = C k nn = C 3 k C 33 k C 23 k C 33 k C 36 k C 33 k C k 3 C k 33 C k 23 C k 33 C k 44 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 C k 36 C k 33 C k 45 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 C k 45 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 Ck 55 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 C k Relaioni fra deformaioni e spostamenti Le relaioni che intercorrono fra deformaioni e spostamenti possono anch esse essere splittate in relaioni nel piano e fori dal piano, così si ha: ɛ k p = D p k (.8) ɛ k n = D n k = (D nω + D n ) k (.82) in esse k indica il vettore degli spostamenti, che è così fatto: k = k x k y k (.83) 23

29 Teorie per piastre e gsci mltistrato le matrici presenti nelle.8 e.82 sono matrici che contengono degli operatori differeniali e sono così fatte: x D p = y y x ; D n = x D nω = y ; D n =.6.5 Plane stress e plane strain x y (.84) (.85) Nel caso plane stress vengono modificate le [C] poichè le σ = 2 che vado ad imporre si trovano a sinistra dell gale e qesto comporta che si modificano le altre eqaioni, ottenendo così, delle nove [ C]. Attenione però, che se vado ad imporre σ = nella formlaione {ε} = [S]{σ} qesta volta la σ si trova a destra dell gale e qindi le [S] non si modificano, pr continando ad essere plane stress. Ttto ciò comporta che invertendo le [ C] ottengo le [S] non modificate, e qindi per poter sare le [ C] modificate devo sare na formlaione agli spostamenti del tipo {σ} = [ C]{ε}. Con σ xx σ yy σ σ y σ x σ xy = {σ} = [C]{ε} (.86) C C 2 C 3 C 2 C 22 C 23 C 3 C 23 C 33 C 44 C 55 C 66 ε xx ε yy ε ε y ε x ε xy (.87) C = C 22 = ( ν)e ( + ν)( 2ν), C 2 = ( ν)e ( + ν)( 2ν), C 23 = νe ( + ν)( 2ν), C 3 = νe ( + ν)( 2ν), C 33 = νe ( + ν)( 2ν) ( ν)e ( + ν)( 2ν) (.88) (.89) C 44 = G 23, C 55 = G 3, C 66 = G 2 (.9) 2 Imponendo σ = otteniamo le eqaioni Costittive di Kirchhoff. 24

30 Teorie per piastre e gsci mltistrato Qindi σ = C 3 ε xx + C 23 ε yy + C 33 ε = (.9) ε = C 3 C 33 ε xx C 23 C 33 ε yy (.92) Sostitendo σ xx = C ε xx + C 2 ε yy + C 3 ε (.93) σ xx = (C C2 3 C 33 )ε xx + (C 2 C 3C 23 C 33 )ε yy (.94) σ yy = C 2 ε xx + C 22 ε yy + C 23 ε (.95) σ yy = (C 2 C 3C 23 C 33 )ε xx + (C 22 C2 23 C 33 )ε yy (.96) Qindi Le [ C] modificate sono: [ C ] = C2 C22 (.97) C66 C C 2 C = C C2 3 C 33 = ε xx ε yy ε ε y ε x ε xy C 22 = C C2 23 C 33 = = E ν 2, C2 = C 2 C 3C 23 C 33 = νe ν 2 (.98) E ν 2, C66 = C 66 = G 2 (.99) {ε} = [S]{σ} (.) S S 2 S 3 S 2 S 22 S 23 S 3 S 23 S 33 S 44 S 55 S 66 σ xx σ yy σ σ y σ x σ xy Qindi nel plane stress la matrice si ridce ad na 5 5 ottenendo così (.) S = E, S 2 = ν E, S 3 = ν E (.2) 25

31 Teorie per piastre e gsci mltistrato S 22 = E, S 23 = ν E, S 33 = E (.3) S 44 = G 23, S 55 = G 3, S 66 = G 2 (.4) Qindi le [S] non si modificano, infatti [ C] = [S]. Nel caso plane strain vengono modificate le [S] poichè le ε = che vado ad imporre si trovano a sinistra dell gale e qesto comporta che si modificano le altre eqaioni, ottenendo così, delle nove [ S]. Attenione però, che se vado ad imporre ε = nella formlaione {σ} = [C]{ε} qesta volta la ε si trova a destra dell gale e qindi le [C] non si modificano, pr continando ad essere plane strain. Ttto ciò comporta che invertendo le [ S] ottengo le [C] non modificate, e qindi per poter sare le [ S] modificate devo sare na formlaione alle tensioni del tipo {ε} = [ S]{σ}. ε xx ε yy ε ε y ε x ε xy = {ε} = [S]{σ} (.5) S S 2 S 3 S 2 S 22 S 23 S 3 S 23 S 33 S 44 S 55 S 66 σ xx σ yy σ σ y σ x σ xy (.6) Con S = E, S 2 = ν E, S 3 = ν E (.7) Qindi Sostitendo S 22 = (E, S 23 = ν E, S 33 = (E (.8) S 44 = G 23, S 55 = G 3, S 66 = G 2 (.9) ε = S 3 σ xx + S 23 σ yy + S 33 σ = (.) σ = S 3 S 33 σ xx S 23 S 33 σ yy (.) ε xx = S σ xx + S 2 σ yy + S 3 σ (.2) ε xx = (S S2 3 S 33 )σ xx + (S 2 S 3S 23 S 33 )σ yy (.3) 26

32 Teorie per piastre e gsci mltistrato ε yy = S 2 σ xx + S 22 σ yy + S 23 σ (.4) ε yy = (S 2 S 3S 23 S 33 )σ xx + (S 22 S2 23 S 33 )σ yy (.5) Qindi Le [ S] modificate sono: [ S ] = S2 S22 (.6) S66 S S 2 S = S S2 3 S 33 = ν2 E, S2 = S 2 S 3S 23 S 33 = ν + ν2 E (.7) σ xx σ yy σ σ y σ x σ xy S 22 = S S2 23 S 33 = ν2 E, S66 = S 66 = G 2 (.8) = {σ} = [C]{ε} (.9) C C 2 C 3 C 2 C 22 C 23 C 3 C 23 C 33 C 44 C 55 C 66 ε xx ε yy ε ε y ε x ε xy Qindi nel plane stress la matrice si ridce ad na 5 5 ottenendo così (.2) C = C 22 = ( ν)e ( + ν)( 2ν), C 2 = ( ν)e ( + ν)( 2ν), C 23 = νe ( + ν)( 2ν), C 3 = νe ( + ν)( 2ν), C 33 = νe ( + ν)( 2ν) ( ν)e ( + ν)( 2ν) (.2) (.22) Qindi le [C] non si modificano, infatti [ S] = [C]..7 Gscio C 44 = G 23, C 55 = G 3, C 66 = G 2 (.23) Prima di introdrre la legge di Hooke e le relaioni fra deformaioni e spostamenti per qanto rigarda il gscio, conviene presentare la sa geometria e vedere come caratteriare qesta da n pnto di vista matematico. 27

33 Teorie per piastre e gsci mltistrato.7. Geometria In qesto caso la sperficie di riferimento è na sperficie crva, così saranno crvilinee pre le coordinate α k e β k riferite a tale sperficie media Ω k. La tera coordinata è qella perpendicolare k. In n sistema di coordinate crvilinee ortogonali si hanno le segenti relaioni: ds 2 k = Hα k dαk 2 + Hβ k dβk 2 + H k dk 2 dω k = Hα k Hβ k dα k dβ k (.24) in esse i coefficienti H k valgono: dv = H k α H k β H k dα k dβ k d k Hα k = A k ( + k ) Rα k Hα k = B k ( + k ) (.25) Rβ k H k = R k α e R k β sono i raggi di crvatra rispettivamente nelle direioni di α k e β k. A k e B k sono i coefficienti della prima forma fondamentale della sperficie media di riferimento, essi per gsci a crvatra costante sono di valore nitario (A k = B k = )..7.2 Legge di Hooke Nella legge di Hooke la strttra della matrice di elasticità non cambia, cambiano le simbologie per indicare gli sfori e le deformaioni visto che il sistema di riferimento è ora (α,β,) e non più (x,y,). Il ttto è sempre riferito al sistema di riferimento strttra e si fa la distinione fra caso tile per la formlaione agli spostamenti ( C), e caso tile per la formlaione mista (C). Il ttto è qindi gale concettalmente al caso della piastra, qindi limitiamoci a fare na rapida esposiione solo al fine di chiarire la nova simbologia. La legge di Hooke debitamente divisa in contribti nel piano e contribti normali, vale ancora: σ k p = C k ppɛ k p + C k pnɛ k n (.26) dove C k pp = C k np = C k C k 2 C k 6 σ k n = C k npɛ k p + C k nnɛ k n (.27) C k 2 C k 22 C k 26 C k 3 C k 23 C k 36 Ck 3 ; C k pn = Ck 23 Ck 36 C 55 k C 45 k ; C k nn = C 45 k C 44 k Ck 33 C k 6 C k 26 C k 66 (.28) (.29) 28