GEOMETRIA 1 Corso di Laurea in Fisica

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1 ) Verificare che il polinomio GEOMETRIA Corso di Laurea in Fisica Esercizi di preparazione al compitino 27/28 2z 3 + ( 2i)z 2 (8 + 7i)iz 9 3i ammette 3 + i come radice e determinare le altre radici del polinomio. 2) Determinare tutti i numeri complessi w tali che w 4 = (2i) 3. 3) Fattorizzare in R e in C i seguenti polinomi: p(w) = 8w 3 q(w) = w 4 + w ) Disegnare i seguenti sottoinsiemi del piano di Gauss A = {z C 2 z 4, Re(z) 2} B = {z C z + 2i 4, z z < } C = {z C z 2 + 2i z } D = {z C iz C}. 5) a) Si discuta, in dipendenza dal parametro reale h, la risolubilità del sistema

2 x +y +w = hx +hy +w = 2 hz hw = h b) Per il valore di h per cui il sistema ammette 2 soluzioni, si risolva il sistema. 6) Nello spazio vettoriale complesso C 3 si considerino i vettori a = 2i, b = i, c = C 3. a) Determinare gli eventuali valori del parametro complesso k tali che il vettore w k = 2i si possa scrivere come combinazione lineare di a, b e c. k + b) Per i valori di k trovati al punto a), scrivere w k come combinazione lineare di a, b e c. 7) Nello spazio vettoriale V = R[x] dei polinomi a coefficienti reali, siano a(x) = x 2 + x 3, b k (x) = x + kx 2, c(x) = 3x + x 3, con k parametro reale, e sia S il sottospazio da essi generato. Si determinino gli eventuali valori di k tali che il polinomio q k (x) = k x + 2kx 2 + x 3 appartenga a S. 8) Nello spazio vettoriale V delle matrici reali quadrate di ordine 2 si considerino il [ ] [ ] sottospazio U =< A, B, C > generato dalle matrici A =, B = e [ ] C = e il sottospazio 2

3 [ ] a b W = { c d a = b = c}. a) Si determinino le dimensioni di U, W, U W, U + W e U + V. b) Si costruisca una base di V che contenga una base di W. [ ] k 3 c) Considerata la matrice D k =, si determinino gli eventuali valori del parametro 3 2 reale k per cui si ha < A, B, D k >= U. 9) Nello spazio R 4 [x] dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a quattro, si consideri il sottoinsieme X h = { p(x) R 4 [x] p() =, p() = h(3 h) }, con h parametro reale. a) Nel caso h = 3, si determini una base del sottospazio X 3. b) Si completi la base di X 3 trovata al punto a) ad una base di R 4 [x]. c) Si determinino i valori di h per cui il sottoinsieme X h è un sottospazio di R 4 [x]. ) Sia V = R 3 [x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado 3 nella indeterminata x a coefficienti reali e si considerino il sottospazio U = {p(x) p( ) = p() = }, e il sottospazio W k generato dai polinomi x 3 + x 2 x 2 + x e x + k. a. Al variare del parametro reale k determinare le dimensioni dei sottospazi U W k e U + W k. b. Nel caso k = 2 determinare una base di U + W k che contenga una base di U W k. ) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici quadrate reali di ordine 2 e si consideri il sottospazio

4 ( a b X h = { c d ) h(a + d) = b, b = hc} con h parametro reale. a) Al variare di h determinare la dimensione ed una base di X h. b) Nel caso h =, determinare un sottospazio Y di M tale che sia M = X Y. 2) Sia V = R 3 [x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado 3 nella indeterminata x a coefficienti reali e si considerino il sottospazio U = {p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d p() = p() = }, e il sottospazio W k generato dai polinomi a k (x) = (k )x 3 + x 2 2x e b k (x) = x 3 x 2 + kx + (k 2), a. Si determini la dimensione ed una base di U. b. Si stabilisca se esiste qualche valore di k per cui sia U = W k. 3) Sia M 3 lo spazio vettoriale delle matrici quadrate reali di ordine 3 e si considerino il sottospazio delle matrice emisimmetriche U = {A M 3 A + A t = O} e il sottospazio V generato dalle matrici e. a. Determinare la dimensione ed una base di U. b. Determinare la dimensione e una base di U V e di U + V. c. Esibire un elemento di U che non appartenga a U V.

5 4) Nello spazio R 4 [x] dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a quattro, si consideri il sottoinsieme X k = { p(x) R 4 [x] p() = p( ), p() = k 2 }, con k parametro reale. a) Si determini il valore di k per cui il sottoinsieme X k è un sottospazio di R 4 [x]. b) Per il valore di k trovato al punto a), si determini una base di X k. c) Per il valore di k trovato al punto a), si determini un sottospazio Y k di R 4 [x] tale che sia R 4 [x] = X k Y k. 5) Nello spazio vettoriale V = R 3 [x] dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 3, siano p (x) = x, p 2 (x) = x x 2 x 3 e S =< p (x), p 2 (x) >. Si consideri poi il sottospazio S = {p(x) = a + bx + cx 2 + dx 3 p( ) = p() = }. a) Si determini una base di S S. b) Si costruisca una base di S + S che contenga la base di S S trovata al precedente punto a). c) Si determinino gli eventuali valori del parametro reale k tali che il polinomio q k (x) = 2x + (k + )x 2 + kx 3 appartenga a S. 6) a) In dipendenza dai valori del parametro reale b si determini la dimensione del 2 b sottospazio V di R 3 generato dai vettori v = 4, v 2 =, v 3 = b 2, v 4 = 2 b) Nel caso b = 2 si determini un sottospazio W di R 3 tale che sia V W = R 3.