Corso di Fisica Applicazioni delle Forze. Prof. Francesco Di Capua a.a. 2018/19

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1 Corso di Fisica Applicazioni delle Forze Prof. Francesco Di Capua a.a. 2018/19

2 Problemi di applicazione delle Forze a = 0 Problemi di sta?ca delle forze F = ma a 0 Problemi di dinamica delle forze

3 Tensione su una corda Quando una corda è acaccata ad un corpo e questa viene?rata da una forza che tende a?rare il corpo, la corda è in uno stato di tensione La tensione della corda ha la stessa intensità della forza applicata, cioè se la forza che viene applicata è 50 N la tensione della corda sarà di 50 N La tensione di una corda a cui è appeso ver?calmente un corpo è data dalla forza peso del corpo T = mg T = F

4 Esercizio Un semaforo di peso 122 N pende da un cavo legato ad altri due cavi Determinare I valori di T1 e T2 e verificare che non superino il loro carico di rocura (100 N) F x = T 1x + T 2x = 0 F y = T 1y + T 2y T 3 = 0 T 2 cos(53 ) T 1 cos(37 ) = 0 T 2 sen(53 ) + T 1 sen(37 ) 122N = 0 Dalle due equazioni si trovano I valori di T 1 e T 2 e si verifica se superano il valore di 100 N che è il carico di rocura del cavo, cioè la forza massima che il cavo può sopportare prima di spezzarsi

5 Piano Inclinato In tan?ssimi problemi di natura pra?ca si incontra un piano inclinato Il piano inclinato consente ad un corpo di portarsi ad una certa altezza h dal suolo che poi può raggiungere in un moto diverso dalla caduta libera h = l senα d = l cosα tanα = h d

6 Piano Inclinato(2) Per comodità si sceglie l asse x quello su cui si svolge il moto, che è quindi parallelo al piano inclinato, L asse y è dunque quello ortogonale al piano inclinato Componen? forza peso nel riferimento scelto θ θ P x = mgsenθ P y = mgcosθ

7 Angolo del piano inclinato y α 90 α 90 α x L angolo α di inclinazione è uguale all angolo che il vecore g ha rispeco all asse delle y

8 Piano Inclinato: determinazione componen? di g y A x = Acos(θ) A y = Asen(θ) Θ angolo del vecore rispeco all asse x a y a x θ 90 θ g a x = gsen(θ) Nel piano inclinato Θ è l angolo del ve2ore g rispe2o all asse y x a y = gcos(θ) Se si vuole vedere la cosa in termini di angolo rispeco all asse x a x = gcos(90 θ) = gsen(θ) a y = gsen(90 θ) = gcos(θ)

9 Auto su un piano inclinato Un auto di massa m scivola lungo una discesa inclinata di un angolo θ Possiamo determinare l accelerazione dell auto. A contribure all accelerazione è solamente la componente della forza di gravità lungo il piano inclinato mgsen(θ) F x = mgsen(ϑ) = ma x F y = n mgcos(ϑ) = 0 a x = gsen(ϑ) N.B.: l accelerazione di un corpo che scivola su un piano inclinato è indipendente dalla massa del corpo

10 Auto su piano inclinato (2) Se l auto quando inizia la sua discesa (con velocità iniziale nulla) si trova ad una distanza d dal piano orizzontale In quanto tempo raggiungerà il piano orizzontale? x f = x i + v xi t f a xit f 2 x f = d x i = 0 v xi = a xit f 2 = d t f 2 = 2d a xi t f = 2d gsen(θ) Con che velocità l auto raggiungerà il piano orizzontale? v xf = v xi + a x t f v xi = 0 a x = gsin(θ) v xf = gsen(θ) 2d gsen(θ) = 2gdsen(θ)

11 Esercizio piano inclinato Determinare: 1) l accelerazione del carrello 2) La Forza esercitata dalla superficie del piano inclinato 3) la velocità del carrello e la distanza percorsa a t=1.5s F x = mgsen(θ) = ma x a x = a = gsen(θ) = 9.8(m /s 2 )sen(32 ) = 5.40m /s 2 F y = F N mgcos(θ) = 0 F N = mgcos(θ) =1.3(kg)9.8(m /s 2 )cos(32 ) =10.6N Velocità iniziale =0 (partenza da fermo) v c (t) = 0 + at v c (t =1.5s) = 5.40(m /s 2 ) 1.5s = 8.1m /s x c (t) = at 2 x c (t =1.5s) = (m /s2 ) (1.5s) 2 = 6.1m

12 Macchina di Atwood Si traca di una carrucola ideale: essa è cos?tuita da due oggec di massa m 1 ed m 2 connessi da un filo inestensibile di massa trascurabile e pos? su una carrucola La carrucola è considerata di massa nulla e priva di acrito

13 La macchina di Atwood Note le due masse, determinare l accelerazione dei due corpi e la tensione della fune Nel risolvere questo problema si deve tenere conto che se si assume posi?va la direzione del moto della massa m2 quando questa sale, allora si deve considerare posi?va la direzione in cui m2 scende Su m1: Su m2: F y F y = T m 1 g = m 1 a = m 2 g T = m 2 a Sommando le due equazioni m 1 g + m 2 g = m 1 a+ m 2 a Dall espressione ocenuta per a m 2 > m 1 a > 0 m1 sale ed m2 scende a = ( m 2 m 1 m 1 + m 2 )g m 1 > m 2 a < 0 m1 scende ed m2 sale SosGtuendo l accelerazione a in una delle due equazioni si ohene la tensione T

14 La macchina di Atwood Le due masse sono legate dal filo e le intensità delle forze esercitate dal filo sulle due masse sono lo stesse: le accelerazioni subite dalle due masse sono uguali a = ( m 2 m 1 m 1 + m 2 )g T = ( 2m 1m 2 m 1 + m 2 )g m 1 = m 2 = m a = 0 T = mg m 2 >> m 1 a = g T 0

15 Due blocchi collega? alla puleggia Blocco di massa M=3.3 Kg che scorre orizzontalmente Secondo blocco di massa m=2.1 Kg che libero di muoversi ver?calmente Determinare l accelerazione del blocco scorrevole e la tensione T del filo Riferimento blocco scorrevole Per il blocco scorrevole di massa M Per il blocco appeso T = mg ma = m(g a) T = Ma F x F x = T = Ma x = Ma = F g T = ma mg T = ma Ma = m(g a) a(m + m) = mg Le intensità delle forze esercitate dalla tensione T sulle due masse sono lo stesse: le accelerazioni subite dalle due masse sono uguali a = m m + M g

16 Due blocchi collega? alla puleggia a = T = Ma m m + M g T = Mm m + M g La tensione T sulla fune è sempre < mg Studio dei casi limite m << M a m M g 0 T Mm M g = mg 0 m >> M m = M a m m g = g a = g 2 T Mm m g = Mg 0 T = m2 2m g = mg 2

17 Forze esercitate dalle superfici: Forza normale e Forza di acrito La superficie sos?ene il blocco mantendendolo in quiete La forza risultante agente sul sistema è nulla, quindi la forza di contaco è uguale ed opposta alla forza peso Questa forza di contaco è chiamata Forza normale F y = F N mg = 0 F N = mg Se si aggiunge un altro blocco di uguale massa la forza normale esercitata dalla superficie raddoppia F y = F N 2mg = 0 F N = 2mg

18 Forza di acrito Si traca di una forza che si oppone al movimento È direca in direzione opposta alla direzione del moto L origine fisica è dovuta alla interazione microscopica delle superfici dei corpi e dalle loro forze di coesione

19 Forza di acrito F ext F ext Considerando un blocco?rato orizzontalmente da una certa forza F ext Il blocco soco l azione di questa forza esterna si muova con velocità costante Sulla superficie, in questo caso, oltre che dalla forza normale (perpedicolare ad essa) agisce con una forza orizzontale F k che si oppone al movimento Se il blocco si muove di velocità costante per il secondo principio della dinamica si ha F x = F ext F k = 0 F k = F ext

20 Forza di acrito(2) F ext F ext Blocco che si muove con velocità costante F k = F ext La forza F k è chiamata forza di a2rito dinamico Il dinamometro indicato in figura per misurare la forza esterna quindi fornisce una misura della forza di acrito Se si applica un altro blocco sopra quello esistente si osserva che per mantenere il blocco a velocità costante occorre applicare una forza esterna doppia, ed anche la forza di acrito raddiopperà con il raddoppiare del peso Si osserva sperimentalmente che con buona approssimazione vale F k = µ k F N µ k è un numero adimensionale chiamato coefficiente di a2rito dinamico (o cinegco)

21 Forza di acrito(3) F ext F ext F k = µ k F N La formula riportata mece in relazione il modulo della forza di acrito con il modulo della forza normale Da notare che mece in relazione solo i moduli ma non I vecori F k I due vecori sono perpendicolari tra loro e F k è un vecore opposto alla velocità v Il modulo della forza di acrito F k inoltre dipende inoltre dalla natura e dalle condizioni delle superfici È quasi indipendente dal valore della velocità (diminuisce leggermente all aumentare della velocitù) È indipendente dall area di contaco F N

22 Esempio Un blocco che si muove orizzontalmente con una forza esterna che è superiore alla forza di acrito (F ext =5N) µ k = 0.6 m = 0.5kg F k F N F ext F k = µ k F N F N = mg F g Quanto vale in questo caso l accelerazione del corpo sogge2o a forza esterna? F k = µ k mg = 0.6 (0.5kg) (9.8m /s 2 ) = 2.9N F x = F ext F k = ma 5N 3N = (0.5kg)a a = 2N 0.5Kg = 4m /s2

23 Esempio di moto in presenza di acrito Una slica viene spinta su un piano orizzontale Una volta che viene raggiunta una velocità di v=2.5 m/s la slica viene lasciata andare e si ferma dopo una distanza d=6.4m Determinare il coefficiente di acrito dinamico F x = F k = ma x F k = µ k F N = µ k mg a x = µ k g v x 2 v x0 2 = 2a x (x x 0 ) v x = vel. finale = 0 v x0 = 2.5m /s (x x 0 ) = d = 6.4m a x = v 2 x0 2d µ k g = v 2 x 0 2d µ k = v 2 x0 2gd = (2.5m /s) 2 2(9.8m /s 2 )(6.4m) = 0.05

24 Esempio di moto in presenza di acrito Possiamo essere interessa? a sapere dopo quanto tempo si ferma la slica v x = v x0 + a x t v x = v x0 µ k gt = 0 t = v x0 µ k g = (2.5m /s) 0.05 (9.8m /s 2 ) = 5.1s

25 Forza di acrito sta?co Se consideriamo il caso precedente ma con il blocco fermo Vale a dire pur aumentando gradualmente la forza esterna il corpo non riesce a muoversi In questo caso si parla di forza di acrito sta?co L accelerazione è sempre nulla: La forza esterna applicata è uguale alla forza di acrito sta?co esercitata dalla superficie Il valore massimo della forza di acrito sta?co si ha quando (aumentando la forza esterna) il corpo sta per iniziare a muoversi F smax = µ s F N µ S è un numero adimensionale chiamato coefficiente di a2rito stagco

26 Forza di acrito sta?co(2) La forza di acrito sta?co dunque tende ad impedire che due superfici scorrano fino ad un certo valore limite F s µ s F N I coefficien? di acrito sta?co dipendono anch essi dalla natura delle superfici e sono sempre maggiori dei coefficien? di acrito sta?co

27 Coefficien? di acrito sta?co e dinamico

28 Forza di acrito sul piano inclinato La forza di acrito sta sull asse delle x opposto alla direzione del moto F N = mgcos(θ) F k = µ k F N = µ k mgcos(θ) Forze lungo x (direzione piano incl.) P x F k = mgsenθ µ k mgcos(θ) = ma a = gsenθ µ k gcos(θ)

29 Misura del coefficiente di acrito sta?co Si pone un blocco in quiete su una superficie piana Si inclina gradualmente la superficie Si misura di volta in volta l angolo tra la superficie e l orizzontale Si determina l angolo limite alla quale inclinazione il corpo si inizia a muovere Finchè il blocco è fermo si ha F x = 0 F y = 0 F x = 0 F S mgsen(ϑ) = 0 F S = mgsen(ϑ) F y = 0 F N mgcos(ϑ) = 0 F N = mgcos(ϑ)

30 Misura del coefficiente di acrito sta?co (2) F S = mgsen(ϑ) F N = mgcos(ϑ) Si ocene Sapendo che F S max = µ S F N mgsen(ϑ) = µ S mgcos(ϑ) µ S = sen(ϑ) cos(ϑ) = tg(ϑ) Il raggiungimento dell angolo in cui il corpo comincia a muoversi (Fsmax) corrisponde all angolo in cui la forza di gravità del piano inclinato vince la forza di acrito sta?co

31 Esempio di determinazione del coefficente di acrito dinamico Sia un blocco su una superficie in pendenza inclinata di 30 Il blocco scivola lungo il piano inclinato con un accelerazione a=g/3 Determinare il coefficiente di a2rito dinamico tra blocco e superficie Lungo x mgsen(θ) F k = ma Lungo y F N mgcos(θ) = 0 F k = µ k F N = µ k mgcos(θ) mgsen(θ) µ k mgcos(θ) = ma µ k = gsen(θ) a gcos(θ)