Sono molti i casi in cui è possibile osservare o misurare su ognuna delle unità statistica di un collettivo più

Transcript

1 1 Lavorare con più variabili Una delle finalità più comuni della raccolta di dati è la ricerca di relazioni tra fenomeni differenti del tipo causa effetto, con l obiettivo di interpretare, prevedere, simulare o controllare Sono molti i casi in cui è possibile osservare o misurare su ognuna delle unità statistica di un collettivo più di una variabile contemporaneamente => si parla in questo caso di distribuzioni multiple Quando studiamo congiuntamente due variabili statistiche si parla in generale di variabile doppia e quindi di una distribuzione unitaria doppia Un. Stat Provincia CS CZ CS RC RC VV KR KR variabile qualitativa Sesso m m f m f m f f Altezza variabile mista variabile quantitativa Consideriamo di voler studiare la relazione tra un carattere X e un carattere Y osservati (o misurati) su un collettivo statistico dobbiamo tener conto di due elementi: la natura delle variabili in gioco il tipo di relazione cui siamo interessati

2 Distribuzioni doppie di frequenze NOME M. Rossi A. Bianchi A. Franchi B. Gini A. Grandi P Lini GENERE M F F M F F REGIONE Marche Calabria Umbria Piemonte Marche Umbria P. Lini F Umbria Sesso Regione Calabria Marche Umbria Piemonte M F Possiamo rappresentare le distribuzioni unitarie doppie come distribuzioni doppie di frequenze contandole unitàstatistiche che presentanocontemporaneamente unamodalità diunavariabile e una modalità dell altra variabile considerata ESEMPIO Anno 1991 Gruppo di corsi di laurea Condizione occupazionale gruppo gruppo gruppo medico economico letterario Totale occupati stabilmente occupati precariamente non lavorano Totale

3 3 Notazione y 1 y j y c x 1 n 11 n 1j n 1c x i n i1 n ij n ic x r n r1 n rj n rc TOT n 1. n i. r r1 rj rc n r. TOT n.1 n.j n.c distribuzionemarginaledi colonna n distribu zione marg ginale di rig ga Consideriamo una variabile doppia (X,Y) e supponiamo che sia stata organizzata in una tabella: sulle righe le r modalità di X e sulle colonne le c modalità di Y c n= n = n + n n i. ij i1 i ic j=1 j1 r n= n = n + n n.j ij 1j j rj i=1 gran totale FREQ. MARGINALE DI RIGA FREQ. MARGINALE DI COLONNA Su ciascuna delle righe abbiamo la distribuzione semplice di ogni modalità i della X rispetto a tutte quelle della variabile Y; su ciascuna colonna abbiamo la distribuzione semplice di ogni modalità j della Y rispetto a tutte quelle della variabile X L elemento generico n ij rappresenta il numero di unità che presentano allo stesso tempo le modalità x i e y j e viene detto frequenza congiunta

4 4 Esempio Consideriamo la distribuzione doppia di frequenze del tipo di birra preferito e dell età di un collettivo di consumatori Bionda Rossa Scura La frequenza congiunta n 1 ci dice quanti sono i consumatori tra i 18 e i anni che preferiscono la birra rossa (=> 5) Il gran totale ci dice qual è la dimensione del collettivo Bionda 45 Rossa 8 Scura Le distribuzioni marginali rappresentano di fatto le distribuzioni di una variabile per volta: la distr. marginale di riga è la distribuzione di frequenze dellavariabilebirra birra a prescindere dall età; allostesso modo la distr. marginale di colonna è la distribuzione della variabile età a prescindere dal tipo di birra preferito

5 5 Trasformazione dei dati: frequenze relative frequenze assolute frequenze relative y 1 y j y c TOT y 1 y j y c TOT x 1 n 11 n 1j n 1c n 1. x 1 f 11 f 1j f 1c f 1. x i n i1 n ij n ic n i. x i f i1 f ij f ic f i. x r n r1 n rj n rc r r1 rj rc n r. x r f r1 f rj f rc r r1 rj rc f r. TOT n.1 n.j n.c n TOT f.1 f.j f.c 1 Per ottenere le frequenze relative da una tabella a doppia entrata è sufficiente dividere ogni elemento della matrice per il gran totale n : n ij f= frequenza congiunta relativa ij n È sempre un numero tra 0 e 1 frequenze marginali relative

6 6 Esempio Consideriamo i ancora la distribuzione ib i doppia di frequenze dlti del tipo di birra preferito e dell età di un collettivo di consumatori, e calcoliamo le frequenze relative Bionda Rossa Scura Bionda 0,11 0,0 0,10 0,41 Rossa 0,05 0,08 0,13 0,6 Scura 003 0, , , ,33 0,18 0,4 0,39 1,00 Per facilitare la lettura spesso è preferibile esprimere le frequenze relative in termini percentuali Preferenze per classi di età del tipo di birra Preferenze del tipo di birra per classi di età 5% 5% 0% 0% 15% Bionda 15% 18 10% Rossa 10% 3 6 5% Scura 5% % 0% Bionda Rossa Scura

7 7 Tabelle doppie e rapporti di composizione Utilizzando i rapporti di composizione è possibile leggere dalle tabelle doppie altre informazioni: in particolare, possiamo utilizzare i rapporti per esplorare la tabella, calcolando la percentuale di unità statistiche che hanno una o più modalità della variabile in riga tra quelle che ne hanno una o più della variabile in colonna (e viceversa) Bionda Rossa Scura (1) () Tra tutti coloro che hanno meno di 7 anni qual è la percentuale di quelli che non gradiscono la birra scura? Tra tutti quelli che preferiscono la birra scura e la birra rossa qual è la percentuale di quelli che hannopiù di 6 anni? I consumatori con meno di 7 anni sono le unità appartenenti alle classi 18 e 3 6 => Tra questi consumatori, quelli che non preferiscono la birra scura sono e + 9 La risposta al primo quesito è (1+5++9)/(0+46) = 0,73 => 73% I consumatori che preferiscono la birra scura e quella rossa sono Tra questi consumatori, hanno più di 6 anni quelli della classe 7 30 => La risposta al secondo quesito è (14+18)/(8+36) = 0,50 => 50%

8 8 Sintesi di variabili doppie miste e quantitative y 1 y j y c x 1 n 11 n 1j n 1c TOT n 1. x i n i1 n ij n ic n i. x r n r1 n rj n rc TOT n.1 n.j n.c n n r. Consideriamo una variabile doppia (X,Y) e supponiamo che sia stata organizzata in una tabella che contiene sulle righe le r modalità di X e sulle colonne le c modalità di Y Supponiamo che la variabile (X,Y) sia mista o quantitativa (cioè che almeno una delle due variabili in gioco sia quantitativa) Se entrambe le variabili sono quantitative è possibile calcolarne la media aritmetica r c x a n y a n Supponiamo ora che X sia una variabile qualitativa e che Y sia invece una variabile quantitativa: non è più possibile calcolare la media di X mentre invece possiamo calcolare la media di Y

9 9 Esempio Consideriamo la distribuzione doppia di frequenze del tipo di birra preferito e dell età di un collettivo di consumatori: ovviamente possiamo calcolare la media solo della variabile in colonna Bionda Rossa Scura Individuiamo i valori centrali delle diverse classi di età e quindi calcoliamo la media considerando d quante unità iàstatistiche i appartengono alle diverse classi v.c. 0 4,5 8,5 n.j y a , ,5 43 = = 5,5 anni 109 I consumatori del collettivo che stiamo esaminando hanno una età media di 5,5 anni

10 10 Variabilità di variabili doppie miste e quantitative y 1 y j y c x 1 n 11 n 1j n 1c TOT n 1. x i n i1 n ij n ic n i. x r n r1 n rj n rc TOT n.1 n.j n.c n n r. Consideriamo una variabile doppia (X,Y) e supponiamo che sia stata organizzata in una tabella che contiene sulle righe le r modalità di X e sulle colonne le c modalità di Y Supponiamo che la variabile (X,Y) sia mista o quantitativa (cioè che almeno una delle due variabili in gioco sia quantitativa) Se entrambe le variabili sono quantitative è possibile calcolarne la varianza 1 1 σ = x x n = x n x r r ( ) ( ) X i a i. i i. a n i=1 n i=1 1 1 σ = y y n = y n y c c Y j a.j j.j a n j=1 n i=1 varianza generale di X varianza generale di Y

11 11 Esempio Consideriamo la distribuzione doppia di frequenze del tipo di birra preferito e dell età di un collettivo di consumatori: ovviamente possiamo calcolare la varianza solo della variabile in colonna Bionda Rossa Scura Individuiamo i valori centrali delle diverse classi di età e consideriamo l età media di 5,5 anni , ,5 43 ya = = 647, v.c. 0 4,5 8,5 n.j σ = 647,14 5,5 = 9,57 σ = 3,1 anni Y I consumatori del collettivo che stiamo esaminando hanno una età media di 5,5 anni e una deviazione standard di 3,1 anni

12 1 Trasformazione dei dati: frequenze condizionate y 1 y j y c TOT Consideriamo una variabile doppia (X,Y) e supponiamo di voler studiare la distr. della variabile Y rispetto ad un prefissato valore di X=x i x 1 f 11 f 1j f 1c f 1. y 1 y j y h x 1 f 11 f 1j f 1c f 1. x i f i1 f ij f ic f i. f(x=x 1,Y=y j) f1j f(y x = x r f r1 f rj f rc f 1)= r. TOT f.1 f.j f.c 1 f(x=x ) profilo riga f 1 1. In questo modo otteniamo la cosiddetta distribuzione condizionata di Y rispetto alla modalità x 1 di X: questa distribuzione prende il nome di profilo riga; allo stesso modo possiamo ottenere il profilo colonna profilo colonna

13 13 Esempio Bionda 0,11 0,0 0,10 0,41 Rossa 0,05 0,08 0,13 0,6 Scura 0,03 0,14 0,17 0,33 0,18 0,4 0,39 1,00 Consideriamo di nuovo la distribuzione doppie di frequenze relative del tipo di birra preferito e dell età di un collettivo di consumatori Bionda 0,7 0,49 0,4 1,00 Rossa 018 0, , , ,00 Scura 0,08 0,4 0,50 1,00 0,18 0,4 0,39 1,00 Se dividiamo ogni elemento sulle righe per il totale otteniamo le distribuzioni condizionate Y x i : mostrano rispetto alle modalità in riga la composizione rispetto alla variabile in colonna Bionda 0,60 0,47 0,6 0,41 Se dividiamo ogni elemento sulle colonne per Rossa 0,5 0,0 0,33 0,6 il totale t otteniamo le distribuzioni ib i i condizionate i Scura 0,15 0,33 0,4 0,33 1,00 1,00 1,00 1,00 X y j : mostrano rispetto alle modalità in colonna la composizione rispetto alla variabile in riga

14 14 Medie condizionate Supponiamo di voler studiare la distribuzione condizionata Y x : siamo interessati a vedere come si distribuisce nel collettivo il carattere misurato dalla variabile Y fissato un certo valore della variabile X f(y x )= 1 f(x=x,y=y ) = f(x=x ) f 1 j 1j f 1 1. al variare di j abbiamo la distribuzione di Y rispetto a x 1 Possiamo allora calcolare anche la media di Y fissato un certo valore della variabile X, ottenendo così una media condizionata: è come se calcolassimo la media della sottopopolazione che presenta x 1 M(voto m) c M(voto f) M(Y x i ) M(voto)

15 15 Varianze condizionate Con lo stesso criterio già visto è possibile calcolare anche la varianza della distribuzione condizionata Y x : siamo interessati a studiare la variabilità nel collettivo del carattere misurato dalla variabile Y fissato un certo valore della variabile X 1 σ = y M(Y x ) n c Y x i j i ij n i. j=1 1 σ = x M(X y ) n r X y j i j ij n.j i=1 VARIANZA CONDIZIONATA Y x c 1 Y x i j i ij n i. j=1 σ = y M(Y x ) n numerosità iàdel gruppo definito dalla modalità x i media di Y nel gruppo definito dalla modalità x i n. di unità del gruppo che presentano le diverse modalità di Y Anche in questo caso è possibile considerare la deviazione standard come indice di variabilità espresso nell unità di misura dei dati

16 16 Esercizio Nella tavola che segue è riportata la distribuzione di 50 individui che abitualmente trascorrono le vacanze in località di mare della provincia di Cosenza secondo il luogo prescelto (X) e l età (Y): Fuscaldo Diamante Sibari Cariati i (1) Calcolare e commentare la distribuzione condizionata dell età rispetto al luogo di villeggiatura () Tra tutti gli individui con età superiore ai 40 anni, quanti preferiscono la costa ionica? (3) Calcolare età media e s.q.m. dei turisti ed età media e s.q.m dei turisti per luogo prescelto