Stesso valore medio per distribuzioni diverse

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1 Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per la comunicazione d'impresa» Stesso valore medio per distribuzioni diverse u i X 1 X X 3 A 1 1 B 8 1 C D E F Un uguale valore medio può sintetizzare distribuzioni molto diverse tra loro Le tre distribuzioni hanno la medesima media aritmetica, ma la tendenza di ogni unità ad assumere valori diversi dalla media è differente in ciascuna distribuzione M a.a

2 Caratteri quantitativi La variabilità La variabilità o la dispersione di una distribuzione esprime la tendenza dei caratteri o dei fenomeni ad assumere differenti valori o determinazioni. Requisiti di un indice di variabilità: assume valore minimo se tutte le unità presentano uguale modalità del carattere aumenta all aumentare della diversità tra modalità Attenzione: ogni indice di variabilità esprime un concetto diverso pertanto non è corretto confrontare la variabilità ottenuta con indici diversi a.a Campo di variazione Il campo di variazione o range è un indice assoluto di variabilità È dato dalla differenza tra il valore minimo e massimo assunto dal carattere R= X max- X min Non è sensibile ad altre caratteristiche della distribuzione. Dipende solo dai valori estremi ed è pertanto influenzato da casi anomali Pagina 141

3 Esercizio: Campo di variazione Calcolare i campi di variazione delle tre variabili della tabella seguente u i X 1 X X R x R x R x Caratteri quantitativi Scostamento semplice medio Si calcola sommando le differenze in valore assoluto, cioè non tenendo conto del segno positivo o negativo, tra ogni valore della distribuzione e il valore medio e dividendo la somma per la numerosità della distribuzione. s n 1 j x j M n A seconda della media scelta si può ottenere uno specifico scostamento medio per esempio dalla media aritmetica o dalla mediana. Per qualsiasi distribuzione di frequenze lo scostamento semplice dalla mediana è sempre minore o uguale allo scostamento dalla media aritmetica a.a

4 Caratteri quantitativi Scostamento semplice medio: calcolo Per la prima distribuzione si avrà: S=[ ]/6=1,33 Per la seconda distribuzione si avrà: S=[ ]/6=14,77 M Per la terza distribuzione si avrà S=[ ]/6=0 a.a Caratteri quantitativi Varianza E la media dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica si calcola sommando gli scarti elevati al quadrato e dividendoli per la numerosità della distribuzione. ( x j M) Osservazioni: L elevazione a quadrato trasforma tutte le differenze negative in positive e mette in maggiore risalto le differenze grandi rispetto a quelle piccole. La varianza non possiede la stessa unità di misura dei valori della distribuzione La radice quadrata della varianza è la deviazione standard o scarto quadratico medio Il numeratore della varianza è detto devianza n 1 j n 4

5 A proposito di deviazione La differenza di una osservazione x i dalla media è detta deviazione. La deviazione può essere positiva o negativa. La media può essere interpretata come il centro di gravità della distribuzione: infatti, per una proprietà della media aritmetica, la somma di tutte le deviazioni dalla media è pari a 0. Maggiore è la deviazione standard maggiore è la distanza tipica dalla media e dunque maggiore è la dispersione delle osservazioni. a.a Esercizio Nell ambito di una indagine di mercato si sono rilevati i costi giornalieri per una camera doppia standard in alcuni Hotel della zona (tab.seguente). Calcolare il costo medio e lo scarto quadratico medio. a.a Calcolo 5

6 Esempio: calcolo della varianza a partire da una distribuzione di frequenza Distribuzione dei clienti per numero di notti di permanenza in albergo Num. Corsi Notti n i Freq xi Totale 83 x in i (x i -M ) (x i -M ) n i n 83 K 7 M k 1 i x i n n i X 7 i1 ( x M) n i n i x Pagina 148 Indici di variabilità relativa Consentono di effettuare confronti sulla variabilità di fenomeni che presentano unità di misura differenti pur avendo la stessa unità di misura hanno valori medi differenti e quindi distribuzioni differenti In alcune situazioni è fuorviante utilizzare la deviazione standard per il confronto: della variabilità di una variabile osservata su due collettivi differenti di u.s. della variabilità di due o più variabili osservate sul medesimo collettivo di u.s. 6

7 Caratteri quantitativi Coefficiente di variazione Indice di variabilità percentuale, non influenzato dall unità di misura e dall ordine di grandezza dei dati. Rapporto tra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica x100. Cv = / M *100 Consente di confrontare fenomeni che presentano diverse unità di misura e/o sono rilevati su collettivi di diversa numerosità Ci indica se una distribuzione è più variabile di un altra Caratteri quantitativi Coefficiente di variazione esercizio Confrontiamo i volumi di vendita di due prodotti. Il prodotto A nei diversi punti vendita rilevati ha avuto un volume di vendite medio di 750 euro e una deviazione standard () pari a 150 euro. Il prodotto B ha avuto un volume di vendite medio di 487 euro e una deviazione standard pari a 115 euro. Quale prodotto registra una maggiore variabilità del volume di vendite? Cv = / M *100 M CV*100 Prodotto A 150,00 750,00 0,00 Prodotto B 115,00 487,00 3,61 7

8 Uso del software : indici medi e di variabilità I. Mingo Uso del software : confrontare variabili I. Mingo

9 Caratteri qualitativi Indici di eterogeneità o mutabilità Evidenziano e quantificano la presenza di eterogeneità nella distribuzione di un carattere qualitativo. Un indice di mutabilità deve soddisfare le seguenti condizioni: assumere valore 0 se e solo se il collettivo è omogeneo rispetto al carattere considerato; crescere, assumendo valori maggiori di 0, all aumentare dell eterogeneità tra le modalità del carattere. Si possono distinguere due situazioni estreme: mutabilità nulla, tutte le unità presentano la medesima modalità del carattere mutabilità massima quando tutte le unità presentano modalità differenti del carattere oppure le diverse modalità del carattere hanno le stesse frequenze. Reclami verso due gestori dì telefonia per motivo Gestore A Gestore B Gestore C Copertura nazionale Costi Piano tariffario Totale Caratteri qualitativi Indice di eterogeneità di Gini Reclami verso tre gestori dì telefonia per motivo (freq. Assolute) Gestore A Gestore B Gestore C Copertura nazionale Costi Piano tariffario Totale Reclami verso tre gestori dì telefonia per motivo (freq. Relative) Gestore A Gestore B Gestore C Copertura nazionale 0,33 1,00 0,33 Costi 0,33 0,00 0,5 Piano tariffario 0,33 0,00 0,4 Totale 1,00 1,00 1,00 9

10 Caratteri qualitativi Indice di eterogeneità di Gini normalizzato Assume sempre valori compresi tra 0 (caso di eterogeneità nulla) e 1 (caso di eterogeneità massima) Può essere utilizzato per operare confronti del medesimo carattere osservato su collettivi differenti, con numerosità diversa, o tra distribuzioni di caratteri differenti osservati sul medesimo collettivo K = numero di modalità Nel nostro esempio K = 3 Caratteri qualitativi Indice di eterogeneità esercizio Date le seguenti distribuzioni di frequenze riguardanti la rilevazione delle vendite degli stessi prodotti in due supermercati differenti, indicare in quale supermercato la clientela è più eterogenea rispetto all acquisto dei prodotti considerati. Numero di prodotti venduti per marca Supermercato A Supermercato B n i Barilla Buitoni Divella Voiello Totale n j Calcolo 10

11 Analisi bivariata I. Mingo Esistono diverse valutazioni per categorie di utenti? Operativamente, per ottenere informazioni più specifiche per sottogruppi di popolazione è necessario applicare tecniche di analisi bivariata: Tabelle a doppia entrata se le variabili sono nominali o ordinali Statistiche descrittive (ad esempio indici medi) della variabile quantitativa per ogni sottogruppo individuato dalle modalità della variabile qualitativa. I. Mingo

12 Che cosa è l analisi bivariata? E lo studio congiunto di due caratteri Esempio nel casi di caratteri qualitativi: Sesso Soddisfazione ASL Frequenza Frequenza Valido Maschio 750 Valido Per niente 176 Poco Abbastanza 838 Totale 1500 Molto 74 Totale 1500 I valori delle celle derivano dall analisi della tabella unitaria! Distribuzione doppia di frequenze: caratteristiche Tabella che consente di sintetizzare l informazione disponibile su due caratteri osservati contemporaneamente sul medesimo collettivo di n u.s. In colonna : Lista di modalità del carattere 1 In riga : Lista di modalità del carattere Nella tabella si considerano tutte le possibili coppie di modalità (una del car. 1 ed una del car. ). I valori rappresentati sono il conteggio, ossia le frequenze assolute, del numero di u.s. del collettivo considerato che presentano una coppia di modalità dei caratteri. 1

13 Tabella a doppia entrata Frequenze n ij delle unità del collettivo che presentano congiuntamente la modalità i-esima di un carattere e la modalità J-esima di un secondo carattere. Ha un numero di righe maggiore o uguale al numero di modalità della variabile rappresentata in riga e un numero di colonne maggiore o uguale a quello delle modalità della variabile rappresentata in colonna. Distribuzioni condizionate Distribuzioni marginali di riga e di colonna Totale Dalla distribuzione unitaria multipla alla distribuzione doppia di frequenza: esempio N Sesso Maschio Maschio Maschio Maschio Maschio Maschio Soddisfazione ASL Abbastanza Molto Molto Abbastanza Per niente Per niente Abbastanza Abbastanza Molto Molto Abbastanza Poco Abbastanza Abbastanza Molto Abbastanza Poco Poco Per niente Per niente Costruiamo un tabella che ha: un numero di righe uguale al numero di modalità della variabile che vogliamo rappresentare in riga più 1 per i totali di colonna un numero di colonne uguale a quello delle modalità della variabile che vogliamo rappresentare in colonna più 1 per i totali di riga. Sesso Totale Maschio Soddisfazione ASL Per niente Poco Abbastanza Molto Totale FSSC 13

14 Totale Dalla distribuzione unitaria multipla alla distribuzione doppia di frequenza: esercizio (segue) N Sesso Maschio Maschio Maschio Maschio Maschio Maschio Soddisfazione ASL Abbastanza Molto Molto Abbastanza Per niente Per niente Abbastanza Abbastanza Molto Molto Abbastanza Poco Abbastanza Abbastanza Molto Abbastanza Poco Poco Per niente Per niente 0 0 Contiamo per ciascun carattere le unità che presentano una stessa modalità e scriviamo i totali nelle rispettive celle marginali della tabella. 3- Contiamo le unità statistiche che presentano congiuntamente le modalità a due a due e scriviamo le frequenze nelle rispettive celle condizionate 4- verifichiamo che le somme dei valori siano coerenti. Sesso Totale Maschio Per niente Poco Abbastanza Molto somma per niente soddisfatti Soddisfazione ASL somma abbastanza soddisfatti somma molto soddisfatti somma poco soddisfatti Totale somma maschi somma femmine totale Tabelle a doppia entrata : profili di riga e distribuzioni marginali percentuali Le distribuzioni marginali percentuali si ottengono dividendo le frequenze assolute marginali per il totale: f i. =n i. /n.. *100; nella tabella precedente non sono calcolate f.j =n.j /n..* /1500*100=11,7% ; 41/1500*100=7,5%; 838/1500*100=55,9%; 74/1500*100=4,9% Nell esempio le distribuzioni percentuali condizionate (profili di riga) della variabile Sesso e della variabile soddisfazione si ottengono rispettivamente rapportando le distribuzioni condizionate ai corrispondenti totali di riga e moltiplicando per 100. Per i maschi: 84/750*100=11, ; 3/750*100=30,9%... Per le femmine 9/750*100=1,3%; 180/750*100=4% 14

15 Tabelle a doppia entrata : profili di colonna e distribuzioni marginali percentuali Tavola di contingenza Sesso * Soddisfazione ASL Sesso Totale Maschio Soddisfazione ASL Totale Per niente Poco Abbastanza Molto Conteggio % entro Soddisfazione ASL 47,7% 56,3% 47,5% 48,6% 50,0% Conteggio % entro Soddisfazione ASL 5,3% 43,7% 5,5% 51,4% 50,0% Conteggio % entro Soddisfazione ASL 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% Le distribuzioni marginali percentuali di riga f i. =n i. /n.. *100; 750/1500*100; Nell esempio le distribuzioni percentuali condizionate (profili di colonna della variabile Sesso e della variabile soddisfazione si ottengono rispettivamente rapportando le distribuzioni condizionate ai corrispondenti totali di riga e moltiplicando per 100. Per gli utenti per niente soddisfatti : 84/176*100=47,7%; 9/176*100=5,3% Per gli utenti molto soddisfatti: 36/74*100= 48,6%; 38/74*100= 51,4% Profili riga e profili colonna: formalizzazione Profili Riga Y X Tot. x 1 x x j x K y 1 n 11 /n 1. n 1 /n 1. n 1j /n 1. n 1K /n 1. 1 y n 1 /n. n /n. n j /n. n K /n. 1 : : : : : : y i n i 1 /n i. n i /n i. n ij /n i. n i K /n i. 1 : : : : : : y H n H1 /n H. n H /n H. n Hj /n H. n HK /n H. 1 n. 1 /n n. /n n. j /n n. K /n X Profili Colonna Y Tot. x 1 x x j x K y 1 n 11 /n. 1 n 1 /n. n 1j /n.j n 1K /n. K n 1./n y n 1 /n. 1 n /n. n j /n.j n K /n. K n./n : : : : : : y i n i 1 /n. 1 n i /n. n ij /n.j n i K /n. K n i./n : : : : : : y H n H1 /n. 1 n H /n. n Hj /n.j n HK /n. K n H./n RMer 15

16 Tab.1 Esercizio A partire dalle frequenze assolute della tabella 1, calcolare i profili % di riga e di colonna. Commentare le due tabelle ottenute. Profili % di riga Profili % di colonna RMer Percentuali di riga, di colonna e sul totale informazioni diverse I. Mingo

17 Uso del software Tavole di contingenza I. Mingo Approfondimento: Le relazioni Statistiche L analisi congiunta di due o più caratteri è utile per studiare le relazioni tra di essi. Analisi dell associazione Indipendenza Interdipendenza Dipendenza 17

18 Tipi di relazioni tra caratteri Indipendenza statistica (relazione simmetrica ): Due caratteri sono statisticamente indipendenti quando la conoscenza delle modalità di uno non consente di prevedere le modalità dell altro Dipendenza (relazione asimmetrica): Due caratteri sono dipendenti quando si può stabilire un legame unidirezionale tra le modalità di un carattere e quelle di un altro Interdipendenza (relazione simmetrica) : Due caratteri sono interdipendenti quando si può stabilire un legame bidirezionale tra le modalità di un carattere e quelle di un altro Indipendenza Statistica Due caratteri sono statisticamente indipendenti quando la conoscenza di uno dei due caratteri non migliora la previsione della modalità dell altro Assenza di qualsiasi legame tra i due caratteri Relazione simmetrica: se X è indipendente da Y allora Y è indipendente da X

19 Indipendenza Statistica in una tabella doppia In una tabella a doppia entrata si ha indipendenza tra i due caratteri X e Y se le distribuzioni relative condizionate di X rispetto alle modalità di Y sono uguali tra loro e alla distribuzione relativa marginale Matrice profili riga ha tutte le righe uguali Matrice profili colonna ha tutte le colonne uguali Indipendenza statistica:esempio Profili riga % 10/30*100=33 5/30*100=17 15/30*100=50 14/4*100=33 7/4*100=17 1/4*100=50 Profili colonna % 10/4*100=4 14/4*100=58 5/1*100=4 7/1*100=58 15/36*100=4 1/36*100=58 Profili di riga % Canale Spot A Spot B Spot C Totale RAI1 33,33 16,67 50,00 30 CAN5 33,33 16,67 50,00 4 Totale 33,33 16,67 50,00 7 Profili di colonna % Canale Spot A Spot B Spot C Totale RAI1 41,67 41,67 41,67 41,67 CAN5 58,33 58,33 58,33 58,33 Totale 4,00 1,00 36,

20 Dipendenza perfetta di due caratteri In una tabella doppia il carattere Y dipende perfettamente da X se ad ogni modalità di X è associata una sola modalità di Y. Se i due caratteri sono perfettamente dipendenti la tabella doppia avrà per ogni riga di X solo una colonna di Y in cui n ij Interdipendenza perfetta di due caratteri In una tabella doppia sussiste perfetta interdipendenza se ad ogni modalità di X è associata una sola modalità di Y e viceversa. Interdipendenza perfetta tra X e Y X Y 1 3 totale totale

21 Esempi di dipendenza perfetta Interdipendenza perfetta tra X e Y X dipende perfettamente da Y Y dipende perfettamente da X X = Prodotto Y = Canale acquistodivano Viaggio Pasta Totale WEB NEGOZIO Totale Situazioni intermedie tra indipendenza e perfetta associazione Tavola di contingenza titolo di studio * lettura libri negli ultimi 1 mesi titolo di studio Totale laurea dipl. univ. diploma m. superior diploma m. inferiore licenza elementare nessun titolo Conteggio Conteggio attes Residui Conteggio Conteggio attes Residui Conteggio Conteggio attes Residui Conteggio Conteggio attes Residui Conteggio Conteggio attes Residui Conteggio Conteggio attes Residui Conteggio Conteggio attes lettura libri negli ultimi 1 mesi no si Totale ,6 3,4 5,0 -,6, ,9 8,1 18,0-8,9 8, , 19,8 88,0-47, 47, ,3 16,7 81,0-5,3 5, ,1 114,9 55,0 5,9-5, ,0 41,0 91,0 31,0-31, ,0 444,0 985,0 Il grado di associazione (dipendenza o interdipendenza) è tanto maggiore quanto più la tabella osservata si discosta da quella di indipendenza. Vedremo in seguito come valutare la significatività di questi scostamenti. Frequenze osservate n ij Frequenze teoriche di indipendenza n* ij Differenze tra Freq. Osserv e freq. teoriche (c ij ) 1

22 Indipendenza o interdipendenza? Esempio Le frequenze assolute nell ipotesi di indipendenza tra i caratteri sono date da Frequenza Teorica di Indipendenza Situazione osservata Liv.Soddisfazione Sesso Totale Basso Medio Alto f m Totale n n * Totale riga Totale colonna i..j nij Totale us n n* 11 = 4x5/40=15 n* 1 = 4x11/40=6.6 n* 13 = 4x4/40=.4 n* 1 =16x5/40=10 n* =16x11/40=4.4 n* 3 =16x4/40=1.6 Situazione teorica di indipendenza Liv.Soddisfazione Sesso Totale Basso Medio Alto f 15 6,6,4 4 m 10 4,4 1,6 16 Totale Differenza tra situazione osservata e situazione teorica : le contingenze Situazione osservata Liv.Soddisfazione Sesso Totale Basso Medio Alto f m Totale Situazione teorica di indipendenza Liv.Soddisfazione Sesso Totale Basso Medio Alto f 15 6,6,4 4 m 10 4,4 1,6 16 Totale Contingenze o Residui * nij n ij c 11 = 19-15=4 c 1 = 5-6.6=-1.6 c 13 =0-.4=-.4 C 1 =6-10=-4 c =6-4.4=1.6 RMer c 3 =4-1.6=.4 Tabella delle Contingenze Liv.Soddisfazione Sesso Basso Medio Alto f 4-1,6 -,4 m -4 1,6,4 a.a

23 Misura di associazione: il Chi-Quadrato di Pearson * nij nij cij Proprietà χ i1 j 1 Assume valore 0 se X e Y sono perfettamente indipendenti Assume valore positivo se esiste un legame di dipendenza o interdipendenza tra X e Y Ha le dimensioni di una frequenza assoluta H K n ij n n * ij * ij Esempio di calcolo del Chi quadrato H K i1 j1 n ij n * ij * ij n Contingenze * n ij nij cij Tabella delle Contingenze Liv.Soddisfazione Sesso Basso Medio Alto f 4-1,6 -,4 m -4 1,6,4 4 ( 1.6) (.4) ( 4) (1.6) (.4) a.a

24 Come si interpreta il Chi quadrato La differenza fra i valori corrispondenti n ij e n* ij (valori osservati e valori attesi nell ipotesi di indipendenza fra le variabili studiate) indica quanto la situazione osservata si discosta da quella di indipendenza: se la differenza è nulla, o è piccola, non c è relazione tra i caratteri se i valori sono grandi allora si può ipotizzare che c è una relazione. Ma quando questa differenza può essere considerata piccola o grande? Per rispondere a questo quesito bisogna conoscere la distribuzione del test statistico del Chi Quadrato, di cui parleremo nelle prossime lezioni sulla statistica inferenziale. Caratteristiche del Chi quadrato Nel calcolo del Chi quadrato il ruolo delle variabili è simmetrico. Il Chi quadrato non cambia se le modalità sono ordinate in modo diverso: è un test in cui le variabili sono sempre trattate come qualitative non ordinabili. Il Chi quadrato ci dice quanta evidenza c è a favore della interdipendenza, ma non misura la forza di questa relazione. Il valore del Chi quadrato dipende dal numero di unità statistiche, tende a crescere all aumentare del numero delle righe e delle colonne della tabella di contingenza. 4

25 Indici di associazione per tabelle doppie di frequenze Misurano l associazione tra due caratteri analizzando la distribuzione congiunta delle frequenze. I più comunemente usati sono: L indice di contingenza quadratica media L indice V di Cramer L indice P di Pearson Glossario Indice PHI (contingenza quadratica media) 5

26 Glossario Indice P di Pearson Glossario Indice V di Cramér 6

27 Esercizio Sapendo che su una tabella di contingenza in cui si riporta la distribuzione doppia di 1000 clienti, incrociando in riga il tipo di Banca utilizzata (modalità: Unicredit, Credito Cooperativo, Banca Agricola Popolare) e la condizione professionale dei clienti (modalità: Imprenditore, Artigiano, Lavoratore dipendente, Libero Professionista) si è ottenuto : = 988,07 Calcolare : - PHI e V di Cramer - L indice P di Pearson calcoli Rmer Uso del software Tavole di contingenza Chi quadrato e indici di associazione I. Mingo

28 Calcolare le contingenze o residui z 11 = 0,7/(1-6/167)(1-786/167)=1, Residuo = Conteggio - conteggio atteso Residuo Standardizzato= Residuo/conteggio atteso Residuo Corretto= Residuo standardizzato/ (1- (ni./n.. ) (1- ( n.j./n.. )) Uso del software: interpretare l output Analizzando i residuo corretti, si può affermare che si registra un associazione statisticamente significativa, [con un livello di probabilità del 95% ], per le modalità che presentano un residuo corretto z>= 1,96 : - se z è positivo la cella presenta un numero di casi significativamente più elevato di quello che si otterrebbe nel caso di indipendenza tra le modalità. - se z è negativo, la cella presenta un numero di casi significativamente più ridotto di quello che si otterrebbe nel caso di indipendenza tra le modalità. Spiegheremo più avanti perché! I. Mingo

29 Esercizio Sulla base dei dati della tabella seguente, calcolare il Chi quadrato tra le variabili sesso e valutazione per la completezza del patrimonio librario degli utenti delle biblioteche. Quale indicazione si può trarre dai residui corretti? χ H K i1 j 1 n ij n n * ij * ij I. Mingo calcolo Indici di associazione per caratteri ordinati Se la tabella si riferisce a caratteri ordinati è possibile costruire indici che oltre a misurare l intensità dell associazione ne misurano il verso. Tra due caratteri ordinati possono sussistere due tipi di relazioni: Relazione diretta (concordanza): a modalità di ordine elevato di un carattere corrispondono più frequentemente modalità di ordine elevato dell altro carattere. Relazione inversa (discordanza): a modalità elevate di un carattere corrispondono modalità di ordine basso dell altro carattere e viceversa. 9

30 Indici di concordanza e discordanza Possono assumere : valori positivi, nel caso di concordanza tra i caratteri valori negativi, nel caso di discordanza I più noti: Indice Gamma di Goodman e Kruskal Indice b di Kendall Indice d di Sommer Indice rho di Spearman Tali indici variano fra -1 e 1 zero indica assenza di associazione +1 indica che l ordinamento dei due caratteri è sempre concorde -1 indica che l ordinamento è sempre discorde. valori prossimi a 1 in valore assoluto indicano forte relazione Indice rho di Spearman E un indice di cograduazione tra graduatorie, particolarmente indicato quando i caratteri ordinati presentano un numero elevato di modalità. Per calcolare l indice è necessario ordinare gli individui in senso decrescente per ognuno dei due caratteri e attribuire il rango. L indice si definisce come: dove d indica la differenza tra i ranghi cioè i posti nelle due graduatorie ordinate. L indice assume valori tra -1 e Il valore 0 implica indipendenza tra x e y L opposta graduatoria ( = -1) implica discordanza tra x e y. E uguale ad 1 quando le unità presentano lo stesso rango in entrambe le graduatorie cioè nel caso di perfetta cograduazione. 30

31 Cograduazione: esempio grad. attiv. grad. Livello fem Tasso territorale m. Piemonte Valle d'aosta Liguria Lombardia Trentino Alto Adige Friuli Venezia Giulia Veneto Emilia Romagna Marche Toscana Umbria Lazio Campania Abruzzo Molise Puglia Basilicata Calabria Sicilia Sardegna disocc. d d = 1 [6*568)/0*(400-1)] =-0,931 Ordinale per ordinale N. di casi validi Misure simmetriche Tau-b di Kendall Gamma Correlazione di Spearman Valore -,779 -,779 -,931 0 Esercizio Calcolare il coefficiente di graduazione tra le valutazioni dei clienti riguardo all assistenza post vendita e alla consulenza alla vendita rilevate per ripartizione geografica I. Mingo calcoli 31

32 Indici di concordanza e discordanza : uso del software I. Mingo Indici di concordanza e discordanza: uso del software Anche per la correlazione di Spearman esistono dei test statistici per verificare se la correlazione calcolata è stata casualmente estratta da una popolazione con correlazione nulla. Di questi test ci occuperemo nella parte sulla statistica inferenziale. Rmer

33 Un grafico per studiare la relazione tra caratteri quantitativi: lo Scatter-Plot o Grafico di Dispersione Rappresenta la distribuzione unitaria doppia di caratteri quantitativi Sull asse delle ascisse (X) e su quello delle ordinate (Y) sono riportati rispettivamente i valori numerici delle modalità assunti dalle due variabili rilevate su ogni u.s. L insieme di punti così ottenuto si chiama nuvola di punti e consente di studiare la dispersione delle u.s. e la loro somiglianza La forma della nuvola può suggerire l esistenza e la forma della relazione tra i due caratteri Rmer Esempio Distribuzione Unitaria Doppia Unità Vendite Statistica Spesa per pubblicità su radio e TV V en d ite Scatter Plot Spesa per pubblicità radio e TV U.S Rmer

34 Interdipendenza tra due caratteri quantitativi Si considera la distribuzione unitaria di caratteri quantitativi X e Y Si analizza l associazione dei due caratteri attraverso l analisi dello scatter plot o mediante indici simmetrici che valutano la presenza di Concordanza: u.s. con valori piccoli (grandi) di un carattere presentano più frequentemente valori piccoli (grandi) dell altro carattere Discordanza: u.s. con valori piccoli (grandi) di un carattere possiedono più frequentemente valori grandi (piccoli) dell altro carattere...si puo analizzare l interdipendenza graficamente 1. Concordanza: nuvola allungata verso alto a destra. Discordanza: nuvola allungata verso alto a sinistra 3. Assenza di interdipendenza lineare: punti sparsi Relazione diretta (concordanza) Variabile Y Variabile Y Variabile X Relazione inversa (discordanza) Variabile X 34

35 Interdipendenza tra due caratteri quantitativi Per misurare il legame che esiste tra due caratteri quantitativi si utilizza la covarianza, definita come la media dei prodotti degli scostamenti delle variabili X e Y dalle rispettive medie: xy n i1 ( x M i ) ( y M ) x n i y Questo valore sarà : Nullo nel caso di indipendenza statistica Positivo in caso di concordanza perché al crescere della X anche la Y crescerà di conseguenza le differenze avranno lo stesso segno. Negativo in caso di discordanza, perché all aumentare della X corrisponderà una diminuzione della Y e viceversa. se dividiamo la covarianza per il prodotto delle deviazioni standard delle variabili, otteniamo un valore standardizzato, che oscilla fra 1 e +1: il coefficiente di correlazione r di Pearson IL Coefficiente di correlazione lineare di Bravais e Pearson è una misura della relazione lineare esistente tra due variabili ovvero una misura della l interdipendenza che esiste tra le due distribuzioni. r misura una relazione simmetrica di tipo lineare cha varia tra -1 e +1. Convenzionalmente: 35

36 Esercizio Rappresentare graficamente la relazione tra vendite e spese per pubblicità. Che cosa si può dedurre? Calcolare il coefficiente di correlazione tra i due caratteri. I. Mingo Step per calcolare il coefficiente di correlazione 1. Calcolare la media aritmetica di ciascun carattere. Calcolare per ciascuna modalità di ciascun carattere gli scarti dalla rispettiva media 3. Ottenere la covarianza Moltiplicare per ciascuna modalità gli scarti dei due caratteri ottenuti al punto. Sommare i prodotti così ottenuti. Dividere questa somma dei prodotti per il numero di unità statistiche. 4. Ottenere gli scarti quadratici medi Elevare al quadrato gli scarti dalla media di ciascuna modalità Sommare per ogni carattere i quadrati così ottenuti Dividere ciascuna di queste somme per il numero di unità statistiche per ottenere le varianze. Estrarre le radici quadrate per ottenere gli scarti quadratici medi- 5. Ottenere r 1. Dividere la covarianza (ottenuta al punto 3) per il prodotto degli FSSC scarti quadratici medi dei due caratteri (ottenuti al punto 4). 36