Statistica Esercitazione. alessandro polli facoltà di scienze politiche, sociologia, comunicazione

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1 Statistica Esercitazione alessandro polli facoltà di scienze politiche, sociologia, comunicazione

2 Obiettivo I quattro semplici esercizi che seguono hanno l obiettivo di consolidare le nostre nozioni in tema di connessione tra variabili statistiche componenti una variabile statistica doppia X, Y, fornendo anche qualche «hint» sugli argomenti trattati e ulteriori spunti di riflessione. Nel primo esercizio misureremo la connessione nel caso di mutabili statistiche dicotomiche, rappresentate tramite tabella tetracorica, evidenziando il motivo per cui è preferibile fare riferimento non all indice φ, ma all indice φ 2 ; nel secondo e nel terzo esercizio il nostro obiettivo consisterà nel valutare la connessione nel caso più generale di mutabili statistiche politomiche, rappresentate tramite tabella r c. Più in particolare, negli esercizi 2 e 3 valuteremo i legami tra percezione della sicurezza e esposizione ai media, utilizzando i dati reali di un indagine campionaria svolta sul territorio della Provincia di Como nel Pagina 2

3 Esercizio #1 Esercizio 1. La tabella seguente presenta i risultati di un indagine svolta su un collettivo di n = 500 elettori, allo scopo di analizzare il comportamento di voto al prossimo referendum sulla base dell orientamento politico: Tabella 1 - Comportamento di voto al prossimo referendum sulla base degli orientamenti politici O rientamento politico Comportamento di voto Conservatore Progressista Voterò SI al referendum Voterò NO al referendum Pagina 3

4 Esercizio #1 Come sappiamo, la tabella con cui si rappresenta la distribuzione delle frequenze congiunte nel caso di mutabili dicotomiche è denominata tabella tetracorica, cioè il caso più semplice di variabile statistica doppia: dato un collettivo osservato di ampiezza n, si rilevano due caratteri X e Y che assumono k = h = 2 modalità distinte e formano una variabile statistica doppia X, Y Sappiamo anche che una semplice misura di connessione, che può essere applicata solo nel caso di tabelle tetracoriche e che non fa riferimento alle contingenze, è l indice φ, definito dalla seguente relazione: φ = ad bc a + b c + d a + c b + d La principale proprietà dell indice φ è quella di assumere valori in un intervallo chiuso di estremi 1, +1. Misuriamo l intensità della connessione con riferimento ai dati della tabella: φ = = = = 0,7917 Quindi tra i due fenomeni la connessione è relativamente intensa. Pagina 4

5 Esercizio #1 Poiché la variabile statistica doppia X, Y è composta da due mutabili statistiche (cioè due caratteri sconnessi), possiamo chiederci se la misura di connessione è influenzata dall ordine con cui sono riportate le modalità dell una o dell altra mutabile. Proviamo ad esempio a invertire la posizione delle due righe del quadro centrale: Tabella 2 - Comportamento di voto al prossimo referendum sulla base degli orientamenti politici (permutazione delle righe) O rientamento politico Comportamento di voto Conservatore Progressista Voterò NO al referendum Voterò SI al referendum Pagina 5

6 Esercizio #1 Procediamo a ricalcolare l indice φ: φ = = = = 0,7917 Quindi la permutazione delle righe (o delle colonne) nella tabella determina il cambiamento di segno della misura di connessione. È per tale motivo che per misurare l intensità della connessione è preferibile considerare il valore dell indice al quadrato; in questo caso otteniamo l indice φ 2, che assume valori nell intervallo chiuso di estremi 0, 1. Nel nostro caso avremo che con interpretazione analoga all indice φ. φ 2 = 0, = 0, = 0,6267 Pagina 6

7 Esercizio #1 Verifichiamo adesso un altra affermazione che avevamo fatto a lezione: nota la distribuzione frequenze assolute o relative congiunte, in altri termini gli elementi del quadro centrale della tabella a doppia entrata, è sempre possibile determinare le distribuzioni marginali (e cioè «marginalizzare la distribuzione», come si dice spesso), mentre l operazione inversa (note le distribuzioni marginali, risalire alla distribuzione delle frequenze assolute o relative congiunte) è possibile solo in una classe di Fréchet. In particolare, a parità di distribuzioni marginali riportate nella Tabella 1, misuriamo la connessione in un ipotetico caso di assenza di connessione, in cui cioè il generico valore di frequenza assoluta congiunta teorica è dato dalla seguente relazione N ij = N i. N.j N Basandoci dunque sulle distribuzioni marginali riportate nella Tabella 1, possiamo risalire alla distribuzione delle frequenze assolute congiunte che si osserverebbe in un ipotetico caso di assenza di connessione, semplicemente applicando la precedente relazione. Pagina 7

8 Esercizio #1 In caso di assenza di connessione, la distribuzione delle frequenze assolute congiunte avrebbe la seguente struttura: Tabella 3 - Comportamento di voto al prossimo referendum sulla base degli orientamenti politici (assenza di associazione) O rientamento politico Comportamento di voto Conservatore Progressista Voterò SI al referendum Voterò NO al referendum Calcoliamo la misura di associazione in questo caso: φ = = = = 0 e conseguentemente φ 2 = 0. Pagina 8

9 Esercizio #1 In ultimo, prendiamo in considerazione il caso in cui si presenta connessione massima, ipotesi che si verifica quando ad esempio tutti i «conservatori» votano «no» al referendum e tutti i «progressisti» votano «sì»: Tabella 4 - Comportamento di voto al prossimo referendum sulla base degli orientamenti politici (associazione massima) O rientamento politico Comportamento di voto Conservatore Progressista Voterò SI al referendum Voterò NO al referendum Verifichiamo a quanto ammonta la misura di associazione in questo caso: φ = = = = 1 e conseguentemente φ 2 = 1. Pagina 9

10 Esercizio #2 Esercizio 2. La tabella seguente presenta i risultati di un indagine svolta su un collettivo di n = 1022 cittadini della provincia di Como, allo scopo di verificare se tra frequenza di lettura dei quotidiani e percezione della sicurezza esiste un legame: Frequenza di lettura dei quotidiani Tabella 5 - Percezione del livello di sicurezza e frequenza di lettura dei quotidiani. Como 2003 Mai/raramente volte a settimana volte a settimana o più È appena il caso di notare che una frazione significativa di rispondenti si è dichiarata in accordo (o quanto meno neutrale) con l affermazione che «a Como furti e rapine sono in aumento», sebbene l andamento del fenomeno, così come era agevole evincere dalla statistica provinciale sulle «denunce presentate all autorità giudiziaria» pubblicata dall Istat, era discendente già da alcuni anni. Pagina 10

11 Esercizio #2 In primo luogo, riportiamo il collettivo osservato ad un ipotetico collettivo di ampiezza unitaria, in altri termini calcoliamo la distribuzione delle frequenze relative congiunte, il cui generico elemento è definito come f ij = N ij n Da un punto di vista operativo, dobbiamo rapportare le frequenze assolute congiunte riportate nel quadro centrale della Tabella 5 alla numerosità del collettivo. Otteniamo il seguente prospetto: Frequenza di lettura dei quotidiani Tabella 6 - Distribuzione delle frequenze relative congiunte Mai/raramente 0,0098 0,0783 0,0646 0, volte a settimana 0,0088 0,1360 0,1194 0, volte a settimana o più 0,0245 0,2573 0,3014 0,5832 0,0431 0,4716 0,4853 1,0000 Pagina 11

12 Esercizio #2 Come ulteriore fase del procedimento, verifichiamo se i due fenomeni sono effettivamente connessi, analizzando le distribuzioni condizionate. Su un piano logico, perché confrontiamo le distribuzioni condizionate con la distribuzione marginale (in questo caso, la distribuzione marginale della Y)? Per un motivo molto semplice: nel caso in cui accertassimo che le distribuzioni condizionate risultassero uguali alla distribuzione marginale, e cioè se in generale risultasse che f j i = f.j ciò implicherebbe che, nello «spiegare» il comportamento della Y, l osservazione di una variabile X semplicemente non incrementa le nostre informazioni e non migliora la nostra conoscenza circa il comportamento della variabile Y. Tradotto in termini formalmente più rigorosi, diremo quindi che se le distribuzioni condizionate sono uguali tra loro e a loro volta sono uguali alla distribuzione marginale, X e Y non sono connesse. Pagina 12

13 Esercizio #2 In primo luogo, consideriamo la «frequenza di lettura dei quotidiani» come evento condizionante, introducendo la variabile condizionata Y X, e calcoliamone le relative distribuzioni condizionate, utilizzando la relazione: f j i = f ij f i. Su un piano operativo, dobbiamo rapportare le frequenze relative congiunte riportate nel quadro centrale della Tabella 6 ai rispettivi totali riga. Otteniamo il seguente prospetto: Frequenza di lettura dei quotidiani Tabella 7 - Distribuzioni condizionate y x Mai/raramente 0,0641 0,5128 0,4231 1, volte a settimana 0,0333 0,5148 0,4519 1, volte a settimana o più 0,0419 0,4413 0,5168 1,0000 0,0431 0,4716 0,4853 1,0000 Pagina 13

14 Esercizio #2 Passiamo a considerare la «percezione sulla sicurezza» come evento condizionante, introducendo la variabile condizionata X Y, e determiniamo le relative distribuzioni condizionate, utilizzando la relazione: f i j = f ij f j, Su un piano operativo, in questo caso dobbiamo rapportare le frequenze relative congiunte riportate nel quadro centrale della Tabella 6 ai rispettivi totali colonna. Otteniamo il seguente prospetto: Frequenza di lettura dei quotidiani Tabella 8 - Distribuzioni condizionate x y Mai/raramente 0,2273 0,1660 0,1331 0, volte a settimana 0,2045 0,2884 0,2460 0, volte a settimana o più 0,5682 0,5456 0,6210 0,5832 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 Pagina 14

15 Esercizio #2 Con riferimento ai confronti fra distribuzioni condizionate e la relativa distribuzione marginale delle frequenze relative, non abbiamo una chiara indicazione sull assenza di connessione, in quanto le distribuzioni condizionate differiscono fra loro e a loro volta sono diverse dalla distribuzione marginale, quindi procediamo al calcolo delle frequenze relative teoriche, che dovremmo osservare in caso di assenza di legame. In formule avremo che f ij = f i. f.j Operativamente, ciascun valore teorico di frequenza relativa in caso di assenza di connessione f ij sarà dato dal prodotto dei rispettivi totali di riga e di colonna, quindi utilizzeremo come riferimento la distribuzione riportata nella Tabella 6. L operazione descritta conduce al seguente prospetto: Frequenza di lettura dei quotidiani Tabella 9 - Distribuzione delle frequenze relative teoriche in assenza di connessione Mai/raramente 0,0066 0,0720 0,0741 0, volte a settimana 0,0114 0,1246 0,1282 0, volte a settimana o più 0,0251 0,2750 0,2830 0,5832 0,0431 0,4716 0,4853 1,0000 Pagina 15

16 Esercizio #2 Abbiamo tutti gli elementi per determinare le contingenze relative, necessarie per ottenere una misura di connessione. Le contingenze relative sono le differenze tra le frequenze relative congiunte osservate e quelle teoriche che avremmo in caso di assenza di connessione. In simboli: c ij = f ij f ij = f ij f i. f.j Sul piano dei calcoli, dovremo sottrarre da ogni elemento del quadro centrale della Tabella 6 il corrispondente elemento presente nel quadro centrale della Tabella 9. L operazione descritta conduce al seguente prospetto: Frequenza di lettura dei quotidiani Tabella 10 - Contingenze relative Mai/raramente 0,0032 0,0063-0,0095 0, volte a settimana -0,0026 0,0114-0,0088 0, volte a settimana o più -0,0006-0,0177 0,0183 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Dall esame della tavola, è immediato accorgersi che k i=1 h j=1 c ij = 0 Pagina 16

17 Esercizio #2 Per superare il problema del segno, calcoliamo le contingenze al quadrato e rapportiamo ciascuna di esse alla corrispondente frequenza relativa congiunta teorica. La somma delle quantità così ottenute definisce la misura di connessione φ 2 e l indice V di Cramer. Formalmente avremo che φ 2 = k i=1 h c ij 2 j=1 f ij L operazione descritta conduce al seguente prospetto: Frequenza di lettura dei quotidiani Tabella 11 - Rapporto tra contingenze quadratiche e frequenze relative teoriche Mai/raramente 0,0016 0,0005 0,0012 0, volte a settimana 0,0006 0,0010 0,0006 0, volte a settimana o più 0,0000 0,0011 0,0012 0,0023 0,0022 0,0027 0,0030 0, Il valore della misura φ 2 può essere letto direttamente come totale generale della tabella, risultando pari a φ 2 = 0,0079 Pagina 17

18 Esercizio #2 Sappiamo che tale misura è definita nell intervallo chiuso di estremi 0, min k, h 1, quindi faremo riferimento all indice normalizzato V di Cramer: V = φ 2 min k, h 1 = 0, = 0,0629 Il valore dell indice ci suggerisce la presenza di una debole connessione tra «frequenza di lettura dei quotidiani» e «percezione della sicurezza». Pagina 18

19 Esercizio #3 Esercizio 3. Replichiamo l analisi, considerando come seconda variabile l «esposizione alla televisione», cioè la frequenza con cui i rispondenti guardano la televisione. La tabella seguente riporta la distribuzione delle frequenze assolute congiunte tra esposizione alla televisione e percezione della sicurezza: Esposizione alla televisione Tabella 12 - Percezione del livello di sicurezza e esposizione alla televisione. Como 2003 Mai/raramente volte a settimana volte a settimana o più In questo caso, analizziamo la connessione per verificare se una maggiore o minore esposizione alla televisione distorce la percezione della sicurezza nei rispondenti al questionario. Pagina 19

20 Esercizio #3 Ripercorrendo gli step procedurali presentati nell Esercizio 2, calcoliamo in primo luogo la distribuzione delle frequenze relative congiunte, che riportiamo nel seguente prospetto: Esposizione alla televisione Tabella 13 - Distribuzione delle frequenze relative congiunte Mai/raramente 0,0010 0,0108 0,0137 0, volte a settimana 0,0010 0,0235 0,0186 0, volte a settimana o più 0,0411 0,4374 0,4530 0,9315 0,0431 0,4716 0,4853 1,0000 Pagina 20

21 Esercizio #3 Prima di calcolare una misura di connessione, analizziamo come nell esercizio precedente le distribuzioni condizionate, allo scopo di escludere l assenza di connessione, evento che è segnalato, come sappiamo, dall uguaglianza fra le distribuzioni condizionate e la distribuzione marginale. Considerando l «esposizione alla televisione» come evento condizionante, rapportiamo le frequenze relative congiunte riportate nel quadro centrale della Tabella 13 ai rispettivi totali riga. Otteniamo il seguente prospetto: Esposizione alla televisione Tabella 14 - Distribuzioni condizionate y x Mai/raramente 0,0385 0,4231 0,5385 1, volte a settimana 0,0227 0,5455 0,4318 1, volte a settimana o più 0,0441 0,4695 0,4863 1,0000 0,0431 0,4716 0,4853 1,0000 Le tre distribuzioni condizionate sono diverse tra loro e differiscono dalla distribuzione marginale. Dobbiamo attenderci che la stessa situazione si presenti con riferimento alla variabile X Y. Pagina 21

22 Esercizio #3 Considerando la «percezione della sicurezza» come evento condizionante, come nell esercizio precedente rapportiamo le frequenze relative congiunte riportate nel quadro centrale della Tabella 13 ai rispettivi totali colonna, ricavando il seguente prospetto: Esposizione alla televisione Tabella 15 - Distribuzioni condizionate x y Mai/raramente 0,0227 0,0228 0,0282 0, volte a settimana 0,0227 0,0498 0,0383 0, volte a settimana o più 0,9545 0,9274 0,9335 0,9315 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 Anche in questo caso le distribuzioni condizionate differiscono tra loro e a loro volta sono diverse dalla distribuzione marginale, quindi procediamo a calcolare le frequenze relative congiunte teoriche che osserveremmo in caso di assenza di connessione e, a seguire, le contingenze relative. Pagina 22

23 Esercizio #3 Mantenendo le distribuzioni marginali della Tabella 13, ricostruiamo la distribuzione delle frequenze relative teoriche in assenza di connessione nel modo consueto, applicando la relazione f ij = f i. f.j. Il risultato dei calcoli è riportato nella tabella seguente: Esposizione alla televisione Tabella 16 - Distribuzione delle frequenze relative teoriche in assenza di connessione Mai/raramente 0,0011 0,0120 0,0123 0, volte a settimana 0,0019 0,0203 0,0209 0, volte a settimana o più 0,0401 0,4393 0,4521 0,9315 0,0431 0,4716 0,4853 1,0000 Pagina 23

24 Esercizio #3 Come ulteriore fase del procedimento, con riferimento alle frequenze relative congiunte osservate e a quelle teoriche riportate rispettivamente nelle Tabelle 13 e 16, calcoliamo le contingenze relative, applicando la relazione c ij = f ij f ij. Otteniamo il seguente prospetto: Esposizione alla televisione Tabella 17 - Contingenze relative Mai/raramente -0,0001-0,0012 0,0014 0, volte a settimana -0,0009 0,0032-0,0023 0, volte a settimana o più 0,0010-0,0019 0,0010 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Come nel caso precedente, la somma delle contingenze relative è pari a zero, quindi procediamo a calcolare le contingenze relative al quadrato e a rapportarle alle corrispondenti frequenze relative teoriche in assenza di connessione, al fine di ottenere la misura di connessione φ 2. Pagina 24

25 Esercizio #3 Le quantità che figurano nel quadro centrale sono definite, come è noto, dal rapporto c 2 ij tali quantità rispetto agli indici i e j ci consente di ottenere la misura di connessione φ 2. f ij. Sommando Esposizione alla televisione Tabella 18 - Rapporto tra contingenze quadratiche e frequenze relative teoriche Mai/raramente 0,0000 0,0001 0,0001 0, volte a settimana 0,0004 0,0005 0,0003 0, volte a settimana o più 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0006 0,0004 0, Il valore della misura φ 2, analogamente all Esempio 2, può essere letto direttamente come totale generale della tabella e risulta pari a φ 2 = 0,0015 Pagina 25

26 Esercizio #3 Procediamo in ultimo al calcolo dell indice normalizzato V di Cramer: V = φ 2 min k, h 1 = 0, = 0,0273 Il valore dell indice, di nuovo, attesta la presenza di una connessione alquanto labile tra «esposizione alla televisione» e «percezione della sicurezza». Pagina 26