Analisi Matematica 1 Sesta lezione

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1 Analisi Matematica 1 Sesta lezione prof. Claudio Saccon Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C saccon@mail.dm.unipi.it web: d6081/index.html Ricevimento: ogni lunedì, dalle 8.30 alle ottobre 2009 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

2 Classificazione delle successioni in base al limite In base alla nozione ora introdotta una successione può avere o anche non avere limite. Nel primo caso diremo che {a n } è regolare, mentre nel secondo che {a n } è irregolare. Tutto questo indipendentemente dal fatto che il limite sia finito o infinito. Quindi {a n } è regolare l R : a n l. Tra le successioni regolari distinguiamo poi quello aventi limite finito, che sono dette convergenti da quelle tendenti a più/meno infinito che si chiameranno divergenti (positivamente/negativamente). { ha limite finito convergente ha limite {a n } ha limite infinito divergente non ha limite irregolare Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

3 Dato che le successioni sono particolari funzioni sappiamo cosa significa dire che una successione {a n } è limitata: Teorema {a n } è superiormente limitata se M R tale che a n M n N; {a n } è inferiormente limitata se m R tale che a n m n N; {a n } limitata se M,m R tale che m a n M n N. Se una successione {a n } è convergente allora è limitata. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

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5 Osservazione Notiamo che, dato l R, a n l a n l 0 (a n l) 0 in particolare a n 0 a n 0. Osservazione Nella dimostrazione dell unicità del limite abbiamo usato il fatto seguente: P(n) e Q(n) definitivamente vere P(n) Q(n) definitivamente vera che si verifica facilmente (come abbiamo già fatto) Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

6 COMMENTI La definizione di limite fornisce un importante strumento concettuale sia nell ambito dell approssimazione sia più in generale nella descrizione di fenomeni continui. Va notato che nella definizione di limite si dice che la successione si avvicina, con approssimazione arbitraria al suo limite, ma non si dice quanto ci vuole perchè ciò si realizzi. Detto in maniera formale per ogni approssimazione ε > 0 (arbitraria) prima o poi, cioè per tutti gli n maggiori o eguali di un opportuno n 1, la successione sarà vicina al suo limite a meno di ε non si dice però come si trovi il intero n 1 a partire da ε. Vedremo più avanti come, in varie questioni, il solo limite non sarà sufficiente, ma servirà anche valutare la velocità di convergenza della successione verso il suo limite. La situazione tipica in cui servirà questo approccio è il caso dei limiti di forme indeterminate. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

7 COMMENTI Come succede spesso (in matematica) le definizioni non si usano quasi mai direttamente. Quello che si fa normalmente è studiare alcuni casi semplici (limiti notevoli) a partire dalla definizione; ricavare una serie di proprietà generali della definizione, in modo da elaborare un calcolo. In questo modo di solito il calcolo di un limite si riduce, mediante i teoremi su somme/prodotti ecc... (usando opportune manipolazioni algebriche) ai limiti di alcuni pezzi elementari Si può già mettere in evidenza che questo modo di procedere sarà lo stesso con le derivate e con gli integrali. Cominciamo allora ad analizzare le proprietà della nozione di limite. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

8 Limiti e ordine Supponiamo che {a n } sia una successione avente limite l, con l R. 1 (monotonia del limite) Se frequentemente 1 a n 0, allora l 0. 2 (permanenza del segno) Se l > 0, allora definitivamente a n > 0. 3 (confronto - due carabinieri) Se {a n }, {b n } e {c n } sono tre successioni tali che a n l, c n l, definitivamente a n b n c n allora b n l. Inoltre se l = + (risp. l = ) allora basta la diseguaglianza a n b n (basta b n c n ). 1 a maggior ragione se definitivamente a n 0 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

9 Limiti e operazioni Supponiamo che {a n } e {b n } siano due successioni convergenti e che a n l 1, b n l 2. ALLORA 1 a n + b n l 1 + l 2. 2 a n b n l 1 l 2. 3 Se l a n 1 l Se a n 0 e {b n } è limitata, allora a n b n 0. Osservazione Da quanto sopra si ottiene che: a n b n l 1 l 2 (scrivendo a n b n = a n + ( 1)b n ); se a n b n frequentemente, allora l 1 l 2 se l 1 < l 2, allora definitivamente a n < b n (monotonia); (perm. diseg.). { } 1 2 Si noti che è definitivamente ben definita, per la permanenza del segno a n Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

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11 Operazioni con i limiti infiniti Supponiamo che {a n } e {b n } siano due successioni, che l 1,l 2 R e che a n l 1, b n l 2. Allora 1 Se l 1 = + e l 2 > allora a n + b n + 2 Se l 1 = e l 2 < + allora a n + b n 3 Se l 1 = + e l 2 > 0 allora a n b n + 4 Se l 1 = + e l 2 < 0 allora a n b n 5 Se l 1 = e l 2 > 0 allora a n b n 6 Se l 1 = e l 2 < 0 allora a n b n + Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

12 Possiamo allora convenire che: l + = + se l > l = se l < + l (+ ) = + se l > 0 l (+ ) = se l < 0 l ( ) = se l > 0 l ( ) = + se l < 0 mentre NON definiamo +, 0 (+ ), 0 ( ) ( ) (e i viceversa). Con questa convenzione possiamo dire che a n l 1, b n l 2 a n + b n l 1 + l 2, a n b n l 1 l 2 PURCHÈ le operazioni tra l 1 e l 2 siano definite. I teoremi non dicono nulla invece se nel risultato si presenta una delle forme ( ). Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

13 Se il limite di una somma o di un prodotto porta a un espressione tra quelle in ( ), si dice che su ha a che fare con una forma indeterminata. ATTENZIONE Il fatto che un limite si presenti in una forma indeterminata non vuol dire che il limite sia indefinito. Vuole solo dire che il risultato di tale limite non si può ricavare in generale, conoscendo solo i due limiti delle successioni di partenza. Serviranno altre informazioni, da ricavare caso per caso. È sbagliato usare espressioni del tipo lim (a n + b n ) = +, n + lim a nb n = 0 + n + (visto che i simboli scritti a destra non significano nulla). Bisognerebbe scrivere lim a n = + e lim b n =, lim a n = 0 e lim b n = + n + n n + n Indeterminate sono le forme a n + b n o a n b n (nei casi descritti sopra), non i loro limiti. lim n + n = 1 NON +. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

14 Forme indeterminate:esempi Dal fatto che n + si ricava (teorema sul prodotto) n k + per ogni k 1 intero. Per i teoremi sulle somme n k 1 + e (moltiplicando per 1 0) n k + 1. Allora: a n := n 2 +, b n := n 2 + 1, allora a n + b n = 1 1 a n := n +, b n := n 2 + 1, allora a n + b n ( 1 infatti n n = n 2 n ) n }{{ 2 + ( 1) = } (0 1+0) a n := n 3 +, b n := n 2 + 1, allora a n + b n + ( infatti n3 n = n n + 1 ) n }{{ 3 + (1) = + } (1 0+0) Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

15 Forme indeterminate:esempi Dunque a seconda dei casi + = 1/ / +. Stesso discorso per le forme tipo prodotto: a n := n +, b n : 1 n 0, allora a nb n = 1 1 a n := n +, b n := 1 n 2 0, allora a nb n = 1 n 0 a n := n 2 +, b n := 1 n 0, allora a nb n = n + e quindi, a seconda dei casi + 0 = 1/0/ + (ma può fare qualsiasi cosa e anche non esistere). Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

16 Limiti per eccesso/ per difetto Definizione Sia {a n } una successione el un numero reale. Diciamo che che {a n } tende a l per eccesso (risp. per difetto), o anche tende a l più (risp. l meno) e scriviamo SE ( risp. ( risp. lim a n = l + o anche a n l + n + ) lim a n = l + o anche a n l + n + lim a n = l n + lim a n = l n + e definitivamente a n > l ) e definitivamente a n < l NOTA: Nel libro la definizione è leggermente più debole (a n l + se a n l e definitivamente a n l). Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

17 Operazioni con i limiti infiniti - continuazione Sia {a n } una successione. 1 Se a n +, allora 1 a n Se a n, allora 1 a n 0 3 Se a n 0 +, allora 1 a n + 4 Se a n 0, allora 1 a n 5 a n +, allora 1 a n 0 6 Se a n 0 e definitivamente a n 0, allora 1 a n + Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Sesta lezione 23 ottobre / 20

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