Introduzione al metodo assiomatico nella Geometria

Transcript

1 Introduzione al metodo assiomatico nella Geometria 1 Introduzione Consideriamo la seguenti proposizione: Sopra una determinato segmento si può costruire un triangolo equilatero Si fa un affermazione e si usano una serie di termini che stanno ad indicare qualcuno degli oggetti geometrici che compaiono nei nostri ragionamenti sulla geometria: Segmento Triangolo Se dobbiamo arredare un appartamento dobbiamo conoscere i vari oggetti che dobbiamo usare: Le sedie Il porta ombrelli La poltrona

2 Allo stesso modo per poter parlare di geometria dobbiamo conoscere tutti gli oggetti geometrici che andiamo ad usare che in questo caso chiamiamo Enti geometrici. È difficile dare una definizione dei vari enti geometrici che usiamo nei nostri ragionamenti ma è importante riconoscerli è intendersi quando li incontriamo di volta in volta. Ad esempio se guardiamo la seguente figura: Tutti siamo in grado di dire che cos è una retta anche se è difficile definirla a parole semplici Provate ciascun a darne una definizione a parole e controlliamo se effettivamente tutte le definizioni coincidono.. Euclide, scienziato ellenico vissuto tra il 367 a.c e il 283 a.c per primo raccolse in un'unica opera in tredici volumi denominata Gli elementi la maggior parte dei risultati ottenuti dai greci nel campo della geometria. I primi sei volumi dell opera parlano della geometria piana, i successivi quattro dei rapporti tra grandezze e gli ultimi tre della Geometria solida.

3 Euclide viene rappresentato nella Scuola di Atene del 1509 di Raffaello Sanzio Come prova Euclide a definire nella sua opera i vari enti geometrici? Facciamo una carrellata delle varie definizioni proposte dallo scienziato e dei vari termini che va ad usare: Il punto La linea Il punto è ciò che non ha parti La linea è una lunghezza senza larghezza gli estremi della quale sono due punti. La linea retta La linea retta è la più breve estensione da un punto ad un altro La superficie La superficie è quella parte di spazio che ha solamente lunghezza e larghezza i termini della quale sono linee La superficie piana La superficie piana è la più piccola estensione compresa tra una linea e l altra L angolo L angolo è la parte di piano compresa tra due linee incidenti Angolo rettilineo Se l angolo è contenuto da due linee rette si chiama angolo rettilineo.

4 Angoli retto Quando una linea retta sta sopra un'altra retta e gli angoli che forma sono uguali allora questi angoli si chiamano angoli retti Linee perpendicolari Quando una linea retta sta sopra un'altra retta e gli angoli che forma sono uguali allora le due rette si dicono perpendicolari Angolo ottuso Se un angolo è maggiore di un angolo retto si dice ottuso Angolo acuto Se un angolo è minore di un angolo retto si dice acuto Il Cerchio Il Cerchio è una figura piana contenuta da una sola linea chiamata circonferenza in mezzo alla quale c è un punto dal quale tutte le linee rette che escono da esso e arrivano alla circonferenza sono fra loro uguali; tale punto è detto centro del cerchio. Il Triangolo equilatero Delle figure trilatere quella con tre lati uguali è detta triangolo equilatero, quella con due lati uguali è detta triangolo isoscele e quella con tre lati diseguali è detta triangolo scaleno. Osserviamo come vengono confusi da Euclide concetti come segmento e linea, e come ancora non vengono ben definiti concetti come la retta intesa come linea infinita. Tornando alla proposizione iniziale ci possiamo chiedere se l affermazione sul triangolo sia da prendere per buona o meno. Chi ci dice che sia vera? L affermazione è da considerarsi vera se è stata fatto un ragionamento che ci garantisce sulla veridicità delle nostre affermazioni. In Matematica (Geometria) ci sono delle affermazioni che prendiamo per buone e che chiamiamo assiomi (o postulati in geometria) a partire dalle quali dimostriamo attraverso il ragionamento altre proposizioni che chiameremo Teoremi.

5 Possiamo paragonare gli assiomi o postulati ai mattoni di una casa e i teoremi alle varie parti della casa costruite con i mattoni. I Greci furono i primi a riconoscere la necessità di un tale modo di procedere attraverso le dimostrazioni per non lasciarsi ingannare da false evidenze. Osserviamo i due dischi centrali nella figura sottostante. In apparenza sono diversi ma in realtà sono uguali; il semplice intuito ci ha giocato un brutto scherzo! L osservazione precedente ci fa capire l importanza della necessità di dimostrare le cose in maniera rigorosa. Ricapitolando, le caratteristiche di un teorema sono: Teorema Ipotesi Sono le affermazioni considerate vere che possono essere o assiomi o altri teoremi già dimostrati Dimostrazione È il ragionamento che ci permette di dedurre una certa affermazione Tesi È la nuova affermazione da provare Tornando all esempio iniziale: Sopra una determinato segmento si può costruire un triangolo equilatero Ipotesi: Abbiamo un determinato segmento Tesi: Su tale segmento possiamo costruire un triangolo equilatero. Nella sua opera Euclide parte da una serie di assiomi validi in generale che chiama nozioni comuni e da cinque postulati:

6 Nozione comune I Cose uguali a una terza cosa sono uguali tra loro Nozione comune II Se a cosa uguali sono addizionate cose uguali le totalità sono uguali Nozione comune III Se a cose uguali sono sottratte cose uguali i resti sono uguali Nozione comune IV Se possiamo portare una cosa su un'altra in maniera tale che l una non ecceda l altra allora queste due cose sono uguali Nozione comune V Il tutto è maggiore della parte Postulato I Per due punti distinti passa una e una sola linea retta Postulato II Ogni linea retta si può prolungare indefinitamente in ogni direzione Postulato III Si può descrivere un cerchio con un centro e un raggio qualsiasi Postulato IV Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro Postulato V Supponiamo che una linea retta incontri altre due linee rette, allora queste si incontreranno da quella parte in cui l intersezione con la prima retta forma due angoli minori di due retti. Finalmente possiamo dimostrare la proposizione di cui sopra che è anche la prima proposizione del primo libro degli elementi di Euclide; osserviamo come per i greci ogni qual volta parliamo di costruzione intendiamo costruzioni con riga e compasso.

7 Proposizione I Sopra una data linea retta si può costruire un triangolo equilatero Dimostrazione: Consideriamo una linea retta ab (segmento ab ). Sopra tale retta possiamo costruire un cerchio centrato in a e raggio ab e similmente un cerchio centrato in b e raggio ab per il postulato III. d f a b h I due cerchi si intersecano in due punti e sia d uno di essi. Ora ad ab e ab bd per definizione di cerchio; ma allora avremo che ad db per la nozione comune I e quindi abbiamo costruito un triangolo equilatero sopra retta ab (segmento ab ). 2 Alcune definizioni sui teoremi e i metodi di dimostrazione E opportuno dare qualche definizione sui teoremi e i metodi di dimostrazione usati sugli elementi di Euclide e in generale su tutta la matematica. Sappiamo che un teorema è una proposizione costruita a partire da una ipotesi I per arrivare a una tesi T; possiamo scrivere in maniera simbolica T I che si legge T implica I e chiamiamo questo il teorema diretto. Per dire che non è vero T scriviamo T (negazione di T) Diamo le seguenti definizioni: T I Teorema inverso (La tesi implica l ipotesi) T I Teorema contronominale (La negazione della Tesi implica la negazione dell ipotesi) I T Teorema Contrario (La negazione dell ipotesi implica la negazione della tesi) Osserviamo che se un teorema è vero allora è vero anche il suo contronominale e viceversa. Diamo comunque un esempio pratico. Esempio: Supponiamo che il teorema diretto sia dato dalla seguente proposizione: Se n è un numero primo maggiore di 2 allora è dispari

8 I(Ipotesi) -> n è un numero primo maggiore di 2 T(Tesi) -> n è dispari Allora avremo: Teorema inverso: T I Se n è dispari allora n è un numero primo maggiora di 2. Tale affermazione è falsa!! Teorema Contronominale: T I Se n non è dispari allora non è un numero primo maggiore di 2. Tale affermazione è vera!! Teorema Conntrario: I T Se n non è un numero primo maggiore di 2 allora non è dispari. Tale affermazione è falsa!! Condizione necessaria e sufficiente In un teorema abbiamo una ipotesi che implica la tesi ad esempio Se n è un numero primo maggiore di 2 allora è dispari Se n è un numero primo maggiore di 2 allora sicuramente esso è dispari e allora diciamo che l essere un primo maggiore di 2 è una condizione sufficiente affinché esso sia dispari. Viceversa se esso non è dispari sicuramente non è un primo maggiore di 2, per cui l essere un numero primo dispari è una condizione necessaria affinché esso sia un numero primo maggiore di 2.Spesso per dire che A B e B A scriviamo A B (A se e solo se B) e diciamo anche che condizione necessaria e sufficiente affinché si verifichi A è che si verifichi B. Ad esempio per dire che allo stesso tempo valgono i due teoremi diretto ed inverso: Se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti allora sono parallele Se due rette sono parallele formano con una trasversale angoli alterni interni congruenti Esprimiamo questi due teoremi con l unica proposizione: Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che esse formino con una trasversale angoli alterni interni congruenti 3 La dimostrazione per assurdo Una tecnica spesso usata negli Elementi di Euclide e in tutta la matematica è la così detta dimostrazione per assurdo.

9 Essa segue il seguente procedimento: Si suppone falsa la tesi Si fanno delle deduzioni Si giunge a un risultato contraddittorio Dalla contraddizione si può dedurre che la tesi è vera Supponiamo di voler dimostrare che 2 è un numero irrazionale. Adottiamo il metodo di dimostrazione per assurdo e supponiamo quindi che 2 è un numero razionale ed è quindi esprimibile come una frazione 2 = m con m ed n interi. Ma allora avremo n che m = n 2 e ancora che m 2 = 2n 2. Ora in qualunque quadrato di un numero intero 2 compare un numero pari di volte nella decomposizione in fattori primi e quindi dall uguaglianza di cui sopra arriviamo a concludere che allo stesso tempo 2 compare un numero pari e un numero dispari di volte nella decomposizione in fattori primi di m 2 che è evidentemente un assurdo!!! Quindi possiamo concludere che 2è un numero irrazionale.