Le Dimostrazioni Matematiche. Dimostrazioni Dirette. Alcune definizioni

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1 Le Matematiche Una proposizione matematica é una qualunque frase (che, ovviamente, riguarda la matematica) di cui sia possibile dire se vera o falsa Ad esempio: Tutti i triangoli sonon rettangoli É una proposizione, ovviamente falsa I numeri interi possono essere pari o dispari É una proposizione vera Aggiungere tre ad entrambi i membri dell equazione Non é una proposizione perché non é possibile dire se sia vera o falsa Tra tutte le proposizioni, quelle che sono vere e si può verificare che sono vere sono dette teoremi Dimostrare un teorema significa provare che esso é vero mediante un ragionamento logico La maggior parte dei teoremi che dimostreremo sono nella forma P = Q Passiamo in rassegna le principali tecniche di dimostrazione a nostra disposizione Dirette La prima tecnica che analizzeremo é quella della dimostrazione diretta: Dobbiamo dimostrare la proposizione: se P allora Q Lo schema risolutivo della dimostrazione diretta é molto semplice: dobbiamo riempire le righe tra la prima e l ultima: utilizziamo la definizione di numero dispari per x e per x 2 : Proposizione: se x é dispari allora x 2 é dispari Dimostrazione: Suppongo x dispari x = 2a + 1, a Z quindi x 2 = 2b + 1, b Z quindi x 2 é dispari Nota he abbiamo usato due numeri a e b interi,perché saranno generalmente diversi Dobbiamo ora passare dalla prima all ultima proposizione: Proposizione: se x é dispari allora x 2 é dispari Dimostrazione: Suppongo x dispari x = 2a + 1, a Z x 2 = (2a + 1) 2 = 4a 2 + 4a + 1 Proposizione: se P allora Q Dimostrazione: suppongo P quindi Q Diamo un esempio di tale tipologia di dimostrazione: Proposizione: se x é dispari allora x 2 é dispari Dimostrazione: Suppongo x dispari quindi x 2 é dispari pongo 4a 2 + 4a = 2b, con b Z quindi x 2 = 2b + 1, b Z quindi x 2 é dispari Alcune definizioni Prima di proseguire con altri esercizi ecco alcune definizioni che potranno esservi utili nelle prossime dimostrazioni: Def 1: un intero x é pari se x=2a per qualche a Z Def 2: un intero x é dispari se x=2a+1 per qualche a Z Def 3: Dati due interi, a e b, a si dice divisore di b, oppure b multiplo di a, se: b = k a, per qualche k Z Il simbolo utilizzato per esprimere questa relazione tra i due numeri interi a e b si indica con a b (ad es 5 20) 1

2 Def 4: Dati due interi, a e b, a si dice congruente b modulo n (oppure congruo b modulo n), con n N e si scrive a b (mod n) se n (a b), ovvero se il resto della divisione per n di a e b é identico Ad es 5 e 9 sono congruenti modulo 2, ossia 5 9 (mod 2), infatti 2 (5 9), ed anche il resto della divisione per 2 é per entrambi 1 Esercizi Ecco alcuni esercizi da risolvere mediante la tecnica della dimostrazione diretta: per contrapposizione La dimostrazione per contrapposizione considera che l implicazione P = Q é vera anche quando é falsa la Q e da ciò si ricava falsa anche la P Notate che il simbolo che rappresenta la negazione di P é P Quindi si procederà come segue: 1 se k = 4a allora k = 1 + ( 1) n (2n 1) 2 se a b allora a 2 b 2 3 se 7 4a allora 7 a Soluzione: 7 é divisore di 4a, quindi 4a = b 7, con b intero Quindi: 2 2a = b 7 bdeve essere pari, dovendo il suo prodotto con 7 essere uguale ad un numero pari Quindi: Proposizione: se P allora Q, cioè se Q allora P Dimostrazione: suppongo Q quindi P 2 2a = 2 c 7 ossia 2a = c 7 Anche in questo caso c deve essere pari, e quindi: 2 2a = 2 d 7 con d Z semplificando ulteriormente si ha: a = d 7 e quindi 7 a 4 Il numero , con 3n 1 zeri, n intero positivo, non é primo Alcune dimostrazioni richiedono l analisi di più casi, come nell esempio sotto riportato: siano x, y R Se x 2 + 5y = y 2 + 5x, allora x = y oppure x + y = 5 Infatti, riscrivendo l ipotesi: x 2 y 2 = 5(x y), quindi (x y)(x + y) = 5(x y), osservo che, se: x = y, 0 = 0, verificato e quindi corretto x y allora posso dividere per (x y) e risulta: x + y = 5 5 Se n Z allora n 2 + 3n + 4 é pari Vediamo un applicazione della tecnica: Proposizione Supponi x Z Se x 2 6x+5 é pari, allora x é dispari Procediamo con la prova per contrapposizione, prima partendo dalla tesi negata, ossia che x sia pari, e derivando da ciò che la negazione della tesi, ossia x 2 6x + 5 é dispari: Proposizione: se x 2 6x + 5 é pari, allora x é dispari Dimostrazione: Suppondo x pari quindi x 2 6x + 5 é dispari Dobbiamo adesso completare i passaggi logici che portano dalla prima proposizione all ultima: 2

3 Dimostrazione: Suppondo x pari x = 2a, per a Z Quindi x 2 6x + 5 = 4a 2 12a + 5 = = 4a = 2(2a 2 6a + 2) + 1 Esercizi Quindi x 2 6x + 5 = 2b + 1, con b, intero, uguale a 2a 2 6a + 2 quindi x 2 6x + 5 é dispari 1 Supponi x, y R Se y 3 +yx 2 x 3 +xy 2, allora y x 2 Supponi x, y Z Se 5 xy allora 5 x e 5 y NOTA: in questo caso la tesi richiede che due affermazioni valgano contemporanemente: 5 x 5 y La negazione di tale proposizione é che: 5 x oppure 5 y, cioé può valere solo una delle due affermazioni negate Nella dimostrazione si dovrá procedere, quindi, per casi: caso 1, 5 x, caso 2, 5 y 3 Supponi n Z + Se n (mod 4) é 2 o 3, allora n non é un quadrato perfetto per assurdo La dimostrazione per assurdo può darsi in due modi: per dimostrare una semplice proposizione (as es 2 é irrazionale) parto negando la proposizione P e concludo che vale contemporaneamente una proposizione C ed il suo opposto, ossia un assurdo: Proposizione: P Dimostrazione: suppongo P quindi C C se la dimostrazione richiede una proposizione condizionale, del tipo se P = Q, allora si parte assumendo P vero e Q falso per concludere, ancora una volta, C C, cioé un assurdo Proposizione: se P = Q Dimostrazione: suppongo P e Q quindi C C diamo un esempio per entrambe le tipologie: Esempio 1: Ci sono infiniti numero primi Dimostrazione: Supponiamo che i numeri primi siano finiti Allora essi sono: p 1, p 2, p 3,, p n Adesso consideriamo il numero a = (p 1 p 2 p 3 p n )+ 1 dato dal prodotto di tutti i numeri primi piú 1 Ora, a, non essendo primo per l ipotesi da noi scelta, ha almeno un divisore tra i numeri primi, chiamiamolo p k ; si ha, quindi, a = c p k, e quindi: c p k = (p 1 p 2 p 3 p k 1 p k p k+1 n) + 1 Divido entrambi i membri per p k, ottenendo: quindi: c = (p 1 p 2 p 3 p k 1 p k+1 n) + 1 p k c (p 1 p 2 p 3 p k 1 p k+1 n) = 1 p k Il termine a sinistra dell uguale é un intero, il termine a destra é razionale, sicuramente non é un intero Siamo giunti quindi ad un assurdo, per cui il nostro punto di partenza deve essere falso: esistono finiti numeri primi Quindi abbiamo dimostrato che esistono infiniti numeri primi Esempio 2: se a, b Z e a 2, allora a b oppure a (b + 1) Dimostrazione: Supponiamo vera la tesi e neghiamo l ipotesi, cioé supponiamo che esistano a, b Z, con a 2 per i quali non é vero che a b oppure a (b + 1) Dobbiamo porre particolare attenzione alla negazione della tesi: essa riguarda due proposizioni, almeno una delle quali deve essere vera Il suo contrario é, allora che nè una nè l altra siano vere: deve essere a b e a (b+1) Adesso partiamo con la dimostrazione: a b e a (b + 1) significa che b = ac e b + 1 = ad, con c, d Z Sottraggo le due equazioni: ad ac = 1, cosí a(d c) = 1; sia a sia d c devono essere positivi, quindi: a = 1 (d c) < 2; siamo arrivati alla conclusione che a < 2, ma anche a 2 (per ipotesi) Assurdo 3

4 Dimostrazione per induzione L induzione matematica consente di dimostrare che una serie di proposizioni P 1, P 2, P 3, P n, sono tutte vere Per comprendere la tecnica si fa spesso uso dell immagine del domino: ogni proposizione rappresenta una pedina del domino Si parte dimostrando che la prima proposizione (cioè la prima pedina) é vera (cioé la pedina é fatta cadere); si passa a dimostrare che, essendo vera una qualunque proposizione P k, da ciò segue che anche la proposizione successiva P (k+1) é vera (nell esempio del domino: la pedina S k cadendo, fa cedere la pedina successiva S (k+1) La conclusione é che tutte le proposizioni risultano vere (cioé tutte le pedine cadranno) = k 2 + 2(k + 1) 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 Abbiamo quindi dimostrato che S k = S (k+1) e quindi la proposizione iniziale é dimostrata Esercizi 1 Dato n N, si ha che n = n 2 + n 2 2 Dato n N, n(n+2) = x(n + 1)(2n + 7) 6 3 Dato n N, si ha che 6 (n 3 n) Ripasso (veloce) di geometria Punti notevoli di un triangolo Circocentro: punto di intersezione degli assi Centro della circonferenza circoscritta Incentro: punto di intersezione delle bisettrici Centro della circonferenza inscritta Baricentro: punto di intersezione delle mediane Il baricentro divide ogni mediana in due parti, delle quali quella che contiene il vertice, é il doppio dell altra Vediamo un esempio di dimostrazione: Esempio 1: La somma dei primi n numeri dispari: (2n 1) = n 2 Dimostrazione: Partiamo dalla verifica che la proposizione da dimostrare vale per n = 1, per il quale si deriva 1 = 1 2, che é vero Assumiamo vera la proposizione S k, cioé: (2k 1) = k 2 A questo punto dobbiamo dimostrare che la proposizione S (k+1) é vera, cioé: (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2 Si ha che: (2(k + 1) 1) = = (2k 1) + (2(k + 1) 1) = per l ipotesi induttiva, la prima parte della somma é pari a k 2, cioé: k (2k 1) +2(k+1) 1 = punto di intersezione delle al- Ortocentro: tezze Poligoni inscrivibili e circoscrivibili in una circonferenza Un quadrilatero é inscrivibile in una circonferenza se i suoi angoli opposti sono supplementari Un quadrilatero é circoscrivibile ad una circonferenza se la somma dei due lati opposti é congruente alla somma degli altri due Poligoni regolari Un poligono é regolare se ha lati ed angoli uguali Ogni poligono regolare é inscrivibile e circoscrivibile 4

5 Circonferenza Ogni angolo alla circonferenza é congruente alla metà dell angolo al centro che insiste sullo stesso arco Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti Archi congruenti sottendono corde congruenti Corde congruenti hanno stessa distanza dal centro Teorema di Talete Se un fascio di rette parallele é tagliato da due trasversali 1 a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra 2 alla somma di due segmenti su una trasversale corrisponde la somma di due segmenti sull altra 3 a segmenti non congruenti su una trasversale corrispondono segmenti non congruenti sull altra I poligoni in ogni poligono ciascun lato é minore della somma degli altri Febbraio 2008 Sia AB una corda di una circonferenza e P un punto interno ad AB tale che AP = 2PB Sia DE la corda passante per P e perpendicolare ad AB Dimostrare che il punto medio Q di AP é l ortocentro di ADE Sia H il punto in cui la retta EQ interseca AD; si deve dimostrare che l angolo AĤE é retto Tracciamo il segmento BE Il triangolo BQE é isoscele perché l altezza EP é anche mediana; infatti P, piede dell altezza EP, é punto medio di BQ in quanto PQ = 1 1 AP = PB EP é pertanto anche 2 bisettrice dell angolo BÊQ, ossia i due angoli PÊQ, PÊB sono congruenti Poi, sono congruenti gli angoli DÊB, DÂB perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco; segue che sono congruenti gli angoli PÊQ, DÂP I triangoli AHQ, EPQ hanno dunque gli angoli in A e in E congruenti; ancora, sono congruenti i rispettivi angoli con vertice in Q, perché opposti al vertice I triangoli AHQ, EPQ sono pertanto simili, ed in particolare sono congruenti gli angoli con vertici in P e H Poiché l angolo E ˆPQ é retto per costruzione, é retto anche l angolo AĤE come si voleva dimostrare E La somma degli angoli interni di un poligono convesso é congruente a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati meno due poligoni sono congruenti se hanno lati ed angoli ordinatamente uguali B P Q A Primo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto é medio proporzionale tra l ipotenusa e la sua proiezione sull ipotenusa D H Secondo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa é media proporzionale tra i due segmenti in cui essa divide l ipotenusa Geometriche Febbraio 2007 É data una circonferenza di diametro AB e centro O Sia C un punto sulla circonferenza (diverso da A e da B), e si tracci la retta r parallela ad AC per O Sia D l intersezione di r con la circonferenza dalla parte opposta di C rispetto ad AB a Dimostrare che DO é bisettrice di C ˆDB 5

6 b Dimostrare che il triangolo CDB é simile al triangolo AOD a Abbiamo AĈD = C ˆDO, perché alterni interni rispetto alle parallele AC e DO; inoltre AĈD =A ˆBD dato che insistono sullo stesso arco di circonferenza a se EÂD = 90 allora BC é parallelo a AD b se EÂD = FÂB = 90 allora ABCD é un parallelogramma c se ABCD é un parallelogramma allora EÂD = FÂB = 90 A O C Le presenti dispense, ad uso interno degli allievi del liceo Leo-Major, rappresentano l adattamento e la traduzione di alcune pagine del libro The book of proof, di Richard Hammack, della Viriginia Commonwelath University, liberamente scaricabile in internet D B Il triangolo ODB é isoscele, quindi i due angoli O ˆBD e O ˆDB sono congruenti Quindi O ˆDB=C ˆDO e quindi DO é bisettrice b Lasciamo a voi la dimostrazione, tenendo presente il seguente grafico: C A O D B Febbraio 2006 Sia ABCD un quadrilatero; chiamiamo E l intersezione (distinta da A) tra le circonferenze di diametri AB e AC ed F l intersezione (sempre distinta da A) tra le circonferenze di diametri AC e AD Dimostrare che: 6