Storia della matematica. Lezione 3. 5 Marzo Roma. Università di Roma. Lezione 3. Enrico Rogora. Da Pitagora ad Euclide

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1 Storia della matematica Università di Roma 5 Marzo Roma (UniRoma) 5 Marzo / 12

2 Fase eroica della matematica: Raramente uomini così sprovvisti di mezzi hanno affrontato problemi matematici di importanza così fondamentale. [Cfr. Boyer]. Temi dominanti. Teoria delle proporzioni. I tre problemi : quadratura del cerchio, trisezione dell angolo, duplicazione del cubo. Studio delle coniche. (UniRoma) 5 Marzo / 12

3 Metodo delle proporzioni Costruzione del quarto proporzionale dopo tre, Costruzione del medio proporzionale tra due. Metodo delle aree Applicazione parabolica delle aree Applicazione ellittica delle aree Applicazione iperbolica delle aree (UniRoma) 5 Marzo / 12

4 Quarto proporzionale a : b = c : x Soluzione con Talete [Euclide VII,12] La risoluzione mediante la sola teoria dell equivalenza [Euclide I.43, I.44] è una tappa importante del movimento di svincolo della teoria delle proporzioni che Euclide attua nei primi quattro libri. (UniRoma) 5 Marzo / 12

5 Medio proporzionale a : x = x : b La costruzione si basa sul teorema (di Euclide): l altezza relativa all ipotenusa di un triangolo rettangolo è media proporzionale tra la proiezione dei cateti sull ipotenusa. (UniRoma) 5 Marzo / 12

6 Applicazioni delle aree Applicazione parabolica delle aree. Data un area S, solitamente assegnata nella forma S = bc, con b e c segmenti dati, e un segmento a, determinare un segmento x tale che ax = bc. Dal punto di vista geometrico significa determinare il rettangolo su un segmento dato equivalente a un rettangolo assegnato. Dal punto di vista aritmetico si tratta di determinare due numeri di cui sia dato il prodotto e sia fissato uno di essi. Se, invece di dare una dimensione del rettangolo di data area si dà una relazione di primo grado tra le due dimensioni, il problema diventa di secondo grado. E precisamente si ha l applicazione ellittica se delle due dimensioni è data la somma, mentre si ha l applicazione iperbolica se delle due dimensioni è data la differenza. L applicazione delle aree viene generalizzata a parallelogrammi qualsiasi e viene risolta, in generale, nel libro VI (Proposizione VI.28, cfr anche [Giaq pp ]), utilizzando la teoria delle proporzioni e nel libro II per i rettangoli. L applicazione ellittica si può risolvere anche grazie alla proposizione II.5 [Euc, pp ] (UniRoma) 5 Marzo / 12

7 Elementi, II.5 Se si divide una retta in parti uguali e diseguali, il rettangolo compreso dalle parti diseguali della retta, insieme con la parte compresa fra i punti di divisione, è uguale al quadrato della metà della retta. Se la retta è AB, C il suo punto medio e D il suo ulteriore punto di divisione, posto AC=a e CD=b, allora AD=a+b e DB=a-b e quindi l asserto si legge (a + b)(a b) = a 2 b 2. Confronto tra algebra e algebra. (UniRoma) 5 Marzo / 12

8 I tre problemi : irrisolubili con riga e compasso Quadratura del cerchio Antifonte: [Giaq. p. 31]; Spirale di Archimede, quadratrice di Ippia, concoide di Nicomede [Boyer]. Quadratura delle lunule [Cfr. Giaq. p. 30]. Dinostrato, con la trisettrice di Ippia. Duplicazione del cubo Lettera di Eutocio [cfr. Giaq. p. 32]. Ippocrate, con due medie proprzionali in progressione continua. Menecmo, con le coniche. Eudosso e Nicomede (concoide), Apollonio (cissoide). Trisezione dell angolo Pappo, [Cfr. Giaq. p. 33]. Quadratrice di Ippia [Cfr. Giaq. pp ]. Critiche all uso della quadratrice [Cfr. Giaq. p. 36]. (UniRoma) 5 Marzo / 12

9 Trisettrice di Ippia o quadratrice di Dinostrato Equazione polare: 2r sin φ a = 2φ π. 7a/Quadratrix_animation.gif (UniRoma) 5 Marzo / 12

10 Spirale di Archimede Equazione polare: r = a + bθ (UniRoma) 5 Marzo / 12

11 Studio delle coniche Ippocrate osserva che per duplicare il cubo, basta risolvere una doppia proporzione a : x = x : y = y : 2a. Menecmo, per risolvere il problema di Ippocrate, inizia lo studio delle curve che si ottengono intersecando un cono retto con apertura pari a 45 con un piano perpendicolare a una delle sue generatrici: parabola. [Cfr. Boyer] (UniRoma) 5 Marzo / 12

12 Importanza di Platone e Aristotele per la matematica Platone assegna alla matematica grande importanza. Alla sua scuola si formano molti matematici (Eudosso, Menecmo e Dinostrato). Importanza delle dimostrazioni: dimostrazioni all indietro. Aristotele, studente di Platone, fu principalmente filosofo e biologo. Importanza delle dimostrazioni: dimostrazioni in avanti, regole della logica. dell infinito Platone Indivisibili Aristotele Infinito attuale vs infinito potenziale. La matematica può fare a meno dell infinito. (UniRoma) 5 Marzo / 12