PreCorso di Matematica - PCM CANALE M-Z settembre 2019

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1 PreCorso di Matematica - PCM CANALE M-Z settembre 2019 DOCENTE: M. Auteri

2 Concetto di equazione Equazione: Eguaglianza fra due espressioni algebriche che risulta verificata soltanto da particolari valori delle variabili in essa contenute. identità: l eguaglianza fra due espressioni algebriche che è verificata per qualunque valore delle variabili. Le variabili che compaiono nell equazione si chiamano incognite; le due espressioni algebriche che formano l equazione si chiamano membri (primo membro quello a sinistra del segno di eguaglianza e secondo membro quello a destra). Se l incognita non compare a denominatore l equazione si dice intera, altrimenti è detta frazionaria. Se al di fuori delle incognite l equazione contiene solo numeri si parla di equazione numerica, altrimenti si parla di equazione letterale.

3 Esempi di equazione La più generale equazione lineare (primo grado) in un incognita è del tipo Esempi: ax = b a 0 x 2 5x + 20 = 3x + 8; ax + 4 = a 2 2x La più generale equazione lineare in due incognite è del tipo: ax + by = c (a,b) (0,0) La condizione sui parametri a e b si può leggere dicendo che essi non sono mai contemporaneamente nulli. Esempio : 2x + 3y = 1

4 Risolvere equazione (continua) Soluzione: ogni insieme di valori delle incognite che rendono i due membri uguali. Se non ammette soluzioni l equazione è detta impossibile (es.: x 2 = 9). Se ammette infinite soluzioni l equazione è detta indeterminata (es.: x + y = 9). Se ammette un numero finito di soluzioni l equazione è detta determinata (es.: 2x = 6). Risolvere una equazione vuol dire trovarne tutte le soluzioni (cioè l insieme soluzione). Due equazioni algebriche nella stessa incognita si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni della prima equazione sono anche soluzioni della seconda e viceversa (cioè hanno lo stesso insieme soluzione) due equazioni equivalenti a una terza sono equivalenti fra loro. Procedimento di soluzione: trasformo una equazione in un altra equivalente ma più semplice.

5 Principi fondamentali sulle equazioni Ricordiamo che: Da a = b (segue che) a + c = b + c per ogni numero c. Da a + c = b + c a = b. Da a = b ac = bc. Da ac = bc ac = bc se c è diverso da zero.

6 Principi fondamentali sulle equazioni 1 Principio di addizione 2 Principio di trasporto 3 Proprietà di cancellazione 4 Principio di moltiplicazione e divisione

7 Principio di addizione data l equazione A(x) = B(x) (1) e indicata con M(x) una espressione algebrica nella variabile x che si possa calcolare per ogni valore della x...allora l equazione (1) è equivalente all equazione: A(x) + M(x) = B(x) + M(x)

8 Principi di trasporto Principio di trasporto: dal Principio di addizione consegue che se si trasporta un termine da un membro all altro, purché gli si cambi il segno, si ottiene un equazione equivalente alla data: Da: A(x) + C(x) = B(x) = A(x) = B(x) C(x) dal Principio di addizione consegue che si possono trasportare tutti i termini ne primo membro cosicché il secondo risulta zero: E(x) = 0

9 Proprietà di cancellazione Proprietà di cancellazione: dal Principio di addizione consegue che se un equazione contiene lo stesso termine in entrambi i membri questo può essere eliminato: Da: A(x) + C(x) = B(x) + C(x) = A(x) = B(x)

10 Principio di moltiplicazione e divisione Principio di moltiplicazione e divisione: data l equazione A(x) = B(x) (2) e indicata con M(x) una espressione algebrica nella variabile x che si possa calcolare per ogni valore della x e che non si annulli mai,... allora l equazione (2) è equivalente all equazione: A(x) M(x) = B(x) M(x) Il risultato vale anche se si moltiplicano entrambi i membri per un numero.

11 Principio di moltiplicazione e divisione dal Principio di moltiplicazione consegue che se i due membri di un equazione hanno un fattore numerico comune, diverso da zero, questo può essere soppresso. Es: l equazione 630x 2 420x = 105x 735 è equivalente a: 6x 2 4x = x 7 perché la seconda si ottiene dalla prima dividendo entrambi i membri per 105.

12 Principio di moltiplicazione e divisione dal Principio di moltiplicazione consegue che cambiando il segno a tutti i termini di un equazione se ne ottiene un altra equivalente alla data. Es: l equazione 2x 2 3x = 9 + x 7 è equivalente a: 2x 2 + 3x = 9 x 7

13 Principio di moltiplicazione e divisione Principio di moltiplicazione e divisione: dal Principio di moltiplicazione consegue che un equazione intera a coefficienti numerici si può trasformare in un altra equivalente in cui non compaiano denominatori moltiplicando ambo i membri per il minimo comune multiplo (m.c.m.): Es: l equazione 5x = 7x m.c.m.: 3 * 7* 2 = 42 è equivalente a: 14 5x = 7 7x che è equivalente a 70x 12 = 49x + 16

14 Forma normale e grado di un equazione in un incognita Un equazione si dice scritta in forma normale quando è scritta sotto la forma: P(x) = 0 Il grado del polinomio P(x) (potenza massima a cui è elevata l incognita) si chiama grado dell equazione.

15 L equazione lineare ad un incognita La più generale equazione lineare (primo grado) in un incognita è del tipo ax = b a 0 si tratta di un equazione intera, a coefficienti numerici, dove a e b sono numeri interi con a diverso da zero. Essa ammette sempre una e una sola soluzione, che si ottiene dividendo ambo i membri per a : x = b a

16 Soluzione di equazioni lineari, o di primo grado (continua) Quindi abbiamo la seguente regola per risolvere un equazione intera di primo grado in una incognita e a coefficienti numerici: 1 Si libera, quando sia il caso, l equazione dai denominatori moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori. 2 Si eseguono gli eventuali prodotti indicati. 3 Si trasportano tutti i termini contenenti l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo. 4 Si riducono, in ambi i membri, i termini simili. 5 Si dividono ambo i membri dell equazione per i coefficienti dell incognita. Esempio: 5x + 4 = 24 x =?

17 Soluzione di equazioni lineari, o di primo grado (esempio) Quindi data 5x + 4 = 24 3 Si trasportano tutti i termini contenenti l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo. x = Si riducono, in ambi i membri, i termini simili. 5x = 20 5 Si dividono ambo i membri dell equ. per i coefficienti dell incognita. 5x 5 = 20 5 x = 4

18 Premessa: equazioni a due incognite Se con A(x,y) e B(x,y) indichiamo due espressioni algebriche in x e y non fra loro identiche, una equazione nelle incognite x e y si può rappresentare come segue: A(x,y) = B(x,y) (3) Si chiama soluzione dell equazione (3) ogni coppia ordinata di numeri che, sostituiti rispettivamente a x e y fanno assumere alle due espressioni A(x, y) e B(x, y) valori uguali. Valgono per l equazione (3) le stesse definizioni date per le equazioni a una sola incognita (intera/frazionaria, numerica/letterale) e gli stessi principi (addizione, trasporto, moltiplicazione). L equazione (3) può essere scritta in forma normale: C(x,y) = 0 e il grado dell equazione è dato dal grado del polinomio C(x,y).

19 Premessa: equazioni a due incognite. Risoluzione La più generale equazione lineare in due incognite è del tipo: ax + by = c (a,b) (0,0) dove a, b, c indicano tre numeri dati. La condizione sui parametri a e b si può leggere dicendo che essi non sono mai contemporaneamente nulli. Una equazione di 1 grado in due incognite ammette sempre infinite soluzioni (cioè è risolta da infinite coppie di numeri sostituiti alle incognite). Per esempio l equazione 2x + 3y = 1 ha come soluzioni le coppie (0, 1 3 ),(1,0)( 1,1)... ecc. 2

20 Esempio di risoluzione di equazione a due incognite x e y: 3x 2y = 3x 3x 1 2y = 3x 1 2y 2 = 3x 1 2 y = 3x

21 Sistemi di di equazioni lineari in due incognite Sistema di due equazioni lineari (cioè di primo grado) in due incognite ax + by = p cx + dy = q Un sistema di equazioni consiste nella determinazione delle soluzioni comuni a due (o più) equazioni. Il grado del sistema di equazioni si ottiene dal prodotto dei gradi delle due equazioni: in questo caso si hanno due equazioni di primo grado e quindi il sistema è anche esso di primo grado. Si dice soluzione del sistema una coppia di reali che sia soluzione comune della prima e della seconda equazione (coppie di numeri che, sostituiti rispettivamente a x e y rendono soddisfatte entrambe le equazioni).

22 Sistemi di di equazioni lineari in due incognite I Sistemi di due equazioni che ammettono soluzioni si dicono compatibili: 1 { 2x + y = 1 x y = 2 ammette una sola soluzione (1, 1) e allora si dice determinato ; 2 { x 2y = 1 2x 4y = 2 infinite soluzioni e allora si dice indeterminato; 3 { x 2y = 1 2x 4y = 3 nessuna soluzione e allora si dice incompatibile, anche se di solito si usa il termine impossibile.

23 Metodi di soluzione 1 Metodo di sostituzione: 1 Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una incognita, per es. la y. 2 Si sostituisce l espressione così trovata al posto della y nell altra equazione. 3 Si risolve questa equazione rispetto all incognita x. 4 Il valore della y si ottiene sostituendo il valore della x nella rispettiva espressione prima trovata. { 2x + y = 1 x y = 2 { y = 1 2x x y = 2 { y = 1 2x x (1 2x) = 2 { y = 1 2x x = 1 { y = 1 x = 1

24 Metodi di soluzione 2 Metodo di confronto (caso particolare del precedente): 1 Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita, per es. la y. 2 Si seguono i passi 2, 3, 4 del metodo di sostituzione. { 2x + y = 1 x y = 2 { y = 1 2x y = x 2 1 2x = x 2 2x x = 2 1 x = 1 { y = 1 2(1) x = 1 { y = 1 x = 1

25 Metodi di soluzione 3 Metodo di Cramer: La regola di Cramer o metodo di Cramer è un teorema di algebra lineare, che prende il nome dal matematico Gabriel Cramer, utile per risolvere un sistema di equazioni lineari usando il determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione. Matrici: alcune definizioni Una matrice di numeri è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. Una matrice è rettangolare se il numero di righe m è diverso dal numero di colone n.

26 Le Matrici Matrici: alcune definizioni I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione avviene attraverso la loro posizione di riga e colonna. Il primo indice è l indice di riga mentre il secondo è l indice di colonna. gli elementi si indicano con il simbolo a ij dove il primo indice i indica la riga e il secondo j la colonna a cui l elemento appartiene. A(m,n) = a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n a i1 a i a ij... a in a m1 a m a mj... a mn

27 Le Matrici Matrici: alcune definizioni Il determinante è un numero che viene associato ad una matrice quadrata Una matrice è rettangolare se il numero di righe m è diverso dal numero di colone n. Se m = n la matrice si dice quadrata di ordine n. Un vettore riga è una matrice con una sola riga. Un vettore colonna è una matrice con una sola colonna.

28 Metodo di Cramer Si consideri il caso di due equazioni in due incognite: { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 che si può vedere come un equazione tra vettori: ( ) ( ) a11 a12 x 1 + x 2 = a 21 a 22 ( b1 b 2 )

29 Sistema con 2 equazioni e 2 incognite { ax + by = e cx + dy = f [ a b espresso in forma matriciale come: c d ][ ] x = y [ ] e f Il determinante D del sistema è il numero definito come segue: [ ] a b D = = ad bc c d

30 Analogamente possiamo scrivere altri due determinanti: Il Determinante Dx: e b f d = ed bf e il Determinante Dy: a c e f = af ec Riscriviamo le soluzioni del sistema utilizzando i determinanti: La soluzione (x,y) è data da: x = Dx D = e b f d ed bf a b = y = Dy ad bc D = a e c f af ec c d a b = ad bc c d

31 In sintesi il sistema ha un unica soluzione se e solo se il determinante D 0. Pertanto se: 1 D 0 la soluzione esiste: il sistema è determinato 2 Se D = 0, i casi sono due: 1 se Dx = 0 e Dy = 0, il sistema è indeterminato; 2 se Dx 0 e Dy 0 il sistema è impossibile.

32 ESEMPIO 2x2 { 5x + y = 2 2x y = 1 espresso in forma matriciale come: Calcoliamo il determinante del sistema: [ ] 5 1 D = = 5( 1) 1(2) = 5 2 = [ ][ x y ] = [ ] 2 1

33 Calcoliamo i Determinanti Dx e Dy: Dx = = 2( 1) 1( 1) = = 3; Dy = = 5( 1) ( 2)2 = = 1 La soluzione (x,y) è data da: x = Dx D = 3 7 = 3 7 y = Dy D = 1 7 = 1 7 Il sistema ha come soluzione la coppia ( 3 7, 1 7 )

34 Sistema con 3 equazioni e 3 incognite Analogamente, un sistema con 3 equazioni e 3 incognite: ax + by + cz = j dx + ey + f z = k gx + hy + iz = l pu ò essere scritto come prodotto fra matrici e vettori nel modo seguente: a b c d e f x y = j k g h i z l

35 Se la matrice 3 3 ha determinante diverso da zero, il sistema ha una sola soluzione (x, y, z) data da: j b c a j c a b j k e f d k f d e k l h i g l i g h l x = y a b c = z a b c = a b c d e f d e f d e f g h i g h i g h i

36 Sistema 3 x3: esempio numerico 2x y + 3z = 4 x + 3y z = 6 x + 5y 6z = 7 Per risolvere il sistema con il metodo di Cramer dobbiamo calcolare con la regola di Sarrus il determinante D dei coefficienti; se D 0, il sistema è determinato

37 e la soluzione è data dalla terna: x = Dx D y = Dy D z = Dz D

38 pertanto si ha: 2x y + 3z = 4 x + 3y z = 6 x + 5y 6z = 7 D =

39 Prepariamo una tabella ripetendo copiando a dx di D le sue prime due colonne: D = Sommiamo i prodotti diagonali rosse e sottraiamo i prodotti diagonali blu:

40 Sostituiamo in D la colonna dei coefficienti di x con quella dei termini noti; otteniamo: Dx = Calcoliamo Dx con la regola di Sarrus: quindi risulta x = Dx D = = 2

41 Sostituiamo in D la colonna dei coefficienti di x con quella dei termini noti; otteniamo: Dx = Calcoliamo Dx con la regola di Sarrus: quindi risulta x = Dx D = = 2

42 Sostituiamo in D la colonna dei coefficienti di x con quella dei termini noti; otteniamo: Dx = Calcoliamo Dx con la regola di Sarrus: quindi risulta x = Dx D = = 2

43 Sostituiamo in D la colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti; otteniamo: Dy = Calcoliamo Dy con la regola di Sarrus: quindi risulta y = Dy D = = 3

44 Sostituiamo in D la colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti; otteniamo: Dy = Calcoliamo Dy con la regola di Sarrus: quindi risulta y = Dy D = = 3

45 Sostituiamo in D la colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti; otteniamo: Dy = Calcoliamo Dy con la regola di Sarrus: quindi risulta y = Dy D = = 3

46 Sostituiamo in D la colonna dei coefficienti di z con quella dei termini noti; otteniamo: Dz = Calcoliamo Dz con la regola di Sarrus: quindi risulta z = Dz D = = 1

47 Sostituiamo in D la colonna dei coefficienti di z con quella dei termini noti; otteniamo: Dz = Calcoliamo Dz con la regola di Sarrus: quindi risulta z = Dz D = = 1

48 Soluzione del sistema è data dalla terna: x = Dx D = 2 2x y + 3z = 4 x + 3y z = 6 x + 5y 6z = 7 y = Dy D = 3 ( 2;3;1) z = Dz D = 1

49 Risoluzione dei sistemi lineari di tre o più equazioni Risolviamo con il metodo di sostituzione il seguente sistema lineare a tre equazioni in tre incognite: x y + z = 1 x + 2y z = 8 3x y + 2z = 3 Ricaviamo x dalla prima equazione: x = 1 + y z x + 2y z = 8 3x y + 2z = 3 e sostituiamola nella seconda e nella terza: x = 1 + y z 1 + y z + 2y z = 8 3( 1 + y z) y + 2z = 3

50 Risoluzione dei sistemi lineari di tre o più equazioni semplifichiamo le equazioni: x = 1 + y z 3y 2z = y 3z y + 2z = 3 x = 1 + y z 3y 2z = 9 2y z = 6 Ora, ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamola nella terza: x = 1 + y z y = 9 + 2z 3 2y z = 6 La terza equazione ha solo l incognita z, che può essere subito determinata: x = 1 + y z y = 9 + 2z z 3 z = 6 x = 1 + y z y = 9 + 2z z 3z = 18 x = 1 + y z y = 9 + 2z 3 z = 0

51 Risoluzione dei sistemi lineari di tre o più equazioni Il metodo di sostituzione Sostituiamo il valore trovato di z nella seconda equazione, per trovare y: x = 1 + y z y = = 3 3 z = 0 Sostituiamo i valori di y e z nella prima equazione, determinando così x: x = = 2 y = 3 z = 0 x = 0 y = 3 z = 0

52 Risoluzione dei sistemi lineari di tre o più equazioni Il metodo di eliminazione Consideriamo il seguente sistema: x + y + z = 0 x y z = 4 z + y z = 4 Notiamo che la prima e la seconda equazione hanno i coefficienti di y e z opposti; Possiamo quindi applicare il metodo di eliminazione a queste due equazioni, determinando così la prima incognita: (x + y + z) + (x y z) = x = 4 x = 2

53 Risoluzione dei sistemi lineari di tre o più equazioni Il metodo di eliminazione Anche la seconda e la terza equazione hanno i termini di x e di y opposti; applichiamo quindi l eliminazione anche alla seconda e alla terza equazione: (x y z) + ( x + y z) = 4 4 2z = 0 z = 0 Ora che conosciamo il valore di due delle tre incognite del sistema, per trovare la terza sarà sufficiente sostituire i loro valori in una delle equazioni del sistema, per esempio la prima: 2 + y + 0 = 0 x = 2 z = 0 y = 2 x = 2 z = 0

54 Equazioni esponenziali Si chiama equazione esponenziale ogni equazione in cui l incognita figura come esponente di una o più potenze. Il caso più semplice di equazione esponenziale è: a x = b che ammette una e una sola soluzione quando a e b sono numeri positivi e a 1. Per risolvere questa equazione usiamo i logaritmi. Prendiamo il logaritmo decimale di ambo i membri ottenendo: x loga = logb da cui si ottiene la soluzione: x = logb loga

55 Equazioni logaritmiche Un equazione si dice logaritmica quando in essa compare il logaritmo dell incognita o di qualche espressione contenente l incognita. Per risolvere una equazione logaritmica si cerca, servendosi delle proprietà dei logaritmi enunciate prima, di scrivere l equazione sotto la forma: loga(x) = logb(x) ove A(x) e B(x) sono espressioni algebriche che contengono l incognita x. I valori dell incognita che si cerca, dovendo rendere uguali i logaritmi delle due espressioni A(x) e B(x) dovranno soddisfare anche l equazione: A(x) = B(x)

56 Concetto di funzione Legame di corrispondenza reciproca tra variabili secondo regole determinate. y = variabile dipendente x = variabile indipendente f = legame funzionale y = f(x) Se: y = h(x) allora: a stessi valori di x corrispondono diversi valori di y perchè il legame funzionale è diverso. y può essere funzione di più (ad esempio n) variabili indipendenti: y = f(x 1,x 2,...,x n ) Ciascuna variabile indipendente è detta argomento della funzione.

57 Esempi di funzioni Il prezzo del biglietto ferroviario (p) è funzione della distanza in chilometri da percorrere (km): p = f(km) Es. p = 2 + 0,06 km cioè il prezzo è dato da un valore fisso, indipendente dalla distanza (2 euro) più il prodotto tra 6 centesimi di euro e il numero di chilometri. Il prezzo di una corsa in taxi invece dipende dalla distanza e dalla durata (m): p = f(km,m) p = 3 + 2,5 km + 0,3 m

58 Funzioni implicite Funzione implicita: non c è distinzione formale tra variabile dipendente e variabili indipendenti: F(x,y) = 0 Un esempio di funzione implicita è la spesa complessiva per l acquisto di un bene x da parte di un consumatore: S p x q x = 0 Posso esplicitare questa funzione considerando S come variabile dipendente: S = f(p x,q x )

59 Tipi di funzioni e loro rappresentazioni grafiche Funzioni lineari La funzione più semplici che cominciamo a considerare è: y = ax + b è definita lineare perché si rappresenta graficamente con una retta, dando ai parametri a e b valori numerici definiti. Si possono avere varie combinazioni: Supponiamo di avere: a 0 b 0 a = +4 b = +3 pertanto si avrà la seguente funzione lineare: y = 4x + 3

60 Per disegnare la funzione si costruisce una tabella in cui a ogni valore, arbitrario, di x corrisponde un valore di y ottenuto dalla funzione: y = 4x + 3 x y Y X

61 Si ripeta lo stesso procedimento per rappresentare graficamente le seguenti funzioni: y = 4x 3 y = 4x y = 4x 3 y = 4x Perchè i casi in cui a = 0 non ci interessano?

62 20 y = 4x

63 y = 4x

64 y = 4x

65 Equazioni di secondo grado Equazioni di secondo grado: ax 2 + bx + c = 0 ESEMPI 5x 2 + 2x 3 = 0 p 2 2 = 5p Profit (π) = aq 2 + bq + c x 2 + 2x x

66 Equazioni di secondo grado n una incognita La più generale equazione di secondo grado in una incognita è del tipo: ax 2 + bx + c = 0 Risolvere l equazione significa trovare il valore di x percui: Dimostrazione. ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = a (x 2 + ba x+ ) + c ( = a x 2 + b ( ) 2 ( ) 2 b b a x + +) + c 2a 2a ( = a x + b ) 2 ( ) 2 b a + c 2a 2a ( = a x + b ) 2 b2 4ac. 2a 4a continua...

67 Equazioni di secondo grado n una incognita Dimostrazione.... continua pertanto ax 2 + bx + c = 0 può essere riscritta come: ( a x + b ) 2 b2 4ac = 0, 2a 4a ( x + b 2a ) 2 = b2 4ac 4a 2. x + b 2a = ± b 2 4ac 2a x = b ± b 2 4ac 2a

68 Risolvere le equazioni di secondo grado... pertanto per risolvere l equazione si può ricorrere alla nota formula: x = b ± b 2 4ac 2a dove b 2 4ac è detto discriminante, Si possono avere 3 casi: 1 Se > 0 allora l equazione ha due soluzioni distinte: 1 x = b+ b 2 4ac 2a 2 x = b b 2 4ac 2a 2 Se = 0 allora l equazione ha una sola soluzione: 1 x = b 2a 3 Se < 0 allora l equazione non ammette soluzioni

69 Esempi x 2 3x + 2 = 0 x = 3± 9 8 = 3±1 2 2 x = b± b 2 4ac 2a soluzioni: 1 x = (3+1) 2 ; x = 2 2 x = (3 1) 2 ; x = x 2 3x x

70 Esempi: talvolta non vi sono soluzioni reali Se = 0 allora l equazione ha una sola soluzione: x 2 6x + 9 = 0 x = 6± = 6±0 2 2 x = b± b 2 4ac 2a 60 x 2 6x x = x

71 Esempi: talvolta non vi sono soluzioni reali Se < 0 allora l equazione non ammette soluzioni perché la radice quadrata di un numero negativo non è reale ): x 2 + x + 3 = 0 30 x 2 + x x = 3± 9 12 = 3± x! la radice quadrata di un numero negativo non è reale

72 Scomporre in fattori di grado minore Talvolta per trovare la soluzione il metodo più semplice consiste nello scomporre l espressione in fattori di grado minore x 2 3x + 2 = 0 equivale a (x 1)(x 2) = x 2 + x e le soluzioni sono: x = 1 2 x = 2 x 2 x 6 = 0 equivale a (x 3)(x + 2) = 0 x 20 x 2 x 6 10 e le soluzioni sono: 1 x = 3 2 x = x