Antonella Greco. Rosangela Mapelli

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1 Antonella Greco Rosangela Mapelli

2 Sommario SOMMARIO SOMMARIO... LA CIRCONFERENZA...4 Equazione della circonferenza...4 Raggio e centro della circonferenza...5 Retta tangente alla circonferenza...9 rocedimenti per trovare la tangente...0 metodo...0 metodo metodo... Condizioni generali per determinare l equazione di una circonferenza... osizioni di due circonferenze nel piano... LA ARABOLA...4 araola con vertice nell origine e asse coincidente con l asse y....6 Concavità della paraola...7 Equazione della paraola con asse parallelo asse y...8 Vertice, Fuoco e direttrice della paraola...8 Casi particolari...9 araola con asse di simmetria parallelo all asse x... Concavità paraola con asse parallelo asse x...3 Casi particolari...3 osizioni di una retta rispetto ad una paraola...4 Rette tangenti alla paraola Tutti i diritti riservati Via Tevere, Roma rima edizione

3 Sommario. Il punto è esterno alla paraola...6. Il punto appartiene alla paraola Il punto è interno alla paraola...6 Condizioni generali per determinare l equazione di una paraola...7 Segmento paraolico...7 DIMOSTRAZIONI...9 GLOSSARIO...3 FORMULARIO Tutti i diritti riservati Via Tevere, Roma rima edizione

4 Circonferenza REREQUISITI E OBIETTIVI LA CIRCONFERENZA Qual è 'l geomètra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige.. (Dante Alighieri) Se osserviamo questi oggetti suito notiamo che hanno tutti la forma di un cerchio, il contorno del cerchio è chiamato circonferenza, tutti i punti che stanno su questa linea chiusa hanno la caratteristica di avere la stessa distanza dal centro. Vogliamo trovare l equazione della circonferenza,curva che fa parte di un insieme di curve chiamate coniche. Definizione Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. Equazione della circonferenza Fissiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali e consideriamo un punto generico (x,y), vogliamo determinare l equazione della circonferenza di raggio r e di centro C(α,β). Dalla definizione di circonferenza deduciamo che il segmento C deve essere uguale al raggio r. C r calcoliamo la distanza d ( C) ( x α ) + ( y β ) e poniamo uguale a r : ( x α ) + ( y β ) r da cui ( x α ) + ( y β ) r che rappresenta l equazione della circonferenza. ESERCIZIO GUIDA 4

5 Circonferenza Raggio e centro della circonferenza Data l equazione ( x r x + y xα yβ + α + β r 0 poniamo a α ; β ; α ) + ( y β ) della circonferenza, sviluppando i calcoli otteniamo troviamo l equazione scritta in modo canonico: x + y + ax + y + c 0 con a,,c R c α + β ossiamo ricavare le coordinate del centro e l espressione del raggio in funzione dei parametri a,,c : ricaviamo da: a a α α β β α + r a r + c a + 4c c β r Generalizzazione L equazione x + y + ax + y + c 0 di secondo grado nelle incognite x e y è l equazione di una circonferenza di: centro a C, a e raggio r + c. Nell equazione di una circonferenza manca, sempre, il termine in xy e i coefficienti dei termini x e y sono uguali. Attenzione Un equazione di tipo x + y + ax + y + c 0 è un equazione della circonferenza se e solo se il raggio è una quantità reale positiva, cioè se a r + c > 0 a + c > 0. Se il raggio è nullo la circonferenza degenera nel punto C a, 5

6 Circonferenza osizioni particolari della circonferenza nel piano a 0 La circonferenza ha equazione: x + y + c 0 essendo a 0 0 il centro ha coordinate C(0,0) e coincide con l origine degli assi cartesiani, il raggio r c a c 0 La circonferenza ha equazione: x + y + x 0, il raggio è r, il centro appartiene all asse delle y e ha coordinate C(0,r) essendo a 0 r ed è tangente all asse delle x nell origine degli assi c0 La circonferenza ha equazione: x + y + ax 0, il a a raggio è r, il centro appartiene all asse delle x e ha coordinate C(r,0) essendo a 0 r ed è tangente all asse delle y nell origine degli assi 6

7 Circonferenza a 0 La circonferenza ha equazione: x + y + x + c 0, centro appartiene all asse delle y e ha coordinate C (0, ), essendo 0 e il raggio r c. 0 La circonferenza ha equazione: x + y + ax + c 0, il centro appartiene all asse delle x e ha coordinate a C (,0), essendo 0 e il raggio r a c c 0 La circonferenza ha equazione: x + y + ax + y 0, passa per l origine degli assi, il centro ha coordinate a C, e il raggio a r + ESERCIZIO GUIDA 7

8 Circonferenza Retta e circonferenza nel piano Una retta e una circonferenza nel piano possono incontrarsi: in due punti, in un solo punto o in nessun punto. Il verificarsi di uno qualsiasi di questi casi dipende dalla distanza a cui si trova la retta rispetto al centro della circonferenza. Osserviamo le immagini: La retta è secante, incontra la circonferenza in due punti, e la distanza CH è minore del raggio CA r cioè CH < r La retta è esterna, non incontra la circonferenza (caso ), se la distanza CH è maggiore del raggio CA r cioè CH > r La retta è tangente, incontra la circonferenza in un punto doppio (caso 3), se la distanza CH è uguale del raggio CA r cioè CH r er trovare i punti che hanno in comune la circonferenza e la retta doiamo risolvere il seguente sistema: x + y + ax + y + c 0 y mx + q L equazione risolvente è un equazione di secondo grado nella variaile x, le cui soluzioni dipendono dal delta o discriminante : Se > 0 ammette due soluzioni reali distinte e quindi la retta è secante Se < 0 non ammette soluzioni reali e quindi la retta è esterna Se 0 ammette due soluzioni reali coincidenti e quindi la retta è tangente Retta secante punti in comune con la circonferenza, distanza retta raggio d < r nell equazione risolvente > 0 Retta esterna nessuna punto in comune con la circonferenza, distanza retta raggio d > r nell equazione risolvente < 0 Retta tangente solo punto in comune con la circonferenza, distanza retta raggio d r nell equazione risolvente 0 8

9 Circonferenza ESERCIZIO GUIDA Retta tangente alla circonferenza Vogliamo calcolare le equazioni delle rette condotte per un punto x, y ), tangenti ad una circonferenza x + y + ax + y + c 0. ( Stailiamo innanzitutto se il punto è esterno, interno o appartiene alla circonferenza: conoscendo dove si trova il punto possiamo individuare quante sono le tangenti alla circonferenza che passano per quel punto. il punto è esterno alla circonferenza C, due tangenti il punto C alla circonferenza, una sola retta tangente il punto è interno alla circonferenza C, nessuna tangente Dato il punto x, y ) sostituiamo le sue coordinate nell equazione della circonferenza C ( x + y + ax + y + c 0 possiamo ottenere: un identità C un valore maggiore di zero è esterno alla C un valore minore di zero è interno alla C 9

10 Circonferenza rocedimenti per trovare la tangente er trovare l equazione della retta passante per x, y ) tangente alla circonferenza x + y + ax + y + c 0 possiamo procedere in diversi modi: ( metodo metodo algerico: imponendo la condizione di tangenza Troviamo l equazione del fascio proprio di rette che hanno come punto di sostegno il punto x, y ) y y m x x ) ( ( Mettiamo l equazione del fascio in sistema con l equazione della circonferenza, x + y + ax + y + c 0 y y m( x x ) Troviamo l equazione risolvente che è un equazione di secondo grado in x o in y, x + [ m( x x ) + y ] + ax + [ m( x x ) + y ] + c 0 Applichiamo la condizione di tangenza, cioè poniamo il 0 Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno: a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenza ) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza Sostituiamo i valori trovati nell equazione del fascio e determiniamo l equazione delle tangenti. metodo metodo geometrico: la distanza della retta dal centro è uguale al raggio della circonferenza Scriviamo l equazione del fascio che passa per il punto ( x, y ) y y ( ) m x x Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C(α,β) e il raggio a r + c. Calcoliamo la distanza del centro dal fascio, utilizzando la proprietà che la distanza tra la retta tangente e il centro della circonferenza è uguale al raggio oniamo la distanza trovata uguale al raggio della circonferenza: mα β mx + y d r m + Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno: a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenza; ) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza Sostituiamo i valori trovati nell equazione del fascio e determiniamo l equazione delle tangenti. 0

11 Circonferenza 3 metodo metodo geometrico: tangente e raggio sono perpendicolari Scriviamo l equazione del fascio che passa per il punto (, ) y y ( ) m x x Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C(α,β) Calcoliamo il coefficiente angolare m C della retta che passa per il punto, ) ( appartenete alla circonferenza, e per il centro C(α,β) Ricordando che la retta su cui giace il raggio e la retta tangente alla circonferenza sono perpendicolari calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente m Sostituiamo il coefficiente trovato nel fascio passante per ( x, y ) y y ( x x ) m 4 metodo metodo della regola dello sdoppiamento Scrivere l equazione della circonferenza x + y + ax + y + c 0 x + x Sostituire x xx, y yy, x y + y, y, si applica la regola dello x + x y + y sdoppiamento xx + yy + a + + c 0 Attenzione Il 3 e 4 metodo per la ricerca dell equazione della retta tangente alla circonferenza valgono solo se il punto appartiene alla circonferenza stessa C m C ESERCIZIO GUIDA Condizioni generali per determinare l equazione di una circonferenza L'equazione di una circonferenza x + y + ax + y + c 0 dipende dai tre parametri a,,c quindi per ricavare l'equazione doiamo avere tre relazioni indipendenti fra loro che ci permettano di determinare i parametri. Alcuni casi che possono presentarsi più frequentemente:. La conoscenza delle coordinate degli estremi del diametro equivale a tre condizioni. La conoscenza delle coordinate di un punto appartenente alla circonferenza rappresenta una condizione 3. La conoscenza delle coordinate del centro rappresenta due condizioni 4. La conoscenza delle coordinate di un punto di tangenza rappresenta due condizioni ESERCIZIO GUIDA

12 Circonferenza osizioni di due circonferenze nel piano Due circonferenze in un piano possono essere: secanti, tangenti sia internamente che esternamente, esterne, interne sia concentriche che non concentriche. Se conosciamo la posizione dei centri e la misura del raggio di ciascuna circonferenza possiamo stailire la loro posizione. Le circonferenze sono esterne, non hanno punti in comune Le circonferenze sono tangenti internamente, hanno un punto in comune D Le circonferenze sono secanti, hanno due punti in comune Le circonferenze sono tangenti esternamente, hanno un punto in comune D

13 Circonferenza Le circonferenze sono una interna all altra, ma non concentriche, non hanno punti in comune Le circonferenze sono una interna all altra e concentriche, non hanno punti in comune er stailire se due circonferenze C x + y + ax + y + c 0 e C x + y + a x + y + c 0 si x intersecano doiamo mettere in sistema le loro equazioni x + + y y + ax + y + c 0 + a x + y + c se a a e possiamo applicare il metodo della riduzione sottraendo memro a memro e otteniamo l equazione di una retta a a ) x + ( ) y + ( c c ) 0. Questa retta è chiamata ( asse radicale ed è perpendicolare alla retta congiungente i centri delle due circonferenze. Il sistema iniziale si è quindi ridotto a x + y + ax + y + c 0 ( a a ) x + ( ) y + ( c c ) 0 0 Se il sistema ammette due soluzioni distinte le circonferenze si intersecano Se il sistema ammette una soluzione le circonferenze sono tangenti Se il sistema non ammette soluzioni le circonferenze si non si intersecano ESERCIZIO GUIDA ESERCIZI FINE MODULO 3

14 araola LA ARABOLA È stato osservato che i corpi lanciati, ovverossia i proietti, descrivono una linea curva di un qualche tipo; però, che essa sia una paraola, nessuno l'ha mostrato. Che sia così, lo dimostrerò insieme ad altre non poche cose, né meno degne di essere conosciute..(galileo Galilei) Il percorso che compie un pallone lanciato dal calciatore, l acqua che zampilla dalla fontana, il proiettile sparato dal cannone, la pallina che rimalza, ha la stessa forma in tutti i casi, si tratta di una curva particolare che in matematica viene chiamata paraola che vuol dire "mettere accanto" Consideriamo un punto A nel piano cartesiano equidistante da un punto F e da una retta d, parallela all' asse x. Supponiamo che il punto A disti sia da F (-3, 4) che da d di equazione y-4, cioè la distanza di A da E sia. Spostiamo il punto E lungo la retta d e osserviamo il luogo che disegna il punto A 4

15 araola Come puoi osservare dalle immagini riprodotte, il punto A disegna una curva. Tale curva è un luogo geometrico ed è chiamato paraola Definizione Si definisce araola il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto Fuoco e da una retta d detta direttrice. ESERCIZIO GUIDA 5

16 araola araola con vertice nell origine e asse coincidente con l asse y. Consideriamo il punto generico appartenente all asse y F(0, p) e la retta d: y-p. Indichiamo con A (x; y) un punto generico del piano cartesiano. Il punto A deve essere equidistante da F e dalla retta d. Calcoliamo AH y + p, otteniamo x + + ( y p) y p eleviamo al quadrato entrami i memri x + y p y + p ( ) ( ) x + y py + p y + py + p x 4 py x Ricavando y otteniamo y 4 p oniamo a 4 p l equazione diventa y ax equazione della paraola con vertice nell origine Dalla relazione a 4 p ricaviamo p in funzione di a e determiniamo le coordinate del fuoco e l equazione della direttrice, F 0, e d: y. La paraola ammette asse di simmetria, in questo caso coincidente con l asse y, passante per il vertice e per il fuoco. 6

17 araola Concavità della paraola Osserva le paraole nella figura. ossiamo dedurre che: Hanno tutte la concavità verso l alto Il coefficiente a è positivo Al crescere del valore di a l apertura della paraola diminuisce Fig. Osserva le paraole nella figura. ossiamo dedurre che: Hanno tutte la concavità verso il asso Il coefficiente a è negativo Al decrescere del valore di a l apertura della paraola diminuisce Fig. Generalizzazione Se a>0 la paraola ha la concavità rivolta verso l alto, e al crescere di a la apertura diminuisce. Se a<0 la paraola ha la concavità rivolta verso il asso, e al decrescere di a l apertura diminuisce. ESERCIZIO GUIDA 7

18 araola Equazione della paraola con asse parallelo asse y Consideriamo la paraola con vertice nell origine di equazione y ax. rendiamo un punto nel piano V ( x v ; y v ) Applichiamo una traslazione di vettore OV, otteniamo un nuovo sistema di assi cartesiani XV Y. In tale sistema l equazione della paraola traslata, congruente a quella data, è Y ax Le equazioni della traslazione sono: X x xv Y y yv dimostrazione Sostituiamo nell equazione della paraola e troviamo la sua equazione rispetto al sistema xoy. y y a x y y y ( ) v x v v ax ax v v v ax x + ax v ax x + ax oniamo axv otteniamo c axv yv y ax + x + c y v equazione della paraola con asse parallelo all asse y. Vertice, Fuoco e direttrice della paraola Dalle equazioni axv c ax y v v axv c ax y v v x v a y a c v a determiniamo le coordinate del vertice. x v a y a v x v a c c y v 8

19 araola Le coordinate del vertice sono V ; a Il fuoco ha coordinate F ; a L asse di simmetria ha equazione La direttrice ha equazione x a + y Casi particolari Osserva la figura al lato. La paraola passa per l origine degli assi cartesiani. Le coordinate di O devono soddisfare l equazione della paraola y ax + x + c Sostituiamo e otteniamo: c 0. L equazione della paraola diventa y ax + x Osserva la figura a lato. La paraola ha il vertice sull asse y, conseguentemente l ascissa del vertice è nulla, quindi: a 0 0 Le coordinate del vertice sono V ( 0; c) e l equazione della paraola diventa y ax + c 9

20 araola 0

21 araola Osserva la figura al lato. La paraola ha il vertice nell origine. La paraola è passante per l origine e ha il vertice sull asse y contemporaneamente, quindi valgono le due condizioni 0 c 0. L equazione della paraola è y ax Taella Riassuntiva Equazione araola Generica nel piano y ax + x + V F ; a a ; c Vertice Fuoco araola con il vertice sull asse y araola passante per l origine + y direttrice; x asse di simmetria a y ax + c V ( 0; c) Vertice y ax + araola con il vertice nell origine y ax x ESERCIZIO GUIDA

22 araola araola con asse di simmetria parallelo all asse x Consideriamo la paraola di equazione y ax + x + c e la isettrice del I e III quadrante di equazione y x. Determiniamo la paraola simmetrica a quella data, rispetto a tale retta. Le equazioni della simmetria sono x y y x dimostrazione Applichiamole alla paraola e otteniamo x ay + y + c araola con asse di simmetria parallelo all asse x. Le coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni dell asse di simmetria e della direttrice si determinano applicando la medesima simmetria alle corrispondenti formule relative alla paraola con asse di simmetria parallelo all asse y, secondo la corrispondenza che segue: : V F ; a a ; il simmetrico rispetto alla isettrice yx è V il simmetrico rispetto alla isettrice yx è + y il simmetrico rispetto alla isettrice yx è x x il simmetrico rispetto alla isettrice yx è a y F a ; a ; a +

23 araola Concavità paraola con asse parallelo asse x Alla paraola con asse parallelo all asse y e concavità verso l alto corrisponde, nella simmetria rispetto alla isettrice del I e III quadrante, una paraola con asse parallelo all asse x e concavità rivolta verso destra. Generalizzazione se a>0 la concavità della paraola è verso destra se a<0 la concavità della paraola è verso sinistra Casi particolari er la paraola con asse parallelo all asse x valgono le medesime proprietà viste per la paraola con asse parallelo all asse y. Taella Riassuntiva Equazione araola Generica nel piano x ay + y + V F ; a ; a c Vertice Fuoco + x direttrice; simmetria y asse di a araola con il vertice sull asse x araola passante per l origine x ay + c V (c;0) Vertice x ay + araola con il vertice nell origine x ay y ESERCIZIO GUIDA 3

24 araola osizioni di una retta rispetto ad una paraola Una retta rispetto ad una paraola può essere: Secante, se retta e paraola si incontrano in due punti Tangente, se retta e paraola si incontrano in un punto Esterna, se retta e paraola non si incontrano in alcun punto er determinare la posizione della retta di equazione y mx + q rispetto alla paraola di equazione y ax + x + c isogna svolgere il sistema tra l equazione della retta e quella della paraola y y mx + q ax + x + c risolvendo si ottiene un equazione di secondo grado, per la quale si può verificare uno dei casi seguenti:. > 0, l equazione ammette due soluzioni reali e distinte. La retta incontra la paraola in due punti, quindi è secante.. 0 l equazione ammette due soluzioni coincidenti. La retta incontra la paraola in un punto, quindi è tangente. 3. < 0, l equazione non ammette soluzioni reali. La retta non incontra la paraola in nessun punto, quindi è esterna. 4

25 araola Taella riassuntiva Secante La retta incontra la paraola in due punti distinti. y mx + q y ax + x + c > 0 Tangente La retta incontra la paraola in un punto y mx + q y ax + x + c 0 Esterna La retta non incontra la paraola y mx + q y ax + x + c < 0 ESERCIZIO GUIDA 5

26 araola Rette tangenti alla paraola. Il punto è esterno alla paraola Data l' equazione di una paraola y ax + x + c e un punto A x, y ) esterno alla paraola, ( determinare le equazioni delle rette tangenti alla paraola passanti per A. er risolvere questo prolema doiamo procedere nel seguente modo: determinare il fascio di rette di centro A y y m( x ) x mettere in sistema l' equazione della paraola con il fascio proprio y y m( x x ) y ax + x + c si ottiene un' equazione di II grado. Ricordando che una retta è tangente ad una paraola quando il discriminante dell' equazione di II grado è nullo, poniamo la condizione otteniamo un equazione di II grado in m. Si risolve e si determinano i due valori di m che, sostituiti nell equazione del fascio daranno le due rette tangenti.. Il punto appartiene alla paraola Determinare l' equazione della retta tangente alla paraola di equazione punto A x, y ) ( y ax + x + c in un suo Determiniamo l' equazione del fascio di centro A y y m( x ) x il coefficiente angolare della retta tangente si trova con l equazione m + ax oppure si utilizza la regola dello sdoppiamento Equazione retta tangente in un punto appartenente alla paraola y + y x + x axx + + c dimostrazione 3. Il punto è interno alla paraola Se il punto è interno alla paraola non esistono rette tangenti alla paraola, ma solo secanti. ESERCIZIO GUIDA 6

27 araola Condizioni generali per determinare l equazione di una paraola L'equazione di una paraola, sia quella con asse parallelo all asse delle y, quella con asse parallelo all asse delle x, x ay + y + c y ax + x + c sia dipende dai tre parametri a,,c quindi per ricavare l'equazione doiamo avere tre relazioni indipendenti fra loro che ci permettano di determinare i parametri. Alcuni casi che possono presentarsi più frequentemente:. assaggio per tre punti. Conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco 3. Conoscenza delle coordinate del vertice e passaggio per un punto 4. Conoscenza delle coordinate del vertice e dell equazione della direttrice 5. assaggio per due punti e tangenza ad una data retta 6. Conoscenza dell equazione dell asse e della direttrice, e passaggio per un punto. ESERCIZIO GUIDA Segmento paraolico Teorema di Archimede (area del segmento paraolico) Consideriamo la paraola con vertice nell origine O (0,0) e che ha come asse quello delle ordinate y ax (a > 0); consideriamo una retta r parallele all asse delle ascisse che interseca la paraola nei punti A e B. Definizione La regione finita S del piano delimitata dall arco AVB di paraola e dal segmento AB viene detta segmento paraolico. Vogliamo trovare l area del segmento paraolico. Questa area S risulta uguale alla differenza tra l area del rettangolo AA BB e quella della regione delimitata dall arco A VB e dai segmenti AA, BB e A B, che per simmetria rispetto all asse delle y risulta doppia della regione T delimitata dall arco AV e dai segmenti AA e VA. I punti hanno coordinate: A( h; ah ), B ( h; ah ), A' ( h;0), B '( h;0) ; avremo: A A A S Dove A ( AA' BB') ( AA ' BB ') BB' A' B' h ah T ah er calcolare l area della regione T si può utilizzare o un metodo di approssimazione o un metodo mediante l integrale definito di 3 funzione, che dà come risultato 3 AT ah. 3 7

28 araola Troviamo perciò A del rettangolo AA BB S A( AA' BB') AT ah ( ah ) ah che non è altro che i dell area 3 Generalizzazione L area del segmento paraolico AVB è uguale ai 3 dell area del rettangolo AA BB (teorema di Archimede). Questo risultato vale anche quando la retta che interseca la paraola non è perpendicolare al suo asse. Consideriamo una paraola di equazione y ax + x + c e una generica retta r y mx + q che interseca la paraola nei punti A e B. Tracciamo la retta t tangente alla paraola e parallela alla retta r; tracciamo le proiezioni di A e B sulla retta tangente, l area del segmento paraolico ABV è uguale a 3 dell area del rettangolo AA BB ESERCIZIO GUIDA ESERCIZI FINE MODULO 8

29 Appendice - Dimostrazioni DIMOSTRAZIONI Dimostrazione: simmetria centrale Consideriamo il punto A,estremo del segmento AB ed M, punto medio di AB. Conosciamo il punto A di coordinate A x A, y ) e il punto M di coordinate ( A xa + xb y A + yb M,, vogliamo determinare le coordinate di B. Il punto B si troverà rispetto ad A, dalla parte opposta di M, e alla medesima distanza di A da M. M e' centro di simmetria tra A e B, cioe' B è il simmetrico di A rispetto ad M. Le equazioni di una simmetria centrale si possono quindi dedurre dalle equazioni per determinare il punto medio di un segmento. x y M M x y B B + x + y A A x y M M x y B B + + x y A A x y B B x M y M x y A A Generalizziamo Dato un punto A e un centro O di simmetria si può determinare il simmetrico di A rispetto ad O, tramite le equazioni di una simmetria centrale: s x A x A O ' A' y A' y O o x y A A torna su 9

30 Appendice - Dimostrazioni Dimostrazione: Traslazione Consideriamo un sistema di assi cartesiani xoy, un punto di coordinate x, y ) e un punto O di coordinate (a,). ( Trasliamo l origine O del sistema di assi cartesiani in O e otteniamo il sistema x O y. Determiniamo le coordinate di nel sistema traslato. Osservando la figura possiamo dedurre che: x' x a e y' y. Il punto nel nuovo sistema di assi cartesiani avrà coordinate ( x a, y ) Le equazioni della traslazione sono: τ O ' ' x' y' x y a Generalizziamo Se l'origine del nuovo sistema O ( a, ), valgono le relazioni: x 'Oy' ha, rispetto al primo, le coordinate x x' + a τ o anche τ y y' + x' x a y' y La traslazione di vettore v ( a, ) è data, quindi, dalle seguenti relazioni τ x y x' + a y' + torna su 30

31 Appendice - Dimostrazioni Dimostrazione: Regola dello sdoppiamento "Determinare l' equazione della retta tangente alla paraola di equazione y ax + x + c in un suo punto x ; y ) " ( Determiniamo l' equazione del fascio di centro y y m x ) e svolgiamo il sistema con l'equazione della paraola y y m( x x ) ax + y ax + x + c x + c mx mx + y ax ( x + ( m) x + c + mx Il punto appartiene alla paraola, quindi l' equazione di II grado ammette due soluzioni coincidenti con x x. er la relazione esistente tra le soluzioni di un' equazione di II grado e i suoi coefficienti sappiamo che: m x + x x ricaviamo m e otteniamo m + ax sostituiamo a a nell'equazione del fascio di rette y y ( + ax )( x x ) y y axx ax + x x Consideriamo la condizione di appartenenza di alla paraola moltiplichiamo entrami i memri per e otteniamo y y ax + x + + y ax + x c Sommiamo memro a memro y y axx ax + x x e y ax + x + c otteniamo y + y axx + x + x c raccogliamo e dividiamo per + y + y ax x + x + x che è l equazione per determinare la retta tangente in un punto appartenente alla paraola + c c 0 torna su 3

32 - Glossario Appendice GLOSSARIO ASSE RADICALE E una retta che passa per i due punti di intersezione di due circonferenze ed è perpendicolare alla retta che unisce i centri delle due circonferenze. su CENTRO In una figura piana è il punto d incontro, se esiste, degli assi di simmetria della figura stessa. Nella circonferenza è il punto equidistante da ciascun punto della linea chiusa. a In geometria analitica le coordinate del centro di una circonferenza sono C( ; ) SU CONCAVITA Diremo che una curva presenta una concavità verso il asso quando, tracciando una qualunque tangente la curva si trova sotto la tangente Diremo che una curva presenta una concavità verso l alto quando, tracciando una qualunque tangente la curva si trova sopra la tangente SU CONDIZIONE DI ERENDICOLARITA Consideriamo due rette r e r' perpendicolari tra loro e non parallele agli assi. Le loro equazioni, in forma esplicita, saranno rispettivamente: dove m, m' sono discordi; le relazioni: m m ' o m' m esprimono la condizione di perpendicolarità tra rette in forma esplicita. Se le equazioni delle due rette sono in forma implicita, la condizione di perpendicolarità può scriversi nel modo seguente: aa' + ' 0 SU CONDIZIONE DI AARTENENZA In geometria analitica la condizione necessaria e sufficiente perché un punto appartenga ad un luogo f(x;y) 0 è che l ascissa e l ordinata del punto, sostituite rispettivamente al posto della x e della y nell equazione del luogo, rendano vera l equazione SU DIRETTRICE Data una conica C e fissato un suo fuoco F, si chiama direttrice relativa ad F la retta d tale che il rapporto fra le distanze da F e da d è costante per tutti i punti della conica. SU DISCRIMINANTE DELTA - Si definisce discriminante o Δ (delta) il termine che si trova sotto radice nella formula risolutiva ± dell'equazione di secondo grado x, a con c. Si possono aver tre situazioni: - il discriminante e' maggiore di zero c > 0 in tal caso si avranno due soluzioni reali e distinte 3

33 - Glossario Appendice - il discriminante e' uguale a zero c 0, in tal caso le due radici sono reali e coincidenti; si ha una soluzione la doppia che vale x, ; l equazione di secondo grado a è il quadrato di un inomio il discriminante e' minore di zero c < 0 in tal caso l equazione non ammette soluzioni reali SU DISTANZA La distanza tra due punti è il segmento che li congiunge. La distanza di una punto da una retta o da un piano è la lunghezza del segmento avente per estremi il punto dato e la proiezione ortogonale del punto sulla retta o piano. ax + y + c In geometria analitica la distanza punto retta è data da d r dove (, ) a + x y e ax + y + c 0 equazione retta SU FASCIO DI RETTE Fascio di rette proprio è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto R x 0 ; y ) detto centro del fascio. L equazione del fascio è y y m x ) 0 ( x0 ( 0 Fascio improprio un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente angolare, cioè sono tutte parallele y m0 x + K SU FUOCO er una qualunque conica C, si dice fuoco un punto F del suo piano tale che per ogni punto di C sia costante il rapporto tra la distanza di dal fuoco F e quella da una retta fissa detta direttrice. L'ellisse e l'iperole hanno due fuochi, che coincidono nel caso della circonferenza. La paraola ha un solo fuoco. I fuochi sono sempre interni alla conica. SU LUOGO DEI UNTI Una figura F si dice luogo geometrico dei punti che godono di una proprietà se sono verificate le seguenti due condizioni: tutti i punti della figura godono della proprietà se un punto gode della proprietà allora esso appartiene alla figura F SU RAGGIO In una circonferenza, si dice raggio uno qualsiasi degli infiniti segmenti congruenti che congiungano un punto qualsiasi dalla circonferenza con il centro della circonferenza stessa. In geometria analitica la misura del raggio è data da r a + c SU RETTA ESTERNA Una retta r si dice esterna rispetto ad una conica C se non ha punti reali comuni con essa. SU RETTA SECANTE 33

34 Appendice - Glossario Si chiama secante di una conica una retta che ha in comune con la conica due punti distinti. recisamente una retta r seca una curva C in un punto, se è un punto comune ad r e a C se con non coincidono altri punti comuni ad r e a C SU RETTA TANGENTE Una retta r si dice tangente in un punto ad una conica C se, r e C hanno in comune due punti coincidenti. Una retta r può essere tangente ad una curva (diversa da una conica) in un punto se in quel punto ha con la curva due punti coincidenti comuni (si dice anche un contatto del secondo ordine), ma può essere anche secante in un punto Q SU SIMMETRIA ASSIALE Due punti distinti A e B si dicono simmetrici rispetto ad una retta r se il loro punto medio appartiene alla retta r e se il segmento AB è perpendicolare alla retta stessa. Si chiama simmetria assiale, di retta r, la trasformazione del piano in sé che ad ogni punto del piano associa il suo simmetrico rispetto alla retta r. In una simmetria assiale tutti i punti dell asse di simmetria sono punti uniti nella trasformazione. Una simmetria assiale conserva l allineamento fra i punti, la distanza e il parallelismo SU SIMMETRIA CENTRALE La simmetria centrale è una trasformazione isometrica. Le proprietà invarianti di tale trasformazione sono: Distanza Angoli arallelismo. La simmetria centrale è ottenuta dalla composizione di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari. TRASLAZIONE La traslazione è una trasformazione isometrica del piano o dello spazio, avente come invarianti: Distanza Angoli arallelismo Orientamento dei punti. La traslazione è ottenuta dalla composizione di due simmetrie assiali ad assi paralleli. SU VERTICE Il vertice di una paraola è il punto d intersezione della paraola con il suo asse di simmetria. Il vertice è il punto equidistante dal fuoco e dalla direttrice Se la paraola ha l asse di simmetria parallelo all asse delle y e la sua equazione è y ax + x + c ha coordinate ;, se la paraola ha l asse parallelo all asse delle a x e la sua equazione è x ay + y + c il vertice ha coordinate ; a SU 34

35 Appendice 3- Formulario FORMULARIO CIRCONFERENZA x + y + ax + y + c con a,,c R 0 Equazione canonica della circonferenza ( x α ) + ( y β ) r C ( α ; β ) o C, r xx a a + c x + x y + y + yy + a + + c 0 Equazione della circonferenza Coordinate del centro della circonferenza Raggio della circonferenza Equazione retta tangente in un punto appartenente alla circonferenza (regola sdoppiamento) y ax + x + ARABOLA CON ASSE ARALLELO ALL ASSE DELLE ORDINATE c Equazione della paraola V ; a Coordinate del vertice x a Equazione asse di simmetria + y Equazione della direttrice F ; a Coordinate del fuoco y ax Equazione paraola con vertice nell origine degli assi V (0;0) Equazione paraola che passa per origine y ax + x degli assi Equazione paraola con asse di simmetria y ax + c asse delle ordinate, vertice V ( 0; c) y + y x + x Equazione retta tangente in un punto axx + + c appartenente alla paraola m + ax Coefficiente angolare della retta tangente 35

36 Appendice 3- Formulario x ay + y + ARABOLA CON ASSE ARALLELO ALL ASSE DELLE ASCISSE c Equazione della paraola V ; a Coordinate del vertice y a Equazione asse di simmetria x + Equazione della direttrice F x ay ; a Coordinate del fuoco Equazione paraola con vertice nell origine degli assi V (0;0) Equazione paraola che passa per origine x ay + y degli assi Equazione paraola con asse di simmetria x ay + c asse delle ascisse, vertice V (c;0) x + x y + y axx + + c Equazione retta tangente in un punto appartenente alla paraola 36

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