LEZIONE 3.1 PARAGRAFO IL DIAGRAMMA DI LEXIS

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1 LEZIONE 3. PARAGRAFO 3.. IL DIAGRAMMA DI LEXIS Esercizio Disporre su un diagramma di Leis le seguenti informazioni: ) Nati vivi nel 96 7 ) Nati vivi nel ) Nati vivi nel ) Nati vivi nel ) Morti in età appartenenti alla generazione del ) Morti in età appartenenti alla generazione del ) Morti in età appartenenti alla generazione del 96 8) Morti in età 3 appartenenti alla generazione del 96 9) Morti nel 964 appartenenti alla generazione del 963 ) Morti in età nel 964 appartenenti alla generazione del ) Morti in età nel 965 appartenenti alla generazione del 964 Calcolare inoltre: ) I sopravviventi al quarto compleanno della generazione del 96 3) I sopravviventi al primo compleanno della generazione del 964 4) I sopravviventi al..965 della generazione del 964 Per collocare i dati sul diagramma di Leis occorre individuare le aree o i segmenti corrispondenti. Si ricordi che gli eventi osservati in intervalli di tempo occupano delle superfici mentre i contingenti di popolazione in corrispondenza di una certa età o di una data sono rappresentati rispettivamente da segmenti orizzontali e verticali. Le prime quattro informazioni si riferiscono all ammontare iniziale della popolazione pertanto si riferiscono a dei segmenti. Nello specifico: ) Nati vivi nel 96 7 AB ) Nati vivi nel BC 3) Nati vivi nel CD 4) Nati vivi nel DE Le seguenti informazioni si riferiscono al numero di eventi dunque vanno collocate in aree. I dati contenuti nei punti 5) - 8) sono individuati dall età e dalla generazione e pertanto individuano parallelogrammi di tipo B. Nell ordine: 5) Morti in età appartenenti alla generazione del 96 8 ABGF 6) Morti in età appartenenti alla generazione del 96 6 FGML 7) Morti in età appartenenti alla generazione del 96 LMON 8) Morti in età 3 appartenenti alla generazione del 96 NOPQ La 9) individua, invece, un parallelogramma di tipo B poiché vengono specificati generazione e anno di calendario

2 9) Morti nel 964 appartenenti alla generazione del 963 CHMG Le ultime due informazioni sono individuate da anno, generazione ed età perciò individuano dei triangoli. Precisamente: ) Morti in età nel 964 appartenenti alla generazione del CDH ) Morti in età nel 965 appartenenti alla generazione del 964 DIH 3) I sopravviventi al quarto compleanno della generazione del 96 corrispondono al segmento PQ e sono pari al contingente iniziale meno tutti i decessi avvenuti prima del compimento del quarto compleanno (assumendo che la popolazione sia chiusa, cioè non soggetta a fenomeni migratori). Dunque: '64 P ) Analogamente i sopravviventi al primo compleanno della generazione del 964 '63 P ) I sopravviventi al..965 della generazione del 964 corrispondono al segmento DH e pertanto sono pari alla differenza tra il contingente iniziale della generazione del 964 e il numero di decessi avvenuti entro la fine del 964.

3 ' P Esercizio Si dispone delle informazioni relative alla durata dei ricoveri e al numero di persone ultrasettantenni ricoverate nel primo trimestre del 986. Collocare su un diagramma di Leis i dati seguenti: ) La popolazione ultrasettantenne nei mesi di gennaio, febbraio, marzo e aprile ammontava nell ordine a:,, 6, 55 ) Numero di persone ultra-settantenni ricoverate a gennaio, con durata inferiore ad un mese nel mese di gennaio 8 3) Numero di persone ultra-settantenni ricoverate a gennaio e ancora degenti a febbraio 35 4) Numero di persone ultra-settantenni ricoverate a gennaio e ancora degenti a marzo 5) Numero di persone ultra-settantenni ricoverate a gennaio e ancora degenti ad aprile 5 6) Numero di persone ultra-settantenni ricoverate a febbraio con degenza inferiore a mese 46 7) Numero di persone ultra-settantenni ricoverate a febbraio con degenza tra e mesi 3 8) Numero persone ultra-settantenni ancora ricoverate in aprile con degenza inferiore ad un mese Poiché i dati sul diagramma di Leis fanno riferimento al primo trimestre del 986 conviene utilizzare come unità temporale per la costruzione del diagramma di Leis il mese. Sull asse delle ascisse si pongono dunque i mesi di ricovero (giocano lo stesso ruolo dell anno di accadimento dell evento), mentre sull asse delle ordinate la durata della degenza in ospedale (prendono il posto delle età). Fanno parte della stessa coorte coloro che sono stati ricoverati nello stesso mese (l evento origine è dunque il ricovero). ) La prima informazione riguarda l ammontare della popolazione ultrasettantenne nei mesi di gennaio, febbraio, marzo e aprile. Per questo i dati si riferiscono alle linee orizzontali che definiscono i mesi. ammontava nell ordine a: AB BC 6 CD 55 DE ) Le dimensioni di riferimento sono tre, pertanto l area che rappresenta il dato sarà un triangolo. 8 ABF 3-5) Le aree di riferimento sono il mese di ricovero e il mese in cui i pazienti sono ancora degenti. La figura di riferimento è dunque un parallelogramma di tipo B. 35 BGLF GNPL 5 NQRP 6-7) Le due informazioni specificano il mese di ricovero e la durata della degenza. Pertanto la corrispondente figura sarà un parallelogramma di tipo C. 46 BCHG 3 GHON

4 8) L ultima informazione specifico la durata e il mese di degenza e la figura corrispondente sarà un quadrato DEIH PARAGRAFO TASSI E PROBABILITÀ Esercizio 3 Si consideri come evento la nascita del primo figlio da donne in età e si supponga che nessuna donna muoia nell arco temporale considerato. ) Collocare le seguenti informazioni su un diagramma di Leis: Generazione madre Anno nascita Nati f ) Aiutandosi con il diagramma di Leis e sapendo che ' 75 P 4 e ' 76 P 4, calcolare e commentare: i) i tassi specifici di fecondità per l età 4 nell anno e per l età 5 nell anno ii) i tassi specifici di fecondità per età 4 delle due generazioni f

5 iii) il tasso specifico di fecondità per la generazione del 975 nell anno iv) la probabilità di diventare madre per la prima volta a 5 anni per una donna nata nel 976 v) la probabilità di diventare madre per la prima nel per una donna nata nel 975 ) I dati forniti fanno tutti riferimento ad una particolare generazione di donne (generazione madre), all età () in cui queste hanno avuto il primo figlio e all anno in cui è avvenuta la nascita del bambino (anno nascita). Perciò le aree corrispondenti saranno dei triangoli. 3 ABD 35 BDE 4 DEL 45 EHL 5 BCE CFE 3 EFH 4 FIH ) Dopo aver collocato sul diagramma di Leis il dato circa l ammontare della popolazione femminile in età 4 per le due generazioni è possibile calcolare e commentare i tassi e le probabilità richieste: i) Innanzitutto si devono individuare le informazioni necessarie per calcolare i tassi. Gli eventi sperimentati sono rappresentati rispettivamente dai quadrati BCED e EFHL, dato che vengono specificati età e anno di calendario. La popolazione media è fornita rispettivamente dalla semisomma della popolazione media al. e al 3. degli anni e. Dunque iniziamo a determinare la popolazione femminile media all inizio e alla fine dei due anni. Supponendo che le donne non siano sottoposte a mortalità, l ammontare della popolazione che al.. non ha ancora procreato sarà pari alla popolazione 4enne della generazione del 975 meno le 3 donne che sono diventate madri a 4 anni nel 999: f P4 (..) 3 9 BD Ragionando in modo analogo per le altre date si ottiene: f P4 (3..) 5 75 CE

6 P5 (..) EL f f P5 ( 3..) FH A questo punto non resta che calcolare i tassi: f 4 () N 4 () P f (..) + P f (3..)]/ [ (9 + 75) / f 5 () N 5 () [ P f (..) P (3..)]/ 5 + f (5 + 5) / Dunque ogni donne della popolazione in età 4 nel nascono circa 39 bambini. Nell anno successivo, tale valore quasi raddoppia, infatti nel ogni donne della popolazione in età 5 nascono 65 bambini. ii) Questi due punti richiedono di calcolare dei tassi per età e generazione dunque le figure di riferimento sono parallelogrammi di tipo C. Iniziamo a calcolare il tasso di fecondità a 4 anni per la generazione del 975. Il numero di eventi da porre a numeratore è fornito dal numero di nati nel parallelogramma ABED (35+3), mentre gli ammontari della popolazione da utilizzare per calcolare l età media sono rappresentati dai segmenti AB e DE ( ). Quindi il tasso assume valore: '75 N ' 75 f ( ( 55) / 5 ) / f f P + P + '75 4 '75 Ragionando in modo analogo si ricava il valore del tasso specifico per età 4 della generazione del 976: '76 N ' 76 f ( ( 55) / 5 ) / f f P + P + '76 4 '76 Da ciò segue chi ogni donne della generazione del 975 in età 4 nascono circa 347 bambini, mentre se si fa riferimento alla generazione del 976 solo 54. Quindi il livello di fecondità in età 4 è maggiore per la generazione del 975. iii) Il calcolo del tasso specifico di fecondità per la generazione del 975 nell anno si basa sui dati del parallelogramma BELD, in quanto si fissano generazione e anno di calendario. La popolazione all inizio e alla fine del per la generazione del 975 sono individuate dai segmenti BD e EL determinate al punto i). Dunque:

7 '75 f () [ '75 P f '75 (..) ( 9 + 5) / N() '75 P f (3..)]/ Ogni donne della generazione del 975 sono nati circa 49 bambini nel. iv) La probabilità di diventare madre per la prima volta a 5 anni per una donna nata nel 976 è una probabilità tra compleanni La probabilità si determina rapportando il numero di nascite nel parallelogramma EFIH (casi favorevoli) alla popolazione femminile in età 5 della generazione del 976 che non ha ancora avuto il primo figlio (popolazione a rischio). Quest ultima corrisponde al segmento EF: f 5 EF ' 76P 5 55 La probabilità richiesta è dunque pari a: N '76 5 ' 76 q5 f '76 P5.45 Quindi una donna in età 5 della generazione del 976 ha un rischio di generare il primo figlio del 45.% (all incirca una donna su due diventa madre per la prima volta a 5 anni). v) La probabilità di diventare madre nel per una donna nata nel 975 è una probabilità prospettiva. In questo caso i casi favorevoli sono dati dal parallelogramma BELD, mentre la popolazione a rischio di diventare madre nel è rappresentata dal segmento BD. '75 N() ' 75 q().395 f (..) 9 '75 P Pertanto una donna della generazione del 975 rischia di generare il primo figlio nel con una probabilità del 39.5%. Esercizio 4 Si considerino i dati relativi all ammontare di immatricolati nelle università italiane, al numero di abbandoni e al relativo anno di corso (dati in migliaia):

8 a.a. Immatricolati a.a. di abbandono N Abbandoni 998/ / / Fonte: i) calcolare: - i tassi di abbandono per gli immatricolati nell a.a. 998/999 per anno di abbandono - le probabilità di abbandono per gli immatricolati nell a.a. 999/ per anno di abbandono ii) Stabilire se è vera la seguente affermazione: Ha più probabilità di abbandonare l università entro il primo anno un immatricolato nell a.a. 999/ che un immatricolato negli altri a.a. considerati. i) Per calcolare i tassi conviene rappresentare i dati a disposizione su un diagramma di Leis, ponendo sull asse delle ascisse l anno accademico e sull asse delle ordinate l anno di abbandono:

9 Definiamo il tasso di abbandono come il rapporto tra il numero di abbandoni e la popolazione media iscritta all università e lo indicheremo con a. - I tassi di abbandono per la generazione del 998/999 e per anno di abbandono coinvolgono parallelogrammi di tipo C. Il numero di eventi per ciascun parallelogramma è fornito, mentre bisogna calcolare l ammontare della popolazione degli immatricolati in corrispondenza di ciascun anno di abbandono, per il calcolo della popolazione media. Essa coincide con i segmenti orizzontali: FG LM 73-7 PQ 7-7 TU Disponendo di tutti gli elementi si possono calcolare i tassi di abbandono: '98/'99 A 6 a.739 '98/'99 '98/'99 ( P + P ) / ( ) / '98/'99 '98/'99 E in modo del tutto analogo si ottengono i seguenti risultati: '98/'99 '98/'99 a a a le probabilità di abbandono per gli immatricolati nell a.a. 999/ e per anno di abbandono fanno anch esse riferimento a parallelogrammi di tipo C. Gli eventi favorevoli, cioè i casi di abbandono sono noti, mentre si deve determinare la popolazione a rischio che coincide con i segmenti: GH MN QR Si possono ora determinare le probabilità: '99/' q P A '99 /' '99 /' '99 /' '99 /' '99 /' q.545 q. 9 q ii) Per stabilire la veridicità dell affermazione occorre calcolare le probabilità di abbandonare l università entro il primo anno per un immatricolato nell a.a. 998/999 e /. Esse sono pari a: '98/'99 A 6 '/' A 7 q.5 q. 465 P '98/'99 79 P ' /' 84 '98/'99 ' /' Dai calcoli si osserva che la probabilità di abbandonare l università entro il primo anno è più elevata per uno studente immatricolatosi nell a.a. /. Dunque l affermazione è falsa.

10 Esercizio 5 Si consideri come fenomeno demografico la nuzialità ed in particolare la celebrazione del primo matrimonio tra le donne nubili. In base ai dati qui sotto riportati, riguardanti la popolazione femminile non coniugata in età 3-3 e il numero di primi matrimoni, Popolazione non coniugata Anno di nascita Primi matrimoni Fonte: calcolare: i) Il tasso di nuzialità per l età 3 nell anno 8 ii) Il tasso di nuzialità nell anno 8 per le generazioni del 976 e del 977 iii) La probabilità di celebrare il primo matrimonio nell anno 8 per le generazioni del 976 e del 977 Il diagramma di Leis consente di visualizzare i dati e facilitare il calcolo dei tassi e delle probabilità. Per questo iniziamo a rappresentare i dati: i) Il tasso di nuzialità (s) è definito come il rapporto tra il numero di matrimoni (S) e la popolazione media. Per fornire però una misura più precisa e più realistica che tenga conto

11 di chi effettivamente si possa sposare, a denominatore, quando i dati lo consentono, si pone la popolazione media non coniugata (P nc ). Quando si considera però la nuzialità con riferimento ai primi matrimoni, si deve operare la distinzione per genere e rapportare la frequenza annua di sposi o spose ( u S o d S) alla popolazione media del corrispondente genere o all ammontare della popolazione in condizione di contratte il primo matrimonio (cioè alla popolazione dei celibi P c o delle nubili P n a seconda del genere considerato). In questo caso, si dispone del numero di primi matrimoni per le donne e la popolazione nubile corrispondente. I dati per il calcolo del tasso di nuzialità per l età 3 nell anno 8 sono confinati al quadrato ABCD: 8 s 3 n n ( P + P3 ) /..8 3 d S ( ) / ii) Il tasso di nuzialità nell anno 8 per le generazioni del 976 e del 977 richiede di considerare le informazioni contenute rispettivamente nei parallelogrammi CFHE e ADFC. 8 d S + ' '76 8 s n'76 n'76 ( P + P ) / ( ) / S ' '77 8 s n'77 n'77 ( P + P ) / ( ) /..8 d 3..8 iii) La probabilità di celebrare il primo matrimonio nell anno 8 per le generazioni del 976 e del 977 è una probabilità prospettiva. I dati sono contenuti negli stessi parallelogrammi del punto ii). d S ' n'76 P 8694 '76 8 q 8..8 d '77 8 S '77 8 q n' P Esercizio 6 Il diagramma di Leis riporta i dati riguardanti la mortalità, le emigrazioni e le immigrazioni avvenute in una popolazione P ad una particolare età e in un determinato anno.

12 Tenendo conto dei fenomeni migratori calcolare: i) il tasso specifico di mortalità per l età 7 nel 99 ii) il tasso specifico di mortalità in età 8 per la generazione del 96 iii) le probabilità di morte in età 6 e 7 per la generazione del 963 iv) la probabilità di morte per la generazione del 964 nel 99 i) Per il calcolo del tasso specifico di mortalità per l età 7 nel 99 occorre considerare i dati riportati nel quadrato DEHG e determinare l ammontare della popolazione in età 7 al 3..99, rappresentato dal segmento EH: P7 '63 '63 '63 '63 '63 P6 + ( 989I I I 7 ) ( 989M M M 7 ) ( 989 E6 + 99E6 + 99E 6 + ( ) ( ) ( ) 587 Il tasso assume dunque valore: 8 M m7.366 ( P + P7 ) / ( ) / ii) La generazione del 96 compie 8 anni nel 99, dunque per calcolare il tasso di mortalità richiesto si deve far riferimento al parallelogramma GHML e determinare i segmenti GH e LM. Con un ragionamento simile a quanto fatto in precedenza si ottiene: '6 P '63 8 '63 '63 '63 '63 7 )

13 '6 P (3 + ) (95 + ) (4 + 6) 459 e il valore del tasso è: '6 8 ' 6 M m 3.9 '6 '6 ( P ) / ( ) / 8 + P9 iii) La generazione del 963 compie 6 anni nel 989, dunque per calcolare la probabilità a 6 anni si fa riferimento al parallelogramma ABED. La popolazione a rischio di morire è data dalla popolazione in età 6 nell anno 989 (AB) e ha questa bisogna aggiungere il periodo a rischio di sperimentare l evento degli immigrati e sottrarre quello degli emigrati. Secondo l ipotesi di uniforme distribuzione emigrati ed immigrati hanno trascorso all interno della popolazione esattamente metà anno, dunque la popolazione a rischio è pari a: '63 '63 ' P + ( I 6 E6 ) 6 La probabilità richiesta è dunque pari a: [(3 + ) ( + 5)] 63 iv) q Analogamente: q '63 '63 M 6 6 '63 '63 ' P 6 + ( I 6 E6 63 ) 35) ( I (4 '63 '63 M 7 7 '63 '63 ' 63 P7 + 7 E ) (3 5) I dati sono contenuti nel parallelogramma CFIE poiché la generazione del 964 compie 7 anni nel 99. La probabilità assume il valore: ( M 4 7 ) (5 ) q7 '64 '..99 P7 + 99I 99E 64.63

14 PARAGRAFO ANALISI PER CONTEMPORANEI E PER GENERAZIONI Esercizio 7 Sono noti i seguenti dati relativi all emigrazione: E Disporre i dati su un diagramma di Leis secondo le due ipotesi: i) i dati si riferiscono alla generazione nata nell anno t ii) i dati si riferiscono ai contemporanei nell Anno t Secondo la prima ipotesi si ragiona per la generazione nata nell anno t, quindi in un ottica longitudinale. Secondo la seconda ipotesi per contemporanei e quindi in un ottica trasversale. Pertanto I dati tra parentesi si riferiscono all analisi per contemporanei. Esercizio 8 Si considerino gli esercizi 3, 4 e 5 e si stabilisca quale tipo di analisi (per contemporanei o per generazioni) sia più opportuna in base ai dati forniti. Nell Esercizio 3 i dati forniscono numero di nati per età, generazione della madre e anno di calendario. Entrambe le analisi potrebbero essere effettuate, ma si trarrebbero più informazioni se si ragionasse secondo un ottica longitudinale.

15 Nell Esercizio 4 i dati sono forniti in parallelogrammi di tipo C, in quanto espressi per coorte (l anno di immatricolazione è l evento origine) e durata dell iscrizione. Ne segue che l analisi per generazioni può essere applicata. L analisi per contemporanei richiederebbe maggiori informazioni. Nell esercizio 5 i dati sono forniti per anno di calendario ed età della sposa, dunque sono rappresentati da quadrati. L analisi per contemporanei è l unica alternativa.

16 LEZIONE 3. TAVOLE DI MORTALITÀ E FUNZIONI BIOMETRICHE PARAGRAFO LA COSTRUZIONE DI TAVOLE DI MORTALITÀ Esercizio 9 Completare il seguente troncone della tavola di mortalità inglese, basata sui tassi specifici di mortalità osservati nel l q d L Fonte: La radice della tavola è di solito posta pari a. Noti i decessi e il contingente iniziale in età è possibile calcolare la probabilità di morte a anni, come rapporto tra il numero di decessi (eventi favorevoli) e la radice della tavola (casi possibili): d q d 8 l.8 I decessi in età si ottengono moltiplicando le persone a rischio (l ) per la corrispondente probabilità di morte (q ): l q Sottraendo questo numero ai sopravviventi in età si ricavano i sopravviventi in età : 86 l l d Gli anni vissuti in età, supponendo l uniforme distribuzione delle morti sono pari a: L l3 + d In modo del tutto analogo si ricavano le altre quantità mancanti: d l3 q3 q l d.39 39

17 L4 l4 d Ecco dunque il troncone della tavola completo: l q d L Esercizio Disponendo dei sopravviventi in età 5 e delle probabilità di morte tra i 5 e i 56 anni della popolazione ligure rilevate nel 994, costruire il corrispondente troncone della tavola di mortalità: l q Fonte: I sopravviventi in età 5 giocano il ruolo della radice della tavola. Disponendo di questo dato e della serie delle probabilità di morte è possibile costruire il troncone della tavola di mortalità. Si comincia col determinare i decessi e i sopravviventi: d l q l l d l53 q l 54 l53 d d 935 E così via fino all età 56. Rimangono da calcolare gli anni vissuti: L 5 l53 + d In modo analogo per le età Per l età 56, non disponendo dei sopravviventi all età 57 si utilizza l altra formulazione: Ecco dunque il troncone della tavola completo: L 56 l56 d

18 l q d L Esercizio Completare il seguente troncone della tavola di mortalità femminile della popolazione neozelandese secondo i dati del e sapendo che la porzione di anno vissuta in media durante il primo compleanno a è pari a.. l q d p L T e Fonte: Si comincia col completare la serie dei sopravviventi e delle probabilità di morte. I sopravviventi in età 3 possono essere calcolati come differenza tra i sopravviventi ed i decessi in età : q p.9937 l 3 l d Le probabilità di morte possono essere determinate in due modi diversi: come complemento a delle probabilità di sopravvivenza o come probabilità: q 3 p q d l q d 3. 9 l 997 Analogamente la probabilità di sopravvivenza a 5 anni può essere calcolata come complemento a della corrispondente probabilità di morte: Veniamo alla colonna dei decessi. p5 q d l q d l l

19 d5 l5 q Si osservi che conoscendo i sopravviventi in età è possibile calcolare i decessi in età anche come differenza tra i sopravviventi in età e quelli in età Per calcolare gli anni vissuti in età si deve sfruttare l informazione relativa alla porzione di anno vissuta in media nel primo anno di vita: L l + a d Completiamo ora la serie retrocumulata degli anni vissuti. T può essere determinato in due diversi modi: sfruttando la relazione tra i sopravviventi e la speranza di vita o la definizione di serie retrocumulata. Applichiamo entrambi i metodi. T e T e l l T T3 + L Come si può osservare i due valori differiscono di 5 anni, a causa dell arrotondamento operato sulla speranza di vita. Dunque il secondo metodo è più preciso rispetto al primo. T 4 T5 + L4 Infine si calcolano le speranze di vita a e a 4 anni T 796 T e 79.6 e l l l q d p L T e Esercizio Completare la seguente tavola di mortalità abbreviata: l +h h q h d h p h L

20 : La tavola abbreviata considera classi quinquennali. Per completarla occorre dunque applicare le formule della tavola di mortalità considerando che h5: l l5 5d d l q d5 l5 5 q p 5 q L 5 l d l h q h d h p h L Esercizio 3 Stabilire quali funzioni biometriche della tavola di mortalità sono rappresentate in questi grafici: a) b) La curva a) è la curva dei sopravviventi infatti il valore assunto dalla funzione biometrica in corrispondenza dell età è pari alla radice della tavola (). Dopodiché la curva decresce, man mano che la

21 generazione fittizia considerata subisce l eliminazione per morte, fino a raggiungere lo in corrispondenza dell età. Si osservi che intorno ai 6 anni il livello di mortalità si innalza causando una riduzione sempre più rapida della popolazione. La curva b) si riferisce alla speranza di vita, come suggerito dall andamento decrescente della curva, dovuto alla diminuzione del numero medio di anni che restano da vivere in corrispondenza dell avanzare delle età. Esercizio 4 Per una popolazione P l età irraggiungibile ω è pari a 4 anni. Disponendo dei dati sulla mortalità riportati nel seguente diagramma di Leis, costruire la tavola di mortalità (sopravviventi, probabilità di morte e decessi) della popolazione considerata. In base hai dati disponibili è possibile calcolare le probabilità di morte per la generazione nata nell anno t: 65 q d.35 l d d q.59 q. l l q l d Fissata la radice della tavola pari a si ricavano la serie dei sopravviventi e dei decessi:

22 d l q l l d d l q l l d d l q l3 l d d 3 l3 q Ecco dunque il troncone della tavola di mortalità l q d Esercizio 5 Nel 986 per la popolazione femminile della Liguria e della Campania sono state rilevate le seguenti probabilità di morte: Liguria Campania Età hq h q Fonte: Calcolare per i sopravviventi ad ogni età un contingente iniziale pari a. Rilevare inoltre le differenze regionali nel modello di sopravvivenza, sapendo anche che la speranza di vita a 5 anni è pari a per la Liguria e a per la Campania. Calcolando la serie dei sopravviventi e dei decessi si ottiene: Liguria Campania Età hq h d l h q h d l

23 Facendo riferimento ai decessi si osserva che, la popolazione campana mostra una maggior sopravvivenza, tra i 5 e i 39 anni, mentre la Liguria tra gli e i 4 anni e tra i 5 e i 54 anni. La maggiore sopravvivenza nelle età più avanzate in Liguria è anche testimoniata da un più alto livello della speranza di vita a 5 anni. PARAGRAFO MISURE DI SINTESI DEDUCIBILI DALLA TAVOLA Esercizio 6 Facendo riferimento ai dati dell esercizio 6 calcolare i valori della speranza di vita alla nascita per la popolazione femminile delle due regioni. Per calcolare la speranza di vita alla nascita si sfrutta il concetto di anni vissuti da una popolazione e si ragiona come se si stesse lavorando su una tavola di mortalità abbreviata dove l ampiezza della classe è h5. Noti i sopravviventi e la speranza di vita a 5 anni, si può ricavare il valore assunto dalla serie retrocumulata degli anni vissuti in corrispondenza di questa età: T 5 e5 l5 Applicando le formule della tavola abbreviata si ricava T : T e T 5 5 l L e + 5 l 5 l l d e + 5 l ( l l5 ) e5 l5 + 5 e5 l5 + 5 ( l5 e dividendo per l si ottiene la formula per il calcolo della speranza di vita: e 5 l l 5 + l 5 5 [ e l + 5 ( l + l )] ) l l l T Dunque sostituendo i numeri per le due regioni si osservano i seguenti valori: l ( e 5 d + l ) Liguria Campania: e 9835 ( ) ( ) e

24 Esercizio 7 Avendo a disposizione i seguenti dati circa la mortalità: verificare empiricamente la relazione tra tassi e probabilità di morte. Dai dati a disposizione e assumendo che si esca dalla popolazione solo per morte, si possono calcolare i tassi e le probabilità per età e generazione. m '95 '95 M '95 '95 ( P + P ) / ( ) /.9 q '95 '95 M P ' Passando dalla probabilità al tasso si vede che vale l uguaglianza: m '95 '95 q.69 '95 q.69.9 Si considerano ora i tassi e le probabilità per l età e si verifica che vale l uguaglianza inversa. m '94 ( P '94 m + '94 '94 P ) / 9 ( ) /.6 q '94 '94 M 9 P ' Passando da tassi a probabilità si ottiene lo stesso valore per la probabilità: q '94 '94 m.6 '94 + m

25 Esercizio 8 A partire dalla serie delle probabilità di morte (per classi di età quinquennali) rilevati nella popolazione Uruguayana del 996 calcolare i relativi tassi di mortalità.,+h hq Fonte: Ricordando la relazione tra tassi e probabilità nel caso di classi di ampiezza pari a h (in questo caso h5): m, + h h h( q h q ) si ottengono i seguenti risultati:,+h hq m,+h Dove ad esempio: m 5 q 5( q.697 5(.697) 3 3, ).4 Esercizio 9 Calcolare i tassi di mortalità della popolazione femminile neo-zelandese per le età riportate nel troncone della tavola di mortalità dell esercizio. I tassi di mortalità si ricavano applicando la seguente formula: q m q

26 q m Esercizio Facendo riferimento all Esercizio 6, calcolare i) la probabilità di morte in età 8 per la generazione del 96 e verificare che vale la relazione con il relativo tasso calcolato al punto ii) dell Esercizio 6 ii) il tasso di mortalità per la generazione del 964 nel 99 e verificare che vale la relazione con la relativa probabilità calcolata al punto iv) dell Esercizio 6. i) Facendo riferimento al diagramma di Leis si osserva che: q '6 '6 M 8 8 ' 63 P '63 ' 8 + ( I 8 E8 63 ) (3 ).38 Applicando la relazione tra tassi e probabilità si ottiene proprio lo stesso valore: '6 m q + m ii) Si considera ora la relazione inversa: ' ' '64 '64 99M m '64 '64 ( ) / ( ) /..99P P Applicando la relazione tra tassi e probabilità si ottiene proprio lo stesso valore: '64 '64 99q m ' q.65.65

27 LEZIONE 3.3 I PROCESSI DI RIPRODUZIONE DEMOGRAFICA PARAGRAFO 3.3. MISURARE LA FECONDITÀ: I TASSI DI RIPRODUZIONE Esercizio 9 Disponendo del numero di nati (N,+4 ) e della popolazione media per età della madre (P f,+4) della generazione del 994 Età N,+4 P f, calcolare e commentare i) i tassi specifici di fecondità ii) il tasso di fecondità totale iii) l età media alla maternità. i) I tassi specifici di fecondità si ottengono rapportando il numero di nati da donne con età (,+4) alla corrispondente popolazione media femminile. Per esempio per la classe di età 5-9 il valore assunto dal tasso è pari a: N5 9 5 ' 94 f f P Il risultato del calcolo dei tassi specifici per le altre classi di età è riportato nella tabella sottostante. Esso mostra che le donne tra i e i 35 anni presentano un livello di fecondità maggiore, con un picco tra i 5 e i 9 anni dove circa 98 donne su danno alla luce un figlio. Età '94 N,+4 '94 P f,+4 '94 f, ii) Il tasso di fecondità totale è la somma dei tassi specifici di fecondità, moltiplicata per 5, dato che si stanno considerando classi di età quinquennali.

28 ' 94TFT 5 f, 4 5 ( ) Il tasso di fecondità totale è pari a circa 84, dunque una coorte fittizia di donne, sottoposta ai medesimi tassi specifici di fecondità, metterebbe al mondo circa 84 bambini nell arco della sua carriera riproduttiva. iii) L età media alla maternità è una media ponderata dei valori centrali di ciascuna classe di età con pesi il numero dei nati. Poiché le classi hanno ampiezza quinquennale il loro valore centrale è pari a +.5 e dunque: a ( +.5) '94 N '64 N, + 4, Esercizio Si supponga di aver osservato il numero di nati e la popolazione femminile per età nell anno 986 e che le età feconde siano tra i 5 e 3 anni. Calcolare i tassi specifici di fecondità per età, il tasso di fecondità totale e l età media alla maternità. Età N P f P f Il calcolo dei tassi specifici di fecondità richiede di determinare la popolazione media, data dalla semisomma dell ammontare della popolazione all inizio e alla fine del 986. Per l età 5 il calcolo del tasso è: 986 N f f P (5 + 65) / I tassi specifici di fecondità (insieme all età media) per età sono riportati nella seguente tabella:

29 Età 986 N P f P f 986 P f 986 f La somma dei tassi specifici di fecondità fornisce il tasso di fecondità totale: 986 TFT f ( ) e il risultato mostra che una coorte fittizia di donne che presentano i medesimi tassi specifici di fecondità della popolazione considerata darebbe alla luce, nell arco della sua carriera riproduttiva, circa 95 figli, troppi pochi per garantire il ricambio generazionale. Infine calcoliamo l età media alla maternità: a N, + 4 ( +.5) 986 N, Esercizio Per Francia, Ungheria e Norvegia sono note le serie dei tassi specifici di fecondità per età. Stabilire quale nazione mostra un livello di fecondità maggiore. Francia Ungheria Norvegia Fonte: Per confrontare i livelli di fecondità per diverse popolazioni occorre far riferimento al TFT: TFT 5, 4 5 ( ) FR f

30 TFT 5, 4 5 ( ) HG f NW f TFT 5, 4 5 ( ) La Francia è la nazione che mostra il maggior livello di fecondità, con.84 figli per donna, mentre l Ungheria manifesta il livello più basso con.3 figli per donna. Esercizio Facendo riferimento ai dati dell Esercizio 9 calcolare il tasso lordo di riproduttività. R.485 ' 94TFT Poiché il tasso lordo di riproduttività assume un valore inferiore a, nella popolazione non c è ricambio generazionale. Questa tendenza era già evidenziata dal valore del TFT nettamente inferiore a. Esercizio 3 Facendo riferimento ai dati dell esercizio calcolare il tasso lordo di riproduttività. R TFT Poiché il tasso lordo di riproduttività è inferiore a, nella popolazione non c è ricambio generazionale, come del resto si poteva già concludere considerando il valore assunto dal TFT. Esercizio 4 Nel si sono osservati i seguenti tassi di fecondità specifici per classe di età nella popolazione spagnola:,+h f,+h Fonte: Essendo nota la serie dei sopravviventi della tavola di mortalità del della popolazione spagnola femminile in corrispondenza delle medesime classi di età:

31 l si calcolino e si commentino: i) il tasso lordo di riproduttività ii) il tasso netto di riproduttività i) Il tasso lordo di riproduttività è pari a: R.485 ' TFT f, ( ) ii) Il tasso netto di riproduttività misura la discendenza femminile tenendo conto della mortalità delle donne in età feconda ed il suo calcolo richiede di conoscere la serie degli anni vissuti: 5 L R f, + 4 f, 4 5 L 5l 5l + Essa può essere determinata a partire dai dati relativi ai sopravviventi, calcolando prima la serie dei decessi e applicando la formula: 5 L h l+ h +. 5 h h d dato che si ha a disposizione una tavola di mortalità abbreviata.,+h l h d 5 L

32 Dove per esempio per la classe d età 5-9: 5 d 5 l l L5 5 l d Dunque il valore assunto dal tasso netto di riproduttività è: R 5 L f, 4, f L l l ( ) Il valore è ovviamente più basso rispetto a quello del tasso lordo di riproduttività, poiché si sta tenendo conto della mortalità delle donne in età feconda. Il ricambio generazionale non è garantito, infatti il valore si discosta di molto da. Esercizio 5 Disponendo del numero di nati, della popolazione media femminile e degli anni vissuti per classe di età della madre della popolazione austriaca nel 8,+4 N,+4 P f,+4 5 L Totale calcolare: i) il tasso di fecondità ii) il tasso di fecondità totale iii) il tasso netto e il tasso lordo di riproduttività i) Il tasso di fecondità si ottiene rapportando il numero di nati all ammontare della popolazione media femminile in età 5-49: f 8 f P N

33 Il valore ottenuto può essere interpretato dicendo che ogni persone della popolazione femminile nascono circa 38 bambini. ii) Dopo aver calcolato i tassi di fecondità specifici per età, riportati nella tabella sottostante,,+4 N,+4 P f,+4 f, Totale È possibile calcolare il tasso di fecondità totale: TFT 5 5 ( ) f, Dunque una coorte fittizia di donne produrrebbe nell arco della sua carriera riproduttiva circa 486 figli, soglia che non garantisce il ricambio generazionale. iii) Per valutare il ricambio generazionale si preferisce far riferimento al solo contingente femminile usando il tasso lordo e il tasso netto di riproduttività. R TFT R 5 L f, 4, f L l l ( ) Una generazione ipotetica di donne dà alla luce circa 7 figlie, non assicurando così il ricambio generazionale. Questo valore scende, seppur di poco, se si considera anche la mortalità della popolazione femminile. Esercizio 6 Disponendo dei dati relativi ai tassi di fecondità registrati in Etiopia nel

34 ,+h f,+h 5 L Fonte: calcolare il tasso di fecondità totale e il tasso netto e lordo di riproduttività. 5 f, 4 + TFT 5 ( ) R.485 TFT L R f, 4 f 5l 5l, L ( ) Il tasso di fecondità totale mostra che una generazione fittizia di donne che presenterebbe tassi specifici di fecondità simili a quelli della popolazione etiope, produrrebbe nell arco della sua carriera riproduttiva circa 6484 figli, cioè circa sei figli per donna. L elevato valore lascia intuire che ci sia un sufficiente ricambio della popolazione. Infatti il tasso loro di riproduttività è pari a 344.5, di gran lunga superiore a. Tale valore si abbassa però di circa 7 unità se si tiene conto dell elevata mortalità delle donne, ma il ricambio generazionale rimane comunque garantito. Esercizio 7 La seguente tabella riporta i tassi specifici di fecondità per età e anno di calendario. Età Calcolare: i) il tasso di fecondità totale nel 975

35 ii) il tasso di fecondità totale per la generazione di donne nate nel iii) il tasso di fecondità totale per la generazione di donne nate nel i) Il tasso di fecondità totale si ottiene sommando tutti i tassi specifici per età e moltiplicando tale risultato per 5 poiché si stanno considerando classi quinquennali: 975 TFT 5 f, 4 5 ( ) 89 + Dunque una generazione ipotetica di donne, sottoposta ai tassi specifici per età del 975, darebbe alla luce 89 figli. ii) La generazione nata nel quinquennio entra ha 5-9 anni nel 97. Pertanto il tasso di fecondità totale per questa generazione è la somma dei tassi specifici di fecondità sulla diagonale evidenziata in giallo nella tabella sottostante, opportunamente moltiplicata per 5: Età , 4 5 ( ) 95 TFT + f iii) La generazione nata nel quinquennio ha compiuto -4 anni nel 97 ed entra a far parte della popolazione in età riproduttività nel 965. Poiché non si dispone del tasso specifico di fecondità di questa generazione per l età 5-9, si può utilizzare come sua approssimazione il tasso sperimentato dalla generazione nata nel quinquennio successivo. Pertanto il tasso di fecondità totale per le donne nate nel è la somma dei tassi specifici di fecondità per età evidenziati in verde, moltiplicata per 5: , 4 5 ( ) 795 TFT f + Confrontando il risultato ottenuto con il precedente si può concludere che le generazioni del presentano un livello di fecondità maggiore. Esercizio 8 Disponendo dei tassi di fecondità totale rilevati in Italia per i primi tre ordini di nascita, si calcolino le probabilità di accrescimento a, a e a e si confrontino le diverse propensioni a generare figli di ordine, e 3 nei diversi anni.

36 TFT TFT TFT Fonte: Per l anno 955 le probabilità sono pari a: 955TFT TFT 564 a.83 a. 678 TFT TFT 83 a TFT TFT e procedendo in modo analogo si ottengono i seguenti valori: 955 a a a Considerando le probabilità di accrescimento del primo ordine si rileva una diminuzione a partire dagli anni 8. Tale diminuzione si riflette anche sulle nascite di secondo ordine ma a partire dagli anni 9. Per le probabilità di accrescimento di terzo ordine, si osserva che essa decresce da.778 fino a.49, principalmente a causa di due fattori: la posticipazione in termini di cadenza delle nascite e la tendenza ad avere un numero più ridotto di figli. Esercizio 9 Si ipotizzi che nella popolazione Y le età feconde siano da 5 a anni. Nella tabella sottostante sono riportati i tassi di fecondità specifici per classe di età e anno di calendario. Stabilire attraverso un opportuno indicatore, quale tra le generazioni del 935 e del 937 presenta un livello di

37 fecondità maggiore a 8 anni, sapendo che il tasso di fecondità totale per le due generazioni è pari rispettivamente a 95 e 345. età La generazione del 935 entra in età riproduttiva nel 95, mentre quella del 937 nel 95. Per confrontare i livelli di fecondità delle due generazioni a 8 anni si deve rapportare il TFT fino a 8 anni al TFT totale delle generazioni: TFT v8 935TFT TFT v8 937TFT.54.5 I due indicatori di cadenza ci dicono che la generazione del 935 ha generato circa il 54% di tutto il TFT entro i 8 anni, mentre quella del 937 il 5%. Questo significa che è la generazione del 937 a presentare un livello di fecondità maggiore a 8 anni. Esercizio 3 Nella popolazione P si sono osservate le seguenti nascite di ordine i per età della madre. Calcolare l età media alla maternità per ciascuno dei tre ordini: Nati Età I II III L età media alla maternità per ordine di nascita assume i seguenti valori:

38 a ( +.5) N N, + 4, a ( +.5) N, + N, a 3 ( +.5) N, + N, Come lecito aspettarsi l età media aumenta all aumentare dell ordine di nascita. Esercizio 3 La tabella sottostante riporta i tassi di fecondità specifici per età e per ordine di nascita, relativi alla generazione di donne italiane nate nel 95.

39 Ordine di nascita i I II III IV V VI VII VIII IX X XI Età f f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f f Fonte: M. Livi Bacci, A. Santini, Tavole di fecondità delle donne italiane secondo le generazioni di appartenenza. Calcolare: i) il tasso specifico di fecondità per l età 39 ii) il tasso di fecondità totale di ordine 5 (TFTL 5 )

40 iii) le probabilità di accrescimento per i primi 5 ordini i) Il tasso specifico di fecondità per l età 39 si ottiene sommando i tassi specifici di fecondità per ordine di nascita ed età della madre pari a 39: i f39 f i ii) Il tasso di fecondità totale, invece, si ottiene come somma di colonna, addizionando i tassi specifici di fecondità di ordine 5 per età: TFT 5 i f iii) Con calcoli analoghi a quanto fatto al punto 3 si ricavano i valori del TFT per i primi 5 ordini di nascita: TFT 839 TFT 65. TFT TFT TFT 5 7. E quindi le probabilità di accrescimento relative ai primi 5 ordini: TFT 839 TFT 65. a.839 a. 777 TFT TFT TFT 43.9 TFT 74.9 a.66 a. 636 TFT TFT a TFT TFT Esercizio 3 La tabella sottostante riporta i tassi di fecondità legittima per durata del matrimonio, scomposti per ordine di nascita e relativi alla coorte di matrimoni celebrati in Italia nel 93. Si definisce fecondità legittima, la fecondità relativa alle coppie coniugate. I tassi di fecondità specifici per durata di matrimonio si ottengono rapportando le nascite da matrimoni di durata d all ammontare dei matrimoni in vita a tale durata. La somma dei tassi specifici per durata di matrimonio fornisce il tasso di fecondità totale legittimo (TFTL). In base ai dati calcolare: i) i tassi specifici di fecondità per durata di matrimonio ii) il tasso di fecondità totale legittimo (TFTL) iii) il tasso di fecondità totale legittimo di ordine (TFTL ) iv) le probabilità di accrescimento per il quarto e il quinto ordine.

41 Ordine di nascita I II III IV V VI VII VIII IX X XI d f d f d f 3 d f 4 d f 5 d f 6 d f 7 d f 8 d f 9 d f d f d Si osservi che la durata di matrimonio gioca lo stesso ruolo dell età alla maternità. i) Sommando per riga i tassi specifici di fecondità per durata del matrimonio e ordine di nascita, si ottengono i tassi specifici richiesti. I risultati sono riportati nell ultima colonna della tabella sottostante. Ad esempio: i f f d i ii) Il tasso di fecondità totale legittimo è la somma dei tassi specifici di fecondità per durata di matrimonio.

42 TFTL f d d Dunque da una coorte fittizia di matrimoni soggetti ai medesimi tassi specifici per durata di matrimonio della popolazione considerata, nascerebbero 33 bambini. iii) Il tasso di fecondità totale legittimo di ordine (TFTL ) si ottiene sommando i tassi specifici per durata di matrimonio di ordine : TFTL f d d iv) le probabilità di accrescimento per il quarto e il quinto ordine possono essere determinate una volta calcolati i TFTL di ordine 3, 4 e 5 (riportati nella tabella sottostante). a 4 TFTL TFTL 55.7 a 5 TFTL TFTL

43 Ordine di nascita I II III IV V VI VII VIII IX X XI d f d f d f 3 d f 4 d f 5 d f 6 d f 7 d f 8 d f 9 d f d f d f d TFTL i