RAPPORTI STATISTICI CHE SI RISOLVONO Appunti delle lezioni del Prof. Giuseppe Puggioni a cura di M. Marras e B. Pettinelli

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1 RAPPORTI STATISTICI CHE SI RISOLVONO Appunti delle lezioni del Prof. Giuseppe Puggioni a cura di M. Marras e B. Pettinelli

2 Mentre i rapporti statistici che si semplificano (rapporti di composizione, di coesistenza, di derivazione, ecc) danno luogo ad un concetto analogo a quello espresso da uno dei due termini del rapporto, i rapporti che si semplificano forniscono, invece, un concetto diverso da quello espresso da ognuno dei due termini del rapporto. Tale classe di rapporti si dice che si risolvono in quanto il quoziente misura l intensità del nuovo fenomeno che scaturisce dalla relazione tra i due fenomeni presenti nel numeratore e denominatore del rapporto. I rapporti che si risolvono si distinguono in due categorie: Rapporti di durata e Rapporti di ripetizione. Rapporti di durata I rapporti di durata mettono in relazione la consistenza media di un fenomeno con l ammontare del suo rinnovamento in un dato intervallo di tempo. Rapportando, ad esempio, il numero di presenti in un albergo, supposto costante, al numero dei nuovi arrivi in un giorno, supposto anch esso costante, si otterrebbe la durata media (numero di giorni) della permanenza degli ospiti in quel dato albergo. Sarebbe comunque ugualmente legittimo, per ottenere la stessa informazione, istituire il rapporto tra l ammontare degli ospiti presenti e il numero di coloro che lasciano l albergo. In generale il rapporto di durata si ottiene rapportando l ammontare di un fenomeno, supposto costante, al suo movimento, anch esso ipotizzato costante, di entrata o di uscita. Se, ad esempio, il numero di ospiti in un albergo in un dato giorno è di 50 e il numero giornaliero 50 di arrivi o di partenze nello stesso giorno è di 50, il valore del rapporto = 5 starebbe ad 50 indicare che ogni cliente di quell albergo soggiorna mediamente 5 giorni. Tale risultato starebbe anche ad indicare che gli ospiti dell albergo si rinnovano ogni giorno di un quinto, per cui sarebbero necessari 5 giorni affinché gli ospiti si rinnovino completamente. Nella costruzione del rapporto si è ipotizzato che sia la consistenza del fenomeno sia il suo movimento di rinnovamento o di estinzione (nel nostro esempio numero di clienti arrivato o partiti) restino costanti nel tempo. Ma in realtà i fenomeni che si mettono in relazione per ottenere il concetto di durata sono tutt altro che costanti nel tempo. Ritornando all esempio della durata media della permanenza degli ospiti di un albergo, per ovviare a tale inconveniente, si potrebbe porre al denominatore non il numero di arrivi relativo al giorno a cui si riferisce il dato sul numero di ospiti, ma quello di un giorno anteriore di un lasso di tempo uguale a circa la metà di quella che, ragionevolmente, si può ritenere sia la durata media della permanenza. Così operando si suppone però che il contingente di arrivi sia uguale al numero medio degli arrivi che hanno dato luogo all ammontare degli ospiti considerato. È del tutto ovvio che se la durata media della permanenza che si è ipotizzata per quell albergo, durata che si vuole invece determinare con una maggiore approssimazione, non dovesse corrispondere a quella reale, il risultato che si ottiene divergerà da quello ipotizzato in funzione di quanto la permanenza media presupposta diverge da quella effettiva. Da queste considerazioni discende che il modo di procedere proposto non sarebbe soddisfacente in quanto, da un lato, si basa sull ipotesi, che solo raramente trova riscontro nella realtà, che l intensità del fenomeno di movimento (nel nostro caso arrivi o partenze) posto al denominatore del rapporto abbia seguito nel tempo un aumento o una diminuzione in progressione aritmetica, e, dall altro, che si conosca già approssimativamente quale sia la durata media della permanenza. Per ovviare a tali inconvenienti quando il movimento di entrata e quello d uscita differiscono notevolmente, si può istituire il rapporto tra l ammontare del fenomeno e la semisomma della corrente di rinnovamento e di estinzione. Nel nostro esempio tra l ammontare del numero di ospiti presenti in un dato periodo (es. giorno) e la semisomma degli arrivi e delle partenze nello stesso periodo.

3 In tal modo si viene ad operare una approssimativa compensazione tra il valore per difetto e quello per eccesso [o viceversa] che si otterrebbero dividendo l ammontare del fenomeno rispettivamente per la corrente di entrata o per quella di uscita. Un procedimento analogo sarebbe quello di fare la media dei due rapporti che si ottengono dividendo l ammontare del fenomeno sia per la corrente di entrata sia per quella di uscita. Utilizzando l una o l altra procedura è possibile quindi, con una certa approssimazione, calcolare la durata media, che sarà ovviamente espressa nella stessa unità di tempo a cui si riferiscono i fenomeni che compongono i due termini del rapporto, di qualunque fenomeno, quando di questo si conosce solo quale sia la sua consistenza e il suo movimento di estinzione e di rinnovamento. In termini analitici il rapporto di durata è dato da: D = ( C m E + U ) [] o da D = dove C m è la consistenza media del fenomeno nell unità di tempo considerata (giorno, mese, anno) ed E e U rappresentano rispettivamente l ammontare del movimento di entrata e quello di uscita nella stessa unità di tempo. Si fa presente che come C m del fenomeno normalmente si utilizza la semisomma della consistenza all inizio e alla fine del periodo considerato. Se, ad esempio, il fenomeno che si considera è la popolazione in un dato anno, come consistenza media si assumerà la semisomma del numero di abitanti rilevato al gennaio e al 3 dicembre di quell anno. Volendo ora, come esempio, calcolare quale è la durata media di una convivenza matrimoniale in Italia e in Sardegna, essendo la consistenza dei coniugati nel 99 rispettivamente di e di 79.7 individui, quella del numero delle persone che si sono sposate nello stesso anno di 3.06 e di 9039 e quella per le quali, sempre nello stesso anno, è cessata la convivenza (morte di uno dei due coniugi, separazione, divorzio) di e di 948, in base alla [] la durata media di una convivenza risulta di: C E m + C U m [] Italia = ( ) = 55, anni; Sardegna = 79.7 ( ) = 53,4 anni Così conoscendo solo quale è il numero degli iscritti nell Ateneo Cagliaritano in un dato anno accademico, quello dei nuovi iscritti e quello di coloro che sono usciti (laureati, trasferiti in altra Università, abbandono degli studi) nello stesso anno, è possibile avere una stima attendibile di quanto tempo uno studente resta all interno del gruppo degli iscritti all Università di Cagliari. A questo punto si rendono necessarie alcune puntualizzazioni:. il valore fornito dal rapporto di durata, per le cose dette prima, non può che essere un valore medio più o meno approssimato e quindi solo una stima di massima del valore effettivo;. vi sono diversi fenomeni, come quello relativo alla durata media di una convivenza matrimoniale di cui all esempio precedente, il cui il fenomeno di movamento è la risultante di due o più flussi di entrata e/o di uscita, per cui per la determinazione della durata media è necessario tener conto di tutti i movimenti che concorrono al rinnovamento del fenomeno; 3. l utilizzo del rapporto di durata risulta di particolare utilità solo nei casi in cui non sono noti i tempi di permanenza all interno di un dato gruppo (ad esempio quello dei coniugati, degli iscritti in una data Università) di ogni singola unità. In questi casi, per ottenere l effettiva durata media e non una sua stima, si deve effettuare la media delle singole permanenze all interno del gruppo. Tale media non potrà che essere quella aritmetica o quella armonica. Si utilizzerà la media armonica se si desidera conservare la relazione di reciprocità esistente tra tempo medio di permanenza all interno di un dato gruppo e la velocità con cui lo stesso

4 si rinnova. A questo proposito si veda nel Leti il paragrafo relativo ai criteri di scelta della media. Rapporti di ripetizione I rapporti di ripetizione possono essere definiti quali quozienti fra la frequenza di un fenomeno Y ripetibile, in una unità di tempo, e la media del movimento di estinzione e di rinnovazione nella stessa unità di tempo del fenomeno X durante il quale il fenomeno Y si ripete. Se per esempio si assume quale fenomeno X il numero di operai in uno stabilimento industriale, che è un contingente che può essere soggetto ogni anno a nuove immissioni e uscite, e quale fenomeno Y il numero di infortuni non mortali che in un anno si verifica in quello stabilimento, il rapporto: Operai infortunati in anno ( operai assunti + operai usciti in anno) fornisce, seppure con una certa approssimazione, quante volte un operaio incorrerà in media in un infortunio durante il periodo di durata della sua permanenza in quel dato stabilimento. Per meglio capire la costruzione di tale rapporto, esso può essere scisso in due rapporti: uno di derivazione e l altro di durata. Se, infatti, si istituisce il rapporto di derivazione Operai inf ortunati in anno Operai presenti nello stesso anno il suo valore indicherà il numero medio di infortuni in un anno subito da ciascun operaio. Se si calcola il rapporto di durata Operai esistenti ad una certa data ( operai assunti + operai usciti in anno) il suo valore indicherà quanti anni in media un operaio resta all interno del gruppo degli operai di quel dato stabilimento. Ora, se si moltiplica il numero medio di infortuni in cui in un solo anno può incorrere un operaio di quel dato stabilimento per il numero di anni in cui un operaio resta all interno del contingente di operai sempre di quel dato stabilimento, si ottiene quante volte mediamente un operaio subirà un infortunio durante l intero periodo della sua permanenza fra quel gruppo di operai. Infatti: Operai inf ortunati in anno Operai presenti nello stesso anno Operai esistenti ad una certa data ( operai assunti + operai usciti in anno) e semplificandosi il denominatore del primo rapporto con il numeratore del secondo, si ottiene: Operai infortunati in anno ( operai assunti + operai usciti in anno)

5 che è appunto il rapporto di ripetizione che indica cioè quante volte un operaio in media subirà un infortunio (fenomeno Y ripetibile) durante tutto il periodo in cui egli farà parte di quegli operai (media del movimento di estinzione e di rinnovamento del fenomeno X ). Analogamente, volendo conoscere quanti nati si hanno in media per ogni matrimonio, si dividerà il numero di nati vivi legittimi (fenomeno ripetibile) in un dato anno per la semisomma dei nuovi matrimoni e dei matrimoni sciolti per morte o per vedovanza nello stesso anno. Parimenti, se si vuole conoscere quante volte mediamente uno studente della Facoltà di Scienze Politiche di Cagliari ripete un esame durante il suo corso di studi, si rapporterà il numero di esami ripetuti in un anno nella Facoltà, alla semisomma dei nuovi iscritti e di coloro che lasciano la Facoltà nel corso dello stesso anno. Le notazioni critiche fatte per il rapporto di durata relativamente sia ai suoi limiti sia al fatto che fornisce risultati più o meno approssimati al dato reale, valgono anche per il rapporto di ripetizione. I rapporti di durata e di ripetizione, pur con i limiti descritti, forniscono tuttavia l unico modo per stimare sia la durata sia quante volte si ripete un dato fenomeno in tutti quei casi, che non sono rari, in cui le statistiche non forniscono tutte quelle informazioni necessarie per la loro determinazione. Si fa comunque presente che talora le statistiche permettono, però, di elaborare procedure più raffinate per determinare i rapporti di ripetizione. È questo, ad esempio, il caso del calcolo del numero medio di figli per matrimonio proposto da Gini. Tale metodica non si illustra in questa sede perché esulerebbe dalle finalità del corso e anche perché gli studenti che inseriranno nel loro piano di studi la Demografia, avranno occasione di approfondire e meglio comprendere tale metodo.