ESERCITAZIONE. Dimensionamento di massima di uno sfioratore a calice

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1 ESERCITAZIONE Dimensionamento di massima di uno sfioratore a calice Per una diga in materiali sciolti Fig. 1) - per la quale siano fissate la quota del piano di coronamento q pc =837.0 m s.l.m.) e la quota del piano di fondazione q fd =786.0 m s.l.m.) - si dimensioni uno sfioratore a calice con galleria di scarico a sezione circolare in grado di esitare una portata massima pari a Q max = m 3 /s con un carico sul ciglio sfiorante pari a h max =2.0 m. La quota di fondo del pozzo dello sfioratore in corrispondenza al gomito di immissione nella galleria di scarico sia pari a q fd =750.0 m s.l.m., mentre la pendenza della galleria sia fissata in La lunghezza massima dell area di generazione rispetto alla diga sia di 10 Km. Figura 1: Schema dello sfioratore. TRACCIA PER LO SVOLGIMENTO Definizione delle quote di massimo invaso e di massima regolazione In base all art. H4 del decreto ministeriale n.212 del , il franco netto f N di una qualsiasi diga in materiali sciolti deve essere maggiore o al massimo uguale ai valori mostrati in tabella 1, dovendosi utilizzare il metodo dell interpolazione per determinare i valori corrispondenti ad altezze diga intermedie. Quindi, essendo nota l altezza della diga A d = q cr q fd ), è possibile calcolare a priori - eventualmente per interpolazione - il franco netto. Sommando al valore trovato l ampiezza a od della massima onda che può essere generata nel bacino artificiale calcolabile in base alla conoscenza della massima lunghezza dell area di generazione, ovvero del Fetch sotteso dalla diga, e della massima intensità del vento), è poi possibile calcolare il franco lordo f L = f N + a od. Infine, essendo noto il carico massimo h max sullo sfioratore, è possibile calcolare a priori le quote di massimo invaso q mi = q cr f L e di massima regolazione q mr = q mi h max. Nel caso presente, allo scopo di determinare l ampiezza dell onda generata nel bacino si potrà fare uso della seguente relazione empirica valida per V <100 km/h e F <18 km 1

2 a od = F 1/2 0.26F 1/4) 1) nella quale l estensione del Fetch è in [km], il modulo della velocità del vento in [m/s] e l ampiezza dell onda generata in [m]. Il profilo di Lazzari A d m) f N m) ) ) Tabella 1: Valori del franco netto di una diga in relazione alla sua altezza Per assegnare la forma al profilo dello sfioratore, ovvero alla sua sezione meridiana, Lazzari 1954, 1959) fa riferimento alla curva che delinea il profilo inferiore di una vena libera sfiorante da uno stramazzo circolare in parete sottile Fig. 2), avendo avuto cura, analogamente a quanto suggerito da Creager nel caso degli sfioratori frontali, di sopravanzare tale curva in modo da garantire con l aderenza della vena, la costanza delle pressioni sullo sfioratore, l assenza di vibrazioni e il funzionamento regolare anche per portate diverse da quelle di progetto. La portata di efflusso da uno stramazzo circolare in parete sottile, per carico generico h+y 0, viene posta uguale a Q = µlh 2gh + y 0 ) 3 = µ2πr sf 2g h + y0 ) 3/2 2) in cui il coefficiente di efflusso, ricavato per via sperimentale da Lazzari ), assume la forma ) 1/20 rsf + x 0 µ = ) h + y 0 essendo x 0 e y 0 le distanze dal vertice della parete sottile dell origine del sistema di riferimento Fig. 2) rispetto alla quale è tracciata la parabola di definizione del profilo da adottare. Tali distanze risultano uguali a { x0 = 0.144h + y 0 ) r sf + x 0 ) y 0 = 0.055h + y 0 ) h+y0)2 r sf +x 0) mentre l equazione del profilo assume la forma valide per 0.1 h + y 0 r sf + x ) ) 1.8 y x = ) h + y 0 h + y 0 Infine, per quanto riguarda il risvolto di invito allo sfioratore, questo può essere assunto semicircolare con raggio pari a r inv = 1 x y 2 ) 0 6) 2 y 0 Esercitazioni del Corso di Costruzioni Idrauliche II 2

3 Figura 2: Sistema di riferimento utilizzato da Lazzari ) per lo studio dell efflusso da stramazzo circolare. Dimensionamento di massima del raggio dello sfioratore Posto la 3) diviene h = h + y 0 ; r sf = r sf + x 0 7) e la 4) A partire dalla 2) è possibile ricavare µ = r ) 1/20 sf h 8) x 0 = h r sf ) 9) y 0 = h h r sf Q = /2 2πr sf 2g h ) mentre dalla seconda delle 9), essendo y 0 = h h, si ottiene h ) h = h 2 r sf h ) r ) 1/20 sf h 10) r sf = 0.030h h h valida per il generico carico h. Sostituendo quest ultima nella precedente, avendo avuto cura di porre h = h max e Q = Q max, si ottiene Q max 0.742π 2g = h ) 3/ h h h max 11) ) 0.030h 2 ) 1/ h h max h 12) che risolta numericamente, ovvero per tentativi, fornisce h e, quindi, tramite le precedenti relazioni, tutti i valori caratteristici dello sfioratore tra cui il suo raggio r sf ) per condizioni di Esercitazioni del Corso di Costruzioni Idrauliche II 3

4 massimo invaso. La validità del dimensionamento effettuato è verificata qualora il rapporto h max y 0 )/r sf x 0 ) risulta compreso nei limiti indicati nella 4). Si osserva che, seguendo tale modalità di calcolo il franco disponibile nelle condizioni di massimo invaso effettiva differenza tra la quota di coronamento e la quota di massimo invaso) viene a coincidere con il franco lordo precedentemente calcolato. Dimensionamento di massima del raggio del pozzo Sempre in base all art. H4 del decreto ministeriale n.212 del , nel caso di uno sfioratore soggetto a saturazione occore verificare che le sue dimensioni siano tali da garantire che la quota di saturazione q st ovvero il carico di saturazione sullo sfioratore h st ) risulti superiore a quella di massimo invaso q mi ovvero al carico massimo sullo sfioratore h max ) per un valore pari a due terzi del franco netto f N, cioè h st = h max f N 13) In questo caso, la portata effluente con un comportamento a stramazzo risulta ove Q st = µ2πr sf 2g hst + y 0 ) 3/2 14) ) 1/20 rsf + x 0 µ = ) h st + y 0 In condizioni di saturazione, tale portata deve risultare uguale a quella che può defluire sotto battente nella sezione terminale del pozzo, a valle del gomito, in corrispondenza dell ingresso nella galleria sub-orizzontale di scarico a pelo libero. Solitamente, si ammette che tale sezione abbia un area Ω c pari al 95% dell area del pozzo Ω p Ω c =0.95Ω p r c =0.975r p ) e che, a valle di essa, si verifichi una sezione contratta con una un area bagnata pari al 90% di Ω c. La portata defluita sotto battente può porsi uguale a Q st = µ bt Ω c 2gηhbt 16) ove µ bt è un coefficiente di deflusso da determinarsi sperimentalmente nel presente caso si potrà assumere µ bt =0.9), η il coefficiente di rendimento che tiene conto delle perdite di carico nel gomito di collegamento tra il pozzo e la galleria di scarico e h bt il carico agente sul deflusso a battente. Relativamente al coefficiente di rendimento η, Gardel 1949) ha proposto la seguente formulazione η = r ) g 17) 2r c valida per nel presente caso si assumerà r g /2r c =1.5) 1.0 < r g 2r c < 2.0 ; 0.18 < e 2r c < ) essendo r g il raggio di curvatura della parte terminale del pozzo Fig. 1) e l altezza della zona areata nella galleria di scarico. Per quanto riguarda il carico sul battente, esso sarà dato da h bt = q st q fg r c h = A p + h st r c h 19) ove si sono indicate con q st la quota di saturazione, con q fg la quota del fondo del pozzo comprensivo del gomito, con A p l altezza del pozzo e con h le perdite di carico lungo il pozzo stesso Esercitazioni del Corso di Costruzioni Idrauliche II 4

5 1 ). Queste ultime possono essere calcolate con le usuali formule valide per il moto permanente turbolento, ad esempio Gaukler, ovvero Q st = χω c Rc j ; χ = krc 1/6 j = h = L p k 2 Ω c Rc 4/3 assumendo per il presente caso k=71. Dalla precedente, posto 20) L p = q mr q fg r c = A p r c 21) ed esprimendo l area Ω c e il raggio idraulico R c della sezione terminale del pozzo a valle del gomito in termini del raggio del pozzo r p si ricordi che si assume r c =0.975r p ) si ricava h = Q2 sta p 0.975r p ) 2 4/3 k 2 π 2 r 16/3 p Ricavando il carico sul battente dalla 16) si ottiene h bt = 2gηµ 2 bt Ω2 c = ) 2gηµ 2 bt 0.95πr 2 2 = 1.805gηµ 2 p bt π2 rp 4 Infine, sostituendo le due relazioni precedenti nella 19) si ricava [ ] 1.805gηµ 2 = bt π2 r4 p A p + h st 0.975r p Q2 sta p 0.975r p ) 2 4/3 k 2 π 2 rp 16/3 che risolta numericamente, ovvero per tentativi, fornisce il ricercato raggio del pozzo. 22) 23) 24) Dimensionamento di massima della galleria di scarico In un alveo chiuso circolare l altezza caratteristica al superamento della quale si ha un riduzione delle velocità e delle portate di moto uniforme risulta h ct = 1.94r gs = 0.97D gs 25) Figura 3: Schema della sezione della galleria di scarico. Con riferimento alla figura 3, imponendo un riempimento pari all 80% del diametro D gs, ovvero tale da garantire lo scorrimento a superficie libera per la portata esitata, è possibile determinare 1 Si osservi che nella 19), si fatta l ipotesi semplificativa che l altezza della sezione contratta a valle del battente coincida con il raggio della sezione terminale del pozzo, ovvero della sezione del pozzo a valle del gomito e prima dell ingresso in galleria. Esercitazioni del Corso di Costruzioni Idrauliche II 5

6 l angolo ϕ in base al quale si possono calcolare i corrispondenti valori del perimetro bagnato, del raggio idraulico e dell area bagnata, ovvero C gs = D gs 2 ϕ ; R gs = D gs 1 senϕ ) ; Ω gs = R gs C gs 26) 4 ϕ Esprimendo la formula di Chezy in termini del diametro D, dell angolo ϕ e della pendenza i, ovvero [ Q = ΩkR 2/3 i = k ϕ senϕ) 1 i 8 4 senϕ ) ] 2/3 D 8/3 27) 4ϕ e imponendo la pendenza, è possibile determinare il diametro della galleria di scarico necessario a far defluire a superficie libera la massima portata D gs = k iϕ senϕ) 8 Q st 1 4 senϕ 4ϕ La validità del dimensionamento effettuato è verificata qualora il rapporto e/2r c e=0.8d gs ) risulta compreso nei limiti indicati nella 18). Dimensionamento di massima del condotto di areazione Per garantire l efflusso a superficie libera lungo la galleria di scarico è in ogni caso necessario garantire l areazione della parte superiore della galleria. In particolare, la portata d aria da far affluire attraverso un condotto di areazione con sbocco immediatamente a valle della sezione terminale del pozzo deve risultare pari a Q aria = βq st, essendo il rapporto tra portate d aria e d acqua valutabile secondo la relazione sperimentale USACE - US Army Corp of Engineers) ) 2/3 3/8 28) β = 0.03 F r 1) ) Il numero di Froude viene calcolato in corrispondenza della sezione contratta, come precedentemente detto pari al 90% dell area della sezione terminale del pozzo, a valle del gomito, in corrispondenza all ingresso nella galleria di scarico 0.9Ω c ) F r = Q st/0.9ω c 30) g 0.9Ωc 2r p Noto il numero di Froude, ovvero il rapporto β, si calcola la portata d aria. Poiché la velocità dell aria nel condotto di areazione deve risultare 40 m/s U aria 100 m/s, imponendo una specifica velocità si ottiene il diametro dell aeroforo dalla relazione Q st πd 2 aria 4 = U aria D aria = 4Qst πu aria 31) Appendice Metodo Newton-Raphson Il metodo di Newton-Raphson rappresenta una procedura approssimata efficiente per determinare la radice α di un equazione algebrica non lineare fx), nel caso in cui sia possibile conoscere la sua derivata f x). Esercitazioni del Corso di Costruzioni Idrauliche II 6

7 Sia x n una approssimazione della radice α cercata. In questo caso, utilizzando la serie di Taylor, è possibile espandere fα) rispetto all approssimazione, ovvero al punto x n f α) = f x n ) + α x n ) f x n ) + α x n) 2 f x n ) ) 2! Se x n =α, ovvero se l approssimazione è vicina alla radice cercata, allora il valore della differenza α x n ) è piccolo e i termini di ordine α x n ) 2 e superiori possono essere trascurati. In questo caso da cui, essendo fα)=0, discende che f α) = f x n ) + α x n ) f x n ) 33) f x n ) + α x n ) f x n ) = 0 α = x n f x n) f x n ) ovvero la base del criterio di iterazione di Newton-Raphson 34) x n+1 = xn f x n) f x n ) il quale procede fino a quando la differenza tra due risultati successivi non risulta inferiore a un errore preassegnato 35) x n+1 x n < ε 36) Applicazione al calcolo del raggio dello sfioratore e del pozzo Il metodo di Newton-Raphson può applicarsi sia per la soluzione delle equazioni 12) e 24). Nel caso dell equazione 12), posta l incognita h = x e a = Q max 0.742π 2g l equazione stessa e la sua derivata possono scriversi b = h max c = d = ) f x) a cx [ b) 21/20 dx 7/2 dx) 1/20 f x) ac cx b) 1/20 71dx 5/2 dx) 1/20] 38) che, sostituite nella 35), forniscono la base dell iterazione. Nel caso dell equazione 24), posta l incognita r p = x e Q a = 2 st 1.805gηµ bt π b = A 2 p + h st c = ) d = A p e = f = 2 4/3 k 2 π 2 l equazione stessa e la sua derivata possono scriversi ) f x) a x b cx d ex fx 16/3 f x) 4d x[e+3fx13/3 5cx 4b)] 40) 3fx 7/3 che, sostituite nella 35), forniscono la base dell iterazione. Esercitazioni del Corso di Costruzioni Idrauliche II 7