CAPITOLO 4. Invertitore trifase di tensione in onda quadra e a PWM

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1 CAPITOLO 4 Invertitore trifase di tensione in onda qadra e a PWM 4. - L'invertitore trifase di tensione I principali motori in alternata tilizzati negli azionamenti elettrici sono motori trifase asincroni o sincroni. Per entrambe qeste tipologie di motori si rende necessario disporre di n alimentazione trifase di tensione con ampiezza e freqenza controllabili. L'obiettivo del presente paragrafo è qello di fornire na sintetica descrizione del più tilizzato generatore trifase di tensione ad ampiezza e freqenza regolabili, noto generalmente come invertitore trifase di tensione (three-phase voltage sorce inverter). 4.. Schema e principio di fnzionamento - Lo schema di principio di n invertitore di tensione trifase che alimenta n motore in alternata M è riportato in Fig.4... L'ingresso all'inverter è na O a S a S ā Fig Rappresentazione schematica di n invertitore di tensione trifase b S S - b b c S c S - c sorgente di tensione contina ( link), solitamente ottenta dalla rete di alimentazione (monofase o trifase, a seconda della potenza richiesta) tramite n raddrizzatore ed n condensatore di livellamento di appropriata capacità, atto a mantenere pressoché costante la tensione contina ai soi capi. In Fig.4.., tale tensione (bs voltage) è stata rappresentata per comodità espositiva con de generatori gali connessi in serie nel pnto O. L'inverter è essenzialmente costitito da sei interrttori elettronici di potenza (S a- S - a- S b- - S - c, power switches) connessi per formare tre rami o gambe (inverter legs or poles), no per ogni fase del motore M. In pratica ciascno degli interrttori è costitito dal parallelo fra n componente elettronico di potenza comandato in accensione e spegnimento (p.e. n transistore del tipo IGBT o n tiristore del tipo GTO), capace di condrre corrente dall alto verso il basso in figra, e da n diodo (non controllato) disposto per condrre corrente dal basso verso l alto. I diodi si rendono necessari, data la natra indttiva del carico, per fornire na via di richisra delle correnti ad ogni apertra degli interrttori comandati. Comandando la chisra dell'interrttore speriore di n ramo si connette la fase del motore al positivo dell'alimentazione (positive rail); natralmente, per evitare distrttivi cortocirciti del bs in contina (shoot-troght falts), la coppia di interrttori dello stesso ramo deve essere sempre comandata alternativamente, in modo che mai entrambi gli interrttori risltino abilitati a condrre. Ne risltano otto possibili assetti o stati (inverter states), che possono essere rappresentati con na parola binaria a tre bit, no per fase, adottando la convenzione di indicare con "" la chisra dell'interrttore speriore di n ramo e con "0" qella dell'interrttore inferiore. Ad esempio, lo stato 00 corrisponde a chidere lo switch speriore S a della fase "a", e qelli inferiori S - b ed S - c La solzione qi descritta e rappresentata in Fig. 4.. è qella a semiponte. na più rara configrazione fa so di interrttori di potenza ed è detta a ponte. M N 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

2 delle fasi "b" e "c" e proe na terna di tensioni fra i morsetti a,b e c e il pnto O di mezzo dell alimentazione i ci valori sono rispettivamente /, - /, - /. Applicando la definizione di vettore spaziale, si trova che 6 degli 8 stati sono rappresentati da na stella di sei vettori di stato (state vectors) di ampiezza / e sfasati rispettivamente di π/, occpando i vertici di n esagono centrato nell'origine degli assi, come mostra la Fig.4..: stati π β π/ Fig Vettori spaziali relativi agli stati attivi dell'inverter di tensione trifase 6 α attivi (cfr. anche par..4.6). I de stati 000 ed, che corrispondono rispettivamente alle configrazioni con ttti gli interrttori inferiori e speriori chisi, hanno il relativo vettore spaziale nllo, ed occpano pertanto l'origine degli assi del piano complesso: stati nlli. La stella dei vettori individa sei regioni o settori, convenzionalmente nmerati in senso antiorario come mostra la Fig.4... In qesto testo anche i vettori spaziali di stato verranno nmerati da a 6, con 00, 0 e così via come in Fig..4.. L'espressione del generico vettore di stato è data da : j( m ) m e m [..6] (4..) Gli interrttori di potenza vengono realizzati con diverse tecnologie, a seconda della potenza da commtare e della velocità di commtazione. I più noti sono attalmente gli IGBT (Inslated Gate Bipolar Transistor) per medie potenze (fino a qalche kw) ed elevate freqenze di commtazione (fino a 5 KHz), i MOSFET per potenze piccole (sotto il kw) ed elevatissime freqenze (0 khz ed oltre), i GTO (Gate Trn- Off Thyristor) per elevatissime potenze e basse freqenze. Componenti abbastanza novi, e ancora di limitato impatto nelle applicazioni sono gli MCT (Mos Controlled Thyristor) e gli IGCT (Integrated Gate- Commtated Thyristor). In generale, i tempi con ci n interrttore di potenza reagisce ai comandi di apertra e chisra non sono mai perfettamente gali; per essere certi di comandare la chisra di n interrttore qando l'altro (dello stesso ramo) abbia effettivamente cessato di condrre si frappone tra i comandi ai de switch n tempo di pasa (tempo morto o dead time). Qesto ritardo nella condzione di no degli interrttori provoca na distorsione nelle tensioni di scita rispetto ai segnali di riferimento e rislta opportno, specialmente negli azionamenti più sofisticati, implementare opportni algoritmi di compensazione Tensioni d'scita di n invertitore fnzionante in onda qadra - Il fnzionamento in onda qadra (six-step mode) consiste nel comandare ciclicamente i tre interrttori speriori S a, S b, S c dell'inverter di Fig.4.. in modo che il loro stato sia per n semiperiodo e qindi 0 nel restante semiperiodo, con no sfasamento fra gli stati dei rami dell invertitore di π/. Gli interrttori inferiori sono comandati in modo dale. Le tensioni ao, bo, co prodotte tra i morsetti a,b,c dell'invertitore e il pnto di mezzo O dell'alimentazione in contina hanno pertanto l'andamento di Fig Ciascna forma d'onda, prolngata per periodicità, pò essere espressa in serie di Forier. Si consideri ad esempio ao : trattandosi di na fnzione dispari (con l origine dei tempi scelto come in Fig. 4..), i Non è infreqente na scelta diversa, che attribisce a ciascn vettore il valore decimale corrispondente al valore binario a tre bit (004, 06 e così via). In qesto capitolo le grandezze vettoriali sono indicate con simbolo grassetto. 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

3 / - / ao π/ bo π/ π π 4 π ampiezza fondamentale co 4π/ Fig Fnzionamento in onda qadra Fig Spettro della tensione di fase di n invertitore ad onda qadra n coefficienti relativi ai termini in coseno sono ttti nlli; dato poi che è soddisfatta la condizione ao () - ao (π), sono nlli anche ttti i coefficienti pari dei termini in seno 4. Le eqazioni delle altre de tensioni si ottengono dalla prima semplicemente traslando il tempo di T/ e T/ e qindi ogni armonica di nπ/ e 4nπ/: 4 π π π π [sen( - ) sen sen(5 ) sen(7 ) π 5 7 (4..) 4 4π 4π 4π [sen( - ) sen sen(5 ) sen(7 ) π 5 7 ( ) [sen( ) sen( ) sen( 5) sen( 7)...] ao ( ) ( )...] bo ( ) ( )...] co con ωt e ω π/τ, dove T è il periodo dell'onda qadra Le (4..) indicano che la componente fondamentale (prima armonica a plsazione ω, tratteggiata per la fase a in Fig. 4..) ha ampiezza ao, pari a 4 (4..) π ao, e sono presenti ttte le se armoniche di ordine dispari. L'ampiezza della generica armonica ao,n è data dalla 4 ao, ao, n (4..4) nπ n 4 Il coefficiente del termine in seno di ordine n rislta infatti (ponendo ξ-π): π π π b n ao ( ) sin( n) d ao ( ) sin( n) d ao ( ξ) sin( nξ nπ) dξ π 0 π 0 π 0 ed è chiaramente nllo per ttti gli n pari. 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

4 e rislta n volte minore della fondamentale (Fig.4..4) Le (4..) consentono inoltre di affermare che la componente fondamentale e le armoniche di ordine n6m (m0,,,..) formano terne dirette, qelle di ordine n6m formano terne omopolari e le armoniche di ordine n6m5 formano terne inverse. In n inverter convenzionale, la tensione del bs in contina viene prodotta da n ponte raddrizzatore trifase, con n condensatore elettrolitico di livellamento in scita. La tensione contina che si ottiene dipende se si considera il valore medio o di picco del raddrizzamento, oltre che natralmente dalla tensione trifase concatenata efficace d'ingresso ( eff,conc 80V o 0V). Nel primo caso, con 80V e n ponte raddrizzatore trifase, si ha n valore medio.5 eff,conc 5 V, mentre considerando il raddrizzamento di picco rislta eff,conc 54 V. Di consegenza la componente fondamentale della tensione ao di scita ha valore efficace pari a V Le tensioni concatenate (phase-to-phase voltages) ab, bc e ca prodotte dall'invertitore si ottengono per differenza a de a de delle tensioni di fase. La Fig.4..5 riporta l'andamento delle tensioni concatenate nel fnzionamento ad onda qadra Anche le tensioni concatenate possono essere svilppate in serie di Forier per ottenere le (4..5). Le (4..5) contengono la componente fondamentale e le armoniche di ordine dispari non mltiple di (qindi sono prive di componente omopolare) e la loro ampiezza è volte qella delle armoniche dello stesso ordine nelle (4..). 4 π π π π π π π π π π {sen( ) sen[5( ) ] sen[7( ) ] π } (4..5) 4 π 4π π 4π π 4π {sen( ) sen[5( ) ] sen[7( ) ] π } ( ) [sen( ) sen 5( ) sen 7( )...] ab ( ) bc ( ) ca ab - bc π/ π ao π/ / π bo π/ ca co π/ Fig Tensioni concatenate nel fnzionamento in onda qadra Fig Tensioni stellate s carico eqilibrato senza filo netro 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

5 Se il centro stella del motore N è accessibile e viene collegato con il pnto medio O dell'alimentazione in contina (tratteggio in Fig.4..) le tensioni di fase (phase voltages) del motore coincidono con qelle di Fig Molto spesso, comnqe, il centro stella del motore non è disponibile e la terna di correnti che interessa il carico ha necessariamente somma nlla. Con qesta ipotesi, se ai morsetti dell'invertitore è collegato n carico RLE a stella con fem bilanciate, si pò dimostrare che an ( t) ( t) ( t) 0, t bn cn (4..6) e tra il centro stella N ed O appare na tensione (componente omopolare) che vale ao bo co NO (4..7) il ci andamento è già stato riportato nel par Sostitendo le (4..) nella (4..7) si ricava 4 ( ) NO [ sen() sen(9)...] (4..8) π 9 che indica come la tensione NO sia costitita da ttte e sole le armoniche mltiple di tre presenti nella tensione di fase dell invertitore Le tensioni stellate del carico si ottengono finalmente sottraendo NO alle tensioni di fase dell invertitore. In forma grafica esse si presentano come nella Fig Anche qeste tensioni sono formate dalla componente fondamentale e dalle armoniche di ordine dispari prché non mltiple di tre (sono prive della componente omopolare). Però la loro ampiezza è la stessa di qella delle relative armoniche delle (4..). n ltimo aspetto legato al fnzionamento in onda qadra è relativo al valore efficace (globale) delle tensioni prodotte, che pò essere ricavato in modo particolarmente semplice sfrttando la definizione e le proprietà dei vettori spaziali. Ricordando la definizione di valore efficace di na grandezza periodica, si pò scrivere: π ( a ( ) b ( ) c ( ) ) eff d (4..9) π 0 dove a, b, c sono le tensioni di fase (stellate) sl carico (avendo tralasciato per semplicità l'altro pedice N) e eff è il valore efficace (globale) della tensione di fase. È possibile dimostrare, tramite sostitzione diretta, che vale l'espressione: a b c (4..0) ( ) ( ) ( ) ( ) 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

6 dove () è il vettore spaziale associato alla terna di tensioni trifase a, b, c. Sostitendo la (4..0) nella (4..9) si ottiene allora: π eff ( ) d (4..) π 0 che ha validità generale. Nel caso specifico di fnzionamento in onda qadra, l'ampiezza del vettore spaziale è costante e pari a / (par..4) ed il valore efficace rislta semplicemente eff /, che è costante se è costante e regolabile solo agendo s La differenza fra (4..) e (4..8) fornisce 4 π π π π [sen( ) sen(5 ) sen(7 ) π 5 7 (4..) 4 4π 4π 4π [sen( ) sen(5 ) sen(7 ) π 5 7 ( ) [sen( ) sen(5) sen(7)...] an ( )...] bn ( )...] cn Le tensioni di fase del carico risltano pertanto prive della terza armonica e di ttte le se mltiple Tecniche di modlazione della larghezza degli implsi La solzione al problema della regolazione dell'ampiezza della tensione in scita dell'invertitore, assieme ad n miglioramento del contento armonico a bassa freqenza, si ottengono distribendo in modo appropriato n certo nmero di inversioni di tensione di fase dell'invertitore all'interno di ciascn semiperiodo e modlando opportnamente la drata di ciascn implso così ottento. Qesta tecnica di controllo della tensione di scita dell'invertitore è comnemente nota come modlazione della larghezza degli implsi o PWM (Plse Width Modlation). Mediante le diverse tecniche di PWM si pò fare in modo che, diversamente da qanto accade per l'onda qadra, le armoniche di maggior ampiezza abbiano freqenza molto più alta di, 5, 7,... volte la fondamentale e siano qindi soggette ad na più energica azione di filtraggio da parte della indttanza del motore. na tensione PWM proe pertanto na corrente di fase pressoché sinsoidale, formata dalla componente fondamentale e da oscillazioni di modesta ampiezza sovrapposte ad essa. Con l'attenazione delle armoniche di corrente calano le perdite e le armoniche di coppia e il motore pò fnzionare a piena potenza e a basse velocità. La possibilità di variare la componente fondamentale della tensione d'scita modificando la larghezza degli implsi, senza dover variare la tensione contina che lo alimenta, permette di alimentare l'invertitore tramite n semplice raddrizzatore a diodi. I principali vantaggi sono na semplificazione della sezione di potenza dell'azionamento ed n minor ritardo della risposta della 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

7 sezione di potenza ad n comando di tensione, con benefici slle prestazioni dinamiche dell'azionamento 5. Per contro, il fnzionamento in PWM presenta alcni svantaggi rispetto a qello in onda qadra: le ripette inversioni di tensione casano n amento delle perdite di commtazione negli interrttori di potenza e il circito di controllo dell'invertitore rislta più complesso, in qanto deve calcolare e prodrre più istanti di inversione nel periodo dell'onda qadra. Tali svantaggi sono però ampiamente compensati dai vantaggi sopra elencati. I benefici apportati dalla PWM nel fnzionamento di n motore dipendono dal nmero e dalla posizione delle inversioni. Per qanto rigarda il nmero, rislta conveniente che sia il più alto possibile, compatibilmente con le limitazioni poste dalla massima freqenza di lavoro dei componenti di potenza e dalla capacità di calcolo del sistema di controllo dell'inverter. Per la scelta della posizione delle inversioni esistono diverse tecniche e nmerosissime varianti. Ttte però riproono, con diverso approccio implementativi, il principio generale che è esposto nel paragrafo che sege. 4. Principio generale della tecnica di modlazione della larghezza degli implsi Per la descrizione del principio generale della PWM che si pò applicare ad n invertitore trifase alimentato da na tensione contina, si consideri dapprima na generica tensione (t) come qella rappresentata in Fig. 4.., il ci andamento è compreso fra / e /. Si immagini di sddividere la scala dei tempi in tanti intervallini T s, sfficientemente piccoli rispetto agli intervalli di tempo nei qali avvengono significative variazioni della tensione in qestione, e di costrire na seconda tensione (t) che sia costante in ogni intervallino T s e pari al valore che la (t) assme all inizio di tale intervallino (per ricavare la (t) si dice che si deve campionare (sample) la tensione originale (t) e tenere (hold) il valore campionato). / (t) / ao (t) (t) (t) t T s t - / - / T on T off Fig Fig Le de tensioni (t) e (t) sono ovviamente differenti. Tttavia se si applicano ad n carico RL con costante di tempo elettrica sfficiente grande rispetto a T s si ottengono praticamente le stesse correnti. Si consideri ora n ramo (na gamba) dell invertitore, come qello formato dagli interrttori S a e S - a di Fig Come visto, la tensione ao (t) pò assmere solo de livelli: / o 5 Il ritardo è valtabile in metà del periodo degli implsi. 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

8 / a seconda che siano in condzione (chisi) S o S. A rigore non è qindi possibile generare ne (t) ne (t). Tttavia è possibile generare all interno di ciascn intervallino di drata T s na tensione ao (t) di valore medio pari a qello assnto da (t) nello stesso intervallo di tempo facendo assmere alla ao (t) il so valore positivo / per na porzione T on di T s e il so valore negativo - / per la rimanente porzione T off, come rappresentato, per n generico intervallino, in Fig La drata dell intervallo di tempo T on pò essere calcolata gagliando il valor medio della ao (t) nell intervallo considerato con il valore della (t) nello stesso intervallo. Ne rislta: ' ( t) Ton Toff Ton (Ts T ) T on ( on ) ( δ ) (4..) T T T s s ove d pari al rapporto T on /T s è detto ciclo tile o dty-cycle ed è compreso fra 0 e. In definitiva, indicata con l indice k l intervallo k-esimo in qestione, con k il valore della (t) in tale intervallo k-esimo (valore della (t) campionato all inizio dell intervallo k-esimo) e con δ k dty cycle nell intervallo k-esimo si ottiene dalla (4..) Ton δ k k (4..) T s Ne rislta pertanto per la ao (t) na sccessione di coppie di implsi positivi e negativi, di drata complessiva per ciascna coppia pari a T s e di drata T on dell implso positivo modlata in larghezza dalla (4..), come rappresentato in Fig. 4.. dalla ao,pwm (t) generata per riprodrre, con le approssimazioni discsse, la (t) della Fig. 4.., ovvero la (t). Ancora si potrà affermare che applicando allo stesso carico RL con costante di tempo elettrica sfficientemente più grande di T s la (t) oppre la (t) oppre anche la ao,pwm (t) si otterrà con bona approssimazione la stessa corrente differendo le tre forme d onda solo per delle componenti sinsoidali (contento armonico) ad alta freqenza il ci effetto slla corrente è piccolo a casa dell impedenza del carico crescente con la freqenza. s / (t) t ao,pwm (t) - / Fig /0/008 A.E. x IEIT a.a di

9 4.. PWM trifase sinsoidale Qanto descritto nel paragrafo precedente pò essere esteso al controllo di n invertitore trifase allo scopo di generare na terna di tensioni sinsoidali del tipo ( ωt ) a (t) M cos o π b (t) M cos ωt o (4..) 4π c (t) M cos ωt o con le approssimazioni appena discsse 6. Come noto la terna (4..) pò essere rappresentata dal vettore spaziale ū(t) dato dalla (.4.). Le proiezioni di tale vettore e delle se riflessioni simmetriche ū b (t) e ū c (t) sll asse reale consentono di recperare i valori della terna di tensioni di partenza. Se ancora si immagina di sddividere l asse dei tempi in tanti piccoli intervalli di drata T s (con T s <<Tπ/ω) e di rappresentare sl piano complesso il vettore spaziale e le se riflessioni simmetriche per i valori della terna (4..) campionata all inizio di ogni intervallino di drata T s, si ottiene na seqenza di vettori spaziali (e di loro riflessioni simmetriche) separati da n piccolo angolo di rotazione, na delle qali è rappresentata in Fig a,k k β, Im c,k - / / c,k b,k a,k α, Re 0 δ c,k 0,5 δ b,k δ a,k δ b,k Fig Per ciascno dei valori a,k, b,k e c,k si pò applicare la (4..), ed eventalmente le (..4), (..7) e (..8), per ottenere i corrispondenti valore di dty-cycle 6 Più in generale si potrebbe considerare na terna di tensioni con ampiezza e freqenza variabili come illstrato nel par /0/008 A.E. x IEIT a.a di

10 δa,k δb,k δc,k Ta,on Ts Tb,on Ts Tc,on Ts a,k b,k c,k α,k ( α,k ( α,k β,k ) β,k ) (4..4) che si riconoscono anche slla scala del dty-cycle riportata in Fig. 4..4, ove δ corrisponde ad na tensione PWM media in T s pari a / mentre δ0 corrisponde a / e δ0,5 a zero. Il criterio di calcolo dei cicli tili espresso dalle (4..4) va sotto il nome di PWM sinsoidale per il fatto che i tre dty-cycle variano come le tensioni in (4..), per qesto dette grandezze modlanti, e qindi con legge sinsoidale. Si riconosce dalla Fig (ed anche dalle eqazioni (4..4)), che il massimo modlo consentito per il vettore spaziale è pari a / per avere n dty-cycle compreso fra 0 e. Essendo il modlo del vettore spaziale coincidente con il valore massimo delle tensioni di fase, la PWM sinsoidale comporta le segenti limitazioni: M,fase M eff,fase (4..5) eff,conc I limiti espressi dalle (4..5) possono essere sperati passando in sovramodlazione. Tale tecnica non è qi considerata. 4.. PWM trifase con iniezione di componente omopolare Allo scopo di allargare i limiti di tensione che la PWM sinsoidale presenta (cfr. (4..5), si pò ricorrere ad na sa modificazione che consiste nell adottare come grandezze modlanti la terna di tensioni sinsoidali bilanciate date dalle (4..) sommate ad na comne componente omopolare o (t) ( ωt ) (t) a (t) M cos o o π b (t) M cos ωt o o (t) (4..6) 4π c (t) M cos ωt o o (t) E noto (cfr. par..4.4) che la presenza di na componente omopolare o (t) non ha alcn effetto slle correnti di n carico trifase a tre fili. Ciò consente di poter scegliere liberamente la componente omopolare più vantaggiosa dal pnto di vista della realizzazione della PWM senza alcn effetto collaterale slla dinamica delle correnti del circito elettrico. L obiettivo principale da persegire per la scelta di o (t) è qello di consentire la rotazione della stella di vettori spaziali ū a (t), ū b (t) e ū c (t) delle maggiori dimensioni possibili rispettando i limiti /, / delle loro proiezioni. A tale scopo si ricordi che la componente omopolare 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

11 corrisponde allo spostamento del centro della stella dei vettori spaziali citati lngo l asse reale. Per persegire l obiettivo si evince pertanto che si potrà scegliere na componente omopolare tale che ogniqalvolta no dei tre vettori spaziali si appresta a transitare attraverso l asse reale, determinando la sa massima proiezioni positiva o negativa, il centro della stella dei vettori venga spostato dalla parte opposta, come in Fig β, Im a,k k c,k - / o,k / c,k b,k a,k α, Re 0 δ c,k 0,5 δ b,k δ a,k δ b,k Fig Si avranno qindi tre spostamenti verso destra (valori postivi di o (t), in corrispondenza dei transiti di n vettore spaziale attraverso il semiasse reale negativo) e tre verso sinistra (valori postivi di o (t), in corrispondenza dei transiti di n vettore spaziale attraverso il semiasse reale positivo) per ogni giro dei tre vettori spaziali, ovvero per ogni periodo delle tensioni sinsoidali (4..). La componente omopolare perciò avrà n andamento alternativo con freqenza tripla di qella delle tensioni trifase da generare. In presenza di componente omopolare i dty-cycle dei tre rami dell invertitore risltano dati dalle Ta,on δa,k Ts Tb,on δb,k Ts Tc,on δc,k Ts a,k b,k c,k [ ] α,k o,k ( α,k ( α,k β,k ) o,k β,k ) o,k (4..7) Visto in qesti termini, la scelta della componente omopolare o,k, pò essere fatta in modo che, finché possibile, i tre dty-cycle risltino ttte compresi fra 0 e. Con na oclata scelta di o,k tali limiti possono essere soddisfatti fino ad na stella di vettori spaziali che definisce n triangolo eqilatero (pnteggiato in Fig. 4..5) avente il so lato pari a. Se ne dee che le tecniche di PWM con iniezione di componente omopolare comportano le segenti limitazioni: M,fase M,conc 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

12 M,fase eff,fase (4..8) eff,conc che sono più ampi di qelli espressi dalle (4..5). Per esempio partendo da na tensione pari a 540 V, che si ottiene idealmente raddrizzando con n ponte trifase a diodi na terna di tensioni sinsoidali di valore efficace della concatenata pari a 400 V, con la PWM sinsoidale si genera na terna di tensioni il ci valore efficace concatenato della modlante è al massimo pari a eff,conc max V mentre adottando na PWM con iniezione di omopolare si pò gingere fino a: eff,conc max 8V In ogni caso non si ottengono più i 400 V da qi è partito il raddrizzamento a meno che non si ricorra, per le tensioni più alte, al fnzionamento in onda qadra con il qale si ottiene (cfr. (4..) e (4..5)) 4 π eff, conc max 4V Appare evidente che possono esistere nmerose solzioni alla scelta di o,k, che corrispondono a diversi andamenti temporali di o (t) e che possono essere gistificate da vantaggi implementativi o in particolarità di fnzionamento qi non considerate. Nella pratica si trovano algoritmi di scelta di δ a,k, δ b,k e δ c,k che vanno sotto il nome di: PWM trifase con iniezione di terza armonica: le grandezze modlanti (4..6) sono scelte pari a: a b c (t) M cos ( ωt ) cos( ωt ) o M π π o (t) M cos ωt o Mcos( ωt o ) (4..6) 4 (t) M cos ωt o Mcos( ωt o ) ove M è fisso o proporzionale a M. PWM vettoriale: il calcolo dei dty-cycle è condotto con procedra matematica alternativa a qella delle (4..7) impostata s elaborazioni che coinvolgono il vettore spaziale della terna di tensioni che si vole generare e i vettori che l invertitore è in grado di prodrre alla sa scita. 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di

13 PWM ad aggancio di bs: il dty-cycle più vicino a no o a zero è posto proprio pari a no o a zero, secondo qale dei de limiti sia più vicino, sommando algebricamente n opportno valore di o,k. Lo stesso contribto omopolare è qindi sommato anche nell espressione degli altri de cicli tili. 9/0/008 A.E. x IEIT a.a di