L INCONTRO DELLE PARALLELE: GEOMETRIE E NON SOLO!
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- Evelina Conte
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1 L INCONTRO DELLE PARALLELE: GEOMETRIE E NON SOLO! Silvia Benvenuti Scuola di Scienze e Tecnologie Università di Camerino Le idee, i risultati e i personaggi della matematica Accademia Nazionale dei Lincei Milano, 1 febbraio 2016
2 Quello che ci hanno sempre insegnato
3 Quello che ci hanno sempre insegnato La somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull ipotenusa
4 Quello che ci hanno sempre insegnato La somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull ipotenusa Dati una retta r e un punto P fuori da essa, esiste una e una sola parallela ad r passante per P
5 Quello che ci hanno sempre insegnato La somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull ipotenusa La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 Dati una retta r e un punto P fuori da essa, esiste una e una sola parallela ad r passante per P
6 Quello che ci hanno sempre insegnato La somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull ipotenusa Dati una retta r e un punto P fuori da essa, esiste una e una sola parallela ad r passante per P La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 Dato un triangolo, è sempre possibile costruirne uno simile ma più grande (omotetia)
7 dimentichiamolo per oggi! La somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull ipotenusa Dati una retta r e un punto P fuori da essa, esiste una e una sola parallela ad r passante per P La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 Dato un triangolo, è sempre possibile costruirne uno simile ma più grande (omotetia)
8 dimentichiamolo per oggi! La somma dei quadrati costruiti sui cateti è minore del quadrato costruito sull ipotenusa Dati una retta r e un punto P fuori da essa, esiste una e una sola parallela ad r passante per P La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 Dato un triangolo, è sempre possibile costruirne uno simile ma più grande (omotetia)
9 dimentichiamolo per oggi! La somma dei quadrati costruiti sui cateti è maggiore del quadrato costruito sull ipotenusa Dati una retta r e un punto P fuori da essa, esiste una e una sola parallela ad r passante per P La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 Dato un triangolo, è sempre possibile costruirne uno simile ma più grande (omotetia)
10 dimentichiamolo per oggi! La somma dei quadrati costruiti sui cateti è maggiore del quadrato costruito sull ipotenusa La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 Dati una retta r e un punto P fuori da essa, esiste più di una parallela ad r passante per P Dato un triangolo, è sempre possibile costruirne uno simile ma più grande (omotetia)
11 dimentichiamolo per oggi! La somma dei quadrati costruiti sui cateti è maggiore del quadrato costruito sull ipotenusa La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 Dati una retta r e un punto P fuori da essa, non esiste nessuna parallela ad r passante per P Dato un triangolo, è sempre possibile costruirne uno simile ma più grande (omotetia)
12 dimentichiamolo per oggi! La somma dei quadrati costruiti sui cateti è maggiore del quadrato costruito sull ipotenusa Dati una retta r e un punto P fuori da essa, non esiste nessuna parallela ad r passante per P La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180 Dato un triangolo, è sempre possibile costruirne uno simile ma più grande (omotetia)
13 dimentichiamolo per oggi! La somma dei quadrati costruiti sui cateti è maggiore del quadrato costruito sull ipotenusa Dati una retta r e un punto P fuori da essa, non esiste nessuna parallela ad r passante per P La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180 Dato un triangolo, è sempre possibile costruirne uno simile ma più grande (omotetia)
14 dimentichiamolo per oggi! La somma dei quadrati costruiti sui cateti è maggiore del quadrato costruito sull ipotenusa Dati una retta r e un punto P fuori da essa, non esiste nessuna parallela ad r passante per P La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180 Se due triangoli hanno gli stessi angoli interni, allora hanno la stessa area
15
16 racconti di fate
17 racconti di fate geometrie da manicomio
18 racconti di fate geometrie da manicomio elucubrazioni deliranti di un professore universitario elevate al rango di nuove verità sovrumane, per merito della sua megalomania
19 racconti di fate geometrie da manicomio la geometria non euclidea non può procurare agli studenti altro che stanchezza, vuotezza, arroganza e stupidità elucubrazioni deliranti di un professore universitario elevate al rango di nuove verità sovrumane, per merito della sua megalomania
20 racconti di fate geometrie da manicomio la geometria non euclidea non può procurare agli studenti altro che stanchezza, vuotezza, arroganza e stupidità elucubrazioni deliranti di un professore universitario elevate al rango di nuove verità sovrumane, per merito della sua megalomania i geometri non euclidei hanno una comprensione oscura e menti ingannevoli, e l insegnamento della geometria non euclidea in università e scuole darebbe origine a una razza di studenti che potrebbe compromettere la società
21 Kant e i Munduruku Immanuel Kant ( )
22 La rivoluzione non euclidea: libertà!
23 La rivoluzione non euclidea: libertà!
24 Libertà: l influenza sull arte moderna «se si desiderasse collegare lo spazio dei pittori a qualche geometria, bisognerebbe fare riferimento ai sapienti non euclidei, meditare su certi [loro] teoremi» Du cubisme (1912), A. Gleizes e J. Metzinger «Lobačevskij ha fatto esplodere l assolutismo di Euclide. Con Gauss e Riemann egli ha distrutto il rigido spazio euclideo. Tutti gli oggetti matematici che essi hanno stabilito sono inimmaginabili e inaccessibili alla sensazione. Lo schiudersi della nuova epoca, annunciata dalla costruzione di nuovi mondi matematici, portava con sé una tentazione, e gli artisti non hanno saputo resistere alla sua forza seduttrice. [ ] Noi abbiamo deciso di accettare come evidenti e necessarie le concezioni che i nostri predecessori hanno considerato come inconcepibili e che, in effetti, essi erano incapaci di concepire». E. El Lissitzky ( ) «Un quadro è l arte di far incontrare due linee, di cui si constata geometricamente il parallelismo, su una tela, davanti ai nostri occhi, nella realtà di un mondo trasfigurato che segua nuove condizioni e possibilità» T. Tzara ( ) Pelham Grenville Wodehouse, Herbert George Wells, Oscar Wilde, Joseph Conrad, Ford Madox Ford, Marcel Proust, Gertrude Stein Alexander Scriabin, Edgar Varèse, George Antheil «La matematica è la scienza della libertà: la geometria non euclidea è nata non per misurazioni, ma sulla base della libera scelta umana di negare in maniera non distruttiva». Imre Toth
25 La rivoluzione non euclidea: libertà! Cerchio limite IV, M. C. Escher (1969) Ragazzo affascinato dal volo di una mosca non euclidea, Max Ernst (1942)
26 La rivoluzione non euclidea: libertà! Cerchio limite IV, M. C. Escher (1969) «La matematica è la scienza della libertà: la geometria non euclidea è nata non per misurazioni, ma sulla base della libera scelta umana di negare in maniera non distruttiva». Imre Toth Ragazzo affascinato dal volo di una mosca non euclidea, Max Ernst (1942)
27 A pensarci bene
28 Fare geometria su superfici diverse dal piano
29 Geometria del mappamondo
30 Geometria del mappamondo
31 Geometria del mappamondo Cosa vuol dire andare a diritto sul mappamondo?!
32 Geometria del mappamondo Cosa vuol dire andare a diritto sul mappamondo?!
33 Geometria del mappamondo Cosa vuol dire andare a diritto sul mappamondo?!
34 Geometria del mappamondo Cosa vuol dire andare a diritto sul mappamondo?! Segmento AB = il più breve tra tutti i percorsi che congiungono A e B
35 Geometria del mappamondo Cosa vuol dire andare a diritto sul mappamondo?! Segmento AB = il più breve tra tutti i percorsi che congiungono A e B
36 Segmenti e rette del mappamondo
37 Le rette del mappamondo
38 Le rette del mappamondo
39 Le rette del mappamondo
40 Le rette del mappamondo
41 Fare geometria sul mappamondo (S 2 )
42 Fare geometria sul mappamondo (S 2 ) 1. Per due punti non antipodali di S 2 passa sempre una e una sola retta, mentre per due punti antipodali passano infinite rette;
43 Fare geometria sul mappamondo (S 2 ) 1. Per due punti non antipodali di S 2 passa sempre una e una sola retta, mentre per due punti antipodali passano infinite rette; 2. Su S 2 non esistono rette parallele, perché due rette qualunque hanno sempre due punti in comune;
44 Fare geometria sul mappamondo (S 2 ) 1. Per due punti non antipodali di S 2 passa sempre una e una sola retta, mentre per due punti antipodali passano infinite rette; 2. Su S 2 non esistono rette parallele, perché due rette qualunque hanno sempre due punti in comune; 3. Le rette di S 2 sono curve chiuse e hanno tutte la stessa lunghezza finita.
45 Geometria dello sputo
46 Geometria dello sputo Fra le mostruosità più grandi che questo matematico minore che fu Riemann ha messo al mondo, quella di una linea perfettamente diritta e chiusa in sé è forse la più spassosa. [ ] Una delle conseguenze peggiori di questa geometria è il pericolo che si corre se si sputa in linea retta davanti a sé: si rischia infatti che lo sputo vi ricada addosso! Eugen Dühring ( )
47 Triangoli gonfi
48 Triangoli gonfi
49 Triangoli gonfi La somma degli angoli di un triangolo sferico è maggiore di 180 e
50 Triangoli gonfi La somma degli angoli di un triangolo sferico è maggiore di 180 e Tale somma non è costante, come in geometria euclidea, ma varia al variare del triangolo
51 Base altezza : 2???
52 Base altezza : 2??? Area ( ) = α + β + γ - π
53 Base altezza : 2??? Teorema dell eccesso di Gauss: Area ( ) = α + β + γ - π
54 Niente omotetie! Teorema dell eccesso di Gauss: Area ( ) = α + β + γ - π
55 E Pitagora?
56 E Pitagora?
57 Formalizziamo?
58 La costruzione di una geometria
59 La costruzione di una geometria
60 La costruzione di una geometria Oggetti (termini, enti primitivi)
61 La costruzione di una geometria Oggetti (termini, enti primitivi) Regole di base (assiomi, postulati)
62 La costruzione di una geometria Oggetti (termini, enti primitivi) Regole di base (assiomi, postulati) Geometria = tutte le affermazioni, riguardanti gli oggetti, che si possono ottenere tramite deduzioni logiche a partire dalle regole di base (proposizioni, teoremi)
63 Molte geometrie
64 Molte geometrie
65 Molte geometrie Geometria euclidea
66 Molte geometrie Geometria euclidea Geometria neutrale
67 Molte geometrie Geometria euclidea Geometria neutrale Geometria iperbolica Geometria ellittica
68 Molte geometrie Geometria euclidea Geometria neutrale Geometria iperbolica Geometria ellittica Geometria proiettiva
69 Molte geometrie Geometria euclidea Geometria neutrale Geometria iperbolica Geometria ellittica Geometria proiettiva Geometria della gomma
70 Molte geometrie Geometria euclidea Geometria neutrale Geometria iperbolica Geometria ellittica Geometria proiettiva Geometria della gomma
71 La matematica è un opinione???
72 La matematica è un opinione??? La domanda: la geometria euclidea è vera? Non ha assolutamente senso. Possiamo chiederci allora se il sistema metrico decimale è vero e i vecchi sistemi di pesi e misure sono falsi; se le coordinate cartesiane sono vere e quelle polari sono false. Una geometria non può essere più vera di un altra, può soltanto essere più comoda.
73 La matematica è un opinione??? La domanda: la geometria euclidea è vera? Non ha assolutamente senso. Possiamo chiederci allora se il sistema metrico decimale è vero e i vecchi sistemi di pesi e misure sono falsi; se le coordinate cartesiane sono vere e quelle polari sono false. Una geometria non può essere più vera di un altra, può soltanto essere più comoda. «La matematica è la scienza della libertà: la geometria non euclidea è nata non per misurazioni, ma sulla base della libera scelta umana di negare in maniera non distruttiva».
74 La geometria euclidea (dimensione 2)
75 La geometria euclidea (dimensione 2) Oggetti: Regole di base:
76 La geometria euclidea (dimensione 2) Oggetti: punto, linea, superficie, Regole di base:
77 La geometria euclidea (dimensione 2) Oggetti: Regole di base: punto, linea, superficie, retta, angolo, triangolo, quadrilatero, circonferenza,
78 La geometria euclidea (dimensione 2) Oggetti: Regole di base: punto, linea, superficie, retta, angolo, triangolo, quadrilatero, circonferenza, I. Che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto; II. E che una retta terminata (=finita) si possa prolungare continuamente in linea retta; III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza; IV. E che gli angoli retti siano uguali fra loro;
79 La geometria euclidea (dimensione 2) Oggetti: Regole di base: punto, linea, superficie, retta, angolo, triangolo, quadrilatero, circonferenza, I. Che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto; II. E che una retta terminata (=finita) si possa prolungare continuamente in linea retta; III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza; IV. E che gli angoli retti siano uguali fra loro; +
80 La geometria euclidea (dimensione 2) Oggetti: Regole di base: punto, linea, superficie, retta, angolo, triangolo, quadrilatero, circonferenza, I. Che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto; II. E che una retta terminata (=finita) si possa prolungare continuamente in linea retta; III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza; IV. E che gli angoli retti siano uguali fra loro; + Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r
81 Le geometrie non euclidee
82 Le geometrie non euclidee Oggetti: Regole di base:
83 Le geometrie non euclidee Oggetti: gli stessi della geometria euclidea (punto, linea, ) Regole di base:
84 Le geometrie non euclidee Oggetti: gli stessi della geometria euclidea (punto, linea, ) Regole di base: I. Che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto; II. E che una retta terminata (=finita) si possa prolungare continuamente in linea retta; III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza; IV. E che gli angoli retti siano uguali fra loro;
85 Le geometrie non euclidee Oggetti: gli stessi della geometria euclidea (punto, linea, ) Regole di base: I. Che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto; II. E che una retta terminata (=finita) si possa prolungare continuamente in linea retta; III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza; IV. E che gli angoli retti siano uguali fra loro; +
86 Le geometrie non euclidee Oggetti: gli stessi della geometria euclidea (punto, linea, ) Regole di base: I. Che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto; II. E che una retta terminata (=finita) si possa prolungare continuamente in linea retta; III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza; IV. E che gli angoli retti siano uguali fra loro; + un postulato che neghi il V postulato euclideo
87 Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r Playfair
88 Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r Playfair N1 Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste più di una retta passante per P e parallela ad r
89 Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r Playfair N1 N2 Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste più di una retta passante per P e parallela ad r Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, non esiste nessuna retta passante per P e parallela ad r
90 Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r Playfair N1 N2 Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, hyperbolikós esiste più di una retta passante per P e parallela ad r Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, non esiste nessuna retta passante per P e parallela ad r
91 Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r Playfair N1 N2 Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, hyperbolikós esiste più di una retta passante per P e parallela ad r Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, elleiptikós non esiste nessuna retta passante per P e parallela ad r
92 Geometria iperbolica: l omino e il suo mondo di gas
93 Rette iperboliche
94 Rette iperboliche r
95 Rette iperboliche r P
96 Triangoli sgonfi
97 Arte iperbolica: Escher
98 Arte iperbolica: Escher «poiché tutte queste sequenze di pesci balzano fuori come razzi da infinitamente lontano, perpendicolarmente al contorno, e ricadono poi da dove sono venuti, nessuno di loro raggiunge mai il bordo»
99 Riconoscere punti euclidei, ellittici, iperbolici
100 La curvatura, ovvero cosa succede quando spiaccico!
101 La curvatura, ovvero cosa succede quando spiaccico!
102 La curvatura, ovvero cosa succede quando spiaccico!
103 A cosa serve tutto ciò???
104 Il telescopio mentale
105 Perché il problema è così difficile? n dimensioni obbligatorietà del punto di vista intrinseco
106 Generalizzazione del concetto di curvatura per oggetti di dimensione n Esiste e costituisce lo spartitraffico tra 3 geometrie: ellittica, piatta e iperbolica La curvatura è comunque una grandezza intrinseca I prototipi sono tre e generalizzano quelli visti per le superfici: S n, E n, H n
107 Einstein: la gravità è geometria la presenza di massa ed energia curva lo spazio
108 Lenti gravitazionali e croci di Einstein
109 Forma dell universo a grande scala: possibili soluzioni delle equazioni della relatività generale Principio cosmologico: l universo a grande scala è omogeneo e isotropo tensore energia - impulso = funzioni del tensore di Ricci 1) l universo non è statico ma si evolve, cambiando le sue dimensioni nel tempo (contraendosi o dilatandosi); 2) la geometria dell universo a grande scala è curva e l usuale geometria euclidea è solo un caso particolare tra le geometrie non euclidee che si ottengono come soluzioni delle equazioni.
110 Densità critica, forma e destino dell universo (con Λ = 0) geometria prototipo Destino densità universo = densità critica euclidea espansione che rallenta e termina dopo un tempo infinito (cioè mai) densità universo < densità critica iperbolica espansione infinita densità universo > densità critica ellittica fine dell espansione e collasso (big crunch)
111 Il problema dell inventario
112 Il problema dell inventario Materia oscura Energia oscura
113 Telescopio o macchina del tempo?
114 BOOMERANG, MAP e gli altri: l universo è piatto?
115 E quindi a cosa servono, in questo contesto, le geometrie non euclidee?????
116 È euclideo ma che forma ha???
117 Dalle recenti osservazioni sperimentali
118 Dalle recenti osservazioni sperimentali
119 Bibliografia GEOMETRIE NON EUCLIDEE, Silvia Benvenuti, Alpha test, Gli Spilli. DIMENTICARE EUCLIDE?, Silvia Benvenuti, Linx Magazine n.08/2011, p LE GNE E LA FORMA DELL UNIVERSO, Silvia Benvenuti, INSALATE DI MATEMATICA 3. SETTE VARIAZIONI SU ARTE, ARCHITETTURA E DESIGN, Silvia Benvenuti, Sironi. Il TELESCOPIO MENTALE: COSA POSSIAMO DIRE SULLA FORMA DELL UNIVERSO?, Silvia Benvenuti, in MaTeinItaly. Scopri la matematica del futuro, Egea, IL GEOMETRICON, Jean-Pierre Petit, Dedalo. POESIA DELL UNIVERSO. L ESPLORAZIONE MATEMATICA DEL COSMO, Robert Osserman, Tea. THE FOURTH DIMENSION AND NON-EUCLIDEAN GEOMETRY IN MODERN ART, Linda Henderson, MIT Press. NO! LIBERTÀ E VERITÀ, CREAZIONE E NEGAZIONE, Imre Toth, Bompiani.
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