Matematica per l economia
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- Gennaro Martini
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1 Matematica per l economia Dott. Alessia Russo Settembre 2010 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
2 Terza lezione Equazioni - Equazioni lineari e sistemi di equazioni lineari - Equazioni non lineari Ottimizzazione - Metodo di sostituzione - Metodo di tangenza Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
3 Equazione - f (x) = w, con w numero reale Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
4 Equazione - f (x) = w, con w numero reale - risolvere un equazione signi ca trovare i valori di x tali per cui la relazione f (x) = a sia veri cata (radice di funzione) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
5 Equazioni lineari - a + bx = m Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
6 Equazioni lineari - a + bx = m - x = m a b Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
7 Equazioni lineari - a + bx = m - x = m a b - 2 3x = 0 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
8 Sistema di equazioni lineari: due equazioni-due incognite a + bx + cy = m d + ex + fy = n - La soluzione del sistema può essere: de nita, inde nita, insieme vuoto Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
9 Sistema di equazioni lineari: due equazioni-due incognite a + bx + cy = m d + ex + fy = n - La soluzione del sistema può essere: de nita, inde nita, insieme vuoto - Concetto di surplus Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
10 Equazioni non lineari: quadratiche - a + bx + cx 2 = m Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
11 Equazioni non lineari: quadratiche - a + bx + cx 2 = m - x = bp b 2 4c(a m) 2c Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
12 Equazioni non lineari: quadratiche - a + bx + cx 2 = m - x = bp b 2 4c(a m) 2c x 3x 2 = 1 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
13 Equazioni non lineari: quadratiche - a + bx + cx 2 = m - x = bp b 2 4c(a m) 2c x 3x 2 = 1 x (2 3x) = 0! x (1) = 0, x (2) = 2 3 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
14 Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
15 Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
16 Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Funzione vincolo: g(x, z) = 0 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
17 Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Funzione vincolo: g(x, z) = 0 - Metodi di risoluzione: Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
18 Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Funzione vincolo: g(x, z) = 0 - Metodi di risoluzione: Metodo di sostituzione Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
19 Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Funzione vincolo: g(x, z) = 0 - Metodi di risoluzione: Metodo di sostituzione Metodo di tangenza Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
20 Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di sostituzione: Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
21 Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di sostituzione: esplicita una variabile da g(x, z) = 0 (ad esempio z(x)) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
22 Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di sostituzione: esplicita una variabile da g(x, z) = 0 (ad esempio z(x)) sostuiscila in y = f (x, z) (nell esempio, y = f (x, z (x))) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
23 Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di sostituzione: esplicita una variabile da g(x, z) = 0 (ad esempio z(x)) sostuiscila in y = f (x, z) (nell esempio, y = f (x, z (x))) massimizza y rispetto alla variabile rimasta (nell esempio, dy dx ) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
24 Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u(x, z) = x 2 1 z 1 2 e il vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è p x = 2 mentre il prezzo del bene z e p z = 5, il livello ottimo di beni (x, z ) si determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione, rapporto relativo dei prezzi, p x p z. u x u z, al Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
25 Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u(x, z) = x 2 1 z 1 2 e il vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è p x = 2 mentre il prezzo del bene z e p z = 5, il livello ottimo di beni (x, z ) si - determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione, rapporto relativo dei prezzi, p x p z. u x u z = z x, p x p z = 2 5 u x u z, al Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
26 Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u(x, z) = x 2 1 z 1 2 e il vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è p x = 2 mentre il prezzo del bene z e p z = 5, il livello ottimo di beni (x, z ) si determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione, rapporto relativo dei prezzi, p x p z. u x u z = z x, p x p z = Risolvendo il sistema lineare (x, z ) z x = = 2x + 5z u x u z, al otteniamo il livello Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
27 Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u(x, z) = x 2 1 z 1 2 e il vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è p x = 2 mentre il prezzo del bene z e p z = 5, il livello ottimo di beni (x, z ) si determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione, rapporto relativo dei prezzi, p x p z. u x u z = z x, p x p z = Risolvendo il sistema lineare (x, z ) - x = 25, z = 10 z x = = 2x + 5z u x u z, al otteniamo il livello Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
28 Esercizi Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia Settembre / 10
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