Guida alla Fisica del Laboratorio 1 e 2

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1 Guida alla Fisica del Laboratorio 1 e 2 Lorenzo Zaninetti [email protected] Dipartimento di Fisica Generale Edizione III 5 settembre 2015

2 ii

3 Introduzione Queste note vogliono sia essere un compendio completo alla fisica connessa con le esperienze del Laboratorio di Fisica I e II, sia eventualmente sostituire la parte di Fisica delle relazioni che i vari gruppi devono presentare all esame. iii

4 CAPITOLO 0. INTRODUZIONE iv

5 Indice Introduzione iii 1 Misure di lunghezze Uso del nonio Bilancia analitica Posizione equilibrio Fisica equilibrio Sensibilità ed m Doppia pesata Metodo tara Sensibilità teorica La molla Molle multiple Molle in parallelo Molle in serie Modulo di Young catetometro Piattaforma girevole Determinazione I Teoria Pendolo Semplice 29 7 Pendolo Reversibile Modo di sperimentare periodo ed ampiezza v

6 INDICE INDICE 7.3 Terza soluzione L esperimento della terza soluzione L analisi dei dati Giroscopio Momento di Inerzia J assiale J equatoriale Nutazione Esecuzione pratica Elaborazione Precessione Montaggio Esecuzione pratica Determinazione J Bilancia di Cavendish Metodo accelerazione Moto smorzato Trattamento completo escursione Finale Note tecniche Novità Rotaia ad aria Forze dissipative Rotaia Leybold Il moto accelerato Influenza della viscosità Grande Tavola Moto rettilineo uniforme Deduzione della viscosità Parabola di tiro Urto elastico Urto Anelastico vi

7 INDICE INDICE 13 Il Calorimetro Calorimetro di Mahler Misurazione di c x Determinazione m e Influenza del motorino c dell acciaio Correzione grafica Minima superficie Legge raffreddamento Andamento riscaldamento Andamento raffreddamento Problema muro Equivalente meccanico Costante Errori potenza meccanica Errori DELTA Q Motore Motore termico Macchina frigorifera Esperienza come motore Esperienza come refrigeratore Nota Storica La temperatura critica L apparato La fisica Rapporto c p / c v deduzione di k Montaggio Esecuzione Esempio Unità di pressione Termometro a gas Verifica Boyle Montaggio-Legge di Boyle vii

8 INDICE INDICE Esecuzione -Legge di Boyle Calcolo di p e di V-Legge di Boyle Considerazioni su V -Legge di Boyle Il prodotto p V Numero di grammomolecole Equazione di stato Montaggio-Equazione di stato Esecuzione - Equazione di stato Verifica Gay-Lussac Esecuzione dell esperienza Viscosimetro Viscosità olio T Viscosità acqua T Velocita limite Stokes Eqn. diff. Stokes Esecuzione Stokes Newton Eqn. diff. Newton Galleria del vento Tubo di Venturi Tubo di Venturi-Montaggio Tubo di Venturi-Esecuzione Manometro Sonda manometrica Misure dei vari tipi di pressione Misure della velocità di flusso Canale del vento Coefficiente di resistenza Montaggio per il coefficiente di resistenza Esecuzione Valutazione e risultato Ala Montaggio profilo polare ala Regolazione Annotazione viii

9 INDICE INDICE Esecuzione Valutazione e risultato Annotazione Lunghezza Focale Convergente Procedimento Conv + div Reticolo di diffrazione Scopo dell esperienza Dispositivo Sperimentale Legge Fisica Procedimento A Unità di misura 221 A.1 I sistemi mks A.2 Il sistema cgs A.3 Nota sulla caloria A.4 Il sistema tecnico A.5 Il sistema SI A.6 Prefissi nel SI B I programmi 231 C Dati 235 C.1 Costanti C.2 Tabelle D Matematica 239 D.1 Derivate D.1.1 Polinomi e potenze D.1.2 Esponenziali e funzioni logaritmiche D.1.3 Funzioni trigonometriche D.1.4 Funzioni Iperboliche D.1.5 Altre Funzioni D.2 Integrali indefiniti D.2.1 Polinomi e potenze D.2.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche D.2.3 Funzioni Trigonometriche ix

10 INDICE INDICE D.2.4 Funzioni Iperboliche D.2.5 Funzioni cicliche D.2.6 Radici Quadrate D.3 Integrali generalizzati D.4 Taylor D.5 Trigometria D.5.1 Triangolo retto -Definizioni D.5.2 Formule ridotte D.5.3 Identità D.5.4 Somme e Differenze D.5.5 Angolo doppio e metà D.5.6 Altre formule D.5.7 Cambiamenti D.5.8 Funzioni trigometriche inverse D.6 Alfabeto greco x

11 Capitolo 1 Misure di lunghezze In questa sezione ci occuperemo della più semplice delle esperienze: misurare delle lunghezze con un calibro. Prima però dobbiamo capire come funziona il nonio. 1.1 Uso del nonio Nell apprezzare la posizione di un indice scorrevole lungo una scala graduata, come accade misurando uno spessore con un calibro, avviene quasi sempre che l indice indichi una posizione intermedia fra due tratti incisi sulla scala e quindi si debba valutare una frazione dell intervallo minimo della graduazione. Nell esempio della figura 1.1, l indice I inciso sulla parte scorrevole NN indica una posizione fra il tratto 26 ed il tratto 27 della scala S ed occorre valutare la distanza x fra il tratto 26 e l indice I. A tale scopo sulla parte scorrevole NN è incisa una graduazione ausiliaria che costituisce propriamente il nonio ( da Nonius, nome latinizzato di Pedro Nuñes che lo inventò). La lunghezza di n intervalli del nonio ricopre n-1 intervalli della scala; quindi se a è la lunghezza di un intervallino di quest ultima, un intervallino del nonio è lungo n 1 a. Nella figura 1.1, 10 intervalli del nonio corrispondono n a 9 intervalli del regolo graduato. L indice I corrisponde allo zero del nonio. Per una posizione qualsiasi, i tratti incisi su NN non sono allineati con quelli della scala eccettuato uno che vi corrisponde se non esattamente almeno con buona approssimazione. Nella figura 1.1 il settimo tratto di NN è allineato con il tratto adiacente inciso sul regolo. Supponiamo che fra I zero del nonio e tale tratto vi siano k intervallini. 1

12 1.1. USO DEL NONIO CAPITOLO 1. MISURE DI LUNGHEZZE Figura 1.1: Nonio decimale Scrivendo la lunghezza ka (vedi figura 1.1) in due modi diversi si ha dalla quale si ricava x + k n 1 a = ka, (1.1) n x = k n a, (1.2) Quindi la lunghezza x è i k-ennesimi di a. Nel caso della figura 1.1, se a= 1mm, è x = 7 mm e perciò l indice I indica la posizione 26.7 mm. 10 Il nonio dei calibri usualmente è diviso in 20 intervalli corrispondentemente a 19 mm della graduazione,quindi consente l apprezzamento del 1 mm=0.05mm. 20 Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. Riportiamo in Figura 1.2 una fotografia di un calibro di laboratorio. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per quanto riguarda i dati possiamo adoperare il programma GAUSS, che, analizzando le varie lunghezze, compie alcune operazioni di statistica, produce una divisione in classi e confronta la distribuzione osservata con quella Gaussiana. 2

13 CAPITOLO 1. MISURE DI LUNGHEZZE 1.1. USO DEL NONIO Figura 1.2: Foto di un calibro di laboratorio 3

14 1.1. USO DEL NONIO CAPITOLO 1. MISURE DI LUNGHEZZE 4

15 Capitolo 2 Bilancia analitica La bilancia analitica è uno strumento in grado di misurare con grande precisione le masse. La bilancia (vedi figura 2.1) è contenuta in una custodia ( 8 ) provvista di sportello ( 1 ) per protezione. Per una maggiore stabilità, essa è dotata di tre viti calanti (10), medianti le quali poggia su di un piano orizzontale. I piatti della bilancia sono attaccati alle staffe ( 3), che a loro volta, sono sostenute da due coltelli i quali, assieme ad un terzo coltello in posizione centrale, chiamato fulcro, devono risultare paralleli. Questi tre coltelli, fissati al giogo della bilancia, vanno fatti appoggiare su di un piano quando la bilancia non viene usata ; a tal fine la bilancia è dotata di una manopola ( 5) per bloccare il giogo ed i piatti e staccare i coltelli dai piani. Solidale al giogo si trova un indice, che con i suoi spostamenti su di una scala graduata ( 4 ), permette la lettura. Vi è inoltre un cavalierino di Berzelius (2) il quale può essere spostato su di una scala graduata ( 7) tramite una manopola esterna ( 6). Esso è costituito da un pezzo di filo di alluminio da 10 mgr. a forma di U, e la sua funzione è semplicemente quella di ottenere la determinazione di masse inferiori a 10 mgr che di solito non si trovano nelle pesiere. Ad esempio, appoggiare il cavalierino sulla posizione +3 della scala graduata, che è suddivisa in dieci tacche a destra dello zero e in altrettante a sinistra, sarà equivalente ad aggiungere una massa di 3 mgr sul piatto destro, poichè: 3 10 mgr = 3mgr. (2.1) 10 5

16 CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA Figura 2.1: Bilancia analitica 6

17 CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 2.1. POSIZIONE EQUILIBRIO Figura 2.2: Condizione di equilibrio 2.1 Posizione equilibrio Blocchiamo la bilancia ed equilibriamo la massa su di un piattello caricando progressivamente l altro e selezionando con cura i pezzi provenienti dalla pesiera. Se si vuol raggiungere la posizione di zero si continua con i pesi più piccoli oppure si adopera il cavalierino. Ad ogni lettura il moto dell indice sulla scala è oscillatorio smorzato e aspettiamo qualche ciclo prima di prendere le misure. Prenderemo poi un numero dispari di posizioni da una parte e pari dall altra. Se si leggono 5 massimi avremo come posizione di equilibrio: x = 1 2 [1 3 (x 1 + x 3 + x 5 ) (x 2 + x 4 )], (2.2) se invece per brevità eseguiamo solamente tre letture avremo: x = 1 2 [1 2 (x 1 + x 3 ) + (x 2 )]. (2.3) 2.2 Fisica equilibrio Nella figura 2.2 O rappresenta il fulcro, G il baricentro del giogo ove si può pensare applicata la forza m 0 g che rappresenta il peso totale del giogo, A 1 e A 2 sono due coltelli a cui sono applicati i pesi m 1 g e m 2 g. Quando la bilancia è in equilibrio, secondo la legge cardinale della dinamica dei sistemi, 7

18 2.3. SENSIBILITÀ ED M CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA occorre che la risultante dei momenti delle forze rispetto ad O sia nulla: M i (O) = 0. (2.4) Esplicitando le formule otteniamo: i m 1 gb 1 cos(φ) m 0 glsen(φ) m 2 gb 2 cos(φ) = 0. (2.5) Essendo l angolo piccolo provvediamo alle seguenti semplificazioni: m 1 b 1 m 0 lφ m 2 b 2 = 0. (2.6) Supponiamo la bilancia in equilibrio, aggiungiamo su di un piatto una piccola massa m; essa produrrà un x sulla scala graduata dell indice e quindi possiamo definire la sensibilità come: ɛ = m x, (2.7) espresso in mgr/div. 2.3 Sensibilità ed m La sensibilità della bilancia risulta essere funzione della massa e, per ottenere questa dipendenza, calcoliamo prima ɛ a piatti scarichi, piatto di destra e piatto di sinistra e poi aumentando progressivamente le masse, che praticamente significa mettere masse uguali sui due piatti, ad esempio 10 g, 20 g, 30 g, 40 g, 50 g. Avremo quindi due curve della sensibilità funzione della massa, con barre di errore molto alte dovute all incertezza di una tacca sull indice della scala graduata. ELABORAZIONE DATI SU PC. Interpolare i dati tramite una retta usando il programma RETTA. 2.4 Doppia pesata Si tratta di eliminare l errore dovuto alla diseguaglianza dei due bracci. Riferendoci alla figura 2.2 indichiamo con m 1 e m 2 le masse dei piattelli 8

19 CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 2.5. METODO TARA scarichi con le rispettive sospensioni. Poniamo il corpo di massa incognita m x a sinistra ed equilibriamo con una massa m a destra, riportando l indice nella stessa posizione che aveva quando la piattaforma era scarica. L equazione dell equilibrio diventa: (m x + m 1 ) b 1 m 0 lφ (m + m 2 ) b 2 = 0. (2.8) Ripetiamo poi la pesata ponendo però il corpo di massa m x a destra ed eguagliando con una massa m in modo da ritornare alla posizione di equilibrio iniziale. Abbiamo quindi: (m + m 1 ) b 1 m 0 lφ (m x + m 2 ) b 2 = 0. (2.9) Invece a piatti scarichi abbiamo: m 1 b 1 m 0 lφ m 2 b 2 = 0. (2.10) Sottraiamo membro a membro questa equazione alle due precedenti e otteniamo: m x b 1 = m b 2, (2.11) moltiplichiamo poi membro a membro: m x b 2 = m b 1, (2.12) m 2 xb 1 b 2 = m m b 1 b 2 (2.13) e otteniamo: m x = m m m + m. (2.14) 2 Dove abbiamo sostituito alla media geometrica quella aritmetica. 2.5 Metodo tara Con questo metodo si pone rimedio alla diseguaglianza dei bracci ponendo il corpo e le masse sempre sul medesimo piatto. Si mette su di un piatto ( ad esempio il sinistro ) la tara avente massa maggiore di quella che si deve misurare. Si equilibra la tara ponendo sull altro piattello ( a destra ) i campioni della pesiera che chiameremo m a. Si rimettono tali pezzi campione nella pesiera e si mette il corpo da pesare sul piattello. Sia m b la massa che insieme a m x equilibra la tara. Avremo ovviamente m x = m a m b. (2.15) 9

20 2.6. SENSIBILITÀ TEORICA CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA Figura 2.3: Schema bilancia 2.6 Sensibilità teorica Cominciamo a tracciare il disegno 2.3 che schematizza la bilancia: dove m 0 è la massa del giogo e m = massa sul piattello + massa piattello. Supponiamo ora che i bracci siano uguali OA 1 = OA 2 = b e che inoltre la distanza OD = λ sia positiva. A questo punto abbiamo due masse m che pensiamo essere applicate in D; ricordiamo inoltre che all equilibrio A 1 A 2 è orizzontale e OG verticale. Una piccola massa m varierà adesso la situazione di equilibrio in maniera minima; applicheremo quindi la legge che la somma dei momenti rispetto all asse O è nulla: m bcos(α + ϕ) 2mλsen( ϕ) m 0 lsen( ϕ) = 0, (2.16) raccogliamo a fattor comune e otteniamo: mbcos(α + ϕ) (2mλ + m 0 l)sen( ϕ) = 0, (2.17) 10

21 CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 2.6. SENSIBILITÀ TEORICA ma essendo: otteniamo e ricaviamo facilmente la sensibilità S: α 0 e ϕ 0, (2.18) m b 2(mλ + m 0 l) ϕ = 0, (2.19) S = ϕ m = b (2mλ + m 0 l) Da questa formula se ne deduce che la sensibilità è: proporzionale alla lunghezza dei bracci inversamente proporzionale alla massa del giogo inversamente proporzionale alle masse applicate. (2.20) Nel nostro caso abbiamo bracci e massa del giogo fissi e la massa m variabile; mentre ɛ = m/ x sarà ovviamente direttamente proporzionale alla massa applicata. Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. 11

22 2.6. SENSIBILITÀ TEORICA CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 12

23 Capitolo 3 La molla La lunghezza naturale di una molla non sollecitata sia l 0 (parte a della figura 3.1). Appendiamo un peso w che allungherà la molla di una lunghezza l ( parte b della figura 3.1 A causa dello sforzo dovuto al peso una forza di richiamo viene originata nella molla che cerca di tornare nella posizione di partenza. Tramite la legge di Hooke questa forza è proporzionale alla distanza l ( la lunghezza di cui si è allungata la molla): F = kl, (3.1) dove k > 0 è la costante della molla espressa in N. Riportiamo nella m tabella 3.1 alcuni parametri tipici delle molle presenti in laboratorio. La forza agente verso il basso è la forza peso della massa attaccata alla molla. Se la molla è sulla superficie della terra, allora F=mg. Poichè la molla è in equilibrio la forza diretta verso il basso eguaglia la Tabella 3.1: Parametri della molla costante della molla Nm 1 Carico max in N lunghezza in cm diametro in cm

24 CAPITOLO 3. LA MOLLA Figura 3.1: Schema della molla forza verso l alto : kl = mg. (3.2) Dalla formula precedente è già possibile dedurre un primo valore di k k = mg l. (3.3) Sia y=0 la posizione di equilibrio della molla con il peso w attaccato ad essa. Se la molla con questo peso attaccato è allungata di un ulteriore distanza y le seguenti forze agiranno sulla molla : una forza verso l alto dovuta alla tensione della molla che adesso è k(l+y) una forza diretta verso il basso dovuta al peso w eguale ad mg L equazione del moto diventa: m d2 y = mg k(l + y) = mg kl ky. (3.4) dt2 Grazie alla situazione di equilibrio precedente l equazione si semplifica ulteriormente : m d2 y = ky. (3.5) dt2 14

25 CAPITOLO 3. LA MOLLA 3.1. MOLLE MULTIPLE Questa è l equazione dell oscillatore la cui soluzione è dove ω = k m y = Acos(ωt + ω 1 ), (3.6). Il periodo di tale moto oscillatorio vale: T = 2π ω = 2π m k. (3.7) La relazione che connette la costante k con il periodo T vale k = 4π 2 m T 2, (3.8) e questa è pure la seconda definizione di k. Dalle equazioni (3.3) e (3.8) è possibile ricavare il valore della costante g che rappresenta la gravità a Torino quando le masse sono uguali g = l4π2 T 2. (3.9) L attrezzatura di laboratorio è riportata nella Figura Molle multiple Le molle possono essere in parallelo o in serie Molle in parallelo Ambedue le molle toccano il punto di azione e il livello di compressione, l, sarà uguale per entrambe. La forza sul blocco F b sarà F b = F 1 + F 2 = k 1 l k 2 l = (k 1 + k 2 )l, (3.10) che significa una costante della molla equivalente,k eq, del tipo k eq = k 1 + k 2. (3.11) 15

26 3.1. MOLLE MULTIPLE CAPITOLO 3. LA MOLLA Figura 3.2: L esperimento della molla 16

27 CAPITOLO 3. LA MOLLA 3.1. MOLLE MULTIPLE Molle in serie Supponiamo che la posizione di equilibrio sia l 2 F b = k eq l 2. (3.12) Per continuare dobbiamo definire il punto di equilibrio fra le due molle l 1 F b = k 1 l 1 + k 2 (l 2 l 1 ). (3.13) Essendo che all equilibrio la forza fra le molle è 0 possiamo risolvere per l 1 l 1 = k 2 k 1 + k 2 l 2, (3.14) e quindi ovverosia che può essere scritta come F b = ( k 1k 2 k 1 + k 2 )l 2, (3.15) k eq = k 1k 2 k 1 + k 2, (3.16) 1 k eq = 1 k k 2. (3.17) 17

28 3.1. MOLLE MULTIPLE CAPITOLO 3. LA MOLLA 18

29 Capitolo 4 Modulo di Young Se si ha un filo elastico di lunghezza l e sezione costante S, soggetto ad una forza di trazione F, l allungamento x vale: La costante: x = 1 E l S F. (4.1) E = 1 l x S F (4.2) si chiama modulo di allungamento o modulo di Young. Nel nostro caso abbiamo un filo di acciaio armonico di diametro 4/10 di mm. L estremo superiore è fissato ad un sostegno rigido e l estremo inferiore porta un indice. Si osservano gli spostamenti per mezzo di un oculare montato su un catetometro. Una massa della quale non si terrà conto ( 0.5 kg ) è sempre appesa al filo per tenerlo teso. In tali condizioni si osserva la posizione di zero dell indice e poi si appendono le masse note, m 1, m 2, m 3 le cui forze peso F 1 = m 1 g, F 2 = m 2 g, F 3 = m 3 g produrranno allungamenti x 1, x 2, x 3. A questo punto ricordiamo che l allungamento del filo è in direzione opposta a quella della scala del catetometro e che quindi conviene sottrarre a tutti i dati ottenuti la posizione di partenza. Nel sistema CGS, E rimane espresso in dine, nel sistema MKS in Newton. cm 2 m 2 ELABORAZIONE DATI SU PC. Per l analisi dei dati si consiglia l uso del programma RETTA(vedi Figura 4.1) mentre il programma YOUNG permette di ottenere direttamente il valore di E. 19

30 4.1. CATETOMETRO CAPITOLO 4. MODULO DI YOUNG Figura 4.1: Tipico run del programma YOUNG 4.1 catetometro Esso consiste sostanzialmente di una colonna verticale AA 1, girevole intorno al proprio asse, portante un cannocchiale C 1 C 2 ad asse orizzontale il quale può scorrere lungo una colonna mediante lo spostamento di una slitta Z(vedi Figura 4.2). La colonna verticale porta un regolo graduato in mm e mezzi mm, il cui corpo è sempre adiacente ad un indice con nonio, solidale con la slitta Z, qualunque sia l orientamento del cannocchiale. Il cannocchiale è munito di reticolo e di solito è adatto per essere puntato su oggetti ad una distanza variabile fra 0.5 e 2 m. Aggiustata la verticalità dell asse, la misurazione del dislivello fra due punti si effettua puntandoli successivamente col cannocchiale e leggendo le due posizioni indicate dall indice del nonio. La differenza delle due letture dà il dislivello. La precisione può raggiungere 1/50 di mezzo mm, anche se lo studente diligente si accorgerà che si ottengono risultati diversi a seconda che si arrivi sull indice di riferimento da sopra oppure da sotto; questo fatto porta l errore di misura a 3-4 centesimi di mm. Prima di eseguire la misurazione di un dislivello sono indispensabili alcune operazioni di aggiustamento per verificare la verticalità della colonna e l orizzontalità del cannocchiale. Fatto questo lo studente non modificherà più il catetometro. Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. Riportiamo nella tabella C.3 le proprietà elastiche di alcuni materiali di interesse ingegneristico. 20

31 CAPITOLO 4. MODULO DI YOUNG 4.1. CATETOMETRO Figura 4.2: Il nostro catetometro 21

32 4.1. CATETOMETRO CAPITOLO 4. MODULO DI YOUNG 22

33 Capitolo 5 Piattaforma girevole Per definizione il momento di inerzia del corpo rispetto ad una asse è: I = r 2 dm, (5.1) dove r è la distanza dall asse dell elemento di massa dm (vedi Figura 5.1). Diversamente dalla massa il momento di inerzia di un corpo dipende non soltanto dal corpo ma anche dalla posizione dell asse rispetto ad esso. Se si ha un solido girevole attorno ad un asse fisso, la legge fondamentale della dinamica dice che: M a = I d2 φ dt 2, (5.2) dove I è il momento d inerzia del corpo rispetto all asse, d2 φ è l accelerazione angolare e M a è il momento rispetto all asse delle forze esterne dt 2 agenti sul corpo. Si dispone di una piattaforma P, girevole intorno ad un asse verticale, sulla quale si appoggerà il corpo Q del quale si vuole misurare il momento di inerzia. L albero della piattaforma ha raggio noto ( che deve essere misurato ) e ruota su di un supporto fisso con attrito minimo. Il movimento del sistema è dovuto alla trazione di una funicella terminante con un occhiello che fa presa su di un gancetto solidale con l albero, avvolta su questo per un certo numero di giri. La funicella ( che è un sottile filo di nylon ) è tesa da una massa m nota appesa all altro estremo e appoggia su una piccola puleggia posta ad un livello tale che il filo abbandoni l albero orizzontalmente. All inizio si abbia la sola piattaforma senza 23

34 CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE Figura 5.1: La piattaforma 24

35 CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE 5.1. DETERMINAZIONE I il corpo Q. Si faccia ruotare la piattaforma e si osservi la sua posizione nell istante in cui il filo si sgancia: è necessario avere un segno di riferimento per contare il numero di giri n. L angolo di rotazione φ ( in radianti ) vale 2π n. Usando il cronometro si controlli che sotto l azione della tensione costante del filo la legge del moto, partendo dalla quiete, è del tipo φ = cost t Determinazione I Si contano i tempi dall istante in cui la piattaforma inizia il moto sotto l azione della trazione dovuta al peso mg del corpo C attaccato al filo. Si fa scattare il cronometro all istante t=0 in cui il moto ha inizio e si osserva il numero n 1 di giri all istante t 1 in cui il filo si sgancia. Da questo istante la piattaforma ruota sotto l azione del solo momento frenante delle forze di attrito e si ferma all istante t 2. Si registrano dunque la massa m del corpo C appeso, le grandezze n 1, t 1,t 2 e i valori del raggio a dell albero e dell accelerazione di gravità g che sono noti. 5.2 Teoria La posizione della piattaforma è determinata dal suo angolo di rotazione φ, mentre la posizione del corpo C ( di massa m e peso mg ), appeso al filo è determinata dalla quota y del suo baricentro, contata verso il basso. Se a è il raggio dell albero intorno al quale è avvolto il filo, lo spostamento dy di m è legato alla rotazione dφ della piattaforma dalla relazione dy=a dφ. La tensione della funicella abbia modulo T. I momenti rispetto all asse di rotazione delle forze esterne applicate alla piattaforma si riducono al momento M T = a T della tensione del filo ed al momento M f delle forze di attrito. Quindi essendo I il momento di inerzia della piattaforma, l equazione del moto di quest ultima è: con M T M f = I d2 φ dt 2, (5.3) M T = at. (5.4) 25

36 5.2. TEORIA CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE L equazione del moto verticale della massa m appesa al filo è: dalla quale si ricava: mg T = m d2 y dt 2, (5.5) T = mg m d2 y, (5.6) dt 2 da cui è evidente che la tensione T del filo durante il moto accelerato non è uguale al peso mg della massa m. Durante la discesa è dy2 0 e dt 2 quindi T mg. Poichè dy=a dφ si ha l equazione vincolare: l equazione della tensione diventa quindi: mentre: d 2 y dt 2 = ad2 φ dt 2, (5.7) T = mg ma d2 φ dt 2, (5.8) M T = mga ma 2 d2 φ dt 2. (5.9) L equazione differenziale del moto del sistema diventa quindi: d 2 φ dt 2 = mga M f ma 2 + I. (5.10) Integrando rispetto al tempo ambo i membri di quest ultima formula otteniamo dφ dt = ω = mga M f ma 2 + I t + c, (5.11) avendo posto dφ = ω, velocità angolare. Per t=0 è ω = 0, perciò la dt costante c è nulla, quindi: dφ dt = ω = mga M f ma 2 + I t. (5.12) Con un ulteriore integrazione rispetto al tempo, tenendo conto che per t=0 è φ = 0, si ottiene: φ = 1 mga M f 2 ma 2 + I t2. (5.13) 26

37 CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE 5.2. TEORIA All istante t 1 in cui il filo si sgancia dall albero sia φ = φ 1 e ω = ω 1, quindi: φ 1 = 1 mga M f 2 ma 2 + I t2 1, (5.14) ω 1 = mga M f ma 2 + I t 1. (5.15) Dopo tale istante, mancando il peso tensore, l equazione differenziale del sistema diventa: d 2 φ dt = M f 2 I, (5.16) che, integrata rispetto al tempo dà: dφ dt = ω = M f t + k. (5.17) I La costante di integrazione k si determina imponendo che per t = t 1 sia ω = ω 1, cioè: ω 1 = M f I t 1 + k. (5.18) Sostituendo il valore di k così ottenuto nella 4.17 si ha: ω = M f I (t t 1) + ω 1, (5.19) che dà la velocità in funzione del tempo per t t 1. All istante t 2 la piattaforma si ferma ( ω = 0 ) e quindi, ponendo nell equazione precedente t= t 2 e ω = 0, si ottiene: ω 1 = M f I (t 2 t 1 ). (5.20) Le equazioni 4.20, 4.15 e 4.14 costituiscono un sistema algebrico nelle tre incognite I, M f e ω 1. Eliminando ω 1 fra la 4.15 e la 4.20 si ha: M f I (t 2 t 1 ) = mga M f ma 2 + I t 1. (5.21) Eliminando la frazione mga M f ma 2 +I fra la 4.21 e la 4.14 si ha: M f I (t 2 t 1 ) = 2φ 1 t 1. (5.22) 27

38 5.2. TEORIA CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE Questa e la 4.14 formano un sistema più semplice nelle incognite M f e I. Riducendo tali equazioni a forma normale il sistema diventa: Risolvendo si trova infine: con t 1 (t 2 t 1 )M f 2φ 1 I = 0, (5.23) t 2 1M f + 2φ 1 I = mgat 2 1 2φ 1 ma 2. (5.24) M f = mgat2 1 2φ 1 ma 2 t 1 t 2, (5.25) I = (t 2 t 1 )(mgat 2 1 2φ 1 ma 2 ) 2φ 1 t 2, (5.26) φ 1 = 2πn 1. (5.27) Le grandezze che compaiono nei secondi membri sono note, cosìrimangono determinati I e M f ( per il valore di g a Torino si consulti l appendice C dedicata alle costanti). Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per quanto riguarda l elaborazione dei dati si consiglia il programma INERZ, che calcola il momento di inerzia dai dati iniziali e lo confronta con quello teorico. 28

39 Capitolo 6 Pendolo Semplice Il pendolo semplice di lunghezza l, con un peso di massa m è visualizzato nella Figura 6.1 ed è soggetto ad un moto oscillatorio. La forza che produce il moto è la forza di richiamo gravitazionale che agisce nella direzione tangente all arco del moto e vale m g sin(θ) dove θ è l angolo di oscillazione. La seconda legge del moto di Newton dice che F = m dv dt = m gsin(θ), (6.1) e quindi dv = g sin(θ). (6.2) dt La distanza s che percorre la massa sull arco vale s = lθ, (6.3) e quindi v = l dθ dv, dt dt = l d2 θ. (6.4) dt 2 Dalle equazioni precedenti otteniamo la seguente equazione differenziale del secondo ordine l d2 θ + g sin(θ) = 0. (6.5) dt2 Questa è un equazione differenziale non lineare che sfruttando lo sviluppo in serie di Taylor sin(θ) = θ θ3 3! (6.6)

40 CAPITOLO 6. PENDOLO SEMPLICE Figura 6.1: Il pendolo semplice 30

41 CAPITOLO 6. PENDOLO SEMPLICE l d2 θ dt + g θ g θ3 2 3! + g θ5... = 0 5!. (6.7) Quindi per angolo piccoli possiamo linearizzare l equazione precedente ottenendo l d2 θ dt + g θ = 0 2, (6.8) oppure d 2 θ dt + g 2 l θ = 0. (6.9) Ma questa è l equazione dell oscillatore dove d 2 θ dt 2 + ω2 θ = 0, (6.10) ω 2 = g l, (6.11) e quindi il periodo, T 0, delle oscillazioni vale l T 0 = 2π. (6.12) g Nel caso in cui θ non sia piccolo la risoluzione non lineare dell equazione (6.5) richiede gli integrali ellittici. La soluzione non lineare per il periodo, T, è T = 1 + 1/4 (sin (1/2 θ max )) (sin (1/2 θ max)) 4 T 0 64, (6.13) dove θ max è l ampiezza iniziale in radianti. Figura 6.2 riporta la soluzione numerica del rapporto T T 0 dell ampiezza massima in radianti. funzione 31

42 CAPITOLO 6. PENDOLO SEMPLICE Figura 6.2: Periodo normalizzato T T 0 32

43 Capitolo 7 Pendolo Reversibile Si tratta di un solido girevole attorno ad un asse orizzontale di traccia O 1 rispetto al quale ha momento di inerzia I 1, è statto inventato dal capitano Kater nel Il sistema delle forze peso dei singoli elementi di volume è equivalente al sistema costituito dall unica forza peso totale mg applicata nel baricentro G (vedi Figura 7.1). Sia h 1 la distanza dell asse di rotazione dall asse parallelo condotto per G. La posizione è individuata dall angolo diedro Φ che il piano solidale con il corpo, passante per G e per l asse di rotazione, forma con il piano verticale passante per il suddetto asse. Vale l equazione fondamentale della dinamica per un solido girevole attorno ad un asse fisso: M a = I 1 d 2 Φ dt 2, (7.1) dove M a è il momento delle forze esterne rispetto all asse che nel nostro caso vale -mgh 1 senφ. Sostituendo tale valore di M a otteniamo avendo posto d 2 Φ dt 2 + ω2 senφ = 0, (7.2) ω 2 = mgh 1 I 1. (7.3) Per spostamenti Φ molto piccoli si ha sen Φ Φ e la (7.2) diventa: d 2 Φ dt 2 + ω2 Φ = 0, (7.4) 33

44 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Figura 7.1: Pendolo reversibile 34

45 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE la cui soluzione, Φ = Acos(ωt + α 0 ), (7.5) rappresenta le oscillazioni armoniche attorno alla posizione Φ =0. Il periodo di tale moto oscillatorio vale: T = 2π ω = 2π I 1, (7.6) mgh 1 mentre il periodo di un pendolo semplice vale: T = 2π ω = 2π l. (7.7) g Confrontando le due ultime relazioni si vede che il pendolo composto oscilla con il medesimo periodo di un pendolo semplice di lunghezza: l = I 1 mh 1. (7.8) Tale lunghezza si chiama lunghezza ridotta del pendolo composto. Consideriamo ora un insieme di rette parallele all asse di rotazione considerato e solidali con il pendolo e domandiamoci se oltre tale asse esistano altre rette dell insieme tali che assunte come nuovi assi di rotazione per il pendolo, questo oscillerebbe con il medesimo periodo di prima. Per risolvere il problema osserviamo anzitutto che, chiamando I G il momento di inerzia del corpo rispetto alla retta del fascio passante per il baricentro, il momento di inerzia rispetto ad un altra retta dell insieme che disti di h dal baricentro vale( per il noto teorema di Huygens-Steiner ): I = I G + mh 2, (7.9) quindi per le oscillazioni attorno ad essa il periodo vale I T = 2π mgh = 2π I G + mh 2, (7.10) mgh e la lunghezza ridotta di tale pendolo composto è: l = I mh = I G + mh 2 mh ; (7.11) 35

46 7.1. MODO DI SPERIMENTARE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE inoltre si ha l = g ( T ) 2 1 = g. (7.12) 2π ω 2 Dall equazione 7.11 sulla lunghezza ridotta otteniamo: cioè mh 2 + I G = mlh, (7.13) h 2 lh + I G m = 0. (7.14) Fissato T, rimangono fissati ω ed l, quindi le radici di questa semplice equazione di secondo grado nell incognita h danno le distanze dal baricentro di quegli assi per i quali si ha un prefissato periodo. Nel caso generale in cui il discriminante è positivo, le due soluzioni h 1 ed h 2 dell equazione 7.14 sono positive e soddisfano alle proprietà note dall algebra elementare h 1 + h 2 = l, (7.15) h 1 h 2 = I G m. (7.16) Dunque in generale esistono due cilindri rotondi aventi per asse la retta baricentrica e raggi h 1 e h 2, le cui generatrici possono essere assi di rotazione con il medesimo periodo T = 2π l g, prefissato a piacere. Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. 7.1 Modo di sperimentare Il pendolo reversibile è un asta ai cui estremi sono fissati due coltelli con gli spigoli paralleli, distanti una lunghezza nota l uno dall altro; esso è dotato di una massa fissa posta al di sopra di un coltello e di una mobile posta invece fra i due coltelli. Si parte con la massa mobile vicino alla massa fissa ( ad esempio 10 cm ) e si fa oscillare il pendolo attorno allo spigolo del coltello A e si misura il periodo T 1 in base alla durata di un certo numero n di oscillazioni complete. Al crescere di n diminuisce l errore nell apprezzamento di T 1. Se t 1 è il tempo impiegato per le n oscillazioni complete, si ha T 1 = t 1 n. Poi si fa oscillare il pendolo attorno allo spigolo dell altro coltello B ed analogamente si troverà T 2. Annotati i due tempi sposteremo la 36

47 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.2. PERIODO ED AMPIEZZA Figura 7.2: Tipico run del programma PENDOG massa mobile di una distanza fissa (ad esempio 10 cm ) e prenderemo altri due tempi e così via. ELABORAZIONE DATI SU PC. A questo punto avremo due parabole di t ( variabile dipendente ) e d ( variabile indipendente ) che parametrizziamo tramite il programma PENDO che calcola i coefficienti delle due parabole, la loro intersezione ed il conseguente valore di g. A livello singolo possiamo adoperare il programma PARABO. Dal periodo comune tramite il programma PENDOG (vedi Figura 7.2) otteniamo g ed il relativo errore. Trovata l intersezione delle due parabole resta così determinato il periodo comune T=T 1 =T 2, la distanza nota fra i coltelli è la lunghezza ridotta del pendolo corrispondente a tale periodo. Otteniamo quindi finalmente la gravità che vale: g = l ( 2π T ) 2 = 4π 2 l T 2. (7.17) 7.2 periodo ed ampiezza L equazione dalla quale partiamo è quella del pendolo semplice: l d2 θ + gsenθ = 0. (7.18) dt2 37

48 7.2. PERIODO ED AMPIEZZA CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Moltiplicando questa equazione per 2 dθ e facendo uso della relazione : dt ( d 2 θ ) dθ 2 dt 2 dt = d ( dθ ) 2, (7.19) dt dt otteniamo l d dt (ω2 ) + 2g d ( cosθ) = 0. (7.20) dt Integriamo adesso l equazione ottenuta assumendo che per t=0, θ = θ 0, ω=0 ( condizioni iniziali) ottenendo : ω = dθ 2g dt = ± cosθ cosθ0. (7.21) l Integrando questa equazione con le condizioni iniziali t=0,θ = θ 0 otteniamo: l θ du t(θ) = ±. (7.22) 2g cosu cosθ0 θ 0 Essendo che a t=0,θ = θ 0, ω=0, quando θ = -θ 0 è passato un mezzo periodo. Usando queste condizioni iniziali ed il fatto che cosu è una funzione pari, ovverosia, cos(-u)=cosu ricaviamo la formula del mezzo periodo del pendolo: T 2 = l 2g e poi quella del periodo: T = 2 l 2 g θ0 θ 0 θ0 0 du cosu cosθ0, (7.23) Sostituendo nella formula precedente le uguaglianze: cosu = 1 2 sen 2 ( u 2 ), du cosu cosθ0. (7.24) cosθ 0 = 1 2 sen 2 ( θ 0 2 ), (7.25) otteniamo la seguente espressione del periodo: l θ0 du T = 2 g sin2 (θ 0 /2) sin 2 (u/2) 0. (7.26) 38

49 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.2. PERIODO ED AMPIEZZA Nella formula precedente operiamo le sostituzioni: π 2 sen u = sen θ senφ (7.27) 1 2 cosu 2 du = sen θ 0 2 cosφ dφ. Si può dimostrare che quando u=0,φ=0 e che quando u=θ 0, φ =. Il periodo diventa quindi : l T = 4 g π/2 0 dφ 1 k2 sen 2 φ, k = senθ 0 2. (7.28) Questo integrale è conosciuto come integrale ellittico completo e si indica brevemente con il simbolo K (k) K(k) = π/2 0 dφ 1 k2 sen 2 φ. (7.29) Dopo questa definizione si può compattare la formula del periodo: l T = 4 g K( senθ 0 ). (7.30) 2 L integrale ellittico suddetto non può essere espresso mediante funzioni elementari ma può essere valutato scrivendo l integrale tramite una serie di potenze: (1 k 2 sen 2 φ) 1/2 = k2 sen 2 φ k4 sen 4 φ (7.31) Sfruttando la relazione: π/2 0 sen n φdφ = (n 1) π n 2 n pari, (7.32) inseriamo la serie di potenze nell integrale e otteniamo un espressione approssimata per il periodo : l ( T = 2π [1 + k2 1 3 ) 2k 4] g 2 +. (7.33)

50 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Ritornando all angolo iniziale avremo una formula per il periodo in funzione dei parametri del sistema: l [ ( 1 ) 2sen T = 2π ( θ ( ) 2sen g 2 2 ) + 4 ( θ ] ). (7.34) A questo punto possiamo dedurre una nuova espressione per l accelerazione di gravità che tiene conto dell ampiezza iniziale: g = 4π 2 l [ ( 1 ) 2sen ( θ ( ) 2sen T ) + 4 ( θ ] ). (7.35) 7.3 Terza soluzione Quanto segue è stato scritto in collaborazione con Michele Rossi del Dipartimento di Matematica di Torino; maggiori dettagli possono essere trovati nell articolo [Pendolo 2002]. In questa sezione consideriamo un pendolo fisico di Kater costituito da un asta e da due pesi di forma cilindrica inseriti su di essa, vedi figura 7.3. Uno di questi pesi è messo in posizione fissa durante tutto l esperimento e sarà chiamato m f. L altro sarà chiamato m m e può essere mosso su tutta l asta. I coltelli per sospendere il pendolo sono applicati sui due punti distinti c 1 e c 2 ; questi punti saranno i centri di rotazione del pendolo ed essi sono scelti in posizione simmetrica rispetto al centro di massa b della barra (considerazione senza i pesi). Nell esperimento il peso m f sarà fissato al di fuori dell insieme di punti fra c 1 e c 2 mentre al contrario m m può assumere sia le posizioni fra i coltelli sia quelle al di fuori di essi in direzione opposta ad m f ; in quest ultimo caso uno dei coltelli sarà sempre fra i due pesi. Nell esperimento prima sospendiamo il pendolo su c 1 e otteniamo un primo insieme di dati chiamato primo set, correlando la posizione di m m ed il periodo dell oscillazione. Poi il pendolo viene rovesciato per assumere c 2 come centro di rotazione per ottenere il secondo set di dati. La posizione del pendolo è parametrizzata dall angolo ϕ che si assume sufficientemente piccolo da dare ϕ sin ϕ (i.e. ϕ 3 0). Quindi l equazione del pendolo è ϕ + mgh i I i ϕ = 0, (7.36) dove g è l accelerazione dovuta alla gravità, m è la massa totale del pendolo, h i è la distanza fra baricentro e il centro di rotazione c i ed I i 40

51 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE Figura 7.3: Schema tecnico del pendolo 41

52 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE è il momento di inerzia rispetto ad c i. Il teorema di Huygens-Steiner rispetto agli assi paralleli asserisce che I i = I 0 + mh 2 i, (7.37) dove I 0 è il momento di inerzia rispetto al baricentro. Allora i periodi di oscillazione sono T i = 2π I i I 0 + mh 2 i = 2π = 2π, (7.38) ω i mgh i mgh i questo significa che il pendolo di Kater oscilla con lo stesso periodo di un pendolo semplice la cui lunghezza è l i = I i mh i = I 0 + mh 2 i mh i. (7.39) Assumiamo adesso che la massa mobile m m sia posta in un punto x 0 sull asta tale che T 1 = T 2 =: T (x 0 ). (7.40) Questo è possibile se e solo se l 1 = l 2 =: l(x 0 ). La lunghezza l = l(x 0 ) è la lunghezza caratteristica del pendolo di Kater che dipende da m m posizionato su x 0 ; tutti gli m m posizionati x 0j che soddisfano la relazione (7.40) saranno chiamati posizioni caratteristiche. La lunghezza caratteristica sarà la lunghezza l = l(x 0j ) ed i periodi caratteristici saranno i periodi associati T (x 0j ). Vedremo che il pendolo di Kater può assumere al più tre posizioni caratteristiche. Per ogni j = 1, 2, 3 dalla conoscenza di l(x 0j ) e T (x 0j ) è poi possibile ottenere il valore di g poichè l T = 2π, (7.41) g e quindi g = 4π 2 l. (7.42) T 2 Per determinare le posizioni caratteristiche associeremo l asta del pendolo con un sistema di coordinate lineari x che ammette origine in c 1 e tale che c 2 è il punto x = d > 0 (controllate la figura 7.3). Assumiano che la massa mobile e la massa fissa siano composti da dischi i cui raggi siano dati rispettivamente da r m e r f. Se denotiamo la 42

53 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE lunghezza della barra con L allora la posizione del centro di m m è parametrizzata dalla sua distanza da c 1. Le sue posizioni determinate empiricamente sono date da tutti gli x tali che sia r m x d r m oppure d + r m x L+d, altrimenti m 2 m coinciderebbe con uno dei due coltelli. D altra parte il centro di m f è piazzato in una posizione fissa x f tale che (d L) /2 < x f < r f. Il centro di massa b dell asta è il punto x = d/2. Allora la distanza fra il baricentro del pendolo b x e l origine c 1 dipende dalla posizione x di m m ed è data da : h = dove m a è la massa dell asta. Mettendo d 2 m a + x f m f + xm m m a + m f + m m, (7.43) m := m a + m f + m m, (7.44) d 2 K := m a + x f m f, (7.45) m otteniamo h = K + m m m x. (7.46) D altra parte possiamo adesso esprimere il momento di inerzia I 0 come segue: ( I 0 = (h x f ) 2 m f + (h x) 2 m m + h d ) 2 m a + I 0, (7.47) 2 dove Inponendo I 0 := r2 f 2 m f + r2 m 2 m m + L2 12 m a. (7.48) I 0 = I 0 + m f (x f K) 2 + m a ( d 2 K ) 2 + m m K 2, (7.49) I 0 può essere riscritto come segue I 0 := m m m m m m x2 2m m Kx + I 0. (7.50) La condizione (7.40) è soddisfatta se e solo se I 0 + mh 2 1 mh 1 = I 0 + mh 2 2 mh 2, (7.51) 43

54 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE che è equivalente a richiedere che Dalla (7.46) abbiamo che (h 1 h 2 ) (mh 1 h 2 I 0 ) = 0. (7.52) h 1 = h = K + m m m x h 2 = d h = d K m m m x. (7.53) ed otteniamo una prima posizione caratteristica inponendo che h 1 = h 2 ovverosia x 01 = d 2 + m f 2m m (d 2x f ). (7.54) Due posizioni caratteristiche possono essere ottenute dal secondo fattore in (7.52): inponendo mh 1 h 2 I 0 = 0 ed esprimendo I 0 come in (7.50) abbiamo le cui soluzioni sono x 2 dx mk2 mdk + I 0 m m = 0, (7.55) x 02 := d d mk2 mdk + I 0 m m x 03 := d d mk2 mdk + I 0 m m. (7.56) Notate che l effettiva occorrenza di tutte le posizione caratteristiche richiede una discussione dettagliata che trovate nell appendice A dell articolo [Pendolo 2002]. Quì ci limitiamo a notare che la suddetta discussione conduce a condizioni strutturali sui parametri fisici del pendolo che permettono di realizzare in pratica tutte le tre posizioni caratteristiche x 01, x 02 e x 03. La conoscenza delle posizioni caratteristiche è utile per calcolare le lunghezze associate l(x 0j ): ricordate (7.39), (7.51) e (7.53) per ottenere l(x 0j ) = I 0 + m ( K + mm m x 0 j ) 2 mk + m m x 0j. (7.57) 44

55 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE È facile poi osservare che l(x 02 ) e l(x 03 ) sono uguali e costanti poichè x 02 e x 03 sono simmetriche. Più precisamente l(x 02 ) = l(x 03 ) = h 1 + h 2 = d, (7.58) ed esse non dipendono dagli altri parametri fisici del pendolo. contrario questo non è vero per l(x 01 ) poichè Al l(x 01 ) = d I 0 md + m f (m m + m f ) (d 2x f ) 2 2m m md. (7.59) Notate che tutte le lunghezze caratteristiche dipendono solamente dai parametri fisici del pendolo: ovverosia esse sono calcolabili a priori e non dipendono dai dati o dalle procedure sperimentali. Anche se le formule (7.54), (7.56), (7.58) e (7.59) danno tutte le informazioni rilevanti, dobbiamo rendere più esplicite le relazioni cubiche che coinvolgono i periodi di oscillazione T i e la posizione x della massa mobile che determina la natura dell esperimento. In effetti questo è l ingrediente fondamentale nel portare avanti l analisi dei dati sperimentali: esso ci permette di determinare la forma algebrica che approssima meglio i dati periodo x. Per questo motivo è necessario ricordare l espressione (7.38) di T i quando il pendolo oscilla sul coltello c i. Prendendo il quadrato ed applicando (7.50) + (7.53) vediamo che il periodo T i e la distanza x sono correlate come segue a i x 2 + b i x + c i = T 2 i + d i xt 2 i, (7.60) dove a 1 = 4π2 m m gmk b 1 = 0 c 1 = 4π2 gmk ( I 0 + mk 2) d 1 = m m mk, (7.61) 45

56 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Tabella 7.1: Parametri fisici caratterizzanti il pendolo m m (g) m f (g) m a (g) x f (cm) l (cm) d (cm) r f (cm) r m (cm) 1399(1) 1006(1) 1249(1) 26.73(1) 167.0(1) 99.3(1) 5.11(1) 5.12(1) e 4π 2 m m a 2 = gm(d K) b 2 = 8π2 m m d gm (d K) 4π 2 ( c 2 = I gm(d K) 0 + m (d K) 2) d 2 = m m m(d K). (7.62) L esperimento della terza soluzione I parametri fisici caratterizanti il nostro pendolo reversibile sono riportati nella tabella 7.1 ; le cifre fra parentesi rappresentano le incertezze sull ultima cifra. La lunghezza dell asta è misurata grazie ad un metro flessibile la cui sensibilità è ±1 mm. I raggi r m, r f e la posizione x f sono rilevate con un calibro avente precisione ±0.1 mm. Le masse m a, m m, m f sono determinate grazie ad una bilancia di precisione sensibile al grammo. Ricordando (7.54) e (7.56) ci aspettiamo che con le lunghezze associate x 01 = ( ± 0.11) cm x 02 = (61.74 ± 0.40) cm x 03 = (37.56 ± 0.31) cm, (7.63) l (x 01 ) = ( ± 0.09) cm l (x 02 ) = l (x 03 ) = d = (99.3 ± 0.1) cm. (7.64) 46

57 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE Le misure dei nostri periodi saranno quindi più concentrate alle posizione caratteristiche date dalla (7.63). Scendendo nei dettagli le misure sono realizzate memorizzando il tempo di 9 oscillazioni consecutive quando il pendolo parte da un angolo ϕ 0 6 ± 1. Per raggiungere questo obbiettivo abbiamo adoperato una fotocellula pilotata dal contatore elettronico digitale ( modello LEYBOLD-LH ) avente precisione di 0.1 ms. Abbiamo ripetuto l esperienza per 18 posizioni della massa mobile m m, prima rispetto a c 1 e poi rispetto a c 2. La media dei 9 valori è stata presa come misura del periodo alla data posizione m m il cui errore è dato dalla metà della escursione massima ovverosia s. I dati ottenuti sono riportati in Tabella 7.2. L angolo iniziale è sufficientemente piccolo da approssimare l equazione del moto con (7.36). Espandendo l integrale ellittico in serie di potenze è possibile esprimere il periodo associato con l equazione esatta del pendolo: ϕ + mgh i I i sin ϕ = 0 (7.65) addizionando termini correttivi all espressione del periodo dato in(7.41); maggiori dettagli su questo punto sono riportati nella sezione L analisi dei dati In questa sezione presentiamo una procedura di analisi lineari dei dati della Tabella 7.2 e determiniamo in maniera empirica le posizioni caratteristiche. Da un punto di vista numerico dobbiamo fittare i dati con dei polinomi cubici come quelli nell equazione (7.60). Questo tipo di analisi può essere trattato linearmente poichè i coefficienti d 1 e d 2 possono essere determinati a priori da (7.61) e (7.62) che coinvolgono solamente i parametri del sistema riportati in Tabella 7.1. Più precisamente otteniamo d 1 = (3.983 ± 0.01) 10 2 cm 1 d 2 = ( ± ) 10 3 cm 1. (7.66) Possiamo poi ottenere gli altri coefficienti applicando i minimi quadrati 18 Ξ i (a i, b i, c i ) := T h,i 2 aix2 h +b i x h +c i 1+d i x h 2T h,i σ T h=1 47 2, (7.67)

58 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Tabella 7.2: I dati sperimentali posizione x[cm] T 1 [s] T 2 [s]

59 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE Tabella 7.3: Coefficienti di C 1 stimati tramite il metodo lineare a 1 [s 2 cm 2 ] ± b 1 [s 2 cm 1 ] ± c 1 [s 2 ] ± Tabella 7.4: Coefficienti di C 2 stimati tramite il metodo lineare a 2 [s 2 cm 2 ] ± b 2 [s 2 cm 1 ] ± c 2 [s 2 ] ± dove (x h, T h,i ) sono i dati dell insieme i esimo nella tabella 7.2 e σ T := s è l errore estimato nella misura dei periodi. Notate che le derivate parziali di Ξ i sono funzioni lineari di a i, b i, c i : quindi minimizzare questa funzione richiede semplicemente di risolvere un sistema 3 3. I risultati ottenuti sono riportati nella tabella 7.3 e nella tabella 7.4. I coefficienti delle cubiche di Tabella 7.3 e Tabella 7.4 ci permettono di valutare le posizioni caratteristiche ed i relativi periodi caratteristici intersecando le branche superiori. Otteniamo una equazione cubica le cui soluzioni sono riportate nella tabella 7.5 ; mentre nella figura 7.4 riportiamo il grafico dei punti sperimentali e delle curve teoriche. Fate riferimento a (7.42) e (7.64) per calcolare i valori associati di g. Tabella 7.5: Punti di intersezione stimati tramite il metodo lineare (x 01, T (x 01 )) ( cm : s) (x 02, T (x 02 )) (62.541cm : s) (x 03, T (x 03 )) (35.779cm : s) 49

60 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Figura 7.4: Cubiche teoriche ( curva punteggiata), cubiche come dal fit (curva piena) e punti sperimentali (punti riempiti). La barra degli errori sui periodi ( s) è trascurabile. 50

61 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE Tabella 7.6: Valori di g tramite il metodo lineare g 1 [cms 2 ] ± 1.70 g 2 [cms 2 ] ± 1.99 g 3 [cms 2 ] ± 1.98 g[cms 2 ] ± 1.09 Abbiamo g 1 = 4π 2 l (x 0 1 ) T (x 01 ) 2 g 2 = 4π 2 l (x 0 2 ) T (x 02 ) 2 g 3 = 4π 2 l (x 0 3 ) T (x 03 ) 2 (7.68) e i loro valori relativi sono riportati in tabella 7.6. La loro media dà: g = ( ± 1.09) cm s 2, (7.69) dove le incertezze sono calcolate tramite la propagazione degli errori di Gauss. Calcoliamo adesso la correzione che origina dall approssimazione della soluzione esatta del pendolo (7.65) già citata alla fine della sezione precedente. Essa dà (questa è la formula 7.35): g = 4π 2 l [ ( 1 ) 2sin ( ϕ ( ) 2sin T ) + 4 ( ϕ ] ) (7.70) Un piccolo aumento del valore di g è evidente da questa formula e faremo riferimento ad essa come la correzione ad ampiezza finita. Con i nostri dati otteniamo g + = ( ± 1.12) cm s 2. (7.71) Una misura accurata di g in Torino [Cerutti et al. 1996] dà: g T = (4) cm s 2. (7.72) 51

62 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Questo valore sarà considerato come il valore vero dovuto al campo gravitazionale in Torino. Paragonando quest ultimo valore con g +, risulta che la nostra misura è -191 ppm più piccola del valore vero. 52

63 Capitolo 8 Giroscopio 8.1 Momento di Inerzia Si prepara il giroscopio ( vedi fotografia 8.1 ) come è indicato nella figura 8.2 in un sistema di assi coordinati ortogonali in modo che l asse della figura 8.2 indichi la direzione z, allora gli assi principali di inerzia coincidono con gli assi cartesiani. A causa della simmetria cilindrica il giroscopio possiede solo due diversi momenti principali di inerzia: il momento assiale J z e il momento equatoriale J xy riferito all asse x o all asse y. In questo esperimento vengono misurati entrambi i momenti di inerzia. 8.2 J assiale L asse del giroscopio è mantenuto orizzontale, come indica la figura 8.3. Attaccando una massa m = 200 g sulla circonferenza perimetrale del giroscopio ( raggio R ) questo viene trasformato in un pendolo fisico. Dal periodo di oscillazione di questo pendolo possiamo ricavare il momento di inerzia J z. Mediante la massa aggiuntiva il momento di inerzia diventa: J z = J z + mr 2, (8.1) il momento di richiamo M z del pendolo per una deviazione θ comporta: M z = m g R sin θ, (8.2) 53

64 8.2. J ASSIALE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO Figura 8.1: Fotografia del giroscopio Figura 8.2: Per la definizione dei momenti di inerzia 54

65 CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.2. J ASSIALE Figura 8.3: Dispositivo sperimentale 55

66 8.3. J EQUATORIALE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO dove g rappresenta l accelerazione di gravità. Ponendo questo valore nell equazione fondamentale della dinamica, essa assume la forma: M z = Jz d 2 θ dt 2, (8.3) e si ottiene l equazione delle oscillazioni: J z d 2 θ + m g R sinθ = 0, (8.4) dt2 che per angolo piccolo coincide con l equazione del moto di un oscillatore armonico: d 2 θ dt + m g R θ = 0. (8.5) 2 Jz Risolvendo l equazione differenziale si ha: m g R ω =. (8.6) Jz Da questa si ottiene il periodo di oscillazione T: Jz T = 2 π mgr. (8.7) Sostituiamo J z nella prima equazione e risolviamo rispetto a J z : otteniamo la cercata equazione per la determinazione di J z J z = mr( gt 2 R). (8.8) 4π2 Mediante le misure di m, R e T si può determinare J z. Non abbiamo considerato il momento di inerzia rispetto al suo asse. 8.3 J equatoriale Per questa misura il giroscopio, secondo la figura 8.4 è appoggiato con il suo asse verticale e sostenuto sul baricentro. Allora il baricentro del giroscopio è spostato verso il basso e si trova ad una distanza d al disotto del punto di appoggio. 56

67 CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.3. J EQUATORIALE Figura 8.4: Dispositivo sperimentale momento equatoriale 57

68 8.4. NUTAZIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO Se il giroscopio è dotato di massa m k, il momento di inerzia del dispositivo, secondo il teorema di Huygens-Steiner ha il valore: Per il momento di richiamo M xy vale: J xy = J xy + m k d 2. (8.9) M xy = m k g d sinθ. (8.10) Sostituendo R con d, m con m k e J z con J xy per il momento di inerzia J xy si ha analogamente: 8.4 Nutazione J xy = m k d ( gt 2 d). (8.11) 4π2 Su un giroscopio simmetrico appoggiato sul baricentro non agisce alcun momento di rotazione; il suo impulso di rotazione L = J ω rimane cosìcostante. Per il giroscopio impiegato nel nostro esperimento J ha la forma: J xy 0 0 J = 0 J xy J z Se la velocità angolare non indica la direzione di un asse principale del tensore di inerzia, le direzioni di L ed ω non coincidono. Come conseguenza l asse del giroscopio non rimane nella stessa posizione spaziale, ma gira intorno, con frequenza di nutazione f n, alla direzione impulso di rotazione. La velocità angolare ω può essere scomposta in due componenti : la velocità angolare ω z, che ruota con quella del giroscopio sul suo asse e la velocità angolare ω n della nutazione ( vedere la figura 8.5). La direzione di ω è anche indicata come asse istantaneo di rotazione; L,ω e ω z giacciono sempre su di un piano(vedi figura 8.5 ) Per calcolare la relazione fra ω z ed ω n osserviamo il moto del giroscopio in un istante nel quale il sistema di coordinate, solidale con il corpo, coincide con il sistema di coordinate cartesiane del laboratorio. Per le componenti del vettore impulso di rotazione vale dapprima: L y = J xy ω y = L sinθ, (8.12) 58

69 CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.4. NUTAZIONE Figura 8.5: Definizione grandezze impiegate 59

70 8.4. NUTAZIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO L z = J z ω z = L cosθ, (8.13) L x è nulla perchè L giace nel piano xy. Sulla figura 8.5 in basso si legge inoltre Combinando alcune equazioni otteniamo: sinθ = ω y ω n. (8.14) L = J xy ω n. (8.15) Eliminiamo L con l aiuto di questa relazione e risolviamo rispetto ad ω n, otteniamo: ω n = ω z J z J xy cosθ, (8.16) e dopo divisione per 2 π, per un angolo θ di apertura piccolo, f n = f z J z J xy. (8.17) La proporzionalità fra la frequenza f z del giroscopio rispetto al suo asse e la frequenza di nutazione f n è mostrata quantitativamente in questo esperimento. Nel caso che i momenti principali di inerzia J z e J xy del giroscopio siano noti, può essere verificato il fattore di proporzionalità J z J xy Esecuzione pratica Sostenere l asse del giroscopio con la mano sinistra e con la mano destra porlo in rapida rotazione mediante ripetute spinte sulla custodia del supporto di rotazione del giroscopio, dare un leggero colpo laterale all asse del giroscopio per lasciarlo libero, in modo che esso per l instaurato moto di nutazione lasci libero il raggio di luce del traguardo luminoso. Mettere a zero l unità di ingresso leggere sul contatore digitale il periodo di nutazione T n e la frequenza corrispondente 18 f z ( 18 raggi della ruota ) sul contatore P. Ripetere le misure più volte per numero di giri lentamente decrescente ( porre a zero per ogni misura l unità di ingresso ). 60

71 CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.5. ELABORAZIONE 8.5 Elaborazione La rappresentazione grafica della funzione f n = f ( f z ) mostra la proporzionalità fra la frequenza di nutazione f n e la frequenza di rotazione f z di un giroscopio: f n f z oppure f n /f z = cost. (8.18) Con c = ( fn f z ) = 1.54 ( pendenza della retta ) si ottiene: f n f z = (8.19) Da un punto di vista teorico, secondo una equazione precedente abbiamo: ( f n ) = J z. (8.20) f z J xy Con il momento di inerzia assiale e con il momento di inerzia equatoriale si ottiene: ( f n f z ) = 8.6 Precessione J z = kgm 2, (8.21) J xy = kgm 2, (8.22) kgm2 = 1.5. (8.23) kgm2 Il moto di un giroscopio sotto l influenza di una forza esterna conduce alla precessione del giroscopio. Se sull asse del giroscopio agisce un momento, l asse del giroscopio non segue questo momento, ma si sposta ad angolo retto. Si osserva un giroscopio il cui asse di rotazione passa per l origine di un sistema di coordinate ortogonali e il cui punto d appoggio giace nell origine ( vedi figura 8.6). La distanza del baricentro S del giroscopio dall origine è d, l inclinazione dell asse del giroscopio rispetto all asse Z è α. Il momento angolare L del giroscopio è dove L = J ω, (8.24) 61

72 8.6. PRECESSIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO Figura 8.6: Precessione del giroscopio 62

73 CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.6. PRECESSIONE ω=frequenza di rotazione del giroscopio J =momento di inerzia del giroscopio riferito all asse della figura 8.6 L è in generale una funzione del tempo cioè L=f(t). Nel campo gravitazionale terrestre è applicata al baricentro del giroscopio una forza F =m g e agisce sull asse di rotazione il momento M = d F = m d g con (8.25) M = F d sinα = m g d sin α (8.26) M è perpendicolare al piano definito da F e d e produce una variazione dl del momento angolare. La variazione del momento angolare dl risulta perpendicolare al momento angolare istantaneo L. Per il momento angolare prodotto da M vale: Con segue: M = d L dt. (8.27) dl = L sinα dφ, (8.28) M = L sinα dφ dt = L sinα ω p, (8.29) dove ω p = dφ/dt è la frequenza di precessione. Combinando le formule precedenti otteniamo: ω p = m g d L = d ω m g J. (8.30) Ciò vuol dire: la frequenza ω p di precessione è direttamente proporzionale alla distanza d del baricentro dal punto di appoggio e inversamente proporzionale alla frequenza di rotazione ω del giroscopio, non dipende dall angolo α fra l asse del giroscopio e l asse z (per la deduzione si è presupposto ω p ω; giroscopio più veloce). Per verificare la relazione precedente viene misurata ω p in funzione di d e di ω. È inoltre determinato il momento di inerzia J ed il secondo fattore mg /J è confrontato con la pendenza della retta ω p ω = f (d) ( confrontare la misura supplementare alla fine della descrizione dell esperimento). Poichè la 63

74 8.6. PRECESSIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO posizione del baricentro P del giroscopio è incognita, non si può determinare direttamente d. Come misura di s è perciò scelta la distanza fra l estremità superiore dell asse del giroscopio e l anello superiore di chiusura del supporto del giroscopio (vedi figura 8.7); s 0 misura quindi la distanza fra l estremità superiore dell asse del giroscopio e la scanalatura ad anello incisa sull asse del giroscopio. Se l anello superiore di chiusura del supporto del giroscopio coincide esattamente con la scanalatura ad anello, allora il giroscopio appoggia sul baricentro P. Se il baricentro e il punto di appoggio coincidono, cioè se il giroscopio rimane in qualsiasi posizione, senza oscillare od orientarsi ( giroscopio detto libero da forze ), allora è s = s 0. Per una scelta qualsiasi di P vale: d = s 0 s. (8.31) Se il baricentro sta sopra o sotto il punto di appoggio, d è positivo o negativo e il moto di precessione è positivo o negativo; il moto di precessione è rivolto in senso antiorario o in senso orario Montaggio Costruire il montaggio come nella figura 8.8. Misura della frequenza ω p di precessione con traguardo luminoso (1), unità di ingresso e contatore digitale (4). Per la misura di un periodo completo di precessione premere i tasti dell unità di ingresso segnati in nero e porre il selettore (3) su man. Disporre il contatore digitale (4) sulla misura del tempo. Misura della frequenza di rotazione ω del giroscopio con traguardo luminoso (2), unità di ingresso e contatore digitale P (5). Porre il contatore digitale P sulla misura di frequenza. La frequenza di rotazione è determinata dalla frequenza d interruzione f prodotta dai raggi del giroscopio sul traguardo luminoso (2). Un giro corrisponde a 18 interruzioni del traguardo luminoso ( 18 raggi ): ( N indicazione del contatore digitale ). ω = 2π f = 2π N/18, (8.32) 64

75 CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.6. PRECESSIONE Figura 8.7: Determinazione della posizione del baricentro 65

76 8.6. PRECESSIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO Figura 8.8: Montaggio sperimentale per la precessione 66

77 CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.7. ESECUZIONE PRATICA 8.7 Esecuzione pratica Regolare il valore s desiderato e misurarlo con il calibro. Disporre il giroscopio verticale e spostarlo lateralmente, con il piede di supporto, in modo che l asse del giroscopio tagli l asse ottico del traguardo luminoso (l) e interrompa il raggio luminoso. Porre il giroscopio in rotazione. Per chi adopera normalmente la mano destra: tenere con la mano sinistra l estremita superiore dell asse del giroscopio e con la mano destra porre in rapida rotazione il giroscopio con ripetute spinte sulla custodia del cuscinetto del giroscopio ( non più di 3 Hz ). Inclinare con prudenza l asse e lasciarlo libero in modo che si instauri un moto di precessione puro senza la sovrapposizione di un moto vibratorio. Mentre il giroscopio diventa gradualmente più lento, misurare più volte le coppie di valori (ω p, ω ). Prestare attenzione che le misure della frequenza di precessione ω p avvengano durante la misura della corrispondente frequenza di rotazione ω Ripetere l esperimento per diversi valori di s. Misurare s 0 con il calibro. La figura 8.9 mostra la proporzionalità richiesta dall equazione (4) fra ω p e 1/ ω per due diversi valori per s 1 = 1.5 cm e s 2 = 8.0 cm di d. La figura 8.10 mostra la proporzionalità fra il prodotto ω ω p e d; d = s 0 -s. Che la retta della figura 8.10 non passi esattamente per l origine dipende dalla precisione della misura di s 0. I valori di d sono perciò rilevati tutti minori per circa 2 mm; spostare la retta di 2 mm in direzione d. L angolo di precessione diventa, durante il moto, sempre più piccolo; il giroscopio si dispone a poco a poco da sè ancora verticale. Questo effetto è prodotto dall attrito del cuscinetto del supporto del giroscopio ed ha come conseguenza che, durante il funzionamento in una serie di esperimenti, deve essere di tanto in tanto di nuovo inclinato. Secondo la relazione 8.30 la pendenza della retta della figura 8.10 deve avere il valore mg /J. Per provare ciò bisogna determinare la massima m del giroscopio (senza l asse ) e il momento d inerzia J e confrontare la pendenza del diagramma della figura 8.11 con il quoziente mg/j. 67

78 8.7. ESECUZIONE PRATICA CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 68 Figura 8.9: Plot di ω p e 1/ ω

79 CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.7. ESECUZIONE PRATICA Figura 8.10: Plot di ω p ω e d 69

80 8.7. ESECUZIONE PRATICA CAPITOLO 8. GIROSCOPIO Figura 8.11: Determinazione del momento J del giroscopio 70

81 CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.8. DETERMINAZIONE J 8.8 Determinazione J Per questo scopo far funzionare il giroscopio come pendolo fisico. Il montaggio è indicato nella figura 8.11 : due masse supplementari di 100 g. sono fissate sul cerchione dalla parte interna, p. es. con nastro adesivo. Dal valore m delle masse supplementari, dalla distanza R delle masse supplementari dall asse di rotazione e dal periodo di oscillazione T del pendolo si calcola J con J = m R ( g T 2 4π 2 R), (8.33) dove g è la solita accelerazione di gravità. Regolare l unità di ingresso per il conteggio di una oscillazione completa; per questo scopo premere i tasti indicati in nero nella figura. Predisporre il contatore digitale per la misura del tempo. Porre a zero il contatore con il tasto di reset. Spostare il pendolo in modo che il traguardo luminoso, durante un oscillazione completa, sia interrotto solo da un raggio. Questo raggio interrompe il traguardo luminoso 2 volte. Determinare da ultimo con il dinamometro la massa del giroscopio. Riportiamo come misure m = 0.2 Kg, T=3.48 s, R=0.236 m, M=3Kg. Dall esempio di misure si ottiene per il momento di inerzia J = 0.13 Kgm 2. Con ciò il valore teorico per la pendenza del diagramma è: Mg J 3.0Kg 9.81m/sec2 = = 226m 1 s 2. (8.34) 0.13Kgm 2 Dalla figura sperimentale troviamo invece la pendenza: (ω p ω) d = 214m 1 s 2. (8.35) Con ciò è verificata quantitativamente la relazione per la frequenza di precessione. ELABORAZIONE DATI SU PC. In questa esperienza compaiono molti fit tramite una retta, consigliamo quindi di adoperare il programma RETTA. 71

82 8.8. DETERMINAZIONE J CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 72

83 Capitolo 9 Bilancia di Cavendish Lo scopo dell esperimento è la determinazione del valore della costante di gravitazione universale. Lo strumento usato a tal fine è la bilancia di Cavendish, costituita da una parte che durante l esperienza rimane fissa e da un sistema mobile, la bilancia di torsione. La bilancia di torsione è costituita da una massa trascurabile ai cui estremi sono fissate due piccole masse sferiche. L asta è sostenuta per il baricentro, al fine di ridurre l influenza dell aria sul moto della bilancia. All esterno della custodia si trova l equipaggio fisso, costituito da due grosse masse sferiche imperniate, per mezzo di un manubrio, coassialmente al sistema mobile e sullo stesso piano in cui si muovono le masse piccole. Quando le masse grandi sono posizionate rispetto alle piccole come in figura 9.1( parte sinistra) rispetto alle piccole, il sistema si dice carico, mentre in figura 9.1( parte destra) il sistema è a riposo. Quando l equipaggio è carico ogni massa attira a sè, per effetto Figura 9.1: Sistema carico a sinistra e scarico a destra 73

84 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH Figura 9.2: Schema del sistema della forza di attrazione gravitazionale, la massa piccola più vicina. Si genera così un momento al quale si oppone il momento torcente del filo di sospensione ed il momento della forza di attrito viscoso dell aria: il moto del sistema è oscillatorio smorzato e tende ad una posizione di equilibrio. Per facilitare l operazione di misura, le oscillazioni vengono amplificate per mezzo di un sistema ottico, costituito da uno specchio, una sorgente luminosa fissa ed un regolo. Lo specchio è fissato sull asta della bilancia all altezza del baricentro e su di esso si riflette un raggio luminoso prodotto dalla sorgente fissa. Esso viene proiettato su di un regolo trasparente. Gli spostamenti angolari dell asta durante il moto oscillatorio corrispondono a spostamenti lungo il regolo del raggio riflesso, vedi figura

85 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH9.1. METODO ACCELERAZIONE Riportiamo i parametri del sistema: m M l r s 0 d = (15.00 ± 0.12)10 3 kg = (1.500 ± 0.001)kg = (5.00 ± 0.01)m = (4.5 ± 0.1)10 2 m = (4.65 ± 0.1)10 2 m = (5.0 ± 0.1)10 2 m dove m sono le masse poste all estremità della bilancia di torsione, M le masse fisse che generano il campo gravitazionale, r la distanza fra massa grande e massa piccola alla fine dell esperimento, s 0 la distanza fra masssa grande e centro della scatola,, R la scala per la misura dell indice luminoso, S la sorgente di luce, T lo specchio della leva ottica solidale con l asta. Possiamo ricavare la costante G mediante quattro metodi. 9.1 Metodo accelerazione Consiste nell approssimare il moto iniziale del sistema con un moto uniformemente accelerato. Questo metodo si applica solo nell analisi dei dati relativi ai primi istanti del moto( nel nostro caso nei primi 125 secondi), perchè nella fase iniziale si può trascurare l effetto dell attrito viscoso dell aria ed assumere come nullo il momento torcente del filo. L equazione del moto vale quindi: I ϕ = 2F d. (9.1) Trascurando la massa dell asta orizzontale, il momento di inerzia I del sistema mobile è: I = 2md 2. (9.2) Poichè S = α l = 2ϕ l, segue che ϕ = S e conseguentemente, ϕ = 2l S. L equazione del moto diventa quindi 2l ϕ = 2F d I, (9.3) 75

86 9.1. METODO ACCELERAZIONECAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH Figura 9.3: Risultati metodo della parabola che, eguagliata all equazione precedente, dà: 4F dl S =. (9.4) I Con due successive integrazioni otteniamo: S = 1 4F dl t 2 ; (9.5) 2 I assumendo poi un moto parabolico del tipo: otteniamo finalmente: S = 1 2 at2, (9.6) a = 2lGM dr 2, (9.7) dove a ha proprio le dimensioni di un accelerazione e si ottiene dai valori di x e di t rilevati nei primi 125 secondi del moto. Abbiamo cioè assunto una dipendenza del tipo parabolico: x = 1 2 at2 = At 2. (9.8) Trovata A tramite il metodo dei minimi quadrati abbiamo finalmente: 76

87 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.2. MOTO SMORZATO G = ar2 d 2Ml. (9.9) ELABORAZIONE DATI SU PC. Possiamo trovare A adoperando per esempio il programma PARABO o ancora meglio PARAB2. Il programma CAVEN da invece sia l accelerazione sia direttamente il valore di G ; vedi figura Moto smorzato Il sistema mobile descrive un moto rotatorio e segue l equazione fondamentale della dinamica: M = d P dt, (9.10) dove P è il momento angolare totale ed M è la risultante dei momenti delle forze applicate. Pertanto la corrispondente equazione scalare del moto è: I ϕ = β ϕ kϕ + 2F d, (9.11) dove il secondo membro è la somma dei momenti delle forze applicate: la forza di attrito viscoso dell aria( β è il coefficiente di attrito viscoso), la forza elastica di torsione del filo metallico( k è il coefficiente elastico di torsione) e la forza gravitazionale F = G mm. Posti β = 2 δ e k = r 2 I I ω 2, l equazione del moto diventa: ϕ + 2δ ϕ + ω 2 ϕ = 2F d I Integrando l equazione omogenea associata: si ottiene la soluzione particolare:. (9.12) ϕ + 2δ ϕ + ω 2 ϕ = 0, (9.13) ϕ 0 (t) = Ae δt cos(γt + φ), (9.14) dove A è l ampiezza dell oscillazione, δ il coefficiente di smorzamento, φ la fase iniziale e γ = ω 2 δ 2 la velocità angolare. Soluzione particolare dell equazione completa è: ϕ 0 (t) = 2F d k 77. (9.15)

88 9.2. MOTO SMORZATO CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH Segue che la soluzione generale dell equazione completa è: ϕ(t) = Ae δt cos(γt + φ) + 2F d k, (9.16) che descrive un moto armonico smorzato. Passati 4 minuti dall inizio della misura la torsione del filo di sostegno non è più trascurabile e l equazione del moto è espressa da un moto armonico smorzato di periodo: T = 2π γ = 2π ω2 δ 2 = 2π K I β2 4I 2. (9.17) Si trascura il termine β2 dovuto all attrito viscoso dell aria: 4I 2 I 2md T = 2π k = 2π 2, (9.18) k e poichè T si ricava dai dati sperimentali, si esprime il coefficiente di torsione k in funzione di grandezze note: k = 8π2 md 2 T 2. (9.19) Per t che tende ad infinito il sistema tende a stabilizzarsi in una posizione di equilibrio: il momento I ϕ è nullo e dalla 9.11 discende che il momento della forza gravitazionale eguaglia il momento torcente del filo. Nella 9.16, al crescere del tempo t, l esponenziale tende a zero e ϕ tende al valore di equilibrio ϕeq = 2F d. Ricordiamoci che il moto 2 k avviene fra - ϕeq e + ϕeq laonde per cui nel limite lim 2 2 t il momento torcente k ϕeq equaglia il momento delle forze 2Fd. Poichè ϕ 2 eq = Seq ed 2l essendo F = G mm, si ottiene r 2 S eq = 4d 2l k GMm, (9.20) r 2 da cui si ricava la costante G in funzione di grandezze note: G = π2 r 2 d MlT 2 S eq. (9.21) La posizione di equilibrio S eq si ricerca per via dinamica, per evitare un eventuale angolo morto che si otterrebbe con la misura per via statica. 78

89 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.3. TRATTAMENTO COMPLETO Figura 9.4: Riferimento 9.3 Trattamento completo Facciamo riferimento 1 alla figura 9.4. Chiamiamo α 0 la posizione in cui il momento torcente del filo è nulla; l equazione del moto diventa: M = d P dt, (9.22) che, tradotta in pratica, dà: M G + M T + M F = I α, (9.23) 1 Questi conti sono stati estratti da appunti di Renzo Richiardone del Dipartimento di Fisica Generale nell a/a 82/83 79

90 9.3. TRATTAMENTO COMPLETOCAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH dove: M G = 2GmMd/r 2 M T = K(α α 0 ), M F = D α, I 2md 2. essendo M G la componente lungo z del momento delle forze gravitazionali, M F il momento frenante dovuto alla viscosità dell aria, M T la componente lungo z del momento torcente del filo e I il momento di inerzia. Sia r = QB 1 R ± s (9.24) ( i segni superiori/inferiori si riferiscono alle masse M nella posizione 1/2 rispettivamente ). Si ha: 1 r = 1 2 (R ± S) = 1 (9.25) 2 R 2 (1 ± S R )2 1 R (1 2 S 2 R ) = 1 2dα (1 R2 R ) ; (9.26) quindi l equazione 9.23 diventa Posto K(α α 0 ) 2dGmM (1 2 d α) D α = I α. (9.27) R 2 R A = 2dGmM R 2, (9.28) Kα 0 A (K 2A d )α D α = I α, (9.29) R B = K 2A d R, (9.30) Q = Kα 0 A, (9.31) 80

91 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.3. TRATTAMENTO COMPLETO l equazione del moto diventa: I α + D α + Bα = Q, (9.32) il cui integrale generale si ottiene sommando un integrale particolare ( per esempio α = Q ) all integrale generale dell equazione omogenea, B la cui forma è del tipo: α = C 1 e k 1t + C 2 e k 2t, (9.33) dove k 1 e k 2 sono le radici dell equazione: cioè Ik 2 + Dk + B = 0, (9.34) k = D ± D 2 4IB. (9.35) 2I Essendo D 2 4IB 0( oscillazioni smorzate) avremo: ω = 4IB D 2 2I, (9.36) τ = 2I D. (9.37) L integrale generale dell omogenea associata può essere scritto nella forma: Ce t τ cos(ωt + ϕ), (9.38) dove C e ϕ sono costanti da determinarsi in base alle condizioni iniziali. La soluzione della 9.32 è pertanto: α = Q B + Ce t τ cos(ωt + ϕ). (9.39) Indicheremo d ora in poi il valore finale di α con α = Q B. (9.40) Le costanti C e ϕ si possono determinare a partire dall angolo iniziale e dalla velocità angolare iniziale, ma per il nostro scopo non sono di nessun aiuto. Notiamo piuttosto che l unica grandezza che dipende 81

92 9.3. TRATTAMENTO COMPLETOCAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH dalla posizione 1/2 delle masse è Q, e quindi il valore finale dell angolo α = Q ( valore attorno al quale oscilla α). Dalla 9.40 e dalla 9.31 si B ha che α 2, α 1, = Kα 0 + A Kα 0 A = 2 A B B B, (9.41) da cui A = B 2 (α 2, α 1, ). (9.42) Elevando al quadrato la 9.36 e sostituendovi la 9.37, otteniamo ω 2 = 4IB D2 4I 2 = B I2 τ 2 I = B I 1 τ 2, (9.43) e quindi B = I(ω τ 2 ) = Iω2 0, (9.44) dove ω 0 è la velocità angolare del moto non smorzato che, sostituita nella 9.42, dà: A = I 2 (ω2 + 1 τ 2 )(α 2, α 1, ). (9.45) La costante di gravitazione universale G si può ricavare dalla 9.28 : G = dalla 9.40 e dalla 9.31 si ottiene AR2 2dmM, (9.46) G = dr2 2M (ω2 + 1 τ 2 )(α 2, α 1, ). (9.47) che è quanto ci interessa. Consideriamo le masse M nella posizione 1. La pallina in P non è attratta solamente dalla massa M in A 1, ma anche da quella posta posta in B 1, che la attira con una forza di attrazione di intensità: 82 G mm P B 1 2, (9.48)

93 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.3. TRATTAMENTO COMPLETO provocando un momento aggiunto ( lo stesso accade per la pallina in Q attratta dalla massa in A 1 ) di modulo M a = 2dG mm 2 senβ, (9.49) P B 1 dove per semplicità nel considerare la componente che provoca il momento si è supposta la pallina fissa nella sua posizione media S. Il tratto P B 1 RB 1 = SB 1 - SR = L-SPsenβ = L-s senβ essendo ŜP R ÔSB 1 perchè complementari ( pressochè) dello stesso angolo P SR. Poichè senβ = R si ottiene P B L 1 L- d R α. Quando le masse M L sono nella posizione 2 al denominatore della 9.49 vi è il tratto P B 2 L+ s senβ = L+ d R α. Essendo ora L 1 (L d R L α)2 1 L 2 ( 1 ± 2 dr L 2 α) (9.50) e poichè il momento aggiuntivo è sempre opposto a quello principale M G si ha: M a = ±2dG mm L senβ( 1 ± 2 dr 2 L α), (9.51) 2 } indica come al solito il caso { 12 } e come dove il segno { superiore inferiore al solito M a è in realtà la componente nella direzione z. Poichè senβ = R la 9.51 diventa (usando la 9.28) : L dove si è definito M a = R2 A L 2 R( dr 1 ± 2 L L α), (9.52) 2 M a = ±AE ( 1 ± F α ), (9.53) E = R3 L 3, (9.54) F = 2dR L 2. (9.55) Introducendo il termine aggiuntivo(9.55 ) nella(9.23 ) l equazione(9.32) resta invariata, purchè si ridefinisca Q = Kα 0 A ± AE = Kα 0 A(1 E), (9.56) 83

94 9.3. TRATTAMENTO COMPLETOCAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH B = K 2A d R AEF = K ( 2d R + EF ) A. (9.57) Il calcolo di α 2, α 1, fornisce ora α 2, α 1, = 2A B ( 1 E ), (9.58) mentre la(9.44 ) conserva la sua validità. Dalla(9.58 ) si ottiene A = B ( ) α2, α 1, 2(1 E), (9.59) che paragonata alla( 9.42 ) indica semplicemente l introduzione del termine correttivo(1-e) al denominatore. Nel ricavare G dalla(9.28 ) si ottiene pertanto una espressione simile alla(9.47 ), ma con la presenza al denominatore di(1-e) ossia : dove G = dr2 2M (ω2 + 1 τ )(α 1 2 2, α 1, )( ), (9.60) 1 R3 L 3 α 2, = arctg E 2 l, (9.61) Ponendo otteniamo finalmente : α 1, = arctg E 1 l. (9.62) L = (2d) 2 + R 2, (9.63) G = dr2 2M (ω2 + 1 τ )( E 1 )( ). (9.64) 2 l r 1 3 ((2d) 2 +r 2 ) 3/2 Fitteremo ora i dati con una sinusoide smorzata del tipo: y = A seno(2 π t/t + α) e t τ + Cost. (9.65) ELABORAZIONE DATI SU PC. Il valore di G tramite questo metodo viene calcolato dal programma CAVEN: vedi figura

95 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.4. ESCURSIONE FINALE Figura 9.5: Risultati metodo completo 9.4 escursione Finale La forza di gravitazione con cui si attirano due sfere di piombo di masse m 1 = kg ed m 2 = kg, alla distanza di 4.5 cm comporta meno di 10 9 N. Questa forza può essere messa in evidenza solo con una bilancia di torsione estremamente sensibile. Il nucleo della bilancia è, appeso ad un sottile filo di torsione, un asta trasversale orizzontale leggera che porta a ciascuna estremità una sfera di piombo di massa m 2 = kg.queste sfere sono attirate da due grandi sfere di piombo di massa m 1 = kg. La deviazione dell asta trasversale dalla sua posizione di equilibrio, causata da questa forza, è determinata mediante un indice luminoso( vedi figura 9.6 ). Per la determinazione della costante di gravitazione vengono osservate le posizioni di equilibrio iniziale e finale ed anche il momento oscillatorio smorzato fra queste due posizioni. L esperimento inizia con un accurato controllo della posizione di equilibrio della bilancia ribaltando le due sfere grandi in posizioni contrapposte( dalla posizione I alla posizione II). Il sistema di misura passa, dopo alcune oscillazioni, da una posizione finale indicata come posizione di equilibrio in una nuova posizione finale. Sia α l angolo fra queste due posizioni. Esso può essere ricavato dalle dimensioni del dispositivo e dalla escursione dell indice luminoso, secondo le indicazioni della figura

96 9.4. ESCURSIONE FINALE CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH Figura 9.6: Dispositivo Figura 9.7: Schema dell esperienza 86

97 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.4. ESCURSIONE FINALE Il momento M operante sul sistema di misura in una posizione finale, a causa della forza di attrazione delle masse è M =2Fd se F è la forza di attrazione fra ciascuna coppia di sfere e d la distanza dell asse delle sfere piccole della bilancia dal filo di torsione. Questo momento di torsione, attraverso all attorcigliamento del filo per un angolo α/2, mantiene l equilibrio. Se si indica la costante di torsione del filo con D, si ha per il momento: M = D α 2. (9.66) Ecco i significati( vedere la figura 9.7 ): b:distanza fra i centri delle sfere grosse e delle sfere piccole, s:percorso della sfera piccola nella bilancia d:distanza delle sfere piccole dall asse S:percorso dell indice luminoso sulla parete L:distanza della parete dallo specchio della bilancia. A causa del raddoppiamento dell angolo per riflessione, vale: s 2d = tanα 2 α 2, (9.67) S = tanα α, (9.68) 2L cioè s d = S 2L α. (9.69) La costante di torsione di D può essere ricavata dal periodo di oscillazione T del sistema di misura: oppure T 2 = 4π 2 J D, (9.70) D = 4π2 J T 2. (9.71) 87

98 9.4. ESCURSIONE FINALE CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH Il momento d inerzia J che quì compare si può confondere con il momento d inerzia delle due sfere piccole J = 2m 2 d 2, perchè la sospensione con lo specchio praticamente non influisce sul momento di inerzia quindi: D = 8π2 m 2 d 2 T 2. (9.72) Se si pone nell equazione M= D α 2 la grandezza M = 2F d = 2G m 1m 2 d b 2, (9.73) e i valori sopra ottenuti per D ed α, segue con 2M =D α 4G m 1m 2 = 8π2 dm 2 S b 2 T 2 2L. (9.74) Per la forza che sussiste fra le due masse m 1 ed m 2 vale: dove r è la distanza delle masse. Da ciò si calcola: F = G m 1m 2 r 2, (9.75) G = π2 b 2 ds m 1 T 2 L. (9.76) Questa formula per la costante di gravitazione contiene solo grandezze misurabili; la massa delle sfere piccole manca nel calcolo cosìcche la loro conoscenza non è necessaria. Il valore determinato è affetto dal seguente errore sistematico: la sfera piccola è attratta anche, con una forza molto piccola dalla seconda sfera grande più lontana (vedi figura 9.8 ). Questa forza è secondo la legge di gravitazione F 0 = 2G m 1m 2 b 2 + 4d 2, (9.77) ed ha una componente f opposta alla forza da misurare F 0 f = 2G m 1m 2 b b 2 + 4d 2 b2 + 4d = βf 2 0, (9.78) 88

99 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.5. NOTE TECNICHE Figura 9.8: Calcolo del fattore di correzione se β è la frazione per la quale la forza F 0 è osservata minore, β = b 3 (b 2 + 4d 2 ) b 2 + 4d 2. (9.79) Con i tipici valori del nostro esperimento la correzione β è dell ordine del 7 % 10 % e questa è anche la frazione della quale dobbiamo aumentare G. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per vedere i valori veri delle varie quantità coinvolte usare il programma CAVEN; riportiamo nella figura 9.9 un tipico run. 9.5 Note tecniche A questo punti vi sarà venuto il dubbio di conoscere le caratteristiche salienti della bilancia (vedi figura 9.10 ) che riportiamo in numeri: 1. Custodia metallica con lastre di vetro e schermi di vetro acrilico all interno( per evitare correnti d aria). Dimensioni approssimative 15 cm 8cm 2.9 cm. 2. Piccole sferette di piombo. 3. Sfere grandi di piombo. 89

100 9.5. NOTE TECNICHE CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH Figura 9.9: Risultati metodo escursione finale 4. Sostegno ad occhiali per le sfere di piombo. 5. Vite a testa godronata per bloccare la bilancia di torsione. 6. Anello per regolare l altezza del supporto delle sfere di piombo. 7. Asta corta( gambo) per assicurare un sostegno permanente. 8. Specchio concavo per riflettere l indice luminoso, distanza focale 30 cm ca. 9. Piattina di torsione in bronzo di lunghezza 26 cm ca, mentre la sezione trasversale vale 0.01 mm 0.15 mm. 10. Tubo di protezione per il nastro di torsione. 11. Testa di torsione per la correzione dello zero. 12. Vite per serrare il capo del filo di sospensione. Sfere di piombo piccole massa di ciascuna: m 1 = kg raggio: r 1 = 6.9 mm Sfere di piombo grandi 90

101 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.5. NOTE TECNICHE Figura 9.10: Equipaggiamento bilancia 91

102 9.6. NOVITÀ CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH Figura 9.11: Parametri geometrici masse massa di ciascuna: m 2 = kg raggio: r 2 = 32 mm La distanza dei centri di gravità s 0 tra la sfera grande quando tocca la parete e la sfera piccola in posizione intermedia è s 0 = 46.5 mm( vedi figura 9.11 ). Il periodo di oscillazione del sistema e di circa 10 m mentre il decremento logaritmico dello smorzamento vale = 0.7. Il coefficiente di torsione angolare della sospensione vale approssimativamente 9 Nm D = mentre la differenza fra le posizioni estreme dell indice rad luminoso quando la sfera grande è girata verso sinistra o verso destra vale S 1 = 0.03 L( L indica la distanza fra la parete in scala e lo specchio rotante). 9.6 Novità Recentemente il valore di G trovato tramite la bilancia di torsione è stato rimesso in discussione perchè la costante di torsione D potrebbe dipendere dal periodo di oscillazione, vedi [Kuroda 1995]. Sotto questa ipotesi il valore di G dovrebbe essere minore di quello ufficiale. Riportiamo inoltre una tabella di alcuni valori di G determinati tramite 92

103 CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.6. NOVITÀ Tabella 9.1: Valori G G Incertezza Gruppo HBC LAL H&C bilancia di torsione con il loro relativo errore e la sigla del gruppo di appartenenza. Applicando il criterio di massima verosimiglianza a questi dati otteniamo il valore ± l incertezza risulta essere dello stesso ordine di quella ufficiale( vedi appendice C); invece il valore vero e proprio risulta differire del 0.6 per 1000 rispetto al valore ufficiale. 93

104 9.6. NOVITÀ CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 94

105 Capitolo 10 Rotaia ad aria Questo nuovo strumento messo a disposizione per esperienze di meccanica ad una dimensione, funziona sul principio del cuscino d aria. Una rotaia lineare, in estrusione cava di lega leggera a sezione triangolare, è collegata ad un compressore che fornisce aria a bassa pressione; in tal modo, grazie a centinaia di piccoli fori( diametro = 0.55 mm), viene a formarsi un cuscino d aria sulla superficie esterna. Con opportuni carrelli, che in tali condizioni si muovono sulla rotaia in pressochè totale assenza di attrito, si possono quindi effettuare tutte le dimostrazioni della statica, cinematica e dinamica. La rotaia è dotata di uno scintillatore. Tramite questo strumento vengono fatte scoccare delle scintille fra la rotaia e un carrello posto in movimento su di essa; la scintilla viene registrata come un punto sull apposito nastro. Lo scintillatore viene fornito completo di cavi per scintille e di ritorno a terra, di un pulsante per comando a distanza e di un cavo per impulsi esterni. Opera a 220 V, 50 Hz. La frequenza di lavoro può essere stabilita sulle posizioni 10 Hz o 50 Hz fissi, oppure, ruotando un selettore, può essere fatta variare con continuità da 1 Hz a 50 Hz. Si possono compiere parecchie esperienze e riportiamo quelle attualmente in uso Forze dissipative In questo esperimento studieremo le forze dissipative, così chiamate perchè dissipano energia meccanica. Queste, chiamate anche forze di damping, includono varie forze di attrito, forze di damping magnetico, forze di interazione in collisioni non perfettamente elastiche. È facile 95

106 10.1. FORZE DISSIPATIVE CAPITOLO 10. ROTAIA AD ARIA osservare che la principale forza di attrito è la viscosità del sottile strato d aria tra il carrello e la rotaia. Si può dimostrare che la forza di attrito è direttamente proporzionale alla superficie A dello strato interessato e alla velocità v del carrello rispetto alla rotaia e inversamente proporzionale allo spessore d dello strato. Cosicchè la forza di attrito può essere scritta come: F = ηav, (10.1) d dove η è una costante caratteristica del fluido( aria) chiamata viscosità. Per i nostri scopi la più importante caratteristica di questa forza è che è proporzionale alla velocità: F = bv, (10.2) dove b è una costante che dipende dalle dimensioni del carrello e dalle proprietà dell aria; il segno negativo indica che la direzione di F è sempre opposta a quella della velocità. Quando il carrello si muove sulla rotaia, l equazione del moto, considerando solo forze di attrito viscoso, vale: F = ma oppure bv = m dv dt, (10.3) dimostrando che la diminuizione istantanea della velocità è proporzionale alla velocità stessa. È facile trovare la distanza percorsa dal carrello prima di fermarsi dv dt = dv dx dx dt = dv dx v. (10.4) Usando le equazioni precedenti troviamo: dv dx = b m. (10.5) Questa equazione differenziale può essere integrata immediatamente: v = b m x + C, (10.6) dove C è una costante di integrazione. Se v 0 è la velocità iniziale al punto x = 0, dovrà essere C = v 0 e abbiamo quindi v = v 0 b m x. (10.7) 96

107 CAPITOLO 10. ROTAIA AD ARIA FORZE DISSIPATIVE Questa equazione mostra che il carrello si ferma( v= 0) dopo aver viaggiato per una distanza: x = mv 0 b. (10.8) Questo risultato può anche essere ottenuto eguagliando l impulso della forza alla variazione totale del momento: F dt = bvdt = bdx = bx = mv 0. (10.9) Un applicazione interessante di queste forze dissipative è data dall esperienza dei rimbalzi progressivi. La rotaia è inclinata di un angolo α e il carrello è rilasciato alla fine della rotaia( parte in alto), rimbalza alla fine della rotaia ma non raggiunge più la sua posizione iniziale e dopo parecchi rimbalzi finalmente si ferma. Se la distanza iniziale sulla rotaia è x 0, dopo il primo rimbalzo raggiunge x 1, poi x 2 e così via. L equazione del moto è complessa e comprende sia l inclusione dell attrito viscoso sia delle perdite di energia negli urti con i respingenti. Considerando dapprima le forze viscose, notiamo come l energia potenziale iniziale sia mgx 0 senα e dopo il primo rimbalzo sia mgx 1 senα. Supponiamo che x sia la decrescita in lunghezza dopo il primo rimbalzo, cioè x = x 1 - x 0. La corrispondente perdita di energia vale: mgsen α x. (10.10) Poichè le forze gravitazionali sono conservative, questa perdita di energia è dovuta unicamente al lavoro fatto contro le forze viscose. Questo lavoro può essere calcolato in maniera approssimata assumendo che l attrito sia piccolo in confronto alle forze gravitazionali, cosicchè il moto è come se fosse in assenza di attriti. Il lavoro fatto dall attrito durante la prima discesa dalla posizione iniziale x 0 è: W = x0 0 F dy = x0 0 bvdy, (10.11) dove la variabile y è introdotta temporaneamente per rappresentare la posizione istantanea del carrello rispetto alla sua posizione iniziale x 0. L accelerazione del carrello vale approssimativamente a = g sen α quindi la velocità in ogni posizione y è data da: v 2 = 2ay = 2gsenα y. (10.12) 97

108 10.1. FORZE DISSIPATIVE CAPITOLO 10. ROTAIA AD ARIA Sostituendo questa espressione nell equazione di W otteniamo: W = x0 0 b(2ay) 1/2 dy = 2b(2a)1/2 (x 0 ) 3/2 3. (10.13) Il lavoro fatto nel giro di ritorno è approssimativamente lo stesso, per cui il cambio totale in energia dovuto all attrito vale 2W. Combinando questo risultato con l equazione di perdita dell energia otteniamo: x = 2b(2x 0) 3/2 3ma 1/2. (10.14) Abbiamo quindi che la variazione in lunghezza dopo il primo rimbalzo è proporzionale alla lunghezza originale alla 3/2 e così via. A questo punto con facili conti possiamo trovarci il valore della viscosità dell aria. Ricordiamo che x n = Cx 3/2 n, (10.15) dove invertendo otteniamo C = possiamo ricavare C dal primo rinbalzo 2b(2) 3/2 3m(gsenα) 1/2, (10.16) b = C3m(gsenα)1/2 2(2) 3/2, (10.17) C = x 0 x 1 x 3/2 0, (10.18) usando la formula 10.1 otteniamo facilmente la viscosità dell aria. ELABORAZIONE DATI SU PC. Possiamo adoperare per questo scopo il programma ROTA2. Riportiamo nell appendice C la tabella C.4 delle viscosità dei gas più importanti. Ritornando al problema dei respingenti, ricordiamo che il coefficiente di restituzione e 2 è definito come il rapporto tra le energie cinetiche dopo e prima l urto. Dato che queste energie cinetiche sono proporzionali alla distanza, troviamo che x 1 = e 2 x 0 x 2 = e 2 x 1, (10.19) 98

109 CAPITOLO 10. ROTAIA AD ARIA FORZE DISSIPATIVE e così via; e quindi la differenza in lunghezza dopo il primo rimbalzo vale: x = x 1 x 0 = (1 e 2 )x 0, (10.20) anche quì la relazione diventa ricorsiva. Per discriminare fra le due teorie introduciamo le seguenti notazioni x 0 = x 1 x 0, x 1 = x 2 x 1, x n = x n+1 x n, (10.21) e cerchiamo delle correlazioni del tipo: Con facili conti troviamo che: Log x n = a + blogx n. (10.22) x n = 10 a x b n, (10.23) e quindi dal valore di b trovato sperimentalmente possiamo discriminare fra le due teorie. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per questo fine si consiglia di usare il programma ROTA1. 99

110 10.1. FORZE DISSIPATIVE CAPITOLO 10. ROTAIA AD ARIA 100

111 Capitolo 11 Rotaia Leybold La rotaia a cuscino d aria comprende la rotaia propriamente detta ed il relativo sostegno. La rotaia è un tubo a sezione rettangolare, di alluminio lungo 1.5 m, il quale nella parte superiore è munito di due serie di fori da cui fluisce aria a leggera sovrapressione. L aria soffiata da una apposita soffieria viene immessa per mezzo di un tubo di gomma applicato ad un bocchettone con portagomma, nel tubo rettangolare di alluminio. La rotaia è montata sul proprio sostegno, un profilato di acciaio a sezione rettangolare, in modo da non subire deformazioni a causa delle dilatazioni termiche. Per questo la rotaia è attirata verso il piano di sostegno ai due estremi da due molle molto robuste. Sugli altri punti di appoggio la rotaia è libera, cosicchè non può subire tensioni anche meccaniche. La sua planarità è buona a meno di 3/100 di mm, vedi Figura Il moto accelerato Si vuole determinare la relazione fra lo spazio percorso s ed il tempo impiegato t e la relazione fra la velocità istantanea v ed il tempo corrispondente t. Questo esperimento è possibile solo con il metodo della caduta di un peso. Fissare un asticella al centro del carrello e l altra a 5 cm da questo. Servirsi dell asta da 100 cm per fissare la carrucola e il piattello per trattenere il peso motore. 101

112 11.1. IL MOTO ACCELERATO CAPITOLO 11. ROTAIA LEYBOLD Figura 11.1: Rotaia ad aria + video camera Appendere al carrello le masse motrici per mezzo di un filo che si appoggia alla gola della carrucola. Aggiustare la posizione del magnete di ritenuta in modo che la prima asticella coincida con lo zero della graduazione. Spostare la barriera luminosa fino alla posizione voluta. Il piattello di ritenuta dei pesi deve essere collocato in posizione tale che le masse motrici vi si appoggino nell istante in cui la prima asticella interrompe la barriera luminosa. Per ogni posizione della barriera luminosa si deve indicare sia il tempo t corrispondente, sia la corrispondente velocità istantanea v: perciò in ogni posizione si devono eseguire due misure: 1. misura del tempo t, 2. misura del tempo dell intervallo di tempo t. Possiamo quindi risalire dalla misura (2) alla velocità istantanea alla data posizione. A questo punto possiamo facilmente disegnare dei grafici della velocità in funzione dello spazio e dello spazio in funzione del tempo. Possiamo poi dedurre l accelerazione in ogni punto stabilito con due formule: 1. a = 2s / t 2, 2. a = v / t. Ricordiamo che l accelerazione teorica è: m a = M + m + µ g, (11.1) 102

113 CAPITOLO 11. ROTAIA LEYBOLD INFLUENZA DELLA VISCOSITÀ dove M = massa dello slittino, m = massa motrice, µ = massa equivalente della puleggia del trasduttore di moto. Con M + m = 100 g, µ = 1 possiamo facilmente calcolare l accelerazione teorica. Per forti scostamenti dei valori misurati da quelli calcolati dovrebbero essere verificati i seguenti punti: la rotaia è perfettamente orizzontale? è esatta la massa dello slittino? (fare attenzione alle masse supplementari alla molla, all ago, ecc. Lo slittino da solo pesa 90 g; incluso l ago la molla e due masse supplementari da 1 g., pesa 100 g ). è sufficiente il cuscino d aria? Eventualmente aumentare la potenza della soffieria. In modo particolare se si impiegano masse supplementari da 100 g sullo slittino il cuscino d aria dovrebbe essere più robusto, come è evidente per mantere lo slittino sospeso. ELABORAZIONE DATI SU PC. In questa esperienza compaiono alcuni fit tramite una retta, consigliamo quindi di adoperare il programma RETTA Influenza della viscosità Riscriviamo l equazione del moto del carrellino nella seguente forma M tot v = mg, (11.2) dove M tot = M + m + µ. Aggiungiamo il termine dovuto alla viscosità dell aria e l equazione differenziale diventa M tot v = mg bv, (11.3) questa è un equazione differenziale del prim ordine a variabili separabili. Integrando l equazione omogenea associata: M tot v = bv, (11.4) 103

114 11.2. INFLUENZA DELLA VISCOSITÀ CAPITOLO 11. ROTAIA LEYBOLD si ottiene la soluzione particolare: Soluzione particolare dell equazione completa è: tb v = C 1 e M tot, (11.5) v = bv. (11.6) Segue che la soluzione generale dell equazione differenziale è v = C 1 e tb M tot + mg b. (11.7) Le condizioni iniziali impongono v=0 a t=0 e portano alla seguente soluzione per la velocità: v = mg b tb (1 e M tot ). (11.8) Abbiamo quindi un andamento asintotico alla velocità limite mg b. L accelerazione sarà invece: v = mg e tb M tot. (11.9) M tot Essa è massima a t=0 e poi diminuisce all aumentare del tempo. Integrando l equazione della velocità e imponendo la condizione al contorno s=0 a t=0 abbiamo: s = mg b t + mg b M tot b tb (e M tot 1). (11.10) Sviluppando l esponenziale in serie e fermandoci alla seconda potenza otteniamo la legge usuale del moto uniformemente accelerato: s = 1 m gt 2. (11.11) 2 M tot 104

115 Capitolo 12 Grande Tavola Fissare la tavola sopra una superficie di lavoro stabile in modo che (facendo riferimento alla figura 12.1) la lista elastica di tensione (6) venga a trovarsi dalla parte dello sperimentatore. Ripulire la superficie della lastra di vetro e quella di base dell aliante (p.e. con carta da filtro imbevuta di alcol ), poi asciugare. Collocare il rotolo della carta da registrazione (lo strato metallico rivolto verso l alto ) nella camera (4), stendere la carta ben liscia sulla lastra di vetro e fissarla con il listello di tensione (6). Innestare l albero (10) nelle boccole (5.4) e il tasto (8) nella coppia di boccole (7). Collocare l aliante (12), senza il cavetto (11), su una superficie ben pulita (p.es. foglio di carta ); a seconda delle condizioni sperimentali applicare le masse sperimentali (13) e/o l anello a molla (14), o quello adesivo (15), o l anello doppio sul cilindro aliante e ruotare quest ultimo in modo che il listello d arresto si innesti sulla scanalatura dell anello, sul fondo. Facendo riferimento alla figura 12.2) in caso di simultaneo impiego della massa addizionale (13) e dell anello elastico (14) (o dell anello anelastico (15) o dell anello doppio (16) ), montare dapprima la massa addizionale. Introdurre l elettrodo necessario (18) nel suo supporto e applicarlo alla boccola (12.3). Per la registrazione premere l interrutore di rete (5.2); portare il selettore di frequenza (5.1) su 50 Hz (per marcare ad intervalli di 0.02 s ), oppure per moti molto lenti su 10 Hz. Inserire la soffieria con l interrutore (12.2). Per registrare con l elettrodo centrale (12.5) chiudere l interrutore (12.4), per registrare solo con l elettrodo supplementare (18) aprire 105

116 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA Figura 12.1: Grande tavola Figura 12.2: Accessori tavola 106

117 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA MOTO RETTILINEO UNIFORME l interruttore (12.4), mettere in moto l aliante e premere il tasto di registrazione (8) Moto rettilineo uniforme Disporre l aliante in un angolo, inserire il motore spingere sulla diagonale della tavola l aliante e contemporaneamente premere il bottone per la registrazione e tenerlo premuto fino a quando l aliante ha percorso tutta la tavola. In una tabella di valori sono annotate le distanze s n dei punti di mezzo dei trattini di registrazione da un punto zero arbitrariamente scelto. (Come punto zero non bisogna sensatamente assumere qualcuno dei primi due o tre punti perchè per essi è sensibile l influenza dell accelerazione iniziale durante l urto.) Vengono così registrati i percorsi del baricentro dell aliante. Il punto di mezzo di ciascun trattino di registrazione si forma 0.02 s dopo il punto di mezzo del trattino precedente, in altre parole: i punti di mezzo dei trattini di registrazione distano uno dall altro, sull asse dei tempi, di 0.02 s. Oltre alla misura dei percorsi mediante la misura diretta delle lunghezze, è possibile la misura dei tempi mediante il conteggio dei trattini di registrazione. Per la velocità media dell aliante v si ha: v = s n t n, (12.1) con s n = differenza fra il punto di mezzo dell ultimo trattino di registrazione e il punto di mezzo del trattino nullo e t n = numero dei trattini segnati, moltiplicato per 0.02 s v = s n t n = 11.47cm s = 18.5cm/s. (12.2) Attraverso intervalli uno interno all altro si registrano tempi sempre più piccoli, quindi percorsi sempre più brevi in modo che si può avvicinare la formazione del valore limite per t 0 fino a t = 0.02 s. Si esegue per l avvicinamento al valore istantaneo della velocità al tempo t x : v x = s x = s n+1 s n t x (12.3) 107

118 12.1. MOTO RETTILINEO UNIFORME CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA Figura 12.3: Curva di registrazione di un moto rettilineo uniforme Nell esempio, vedi figura 12.1, la serie di intervalli uno interno all altro è stata iniziata a partire dal punto di mezzo dell intervallo di tempo. Per questo si ha una velocità media v=19 cm/s. Nella figura 12.4 sono riportati i valori di s n - e mediante una taratura delle ordinate le corrispondenti velocità v n - rispetto alla misura del tempo ed è tracciata una retta di best fit. Si mostra così che la retta ha una leggera inclinazione e che i valori delle singole misure si scostano più o meno fortemente dalla retta di interpolazione. Questa rappresentazione mostra entrambe le categorie degli scostamenti che si presentano in ogni misura fisica: 1. scostamenti sistematici; i valori delle misure sono con il tempo sempre più piccoli. 2. scostamenti distribuiti statisticamente: ciascuna misura si scosta asimmetricamente dal punto di misura definito dalla retta di compenso. Per ciascuna misura fisica si presentano due tipi di errori ed essi devono essere presi in considerazione per la valutazione dei risultati. La discussione dell errore sistematico esige di massima un analisi dei metodi di 108

119 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA MOTO RETTILINEO UNIFORME Figura 12.4: Velocità dell aliante in funzione del tempo 109

120 12.2. DEDUZIONE DELLA VISCOSITÀ CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA misura in sè e delle grandezze che agiscono nel processo. Si esegue in generale una correzione dei risultati delle misure. La trattazione dell errore statistico viene eseguita con il calcolo di compenso introdotto da Carlo Federico Gauss. Si agisce con una assunzione di valore probabile, per cui il grado di sicurezza della assunzione può essere scelto con limiti più stretti o più ampi. Per un sufficiente grande numero n di singole misure, l errore probabile determina un intervallo nel quale cadono il 67.4 % dei valori delle misure. Con ciò si mostra che la velocità media v dell esempio non deve essere assolutamente identica alla velocità istantanea calcolata per t 1/2, perchè questa può scostarsi dalla velocità istantanea reale in questo punto per l influenza dell errore statistico. La pendenza della retta di compenso, causata dall errore sistematico, è da ricondursi - prima di tutto - alla perdita di velocità dovuta all attrito fra l aliante e l aria del cuscino. Per la velocità media misurata v =18.5 cm/s questa perdita per attrito su tutta la lunghezza del percorso è: v R = 1cm/s, (12.4) cioè il suo ordine di grandezza è del 5 %. La perdita di velocità è essenzialmente provocata dal sopradetto attrito dell aria fra l aliante in moto e la superficie della tavola in quiete. Questo attrito è indipendente dalla velocità. L attrito dell aria (collegato alla formazione di vortici ) del corpo in moto con l aria ambiente è rispetto al primo trascurabile (per questo la forza di attrito è proporzionale alla velocità ) perchè le velocità sulla tavola a cuscino d aria sono in generale così piccole che questa componente dell attrito è in ordine di grandezza minore dell attrito interno Deduzione della viscosità Abbiamo già dedotto nel capitolo sulla rotaia ad aria la formula 10.6 che dà la diminuizione del moto dovuta alla viscosità dell aria dalla quale ricaviamo facilmente usando gli stessi simboli: b = v x m. (12.5) 110

121 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA PARABOLA DI TIRO A questo punto ricaviamo senza problemi Dove i vari simboli stanno per: m = massa aliante ( gr) A = area di contatto (cm 2 ) v = variazione di velocità (cm sec 1 ) x = percorso (cm ) d = distanza aliante-tavola (cm) η = d v A x m. (12.6) Il valore così trovato in modo approssimato deve essere confrontato con η = poise. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per calcolare la viscosità dell aria potete adoperare il programma ARIA Parabola di tiro PRINCIPIO Per rappresentare un tiro parabolico la tavola a cuscino d aria è sistemata come piano inclinato e l aliante è lanciato trasversalmente verso l alto. PREPARAZIONE Sistemare la tavola a cuscino d aria come piano inclinato. Munire l aliante di massa supplementare e anello per l urto elastico. Attenzione alla centratura della carta da registrazione : il bordo deve essere esattamente parallelo allo spigolo della lastra di vetro ( attenzione nelle valutazioni a riportare gli assi X ed Y!). ESECUZIONE DELL ESPERIMENTO La spinta dell aliante dallo spigolo inferiore verso l alto con la giusta inclinazione richiede un certo esercizio. Per ottenere rapidamente risultati utilizzabili è consigliabile procedere come segue : inserire il motore e porre l aliante alla estremità elevata del piano inclinato (distanza dal bordo laterale della carta e rispettivamente dal nastro elastico che limita superiormente la tavola : 1 cm circa ). Orientare 111

122 12.3. PARABOLA DI TIRO CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA Figura 12.5: Parabola di tiro l aliante in modo che le due molle opposte dell anello siano perpendicolari ai nastri elastici inferiore e superiore. Lasciar libero l aliante : esso scende di moto rettilineo verso il basso e rimbalza sopra il nastro elastico inferiore che lo rilancia trasversalmente verso l alto. L aliante descrive una parabola. Prima di passare alla registrazione è consigliabile eseguire esperimenti preparatori per trovare la giusta posizione di partenza e per impedire che l aliante nel suo moto verso il basso urti la parete laterale. Frequenza di registrazione : 50 Hz. Iniziare la registrazione appena dopo la riflessione dell aliante sul nastro elastico e terminarla appena prima che ritorni ad urtarlo nuovamente. La registrazione del moto di discesa dell aliante sul piano inclinato non è necessaria. ESEMPIO DI ESPERIMENTO Nella figura 12.5 riportiamo la parabola di tiro. h=11 mm, L= 590 mm - 5t =0.1 s. VALUTAZIONE Scomposizione del moto nelle componenti orizzontale e verticale. 112

123 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA PARABOLA DI TIRO Tabella 12.1: Ramo ascendente punto di misura t/s s/mm v/mms 1 v/mms Riportare gli assi nel diagramma spazio-tempo rilevato. La tangente (perpendicolare al bordo laterale della carta) nel vertice della parabola è l asse delle X. La perpendicolare nel vertice alla tangente è l asse delle Y. Se si riporta il diagramma su carta da disegno trasparente, si riconosce che l asse Y è asse di simmetria della parabola (un piccolo scostamento a causa dell attrito: il ramo discendente è in modo tracurabile più curvato del ramo ascendente). Dalle due tabelle 12.1 e 12.2 si ottiene per a) il ramo ascendente ( dal punto di misura 1 al punto di misura 15) v 1 = vn n = = 19.6 mm/s, (12.7) da cui si ottiene la decelerazione uniformeagente in questo esperimento a 1 = v 1 t = = 196 mm/s 2. (12.8) Dopo aver riportato i punti sul sistema di assi si possono proiettare i punti di misura sull asse X e sull asse Y : scomposizione del moto. La 113

124 12.3. PARABOLA DI TIRO CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA Tabella 12.2: Ramo discendente punto di misura t/s s/mm v/mms 1 v/mms

125 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA PARABOLA DI TIRO proiezione sull asse X rappresenta la componente orizzontale e la proiezione Tabella 12.3 Differenze delle coordinate X punti di misura /mm sull asse Y la componente verticale VALUTAZIONI ( confrontare la figura 12.5 ) 1 Componente orizzontale Gli spazi percorsi negli intervalli di tempo susseguenti, sono uguali: la componente orizzontale rappresenta un moto uniforme (vedi tabella 12.3 ). 2 Componente verticale Misure sull asse Y: rilevamento dei tempi e delle componenti verticali degli spazi, calcolo delle velocità e delle differenze v di velocità ( diminuizione e rispettivamente aumento di velocità ). a) per il ramo discendente ( dal punto di misura 16 al punto di misura 31) vn v 2 = = = 18.1 mm/s, (12.9) n 14 da cui si calcola l accelerazione uniforme che agisce in questo esperimento a 2 = v 2 t = = 181 mm/s2. (12.10) La componente verticale è un moto uniformemente accelerato con accelerazione negativa nel ramo ascendente e accelerazione positiva nel ramo discendente. RIEPILOGO La parabola di tiro è il risultato della sovrapposizione di un moto rettilineo uniforme e di uno ad esso perpendicolare uniformemente accelerato. 115

126 12.4. URTO ELASTICO CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA SCOSTAMENTI Il valore teorico dell accelerazione prodotta sul piano inclinato, in questo esperimento comporta: a t = g sinα = = 183 mm/s2. (12.11) Essa agisce come accelerazione negativa nel ramo ascendente della parabola di tiro (fino all annullamento della componente verticale) e come accelerazione positiva nel ramo discendente. La accelerazione negativa insorta a causa dell attrito nel ramo ascendente agisce nello stesso senso dell accelerazione a t e viene ad essa sommata: a t + accelerazione dovuta all attrito. Il valore calcolato dalle misure è più alto di a t. Nel ramo discendente l accelerazione negativa dovuta all attrito è di senso contrario all accelerazione a t : l accelerazione risultante è allora a t l accelerazione dovuta all attrito. Il valore calcolato dalle misure è quindi minore di a t. a 1 > a t > a 2. (12.12) Possibilità di ulteriori valutazioni: rappresentazione dei vettori velocità nei diversi punti di misura ( come è rappresentato nella figura 12.5 ) e disegno della curva inviluppo. Rappresentazione della variazione dell impulso nei diversi punti di misura Urto elastico PREPARAZIONE Disporre orizzontalmente la tavola a cuscino d aria. Dotare un aliante di massa supplementare e di anello per l urto elastico e l altro aliante di anello per l urto elastico. Frequenza di registrazione: 50 Hz ESECUZIONE DELL ESPERIMENTO Collegare gli alianti ed inserire i motori. Dare una spinta ad entrambi gli alianti in modo che corrano trasversalmente uno contro l altro. Iniziare contemporaneamente la registrazione, interromperla per un attimo ed inserirla nuovamente, per poter rilevare i trattini registrati (vedi tabella 12.3) sincronicamente. ESEMPIO SPERIMENTALE 116

127 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA URTO ELASTICO Tabella 12.3: Tabella Urto Elastico aliante x/mm v ms 1 P /Kgms 1 W k /Kgm 2 s 2 W k /Kgm 2 s 2 prima dell 0.14 urto dopo l urto Nella figura 12.6 mostriamo l urto elastico di due corpi. m 1 =1.476 Kg - m 2 = Kg - 5t =0.1 s - 20 cm = 1Kg m/s VALUTAZIONI 1. Conservazione dell impulso m 1 = 1.476Kg m 2 = 1.022Kg (12.13) Misura dello spazio percorso prima ( x i ) e dopo ( x i) l urto, ciascuno per la durata di 15 t = 0.3 s. Calcolo delle velocità v i, dell ammontare dell impulso P i e dell energia cinetica E k prima e dopo l urto. Addizione vettoriale degli impulsi dei due alianti prima e dopo l urto P = P 1 + P 2 e P = P 1 + P 2. (12.14) Per la costruzione si possono portare le direzioni dei vettori da addizionare mediante carta millimetrata trasparente con spostamento parallelo sugli assi disegnati. CONCLUSIONI Entro i limiti di precisione delle misure si ottiene: per l urto elastico l impulso totale conserva la direzione e la grandezza. P e P mostrano uno scostamento angolare che rimane entro il grado. Lo scostamento dell impulso è del 2 %. P = 0.595Kg m/sec P = 0.580Kg m/sec. (12.15) 117

128 12.4. URTO ELASTICO CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA Figura 12.6: Somma dei vettori velocità e moto del baricentro 118

129 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA URTO ELASTICO 2.0 Trasmissione dell impulso (vedi fig. 12.7) m 1 = 1, 476Kg m 2 = 1.022Kg (m 1 /m 2 ) = 1.44 (12.16) La costruzione vettoriale di v 1 = v 1 -v 1 v 2 = v 2 -v 2 corrisponde allo schizzo della figura Poichè i vettori velocità sono proporzionali ai vettori spazio (eguali intervalli di tempo per tutte le misure) e ad essi paralleli, si misurano i vettori spazio x 1 - x 1, x 2 - x 2 e si riportano conformemente alla direzione. CONCLUSIONE v 1 e v 2 sono diretti in modo opposto. Si ha uno scostamento di circa il 2 % entro i limiti di precisione del metodo. Poichè l impulso totale si conserva l aumento di impulso di un aliante deve essere uguale alla diminuizione di impulso dell altro aliante, cioè : P 1 = P 2 e rispet. v 2 m 1 = v 1 m 2, oppure Nell esempio sperimentale : v 2 v 1 = m 1 m 2 (12.17) v 1 v 2 = 1.41 e m 1 m 2 = (12.18) Il risultato sperimentale corrisponde, entro i limiti di precisione delle misure, al valore calcolato ( scostamento 2 % circa ). 3. Considerazioni sull energia Per l urto elastico la teoria prevede la conservazione dell energia cinetica. Il grande scostamento quì osservato (vedi tabella 12.4) ) è provocato dalle perdite negli anelli elastici durante il processo di urto. I valori corrispondono a quelli previsti in ordine di grandezza. 4. Calcolo del baricentro del sistema I punti di misura sono stati considerati ogni cinque trattini di registrazione dei 2 alianti, sincronicamente, prima e dopo l urto ( vedere le due figure ) (trascurando per entrambi gli alianti i brevi trattini nell urto). Si ottengono le coppie di punti di misura A i B i, che vengono uniti con rette. Per le distanze G i A i e G i B i del baricentro G dai punti A i e B i, si ottiene: G i B i = m 1, (12.19) G i A i m 2 119

130 12.5. URTO ANELASTICO CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA inoltre è: da cui segue: G i A i + G i B i = A i B i, (12.20) G i A i = A ib i 1 + m 1 m 2, (12.21) Nell esempio sperimentale: ( m 1 m 2 ) =1.44 perciò si ha G i A i = 0.41 A i B i Dalla misura di A i B i si ottiene la posizione del baricentro sul segmento A i B i. Collegare fra loro i punti G i. Constatazione: i punti G i si trovano sopra una retta; gli spazi percorsi in tempi eguali, sono eguali prima e dopo l urto (entro i limiti di precisione). CONCLUSIONE : il moto del baricentro del sistema prima e dopo l urto elastico non cambia. È moto rettilineo uniforme Urto Anelastico PREPARAZIONE Disporre orizzontalmente la tavola a cuscino d aria. Munire entrambi gli alianti di massa supplementare e di anelli per l urto elastico. Frequenza di registrazione: 50 Hz. ESECUZIONE DELL ESPERIMENTO Collegare gli alianti e inserire i motori. Lasciare un aliante in quiete e spingere l altro contro quello fermo in modo eccentrico. Iniziare contemporaneamente la registrazione. ESEMPIO SPERIMENTALE vedi figura 12.8 dove i parametri sono: m 1 = Kg - m 2 = Kg - 5t = 0.1 s. VALUTAZIONI a) Conservazione dell impulso Misura degli spazi percorsi x i prima ed x i dopo l urto per un intervallo di tempo di 20 t = 0.4 s. Calcolo quindi di v i prima e v i dopo l urto, degli impulsi corrispondenti P i e P i nonchè delle energie cinetiche W k e W k. Dai valori della tabella e dalla somma vettoriale eseguita graficamente dei vettori impulso si possono assumere le seguenti affermazioni per confronto con le osservazioni teoriche: 120

131 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA URTO ANELASTICO Figura 12.7: Urto elastico. Somma dei vettori impulso 121

132 12.5. URTO ANELASTICO CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA Tabella 12.4: Tabella Urto Anelastico aliante x/mm v ms 1 P /Kgms 1 W k /Kgm 2 s 2 W k /Kgm 2 s 2 prima dell urto dopo l urto La somma vettoriale degli impulsi prima e dopo l urto è costante. 2. La direzione del vettore impulso del sistema composto è costante prima e dopo l urto. 3. Il baricentro del sistema si muove, dopo l urto, di moto rettilineo uniforme. 4. Il rapporto delle energie cinetiche prima e dopo l urto anelastico è m sperimentalmente 0.51 e teoricamente 1 m 1 +m 2 = Il risultato sperimentale, entro i limiti di precisione delle misure, concorda con le previsioni teoriche. 122

133 CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA URTO ANELASTICO Figura 12.8: Urto anelastico 123

134 12.5. URTO ANELASTICO CAPITOLO 12. GRANDE TAVOLA 124

135 Capitolo 13 Il Calorimetro Se un corpo aumenta la sua temperatura di T assorbendo la quantità di calore Q, le due grandezze sono legate tramite la legge fondamentale della calorimetria: Q = C T, (13.1) dove C è la capacità termica del corpo e dipende dalla natura del medesimo. Per i corpi omogenei C è proporzionale alla massa: C = mc, (13.2) e la costante c si chiama calore specifico della sostanza. Se il corpo non è omogeneo la sua capacità termica sarà: C = i m i c i. (13.3) Poichè C= Q il suo valore rappresenta la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura del corpo di un grado, nella data T trasformazione e alla data temperatura. Il valore numerico di c rappresenta la quantità di calore necessaria per innalzare di un grado la temperatura dell unità di massa della sostanza. La capacità termica C di un corpo si misura in calorie = cal ed il grado 0 C calorie calore specifico c di una sostanza = cal. La definizione grammo grado gr 0 C di caloria implica che il calore specifico dell acqua distillata intorno ai 15 0 C sia unitario: c H2 o = 1 cal gr 0 C. (13.4) 125

136 13.1. CALORIMETRO DI MAHLER CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO Figura 13.1: Calorimetro del Laboratorio 13.1 Calorimetro di Mahler Il calorimetro del nostro laboratorio è composto da un vaso calorimetrico di acciaio inox (vedi figura 13.1) dotato di un agitatore meccanico mosso da un motorino elettrico da 3 Watt. Esso viene inserito in un vaso più grande R, che è composto da una doppia parete contenente dell acqua. Il vaso V poggia su dei supporti in materiale isolante per diminuire, congiuntamente con le intercapedini di aria tra i due vasi, la dispersione del calore rendendo il calorimetro adiabatico per quanto possibile. Inoltre l acqua contenuta nel recipiente più esterno R, grazie al suo alto calore specifico, attenua sensibilmente l influenza delle variazioni della temperatura esterna durante le misurazioni. Nell interno del vaso V pesca pure un termometro di mercurio con sensibilità di un 1/100 0 C. Il calorimetro possiede una capacità termica che è la somma delle capacità termiche delle parti che lo compongono: acqua, vaso( compreso di agitatore) e termometro. Si ha: C = i m i c i = m H2 oc H2 o + a m a c a, (13.5) 126

137 CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO MISURAZIONE DI C X dove l ultima sommatoria non riguarda più l acqua. Per il calcolo di: C = a m a c a, (13.6) si tenga presente che il calore specifico dell acciaio inox, nell intervallo di temperatura che ci interessa vale: c = cal gr 0 C. (13.7) La capacità termica del termometro è trascurabile rispetto alle altre; volendo tenerne conto si porrà approssimativamente C termometro = 0.46 cal v 0, (13.8) C cm 3 dove v è il volume del mercurio nella parte immersa. Si usa chiamare equivalente in acqua del calorimetro una massa m e di acqua che abbia la stessa capacità termica del calorimetro vuoto, quindi per definizione: m e c H2 o = C = a m a c a, (13.9) e quindi otteniamo che la capacità finale del calorimetro diventa: C = (m H2 o + m e )c H2 o. (13.10) 13.2 Misurazione di c x Occorre una certa quantità della materia della quale si vuole determinare il c x foggiata in modo da avere un corpo di grande superficie per facilitare gli scambi di calore con l acqua. Si devono poi eseguire le seguenti operazioni: 1. pesare il vaso vuoto 2. pesare il corpo, m 3. inserire il corpo nella vasca del bollitore; accertarsi che ci sia acqua nel bollitore 127

138 13.2. MISURAZIONE DI C X CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO 4. prendere una certa quantità d acqua dal rubinetto e inserirla nel vaso. La temperatura deve essere vicina al limite inferiore del termometro 5. pesare vaso + acqua e quindi m H2 o 6. mettere in funzione l agitatore mediante il motorino da 3 Watt 7. rilevare la temperatura nel vaso calorimetrico in funzione del tempo ( ogni minuti), 8. raggiunti i C ( θ x ) mettere il corpo nel vaso ( a temperatura θ i ) e rilevare la temperatura ogni secondi 9. Raggiunto il massimo θ f cambiare tempo scala e tornare al minuto. La quantità di calore ceduta dal corpo al calorimetro vale: mentre quella acquistata dal calorimetro vale: mc x (θ x θ f ), (13.11) C (θ f θ i ) = a m a c a (θ f θ i ) = (m H2 o+m e )c H2 o(θ f θ i ), (13.12) quindi si ha l eguaglianza mc x (θ x θ f ) = (m H2 o + m e )c H2 o(θ f θ i ), (13.13) dalla quale si ottiene finalmente: c x = (m H 2 o + m e )c H2 o(θ f θ i ) m(θ x θ f ). (13.14) Se l equivalente in acqua ( o la capacità termica ) del calorimetro vuoto non sono date, il loro calcolo si esegue facilmente dopo aver pesato vaso + agitatore come spiegato prima. Nell appendice C riportiamo la tabella C.1 dei calori specifici di alcuni elementi. 128

139 CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO DETERMINAZIONE M E 13.3 Determinazione m e Possiamo determinare operativamente la massa equivalente seguendo alcune note operative: 1. misurare la massa dell acqua contenuta nel vaso, M H2 o 2. rilevare la temperatura del vaso calorimetrico, θ i 3. versare una piccola quantità d acqua calda nel vaso Becker, misurarne volume (massa) e temperatura, m, θ c 4. versare l acqua calda nel vaso e misurare la temperatura finale di equilibrio, θ f. L equazione dello scambio del calore vale adesso: mc H2 o(θ c θ f ) = (M H2 o + m e )c H2 o(θ f θ i ), (13.15) dalla quale si ottiene finalmente: m e = m (θ c θ f ) (θ f θ i ) M. (13.16) Abbiamo così ottenuto una definizione operativa della massa equivalente e lo studente la confronterà con quella dedotta nel paragrafo precedente. Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967] Influenza del motorino Se intendiamo che L e Q siano misure delle grandezze ( rispettivamente in joule e in calorie ) il loro rapporto vale ( numero puro ). Se invece intendiamo che L e Q sono grandezze della stessa specie, tale rapporto vale 1 ( numero puro ) cioè: L Q = 1, (13.17) infatti L e Q sono grandezze della stessa specie, L Q = 1 = 4.186joule cal, (13.18) 129

140 13.4. INFLUENZA DEL MOTORINO CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO e quindi: joule cal = = 0.239, (13.19) 1cal = 4.186joule, 1joule = 0.239cal. (13.20) Con questa equivalenza un Watt diventa: 1W att = cal. (13.21) sec Quindi il nostro motorino che ha una potenza da 3 Watt fornirà la seguente quantità di calore al sistema: 3 60 t 1 joule = t 1 cal, (13.22) dove: t 1 = tempo[minuti]. (13.23) 1minuto Il calore fornito dal motorino finirà quindi in riscaldamento del sistema: Q = (m H2 o + m e ) c H2 o θ. (13.24) Per semplificare i conti supponiamo m e m H2 o: Q = m H2 o c H2 o θ, (13.25) introduciamo ora m H2 o = 1000 m 1 dove m 1 = m[kg] 1Kgm : θ = 0.043t 1 m 1. (13.26) Ne deduciamo quindi che con una massa di 1 kg la temperatura aumenterà di 4/100 al minuto e quindi misurabile, in linea di principio, con i termometri precisi ad 1/100 0 C in dotazione nel nostro laboratorio. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per l elaborazione dei dati può essere utile usare il programma CALO- RI, che permette di seguire l aumento della temperatura mentre per il calcolo del calore specifico + errore relativo si può usare il programma CX. Molto utile è anche il programma ME che permette di calcolare la massa equivalente del vaso calorimetrico + relativo errore. Grazie a questo programma è stata trovata una anomalia nella procedura del calcolo di m e. 130

141 CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO C DELL ACCIAIO 13.5 c dell acciaio Le unità di misura CGS o MKS non sempre sono quelle adoperate nella pratica. Il calore specifico ad esempio viene misurato in J/Kg K. In particolare quello dell acciaio indurito e temperato vale, nell intervallo di temperatura fra 50 0 C e C: c = 486 Joule Kg K, (13.27) riesprimendo tutto in cgs otteniamo facilmente: c = cal gr 0 C. (13.28) Questo valore differisce leggermente da quello dato nel paragrafo 13.1 perchè è stato ricavato per interpolazione da un libro differente Correzione grafica Il calorimetro non è perfettamente adiabatico e quindi non tutto il calore ceduto dal corpo va ad aumentare l energia interna dello strumento: una parte si perde all esterno. Esponiamo un procedimento grafico (vedi figura 13.2) per ottenere una misurazione più precisa, utile quando lo scambio di calore è breve. Si conduce la parallela all asse delle θ per il punto P e si legge sul diagramma la temperatura θ 3 del punto R, intersezione di tale parallela con la NR prolungata. Si esegue la correzione mettendo θ 3 al posto di θ f nella formula del calore specifico e la correzione può essere ottenuta al calcolatore con il programma CALORI Minima superficie Essendo le perdite verso l esterno proporzionali all area si tratta di trovare il valore minimo dato un certo volume del cilindro. V = π x 2 h, (13.29) dove x è il raggio e h l altezza. Indichiamo con y la superficie totale y = 2 π x π x h, (13.30) 131

142 13.7. MINIMA SUPERFICIE CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO Figura 13.2: Correzione della temperatura adesso introduciamo e l area diventa h = y = 2 π x V x V πx 2, (13.31). (13.32) Calcoliamo adesso derivate prima e seconda: y = 4 π x 2 V x 2, (13.33) y = 4 π + 4 V x 3. (13.34) Adesso eguagliamo a zero la derivata prima ( area minima! ) e otteniamo: sostituiamo in y e otteniamo x = ( V ) 1/3, (13.35) 2π y = 12π (13.36) 132

143 CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO LEGGE RAFFREDDAMENTO Essendo la derivata seconda positiva abbiamo un minimo nell area. Ricordiamoci che avevamo: che sostituito in origina V = 2πx 3, (13.37) h = V πx 2, (13.38) h = 2x. (13.39) Quindi il cilindro di superficie totale minima ha l altezza uguale al diametro. A questo requisito rispondono il vecchio calorimetro ( quello di Regnault ), che misura 35 cm 35 cm, il calorimetro dell equivalente meccanico, che misura 4.7 cm 4.7 cm ma non i due nuovi costruiti dall Ing. Giaccardo Legge raffreddamento Ricordiamo che la quantità di calore assorbita da un corpo di temperatura uniforme Θ immerso in un ambiente a temperatura Θ est, in un tempo dt è dato in prima approssimazione dalla legge di Newton dq = hs(θ Θ est )dt, (13.40) dove S è la superficie del corpo e h un coefficiente detto conducibilità termica esterna dipendente dalla natura della superficie e da quella del fluido circostante e dalla ventilazione. La costante h è positiva, quindi se Θ > Θ est, dq è negativa ed il suo valore assoluto rappresenta la quantità di calore che il corpo ha ceduto all ambiente nel tempo dt. La legge è soltanto approssimata e valevole per salti di temperatura Θ - Θ est non grandi. Sappiamo dalla calorimetria che l assorbimento di calore dq è accompagnato dalla variazione di temperatura dθ del corpo data da dq = CdΘ, (13.41) essendo C la capacità termica. Quindi se non vi sono sorgenti di calore, possiamo scrivere CdΘ = hs(θ Θ est )dt, (13.42) 133

144 13.9. ANDAMENTO RISCALDAMENTOCAPITOLO 13. IL CALORIMETRO oppure dθ = hs dt C (Θ Θ est). (13.43) Questa è una conseguenza della legge di Newton e ci dice che la diminuzione di temperatura in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale a tale intervallo ( se questo è piccolo ) ed alla differenza di temperatura fra il corpo e l ambiente esterno Andamento riscaldamento Scriviamo la ovvia relazione valevole per gli scambi di calore nel tempo dt energia assorbita - energia ceduta = energia rimasta dove per comodità abbiamo posto Proseguendo nei conti troviamo che wdt a(θ Θ est )dt = CdΘ, (13.44) Θ est a = hs. (13.45) adθ w a(θ Θ est ) = a dt. (13.46) C Tenendo conto delle condizioni iniziali integriamo fra estremi corrispondenti Θ adθ t w a(θ Θ est ) = a dt. (13.47) 0 C Integrando si trova ln w a(θ Θ est) w e di qui ricaviamo Θ - Θ est, si ottiene Θ Θ est = w [ ] 1 e a C t a che risponde al problema proposto. 134 = a C t, (13.48), (13.49)

145 CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO ANDAMENTO RAFFREDDAMENTO Figura 13.3: Crescita saturata della temperatura Nella figura 13.3 è rappresentato l andamento della funzione Θ = Θ(t). Per t=0 è Θ = Θ est mentre per t = è Θ = Θ est + w. La temperatura sale asintoticamente al valore Θ est + w, che teoricamente viene a a raggiunge in un tempo infinito, ma che praticamente viene raggiunto in un tempo più o meno grande. Alla temperatura finale Θ = Θ est + w il a primo membro dell equazione dello scambio di calore si annulla; i due addendi wdt e - a (Θ - Θ est )dt sono uguali in valore assoluto, il che significa che in ogni intervallo di tempo il corpo emette tanta energia quanta ne riceve, quindi la sua energia interna rimane costante. La tangente T alla curva condotta per il punto A rappresenta l andamento della temperatura che si avrebbe se il corpo assorbisse senza emettere Andamento raffreddamento Se all istante t 0, quando la temperatura è Θ 0, cessa di agire la sorgente di calore diventa semplicemente a(θ Θ est )dt = CdΘ, (13.50) esprime l eguaglianza fra l energia emessa e la variazione di energia interna. Si ottiene quindi: Θ dθ (Θ Θ est ) = a t dt, (13.51) C t 0 Θ 0 135

146 ANDAMENTO RAFFREDDAMENTO CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO Figura 13.4: Andamento del raffreddamento tenendo conto della corrispondenza fra gli estremi di integrazione. Integrando si ottiene Θ Θ est = (Θ 0 Θ est )e a C (t t 0), (13.52) nelle nostre ipotesi valevole per t > t 0. L andamento della temperatura è riportato nella figura All istante t = t 0 è Θ=Θ 0, indi la temperatura va decrescendo tendendo asintoticamente al valore Θ est della temperatura esterna. Tale valore teoricamente sarebbe raggiunto in un tempo infinito, ma praticamente è raggiunto in un tempo più o meno grande. L uguaglianza con la temperatura esterna viene ottenuta tanto più rapidamente quanto più è piccola la capacità termica Cioè quanto più è grande il prodotto della conducibilità esterna per la superficie: hs = A. Introducendo una legge del raffreddamento più esatta di quella di Newton, si otterrebbero risultati leggermente diversi soltanto quantitativamente, non qualitativamente. 136

147 CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO PROBLEMA MURO Figura 13.5: Lastra molto estesa a facce piane parallele Problema muro Consideriamo una lastra molto estesa a facce piane e parallele, mantenute rispettivamente alle temperature T 1 e T 2, vedi figura Si hanno le seguenti relazioni T = T 1 + T 2 T 1 x ; (13.53) a dove T è la temperatura dei punti del muro di ascissa x, ed a è lo spessore del muro e dq = KA T 2 T 1 dt (13.54) a dove dq è la quantità di calore che passa attraverso A ( superficie del muro ) nel tempo dt, K dipende dal materiale di cui è fatto il muro ( coefficiente di conducibilità termica interna di cui è fatta la lastra ). In base alla formula precedente dq è positiva se fluisce nella direzione positiva dell asse x, negativa in caso contrario. Nei metalli puri K cresce con il diminuire della temperatura. In prossimità dello zero 137

148 PROBLEMA MURO CAPITOLO 13. IL CALORIMETRO assoluto questo fenomeno si accentua. Per i valori di K dei vari metalli consultare la tabella C.2 dell appendice C. 138

149 Capitolo 14 Equivalente meccanico Questa apparecchiatura permette la trasformazione di energia meccanica o elettrica in calore. Esse vengono determinate quantitativamente mediante le unità Newton-metro (Nm), Watt-secondo (Ws) e Joule (J), in modo da poter dimostrare sperimentalmente la loro equivalenza numerica e dimensionale. Fissare l apparecchio base secondo la figura 14.1 ad un angolo del tavolo. Inserire il calorimetro riempito; a questo scopo infilare le due spine a ribattino poste alla base del calorimetro nei fori del piatto fissando il tutto con una breve rotazione della manovella. Avvolgere la cordicella da 4 a 6 volte attorno alla superficie di contatto dopodichè agganciare il peso da 5 Kg ad un capo della cordicella ( quello anteriore ). L altro provvisto di contrappeso viene lasciato penzolare a forma di anello e fissato dietro al contagiri. Posizionare il contrappeso sotto al calorimetro. Girando la manovella il peso da 5Kg si solleva e si mantiene ad altezza costante per l attrito della cordicella. Nel caso che venga sollevato troppo, ridurre il numero di avvolgimenti attorno alla superficie di contatto. Il lavoro W mecc compiuto durante la rotazione del calorimetro porta ad un aumento della temperatura del calorimetro e quindi ad un aumento dell energia termica Q: dove W mecc = F s, (14.1) F = mg ; s = n d π. (14.2) Riportiamo il significato e valore dei simboli usati nella formula precedente: W mecc = lavoro meccanico 139

150 CAPITOLO 14. EQUIVALENTE MECCANICO Figura 14.1: Schema apparecchiatura 140

151 CAPITOLO 14. EQUIVALENTE MECCANICO COSTANTE F= forza d attrito m= massa appesa ( 5 kg ) g= accelerazione di gravità ( 9.81 m/sec 2 ) s= percorso di attrito n= numero di giri d= diametro del calorimetro ( 4.7 cm ) d π= circonferenza sulla superficie di attrito Possiamo facilmente calcolare la potenza meccanica nel caso che il numero di giri sia 250, W mec = 1809,7 Nm. Adesso calcoliamo la quantità di calore scambiata: con Q = C Θ, (14.3) C = C k + C F I + C T e; Θ = Θ 2 Θ 1. (14.4) Riportiamo adesso il significato dei simboli: Q = aumento dell energia termica C = capacità termica del calorimetro riempito C K = capacità termica del calorimetro vuoto, 41 J/ 0 C C T = capacità termica del termometro,5 J/ 0 C m CU = massa del calorimetro, 104 g C F I = capacità del liquido,per l aqua: C F I = m F I J/g 0 C m F I = massa del liquido in g Θ= differenza di temperatura Θ 1 = temperatura prima dell apporto di energia Θ 2 = temperatura dopo l apporto di energia Con i parametri precedentemente definiti ed m F I = 54 g avremo Θ 1 = C e Θ 2 = C e quindi Q = 1768 J. Nel caso non ci sia scambio di energia con l esterno si ha W mecc = Q Costante Supponiamo di non conoscere la costante di conversione fra lavoro e calore e di volercela quindi dedurre dai dati precedenti. Per fare ciò ci interessa la formula dello scambio di calore Q = (m e + m H2 Oc H2 O) Θ cal (14.5) 141

152 14.2. ERRORI POTENZA MECCANICA CAPITOLO 14. EQUIVALENTE MECCANICO e quella del lavoro meccanico L = mgndπ joule. (14.6) Possiamo ricavarci la massa equivalente del calorimetro: m e = m CU c CU = = 9.62g. (14.7) La costante di passaggio fra lavoro e calore sarà quindi C LQ = mgndπ joule (m e + m H2 O) Θ cal. (14.8) Inserendo i dati del paragrafo precedente otteniamo C LQ = = 4.29joule cal. (14.9) Abbiamo quindi determinato la costante C LQ con una precisione del 2.5% rispetto al valore classico Errori potenza meccanica Più che di forza di attrito si tratta di coppia di attrito. Il braccio, sul quale agisce la massa di 5 kg, è maggiore rispetto al raggio del calorimetro a causa del diametro della corda. La forza è perciò più grande di 5 Kg 9.81 m s 2. La grandezza esatta è difficilmente determinabile, è possibile però compensare questo errore, tenendo conto che il lavoro svolto ad ogni rotazione è identico al lavoro di sollevamento compiuto onde impedire lo scivolare della corda. La grandezza della massa sollevata è già nota ( 5 Kg ) si tratta di definire il percorso compiuto nel modo seguente: togliere il capo della corda fissato all apparecchio base ed agganciare una massa da 1 Kg accanto al piccolo contrappeso. Azionando successivamente la manovella, la corda non scivola più sulla superficie di attrito, il peso 5 Kg viene invece sollevato. Dall altezza di sollevamento e dal numero di giri necessari è possibile ottenere il percorso compiuto per giro. Come segno esatto per il conteggio dei giri si utilizza l arresto di ritorno. Misure eseguite con questo metodo, dettero in media un percorso per giro di 4 % superiore al valore effettivo. 142

153 CAPITOLO 14. EQUIVALENTE MECCANICO ERRORI POTENZA MECCANICA Figura 14.2: Andamento della temperatura 143

154 14.3. ERRORI DELTA Q CAPITOLO 14. EQUIVALENTE MECCANICO 14.3 Errori DELTA Q L influenza di uno scambio di calore con l esterno e di un apporto d energia irregolare è in larga misura eliminabile, se le temperature iniziali e finali vengono determinate nel seguente modo: Riportare l andamento della temperatura prima ( zona A), durante ( zona B) e dopo ( zona C ) l apporto di energia meccanica nel diagramma, vedi figura Estrapolare dai diagrammi delle zone A e C l andamento della curva nella zona B riportando poi una verticale ( linea tratteggiata della figura 14.2 ) in modo da ottenere superfici eguali al di sopra e al di sotto delle curve. I punti di intersezione della verticale con le linee estrapolate forniscono le temperature iniziali e finali ( Θ 1 e Θ 2 ). Gli esperimenti danno risultati abbastanza buoni anche senza seguire questo metodo, in quanto Θ 1 e Θ 2 erano simmetriche rispetto alla temperatura ambiente e l energia fornita costante nel tempo in questo campo di temperature. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per calcolare la conducibilità termica esterna h possiamo adoperare il programma CONDUC. 144

155 Capitolo 15 Motore Il motore ad aria calda è una macchina termica in grado di sfruttare un ciclo termodinamico reale per trasformare energia termica in energia meccanica; l apparato è riportato nella fotografia Esso è una macchina reversibile perchè, se gli viene fornita energia meccanica, può funzionare come macchina frigorifera assorbendo calore da un corpo e trasferendolo ad un altro corpo a temperatura maggiore del primo. Per mezzo di esso è possibile dunque studiare quantitativamente la trasformazione di calore in lavoro e il trasferimento di calore da un corpo freddo ad uno caldo, e rendersi conto delle limitazioni che le leggi della termodinamica impongono a questi processi. In particolare è possibile studiare e misurare in dettaglio il rendimento di una macchina termica. Il ciclo reale del motore ad aria calda deriva dal ciclo ideale di Stirling illustrato in figura Ricordiamo che il motore di Stirling fù inventato nel 1816, prima del motore a scoppio e di quello Diesel. Il motore di Stirling può adoperare ogni tipo di combustibile oppure essere alimentato dall energia solare o da quella geotermica. Questo processo ciclico consiste in una compressione isoterma ad una temperatura bassa T 1, cui fa seguito un riscaldamento isocoro fino a una temperatura alta T 2. Si ha poi un espansione isoterma ( alla temperatura T 1 ) che fa tornare il volume al valore iniziale ed infine un raffreddamento isocoro che chiude il ciclo riportando la temperatura al valore basso T 1 e la pressione al valore iniziale. Nella figura 15.3 è mostrato lo schema dei più importanti componenti del motore ad aria calda. Il cilindro è costituito da un tubo in vetro resistente al calore calibrato internamente con lavorazione di precisione. La parte inferiore del cilindro è circondata da una camicia di raf- 145

156 CAPITOLO 15. MOTORE Figura 15.1: Fotografia del motore Figura 15.2: Il ciclo di stirling 146

157 CAPITOLO 15. MOTORE Figura 15.3: Il motore 147

158 15.1. MOTORE TERMICO CAPITOLO 15. MOTORE freddamento (4), in cui si fa scorrere acqua tramite tubi connessi agli attacchi (5) e (6). La parte superiore (3) del cilindro non è raffreddata. Nel cilindro scorrono due pistoni (1) e (2) il cui movimento è sfasato di 90 0 per mezzo di eccentrici (10) imperniati sul volano (9). Il pistone (1) comprime ed espande periodicamente l aria nel cilindro. Esso è dotato di un foro cui è collegabile il manometro (11). Il pistone (2), che ha un foro assiale, e la cui parte inferiore è anch essa raffreddata ad acqua, serve invece per trasferire l aria dalla parte superiore del cilindro alla parte inferiore dotata di raffreddamento e viceversa. Il foro assiale del pistone (2) è dotato di un riempimento di lana di rame (7), la cui funzione sarà illustrata nel seguito. In (8) si trova un filamento elettrico che serve a fornire l energia termica necessaria a far funzionare la macchina come motore. Il filamento è alimentato dal trasformatore per esperienze con bobina di rete e bobina di alta tensione Motore termico Durante la compressione isoterma il pistone (2) si trova al punto morto superiore. Il pistone (1) comprime invece l aria che, essendo a contatto con le pareti raffreddate, si comprime isotermicamente cedendo calore all acqua. Il riscaldamento isocoro è attuato dal pistone (2), che, muovendosi verso il basso, fa passare l aria dalla parte inferiore del cilindro alla parte superiore riscaldata. In questa fase la pressione raggiunge il suo valore massimo. Quando il pistone (1) scende a sua volta verso il basso, l aria, assorbendo calore dal filamento elettrico, si espande isotermicamente. Infine il pistone (2) torna verso l alto. L aria, tornando a contatto con le pareti raffreddate del cilindro, si raffredda fino alla temperatura iniziale, a volume costante. Anche la pressione torna al valore iniziale. Il funzionamento del motore è stato quì descritto in modo semplificato. In realtà i due pistoni si muovono contemporaneamente e pertanto le varie fasi di funzionamento non sono nettamente separate. Il riempimento di lana di rame (7), dotato di grande capacità termica, ha la funzione di assorbire calore dall aria che lo attraversa provenendo dall alto e di restituirlo all aria che fluisce dal basso. In questo modo si limita la dispersione di calore, migliorando il bilancio energetico della macchina e aumentando il rendimento. 148

159 CAPITOLO 15. MOTORE MACCHINA FRIGORIFERA 15.2 Macchina frigorifera Per far funzionare la macchina frigorifera si sostituisce la testata dotata del filamento di riscaldamento con l altra con giunto vetro - metallo, in cui si può introdurre un termometro o una provetta. Si connette poi per mezzo della cinghia il volano della macchina al motore per esperienze in cui è richiesta energia meccanica. Il regolatore del motore per esperienze può comandare la rotazione della macchina in senso orario o antiorario. ( Quando la macchina funziona come motore ruota in senso orario ). Quando la macchina ruota in senso orario l aria assorbe calore dalla parte superiore fredda del cilindro e lo cede all acqua di raffreddamento che si trova a temperatura più alta. Il termometro indica la diminuzione di temperatura ( introducendo una provetta con dell acqua si può produrre ghiaccio ). Invertendo il senso di rotazione per mezzo del regolatore l aria del cilindro assorbe calore dall acqua ( che in questo caso ha la funzione di sorgente di calore ) e lo trasferisce alla parte superiore del cilindro che tende perciò a riscaldarsi sempre di più. In entrambi i casi comunque la macchina funziona come macchina frigorifera assorbendo calore da un corpo freddo e cedendolo ad uno caldo, e il ciclo della figura 15.2 viene percorso in senso inverso. Il secondo modo di funzionamento viene detto anche funzionamento a pompa termica Esperienza come motore Sappiamo che la potenza del motore vale: P = M N, (15.1) dove n è il numero di giri compiuti dal volano in un secondo e M è la coppia massima del motore espressa in Newton-metro. La potenza del motore termico si può determinare con due metodi tra loro indipendenti, entrambi di notevole interesse sperimentale. Il primo metodo consiste nel misurare la coppia massima del motore facendo uso di un freno dinamometrico. Per fare questo si determina anzitutto la velocità di rotazione libera del motore per mezzo del contagiri, indi si avvolge attorno all asse del volano, nel senso di rotazione del motore, la trecciola di rame, a una estremità della quale è collegato 149

160 15.3. ESPERIENZA COME MOTORE CAPITOLO 15. MOTORE un dinamometro. L altra estremità della trecciuola viene tenuta ferma ( non tirata ) con la mano. Si tira il dinamometro quanto basta per produrre una piccola diminuizione della velocità di rotazione, per esempio 5 giri/sec, e si legge sul dinamometro l intensità della forza che l ha provocata. Il momento delle forze di attrito è: M = F d 2. (15.2) Parte della potenza sviluppata dalla macchina viene dunque dissipata in forze di attrito, per cui: M N = M N + F N d 2, (15.3) M = F d N = F d 2 N N 2 N, (15.4) N N dove d è il diametro dell asse del volano, il cui valore è 2.5 cm ed F è il modulo. Quindi la potenza meccanica vale: P mecc = NN df. (15.5) 2(N N ) Si può anche far uso di due dinamometri. In questo caso, se F è il valore comune alle due forze letto su due dinamometri si ha M = F d N N N. (15.6) Il secondo metodo per determinare la potenza della macchina fa uso dell indicatore luminoso do PV ma non è attualmente in funzione nei nostri laboratori. Il rendimento di una macchina termica è definito come il rapporto tra la potenza meccanica sviluppata dalla macchina e la potenza termica P fornita alla macchina stessa: η = P mecc P. (15.7) Per misurare la potenza fornita dal motore e quindi il rendimento si fa uso del wattmetro da dimostrazione, collegato in serie all alimentazione 150

161 CAPITOLO 15. MOTORE ESPERIENZA COME REFRIGERATORE del filamento. Nell uso del wattmetro non si devono superare i 16 Volts di tensione di alimentazione, dato che l intensità di corrente che attraversa il wattmetro non può superare i 15 A. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per calcolare il rendimento del motore di STIRLING + errore relativo si può usare il programma RENDI Esperienza come refrigeratore Se plottiamo i grafici relativi alle variazioni di temperatura in funzione del tempo, rispettivamente per il caso di rotazione destrorsa e sinistrorsa del motore, possiamo estrapolare da ciascuno dei grafici un tratto lineare iniziale, corrispondente all intervallo di tempo in cui non vi sono scambi rilevanti di calore tra il sistema e l ambiente esterno. I valori di T per gli intervalli di tempo t in cui il grafico è lineare sono t proporzionali alla quantità di calore sottratta o fornita alla macchina nell unità di tempo Q. Quest ultima si identifica con la potenza t refrigerante della macchina Nota Storica Il motore di Stirling fù inventato nel 1816 da Robert Stirling che allora era un ministro scozzese. In quel periodo i motori di Stirling avevano fama di essere affidabili al contrario di quelli a vapore che spesso esplodevano. Riportiamo nella figura 15.4 uno schizzo della macchina originaria. 151

162 15.5. NOTA STORICA CAPITOLO 15. MOTORE Figura 15.4: Il primo motore di Stirling (1816) 152

163 Capitolo 16 La temperatura critica Con la camera a pressione per la temperatura critica ed adeguati mezzi di proiezione si può completare un montaggio sperimentale per la dimostrazione del comportamento della materia nel superare la temperatura critica. Disegnando le linee isotermiche di un gas secondo Van der Waals in un diagramma p-v si vede che le linee corrispondenti a temperature al di sopra della temperatura critica diventano, al crescere della temperatura, sempre più simili a iperboli ( comportamente del gas ideale ) mentre le linee corrispondenti a temperature al di sotto della temperatura critica sono a forma di S ( teoricamente ) e che questa forma ad S viene sovrapposta da una parte orizzontale, caratterizzata dalla condensazione. Una delle diverse linee isoterme ha una tangente di inversione orizzontale ( vedi figura 16.1 ). La temperatura che determina questa linea isoterma è la temperatura critica. Il punto di contatto della tangente di inversione con la linea isoterma si chiama punto critico nel diagramma p-v. Al di sopra della temperatura critica esiste solo la fase gassosa, che non si può condensare, mentre al di sotto della temperatura critica il gas può essere in equilibrio con la fase liquida. Se si carica la camera con una determinata quantità di gas si può liquefare questo gas parzialmente ( premesso che la temperatura critica e la pressione critica siano favorevoli a questa operazione ). Riscaldando la camera al di sopra della temperatura critica si può dimostrare che la fase liquida diventa instabile e sparisce la linea di separazione fra fase liquida e fase gassosa. 153

164 CAPITOLO 16. LA TEMPERATURA CRITICA Figura 16.1: Le isoterme 154

165 CAPITOLO 16. LA TEMPERATURA CRITICA L APPARATO Figura 16.2: La camera a pressione 16.1 L apparato La camera a pressione per la temperatura critica è una robusta cellula di ferro chiusa ermeticamente con due dischi di vetro ( vedi figura 16.2 ). Il volume racchiuso ermeticamente è provvisto di un canale di riscaldamento. Vicino alla vite di chiusura abbiamo un foro per il controllo della temperatura tramite termometro. I due fori liberi filettati servono per il montaggio di un asta di sostegno nell una o l altra posizione. La camera di pressione è caricata con un gas speciale da impianti refrigeranti, FREON 115. La temperatura critica di questa sostanza è di C e la pressione critica di 30.8 atm. La lampada proietta 155

166 16.2. LA FISICA CAPITOLO 16. LA TEMPERATURA CRITICA sullo schermo l immagine dell interno della camera e il menisco che divide la fase gassosa dal liquido nell interno della camera deve essere ben visibile sullo schermo. Durante la fase di riscaldamento si nota la formazione di striature e poi la formazione di bolle. All aumentare della temperatura si vede correre la condensa del liquido racchiuso sulle superfici interne dei dischi di vetro. Vicino alla temperatura critica il quadro appare molto turbolento: il liquido sparisce, ritorna e sparisce di nuovo, ritorna parzialmente e sparisce definitivamente. Al di sopra della temperatura critica esiste solo la fase gassosa. Solo sulla superficie dei dischi di vetro si nota un pò di condensa. Raffreddando la camera, semplicemente mediante un interruzione del riscaldamento, il quadro diventa scuro e dopo un breve intervallo si vede di nuovo la linea di separazione fra fase gassosa e liquido. Un pò al di sopra della temperatura critica si osserva il fenomeno della opalescenza critica. Avvicinandosi alla temperatura critica da una temperatura maggiore si formano nella fase gassosa, popolata prima solo da particelle monomolecolari, dei complessi a più molecole. Questi complessi, che rappresentano già la sistemazione strutturale della fase liquida non ancora stabile, possono diventare così grandi che disperdono la luce nello stesso modo della dispersione della luce secondo Thyndall. Così la luce diretta è gialla e rossa mentre la luce dispersa è blu. Un pò al di sotto della temperatura critica, quando si è ristabilita la fase liquida, si nota che la linea di separazione fra gas e liquido è molto sottile. Vicino al punto critico tutte le caratteristiche fisiche della fase gassosa e della fase liquida sono quasi uguali, cosicchè le tensioni superficiali gas-vetro e liquido-vetro non sono differenti e mancano le forze che formano un menisco. Ricordiamo che l esperienza con la camera a pressione non rappresenta pericoli per lo sperimentatore. La pressione di prova delle camere è di 150 atm, una pressione che può essere raggiunta solo con un riscaldamento oltre C. In ogni caso le guarnizioni non resistono ad una temperatura più elevata di C e diventano porose prima che si possa creare una pressione non ammissibile La fisica L interazione repulsiva fra le molecole si può simulare supponendo che siano approssimate da sfere impenetrabili. Il volume diverso da zero delle molecole implica che il volume totale sia ridotto a V- nb dove nb è 156

167 CAPITOLO 16. LA TEMPERATURA CRITICA LA FISICA il volume occupato dalle molecole stesse. Questo argomento suggerisce di sostituire la legge dei gas perfetti con p = nrt V nb. (16.1) La pressione dipende sia dalla frequenza delle collisioni sulle pareti sia dalla forza di ogni collisione. Sia la frequenza delle collisioni che la loro forza sono ridotte dalle forze attrattive, che agiscono in maniera proporzionale alla concentrazione molare n/v di molecole nel campione. Quindi la pressione diminuisce in maniera proporzionale al quadrato di questa concentrazione. Otteniamo quindi l equazione di Van der Waals: p = nrt V nb a( n V )2. (16.2) Questa equazione è spesso scritta in termini del volume molare V m = V/n: p = RT V m b a. (16.3) Vm 2 Possiamo anche riorganizzare l equazione in una forma che ricorda l equazione dei gas perfetti, cioè: (p + an2 )(V nb) = nrt. (16.4) v2 Le costanti critiche sono legate ai coefficienti di Van der Waals. Quando T T c, le isoterme calcolate oscillano e ognuna passa attraveso un minimo seguito da un massimo. Questi estremi convergono con T T c e coincidono a T = T c e al punto critico la curva ha un flesso. Ricordiamo che le oscillazioni delle isoterme sotto la temperatura critica non sono realistiche e sono in realtà rimpiazzate da linee orizzontali, cosicchè i loops occupano aree uguali sopra e sotto le linee isoterme, dette anche costruzioni di Maxwell. Possiamo quindi calcolare le costanti critiche calcolando le derivate e ponendole uguali a zero: dp dv m = RT (V m b) + 2a 2 Vm 3 = 0, (16.5) d 2 p dv 2 m = 2RT (V m b) 3 6a V 4 m = 0. (16.6) 157

168 16.2. LA FISICA CAPITOLO 16. LA TEMPERATURA CRITICA Risolvendo queste equazioni otteniamo che: V c = 3b, p c = a 27b 2, T c = 8a 27Rb Possiamo poi finalmente ottenere a e b:. (16.7) b = T cr 8p c, (16.8) a = T 2 c R p c. (16.9) Ricordando che T c si ricava sperimentalmente ( espresso in K ), p c = 30.8 atm e R= litri atm, troviamo facilmente i valori mole K sperimentali di a e b. Riportiamo nella tabella C.5 valori di a e b di alcuni gas più comuni. E per finire ricordiamo che il FREON 115 appartiene al gruppo dei composti fluorocarbonici del FREON e che le sue caratteristiche così come date dalla ditta Du Pont sono T c = C e p c = 31.5 atm. 158

169 Capitolo 17 Rapporto c p / c v In un tubo di vetro di precisione graduato in unità di volume, è spostata, in oscillazioni di risonanza, una colonna di gas con sezione A,della quale si può variare il volume V e la pressione p. Per questo scopo un pistone magnetico, che chiude la colonna di vetro si muove, come una massa pendolare m, mediante un campo magnetico in modo che il gas periodicamente venga compresso ed espanso ( variazione di stato adiabatica ). Se la frequenza del campo magnetico è eguale alla frequenza f 0 di eccitazione del sistema ( caso della risonanza ) esso oscilla con la massima ampiezza ( si può qui prescindere dalla piccola scordatura dovuta all attrito ). Per il tubo di vetro chiuso dalle due parti, con il pistone nel mezzo, il periodo di oscillazione T è: T = 2π mv. (17.1) A 2pk Da esso segue per k, con V =l A e f 0 = 1/T : k = 2π2 l m f0 2 A p, (17.2) l = lunghezza della colonna di gas ( 0.26±0.1)m - (figura 17.1) A = sezione della colonna di gas = m 2 d = diametro interno tubo in vetro d= (13.92 ± 0.01)mm m = massa del pistone di lunghezza 20 mm (8.8 ± 0.26)10 3 kg p=pressione del gas= pressione dell aria ( nell esempio Pa ) f 0 = frequenza di risonanza [Hz] 159

170 17.1. DEDUZIONE DI K CAPITOLO 17. RAPPORTO C P / C V Figura 17.1: Pistone nel tubo di vetro Se si inseriscono le grandezze fissate dalla costruzione dell apparecchio si ottiene: (Pa = pascal; s = secondo ) k = s 2 P a f 2 0 p, (17.3) 17.1 deduzione di k Poichè l oscillazione avviene con un processo adiabatico, vale dp dv = k p (equazione di P oisson). (17.4) V o anche per il tubo aperto da un lato, vale l equazione della forza: mẍ = dp A (17.5) 160

171 CAPITOLO 17. RAPPORTO C P / C V MONTAGGIO e quindi mẍ = p k V dv A (17.6) Con dv = Ax e l = V A ottiene: e la relazione lineare per la forza F = -Dx, si mẍ = pka x = Dx. (17.7) l Per il tubo chiuso alle due estremità, con il pistone al centro, la forza equilibratrice D ha il valore doppio: mẍ = 2pkA x = D x. (17.8) l Dalla relazione del periodo di una oscillazione armonica: m T = 2π, (17.9) D e dalla relazione per D si ottiene per la frequenza: f 0 = 1 D 2π m = 1 2 p k A 2π l m, (17.10) da cui segue la formula Per ricavare l equazione delle trasformazioni adiabatiche quasi statiche consultare il [Pescetti 1975] Montaggio Prima del montaggio dell apparecchio nel dispositivo sperimentale, ruotare di 180 o, rispetto alla posizione di impiego, il tubo con rubinetto (1), in modo che il pistone possa scivolare all estremità del tubo. Chiudere poi subito il rubinetto e costrurire il montaggio della prima figura Per mezzo di brevi aperture del rubinetto (1) lasciar scivolare il pistone nella posizione scelta per l esperimento, necessaria come chiusura della colonna d aria. Fissare la bobina in modo che il suo bordo superiore sia all altezza del bordo inferiore del pistone ( vedi figura 17.2). L interno del tubo di vetro deve essere perfettamente pulito, in modo che il pistone possa muoversi liberamente. Per pulire il tubo 161

172 17.2. MONTAGGIO CAPITOLO 17. RAPPORTO C P / C V Figura 17.2: Dispositivo per la frequenza di risonanza 162

173 CAPITOLO 17. RAPPORTO C P / C V ESECUZIONE usare una spazzola per bottiglie imbevuta di alcol. Con un tubo di vetro perfettamente pulito si può anche lavorare con il dispositivo orizzontale. Ciò presenta il grande vantaggio che il pistone rimane al suo posto e non scende lentamente verso il basso rendendo più difficile la lettura. Il riempimento del tubo di risonanaza con altri gas ( anidride carbonica, neon ) avviene come indicato nella figura Per questo scopo portare il pistone completamente in alto. Il tubo di vetro è inizialmente aperto e rinchiuso dopo il riempimento con gas Esecuzione Regolare all inizio la frequenza da circa 40 Hz a 50 Hz e scegliere la corrente di 1 A. Per cercare la frequenza di risonanza, aumentare molto lentamente la frequenza del generatore da 20 Hz fino a che è superata la massima ampiezza di oscillazione; diminuire poi la frequenza fino a che è di nuovo raggiunta la massima ampiezza Esempio k = f 2 0 p = P a s P a f 2 0 (17.11) k = s 2 f 2 0. (17.12) a frequenza di risonanza per l aria: misura: f 0 =21.9 Hz b frequenza di risonanza per CO 2 : misura: f 0 =21.0 Hz c frequenza di risonanza per il Ne: misura: f 0 =23.0 Hz Dagli esempi di misure segue: K aria = s 2 (21.9) 2 Hz 2 = 1.39 (17.13) K CO2 = s 2 (21.0) 2 Hz 2 = 1.27 (17.14) K Ne = s 2 (23.0) 2 Hz 2 = 1.53 (17.15) nella letteratura troviamo invece i seguenti valori 163

174 17.4. ESEMPIO CAPITOLO 17. RAPPORTO C P / C V Figura 17.3: Riempimento con gas 164

175 CAPITOLO 17. RAPPORTO C P / C V UNITÀ DI PRESSIONE a k aria =1.40 b k CO2 =1.29 a k Ne =1.64 ELABORAZIONE DATI SU PC. Potete adoperare il programma CORREZ per trovare la correzione sulla pressione; ricordiamo che il barometro Fortin si dilata termicamente. Il programma CPCV è invece utile per trovare il valore di K aria ed il suo relativo errore Unità di pressione La pressione corrispondente all altezza di 1 mm di mercurio alla temperatura di 0 0 C si chiamatorr, in onore di Torricelli. Alla pressione normale di 760 torr =1 atmosfera la massa volumica del mercurio a 0 0 C è µ 0 = gr cm 3. (17.16) Poichè il valore normale di g è cm sec 2, essendo p A = µ 0 gh 0 risulta : 760 torr = 1atm = gr cm cm sec 2 76cm = newton = dyne m 2 cm 2 = barie = microbar essendo = bar = millibar = kgp cm 2, (17.17) e 1 baria = 1 dyne cm 2 newton = 10 1 = 1microbar m 2 = 10 6 bar = kgp millibar = cm 2 = torr = atm (17.18) 165

176 17.5. UNITÀ DI PRESSIONE CAPITOLO 17. RAPPORTO C P / C V 1 kgp = 1 chilogrammo peso = kg m sec 2 Ne segue che = newton = dyne. (17.19) e 1 mm HG = 1 torr = = dyne cm 2 atm = newton m 2 = millibar 3 kgp = cm = atm,(17.20) 3 kgp 1 millibar = cm = atm = torr. (17.21) 166

177 Capitolo 18 Termometro a gas Per una determinata quantità d aria chiusa le grandezze fisiche pressione p, volume V e temperatura t sono fra loro connesse. Tuttavia tali connessioni sono semplici per un gas ideale. Le leggi che collegano due grandezze quando la terza grandezza è mantenuta costante prendono il nome dal loro scopritore: T=cost. ; V 1/p (legge di Boyle-Mariotte anno 1691) p=cost. ; V T (legge di Gay-Lussac anno 1850) V=cost. ; p T (legge di Gay-Lussac anno 1850) La proporzionalità di pressione p e volume V con la temperatura T è valida per una scala di temperature con lo zero a o C ( scala delle temperature assolute). Dalle due sopradette leggi trovate empiricamente, si può ricavare la legge che afferma p V = costante, (18.1) T per una determinata quantità di gas Verifica Boyle Nel termometro a gas un tubo di vetro, chiuso ad una estremità, racchiude una determinata quantità d aria mediante un tappo di mercurio. La parte del tubo aperta è collegata con una pompa ( riportata nella fotografia che segue 18.1) a mano per il vuoto. Mediante pompaggio dell aria, da questo lato si forma una depressione p b rispetto alla pressione atmosferica p 0, così che si stabilisce la pressione p 0 + p b. 167

178 18.1. VERIFICA BOYLE CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS Figura 18.1: Fotografia della pompa per depressioni Il manometro della pompa indica la depressione p b (negativa). Per il montaggio verticale del termometro a gas, la pressione che agisce sulla quantità d aria chiusa viene aumentata dalla pressione dovuta al peso del mercurio p Hg : p = p 0 + p B + p Hg. (18.2) Il volume della quantità d aria racchiusa è: V = A h, (18.3) A: sezione della colonna d aria h: altezza della colonna d aria. La lunghezza h può essere letta direttamente sulla scala del termometro a gas. Nell esperimento viene misurata h [cm] in funzione di p b [mbar], per temperatura costante. La pressione p e il volume V della colonna d aria sono calcolate mediante le due equazioni precedenti Montaggio-Legge di Boyle Prima del montaggio rappresentato nella figura 18.2, regolare la lunghezza h 0 della colonna d aria chiusa dal tappo di mercurio per la pressione d aria (cioè per indicazione zero del manometro della pompa a mano) di circa 7 cm( per goccia di mercurio non interrotta). Lavorare sopra la vaschetta di plastica per raccogliere il mercurio della goccia in caso di una eventuale rottura del tubo di vetro. 168

179 CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS VERIFICA BOYLE Figura 18.2: Dispositivo per la spiegazione della legge di Boyle-Mariotte 169

180 18.1. VERIFICA BOYLE CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS Sistemare il termometro a gas verticale con il collegamento del tubo verso il basso. Azionando la pompa generare una depressione e raccogliere il mercurio in una goccia nel rigonfiamento (a). Portare una piccola sferetta di mercurio, mediante leggeri colpi sul capillare nel rigonfiamento (a) (una piccola sferetta di mercurio che rimane attaccata all estremità del capillare non influenza il risultato della misura). Regolare la depressione a circa -820 mbar. Ruotare lentamente il termometro a gas nella posizione di di esercizio. Tubo di collegamento verso l alto: portare il mercurio all entrata del capillare. Aprendo con molta prudenza, la valvola di ventilazione (premere la leva (b) sensibile verso sinistra o verso destra) ridurre lentamente a zero la depressione p B in modo che il tappo di mercurio scivoli lentamente fino a p B =0 e la colonna d aria sia chiusa alla lunghezza h 0 (circa 7 cm). Se per una troppa violenta aerazione o per una scossa il tappo di mercurio si spezza, ripetere il procedimento Esecuzione -Legge di Boyle Misurare la lunghezza l Hg [cm] del tappo di mercurio con l aiuto della scala. Leggere la pressione p 0 [mbar] esterna sul barometro. Aumentare la depressione p B [mbar], con la pompa a mano, da zero per passi di 100 mbar, fino a -800 mbar. Ogni volta leggere la lunghezza h[cm] della colonna d aria racchiusa dal tappo di mercurio Calcolo di p e di V-Legge di Boyle p = p 0 + p HG + p B (18.4) p 0 : pressione atmosferica [mbar] p HG : pressione dovuta al peso del tappo di mercurio[mbar] p B : depressione [mbar] p HG = ρ HG l HG = l HG : lunghezza del tappo di Hg = 1.1 cm g cm 9.81m 1.1cm = 14.6mbar (18.5) 3 s2 V = A h = π d2 4 h (18.6) 170

181 CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS VERIFICA BOYLE Figura 18.3: Relazione P-V a temperatura costante A: sezione della colonna d aria [cm 2 ] d: diametro della colonna d aria [cm] =(0.27±0.02) cm h: lunghezza della colonna d aria [cm] Considerazioni su V -Legge di Boyle Il volume V dell aria racchiusa diminuisce con l aumentare della pressione in modo nonlineare ( vedi la figura 18.3) Il prodotto p V Il prodotto della pressione p per il volume V di una quantità di aria è a temperatura costante una costante p V = costante (legge di BOY LE MARIOT T E) (18.7) 171

182 18.1. VERIFICA BOYLE CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS k Oppure La pressione ed il volume di un gas racchiuso in un recipiente, a temperatura costante, sono inversamente proporzionali una all altro: V 1/p. (18.8) ELABORAZIONE DATI SU PC. Per l elaborazione dei dati può essere utile usare il programma TERMO una volta che i dati di pressione e volume dell esperienza sono stati inseriti. Esso calcola il numero medio di grammo-molecole, lo scarto dalla legge perfetta dei gas e ( tentativamente ) il valore di R Numero di grammomolecole Per calcolare il numero di grammomolecole contenute nel volume del capillare racchiuso dal termometro sfruttiamo la legge dei gas a temperatura ambiente ed a condizioni standard (0 0 C +1 atm) pv = nrt e p 0 V 0 = nrt 0. (18.9) Da queste due formule ricaviamo facilmente il volume interessato a 0 0 C : v 0 = p[mbar]v[cm3 ] , (18.10) θ dove θ è la temperatura ambiente in 0 C. Perciò n = v 0 v AV, (18.11) dove v AV =22421 cm 3 ( volume di Avogadro). L aria non è una sostanza chimicamente definita ma bensì un miscuglio, non ha senso parlare della sua massa molecolare perchè non esiste la molecola d aria. Consideriamo perciò la sua massa molecolare apparente ottenuta come media aritmetica ponderata delle masse molecolari dei vari gas che la compongono. Riportiamo le varie componenti dell aria nella tabella Pertanto come massa molecolare apparente dell aria useremo il valore m = gr. La massa del volume interessato è perciò: M = nm. (18.12) 172

183 CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS EQUAZIONE DI STATO Tabella 18.1: Composizione dell aria secca N 2 O 2 A CO 2 Ne He P ercentuali in volumi P ercentuali in masse Equazione di stato Nel termometro a gas un tubo, chiuso ad una estremità, contiene una predeterminata quantità di aria limitata da un tappo di mercurio. Il lato aperto del tubo è collegato alla pompa a mano per il vuoto. Aspirando l aria si genera una depressione p b rispetto alla pressione atmosferica p 0, così che si instaura una pressione p 0 + p b. Il manometro della pompa indica una depressione p b negativa. A causa del montaggio verticale del termometro a gas, la pressione a cui è sottoposta la quantità d aria chiusa deve essere aumentata dalla pressione p Hg dovuta al peso del mercurio: Il volume della quantità d aria chiusa è: A: sezione della colonna d aria h: altezza della colonna d aria. p = p 0 + p B + p Hg. (18.13) V = A h, (18.14) La lunghezza h può essere letta direttamente sulla scala del termometro a gas. Per ogni temperatura T si determinano i corrispondenti valori di p e V e si calcola l espressione: p V T Montaggio-Equazione di stato. (18.15) Prima del montaggio rappresentato nella figura 18.4, regolare la lunghezza l b della colonna d aria chiusa dal tappo di mercurio per una 173

184 18.2. EQUAZIONE DI STATO CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS Figura 18.4: Dispositivo per la verifica dell equazione di stato pressione d aria ( per indicazione 0 del termometro della pompa) di circa 8 cm, prestando attenzione che non vengano formate gocce di mercurio. Lavorare sopra la vaschetta di plastica in modo che, per una eventuale rottura del tubo, possano essere raccolte le gocce di mercurio. Appendere il termometro a gas in posizione verticale con l attaco di gomma verso il basso. Azionando la pompa generare una depressione e raccogliere il mercurio in una goccia nel rigonfiamento (a); portare nel rigonfiamento (a) piccole gocce di mercurio, mediante leggeri colpi sul capillare. (Una piccola goccia di mercurio rimasta attaccata all estremità del capillare non influenza i risultati delle misure). Regolare la depressione p B a 750 mbar circa. Ruotare lentamente il termometro a gas nella posizione di impiego (attacco del tubo verso l alto) e portare il mercurio all entrata del capillare. Mediante apertura con molta cautela, della valvola di ventilazione (premere la leva (b) verso sinistra o verso destra) ridurre lentamente a 0 la depressione p B in modo che il tappo di mercurio si sposti lentamente fino a che, per p B =0, la colonna d aria racchiusa abbia l altezza h 0 (circa 8 cm). Se per una troppa violenta aerazione o per urti subiti, il tappo di mercurio si spezza, ripetere il procedimento. Operare dapprima senza bagno d aqua, 174

185 CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS EQUAZIONE DI STATO Figura 18.5: Montaggio dell esperienza alla temperatura ambiente. Fissare con cura al supporto il termometro a gas e la provetta. Se si utilizza un termometro a liquido, appendere quest ultimo con del filo al morsetto Esecuzione - Equazione di stato Montare l esperienza secondo la figura Misurare nel capillare la lunghezza l Hg [cm] del tappo di mercurio, con l aiuto della scala. 2. Misurare la temperatura θ[ 0 C] dell ambiente. Per p B =0 misurare la lunghezza h della colonna d aria. Riportare la terna di valori p B [mbar],θ[ 0 C] e h[cm] su una tabella. Variare con la pompa a mano la pressione: leggere i valori p B [mbar],θ[ 0 C] e h[cm]. 3. Ripetere la misura con altre temperature Θ: versare 200 cm 3 circa di aqua calda nella provetta del bicchiere di plastica. Attendere l equilibrio termico (1 minuto circa). Annotare p B [mbar],θ[ 0 C],h[cm]. Con la pompa stabilire un altra pressione e leggere di nuovo i valori p B [mbar],θ[ 0 C] e h[cm]. 175

186 18.3. VERIFICA GAY-LUSSAC CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS calcolo di p p = p 0 + p HG + p B (18.16) p 0 : pressione atmosferica [mbar] p HG : pressione dovuta al peso del tappo di mercurio[mbar] p HG : ρ HG l HG = g cm 2 s 1 l HG g = 981 cm /s 2 (accelerazione terrestre) l HG =lunghezza del tappo di mercurio Calcolo di V-Equazione di stato V = A h = π d2 4 A: sezione della colonna d aria [cm 2 ] d: diametro della colonna d aria [cm] =(0.27±0.02) cm h: lunghezza della colonna d aria [cm] h (18.17) Calcolo di T T = ( Θ) K. (18.18) 18.3 Verifica Gay-Lussac Se la temperatura T di un gas varia a pressione p costante, si ha come conseguenza una variazione di volume, regolata dalla legge di Gay Lussac. Indicando con V 0 il volume del gas a 0 0 C e con V il volume del gas a T > 0 possiamo scrivere: V (T ) = V 0 (1 + αt ) (18.19) dove il parametro α edetto coefficiente di espansione dei gas. Per gli aeriformi perfetti, non dipende dalla loro natura, ma esempre uguale a C 1 (il parametro αt deve essere adimensionale) circa 1/273. Il parametro α rappresenta l aumento di volume subito da un volume unitario di gas quando la sua temperatura aumenta di 1 0 C. Se la temperatura scende sotto 0 0 C il volume V si riduce proporzionalmente. 176

187 CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS VERIFICA GAY-LUSSAC L equazione prevede che il volume V si annulli in corrispondenza del valore di temperatura T = 1 α = C (18.20) Se si utilizza la scala assoluta di temperatura, la prima legge di Gay- Lussac si scrive in modo piusemplice: Esecuzione dell esperienza Gli strumenti utilizzati sono Termometro a gas Termometro digitale V (T ) = V 0 αt. (18.21) Pompa a mano per vuoto corredata di barometro con scala tarata in mbar Manometro differenziale a U tarato in mmhg Fornellino elettrico Ampolla di vetro corredata di ancoretta magnetizzata Recipiente di vetro Barometro campione (Fortin) Riportiamo adesso le varie fasi dell esperienza 1. Misurare il valore della pressione atmosferica con l uso del barometro Fortin, applicando le correzioni richieste e valutandone il peso nella determinazione finale della pressione atmosferica. 2. Valutare la pressione esercitata dal tappo di mercurio sulla colonna d aria inferiore e ricavare la pressione complessivamente esercitata sul gas, esprimendola in Pascal. 3. Leggere l altezza h della colonnina di aria (ricavando quindi il volume del gas), individuando sulla scala la posizione inferiore del menisco del tappo di mercurio. 177

188 18.3. VERIFICA GAY-LUSSAC CAPITOLO 18. TERMOMETRO A GAS 4. Riportare sul logbook il valore di temperatura (espressa in gradi centigradi) di lavoro. Mantenendo a temperatura costante il termometro a gas, variare la pressione esercitata sul gas della colonnina, creando una depressione con luso della pompa per vuoto. Variare il valore della pressione a partire dalla pressione atmosferica fino ad una depressione di 700 mbar con passo di 100 mbar. Leggere ogni volta l altezza h della colonnina di aria (come nel punto 3) ed il valore della depressione sul manometro della pompa. Riportare i dati in apposita tabella. Vediamo adesso come elaborare i dati. Valutare gli errori di misura per V, p e T (temperatura espressa in gradi Kelvin). Valutare l entita delle correzioni operate con il barometro di Fortin rispetto alle incertezze sulle altre misure di pressione. Riportare in tabella, con i relativi errori, i valori di pressione p; altezza h della colonnina di mercurio; volume V; prodotto pv (da quale variabile dipende soprattutto l incertezza su pv). 178

189 Capitolo 19 Viscosimetro Se un fluido si muove di moto laminare, l elemento di superficie S di uno strato, scorrendo sullo strato adiacente, esercita sull elemento di superficie S corrispondente una forza di attrito F data dalla legge F = ηs u h, (19.1) dove du è la variazione di velocità del fluido relativa ad uno spostamento dh in direzione normale alla velocità u. Il coefficiente di proporzionalità η si chiama coefficiente di attrito interno o di viscosità e dipende dalla natura del fluido e dalle sue condizioni fisiche. Numericamente η ( nel sistema CGS ) dà la forza che 1 cm 2 di strato esercita su 1 cm 2 dello strato adiacente, se la variazione di velocità in quel punto è 1 cm sec 1 per uno spostamento di un cm nella direzione normale. Ricaviamo quindi: η = F. (19.2) S u h Le sue dimensioni sono: [η] = [ml 1 t 1 ] oppure η =[ forza tempo ], quindi superficie nel sistema CGS si misura in gr cm 1 sec 1 o, equivalentemente, in dine sec. cm 2 Nei liquidi η diminuisce rapidamente al crescere della temperatura e generalmente aumenta all aumentare della pressione. Se si ha un tubo capillare orizzontale di lunghezza l, ed un liquido si muove in esso con velocità non troppo grande, il volume di liquido effluito in un tempo t è dato dalla formula di Hagen-Poiseuille v = πr4 p t, (19.3) 8ηl 179

190 CAPITOLO 19. VISCOSIMETRO dove r è il raggio del capillare e p = p 2 -p 1 è la pressione motrice, cioè il salto di pressione che mantiene il regime uniforme del moto. A causa delll attrito interno si ha una trasformazione di energia meccanica in calore. Dalla legge di Hagen-Poiseuille si ricava η = πr4 p t, (19.4) 8vl quindi la misurazione delle grandezze a secondo membro permette la misurazione assoluta del coefficiente di viscosità η. Per l applicazione di questa legge occorre usare un dispositivo con il tubo capillare orizzontale fra gli estremi del quale viene mantenuta una differenza di pressione nota e costante p, al fine di realizzare il moto stazionario. Se invece il tratto di tubo capillare di lunghezza l e raggio r non è orizzontale, ed il suo asse forma un angolo α con un piano orizzontale, la legge di Hagen-Poiseuillle va scritta nella forma v = πr4 ( p 8η l + ρgsen(α) ) t = πr4 ( ) p + l ρgsen(α) t, (19.5) 8ηl dove ρ è la densità del liquido e gsenα è la componente dell accelerazione di gravità lungo l asse del capillare orientata nel verso discendente. Le altre grandezze mantengono il significato precedente. La p è la differenza di pressione p 1 -p 2 fra gli estremi del tratto capillare l. Se il tubo del capillare è verticale si ha: v = πr4 ( ) p + ρgl t. (19.6) 8ηl Anzichè eseguire una misurazione assoluta, ricorrendo a queste leggi, si esegue più facilmente una misurazione relativa, ottenendo η mediante il confronto con il coefficiente di viscosità noto di un altro liquido, alla medesima temperatura; si ricorre quindi al viscosimetro di Ostwald, vedi figura Versando da I, si introduce una quantità del liquido in esame in D fino a che il livello raggiunge un segno S inciso sulla parete di vetro. Per mezzo di una pompetta collegata al tubo E si aspira il liquido in modo che esso salga sopra la tacca A dopo aver riempito il rigonfiamento AB. Non si devono avere bolle d aria. Si lascia che il liquido discenda spontaneamente sotto l azione della gravità e si misura il tempo t 1 che 180

191 CAPITOLO 19. VISCOSIMETRO Figura 19.1: Il viscosimetro 181

192 CAPITOLO 19. VISCOSIMETRO impiega il livello per discendere dalla tacca A alla tacca B. Il tratto BC è capillare. L apparecchio è tenuto in un vaso F pieno d acqua, la cui temperatura è tenuta costante tramite un termostato ed un agitatore meccanico; è chiaro che la temperatura di funzionamento va annotata esattamente. Per il liquido con coefficiente η 1 otteniamo η 1 = πr4 ( ) p + ρgl 8lv t 1 1. (19.7) dove v è il volume del rigonfiamento fra le tacche A e B ed r il raggio del capillare BC. Si ripete l esperienza con il liquido campione, che di solito è acqua alla medesima temperatura. Si userà un volume di liquido campione uguale al volume precedente, perchè occorre che i dislivelli fra D e AB, che danno origine alla forza motrice, siano i medesimi nei due casi. Stavolta si ottiene η 0 = πr4 ( ) p + ρgl 8lv t 0 0. (19.8) Dividendo membro a membro le due ultime equazioni otteniamo: ( η 1 p + lρg)1 = ( t 1. (19.9) η 0 p + lρg)0 t 0 Nelle condizioni dell esperienza, la pressione motrice p = p B - p C è prodotta dall azione della gravità e quindi è proporzionale alla densità ρ del liquido. Per un dato dislivello fra i due menischi in D e in H, il rapporto fra le due espressioni in parentesi al secondo membro dell equazione precedente è quindi proporzionale al rapporto delle masse volumiche ( ρ 1 p + lρg)1 = (. (19.10) ρ 0 p + lρg)0 Avendo usato volumi uguali dei due liquidi diversi, durante le due esperienze si hanno le medesime condizioni geometriche, quindi si ha η 1 = ρ 1t 1, (19.11) η 0 ρ 0 t 0 dalla quale si ottiene η 1 conoscendo t 1, t 0,η 0, ρ 1 e ρ 0 alla temperatura di misura. In realta quasi sempre siamo interessati alla viscosità cinematica ν = η ρ espressa in grcm3 cm sec gr = cm2 sec 182 = stokes, (19.12)

193 CAPITOLO 19. VISCOSIMETRO Figura 19.2: Il capillare allora la viscosità cinematica del fluido in esame diventa ν 1 = ν 0 t 1 t 0 ; (19.13) introducendo C = ν 0 t0, costante del viscosimetro espressa in centistokes/ sec, avremo: ν 1 = C t 1. (19.14) Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. A tutt oggi i viscosimetri a capillare, vedi figura 19.2, detti CANNON- FENSKE per misure di viscosità cinematica in centistokes sono fatti in pyrex con capillare di precisione e i certificati di taratura sono fatti a 40 0 C. 183

194 19.1. VISCOSITÀ OLIO T CAPITOLO 19. VISCOSIMETRO Tabella 19.1: Parametri dei capillari Numero serie AST M C [cstokes sec 1 ] Intervallo viscosità cs Dalla tabella 19.1 si nota come praticamente sia possibile avere un range di misura che si estende su circa 5 decadi. È anche importante notare che la viscosità dipende molto dalla temperatura e quindi bisognerebbe graficare e tabulare questo tipo di dipendenza. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per quanto riguarda i dati possiamo adoperare il programma GAUSS, che, analizzando i vari tempi di caduta, compie alcune operazioni di statistica, produce una divisione in classi e confronta la distribuzione osservata con quella Gaussiana Viscosità olio T È importante precisare che la viscosità dei fluidi ( ed in particolare) degli oli è fortemente dipendente dalla temperatura anche se non esiste un chiaro modello teorico. Il tipo di relazione empirica adottata risulta essere ν = Ae B/RT, (19.15) 184

195 CAPITOLO 19. VISCOSIMETRO VISCOSITÀ ACQUA T dove ν è la viscosità cinematica in stokes, R = joule/(mole K), T la temperatura in kelvin e A e B due costanti, diverse per ogni fluido, da trovare tramite best fit. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per trovare A e B è stato implementato il programma VISCOT che esegue il fit summenzionato tramite la teoria dei minimi quadrati Viscosità acqua T La viscosità dell acqua può essere rappresentata mediante la seguente formula empirica con una precisione dell ordine dello 0.2 %: [ ] ln η(t ) b(t 20) = a (T 20) 1 + (19.16) η(20 0 C) T dove T ( la temperatura ) varia fra 0 0 C e C mentre a= b= Ricordiamo inoltre che a 20 0 C η = mpas e che 1 Pas = 10 poise. Riportiamo in Figura 19.3 una fotografia di un viscosimetro di laboratorio. 185

196 19.2. VISCOSITÀ ACQUA T CAPITOLO 19. VISCOSIMETRO Figura 19.3: Foto di un viscosimetro di laboratorio 186

197 Capitolo 20 Velocita limite Le forze di attrito nei fluidi si dividono come forze proporzionali alla velocità, regime di Stokes, oppure come forze proporzionali al quadrato della velocità, regime di Newton Stokes Le condizioni di partenza considerate da Stokes furono la presenza di una sfera immersa in un fluido e sottoposta ad una forza di gravità F g F g = m g, (20.1) dove: m è la massa e g l accelerazione gravitazionale. La sfera è tuttavia sottoposta anche all attrito del fluido viscoso, F d, che è dato da: F d = 6πηrv, (20.2) dove η è la viscosità, r il raggio della sfera, v la velocità del fluido rispetto alla sfera, il segno è negativo perchè l attrito del fluido ha direzione opposta alla forza di gravità. Infine la sfera è sottoposta anche all azione della spinta di Archimede, F A, dato che è immersa in un fluido: F A = ρ f gv (20.3) dove ρ f è la densità del fluido, g l accelerazione gravitazionale, V il volume del corpo immerso ed il segno è negativo perchè la spinta di Archimede ha direzione opposta alla forza di gravità. 187

198 20.2. EQN. DIFF. STOKES CAPITOLO 20. VELOCITA LIMITE In condizioni di equilibrio l accelerazione è nulla e quindi: 6πηrv = mg ρ f gv 6πηrv = ρ s V g ρ f gv 6πηrv = V g(ρ s ρ f ), (20.4) con ρ s densità della sfera e V volume della sfera. Il volume della sfera V è V = 4πr3 (20.5) 3 e sostituendo si ha: 6πηrv = 4πr3 3 (ρ s ρ f )g 3ηv = 2r2 3 (ρ s ρ f )g v = 2r2 9η (ρ s ρ f )g. (20.6) La somma vettoriale (che tiene conto dei versi delle forze) di queste tre forze è sempre nulla e permette di ottenere la formula della legge di Stokes, dalla quale si ricava la velocità della sfera in condizioni di equilibrio raggiunto. La viscosita sarà quindi η = 2r2 9v (ρ s ρ f )g, (20.7) oppure η = mg 6rπv, (20.8) dove m è la massa della sfera Eqn. diff. Stokes La pallina si trova in un fluido (per es. aria). Essa è soggetta alla forza peso, alla spinta di Archimede (che pero è trascurabile nel caso in cui la densità del fluido sia molto inferiore a quella della pallina). Una volta in moto la pallina è sottoposta alla forza di attrito viscoso proporzionale alla velocità F v = γv, (20.9) 188

199 CAPITOLO 20. VELOCITA LIMITE EQN. DIFF. STOKES Se vale la legge di Stokes allora γ = 6ηR, dove R è il raggio della pallina. Il moto avviene tutto verticalmente e quindi fissando l asse y delle coordinate orientato positivo verso l alto avremo, come risultante delle forze: Fy = mg + F A γv, (20.10) dove m = ρ s V e V è il volume della pallina, mentre ρ s è la densità della pallina. La forza di Archimede è F A = ρ fl V g, dove ρ fl è la densità del fluido. Per la seconda legge della dinamica possiamo scrivere e dividendo per la massa ma = m dv dt = mg + F A γv, (20.11) dv dt = g + F A m γ m v, (20.12) i due termini costituiti dal campo gravitazionale g e dalla spinta di Archimede sono due termini costanti e possono essere espressi da un singolo parametro che possiamo definire campo gravitazionale efficace g e, che sarà uguale a g nel caso che la spinta di Archimede sia trascurabile, ma che, nel caso la spinta di Archimede sia non trascurabile mi definirà una costante da moltiplicare per la massa della pallina per avere il valore della forza costante che agisce su di essa g e = g F A m = g(1 ρ fl ρ s ). (20.13) Da qua si vede per esempio che se ρ fl > rho s la forza efficace sarà diretta verso l alto. Inseriamo il tempo caratteristico τ = γ m = 4πR3 ρ s 3(6πηR) = 2R2 ρ s 9ηR. (20.14) L equazione del moto (20.12) si può quindi scrivere come dv dt + v τ = g e. (20.15) Questa è un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Imponendo v(0)=0 otteniamo v(t) = g e τ(1 e t τ ). (20.16) 189

200 20.3. ESECUZIONE STOKES CAPITOLO 20. VELOCITA LIMITE 20.3 Esecuzione Stokes Elenchiamo la strumentazione disponibile Becker graduato Liquido di cui si vuole determinare il coefficiente di viscosità Bilancia elettronica per la misura del peso del corpo immerso Palmer per la misura del diametro del corpo Cronometro per la misura del tempo di caduta Metro per la misura della distanza percorsa dal corpo Riportiamo l esecuzione dell esperienza. Le misure preliminari da eseguire sono: Misurare con la bilancia elettronica il peso medio dei pallini di piombo (sensibilità della bilancia 0,1g) Misurare con il palmer il diametro medio dei pallini e ricavarne il raggio medio (sensibilità del palmer 0,01mm) Misurare i segmenti x i (i=1,2,3) in cui è suddiviso il becker (sensibilità del metro 0,01 m) Dobbiamo adesso verificare il moto rettilineo uniforme dei pallini Ciascuno sperimentatore misure il tempo t i impiegato dal pallino a percorrere il segmento x i Calcolare il tempo medio impiegato dal corpo a percorrere ciascuno dei tre segmenti e ricavarne la velocità media Verificare che entro il margine di errore le tre velocità sono uguali tra loro Calcoliamo adesso la velocità limite ed il coefficiente di viscosità: Misurare il tempo impiegato dal pallino a percorrere il segmento complessivo di lunghezza x dato dalla somma dei singoli segmenti x i 190

201 CAPITOLO 20. VELOCITA LIMITE NEWTON Calcolare il tempo medio e la velocità media (coincidente con la velocità limite ) Determinare il valore del coefficiente di viscosità η con il relativo errore 20.4 Newton Una prima forza nel regime di Newton per un oggetto che cade è la forza di gravità F g F g = m g, (20.17) dove: m è la massa e g l accelerazione gravitazionale. La seconda forza è la resistenza idraulica, F b, che è data da: F b = bv 2, (20.18) dove b è il coefficiente di resistenza idraulica che vale b = 1 2 ρc xa, (20.19) dove C x è il coefficiente di resistenza aerodinamica, A è l area interessata e ρ è la densità del fluido nel quale avviene la caduta. La seconda legge del moto di Newton è m a = F g + F b = m g bv 2, (20.20) ed essendo che alla velocità limite l accelerazione è zero otteniamo la velocità terminale 2 m g v = ρc x A. (20.21) Riportiamo nella tabella 20.1 alcuni valori di velocità limite per oggetti che cadono nell aria Eqn. diff. Newton La seconda legge del moto di Newton vale m dv dt = F g + F b = m g bv 2, (20.22) 191

202 20.5. EQN. DIFF. NEWTON CAPITOLO 20. VELOCITA LIMITE Tabella 20.1: Valori numerici osservati per la velocità limite Oggetto massa area velocità paracadutista 75 kg 0.7 m 2 60 m/s chicco grandine.48 g.79 cm 2 14 m/s pioggia g.13 cm 2 9 m/s e la soluzione di questa equazione differenziale è ( 2 m g g v = ρc x A tanh ρcx A 2m ( g ρc Dato che lim t tanh xa )=1 t otteniamo 2m ) t. (20.23) v = 2 m g ρc x A. (20.24) 192

203 Capitolo 21 Galleria del vento L insieme di apparecchiature di Aerodinamica della Leybold, permette la dimostrazione dei fenomeni fondamentali della meccanica dei fluidi, con riguardo ai loro aspetti fisici e tecnici e alla conferma pratica delle leggi coinvolte. È costituito da numerosi dispositivi separati ma accoppiabili per formare la configurazione prescelta: questa concezione modulare permette un acquisizione passo-passo di tutto l insieme e il suo adattamento ai programmi didattici e ai libri di testo specifici. Nel nostro laboratorio abbiamo il tubo di Venturi, il manometro di precisione ed il canale del vento Tubo di Venturi La legge di BERNOULLI stabilisce una relazione fra la pressione statica p e la velocità di corrente v. Per una corrente senza attrito che si sposta orizzontalmente lungo un tubo di flusso stazionario, tra due posizioni indicate con 0 ed 1, vale la relazione p 0 + ρ 2 v2 0 = p 1 + ρ 2 v2 1. (21.1) Dove p rappresenta la densità del mezzo che forma la corrente. Nell esperimento descritto l aria fluisce in un tubo di VENTURI il cui diametro varia tra 100 mm (alle due estremità ) e 50 mm (nel centro ). Le superfici delle sezioni stanno quindi fra loro come 1:4. Misuriamo la pressione statica p 0 all entrata del tubo e la pressione statica p 1 nel centro del tubo. A causa dell incompressibilità dell aria, che può essere accettata 193

204 21.1. TUBO DI VENTURI CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO senza restrizioni per le velocità di corrente presenti, vale, per le velocità di corrente v 0 e v 1 e per le superfici delle sezioni A 0 e A 1, la relazione: v 0 A 0 = v 1 A 1, (21.2) perchè il prodotto v A rappresenta il volume che fluisce nell unità di tempo attraverso la sezione del tubo. Dalla formula 21.2 segue: p 0 p 1 = ρ 2 (v2 1 v 2 0). (21.3) Se si sostituisce in questa equazione la velocità v 0 con v 0 = v 1 A 1 A 0, (21.4) si può risolvere rispetto alla velocità v 1 (nel centro del tubo ): v 1 = 2(p 0 p 1 ) ρ (1 A2 1 A 2 0 ), (21.5) v 1 può essere calcolato, conoscendo le superfici delle sezioni, con una misura di differenza di pressione. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per calcolare velocità e portata nel tubo di Venturi si può adoperare il programma VENTO Tubo di Venturi-Montaggio Dotare la soffieria ed il tubo di Venturi di ugello da 100 mm e posizionarli orizzontali sul supporto (figura 21.1). Puntellare il tubo di VENTURI con l aiuto di uno zoccolo, di un asta di 25 cm e di un morsetto (figura 21.2). Non stringere completamente la vite. Fissare il manometro di precisione e con l ausilio della livella incorporata disporlo esattamente orizzontale. Collegare il lato a di sovrapressione del manometro di precisione, mediante un tubo, con la prima apertura di misura del tubo di VENTURI ed il lato b di sottopressione con l apertura di misura centrale. 194

205 CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO TUBO DI VENTURI Figura 21.1: Dispositivo sperimentale 195

206 21.2. MANOMETRO CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO Tubo di Venturi-Esecuzione Porre la soffieria al minor numero di giri (arresto di sinistra del potenziometro c dell unità di comando della soffieria) e subito dopo accenderla. Leggere sul manometro la differenza di pressione e annotarla. Importante: per velocità di corrente troppo alte, il liquido manometrico viene aspirato dal tubo di VENTURI e nebulizzato! Riportiamo un esempio di misure: p = p 0 p 1 = 50P a, (21.6) A 1 A 0 = (21.7) Se si pone nella espressione (3) ρ aria = 1.26 Kg/m 3, e calcolando: A 1 = (0.025) 2 π m 2 = m 2, (21.8) otteniamo per la corrente di volume: v 1 A 1 = 0.017m 3 /s = 17l/s. (21.9) 21.2 Manometro Il manometro di precisione è un manometro a pressione differenziale. Con la sonda manometrica permette la misura della pressione statica, della pressione totale e della pressione dinamica nelle correnti di gas. Una seconda scala permette la misura diretta della velocità del vento per misure nell aria. Nella figura 21.3 è riportato un disegno del manometro di precisione dove il significato dei simboli è il seguente: 1.1 Recipiente di riserva per il liquido del manometro. 1.2 Oliva portagomma, 8mm, per versare il liquido nel manometro e per raccordo dei tubi della misura della sovrapressione. 1.3 Scala per la lettura della velocità di flusso: 0-22 m/s, graduata in 1m/s. 1.4 Dado zigrinato per bloccare il manometro dopo la regolazione orizzontale. 196

207 CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO MANOMETRO Figura 21.2: Applicazione del tubo di VENTURI alla soffieria 197

208 21.2. MANOMETRO CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO Figura 21.3: Manometro di precisione 1.5 Oliva portagomma, 8 mm, per il raccordo con i tubi per la misura della depressione. 1.6 Bolla per la regolazione orizzontale del manometro. Scala di pressione:0-310 Pa (cioè mbar), risoluzione 1Pa, graduazione 5 Pa Sonda manometrica Nella figura 21.4 trovate uno schizzo della sonda e riportiamo il significato dei simboli: 2.1 Sonda manometrica per pressione totale; apertura orientata contro il flusso. 2.2 Sonda per pressione statica; apertura orientata perpendicolarmente rispetto alla direzione del flusso. 2.3 Supporto con spina di 4 mm per il fissaggio della sonda sul carrello di misura Misure dei vari tipi di pressione Misura di sovrapressione ( vedi figura 21.5 ): raccordare il tubo all oliva (1.2) e al punto di misura, per esempio il tubo di VENTURI. 198

209 CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO MANOMETRO Figura 21.4: Sonda manometrica Figura 21.5: Montaggio per misure di sovrapressione 199

210 21.3. CANALE DEL VENTO CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO Figura 21.6: Montaggio per misure di depressione Figura 21.7: Montaggio per misure di pressione differenziale Misura di depressione ( vedi figura 21.6):raccordare il tubo all oliva (1.5) e al punto di misura ( la sonda di pressione totale (2.1). Misura della pressione differenziale ( vedi figura 21.7): raccordare le due olive del manometro. Nell esempio rappresentato, l oliva (1.2) è collegata alla sonda di pressione totale, l oliva (1.5) con la sonda per la pressione statica. Il manometro indica allora la differenza fra la pressione totale e la pressione statica: la pressione dinamica Misure della velocità di flusso Procedere come per la misura della pressione differenziale (caso precedente); ora bisogna però leggere la scala delle velocità di flusso (1.3) del manometro o, cosa più esatta, calcolare la velocità di flusso a partire dalla pressione dinamica p, letta sulla scala delle pressioni (1.7): v = 2 p/ρ. (21.10) 21.3 Canale del vento Abbiamo un percorso di misura chiuso con pareti laterali trasparenti e fondo intercambiabile per esperimenti quantitativi di aerodinamica e fisica del volo in unione con la soffieria. L apertura aspiratrice del canale è fatta in modo che non si produca turbolenza e l uscita è dimensionata per accoppiarsi alla soffieria. Inserendo sul fondo un cuneo 200

211 CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO CANALE DEL VENTO Figura 21.8: Montaggio per la legge di Bernulli denominato rampa di Bernulli, vedi figura 21.8, possiamo studiare l aumento di velocità ( caduta di pressione ) connesso con il restringimento della sezione. Dobbiamo quindi verificare l equazione della portata in vari punti leggendo l area sulle tacche della rampa e la velocità sul manometro di precisione Coefficiente di resistenza Come resistenza dell aria è indicata la forza F w che un corpo incontra in una corrente d aria omogenea ( velocità dell aria v) parallelamente al flusso d aria: F w = ρ 2 v2 c w A. (21.11) Dove: A= superficie della sezione del corpo perpendicolare alla direzione dell aria, ρ= densità dell aria = 1.23 kg m 3. La costante di proporzionalità c w è indicata come coefficiente di resistenza e dipende dalla forma del corpo. Nell esperimento seguente 201

212 21.3. CANALE DEL VENTO CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO Figura 21.9: Dispositivo sperimentale per il coefficiente di resistenza la velocità v e la pressione dinamica p din = ( 1 2 )ρv2 sono misurate mediante una sonda di pressione e F w mediante un dinamometro; c w viene calcolato da F w,a,ρ e v da F w,a e p din Montaggio per il coefficiente di resistenza Montare gli apparecchi come è indicato nella figura Procedere nel modo seguente. Fissare l asta nel piede di supporto. Disporre poi l apertura con diametro d=150 mm sul lato pressione e la rete di protezione sul lato aspirazione della soffieria. Porre la soffieria sul piede in modo che la vite di fissaggio sul perimetro dell apertura stia verso l alto. Fissare la rotaia-guida (1) mediante la vite di fissaggio alla soffieria e mediante il morsetto a pinza dell asta di sostegno; orientare la guida parallelamente all asse della soffieria. Dotare il carrello di misura di gancio di attacco e supporto ad angolo per il corpo (2) e porlo sopra la rotaia. Disporre orizzontale la rotaiaguida spostando il morsetto a pinza. Controllo: il carrello posto sulla rotaia non deve mettersi in moto da solo. Fissare all inizio della rotaia il cavaliere a molla, inserirvi il dinamometro a settore e porre il suo indice a zero. Attaccare l occhiello spostabile del filo del dinamometro nel gancio del carrello. Fissare il manometro con l aiuto di un morsetto LEYBOLD sull asta di sostegno 202

213 CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO CANALE DEL VENTO Tabella 21.1: Tabella delle misure Corpo F w /N disco circolare sf era semisf era 0.28 corpo aerodinamico, parte appiattita avanti 0.03 corpo aerodinamico, parte appuntita avanti e mediante la livella disporlo esattamente orizzontale. Collegare la sonda di pressione, con due tubi, al manometro in modo che questo indichi la pressione dinamica: ovverosia la sonda di pressione totale è in (a) e la sonda per la pressione statica è in (b). Indicazione del manometro: p = p tot p stat = p din, (21.12) dove p stat =pressione statica e p din =pressione dinamica Esecuzione Disporre la soffieria al massimo numero di giri e accenderla. Per ogni misura disporre prima il corpo sul supporto ad angolo. Portare poi il carrello di misura vicino all apertura in modo che la resistenza abbia circa 20 cm di distanza dall apertura. Leggere la resistenza del dinamometro a settore e annotarla. Eseguire la misura per ogni corpo con diametro di 56 mm; un tpico esempio di misure è riportato nella tabella Dopo la fine della serie di misure lasciare inserita la soffieria, togliere il supporto ad angolo dal carrello e porre sul carrello la sonda di pressione. Determinare la pressione dinamica p e leggere sulla scala superiore del manometro la velocità v dell aria. Misura della pressione dinamica: p = 92 Pa, v= 12.3 m/sec Valutazione e risultato Dall equazione precedente per F w, risolvendo rispetto a c w : 203

214 21.3. CANALE DEL VENTO CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO Tabella 21.2: Coefficienti di resistenza Corpo c w (osservato) c w (teorico) disco circolare sf era semisf era corpoaerodinamico, parte appiattita avanti corpoaerodinamico, parte appuntita avanti Per l equazione di Bernulli: c w = 2F w ρv 2 A. (21.13) p stat ρv2 = p tot, (21.14) vale p = p tot p stat = p din = 1 2 ρv2. (21.15) La densità dell aria e la velocità v della corrente d aria possono essere sostituite in (2) dalla pressione dinamica : c w = F w p din A. (21.16) Introduciamo le forze misurate secondo la tabella 21.1 e le note superfici delle sezioni A = (0.056/2) 2 πm 2 = m 2, (21.17) ed otteniamo i coefficienti di resistenza nella tabella 21.2 che segue. Nell ultima colonna della tabella 21.2 sono riportati per confronto i valori della letteratura. Le misure sui corpi aerodinamici sono in buon accordo con i valori della letteratura, nei limiti della precisione delle misure. Gli scostamenti per i corpi aerodinamici sono da ricondurre alla loro superficie non perfettamente liscia, alla turbolenza della corrente 204

215 CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO ALA Figura 21.10: I tre dischi circolari del laboratorio d aria e agli scostamenti dalle forme aerodinamiche ideali. Le forze quì misurate sono inoltre al limite inferiore del potere risolutivo del dinamometro impiegato e sono di poco maggiori delle forze di attrito nel carrello e nel dinamometro. Sfruttando la disponibilità di dischi circolari con diametro crescente ( vedi foto 21.10) possiamo plottare l andamento del coefficiente di resistenza con l aumentare dell area Ala La forza F w, che una corrente d aria esercita sopra un ala (forza dell aria), si può decomporre in due componenti. La componente parallela alla direzione della corrente è indicata come resistenza F w, la componente verticale è indicata come portanza F a ( vedi figura ). Le due componenti dipendono dall angolo di incidenza, cioè dall angolo α fra la direzione della corrente e la tangente al lato inferiore dell ala ( vedi figura ). Nell esperimento, per velocità della corrente d aria costante, sono misurate F w ed F a in funzione dell angolo α. Se si riporta F a in funzione di F w (parametro della curva α), si ottiene la cosiddetta POLARE dell ala studiata, dalla quale si possono avere importanti dati sulle proprietà del volo del profilo impiegato. 205

216 21.4. ALA CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO Figura 21.11: Forza sopra un ala in corrente d aria Montaggio profilo polare ala Montare il canale del vento con la soffieria come indicato nella figura Far scivolare la soffieria nel diffusore (1) del canale del vento in modo che durante l esperimento l aria sia aspirata attraverso il canale del vento. Prestare attenzione che davanti all ugello di aspirazione e dietro la soffieria rimanga uno spazio libero di circa 1m, in modo che l aria possa essere aspirata dal canale senza andamento vorticoso. Eseguire l esperimento senza il setaccio. Fissare con l aiuto delle quattro viti, il piano (2) al disotto del cofano di plexigas. Fissare con le spine sul carrello dell accessorio (1) la bilancia di spinta (3). Dotare il carrello di gancio e porlo sopra la rotaia, sul canale del vento. Regolando le viti sul fondo dell ugello di aspirazione (4) disporre orizzontale il segmento di misura. Criterio: il carrello non si pone più in movimento da solo. Inserire a spine il dinamometro a settore sulla porta di ingresso (5) e porre a zero l indice. Attaccare l occhiello spostabile del filo del dinamometro al gancio del carrello e spostarlo sul filo in modo che il carrello rimanga approssimativamente al centro del percorso di misura. Inserire l ala nel canale del vento attraverso l ugello di aspirazione. Inserire le aste di supporto nelle fenditure del cofano di plexigas. Con la molla, della fornitura dell accessorio di misura, prendere l ala alla superficie in modo che le aste di supporto passino nei fori della molla ( vedi figura 21.13). Innalzare un poco il carrello assieme alla bilancia di spinta e far 206

217 CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO ALA Figura 21.12: Dispositivo per misure di un profilo alare passare le aste di supporto dell ala, dal disotto, attraverso le apposite aperture del carrello. Porre nuovamente il carrello sulla rotaia senza lasciar libera l ala. Introdurre le aste di supporto nel blocco di attacco delle slitte di plexigas nella bilancia di spinta e stringere prudentemente le viti a testa zigrinata del blocco di attacco in modo che l ala sia appesa alla bilancia di spinta. Togliere la molla di sostegno (3) Regolazione Appendere con una mano l ala, attraverso l ugello di entrata del canale del vento, con l altra mano allentare di nuovo le viti del blocco di attacco e regolare l ala, in modo che le punte delle aste di sostegno vadano a coprire il segno zero della scala dell angolo di incidenza sulla slitta di plexigas. Stringere di nuovo le viti a testa zigrinata, fino a che lo spigolo posteriore dell ala indichi esattamente lo zero della scala Annotazione Per la regolazione dell angolo di incidenza, durante la serie di misure, allentare sempre solo le viti a testa zigrinata anteriori del blocco di attacco nella bilancia di spinta!allentando le viti posteriori va persa la regolazione! 207

218 21.4. ALA CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO Figura 21.13: Montaggio dell ala sulla bilancia di spinta (1) vite a testa zigrinata anteriore (2) vite a testa zigrinata posteriore (3) pinza di supporto (4) carrello di misura 208

219 CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO ALA Prima dell inizio delle misure tagliare due striscie di carta (lunghezza 30 cm ciascuna e larghezza 30 mm) Esecuzione Regolare a 15 l angolo di incidenza, allentando le viti anteriori del blocco di attacco e ribaltare in corrispondenza l ala, in modo che lo spigolo posteriore dell ala tocchi il segno dei 15 della scala dell angolo di incidenza. Stringere poi di nuovo le viti a testa zigrinata e levar fuori la scala dal canale del vento. Accendere la soffieria e regolarla in modo che che sia indicata sul dinamometro a settore una resistenza di 0.5 N. Porre le due striscie di carta sulle fenditure del cofano di plexigas e spingerle fino sotto il carrello in modo che non tocchino le aste di supporto dell ala. Si impedisce così che l aria sia aspirata attraverso le fenditure del cofano di plexigas (lasciare una distanza di circa 5 mm). Durante lo svolgimento della misura controllare la posizione delle striscie di carta e, se è il caso, regolarla nuovamente. Iniziando con 15 misurare la resistenza e la spinta. Diminuire per gradi l angolo di incidenza e ogni volta ripetere le misure. Regolare l angolo di incidenza sempre con velocità dell aria nulla (Distaccare dalla rete la soffieria; non variare più la posizione del potenziometro per la regolazione della velocità dell aria; togliere dal canale del vento, durante la misura della forza, la scala per la misura dell angolo di incidenza). Prima di ciascuna misura della forza attendere almeno 30 s dopo l accensione della soffieria, cioè fino a che la soffieria abbia raggiunto il numero finale di giri Valutazione e risultato La figura mostra la polare del profilo alare impiegato (F a in funzione di F w ). Evidentemente il profilo alare impiegato genera anche per angoli di incidenza negativi una forza di spinta Annotazione F w > 0 e (F a /F w ) > 0. (21.18) Per angoli maggiori di 10 compare un errore. L inclinazione della polare e la forza di spinta, in questo campo angolare sono influenzate dal 209

220 21.4. ALA CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO Figura 21.14: F a in funzione di F w ; parametro della curva : angolo di incidenza α 210

221 CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO ALA canale del vento la cui larghezza, per questi angoli di incidenza, è sensibilmente bloccata dal profilo alare in modo che i valori misurati per resistenza e spinta risultano più grandi. L inclinazione di un diagramma polare reale è minore nel campo angolare α > 10 ; il diagramma polare si avvicina ad un massimo (per lo più α uguale a ). Dall analisi del diagramma polare risulta quale forma dovrebbe avere un profilo alare per ottenere il minor quoziente possibile F w /F a, per un determinato angolo di incidenza α. Per il diagramma polare devono essere riportati, al posto di F a e F w il coefficiente di spinta c a e il coefficiente di resistenza c w. Poichè F a = ρ 2 c av 2 A e F w = ρ 2 c wv 2 A, (21.19) dove A=superficie alare e ρ=densità dell aria. Questa è una leggenda equivalente degli assi e in particolare non varia la forma della polare. 211

222 21.4. ALA CAPITOLO 21. GALLERIA DEL VENTO 212

223 Capitolo 22 Lunghezza Focale 22.1 Convergente Gli obbiettivi sono 1. verifica del comportamento di una lente sottile convergente, al variare della posizione dell oggetto rispetto alla lente 2. misura con due dversi metodi, della lunghezza focale di due lenti Abbiamo un banco ottico composto da una guida graduata su cui possono scorrere, per essere posizionati a piacere, un oggetto luminoso (una frecciolina di una certa lunghezza, illuminata da una lampadina), un sostegno cui applicheremo una lente biconvessa e uno schermo su cui raccogliere la luce che forma l immagine. Le distanze fra i vari elementi sono variabili e misurabili. Chiamiamo f la lunghezza focale, p la distanza lente oggetto e q la distanza lente immagine. Ricordiamo innazi tutto che una lente sottile biconvessa di vetro in aria ( n >1 ) funziona come 1. lente convergente, quando l oggetto è posto a monte del fuoco F 1 (>f) 2. lente d ingrandimento quando l oggetto è posto tra lente e fuoco (p <f) Un oggetto nel fuoco F 1 dà un immagine a distanza infinita. Nel primo caso l immagine è sempre reale e capovolta e risulta 213

224 22.2. PROCEDIMENTO CAPITOLO 22. LUNGHEZZA FOCALE 1. rimpicciolita quando l oggetto è a distanza (p > f) dalla lente 2. grande come l oggetto per p = f 3. ingrandita per (p < 2f) Nel secondo caso invece l immagine è sempre diritta, virtuale ed ingrandita. Questo comportamento si comprende considerando l equazione delle lenti 1 p + 1 q = 1, (22.1) f e l equazione che dà l ingrandimento lineare, definito per il caso p > f come G = y y = q f f = f p f (22.2) 22.2 Procedimento 1. Montare una delle lenti in dotazione e verificare che il comportamentoè quello descritto in precedenza 2. Con entrambe le lenti in dotazione, eseguire la misura della lunghezza focale secondo i due metodi di seguito elencati (a) Misura con oggetto e immagine al finito Con una data lente, si posizioni via via l oggetto a diverse distanze dalla lente e utilizzando il piccolo schermo del banco ottico si determini la posizione dell immagine (la frecciolina immagine deve apparire a fuoco e capovolta). Si costruisca una tabella con le misure effettaute, in cui inserire anche f, calcolato ogni volta con l equazione delle lenti. Si rifletta se i valori trovati per f sono tra loro compatibili, tenendo presente che in questa misura grossolana l errore maggiore che si fa è nella valutazione della corretta focalizzazione dell immagine sullo schermo. Possiamo dunque attenderci valori variabili, entro diciamo 5 mm. 214

225 CAPITOLO 22. LUNGHEZZA FOCALE CONV + DIV (b) Misura con ingrandimento unitario Si opera in successione, con le due lenti in dotazione. Ci si pone, operando per tentativi, nelle condizioni in cui l ingrandimento è unitario : questo accade evidentemente quando q f = f, ossia q = 2f, e f = p f, ossia p = 2f = q. Si noti che ciò significa anche p + q = a = 4f, dove a rappresenta la distanza totale fra oggetto e immagine. Allora basta misurare a quando G=1 de dividerlo per 4 per avere la misura di f. 3. Infine confrontare i valori di f ottenuti, per ciascuna lente, coi due metodi. Si noti che la misura con ingrandimento unitario è la meno soggetta ad errori delle due che sono state proposte, perchè consente di misurare soltanto a. Nel caso in cui si cercasse di effettuare una misura raffinata delle lunghezze coinvolte, infatti bisognerebbe tener conto che la misura di q è più problematica. Ciò si deve la fatto che i ed o andrebbero misuate dal centro ottico della lente, che non è un oggetto materiale facilmente identificabile ma un ente geometrico. Quindi all errore già commesso nel trascurare lo spessore della lente va ad aggiungersi quello dovuto all imprecisa localizzazione del centro ottico : si noti che la lente ha due raggi di curvatura diversi, tale centro non cade a metà dello spessore! Conv + div Consideriamo adesso un sistema composto da una lente convergente più una divergente poste ad una distanza d. Considerimao il caso in cui sia f 1, il fuoco della prima lente, sia f 2, il fuoco della seconda lente siamo maggiori di d, vedi figura Il sistema della prima lente sara caratterizzato da 1 p q 1 = 1 f 1. (22.3) È quindi utile calcolare q 1 considerando la prima lente da sola. Il sistema della seconda lente sara caratterizzato da 1 p q 2 = 1 f 2. (22.4) 215

226 22.3. CONV + DIV CAPITOLO 22. LUNGHEZZA FOCALE Figura 22.1: Schema della lente convergente + divergente Il problema si risolve assumendo che p 2 = d q 1. Il valore di f 2 è Il guadagno totale, G T, sarà G T = G 1 G 2 = f 2 = (d q 1)q2 q 2 + d q 1. (22.5) f 1 q 2 d(p 1 f 1 ) f 1 p 1. (22.6) 216

227 Capitolo 23 Reticolo di diffrazione 23.1 Scopo dell esperienza 1. osservazione sperimentale delle caratteristiche delle frange di diffrazione prodotte da vari reticoli di passo diverso ; 2. misura della lunghezza d onda di una luce monocromatica 23.2 Dispositivo Sperimentale Si dispone di tre tipi di reticolo, rispettivamente con N 1 =100, 200 e 600 linee/mm. I tre reticoli hanno dunque anche una distanza d tar le fenditure diversa ; questo perchè d 1 N 1. Il reticolo viene appoggiato su un supporto girevole. La luce monocromatica per l esperimento (di colore rosso) è costituita da un raggio laser (fascio coerente). ATTENZIONE : NEL CORSO DI QUESTO ESPERIMENTO NON GUARDARE DIRETTAMENTE NEL FORO DI USCITA DEL LA- SER! QUESTO PUÒ CAUSARE LESIONI OCULARI! Parte della luce lase incidente sul reticolo viene trasmessa e forma frange di interferenza a valle del reticolo stesso, che vengono poi osservate su uno schermo o su un muro bianco. Parte di essa viene però riflessa all indietro; pertanto il reticolo forma frange di diffrazione per riflessione anche nello spazio a monte. Il massimo centrale di diffrazione di tale luce riflessa viene utilizzato per verificare la perpendicolarità tra fascio piano del reticolo, come descritto più avanti. 217

228 23.3. LEGGE FISICA CAPITOLO 23. RETICOLO DI DIFFRAZIONE 23.3 Legge Fisica Figura 23.1: Il reticolo di diffrazione La posizione angolare delle frange luminose sullo schermo di raccolta è data da dsin(θ) = mλ, (23.1) dove λ è la lunghezza d onda della luce impiegata ed m è l ordine del massimo, vedi Figura Procedimento 1. Innanzi tutto si fa in modo che il piano del reticolo risulti perpendicolare al fascio luminoso emesso dal laser. Per ottenere la desiderata perrpendicolarità si fa preliminarmente ruotare il supporto del reticolo fino aquando il massimo principale della figura di diffrazione, formata per riflessione va a cadere appena sopra o sotto il foro di uscita del raggio laser. La luce della figura di diffrazione per trasmissione viene raccolta su uno schermo facendo in modo che il raggio sia centrale sia perpendicolare ad esso, vedi Figura Si osservano poi le figure di diffrazione al variare di N 1 e quindi d. 218

229 CAPITOLO 23. RETICOLO DI DIFFRAZIONE PROCEDIMENTO Figura 23.2: La figura di diffrazione Si vede bene che i massimi di un determinato ordine variano, cambiando reticolo, la loro distanza dal massimo centrale, in accordo con la legge fisica che da loro una posizione angolare rispetto al massimo centrale. 3. Scelto un reticolo, la misura dell angolo θ si effettua misurando le lunghezze y ed L con un metro. Si ripete la misura dall altro lato; le misure dovrebbero essere al massimo differente di 1 mm, l errore del metro. Poi si calcola θ = atan y L. (23.2) Si noti che L può essere scelto a piacere perchè aumentando L aumenta anche y, ma il valore di θ resta inalterato. Applicando infine la formula dsin(θ) = λ, (23.3) valida per l ordine m=1 di cui si è osservata la posizione del massimo ) si ottine una misura assoluta della lunghezza d onda emessa dal laser. Si ripete per m=1,3, etc ; il risultato deve essere circa lo stesso per ogni ordine 4. Si rifà la misura con gli altri due reticoli : è chiaro che λ deve risultare la stessa nei tre casi 219

230 23.4. PROCEDIMENTO CAPITOLO 23. RETICOLO DI DIFFRAZIONE Tabella 23.1: Tipiche lunghezze d onda Nome lunghezza d onda[ Å] Laser mocromatico blu 4050 Luce bianca massima sensibilita occhio giorno 6000 massima sensibilita occhio notte 5000 Riportiamo in Tabella 23.1 alcune lunghezze d onda tipiche. 220

231 Appendice A Unità di misura Nei vari sistemi di unità di misura esistenti la scelta delle unità di misura è completamente arbitraria, ma deve rispettare certi criteri di convenienza e di praticità, quale per esempio di adottare unità che non siano nè troppo grandi nè troppo piccole da imporre poi nei calcoli l uso di troppi prefissi, di multipli o sottomultipli; questo criterio non è però strettamente applicabile, in quanto molto spesso si deve tener conto della possibilità di costruire un campione dell unità adottata. Premettiamo alla trattazione dei sistemi di unità di misura una serie di definizioni. Un sistema di unità di misura si dice completo quando in esso è definito un numero di unità di grandezze fondamentali sufficiente a rappresentare quantitativamente tutti i fenomeni osservabili. Un sistema di unità di misura si dice assoluto quando le unità in esso adottate sono invariabili in ogni tempo e luogo e sono definite teoricamente senza alcun riferimento a definizioni sperimentali. Le unità di un tale sistema vengono dette assolute. Un sistema di unità di misura si dice coerente quando il prodotto o il quoziente di più unità di tale sistema forniscono una nuova unità il cui valore è sempre unitario. Un sistema di unità di misura si dice decimale quando i multipli ed i sottomultipli delle sue unità sono scelti secondo le potenze del 10. Un sistema di unità di misura si dice razionalizzato quando i coefficienti numerici che compaiono nelle leggi vengono scelti in modo che l irrazionale π appaia soltanto in formule relative a configurazioni circolari, sferiche o cilindriche e non in quelle relative a configurazioni piane; 221

232 A.1. I SISTEMI MKS APPENDICE A. UNITÀ DI MISURA Figura A.1: Foto del metro campione nel laboratorio Figura A.2: La barra di platino-iridio utilizzata come campione del metro dal 1889 al la razionalizzazione si rende in particolar modo necessaria nell unità dell elettromagnetismo. Per maggiori dettagli consultare [Fazio 1995]. A.1 I sistemi mks Il sistema mks trae il proprio nome dalle iniziali delle tre unità di misura delle grandezze meccaniche in esso adottate: il metro (m) per la lunghezza, il kilogrammo (kg) per la massa e il secondo (s) per gli intervalli di tempo. Riportiamo in Figura A.1 una fotografia del metro campione esistente in laboratorio ed in Figura A.2 la barra campione del metro depositata presso l Ufficio internazionale dei pesi e delle misure a Sevres, in Francia. Il chilogrammo è la massa di un particolare cilindro di altezza e diametro pari a 0,039 m di una lega di platino-iridio depositato presso 222

233 APPENDICE A. UNITÀ DI MISURA A.2. IL SISTEMA CGS Figura A.3: Foto del kilogrammo campione l Ufficio internazionale dei pesi e delle misure a Sevres, in Francia, vedi Figura A.3. Tale sistema è ovviamente incompleto, assoluto e razionalizzato. Dato che esso non poteva descrivere tutte le grandezze, mancando l unità di misura di una grandezza fondamentale elettrica o magnetica, ne sono state fatte successive estensioni introducendo una quarta unità: a seconda che la quarta grandezza fondamentale fosse la carica elettrica (unità di misura: coulomb, C), la resistenza elettrica (unità di misura: ohm, Ω) o intensità di corrente elettrica (unità di misura: Ampere, A ) vennero introdotti i tre sistemi mksc, mksω ed mksa. In pratica l ultimo, completato con le tre unità di temperatura (kelvin, K ), di intensità luminosa (candela, cd ) e di quantità di sostanza (mole, mol ), è quello che va sotto il nome di Sistema Internazionale. Le unità dei tre sistemi mksc, mksω ed mksa sono perfettamente coincidenti in quanto esse differiscono l uno dall altro soltanto per la scelta della grandezza elettrica fondamentale da associare alle tre grandezze meccaniche. A.2 Il sistema cgs È un sistema assoluto basato sull adozione delle tre grandezze meccaniche fondamentali (lunghezza, massa, intervallo di tempo ), cui sono associate rispettivamente come unità di misura: il centimetro (cm), il 223

234 A.2. IL SISTEMA CGS APPENDICE A. UNITÀ DI MISURA grammo (g) e il secondo (s), dalle cui iniziali esso trae il nome. Esso fu proposto su suggerimento di Lord Kelvin dall Associazione Britannica per il Progresso delle Scienze (1873 ) e adottato nel 1881 al I Congrsso Internazionale di Elettricità. Tale sistema è incompleto, in quanto non comprende grandezze elettriche nè magnetiche ed è perciò adatto solo per la rappresentazione di fenomeni meccanici. L estensione alla rappresentazione dei fenomeni elettromagnetici è stata fatta con l adozione dei sistemi cgs es (elettrostatico ) e cgs em (elettromagnetico) ai quali rimandiamo. L unità di velocità è il cm/s; l unità di accelerazione, il cm /s 2, detta anche gal (Gal). L unità di forza è la dina (simbolo dyn ), definita come quella forza che, applicata ad un corpo di massa 1 g, gli conferisce un accelerazione di 1 cm /s 2 nella stessa direzione di applicazione della forza; per la seconda legge della dinamica (F = ma ) avremo perciò 1 dyn = 1 g 1cm/s 2. (A.1) L unità di lavoro è l erg, definito come il lavoro compiuto dalla forza di 1 dyn per spostare un corpo di 1 cm nella stessa direzione di applicazione della forza; per la definizione di lavoro sarà perciò 1 erg = 1 dyn 1cm. (A.2) L erg è anche l unità di misura dell energia nel sistema cgs. L unità di misura della potenza è ergs; quella della massa volumica g/cm 3 ; quella della pressione, sarà dyn/cm 2, chiamata anche baria. L unità di quantità di moto, g cm /s; l unità di momento meccanico, dyn cm; l unità di momento della quantità di moto (o momento angolare ) erg s; l unità di portata di volume, cm 3 /s, mentre quello di portata di massa è g/s. L unità di viscosità dinamica, dalla legge di Newton che definisce il coefficiente di viscosità η (F = η A dv/dx), risulta essere g / (cm s ), chiamata poise (P), mentre l unità di viscosità cinematica ν, definita dalla relazione: ν = η/ρ, con ρ massa volumica del fluido, è cm 2 /s, chiamata stokes (St). Per quanto riguarda i fenomeni termici, il sistema cgs adotta altre due unità, il grado Celsius ( 0 C) per la temperatura e la caloria (cal) per la quantità di calore. La caloria (o piccola caloria è invece definita come la quantità di calore che si deve fornire alla massa di 1 g di acqua distillata per portarne la temperatura da 14.5 a C. Pertanto nel sistema cgs l unità di calore specifico sarà cal/ (g 0 C); l unità di capacità termica, cal / 0 C; l unità di calore latente, cal/ g; 224

235 APPENDICE A. UNITÀ DI MISURA A.3. NOTA SULLA CALORIA l unità di conduttività termica, dalla legge di Fourier che definisce il coefficiente di conduttività termica [λ = (δq)/a(dt/dx)], è cal/(s cm 0 C ). L unità dei vari potenziali termodinamici, che si identificano con delle energie è l erg. Il sistema cgs utilizza tre unità supplementari comuni ad altri sistemi metrici, che sono: il radiante (rad), unità di angolo piano; lo steradiante (sr), unità di angolo solido; la mole (mol), unità di quantità di sostanza. Per la loro definizione ufficiale si rimanda il lettore ad uno dei prossimi paragrafi. A.3 Nota sulla caloria In effetti la caloria è oggi un unità poco usata, in quanto si tende a sostituirla con l erg o con il joule e ciò in base alla ormai acquisita nozione che il calore è una forma di energia interna dei corpi e quindi misurabile in unità di energia. Sono state proposte dal 1934 ad oggi vari tipi di caloria: la caloria a 15 0 C, ovvero quella definita nel paragrafo precedente, tale che: 1 cal 15 = ( ± )J, (A.3) adottata nel 1934 dall Unione Internazionale di Fisica Pura e Applicata e successivamente anche dal Comitato Internazionale Pesi e Misure nel 1960; chiamata anche piccola caloria o grammo caloria ; la caloria termochimica, definita come: 1 cal tc = J ; (A.4) la caloria internazionale, adottata nel 1956 alla 5 a Conferenza Internazionale sulle Proprietà dei Vapori e definita come: 1 cal IT = J ; (A.5) quest ultimo valore è quello oggi più comunemente usato, anche se la direttiva CEE del 27 luglio 1976 ha vietato l uso di tutto le calorie a partire dal 1 gennaio

236 A.4. IL SISTEMA TECNICO APPENDICE A. UNITÀ DI MISURA A.4 Il sistema tecnico Chiamato anche sistema degli ingegneri o sistema gravitazionale, è un sistema metrico, non assoluto, non coerente e incompleto che assume come grandezze fondamentali la lunghezza, la forza e gli intervalli di tempo e adotta come unità di misura rispettivamente il metro, il kilogrammo-forza (o kilogrammo-peso ) e il secondo. Il kilogrammo-forza (kgf) è definito come quella forza che, applicata a un corpo massa 1 Kg, gli imprime un accelerazione pari a quella di gravità campione, fissata in m/s 2. Sarà, come è facile ricavare: 1 Kgf = N. (A.6) In tale sistema di conseguenza, l unità di massa è un unità derivata; essa viene indicata con u m e vale kg. L unità di lavoro e di energia è il kilogrammetro (kgf m, più raramente kgm ), definito come 1 Kgf 1 m e pari a J. L unità di potenza è il kgf m/s, del quale è molto usato un multiplo chiamato cavallo vapore (CV), definito esattamente come 75 kgf m/s = W. L unità di pressione è il Kgf /m 2, corrispondente al millimetro d acqua (mmh 2 O). Pe ricavare i fattori di conversione fra le unità tecniche e le corrispondenti unità degli altri sistemi basta tener presente che 1 Kgf = N, 1 u m = kg, che si ricavano entrambe dalla seconda legge della dinamica, se si ricorda che mentre la forza di 1 N accelera la massa di 1kg accelerazione di 1m/s 2, la forza di 1 kgf le imprime invece un accelerazione di 1 m/s 2, la forza di 1 kgf le imprime invece un accelerazione di m/s 2. A.5 Il sistema SI La XI Conferenza Generale di Pesi e Misure, tenutasi a Parigi dall 11 al 20 ottobre 1960, considerata la Risoluzione 6 a della X CGPM, con la quale essa ha adottato le sei unità che devono servire di base per l istituzione di un sistema pratico di misura per le relazioni internazionali, considerata la Risoluzione 3 a adottata dal Comitato Internazionale Pesi e Misure nel 1956, considerate le Raccomandazioni adottate dal CIPM 226

237 APPENDICE A. UNITÀ DI MISURA A.5. IL SISTEMA SI nel 1958, concernenti l abbreviazione del nome di questo sistema e i prefissi per la formazione dei multipli e sottomultipli delle unità. DECIDE: 1. Il sistema metrico fondato sulle sei unità di misura base di cui sopra è designato con il nome di Sistema Internazionale di Unità 2. L abbreviazione internazionale di detto sistema e SI Il Sistema Internazionale, adottato con il documento della XI CG- PM di cui sopra e completato dalla XIV CGPM (1971), alla XV CGPM (1975), alla XVI CGPM (1979 ) e alla XVII CGPM (1983) con alcune nuove adozioni e modifiche di precedenti definizioni, è fondato sulla adozione di sette grandezze fondamentali: le quattro del sistema mksa razionalizzato, o sistema Giorgi, e cioè la lunghezza, la massa, gli intervalli di tempo, l intensità luminosa e la quantità di sostanza. Le corrispondenti unità di misura vengono così definite: lunghezza: il metro (m) ovvero la distanza percorsa nel vuoto dalla luce nell intervallo di tempo di (1 / ) s. massa: il kilogrammo (kg) ovvero la massa del prototipo di platinoiridio, depositato presso il Bureau International des Poids et Mesures, nei sotteranei del padiglione di Breteuil, a Sevres. tempo: il secondo(s), ovvero la durata di oscillazioni della radiazione emessa dall atomo di Cesio 133 ( 133 Cs) nello stato fondamentale 2S 1/2 nella transizione dal livello iperfine F=4, M=0 al livello iperfine F=3, M=0. corrente elettrica: l Ampere (A), ovvero la corrente elettrica costante che, fluendo in due conduttori rettilinei, paralleli, indefinitamente lunghi, di sezione circolare trascurabile, posti a distanza di 1 m nel vuoto, determina fra essi una forza di N per metro di conduttore. temperatura: il Kelvin (k), ovvero la frazione di 1 / della temperatura termodinamica del punto triplo dell acqua. intensità luminosa: la candela (cd) è l intensità luminosa in una data direzione di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza Hz e la cui intensità energetica in tale direzione è di (1/683) W/sr. 227

238 A.6. PREFISSI NEL SI APPENDICE A. UNITÀ DI MISURA sostanza: la mole (mol), ovvero la quantità di sostanza di un sistema che contiene tante unità elementari quanti sono gli atomi in Kg di carbonio 12 ( 12 C). Accanto alle sette unità fondamentali vengono definite nel SI due unità supplementari, il radiante e lo steradiante: angolo piano: il radiante (rad), ovvero quell angolo piano con il vertice nel centro della circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. angolo solido: lo steradiante (sr) ovvero quell angolo solido con il vertice nel centro della sfera che sottende una calotta sferica la cui area è uguale a quella di un quadrato con lati uguali al raggio della sfera. A.6 Prefissi nel SI Questi prefissi (vedi tabella A.1) sono adoperati per indicare multipli o sottomultipli delle unità di base, eccetto che per le unità di massa che sono formate applicando il prefisso al simbolo g: esempio Mg e non kkg e mg e non µkg.solamente un singolo prefisso è permesso. Usate ns piuttosto che mµs, pf piuttosto che µµf,gw piuttosto che kmw. 228

239 APPENDICE A. UNITÀ DI MISURA A.6. PREFISSI NEL SI Tabella A.1: Tabella dei prefissi f attore pref isso simbolo f attore pref isso simbolo f attore pref isso simbolo f attore pref isso symbolo 10 1 deka da 10 1 deci d 10 2 hecto h 10 2 centi c 10 3 kilo k 10 3 milli m 10 6 mega M 10 6 micro µ 10 9 giga G 10 9 nano n tera T pico p peta P femto f exa E atto a zetta Z zepto z yotta Y yocto y 229

240 A.6. PREFISSI NEL SI APPENDICE A. UNITÀ DI MISURA 230

241 Appendice B I programmi Nell arco di alcuni anni sono stati sviluppati alcuni programmi per l elaborazione dei dati che si sono rivelati utilissimi per il controllo e la stesura delle relazioni. Riportiamo qui di seguito il nome e lo scopo di quelli più usati. Ricordiamo che questi programmi funzionano solo su PC e sono stati copiati sulla directory CYBER dei vari PC esistenti nei laboratori. Funzionano anche in ambiente WINDOW e possono essere scaricati sotto forma di archivio zippato dal seguente indirizzo INTERNET \ ZANINETT seguendo il percorso studenti programmi. * Questi programmi funzionano su processori 286,386,486,PENTIUM * in 1 ) MS-DOS sistema operativo di compilazione ## 2 ) WINDOWS, WINDOWS95, WINDOWS NT su finestra MS-DOS ## Ma deve essere presente il chip del COPROCESSORE MATEMATICO! === interpolazione lineare => C:\> retta per l interpolazione di dati con una retta => C:\> rettxy per la retta con errori sulle x e sulle y => C:\> rettam per la retta minimizzando gli scarti assoluti === interpolazione quadratica e polinomio => C:\> parabo per il fit tramite un polinomio di secondo grado => C:\> parab2 fit tramite un polinomio y = a + c x**2 => C:\> polin per il fit tramite un polinomio di grado ennesimo 231

242 APPENDICE B. I PROGRAMMI === STATISTICA => C:\> campio per trovare i parametri statistici di un campione => C:\> testt per le tabelle della variabile di Student => C:\> testc2 per le tabelle della variabile chi-quadro => C:\> testm per il test di Student sulle medie, modello americano => C:\> masver per calcolo del valor medio e SD tramite il metodo della massima verosimiglianza === argomenti generali => C:\> scrive per scrivere i dati sui files senza editing === Esperienza del CALORIMETRO => C:\> calori per seguire l andamento di T nel calorimetro ma senza transiente => C:\> cx per calcolare il calore specifico dell oggetto incognito, il suo errore e peso degli errori => C:\> me per calcolare la massa equivalente del calorimetro tramite inserzione acqua calda === Esperienza del MODULO di YOUNG => C:\> young per calcolare E dalla retta DELTAX=a+b*M === Esperienza del motore ad aria calda => C:\> rendi per calcolare il rendimento del motore di STIRLING e l errore relativo + peso degli errori === Esperienza della VECCHIA ROTAIA 232

243 APPENDICE B. I PROGRAMMI => C:\> rota1 per discriminare il processo di smorzamento nella rotaia => C:\> rota2 per calcolare la viscosita dell aria dallo smorzamento nella rotaia === Esperienza del VISCOSIMETRO => C:\> gauss per l elaborazione dei dati del viscosimetro => C:\> viscot per valutare la viscosita contro la temperatura nei fluidi e in particolare nell olio === Esperienza del PENDOLO REVERSIBILE => C:\> pendo per l elaborazione dei dati del pendolo tramite il metodo dell intersezione delle parabole => C:\> pendog per ottenere g inserendo periodo, lughezza ed ampiezza + relativi errori === Esperienza della PIATTAFORMA GIREVOLE => C:\> inerz per il calcolo del momento di inerzia della piattaforma girevole === Esperienza BILANCIA DI CAVENDISH => C:\> CAVEN per calcolare G grande con il metodo dell escursione finale, quello completo + metodo della parabola === Esperienza del RAPPORTO CP/CV => C:\> correz per trovare la correzione del barometro FORTIN => C:\> cpcv per calcolare il valore di gamma === Esperienza EQUIVALENTE MECCANICO 233

244 APPENDICE B. I PROGRAMMI => C:\> conduc per calcolare la conducibilita termica esterna h nell esperienza dell equivalente meccanico === Esperienza GRANDE TAVOLA => C:\> aria per calcolare la viscosita dell aria dal decremento della velocita nel caso della GRANDE TAVOLA ad aria : caso del moto rettilineo uniforme === Esperienza GALLERIA DEL VENTO => C:\> vento per calcolare velocita e portata nel tubo di venturi === Esperienza TERMOMETRO A GAS => C:\> termo per calcolare il numero di grammo-molecole e R nell esperienza del termometro a gas NUMERO DEI PROGRAMMI =

245 Appendice C Dati C.1 Costanti Presso l I.M.G., alla quota di 239 m sul livello del mare ( a circa 2.5 m sotto il livello stradale ), il valore di g è misurato nel 2006 g = m s 2 (C.1) Una variazione di un metro, sulla quota verticale, porta ad una variazione di 3 parti sulla settima cifra significativa. Se ci fosse un dislivello di circa +/- 10 m ( tra IMG e IFG) si potrebbe aver dei dubbi sul 4. Per maggiori dettagli consultare [Cerutti et al. 1996]. Concludendo forse basta La costante di gravitazione universale vale invece: G = (67) m 3 kg 1 s 2 (C.2) le cifre fra parentesi danno l incertezza ad una 1-deviazione standard nelle ultime cifre ( ovverosia ) l incertezza in parti per milione è: 128 ppm Per maggiori dettagli consultare [Cohen 1996]. La costante di Boltzmann vale k = joule/ K (C.3) k = erg/ 0 C (C.4) 235

246 C.2. TABELLE APPENDICE C. DATI Tabella C.1: Tabella dei calori specifici Sostanza c p [cal/(g 0 C] a 25 0 Acqua Alluminio Benzolo Rame M ercurio P iombo V etro 0.20 Zolf o NaCl Glicerina 0.57 Neon Aria 0.24 Riportiamo la costante dei gas perfetti R: R = joule/(mole K) (C.5) R = erg/(mole K) (C.6) R = litri atm/(mole K) (C.7) C.2 Tabelle 236

247 APPENDICE C. DATI C.2. TABELLE Tabella C.2: Tabella della conduttività termica Sostanza K [cal/(cm sec 0 C)] a 25 0 Argento 0.98 Rame 0.92 P iombo 0.08 M ercurio 0.02 Sughero lana di roccia acqua legno di larice Tabella C.3: Tabella del modulo di Young M ateriale Densità M odulo di Y oung Limite di rottura dimensioni Kg/m N/m N/m 2 Acciaio AST M A Alluminio V etro Calcestruzzo Legno douglas Osso P olistirene

248 C.2. TABELLE APPENDICE C. DATI Tabella C.4: Tabella delle Viscosità ; a Peso medio (S.A.E. 30) Sostanza viscosità (Ns/m 2 ) Glicerina (20 0 C) 1.5 Olio lubrificante da motore a (0 0 C) 0.11 Olio lubrificante da motore a (20 0 C) 0.03 Sangue (37 0 C) Acqua (20 0 C) Acqua (90 0 C) Benzina (20 0 C) Aria (20 0 C) CO 2 (20 0 C) Tabella C.5: Tabella del valori a e b dei gas Gas a[litri 2 atm/mole 2 ] b[litri/mole] Ar CO He N H2O O SO

249 Appendice D Matematica D.1 Derivate Sotto troverete alcune tabelle di funzioni reali e la loro corrispondente derivata. Regole di Base della derivazione f(x) f(x) + g(x) f(x)g(x) f(x) g(x), g 0 f(g(x)) f 1 (x) df(x) dx = f (x) f (x) + g (x) f (x)g(x) + f(x)g (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) 2 f (g(x))g (x) 1 f (f 1 (x)) D.1.1 Polinomi e potenze f(x) f (x) Dominio di applicazione c R 0 x R x r rx r 1 x R 1 x 2 x > 0 x x x x = x x x 0 239

250 D.1. DERIVATE APPENDICE D. MATEMATICA D.1.2 Esponenziali e funzioni logaritmiche f(x) f (x) Dominio di applicazione exp(x) = e x exp(x) = e x x R a x a x ln a x R 1 ln x x > 0 x x x x x (1 + ln x) x > 0 D.1.3 Funzioni trigonometriche f(x) f (x) Dominio di applicazione sin x cos x x R cos x sin x x R tan x sec 2 x x nπ + π 2, n Z cot x csc 2 x x nπ, n Z sec x sec x tan x x nπ + π 2, n Z csc x csc x cot x x nπ, n Z 1 arcsin x x < 1 1 x 2 1 arccos x x < 1 1 x 2 1 arctan x x R 1 + x 2 240

251 APPENDICE D. MATEMATICA D.1. DERIVATE D.1.4 D.1.5 Funzioni Iperboliche f(x) f (x) Dominio di Applicazione sinh x cosh x x R cosh x sinh x x R tanh x sech 2 x x R coth x csch 2 x x 0 sech x sech x tanh x x R csch x csch x coth x x 0 1 arsinh x x 0 x arcosh x x > 1 x2 1 1 artanh x 1 < x < 1 1 x 2 1 arcoth x x > 1 1 x 2 Altre Funzioni f(x) f (x) Dominio di Applicazione Erf x 2 e x2 π x R 1 Li x x > 1 ln x Si x sinc x x R 1 gd x x R cosh x gd 1 1 x x < π 2 cos x H n (x) 2nH n 1 (x) x R 241

252 D.2. INTEGRALI INDEFINITI APPENDICE D. MATEMATICA D.2 Integrali indefiniti Qui sotto troverete alcune funzioni reali ed il loro corrispondente integrale. D.2.1 Polinomi e potenze f(x) f(x) dx x n for n 1 x 1 x n for n 1 x 1 x n+1 n+1 + C ln x + C x x n n+1 + C x ln x + C x D.2.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche f(x) f(x) dx e x e kx for k 0 a x for a > 0 ln x (ln x) 2 1 ln x ln(ln x) e x + C e kx k + C a x ln a + C x ln x x + C x[(ln x) 2 2 ln x + 2] + C Li x + C x ln ln x Li x + C Dove la versione Euleriana del logaritmo integrale (in Latino logarithmus integralis) è definita come Li x = x 0 dt ln t. 242

253 APPENDICE D. MATEMATICA D.2. INTEGRALI INDEFINITI D.2.3 Funzioni Trigonometriche f(x) f(x) dx cos x sin x cot x tan x sec x csc x 1 sin x sec 2 x csc 2 x sec x tan x csc x cot x 1 arctan x + C 1 + x x 2 sin x + C cos x + C ln sin x + C ln cos x + C ln sec x + tan x + C ln csc x + cot x + C ln tan x + C 2 tan x + C cot x + C sec x + C csc x + C arcsin x + C D.2.4 Funzioni Iperboliche f(x) f(x) dx cosh x sinh x tanh x coth x sech 2 x csch 2 x sech x tanh x csch x coth x sinh x + C cosh x + C ln(cosh x) + C ln sinh x + C tanh x + C coth x + C sech x + C csch x + C 243

254 D.2. INTEGRALI INDEFINITI APPENDICE D. MATEMATICA D.2.5 Funzioni cicliche f(x) f(x) dx arccos x arcsin x arccot x arctan x arcsec x x arccos x 1 x 2 + C x arcsin x + 1 x 2 + C x arccot x + ln 1 + x 2 + C x arctan x ln 1 + x 2 + C x arcsec x ln(x + x 2 1) + C D.2.6 Radici Quadrate f(x) x 2 f(x) dx x2 + 1 x2 1 1 x x2 1 x x + C 3 x x arsinh x + C x x arcosh x + C arsinh x + C arcosh x + C (x > 1) La costante C denota una costante arbitraria rappresentata da un numero reale ; Li è l integrale logaritmico. Notate che le tavole possono essere usate solo quando integrale `continuo sul dominio di integrazione. Notate ad esempio il seguente calcolo errato 1 1 x 1 dx = x ln x x 1 1 = 1 ln ln 1 1 = 0 0 = 0 Il calcolo è incorretto perchè x 1 non è continuo a x =

255 APPENDICE D. MATEMATICA D.3. INTEGRALI GENERALIZZATI D.3 Integrali generalizzati Riportiamo alcuni integrali generalizzati più comuni e x2 dx e x2 cos kx dx e x2 a 2 +x 2 dx x 1 cos kx π 2 π 2 e 1 4 k2 π 2a ea2 erfc a 2π 4 sin x 2 dx = cos x 2 dx 0 sin ax dx (sgn a) π (a R) 2 0 x ( ) 2 sin x π dx 2 0 x k 0 0 πk dx x 2 2 x+1 dx π (0 < k < 1) sin πk e kx 1+e dx π (0 < k < 1) x sin πk cos kx x 2 +1 dx π 2e k a cos x x 2 +a dx = x sin x dx 2 0 x 2 +a 2 π (a > 0) 2e a 245

256 D.3. INTEGRALI GENERALIZZATI APPENDICE D. MATEMATICA sin ax x(x 2 +1) dx e x x 3 2 dx π (1 2 e a ) (a > 0) π e x x 3 sin x dx 0 ( 1 e x 1 1 ) dx γ xe x cos ax 2 cos ax γ+ln a dx (a > 0) 2 x e ax e bx dx ln b (a > 0, b > 0) a 0( x ) 0 1 arcsin 1 x 1 x dx 1 + ln 2 π 2 arctan x x 1 x dx 2 π 2) 2 ln(1+x) π dx 2 12 x ln(1 x) dx x 2 2 ln

257 APPENDICE D. MATEMATICA D.4. TAYLOR D.4 Taylor Riportiamo lo sviluppo in serie di Taylor intorno allo 0 di alcune funzioni importanti D.5 Trigometria D.5.1 e x = 1 + x 1! + x2 2! + x3 3! + sin x = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + Triangolo retto -Definizioni Considerate il triangolo retto ABC, dove C è l angolo retto. Quindi : sin A = BC AB = opposto ipotenusa cos A = AC AB = adiacente ipotenusa tan(a) = BC AC = opposto adiacente csc A = 1 sin A = AB BC = ipotenusa opposto sec A = 1 cos A = AB AC = ipotenusa adiacente cot A = 1 tan A = AC BC = adiacente opposto D.5.2 Formule ridotte 1. sin( x) = sin x 2. cos( x) = cos x 3. sin( π 2 4. cos( π 2 5. sin( π 2 6. cos( π 2 x) = cos x x) = sin x + x) = cos x + x) = sin x 247

258 D.5. TRIGOMETRIA APPENDICE D. MATEMATICA 7. sin(π x) = sin x 8. cos(π x) = cos x 9. sin(π + x) = sin x 10. cos(π x) = cos x D.5.3 Identità 1. sin 2 x + cos 2 x = 1 2. tan 2 x + 1 = sec 2 x 3. cot 2 x + 1 = csc 2 x D.5.4 Somme e Differenze 1. sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α 2. sin(α β) = sin α cos β sin β cos α 3. cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β 4. cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β 5. tan(α + β) = 6. tan(α β) = D.5.5 tan α + tan β 1 tan α tan β tan α tan β 1 + tan α tan β Angolo doppio e metà 1. sin 2α = 2 sin α cos α 2. cos 2α = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x 3. tan 2α = 2 tan α 1 tan 2 α (determinare se è + o - trovando il qua- 4. sin α 1 cos α 2 = ± 2 drante in cui α 2 giace) 248

259 APPENDICE D. MATEMATICA D.5. TRIGOMETRIA 5. cos α 2 = ± 1 + cos α 2 6. tan α 2 = 1 cos α sin α D.5.6 Altre formule (come sopra) = sin α 1 + cos α Considerate un triangolo con lati di lunghezza a, b, e c, ed angoli opposti A, B, e C, rispettivamente. 1. sin 2 α = 1 2 cos(2α) 2 2. cos 2 α = cos(2α) 2 3. sin A a = sin B b = sin C c (Law of Sines) 4. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C (Legge dei coseni) 5. Area del triangolo = 1 ab sin C 2 6. Area del triangolo = s(s a)(s b)(s c), dove s = a + b + c 2 ( Formula di Heron) D.5.7 Cambiamenti Definizione 1 (Periodicità). Una funzione f è periodica, se per qualche numero p, f(x + p) = f(x) per tutti gli x nel dominio di f. Le funzioni trigonometriche sono tutte periodiche. sin x, cos x, csc x, e sec x hanno tutte un periodo di 2π. tan x and cot x hanno periodi di π. Se x in sin x, cos x, etc., è moltiplicato per una costante b, il periodo è diviso da quella costante: sin bx, cos bx, csc bx, e sec bx (b costante) hanno un periodo di 2π b tan bx e cot bx hanno per π b. 249

260 D.5. TRIGOMETRIA APPENDICE D. MATEMATICA Definizione 2 (Ampiezza ). La magnitudine di una oscillazione (solamente per funzioni che oscillano come seno e coseno) è metà della distanza fra valore massimo e minimo. A sin x e A cos x hanno ognuno ampiezza A. D.5.8 Funzioni trigometriche inverse Se f(x) = sin x, allora f 1 (x) = sin 1 x = arcsin x, con 1 x 1 Se f(x) = cos x, allora f 1 (x) = cos 1 x = arccos x, con 1 x 1 Se f(x) = tan x, allora f 1 (x) = tan 1 x = arctan x, con π 2 x π 2 250

261 APPENDICE D. MATEMATICA D.6. ALFABETO GRECO D.6 Alfabeto greco minuscolo maiuscolo nome commenti α A alpha β B beta bita nel Greco moderno γ Γ gamma δ delta ɛ oppure ε E epsilon ζ Z zeta zita nel Greco moderno η H eta ita nel Greco moderno θ oppure ϑ Θ theta thita nel Greco moderno ι I iota κ K kappa λ Λ lambda µ M mu mi nel Greco moderno ν N nu ni nel Greco moderno ξ Ξ xi o O omicron significa o-minuscolo nel Greco moderno π oppure ϖ Π pi ρ oppure ϱ P rho σ oppure ς Σ sigma ς è adoperato solo alla fine delle parole τ T tau υ Υ upsilon ipsilon nel Greco moderno φ oppure ϕ Φ phi χ X chi ψ Ψ psi ω Ω omega significa o-maiuscolo nel Greco moderno 251

262 D.6. ALFABETO GRECO APPENDICE D. MATEMATICA 252

263 Bibliografia [Bussetti 1967] G.Bussetti, Esercitazioni pratiche di Fisica, quarta edizione, Levrotto & Bella, Torino (1967). [Cerutti et al. 1996] G. Cerutti and P. DeMaria, Misure assolute dell accelerazione di gravità a Torino Rapporto Tecnico Interno, R432, Istituto di Metrologia G.Colonnetti, Torino (1996) [Cohen 1996] E.R. Cohen, The Physics Quick Reference Guide, AIP Press, Woodbury (NY) (1996) [Fazio 1995] M.Fazio, Dizionario e manuale delle unità di misura, terza edizione, Zanichelli, Bologna (1995) [Kuroda 1995] K.Kuroda, Does the Time-of-Swing Method Give a Correct Value of the Newtonian Gravitational Constant?, Phys.Rev.Letters 75, , 9-ottobre-1995 [Pescetti 1975] D. Pescetti, Termodinamica, Piccin Editore,Padova (1975) [Pendolo 2002] M.Rossi,L.Zaninetti. The cubic period-distance relation for the Kater reversible pendulum, CESSJ, Volume 3, Number 4, October 2005, pp

264 Indice analitico A a-van-der-waals, 158 Aereodinamica, 193 B b-van-der-waals, 158 C c-acciaio, 131 calore-lavoro, 130 calore-specifico, 125 caloria a 15 gradi, 225 definizione, 125 internazionale, 225 termochimica, 225 CANNON-FENSKE, 183 capillare, 183 cgs, 223 ciclo-stirling, 145 conducibilità, 137 conducibilità-esterna, 133 correzione-grafica, 131 D definizione viscosità, 96 depressione, 200 doppia-pesata, 9 E equazione ingrandimento, 214 lenti, 214 reticolo, 218 equazione-gas, 157 equilibrio-bilancia, 7 errori-delta-q, 144 errori-p, 142 Esperienza bilancia-analitica, 5 bilancia-gravitazionale, 73 calorimetro, 125 equivalente-meccanico, 139 galleria del vento, 193 giroscopio, 53 grande tavola, 105 Lunghezza focale, 213 misura di lunghezze, 1 modulo-young, 19 molla, 13 motore aria, 145 pendolo, 29 pendolo Kater, 33 piattaforma, 23 rapporto cp-su-cv, 159 Reticolo diffrazione, 217 rotaia, 95 rotaia-leybold, 101 temperatura-critica, 153 termometro a gas, 167 velocitaà limite,

265 INDICE ANALITICO INDICE ANALITICO viscosimetro, 179 F fit lineare, 49 frequenza-risonanza, 161 G g-accurato, 235 G-escursione-correzione, 89 G-escursione-finale, 88 G-grande-accurato, 235 G-metodo-accelerazione, 77 G-metodo-completo, 82 G-metodo-completo-correzione, 84 G-moto-smorzato, 78 g-pendolo, 37 H Huygens-Steiner teorema di, 35, 42, 58 I impulso, 97 isoterme, 153 L Legge-Newton, 133 lente, 213, 217 M manometro, 196 me sperimentale, 129 teorica, 127 mks, 222 momento-frenante, 28 momento-inerzia, 25 momento-inerzia-giroscopio, 53 motore funzionamento, 148 rendimento, 150 motorino-3w, 130 N nonio, 1 note-tecniche-bilancia, 89 nutazione-giroscopio, 58 P parametri-bilancia, 92 periodo-ampiezza, 40 precessione, 61 precessione-montaggio, 64 pressione differenziale, 200 dinamica, 200 unità, 165 R R-gas, 236 raffreddamento, 136 riscaldamento, 134 S sensibilità-empirica, 8 sensibilità-teorica, 10 sistema-internazionale, 226 sistema-tecnico, 226 sistemi-misura, 221 sonda-manometrica, 198 sovrapressione, 198 superficie-minima, 131 T Tabella a-b,

266 INDICE ANALITICO INDICE ANALITICO capillari, 183 costante-molla, 13 cp specifici, 236 K, 236 lunghezze-onda, 220 modulo, 236 valori G, 93 viscosità, 236 tappo-mercurio, 167, 168 tara, 9 terza soluzione pendolo, 40 V velocità flusso, 200 viscosità, 179 aria, 98 aria-sperimentale, 98 cinematica, 183 temperatura,