De Poligonorum Inscriptione

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1 De oigonorum Inscriptione Ovvero: come trascorrere i mese di settembre fra i, coi, radicai doppi e financo tripi

2 De oigonorum Inscriptione / 0

3 De oigonorum Inscriptione / 0 INDIC INTRODUZION... IMOSTZION DL ROBLM GNRLITÀ...6. IL OSTULTO DI MONOTONICITÀ ROTZIONL...8. MTODO DI VRIFIC DI RISULTTI... OLIGONI INSCRITTI NLL CIRCONFRNZ.... SGONO INSCRITTO NLL CIRCONFRNZ.... NTGONO INSCRITTO NLL CIRCONFRNZ.... UDRTO INSCRITTO NLL CIRCONFRNZ.... TRINGOLO INSCRITTO NLL CIRCONFRNZ... OLIGONI INSCRITTI NLL SGONO.... CIRCONFRNZ INSCRITT NLL SGONO.... NTGONO INSCRITTO NLL SGONO...6. UDRTO INSCRITTO NLL SGONO...9. TRINGOLO INSCRITTO NLL SGONO...0 OLIGONI INSCRITTI NL NTGONO.... CIRCONFRNZ INSCRITT NL NTGONO.... SGONO INSCRITTO NL NTGONO.... UDRTO INSCRITTO NL NTGONO.... TRINGOLO INSCRITTO NL NTGONO OLIGONI INSCRITTI NL UDRTO CIRCONFRNZ INSCRITT NL UDRTO SGONO INSCRITTO NL UDRTO NTGONO INSCRITTO NL UDRTO TRINGOLO INSCRITTO NL UDRTO... 7 OLIGONI INSCRITTI NL TRINGOLO CIRCONFRNZ INSCRITT NL TRINGOLO SGONO INSCRITTO NL TRINGOLO NTGONO INSCRITTO NL TRINGOLO UDRTO INSCRITTO NL TRINGOLO RIILOGO DI RISULTTI CONCLUSIONI VRIZIONI SUL TM... 9 NDIC: FORMULRIO SNI COSNI DI NGOLI NOTVOLI LTRI SNI COSNI DI NGOLI RICONDUCIBILI I RCDNTI LTR FORMUL TRIGONOMTRICH NON, UTILIZZT UI...0

4 De oigonorum Inscriptione / 0 Lista dee figure Figura : I rapporti incogniti fra e superfici...6 Figura : ccenno di rotazione de pentagono ne esagono...8 Figura : Ritorno ao stato di partenza per i pentagono ne esagono...9 Figura : Ritorno ao stato di partenza per i triangoo ne pentagono...9 Figura : I massimo angoo da esaminare fra i poigoni...0 Figura 6: sagono inscritto nea circonferenza... Figura 7: entagono inscritto nea circonferenza... Figura 8: uadrato inscritto nea circonferenza... Figura 9: Triangoo inscritto nea circonferenza... Figura 0: Circonferenza inscritta ne esagono... Figura : entagono inscritto ne esagono...6 Figura : entagono inscritto ne esagono, con appendice protuberante...6 Figura : uadrato inscritto ne esagono...9 Figura : Triangoo inscritto ne esagono...0 Figura : Circonferenza inscritta ne pentagono... Figura 6: sagono inscritto ne pentagono... Figura 7: uadrato inscritto ne pentagono... Figura 8: Triangoo inscritto ne pentagono...7 Figura 9: Circonferenza inscritta ne quadrato...0 Figura 0: sagono inscritto ne quadrato... Figura : entagono inscritto ne quadrato... Figura : Triangoo inscritto ne quadrato... Figura : Circonferenza inscritta ne triangoo... Figura : sagono inscritto ne triangoo...6 Figura : entagono inscritto ne triangoo...7 Figura 6: uadrato inscritto ne triangoo...9 Figura 7: Riepiogo dei rapporti fra e aree dei poigoni...0 Figura 8: Cassifica dei rapporti fra e aree dei poigoni...0 Figura 9: Scambio di ruoi fra poigoni... Figura 0: La cassifica dee 0 configurazioni... Figura : CT e TC, con i minore ed i maggiore dei poigoni più interni... Figura : Le 0 configurazioni, ordinate per somma dee aree crescente (prima parte)... Figura : Le 0 configurazioni, ordinate per somma dee aree crescente (seconda parte)... Figura : CT, a configurazione più ondivaga... Figura : CT, a configurazione più anonima... Figura 6: TC; distanza fra i centri dei poigoni più esterno e più interno... Figura 7: CT: evouzione de centro de quadrato... Figura 8: CT: evouzione mutipa de centro de quadrato...

5 De oigonorum Inscriptione / 0 INTRODUZION bbene, stavota ve a siete proprio cercata I probema Keperiano era troppo beo per non essere affrontato a fondo, za doversi cioè imitare ae due sequenze di poigoni suggerite da testo. quindi si è provato ad esaminare tutte e possibii sequenze, tanto per vedere dove si approdava L anaisi, dopo quache rifessione e numerosi cacoi, si è fatta ardua da affondare a fondo in maniera de tutto rigorosa; ed aora ho sceto un approccio intermedio: in moti casi non sapendo come dimostrare inoppugnabimente acune affermazioni, ho deciso di ricorrere a metodi grafici empirici (orrore!), cioè vautando ad occhio, per sovrapposizione d immagini, quai fossero e disposizioni ottimai di poigoni da adottare. poi (doppio orrore!!), sono dovuto addirittura ricorrere ad un postuato basato su puro intuito, e su quae c è tutto i diritto di soevar dubbi Ciononostante, a trattazione rimane tutt atro che sintetica non escudo che possa contenere quache madornae errore, in uno quasiasi dei 0 casi di inscrizione esaminati; a moe di cacoi era troppo ingente per poter essere ricontroata adeguatamente er sempificarmi a vita, ho introdotto un formuario in appendice, tanto per non dover repicare cacoi ripetitivi dee stesse quantità agebriche Beh, non vi chiedo di controare tutto, né di arrivare in fondo Mi è bastato i divertimento dea ricerca e a soddisfazione di essere arrivato aa fine.

6 De oigonorum Inscriptione 6 / 0 IMOSTZION DL ROBLM. Generaità ora, abbiamo figure geometriche eementari da inscrivere una ne atra; obbiettivo è i cercare a sequenza di esse che porta aa massima superficie possibie per a più interna (e già che ci siamo, anche aa minima ). I testo de probema richiederebbe di considerare soo e due seguenti sequenze: Circonferenza / Triangoo / uadrato / entagono / sagono Circonferenza / sagono / entagono / uadrato / Triangoo Ma perché non considerare invece tutte e possibii sequenze e non soo quee due? rima cosa: quante sono? oiché oggetti possono essere ordinati in successione in x x x 0 modi diversi, pare che i probema diventi 60 vote più gravoso In reatà, se si considerano soo e sequenze base, occorre considerare 8 diversi casi di inscrizione di poigoni (triangoo nea circonferenza, quadrato ne triangoo, ecc ). Ma queo che conta ai fini dea souzione de probema è i rapporto fra e superfici di ogni possibie coppia di poigoni: se prima di esaminare i 0 casi di permutazione de ordine in cui i poigoni vengono presi si vautano invece tutti i rapporti fra e superfici, rapporti che sono soo 0, ecco che i probema competo diventa soo due vote e mezzo più compesso di queo base In pratica, si tratta preiminarmente di riempire e casee dea tabea qui a destra con e reazioni che esprimono i rapporti fra e superfici dei poigoni inscrivente ed inscritto, indicati rispettivamente nea prima riga e nea prima coonna dea tabea. Una vota ricavate e 0 formue incognite (ed i corrispondenti vaori numerici), diventa sempice dari in pasto ad un fogio xce per trovare i 0 prodotti di essi, presi a in tutti i modi opportuni. Figura : I rapporti incogniti fra e superfici d esempio, e souzioni per e due sequenze base richieste da probema si troveranno motipicando fra oro i fattori rispettivamente indicati dai cerchietti rossi e verdi. Nei capitoi che seguono verranno cacoati i suddetti rapporti, procedendo coonna per coonna attraverso a tabea. I successivo capitoo 8 fornisce a sintesi dei risutati ottenuti, e e reative concusioni. Riassumo acune convenzioni adottate ne seguito, ad evitare inutii richiami e ripetizioni: er e varie grandezze geometriche si è sceto di usare i seguenti simboi, savo diversa indicazione: o, per e aree dee superfici dei poigoni, di soito dotate di pedice come sotto indicato o λ, per i rapporti fra aree (cioè e reazioni cercate indicate nea tabea di Figura ) o o o r, per i raggio dea circonferenza, per i ato di un poigono, anch esso di soito dotato di pedice h, per atezza dei triangoi in cui i poigoni sono suddivisi, coincidente di norma con apotema di pentagono ed esagono e taora con i semiato de quadrato D ora in poi, mi riferirò a insieme dee figure geometriche come a poigoni, intendendo un po impropriamente anche a circonferenza compresa fra essi. inotre, ometterò i termine regoare, se non strettamente necessario, dando per scontato che i poigoni siano equiateri ed equiangoi.

7 De oigonorum Inscriptione 7 / 0 o x, y, z e k, per segmenti di vota in vota utii aa risouzione dei vari casi I pedici adottati per i vari simboi agebrici utiizzati seguono a seguente convenzione: o o o o o C, per a circonferenza, per esagono, per i pentagono, per i quadrato T, per i triangoo Si dà per scontata a vaidità dee formue in appendice, che non vengono richiamate espicitamente ne corso dei cacoi se non in casi particoari arimenti, si dà per scontato i vaore degi angoi mostrati nee varie figure, ricavabii tramite sempici considerazioni geometriche

8 De oigonorum Inscriptione 8 / 0. I postuato di monotonicità rotazionae Tranne che per i casi che comportano a preza dea circonferenza (che troveranno comunque una oro coocazione in questo paragrafo), ogni vota che si considera una coppia di poigoni per cercar area massima di queo inscritto, si preta un probema: qua è orientazione reativa fra i due poigoni che permette di massimizzare i vaore cercato? er trattare a questione, consideriamo esempio più compesso fra quei da esaminare, queo de pentagono inscritto ne esagono. Supponiamo di inchiodare esagono a fogio di carta, ed inseriamo poi ì dentro i pentagono. I pentagono può essere in astratto fatto ruotare con continuità di 60, poi di vota in vota trasato a spasso per esagono. Vi sarebbero quindi tre gradi di ibertà per i posizionamento de pentagono: angoo di rotazione rispetto a esagono, e a posizione, individuabie ad esempio dae coordinate de suo centro. er ciascuna dee situazioni, i pentagono va poi espanso o compresso fino a rendero tangente a esagono, evitando che fuoriesca da esagono stesso e toccandone però con due o più vertici i perimetro, rimanendovi quindi inscritto come richiesto. In ciascun caso va cacoato i rapporto fra e aree, e queo massimo è i vaore cercato. Data a scarsa praticabiità de metodo sopra esposto, occorre restringere un be po i campo dee possibiità Iniziamo co dire che se facciamo ruotare i pentagono di / di angoo giro, cioè di 7, esso verrà a trovarsi in una posizione reciproca rispetto a esagono equivaente a quea di partenza; è quindi intuitivo che basta esaminare e soe rotazioni fra 0 e 7 per trovare i nostro rapporto massimo. erò poi, se adesso schiodiamo esagono ed inchiodiamo invece i pentagono, ecco che ci si accorge che anche ruotando esagono di /6 di angoo giro ci si ritrova nea situazione iniziae, quindi è sufficiente considerare e rotazioni fra 0 e 60. variare de numero di ati dee coppie di poigoni, si scegierà di vota in vota angoo più piccoo, cioè queo reativo a poigono con più ati. stendendo i ragionamento aa circonferenza, ed assumendo che essa può essere intesa come un poigono ad infiniti ati, angoo in questione sarà nuo: non serve quindi ruotare i poigoni inscritti nea circonferenza o ad essa circoscritti, tutte e posizioni sono equivaenti. Ma si può far di megio con pentagono ed esagono? Vediamo: iniziamo co posizionare i pentagono con un ato coincidente con uno di quei de esagono, ed immaginiamo di faro ruotare un po, diciamo di come ne esempio qui sotto: Figura : ccenno di rotazione de pentagono ne esagono er comodità, si è sceto un pentagono con o stesso ato de esagono; non interessa in questa fase massimizzarne area, si sta per i momento soo cercando di capire e probematiche reative ae rotazioni reciproche dei poigoni.

9 De oigonorum Inscriptione 9 / 0 rocedendo con a rotazione, dopo un po si arriva aa situazione iustrata nea figura che segue: i ato in basso a sinistra de pentagono viene ad essere paraeo a queo corrispondente de esagono, ed in pratica ci si ritrova ancora nea situazione di partenza, da punto di vista dea posizione reativa dei due poigoni. α Figura : Ritorno ao stato di partenza per i pentagono ne esagono Di quanto è stato ruotato stavota i pentagono, prima di ritornare aa situazione di partenza? L angoo α è pari aa differenza fra gi angoi interni dei due poigoni; per un generico poigono di n ati angoo interno vae: n uindi, con poigoni che abbiano n ed m ati si ha: α n m m n Ne caso in questione, con n ed m6, risuta α. Un vaore ancora migiore dei 7 e 60 considerati in precedenza Beh, aora in generae angoo massimo ottimo α O da scegiere per esporare tutti i casi possibii è dato da: α O min ; ; m n m n Naturamente, tutte e regoe son passibii di eccezioni Ne caso n ed m vediamo infatti cosa accade: se si procede come per pentagono ed esagono, a rotazione che riporta e posizioni reative a quee di partenza è data ancora daa reazione qui sopra, pari cioè a 8. Ma stavota, se prima di ruotare i triangoo o si trasa verso ato e poi o si ruota, ci si accorge che basta ruotaro di per tornare ad uno stato equivaente a queo di partenza. Figura : Ritorno ao stato di partenza per i triangoo ne pentagono

10 De oigonorum Inscriptione 0 / 0 Con un po di rifessione si concude che ciò capita ogni quavota i numero dei ati dei due poigoni è dispari per entrambe, cioè soo ne caso di Figura ai fini di questo probema. uindi: α O m n m n min ; ; int m n m n m n m n min ; ; int m n m n ncora: data a simmetria specuare dee figure geometriche in questione (tutte regoari ed equiangoari) in fondo basta esaminare soo i casi reativi a metà de angoo minimo sopra discusso; andando otre, si ripetono cicicamente e stesse situazioni reciproche fra i due poigoni. La tabea che segue fornisce i vaori per angoo ottimo, e naturamente per a sua metà, in tutte e situazioni di riievo per i probema in esame (nea tabea, con Infinito si intende a circonferenza, of course): Figura : I massimo angoo da esaminare fra i poigoni La tabea vae sia per e inscrizioni che per e circoscrizioni ; cioè i poigono ad m ati può tanto essere interno quanto esterno, e viceversa per queo ad n ati. Guarda un po, a parte e righe reative aa circonferenza, tutti i vaori ottimai coincidono con a terza coonna verdina dea tabea. uesto non è vero in generae; se i Nostri Vaenti ropositori di uesiti (NV) avessero vouto essere davvero cattivi, avrebbero esteso i probema a eptagono In que caso, ad esempio, i triangoi inscritti o circoscritti a eptagono sarebbero stati ottimai per rotazione se riferiti aa prima, fra e coonne verdine ndiamo avanti er ciascuno degi infiniti angoi compresi fra 0 ed i vaore ottimo di α (diviso per ), occorre portare a spasso i poigono interno in queo esterno, e gonfiaro fin quanto possibie: ancora ci si ritrova con situazioni nche se angoo di rotazione è stato ristretto ad una frazione dei 60 iniziamente considerati, resta difficiissimo affrontare i probema se non si mette quache paetto di quei tosti I paetto è i postuato di monotonicità rotazionae; che qui decamo uniateramente : artendo daa stato in cui i due poigoni hanno un ato paraeo, ed a crescere de angoo di rotazione reciproca fra essi ne intervao [0 - α O /], fissato i poigono esterno, area massima di queo interno varia in modo monotono Conseguenza immediata de postuato è i fatto che area massima cercata (o in modo equivaente i rapporto fra e aree dei poigoni), o si riscontra quando i suddetto angoo è nuo, oppure quando esso vae α O /. Ciò vuo dire che nei casi che non prevedono a preza dea circonferenza (per a quae basta esaminare un unica situazione come visto sopra), è sufficiente comparare e due configurazioni per e quai a posizione reciproca dei due poigoni preta un angoo pari a 0 oppure ad α O /. I resto dea trattazione si basa su questo assunto; se quacuno non è d accordo, può agevomente trascurare questa trattazione e passare i resto dea serata visionando I grande frateo oppure L isoa dei famosi Mi si perdoni i termine eettorae Se me o dimostrate voi, mi sta bene; per questo mese, o facevo i cacoi nei 0 casi in esame, o provavo a dimostrare i postuato

11 De oigonorum Inscriptione / 0. Metodo di verifica dei risutati Naturamente, non posso essere certo dea vaidità dei cacoi per tutti i 0 casi sotto esaminati; spesso sono incorso in errori grossoani cui ho cercato di rimediare con i metodo qui di seguito descritto. Le immagini di questo documento sono state generate (ameno quee di base) co programma CoreDraw; questo conte una notevoe precisione ne posizionamento dee figure geometriche, con precisione di una parte su 0000 o più. Nei casi più compessi (quei za circonferenza, in generae), si cercava di adattare i poigono interno a megio possibie dentro atro, con espansioni e riduzioni condotte a grado più piccoo possibie, nei imiti de programma (e dei miei occhi ). I risutato è che e figure mostrano quasi esattamente quanto poi evidenziato dae varie formue. oiché CoreDraw fornisce e dimensioni dei vari oggetti grafici che gestisce, si potevano cacoare con esso e dimensioni empiriche dee aree e di conseguenza i oro rapporti. uesto ha contito per ciascuno dei casi critici di confrontare i risutato agebrico ottenuto dai cacoi con queo grafico empirico: aa fine, corretti i numerosi errori via via commessi, e differenze capitavano sempre a di sotto di una parte per 000, o megio Ciò naturamente non dimostra che i cacoi siano esatti, ma un po di fiducia si può concedere titoo di esempio, prendo i caso co risutato agebrico più strano e maggiormente passibie di sospetti d errore, poiché appaiono nea formua risoutiva acuni numeracci interi a o 6 cifre, cosa che non si riscontra negi atri 9 casi I vaore per i rapporto fra e aree ne caso di pentagono inscritto ne esagono ottenuto graficamente è 0, , queo cacoato agebricamente è 0, La differenza, inferiore ao 0,07%, mi ascia ben sperare I metodo grafico è stato poi sempre utiizzato (dove era opportuno) per decidere quae dee due posizioni fra i poigoni (non ruotati, ovvero ruotati reciprocamente di α O /) fosse quea ottimae. L evidenza grafica è sempre stata ampante, seppur con ingrandimenti da microscopio eettronico Ciò, naturamente, sempre che si vogia prendere per buono i postuato di monotonicità rotazionae. tra piccoa osservazione a margine L utiity Microsoft quation ditor pretende che o, coo e tangente siano indicati come sin, cos e tan rispettivamente Me ne sono accorto tardi, ed ho aora troppo a ungo utiizzato invece, cos e tg er cui nee varie formue utiizzate acuni di tai termini appaiono in corsivo (itaics they say ), atri no Mi scuso per questo Non appena mi sarà richiesto di pubbicare questo documento sui roceedings of the merican Mathematica Society provvederò ovviamente a correggere, dietro corresponsione di $ (pari ad un miione di vote i più grande rapporto fra e aree dei poigoni da me trovato).

12 De oigonorum Inscriptione / 0 OLIGONI INSCRITTI NLL CIRCONFRNZ Ne caso in cui si inscrivano poigoni regoari nea circonferenza, non ha acuna importanza angoo reativo a posizionamento de poigono, come visto ne paragrafo.. Tutti i vertici dei poigoni toccano a circonferenza stessa, e nua cambia facendo ruotare i poigoni nea circonferenza; è quindi evidente che e posizioni reciproche di circonferenza e poigoni nei casi che seguono sono quee ottimai, ne so che massimizzano i rapporti cercati fra e aree.. sagono inscritto nea circonferenza ssunto r noto, occorre ricavare area de esagono in funzione di r; esdo esagono suddivisibie in 6 triangoi equiateri, tae area è i sestupo di quea de triangoo O mostrato nea figura che segue, a cui base b ha vaore r, per cui: b h 6 r r ( 60) r O h r 60 b Figura 6: sagono inscritto nea circonferenza uindi: λ C r 0, 8699 π r π C. entagono inscritto nea circonferenza ssunto r noto, occorre ricavare area de pentagono in funzione di r; esdo i pentagono suddivisibie in triangoi isoscei, tae area è i quintupo di quea de triangoo O mostrato nea figura che segue, per cui: b h r cos() r () ( ) r 0 r 8 uindi: λ C r , 7686 π r 8π 8π C

13 De oigonorum Inscriptione / 0 O h r b Figura 7: entagono inscritto nea circonferenza. uadrato inscritto nea circonferenza ssunto r noto, occorre ricavare area de quadrato in funzione di r; esdo i quadrato suddivisibie in triangoi rettangoi isoscei, tae area è i quadrupo di quea de triangoo O mostrato nea figura che segue, per cui: b h r cos r r r O h r b Figura 8: uadrato inscritto nea circonferenza uindi: λ C r 0, 6669 π r π C

14 De oigonorum Inscriptione / 0. Triangoo inscritto nea circonferenza ssunto r noto, occorre ricavare area de triangoo in funzione di r; esdo i triangoo suddivisibie in triangoi rettangoi isoscei, tae area è i tripo di quea de triangoo O mostrato nea figura che segue, per cui: T b h r cos ( 0) r ( 0) r r O h r b 0 Figura 9: Triangoo inscritto nea circonferenza uindi: λ TC r T 0, 96 π r π C

15 De oigonorum Inscriptione / 0 OLIGONI INSCRITTI NLL SGONO. Circonferenza inscritta ne esagono ssunto r noto, occorre ricavare area de esagono in funzione di r; esdo esagono suddivisibie in 6 triangoi equiateri, tae area è i sestupo di quea de triangoo O mostrato nea figura che segue, a cui base b ha vaore, per cui: r r r r r r r b Figura 0: Circonferenza inscritta ne esagono uindi: , 6 π π λ r r C C O b r 60

16 De oigonorum Inscriptione 6 / 0. entagono inscritto ne esagono Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui i pentagono abbia un ato paraeo ad uno di quei de esagono, ed a queo in cui i pentagono stesso sia ruotato di 6 gradi. Nea figura che segue, a sinistra è mostrato i massimo quadrato inscrivibie reativamente a primo caso, mentre a destra un pentagono di uguai dimensioni è piazzato ne esagono ne migiore dei modi possibii. Si osserva che ne secondo caso e dimensioni de pentagono dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a pentagono stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di sinistra. La differenza fra i due casi è inferiore a %, ma è facimente riscontrabie ne ingrandimento mostrato a destra. Figura : entagono inscritto ne esagono Come quasi sempre quando i pentagono è coinvoto, si tratta di uno dei più compessi fra i 0 casi da risovere. In questo specifico caso, ci si sempifica un po a vita ruotando immagine in ato a sinistra (quea di interesse) di 90 ; ed aggiungendo poi aa figura un triangoo equivaente ad uno dei 6 equiateri che compongono esagono (in rosa), come qui sotto mostrato. h T h T x y Figura : entagono inscritto ne esagono, con appendice protuberante ssunto noto i ato de pentagono, occorre ricavare e aree di esagono e pentagono in funzione di. Con riferimento aa figura qui sopra, e cominciando con appicare i teorema dei i a triangoo indicato con T in figura, si ha: La rotazione è soo per questioni di impaginazione, naturamente

17 De oigonorum Inscriptione 7 / 0 : uindi: x ( 0) ( 8) ( ) 0 ( 8) x 8 ( 0) Si ha poi, per come è stato costruito i triangoo rosa, e tenendo conto che o stesso, indicato con T, è equiatero 6 : uindi: y x ( ) x 9 ( ) desso, area de pentagono è data da quintupo di uno dei suoi triangoi isoscei eementari; quindi, con riferimento aa figura in ato: h sdo: h cos Si ha: h cos cos ( ) ( ) ( ) 6 Si precisa qui che T comprende sia i triangoo rosa che i trapezio obungo azzurro

18 De oigonorum Inscriptione 8 / 0 uindi: cos cos h assiamo a area de esagono; essa è data da sestupo di uno dei suoi triangoi equiateri eementari. d esempio, guarda caso, prendiamo proprio queo rosa aggiunto nea figura su in ato, che come visto equivae ad uno quasiasi degi atri: Si ha: h Infine: 0, λ uesto caso è sbaorditivo per come appaiano numeri enormi durante i cacoi (cosa di soito sintomo quache errore ), ma che poi scompaiono quasi miracoosamente eidendosi a vicenda

19 De oigonorum Inscriptione 9 / 0. uadrato inscritto ne esagono Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui i quadrato abbia un ato paraeo ad uno di quei de esagono, ed a queo in cui i quadrato stesso sia ruotato di gradi. Nea figura che segue, a sinistra è mostrato i massimo quadrato inscrivibie reativamente a primo caso, mentre a destra un quadrato di uguai dimensioni, ruotato di in so antiorario, è piazzato ne esagono ne migiore dei modi possibii Si osserva facimente che ne caso di destra e dimensioni de quadrato dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a quadrato stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di sinistra. ssunto noto i ato de quadrato, occorre ricavare area de esagono in funzione di. Con riferimento aa parte sinistra dea figura che segue, si ha: Figura : uadrato inscritto ne esagono cos h y x Si ha poi, esdo area de esagono i sestupo de area di uno dei suoi triangoi equiateri componenti: 8 6 h uindi, infine: 0, λ / / x 0 h y 60

20 De oigonorum Inscriptione 0 / 0. Triangoo inscritto ne esagono Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui i triangoo abbia un ato paraeo ad uno di quei de esagono, ed a queo in cui i triangoo stesso sia ruotato di 0 gradi. Nea figura che segue, a destra è mostrato i massimo triangoo inscrivibie reativamente a secondo caso, mentre a sinistra un triangoo di uguai dimensioni è piazzato ne esagono ne migiore dei modi possibii. Si osserva facimente che ne caso di sinistra e dimensioni de triangoo dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a triangoo stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di destra. Da una rapida ispezione ad occhio de immagine in basso a destra, si osserva che i triangoo è composto da 6 triangoi rettangoi fra oro equivaenti, mentre esagono comprende gi stessi 6 triangoi di cui sopra (in vioetto), più atri 6 identici (in azzurro). Se si indica aora con R area dea superficie di uno quasiasi dei triangoi rettangoi vioetti ed azzurri dea figura in basso a destra, si ha: λ T T 6 R R 0, Figura : Triangoo inscritto ne esagono

21 De oigonorum Inscriptione / 0 OLIGONI INSCRITTI NL NTGONO. Circonferenza inscritta ne pentagono ssunto r noto, occorre ricavare area de pentagono in funzione di r; esdo i pentagono suddivisibie in triangoi isoscei, tae area è i quintupo di quea de triangoo O mostrato nea figura che segue. er uno quasiasi di tai triangoi vagono e reazioni: b cos r cos r r tg O r b Figura : Circonferenza inscritta ne pentagono uindi: λ C π C 0,86806 π r b r ( ) ( ) π r r tg π π tg ( ) ( ) ( ) ( ) 0 π ( ) π π π π π 0

22 De oigonorum Inscriptione / 0. sagono inscritto ne pentagono Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui esagono abbia un ato paraeo ad uno di quei de pentagono, ed a queo in cui esagono stesso sia ruotato di 6 gradi. Nea figura che segue, a destra è mostrato i massimo esagono inscrivibie reativamente a secondo caso, mentre a sinistra un esagono di uguai dimensioni è piazzato ne pentagono ne migiore dei modi possibii. Si osserva che ne primo caso e dimensioni de esagono dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a esagono stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di destra. La differenza fra i due casi è inferiore ao 0,% (!), ma è facimente riscontrabie ne ingrandimento mostrato a sinistra. 8 T 08 y Figura 6: sagono inscritto ne pentagono 60 x T 0 Come quasi sempre quando i pentagono è coinvoto, si tratta di uno dei più compessi fra i 0 casi da risovere. ssunto noto i ato de esagono, occorre ricavare e aree di esagono e pentagono in funzione di. Con riferimento aa figura qui sopra, e cominciando con appicare i teorema dei i a triangoo indicato con T in figura, si ha: Da cui: x x ( 0) ( 0 ) ppicando ancora i teorema dei i, stavota a triangoo indicato con T in figura, si ha: Da cui: y ( 08) ( 8) ( ) y ( 8) 0 (08) Si ha poi:

23 De oigonorum Inscriptione / 0 0 y x desso, area de pentagono in funzione de suo ato è già stata ricavata in precedenza ne paragrafo.; quindi, richiamando a reazione citata si ha: Richiamando dao stesso paragrafo. anche a reazione che fornisce area de esagono in funzione de suo ato si ha infine: 0, λ uesto è i caso in cui i risutato è espresso daa formua più compessa fra e 0 contempate; può darsi sia errata, ma come anticipato ne introduzione, paragrafo., a verifica grafica fornisce un risutato simie migiore di una parte su 00

24 De oigonorum Inscriptione / 0. uadrato inscritto ne pentagono Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui i quadrato abbia un ato paraeo ad uno di quei de pentagono, ed a queo in cui i quadrato stesso sia ruotato di 9 gradi. Nea figura che segue, a destra è mostrato i massimo quadrato inscrivibie reativamente a secondo caso, mentre a sinistra un quadrato di uguai dimensioni è piazzato ne pentagono ne migiore dei modi possibii. Si osserva che ne primo caso e dimensioni de quadrato dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a quadrato stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di destra. La differenza fra i due casi è inferiore a %, ma è facimente riscontrabie ne ingrandimento mostrato a sinistra. 6 T k y 6 z 7 x T Figura 7: uadrato inscritto ne pentagono Come quasi sempre quando i pentagono è coinvoto, si tratta di uno dei più compessi fra i 0 casi da risovere. ssunto noto i più esteso dei ati dei triangoi isoscei in cui i pentagono è suddiviso, indicato con, occorre ricavare e aree di quadrato e pentagono in funzione di. Con riferimento aa parte destra dea figura in ato, e cominciando con appicare i teorema dei i a triangoo indicato con T in figura, si ha: uindi: x ( 6) ( 7) ncora, dao stesso triangoo: x ( 7) ( 6) ( ) ( ( )

25 De oigonorum Inscriptione / 0 6 z uindi: z Si ha poi: 0 0 z k ppicando ancora una vota i teorema dei i, stavota a triangoo indicato con T in figura, si ha: 6 y k uindi: k y adesso possibie vautare area de quadrato in funzione di : 6 8 y x Infine, considerando a reazione che esprime area de pentagono in funzione di prete ne successivo paragrafo 7, si ha: 7 I cacoi per i vari casi non sono stati eseguiti neo stesso ordine in cui sono qui pretati; da qui inversione dea sequenza

26 De oigonorum Inscriptione 6 / 0 0, λ

27 De oigonorum Inscriptione 7 / 0. Triangoo inscritto ne pentagono Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui i triangoo abbia un ato paraeo ad uno di quei de pentagono, ed a queo in cui i triangoo stesso sia ruotato di gradi. Nea figura che segue, a sinistra è mostrato i massimo triangoo inscrivibie reativamente a primo caso, mentre a destra un triangoo di uguai dimensioni, ruotato di in so orario, è piazzato ne pentagono ne migiore dei modi possibii. 0 T T x 7 y z T k 8 h Figura 8: Triangoo inscritto ne pentagono Si osserva facimente che ne secondo caso e dimensioni de triangoo dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a triangoo stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di sinistra. Come quasi sempre quando i pentagono è coinvoto, si tratta di uno dei più compessi fra i 0 casi da risovere. ssunto noto i più esteso dei ati dei triangoi isoscei in cui i pentagono è suddiviso, indicato con, occorre ricavare e aree di triangoo e pentagono in funzione di. Con riferimento aa parte sinistra dea figura in ato, e cominciando con appicare i teorema dei i a triangoo indicato con T in figura, si ha: x ( 78) ( 0) uindi: x ( 0) ( 78) oi, esdo x z: z x ppicando ancora i teorema dei i a triangoo T : y ( 78) ( 7)

28 De oigonorum Inscriptione 8 / 0 er cui: ( 7) ( 78) 0 y 0 Si ha poi, ancora per i teorema dei i, ma stavota appicato a triangoo indicato con T nea figura in ato: ora, ricordando espressione per z sopra ricavata: k z k z ( 8) ( 8) 0 0 ( ) ( ) Tutto quanto fatto finora è servito a trovare espressioni per i segmenti y e k mostrati nea figura in ato, in funzione de dato assunto noto, cioè ; a somma di tai segmenti costituisce i ato T de triangoo di cui si sta cercando area. Si ha aora: 8 T 0 y k ( ) Dopo inenarrabii cacoi agebrici (che non espongo in dettagio per commossa pietà nei Vs. confronti) 8 si arriva a: T ( ) 0 8 L atezza de triangoo h T (non mostrata in figura per non compicara troppo) è data da: h T T T 60 er cui: T ht T T ( ) ( 0 0 ) ( 0 ) 0 8 ( ) 0 ( ) 0 ( ) uesto de triangoo ne pentagono è stato i primo dei casi compessi che ho affrontato Con carta e penna oi ho cambiato sistema avorando direttamente con quation ditor. Ciò spiega a differenza nea ogica di cacoo agebrico di questo caso rispetto agi atri.

29 De oigonorum Inscriptione 9 / 0 assiamo a area de pentagono; essa è i quintupo di quea di uno quasiasi dei triangoi eementari che o compongono: Infine: h 0 cos 6 ( ) 0 cos λ T 0 T 6 6 ( ) 6 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0,

30 De oigonorum Inscriptione 0 / 0 6 OLIGONI INSCRITTI NL UDRTO 6. Circonferenza inscritta ne quadrato ssunto r noto, occorre ricavare area de quadrato in funzione di r; esdo i ato de quadrato di unghezza doppia rispetto ad r, si ha: λ C C π r π r π 0, 7898 r r Figura 9: Circonferenza inscritta ne quadrato

31 De oigonorum Inscriptione / 0 6. sagono inscritto ne quadrato Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui esagono abbia un ato paraeo ad uno di quei de quadrato, ed a queo in cui esagono stesso sia ruotato di gradi. Nea figura che segue, a destra è mostrato i massimo esagono inscrivibie reativamente a secondo caso, mentre a sinistra un esagono di uguai dimensioni è piazzato ne quadrato ne migiore dei modi possibii. Si osserva facimente che ne caso di sinistra e dimensioni de esagono dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a esagono stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di destra. ssunto noto i ato de esagono, occorre ricavare area de quadrato in funzione di. Con riferimento aa parte destra dea figura che segue, si ha: 6 60 cos z y z x Figura 0: sagono inscritto ne quadrato uindi: 6 6 y x L area de esagono è i sestupo di uno dei triangoi equiateri che o compongono, per cui: 6 z Infine: 0,696 λ x y z 60 z

32 De oigonorum Inscriptione / 0 6. entagono inscritto ne quadrato Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui i pentagono abbia un ato paraeo ad uno di quei de quadrato, ed a queo in cui i pentagono stesso sia ruotato di 9 gradi. Nea figura che segue, a destra è mostrato i massimo pentagono inscrivibie reativamente a secondo caso, mentre a sinistra un pentagono di uguai dimensioni è piazzato ne quadrato ne migiore dei modi possibii. Si osserva facimente che ne primo caso e dimensioni de pentagono dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a quadrato stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di destra T 6 6 x 7 y T Figura : entagono inscritto ne quadrato Come quasi sempre quando i pentagono è coinvoto, si tratta di uno dei più compessi fra i 0 casi da risovere. ssunto noto i più esteso dei ati dei triangoi isoscei in cui i pentagono è suddiviso, indicato con, occorre ricavare e aree di quadrato e pentagono in funzione di. Con riferimento aa parte destra dea figura in ato, e cominciando con appicare i teorema dei i a triangoo indicato con T in figura, si ha: uindi: y ( 7) 0 y ( 7 ) Si ha poi: 0 cos 0 quindi, appicando ancora i teorema dei i stavota a triangoo T in figura: x ( 90) ( 7)

33 De oigonorum Inscriptione / 0 oi: x L area de quadrato è aora esprimibie come segue: y x Ricordando aora espressione de area de pentagono in funzione di, già ricavata ne paragrafo., ed appicando ad essa un uteriore sempificazione 9 si ha: Infine: 0, λ 9 Soo aa stesura di questo paragrafo mi accorgo dea possibiità di sempificare ancora espressione de area de pentagono Non riporto i cacoi nei paragrafi già scritti, pardon

34 De oigonorum Inscriptione / 0 6. Triangoo inscritto ne quadrato Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui i triangoo abbia un ato paraeo ad uno di quei de quadrato, ed a queo in cui i triangoo stesso sia ruotato di gradi. Nea figura che segue, a destra è mostrato i massimo triangoo inscrivibie reativamente a secondo caso, mentre a sinistra un triangoo di uguai dimensioni è piazzato ne quadrato ne migiore dei modi possibii. Si osserva facimente che ne primo caso e dimensioni de triangoo dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a triangoo stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di destra. 60 T h Figura : Triangoo inscritto ne quadrato ssunto noto i ato de quadrato, occorre ricavare area de triangoo in funzione di. Con riferimento aa parte destra dea figura in ato, si ha: T cos h T ( 60) cos uindi: T T h cos ( ) cos cos 6 ( ) ( ) ( Infine: λ T ( ) T 0,60

35 De oigonorum Inscriptione / 0 7 OLIGONI INSCRITTI NL TRINGOLO 7. Circonferenza inscritta ne triangoo ssunto r noto, occorre ricavare area de triangoo in funzione di r; esdo i triangoo suddivisibie in triangoi isoscei, tae area è i tripo di quea de triangoo O mostrato nea figura che segue. O r Figura : Circonferenza b inscritta ne triangoo 0 Si ha aora: T ( 0) b r cos r r r ( 0) uindi: λ CT C π r π 0, 6099 r 9 T

36 De oigonorum Inscriptione 6 / 0 7. sagono inscritto ne triangoo Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui esagono abbia un ato paraeo ad uno di quei de triangoo, ed a queo in cui esagono stesso sia ruotato di 0 gradi. Nea figura che segue, a sinistra è mostrato i massimo esagono inscrivibie reativamente a primo caso, mentre a destra un esagono di uguai dimensioni, ruotato di 0 in so orario, è piazzato ne triangoo ne migiore dei modi possibii. Si osserva facimente che ne secondo caso e dimensioni de esagono dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a esagono stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di sinistra. Da una rapida ispezione ad occhio de immagine a sinistra, si osserva che i tre triangoi vioetti ai vertici dea figura di sinistra qui sotto riportata sono identici ai 6 triangoi equiateri che compongono esagono. Figura : sagono inscritto ne triangoo Se si indica aora con R area dea superficie di uno quasiasi dei triangoi vioetti ed azzurri dea figura qui in ato a sinistra, si ha: λ T 6 R 0, T R

37 De oigonorum Inscriptione 7 / 0 7. entagono inscritto ne triangoo Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui i pentagono abbia un ato paraeo ad uno di quei de triangoo, ed a queo in cui i pentagono stesso sia ruotato di gradi. Nea figura che segue, a sinistra è mostrato i massimo pentagono inscrivibie reativamente a primo caso, mentre a destra un pentagono di uguai dimensioni, ruotato di in so antiorario, è piazzato ne triangoo ne migiore dei modi possibii. 0 y T T 7 h x T 60 7 Figura : entagono inscritto ne triangoo Si osserva facimente che ne secondo caso e dimensioni de pentagono dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a pentagono stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di sinistra. Come quasi sempre quando i pentagono è coinvoto, si tratta di uno dei più compessi fra i 0 casi da risovere. ssunto noto i più esteso dei ati dei triangoi isoscei in cui i pentagono è suddiviso, indicato con, occorre ricavare e aree di triangoo e pentagono in funzione di. Con riferimento aa parte sinistra dea figura in ato, e cominciando con appicare i teorema dei i a triangoo indicato con T in figura, si ha: uindi: y ( 0) ( 7) 0 0 ( 0) 7 y Si ha poi: 0 cos 0 ppicando nuovamente i teorema dei i, stavota a triangoo indicato con T in figura, si ha: x ( 60) ( 7)

38 De oigonorum Inscriptione 8 / 0 uindi: x ora: y x T poi: h T L area de triangoo è quindi data da: h T T Ricordando a formua reativa a area de pentagono già ottenuta ne paragrafo. si ha aora: 0, T λ T

39 De oigonorum Inscriptione 9 / 0 7. uadrato inscritto ne triangoo Come conseguenza de postuato di monotonicità rotazionae, ed in accordo aa tabea di Figura, occorre riferirsi a caso in cui i quadrato abbia un ato paraeo ad uno di quei de triangoo, ed a queo in cui i quadrato stesso sia ruotato di gradi. Nea figura che segue, a sinistra è mostrato i massimo quadrato inscrivibie reativamente a primo caso, mentre a destra un quadrato di uguai dimensioni, ruotato di in so orario, è piazzato ne triangoo ne migiore dei modi possibii. 60 y h T x 60 Figura 6: uadrato inscritto ne triangoo Si osserva facimente che ne secondo caso e dimensioni de quadrato dovrebbero essere soggette ad una riduzione per contire a quadrato stesso di restare inscritto, per cui a situazione che massimizza i rapporto fra e aree è quea di sinistra. ssunto noto i ato de quadrato, occorre ricavare area de triangoo in funzione di. Con riferimento aa parte sinistra dea figura in ato, si ha: T x y ( 60) h y (60) er cui: T ( h ) T 7 uindi: λ T ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) 0,97 T

40 De oigonorum Inscriptione 0 / 0 8 RIILOGO DI RISULTTI CONCLUSIONI d a questo punto è possibie riprendere a tabea di Figura, riempiendoa con tutti i 0 vaori trovati: Figura 7: Riepiogo dei rapporti fra e aree dei poigoni rima cosa, un occhiata a questi rapporti; se i ordiniamo per vaore, da minore a maggiore, a cassifica è a seguente: Figura 8: Cassifica dei rapporti fra e aree dei poigoni I vari casi sono identificati da coppie di ettere, a prima reativa a poigono esterno, a seconda a interno 0. uindi inserire triangoi in pentagoni pare fortemente svantaggioso (o vantaggioso?), in particoar modo rispetto a inserimento di circonferenze in esagoni. La tabea che segue, invece, mostra i confronti fra i due casi possibii per ogni coppia di poigoni, invertendo cioè i ruoi di interno ed esterno. La massima distanza fra i due casi si riscontra per a coppia circonferenza-triangoo, a minima per quea esagono-pentagono. 0 Si osservi che questa convenzione è opposta a quea utiizzata per i fattori λ XY cacoati nei precedenti capitoi. Naturamente, bisognerebbe sapere cosa uno deve fare, dee due figure

41 De oigonorum Inscriptione / 0 Figura 9: Scambio di ruoi fra poigoni passiamo a cuore de probema: a tabea che segue eenca e 0 configurazioni, per ordine crescente de area de più interno dei poigoni (assumendo che i più esterno abbia area unitaria):

42 De oigonorum Inscriptione / 0 Figura 0: La cassifica dee 0 configurazioni Le due configurazioni base richieste da probema (CT e CT) sono indicate in arancio; se i criterio di cassificazione premia e souzioni ad area più piccoa, una dee due base si piazza ottima quarta, con un posto per i preiminari di Champions League, atra consegue un più che anonimo 8 posto Fra tutte e 0 configurazioni, utima eencata consegue un area per i poigono interno circa tripa rispetto aa prima. Le figure qui di seguito riportate mostrano e due configurazioni estreme: Figura : CT e TC, con i minore ed i maggiore dei poigoni più interni L unica simiitudine fra i due casi è costituita da fatto che i quadrato sia inscritto ne pentagono. Cosa succede adesso se invece di voer minimizzare (o massimizzare) area de più interno dei poigoni si voesse estremizzare a somma dee aree dei poigoni? La cassifica sarebbe stavota a seguente: Figura : Le 0 configurazioni, ordinate per somma dee aree crescente (prima parte) d esempio, voendo costruire un modeino dei poigoni, con questi utimi reaizzati per mezzo di amine in metao prezioso sovrapposte, sarebbe utie minimizzare area totae, se i modeino dovessimo regaaro Se invece ci venisse commissionato, e si concordasse co ciente un pagamento a peso, sarebbe conveniente massimizzara

43 De oigonorum Inscriptione / 0 Figura : Le 0 configurazioni, ordinate per somma dee aree crescente (seconda parte) Stavota a migiore (o peggiore) dee due configurazioni base scivoa da a 6 posto (e deve accontentarsi dea Coppa UF ); atra permane ne suo stato di anonimato, perdendo atre posizioni (o guadagnandoe ) fino a 87 posto. L utima configurazione eencata, TC, è a stessa che massimizzava anche area de poigono più interno, mentre da capo opposto dea cassifica e prime due configurazioni (CT ed TC) si scambiano di posto, mentre a terza (CT) rimane a stessa. In genere gi spostamenti in cassifica rispetto a criterio precedente sono minimi (più de 60% dee configurazioni si sposta di posizioni o meno), con quache eccezione; o spostamento record (0) è per a configurazione qui sotto iustrata, che passa daa 9 a aa 9 a posizione. Figura : CT, a configurazione più ondivaga

44 De oigonorum Inscriptione / 0 Infine, tanto per aungare ancora un po di più i brodo: qua è a configurazione più banae, a più anonima? ssa è quea dea figura che segue, che si piazza rispettivamente 9 a e 6 a nee due cassifiche. Nessuna riesce a far di megio, in quanto a mediocrità 8. Variazioni su tema Figura : CT, a configurazione più anonima er e future notti insonni, in cui non si sa cosa fare, aba è ontana e i tempo che scorre è duro da comare, ci sarebbero acuni probemini coaterai da affrontare rendiamo ad esempio a configurazione TC, queo con a massima area de poigono più interno: Figura 6: TC; distanza fra i centri dei poigoni più esterno e più interno I segmento nero è a congiungente i centri de quadrato e de triangoo, cioè dei poigoni più interno e più esterno. I cerchietto bianco mostra cosa accade a centro de quadrato quando si fanno ruotare di 60 a circonferenza e soidamente tutti i poigoni ad essa interni. Sempre a parità de area de poigono più esterno, qua è a massima estensione che i segmento nero può raggiungere nee 0 configurazioni? a minima? La distanza può mai essere nua? Si noti che questo è un caso reativamente sempice: anche facendo ruotare a scatti di 7 per vote i quadrato a interno de pentagono, a posizione de centro de quadrato verrà sempre a trovarsi sua circonferenza bianca in figura. Triangoo, esagono

45 De oigonorum Inscriptione / 0 e circonferenza sono poi concentrici, per cui e rotazioni dea circonferenza ne esagono e gi scatti di 60 de esagono ne triangoo non producono cambiamenti significativi. rendiamo invece un atro esempio: a configurazione CT, apparentemente anonima in quanto rispettivamente 6 a e a nee due cassifiche viste in precedenza. Di nuovo i segmento nero rappreta a distanza fra i centri dei poigoni più interno e più esterno, ed i cerchietto bianco i percorso de centro de quadrato a ruotare dea circonferenza e dei poigoni ad esso interni. Figura 7: CT: evouzione de centro de quadrato Se però stavota facciamo ruotare di 0 i quadrato ne triangoo, due vote, e consideriamo tutte i tre possibii percorsi de centro de quadrato a ruotare dea circonferenza (e dei poigoni in essa contenuti), ecco che spunta fuori una terna distinta di cerchietti che ricorda gi anei borromei: Figura 8: CT: evouzione mutipa de centro de quadrato d è ancora nua oiché esagono è eccentrico rispetto a pentagono e può essere piazzato ne pentagono stesso in diversi modi, a terna di cerchietti risuta anch essa quintupicata, za sovrapposizioni! In generae, se si mantiene fisso i poigono più esterno, facendo assumere a quei interni tutte e possibii posizioni e facendo poi ruotare circonferenza e poigoni ad essa inscritti, si genera un insieme di cerchietti taora sovrapposti, taora intersecati (o forse anche disgiunti?), che deimitano una certa area. ua è i vaor massimo di tae area a variare dee 0 configurazioni? d i minimo? enso possa bastare, per questo mese Sauti, BR

46 De oigonorum Inscriptione 6 / 0 S: non pensate minimamente che io conosca e risposte

47 De oigonorum Inscriptione 7 / 0 9 NDIC: FORMULRIO 9. Seni e coi di angoi notevoi La tabea che segue riporta formue di uso corrente ne corso de testo, che vengono assunte za dimostrazione. ngoo Seno Coo 0 0 ( 6 ) ( 6 ) 8 ( ) ( ) 60

48 De oigonorum Inscriptione 8 / 0 9. tri i e coi di angoi riconducibii ai precedenti Formue ricavabii in base a quee de precedente e successivo paragrafo. ( 08 ) (90 8) cos(8) ( ) ( 90 6) cos( 6) cos cos( 90 6) ( 6) tg cos cos ( 90 6) ( 90 6) cos ( 6) ( 6) 0 0 ( 78) ( 60 8) ( 60) cos( 8) cos( 60) ( 8) ( 7 ) ( 90 8) cos( 8) ( 8) ( 0 8) ( 0) cos( 8) cos( 0) ( 8) 0 8 ( ) 0 ± ± ± ( 6) ( 90 7) cos( 7) 8 0 ± cos ± cos ( 6) ± ± ± 0

49 De oigonorum Inscriptione 9 / 0 ± ± ± ± ± ± ± ± cos cos 8 cos cos

50 De oigonorum Inscriptione 0 / 0 9. tre formue trigonometriche e non, utiizzate qui ( 90 ± α ) cos( α ) α α cos( 90 ± ) m( ) ( α ) ( α ) cos( α ) ( α ± β ) ( α ) cos ( β ) ± cos( α ) ( β ) α ± cos ( α ) α cos cos ± ( α ) a ± b a a b ± a a b Teorema dei i: dato un triangoo dotato di ati a, b e c, e di angoi opposti ordinatamente a tai ati rispettivamente pari ad α, β e γ, si ha: a b c ( α ) ( β ) ( γ )