Circuiti elettrici (1' parte)

Transcript

1 Circuiti elettrici (1' parte) Il circuito elettrico più semplice è il seguente : Naturalmente si possono costruire circuiti complicati quanto si vuole semplicemente inserendo un numero qualsiasi di resistori o altri componenti elettrici non ancora da noi presi in considerazione Si possono inserire nel circuito anche più generatori che possono essere anche generatori che forniscono una tensione variabile nel tempo (fino ad ora abbiamo preso in considerazione solo generatori di tensione continua, quali le comuni batterie che si possono acquistare ovunque) In questa pagina mostriamo, fra tutti i possibili circuiti elettrici, quelli che presentano le seguenti due caratteristiche : un solo generatore di tensione continua (almeno per un tempo sufficientemente lungo se utilizzati correttamente) uno o più resistori ohmici (cioè che mantengono costante la resistenza a temperatura costante al variare della corrente che li attraversa) I resistori possono essere collegati in serie e/o in parallelo Prima di procedere, occorre però fare una precisazione sui generatori di tensione Un generatore di tensione (per esempio una comune batteria) possiede una resistenza elettrica interna anche se molto piccola Questo dipende dall'ovvio fatto che un generatore è costituito esso stesso di materia e che quindi presenta una resistenza quando la corrente lo attraversa Un generatore è caratterizzato allora ai suoi capi da due tensioni : - Una tensione a circuito aperto, cioè quando il generatore non è collegato ad alcun circuito e quindi in esso (generatore) non circola corrente Questa tensione è detta forza elettromotrice (fem) e noi la indicheremo con la lettera : wwweasymathsaltervistaorg

2 (si noti la corrispondenza fra i punti e del "circuito reale" e del "circuito simbolico") - Una tensione a circuito chiuso, cioè quando il generatore è collegato ad un circuito e quindi in esso (generatore) circola corrente Questa tensione (o differenza di potenziale) è quella a cui "siamo già abituati" e che indicheremo come sempre con la lettera : (si noti la corrispondenza fra i punti e del "circuito reale" e del "circuito simbolico") (la resistenza interna del generatore è indicata con ) Siccome la resistenza interna di un generatore è di solito molto piccola rispetto alle resistenze presenti nel circuito, la forza elettromotrice è quasi uguale alla tensione ai capi del generatore per cui possiamo scrivere : Noi, quindi, per i nostri scopi, considereremo tali tensioni uguali ed useremo i simboli ed indifferentemente (a meno che non sia necessario distinguerli, nel qual caso verrà messa in evidenza la differenza fra le due grandezze) Ricordiamo qui anche le tre formule (ognuna ricavabile dall'altra) che legano la tensione capi di un conduttore, la corrente che vi circola e la sua resistenza : ai wwweasymathsaltervistaorg

3 01 - Resistori in serie Consideriamo il seguente circuito : (si noti il verso convenzionale della corrente dal + al - ) Si tratta di un circuito che presenta tre resistori collegati in serie, di resistenza,, rispettivamente La caratteristica principale di questo circuito è che in ogni resistore passa la stessa corrente che è la medesima che passa anche attraverso il generatore Questo fatto molto importante si spiega in questo modo : le cariche elettriche che entrano nell'unità di tempo in un resistore sono le stesse che ne escono (nell'unità di tempo) in quanto le cariche elettriche non possono essere "distrutte" o "accumulate" dentro un resistore (essendo esso è un "semplice" conduttore) Consideriamo i potenziali,,, nei punti del circuito indicati in figura : wwweasymathsaltervistaorg

4 Si tratta dei potenziali ai capi dei resistori la conoscenza dei quali è molto importante per comprendere il circuito Si noti che i potenziali e sono i potenziali ai capi del generatore (consideriamo la sua resistenza interna trascurabile) Calcoliamo le tensioni ai capi dei tre resistori Siccome, come sopra affermato, la corrente che circola nei tre resistori è la stessa, abbiamo : dove la tensione ai capi di è (la tensione fra due punti è la differenza fra i rispettivi potenziali, infatti tensione e differenza di potenziale sono sinonimi), la tensione ai capi di è e la tensione ai capi di è Tali tensioni sono dette anche cadute di tensione Si noti che il potenziale è maggiore del potenziale e così via e questo per rispettare la polarità del generatore (un punto più vicino al polo positivo avrà potenziale maggiore di un punto più lontano) Eseguiamo ora la somma in colonna delle tre relazioni scritte sopra partendo dall'evidente presupposto che la somma dei termini a sinistra dell'uguale sarà identica alla somma dei termini a destra Otteniamo perciò : che si semplifica in : wwweasymathsaltervistaorg

5 e in (raccogliendo a fattore comune) : Siccome è la tensione ai capi del generatore che eguaglia (cioè la tensione erogata dal generatore), possiamo scrivere : Questa formula significa che la tensione del generatore è uguale alla corrente che circola nel generatore (ed in ogni resistore) moltiplicata per la somma della resistenze dei tre resistori Possiamo allora immaginare che i tre resistori collegati in serie siano equivalenti ad un unico resistore la cui resistenza è uguale alla somma delle tre resistenze Se poniamo :, chiamando resistenza totale, avremo : Questa formula è identica a quella di un circuito con un solo resistore!!! Il circuito in questione è quindi equivalente al seguente circuito dotato di un unico resistore con resistenza uguale alla somma delle tre resistenze originali : E' importante infine riassumere ciò che caratterizza un circuito di resistori collegati in serie : wwweasymathsaltervistaorg

6 - 1 - nei singoli resistori e nel generatore stesso circola la medesima corrente la somma delle cadute di potenziale ai capi dei resistori eguaglia la tensione del generatore, cioè :, resistori dove qui rappresentano le cadute di potenziale ai capi dei rispettivi la resistenza equivalente (totale) è data dalla somma delle resistenze cioè : Consideriamo i seguenti esempi : esempio Nel caso del circuito con tre resistenze in serie, si abbia : Calcoliamo subito la resistenza totale : Essendo, si ricava la corrente : wwweasymathsaltervistaorg

7 La corrente che circola in ciascun resistore e nel generatore stesso è quindi di due ampere Calcoliamo infine le singole cadute di potenziale (le tensioni) ai capi dei singoli resistori Abbiamo : La caduta su (si può dire brevemente anche così) è di, quella su è di, quella su è di La somma delle tre cadute di potenziale eguaglia la tensione del generatore Infatti : come è giusto che sia esempio Consideriamo una luminaria natalizia costituita da lampadine (di tipo ordinario, ad incandescenza e senza dispositivi interni contro l'interruzione dei circuiti) identiche ciascuna da collegate in serie Supponendo che tale luminaria debba essere collegata alla tensione di rete di, si determini il numero perché il circuito funzioni correttamente e si dica cosa succede se una lampadina si fulmina (NB si dice che una lampadina è da o qualunque altra tensione (che di solito è stampato in trasparenza sulla lampadina stessa) quando il corretto ottimale funzionamento della lampadina lo si ottiene a quella tensione Questo non vuol dire che ad una lampadina non si possa applicare una differente tensione Se si applica alla lampadina una tensione inferiore a quella dichiarata si otterrà meno luce o addirittura nessuna luce Se si applica alla lampadina una tensione superiore a quella dichiarata si otterrà più luce o addirittura la si potrà bruciare In ogni modo, con una tensione maggiore, la durata della lampadina potrà essere anche molto minore della durata media della medesima alla tensione che il costruttore di solito dichiara Una lampadina, in ogni caso, oppone una resistenza alla corrente elettrica per cui è un resistore a tutti gli effetti (si tenga presente il "fattore" temperatura che per una lampadina è di solito molto importante) Sulla lampadina sono stampati anche altri dati fra cui la potenza in watt di cui parleremo più avanti in questo corso) Evidentemente, per avere un funzionamento corretto della luminaria, il numero di lampadine è : perché così la somma delle cadute di potenziale ai capi delle lampadine ( esattamente la tensione di rete ( ) per ognuna) uguaglia wwweasymathsaltervistaorg

8 Se ne utilizzassimo un numero inferiore, avremmo che ai capi di ogni lampadina una caduta di potenziale maggiore di con il rischio di bruciarle Se ne utilizzassimo un numero superiore, avremmo che ai capi di ogni lampadina una caduta di potenziale minore di e questo produrrebbe meno luce Se una lampadina si fulmina, il circuito si interrompe e non passa più corrente La luminaria, ovviamente, si spegne 02 - Resistori in parallelo Consideriamo il seguente circuito elettrico : I due resistori di resistenza ed si dice che sono collegati in parallelo perché i loro estremi sono collegati assieme nei punti e Si ricorda che i tratti di circuito rappresentati da linee continue si suppone non abbiano resistenza elettrica per cui è come se i due resistori fossero collegati direttamente al generatore, cioè i capi dei resistori sono collegati direttamente al polo positivo mentre i capi dei medesimi sono collegati direttamente al polo negativo Questo significa che ai capi dei due resistori vi è la medesima tensione generatore Questo fatto caratterizza i resistori collegati in parallelo che è quella del Di conseguenza, dentro i due resistori circoleranno correnti in generali diverse la cui somma, a causa del principio di conservazione della carica, uguaglierà la corrente complessiva che passa nel generatore Avremo : wwweasymathsaltervistaorg

9 per cui : Intuitivamente, è come se la corrente, entrando nei due resistori, si "dividesse" (in generale in parti diverse) e poi si "ricomponesse" uscendo da essi Le due correnti sono immediatamente calcolabili Abbiamo : essendo la tensione ai capi dei due resistori la stessa, ovvero la tensione del generatore Vediamo il seguente esempio in cui abbiamo tre resistori in parallelo (ovviamente, le considerazioni fatte per due resistori in parallelo valgono anche per resistori in parallelo) Sia il circuito : (si noti il "simbolismo" lievemente diverso da quello usato nel precedente circuito, ma equivalente) wwweasymathsaltervistaorg

10 Le tre correnti sono date da : Si noti che si hanno correnti minori dove la resistenza è maggiore, come è giusto che sia Definiamo ora la resistenza equivalente (o resistenza totale) di un certo numero in parallelo di resistori Sia il circuito : Esso è equivalente a : dove è la resistenza equivalente degli di resistori in parallelo Naturalmente si ha : wwweasymathsaltervistaorg

11 e : Diamo, senza dimostrazione, il valore della resistenza equivalente Essa vale : ovvero, l'inverso della resistenza equivalente di inversi delle resistenze resistori in parallelo è la somma degli Nel caso di due resistori, la formula può essere scritta in un'unica frazione (facendo il minimo comune multiplo dei denominatori) : dalla quale si ricava direttamente (invertendo le frazioni) la resistenza totale : E' facile rendersi conto che la resistenza totale ciascuna resistenza Si ha cioè :, per i resistori in parallelo, è minore di Vediamolo matematicamente nel caso di due resistori in parallelo In questo caso abbiamo : wwweasymathsaltervistaorg

12 Verifichiamo che Avremo allora : da cui si ha (dividendo ambo i membri per (che è positiva)) : e quindi (moltiplicando ambo i membri per (che è positiva)) : Questa disuguaglianza è sempre vera per cui è verificata l'affermazione Lo stesso procedimento per verificare che Fisicamente si capisce che aggiungendo un resistore in parallelo si ottiene una resistenza complessiva minore perché si aumenta la corrente totale a parità di tensione, essendo : per cui, aumentando diminuisce, a parità di Nel caso di due resistenze uguali (ciascuna di valore ) in parallelo si ha : ovvero la resistenza totale è metà di una delle due come è giusto che sia Riassumiamo infine ciò che caratterizza un circuito di resistori collegati in parallelo : wwweasymathsaltervistaorg

13 - 1 - la somma delle correnti che circolano nei resistori eguaglia la corrente che circola nel generatore, cioè : ai capi dei resistori vi è la stessa tensione, quella del generatore la resistenza equivalente (totale) è data dalla formula : Esempio Consideriamo i seguenti circuiti : wwweasymathsaltervistaorg

14 Quali dei due circuiti è preferibile usare per misurare la tensione ai capi di e la corrente che vi circola tenendo presente che può essere "grande" o "piccola" mentre (la resistenza interna del voltmetro) è "grande" e (la resistenza interna dell'amperometro) è "piccola"? Faremo considerazioni qualitative tenendo presente che per "grande" si intende "migliaia di ohm" e per piccola si intende "pochi ohm" - piccola circuito : Il voltmetro, entro i limiti della propria precisione, misura cadute di potenziale (che in generale valgono ) su e su, ovvero la somma delle L'amperometro, entro i limiti della propria precisione, misura Siccome ed sono comparabili, allora e saranno comparabili Il circuito, quindi, misura "bene" ma misura "male" - piccola circuito : Il voltmetro, entro i limiti della propria precisione, misura L'amperometro, entro i limiti della propria precisione, misura Siccome è molto maggiore di, allora è molto maggiore di per cui può considerarsi trascurabile Il circuito, quindi, misura "bene" e misura "bene" - grande circuito : wwweasymathsaltervistaorg

15 Il voltmetro, entro i limiti della propria precisione, misura cadute di potenziale (che in generale valgono ) su e su, ovvero la somma delle L'amperometro, entro i limiti della propria precisione, misura Siccome è molto maggiore di, allora è molto maggiore di per cui può considerarsi trascurabile Il circuito, quindi, misura "bene" e misura "bene" - grande circuito : l voltmetro, entro i limiti della propria precisione, misura L'amperometro, entro i limiti della propria precisione, misura Siccome e sono comparabili, allora e sono comparabili Il circuito, quindi, misura "male" e misura "bene" 03 - Perché la resistenza interna di un amperometro deve essere piccola Consideriamo il semplice circuito : e si voglia misurare con un amperometro la corrente generatore) che circola nel resistore (ed anche nel Naturalmente si deve porre lo strumento in serie al resistore così che la stessa corrente che circola nel resistore circolerà anche nello strumento il quale ne misurerà quindi l'intensità Il circuito sarà allora : wwweasymathsaltervistaorg

16 Ma l'inserimento dello strumento ha modificato il circuito perché esso (lo strumento) contiene una sua resistenza interna Si ottiene quindi che nel circuito ora circola la corrente : che è evidentemente diversa dalla corrente originaria Esattamente ne è minore, cioè è : L'introduzione dello strumento di misura ha inevitabilmente modificato, "disturbato", "perturbato", il circuito originario e questo disturbo è ineliminabile Come deve essere allora la resistenza interna perturbazione sia il più possibile trascurabile? dell'amperometro perché la suddetta Evidentemente essa deve essere la più piccola possibile!!! Se (resistenza interna circa uguale a zero) si avrà : ovvero : Ecco perché gli amperometri hanno una resistenza interna piccola (di pochi ohm) 04 - Perché la resistenza interna di un voltmetro deve essere grande Consideriamo il semplice circuito : wwweasymathsaltervistaorg

17 e si voglia misurare con un voltmetro la tensione tensione erogata dal generatore) ai capi del resistore (che uguaglia la Naturalmente si deve porre lo strumento in parallelo al resistore Il circuito sarà allora : Lo strumento così collegato misurerà direttamente la tensione che circola nel circuito La nuova corrente sarà tale per cui : ma modificherà la corrente D'altra parte si ha : per cui, sostituendo, possiamo scrivere : wwweasymathsaltervistaorg

18 Se la resistenza interna del voltmetro è grande, il termine è prossimo a zero per cui possiamo trascurarlo Avremo allora : ovvero : Se la resistenza del voltmetro è grande, la corrente che circola nel circuito non viene modificata dal suo inserimento Ecco perché i voltmetri hanno una resistenza interna grande (molte migliaia di ohm) Circuiti elettrici (2' parte) 05 - Circuiti misti (resistori in serie e parallelo) esempio Consideriamo il seguente circuito : Si calcolino le correnti e le cadute di potenziale relative ai tre resistori Esso presenta resistenze in serie ed in parallelo In questo circuito, la corrente che passa per il generatore e per il resistore, quando entra nel due resistori ed, si divide in due correnti, ed, in modo che : wwweasymathsaltervistaorg

19 Inoltre, la somma delle cadute di potenziale ai capi di parallelo ed eguaglia la tensione del generatore, cioè : ed ai capi dei due resistori in dove con indichiamo la caduta di potenziale ai capi di e con la caduta di potenziale ai capi dei due resistori in parallelo ed così come indicato nel grafico : Per calcolare le correnti e le tensioni richieste si procede ricavando i successivi circuiti equivalenti del circuito dato Il circuito equivalente a quello dato in cui le due resistenze in parallelo, ed, sono considerate come un'unica resistenza, che chiameremo, è il seguente : Il valore di è dato da : wwweasymathsaltervistaorg

20 da cui si ricava : Il circuito equivalente al precedente in cui le due resistenze in serie, e, sono considerate come un'unica resistenza, che chiameremo, è il seguente : Il valore di è dato da : ovvero, sostituendo : A questo punto siamo in grado di calcolare la corrente Avremo : Per ricavare la caduta basterà fare : e per calcolare la caduta : Le correnti ed saranno date da : wwweasymathsaltervistaorg

21 Abbiamo così ricavato tutti i dati richiesti Lasciamo al lettore la sostituzione nelle formule dei dati numerici consigliando infine di eseguire la verifica dell'esattezza dei risultati ottenuti sostituendoli nelle formule, che "riassumono" correnti e tensioni per questo circuito esempio Consideriamo il seguente circuito : Si calcolino le correnti e le cadute di potenziale relative ai cinque resistori Per fare questo, procediamo, come nell'esempio - 1 -, individuando in sequenza i circuiti equivalenti che si ricavano dal circuito originario Il circuito equivalente che si ottiene calcolando la resistenza equivalente in serie ed è il seguente : delle resistenze wwweasymathsaltervistaorg

22 Per esso si ha : Il circuito equivalente che si ottiene calcolando la resistenza equivalente in parallelo ed è il seguente : delle resistenze Per esso si ha : Il circuito equivalente che si ottiene calcolando la resistenza equivalente serie, ed è il seguente : delle resistenze in wwweasymathsaltervistaorg

23 Per esso si ha : Ora siamo in grado di calcolare la corrente generatore) che circola nel circuito (in particolare nel Avremo : La caduta di potenziale ai capi di è : La caduta di potenziale ai capi di è : La caduta di potenziale ai capi di è : La corrente che circola in è : La corrente che circola in è : wwweasymathsaltervistaorg

24 La caduta di potenziale ai capi di è : La caduta di potenziale ai capi di è : Si noti che : Questo risultato, apparentemente errato, dipende dalle approssimazioni numeriche effettuate sopra esempio Perché gli uccelli possono posarsi tranquillamente sui fili dell'alta tensione? I fili (i cavi) dell'alta tensione (o della distribuzione elettrica aerea in genere) non sono ricoperti da alcun isolante Gli uccelli, quindi, posandovisi sopra, vengono a "contatto" con la corrente che circola nei fili che sicuramente potrebbe costituire un pericolo per la loro incolumità D'altra parte, se un uccello riuscisse a posare una zampa su un filo e l'altra su un altro, risentirebbe di una grande differenza di potenziale e verrebbe fulminato all'istante Questo, però, può avvenire solo per volatili molto grandi perché i fili sono di solito sufficientemente distanziati Un uccello potrebbe posarsi su un filo e toccare con il becco o altra parte del corpo un conduttore a differente potenziale in prossimità dell'isolante, per esempio questo potrebbe avvenire nelle vicinanze di un isolante (strutture di vetro o ceramica o altro che serve per isolare un filo dal suo sostegno) o strutture analoghe In questo caso l'uccello rimarrebbe fulminato Consideriamo allora un uccello posato su un filo : wwweasymathsaltervistaorg

25 Nel filo passa la corrente elettrica alternata) che supporremo continua (anche se nella realtà essa è Contrariamente a quello che comunemente si pensa, attraverso l'animale passa una corrente elettrica, seppur piccola Questa piccola corrente non gli reca alcun danno per cui i fili dell'alta tensione saranno sempre prediletti dai pennuti per le loro comode soste L'uccello possiede una propria resistenza interna così come il tratto di filo ha la propria resistenza (calcolabile facilmente usando la seconda legge di Ohm conoscendo resistività, lunghezza e sezione del tratto di conduttore) Si può quindi introdurre il seguente schema che rappresenta il fenomeno : wwweasymathsaltervistaorg

26 La corrente viene quindi scomposta nella somma : dove è la corrente che passa per il volatile e è la corrente che passa nel tratto di conduttore La caduta di potenziale scrivere : ai capi dei due resistori è evidentemente la stessa Possiamo perciò Abbiamo quindi ottenuto il sistema : la cui soluzione ci fornisce le due correnti, in funzione delle due resistenze, e della corrente totale Ricaviamo dalla seconda equazione : e sostituiamo nella prima : Proseguendo nei calcoli si ottiene : wwweasymathsaltervistaorg

27 secondo è (abbiamo eseguito il minimo comune multiplo dei denominatori di cui il e trasformato in un'unica frazione) e : (abbiamo raccolto a fattore comune portandolo fuori dalla frazione) da cui : (abbiamo moltiplicato ambo i membri per il reciproco della frazione) e : cioè : Riassumendo, le due correnti sono : In particolare, a noi interessa la corrente che circola nel volatile : Siccome la resistenza del conduttore è molto piccola (prossima a zero) e la resistenza del volatile è molto grande (rispetto alla precedente), la formula può essere approssimata da : wwweasymathsaltervistaorg

28 Questo dimostra che gli uccelli possono tranquillamente posarsi sui fili dell'alta tensione!!! Se invece si avesse che le due resistenze sono comparabili, cioè, avremmo : cioè : La corrente si dividerebbe in due parti comparabili e la corrente che passa attraverso il volatile lo ucciderebbe Il problema può essere affrontato anche da altri punti di vista, ma si ottiene sempre lo stesso risultato Possiamo, ad esempio, notare che fra le zampe dell'uccello, benché posate sullo stesso filo, esiste una differenza di potenziale, corrispondente alla caduta di tensione fra i punti e ai capi di Se la ddp è molto piccola, sarà molto piccola (ma non nulla) anche la corrente elettrica che attraverserà l'uccello Vediamo di calcolarne l'ordine di grandezza La ddp si calcola con la prima legge di Ohm : La corrente i corrisponde con grande approssimazione alla corrente totale, che può arrivare da pochi ampere a migliaia di ampere è la resistenza di un tratto di conduttore metallico lungo pochi centimetri e con la sezione che può giungere a qualche centimetro quadrato La sua resistenza, calcolata con la seconda legge di Ohm, è dell'ordine di qualche milionesimo di ohm Se ci mettiamo in un caso molto sfavorevole per l'uccello, cioè con una corrente di, dalla legge di Ohm ricaviamo che la tensione fra i punti e è dell'ordine dei millivolt, cioè estremamente bassa Poiché la resistenza elettrica dell'uccello può essere stimata in qualche migliaio di ohm, risulta che la corrente che attraversa il volatile, sarà inferiore al milionesimo di ampere Si tratta di una corrente estremamente bassa, non avvertita dall'uccello, ma non nulla Se si pensa che la corrente di un ampere corrisponde al passaggio attraverso la sezione di un conduttore di un coulomb al secondo, cioè di sei miliardi di miliardi di elettroni al secondo, wwweasymathsaltervistaorg

29 attraverso la sezione delle zampe del nostro uccello c'è comunque un passaggio di miliardi di elettroni al secondo La situazione per i volatili potrebbe diventare preoccupante se diventa abbastanza grande in modo da far aumentare in modo significativo la caduta di tensione ai suoi capi Per aumentare il valore di occorre aumentare la sua lunghezza e diminuire la sua sezione La lunghezza, corrispondente alla distanza fra le zampe dell'uccello, resta di solito entro la decina di centimetri La sezione non può diventare troppo piccola per motivi legati alla resistenza meccanica ed elettrica del conduttore Gli uccelli di piccole dimensioni possono dormire sonni tranquilli sui fili dell'alta tensione Quelli maggiori possono correre dei rischi a causa dell' apertura alare che potrebbe portarli a toccare o sfiorare contemporaneamente punti ad elevata differenza di potenziale wwweasymathsaltervistaorg