L ARTE DI NON FARE I CALCOLI

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Teodoro Cirillo
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1 L ARTE DI NON FARE I CALCOLI ovvero: il calcolo prima dell elettronica non una storia, ma un contributo per non dimenticare Oscar Chisini ( ) Isaac Asimov, The feeling of power, 1958

2 CALCOLO ARITMETICO somme e sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni Il calcolo più elementare, ma anche il più importante perché: interessa tutti costituisce la struttura di base per qualunque altro genere di calcolo tutte le applicazioni della matematica, anche le più avanzate, nella fase operativa devono produrre risultati numerici

3 Nel corso dei secoli, diventando sempre più intense e complesse le attività umane e le relazioni sociali, sono cresciute anche le esigenze di calcolo: trattare numeri sempre più grandi eseguire calcoli sempre più lunghi e complicati velocizzare l esecuzione assicurare una sempre maggior precisione garantire l immunità da errori

4 = sviluppo di tecniche: 1) per la rappresentazione simbolica dei numeri (basi numeriche, notazione posizionale) e per il calcolo (algoritmi e regole, stima degli errori di arrotondamento) 2) per la realizzazione di dispositivi che permettano di automatizzare l esecuzione delle operazioni.

5 L ABACO già noto agli antichi egizi, ancora in uso in Cina fino alla metà del secolo scorso Abaco modello base (pallottoliere) Abaco cinese del tipo (2,5) Con l abaco, si possono eseguire direttamente solo somme e sottrazioni

6 Abaco cinese (2,5)

7 ADDIATOR (aritmografo a cremagliera) Principale produttore: Addiator Gesellschaft, Berlino (dal 1920 al 1982)

8 Aritmografo a cremagliera

9 LE CALCOLATRICI MECCANICHE Blaise Pascal (1642). Pascalina: solo addizioni e sottrazioni, con azzeramento e riporto automatici. Concepita per la contabilità fiscale, sulla base della moneta all epoca in corso in Francia (Lira Francese= 20 Soldi = 240 Denari) Gottfried Leibniz (1673). Progetta una macchina in grado di eseguire anche moltiplicazioni e divisioni grazie a due idee innovative: lo Stepped Reckoner e il traspositore C.X. Thomas de Colmar (1820). Aritmometro (prima macchina calcolatrice prodotta industrialmente)

10 Modello giocattolo della Pascalina

11 Curt Herzstark: CURTA Prodotta dalla Contina Ltd Mauren (Liechtenstein) e commercializzata dal 1948 al 1970 (circa esemplari al costo di 125 dollari) Divisumma Olivetti ( ): calcolatrice elettromeccanica da tavolo con stampante incorporata CALCOLATORI PROGRAMMABILI Charles Babbage (1837): macchina analitica Douglas Hartree (1934): analizzatore differenziale (usa pezzi del Meccano )

12 Calcolatrice meccanica tascabile CURTA

13 Museo della scienza di Londra

14 Lo strumento che offre maggiori spunti alla riflessione matematica, anche dal punto di vista didattico, è: IL REGOLO CALCOLATORE Nella storia degli strumenti di calcolo occupa una posizione molto particolare (non può essere considerato una macchina) Col regolo si possono eseguire direttamente moltiplicazioni e divisioni, ma non somme e sottrazioni. In generale, si ottengono solo valori approssimati dei risultati delle operazioni.

15 Regolo calcolatore tascabile

16 Nella sua versione più semplice, il regolo calcolatore è composto da due sbarrette, una fissa e l altra scorrevole, su ciascuna delle quali è riportata una scala logaritmica. Il fondamento teorico del regolo calcolatore è costituito da: I LOGARITMI Definizione (moderna) di logaritmo (Eulero, 1730 circa): X = log b x b X = x b > 0(b 1), x > 0

17 L invenzione dei logaritmi è comunemente attribuita a John Napier: Mirifici logaritmorum canonis descriptio (1614) La magnifica regola dei logaritmi: log b xy = log b x + log b y (x > 0, y > 0)

18 La definizione originale di Napier è molto diversa da quella moderna. Sembra che Napier sia arrivato a formularla sviluppando due idee: 1) l uso di formule di prostaferesi per i calcoli astronomici (Tycho Brahe) 2) l uso di progressioni geometriche, combinate col metodo dell interpolazione lineare, per ridurre la complessità dei calcoli (Stifel, 1544) 1, b, b 2, b 3,..., b N,...

19 Siano date due semirette, di origine rispettivamente O e O, e sia A un punto sulla prima semiretta, di ascissa a. Un punto P, di ascissa x, si muove a partire da A verso l origine, con velocità che decresce in maniera proporzionale alla distanza che gli rimane da percorrere. Simultaneamente, un punto Q, di ascissa X, si muove sulla seconda semiretta con velocità costante uguale a v, partendo dall origine. O P A x O Q X Napier assegna a = v = 10 7 ed afferma che X è il logaritmo di x

20 Ragionamento di Napier Misurando le posizioni di P e Q a intervalli di tempo regolari, si osserva che mentre la posizione di Q cresce con progressione aritmetica, quella di P decresce con progressione geometrica. Quindi deve esistere un numero b > 0 tali che x = a b X ( ) Dopo alcuni tentativi, Napier conclude che per garantire una variazione abbastanza uniforme della x in funzione di X conviene scegliere a = v = 10 7 e b = = 0,

21 Interpretazione moderna ẋ = x x(0) = a Ẋ = v X(0) = 0 Integrando, si ricava (con notazione moderna) x = ae t, X = vt Eliminando t, con semplici passaggi, si ottiene X = v log 1e x a ovvero x = a ( 1 e )X v ( )

22 Le formule (*) e (**) coincidono, a condizione di identificare cioè Ma ( 1 e ) con b = e con b = ( 1 1 ) ( lim k = e = k k) e per k = 10 7 si ha ( 1 1 ) = corretto fino alla sesta cifra! (Non si conoscevano ancora le derivate, le serie, e nemmeno la notazione esponenziale)

23 Differenze rispetto alla definizione attuale: la base (si riduce a uno scambio di segni) i fattori di scala = il logaritmo neperiano di uno non è zero il logaritmo neperiano della base non è uno

24 SCALA LOGARITMICA Se X = log x, si usa x per denotare il punto di ascissa X Su una scala logaritmica, due intervalli [a, b] e [c, d] sono uguali se b a = d c Infatti B A = log b a, D C = log d c

25 Usi della scala logaritmica: scale musicali scala Richter

26 Successo e declino del regolo calcolatore: Edmund Gunter (Londra, 1620) William Oughtred (Cambridge, 1630) Amédée Mannheim (Parigi, 1851) (aggiunge nuove scale per altri calcoli) Quintino Sella (Torino, 1859) Max Rietz (1902) Alwin Walther (Università di Darmstadt, log log ) (1934) Prodotto e commercializzato a partire dalla fine dell ottocento e fino al 1978 (Faber-Castell, Pickett, Aristo, Nestler)

27 Operazioni col regolo Moltiplicazione: grazie alla prima proprietà dei logaritmi, con l utilizzo delle scale C e D moltiplicazione somma traslazione i numeri vanno rappresentati in virgola mobile x = M 10 E l ordine di grandezza E deve essere calcolato a parte. la precisione dipende dall esperienza e dall abilità dell operatore

28 Scale aggiuntive: A scala fissa dei quadrati B scala mobile dei quadrati CI scala dei reciproci K scala dei cubi L, LL1... scale di logaritmi S scala dei seni e coseni T scala delle tangenti...

29 Altre operazioni: Calcolo di percentuali, risoluzione di certe equazioni di secondo grado, area e diametro del cerchio, potenze e radici, funzioni trigonometriche

30 Altri tipi di regolo: regoli circolari regoli cilindrici regoli concepiti per attività specifiche (Calcolo del fattore di potenza e delle curve di carico degli impianti elettrici, calcolo della sezione di un cavo, rendimento di una dinamo o di un motore, calcoli statistici, regoli per usi militari) Regoli didattici

31 IL REGOLO SULLA LUNA 20 Luglio 1969

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