Caos e ordine: rapporti tra botanica e matematica

Транскрипт

1 Caos e ordine: rapporti tra botanica e matematica

2 1. La simmetria

3 Lilium candidum Giglio di S. Antonio

4 Helleborus niger Rosa di Natale

5 Aquilegia vulgaris Aquilegia

6 Dianthus sylvestris Garofano selvatico

7 Dianthus sylvestris Garofano selvatico

8 Eruca vesicaria Rucola

9 Anemone nemorosa Anemone dei boschi

10 Hepatica nobilis Erba trinità

11 Hepatica nobilis Erba trinità Variabilità del numero di petali

12 Matthiola sinuata Violacciocca di mare

13 Vinca minor Pervinca

14 Ophrys apifera Vesparia

15 Lathyrus pratensis Erba galletta

16 Salvia nemorosa Salvia

17 Veronica filiformis Veronica filiforme

18 Viola biflora Violetta a due fiori

19 Tipi di simmetria Simmetria bilaterale, ovvero rispetto a un piano (speculare).

20

21 Il giglio ha 3 piani di simmetria

22

23 Ma ha anche un asse ternario. Un asse di simmetria può essere: binario ternario quaternario quinario senario

24

25 Ecco la simmetria completa

26 Ophrys apifera Vesparia Solamente un piano

27 Lathyrus pratensis Erba galletta Solamente un piano

28 Salvia nemorosa Salvia Solamente un piano

29 Veronica filiformis Veronica filiforme Solamente un piano

30 Viola biflora Violetta a due fiori Solamente un piano

31

32 Helleborus niger Rosa di Natale Un asse quinario e 5 piani

33 Aquilegia vulgaris Aquilegia Un asse quinario e 5 piani

34 Dianthus sylvestris Garofano selvatico Un asse quinario e 5 piani (imperfetta)

35 È da notare che il Dianthus si scosta molto da una simmetria ideale, eppu re noi vediamo ugualmente la simmetria. Del resto le simmetrie perfette in natura non esistono: è una caratteristica notevole della nostra mente questa capacità di vedere e astrarre delle rego le ideali da situazioni reali che non le rappresentano esattamente.

36 Eruca vesicaria Rucola Un asse quaternario e 4 piani

37 Matthiola sinuata Violacciocca di mare Un asse binario e 2 piani

38 Anemone nemorosa Anemone dei boschi Un asse senario e 6 piani

39 Hepatica nobilis Erba trinità Un asse senario e 6 piani

40 Vinca minor Pervinca Un asse quinario, nessun piano

41 Vinca minor Pervinca Un asse quinario, nessun piano

42 Dalla simmetria dei fiori alla matematica astratta

43 AKQ QAK KQA AQK QKA KAQ

44 AKQ, QAK, KQA, AQK, QKA, KAQ sono le 6 permutazioni delle tre lettere A, K, Q. Si vede così che c' è una stretta corrispondenza (isomorfismo) fra le simmetrie del fiore e le permutazioni di tre lettere. Dal punto di vista matematico (astratto) abbiamo a che fare con la stessa strut tura: una struttura di gruppo.

45 La teoria dei gruppi muove i primi passi alla fine del ' 700, ma riceve il suo pieno sviluppo con Galois ( ). Ha avuto applicazioni alla risoluzione delle equazioni algebriche, poi molte al tre nella matematica. È stata impiegata nello studio della simmetria e delle proprietà fisiche dei cri stalli (P. Curie). Dopo la nascita della meccanica quantistica è divenuta uno strumento essenziale per le teorie delle interazioni fondamentali in fisica.

46 2. Oltre la simmetria

47 Trifolium montanum Trifoglio montano

48 Centaurea cyanus Fiordaliso

49 Knautia arvensis Scabiosa dei campi

50 Angelica sylvestris Angelica

51 Lactuca serriola Lattuga spinosa

52 Taraxacum officinale Dente di leone

53 Taraxacum officinale Dente di leone

54 Helianthus tuberosus Topinambur

55 Helianthus tuberosus Topinambur

56 Tutti questi fiori non hanno simmetria visibile. Ma in realtà non sono fiori: sono infiorescenze. Abbiamo dunque il problema: come si dispongono gli elementi di un' in fiorescenza? Questo è un caso particolare del problema della fillotassi: la disposizione di elementi simili (foglie, rami, petali ) nell' accrescimento di una pian ta.

57

58

59 Echinacea purpurea

60 In tutti questi casi è evidente un ordine, ma di un genere diverso. Si vedono delle spirali, che si sviluppano nei due versi: orario e antiorario.

61 Le spirali antiorarie sono 8

62 Le spirali orarie sono 13

63 Le spirali antiorarie sono 34

64 Le spirali orarie sono 55

65 Questi numeri: non sono casuali: si ritrovano quasi sempre. Fanno parte di una famosissima successione, i numeri di Fibonacci: in cui ogni numero è la somma dei due che lo precedono.

66 Leonardo Fibonacci (o Leonardo Pisano, ) nacque ad Algeri e viaggiò molto per il Mediterraneo. È soprattutto famoso per aver introdotto in Italia, quindi in Europa, la numerazione araba (di origine indiana). La successione di Fibonacci nasce da un problema di conigli, ma ha avuto numerosissime applicazioni nei più diversi rami della matematica. Ma il nostro problema è: perché si ritrova nelle infiorescenze, e più in ge nerale nella fillotassi? Molti matematici si sono occupati del problema, ma sembra che ancora non ci sia una risposta sicura. Tuttavia

67 Un girasole artificiale costruito con la formula di Vogel

68 3. I frattali

69 Angelica sylvestris Angelica

70 L' ombrello dell' angelica ha una particolarità: appare formato di tanti om brelli minori, che a loro volta La cosa appare ancora meglio nel caso del broccolo.

71 Brassica oleracea italica Cavolo broccolo

72 L' ombrello dell' angelica ha una particolarità: appare formato di tanti om brelli minori, che a loro volta La cosa appare ancora meglio nel caso del broccolo. Qui si notano le spirali, ma anche la struttura a più livelli: un esempio di struttura frattale. Ogni ramo dell' infiorescenza è a sua volta ramificato in modo simile al l' oggetto intero.

73

74

75

76 Il concetto di frattale è stato creato da Mandelbrot intorno al Ha gettato nuova luce su certi strani oggetti matematici, come la curva di Peano, gli insiemi di Cantor Le sue applicazioni sono innumerevoli: dalla cosmologia alla botanica; dalla geografia all' economia.

77 Ancora una volta, quelli che si trovano in natura sono frattali soltanto approssimati: in un vero frattale la ramificazione continuerebbe all' infini to

78