I numeri di Fibonacci e la Sezione Aurea

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1 I numeri di Fibonacci e la Sezione Aurea Ottavio Caligaris 12 Maggio / 64

2 Fibonacci Leonardo da Pisa detto Fibonacci cioè figlio di Bonaccio 12 Maggio / 64

3 Fibonacci Nacque a Pisa attorno al 1170 Morì a Pisa attorno al 1250 Fu educato in Nord Africa da precettori mussulmani Ebbe modo di conoscere ed apprezzare il sistema di numerazione indo-arabica che introdusse per primo in Europa. Le sue opere maggiori sono Liber Abaci (1202) Practica Geometriae (1220) Liber Quadratorum (1225) 12 Maggio / 64

4 Fibonacci Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno a partire da un unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia genera una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal suo secondo mese di vita? ( Liber Abaci 1202 ) 12 Maggio / 64

5 Fibonacci 12 Maggio / 64

6 Fibonacci Il numero f n di conigli al mese n è dato da n f n Maggio / 64

7 La successione di Fibonacci La successione f n fu chiamata successione di Fibonacci da François Édouard Anatole Lucas nato ad Amiens il 4 Aprile 1842 morto a Parigi il 3 Ottobre 1891 La successione di Fibonacci è identificata da 8 >< >: f 1 = 1 f 2 = 1 f n+1 = f n + f n`1 n 2 (1) 12 Maggio / 64

8 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci può essere espressa mediante la f n = p p 1 5 A 5 2 n ` 1 ` p5 1 An 1 A 2 dove 1 + p 5 2 è il Rapporto Aureo e si indica solitamente con la lettera oppure con la lettera fi = 1 + p 5 2 Il Rapporto aureo risolve il problema di dividere un segmento in due parti di cui la maggiore è media proporzionale tra la minore ed l intero segmento 12 Maggio / 64

9 La Sezione Aurea La Sezione Aurea Problema: Dividere il segmento AB in due parti AT e TB delle quali una sia media proporzionale tra l altra ed il segmento intero. A T B Deve essere AB TB = TB AT AT + TB TB = TB AT AT TB + 1 = TB AT 12 Maggio / 64

10 La Sezione Aurea Se chiamiamo avremo = TB AT da cui e = 1 p5 2 = < 1: :::: = : `0: :::: = 1 + p 5 2 = 1: Maggio / 64

11 La Sezione Aurea Se consideriamo la successione R n = f n f n`1 dei rapporti tra due numeri di Fibonacci successivi, possiamo osservare che il suo andamento è del tipo e si vede che tende a ı 1: R 2n & R 2n+1 % 12 Maggio / 64

12 La Sezione Aurea Costruzione Geometrica della sezione aurea a+b a = a b γ b a = 1 a a a + b = ϕ γ a + b 12 Maggio / 64

13 La Sezione Aurea 12 Maggio / 64

19 La Sezione Aurea a+b a = a b γ b a = 1 a a a + b = ϕ γ a + b 12 Maggio / 64

20 Costruzione del pentagono regolare 0 1/2 1 (1 + (5))/2 12 Maggio / 64

21 Costruzione del pentagono regolare 0 1/ Maggio / 64

22 Costruzione del pentagono regolare 0 1/ Maggio / 64

30 Numeri di Fibonacci e Natura I semi del girasole sono disposti secondo uno schema che rispetta proporzioni indicate dalla successione di Fibonacci. È possibile identificare spirali orarie e spirali antiorarie disegnate dalla disposizione dei semi. 12 Maggio / 64

31 Numeri di Fibonacci e Natura Il numero di spirali orarie ed antiorarie sono coppie di numeri di Fibonacci successivi. Si osservano 34 e 55 ma anche 89 e 144 spirali Nel 1951 The Scientific Monthly pubblicò la notizia dell osservazione di un girasole con 144 e 233 spirali. 12 Maggio / 64

32 Numeri di Fibonacci e Natura Si possono trovare coppie di numeri di Fibonacci successivi in molti altri casi Echinacea 12 Maggio / 64

33 Numeri di Fibonacci e Natura Pigna 12 Maggio / 64

34 Numeri di Fibonacci e Natura Broccolo Romanesco 12 Maggio / 64

35 Numeri di Fibonacci e Natura Nelle piante le foglie sono disposte lungo il fusto secondo una spirale. ad esempio N T T il numero di giri bisogna fare attorno al fusto di una pianta per trovare due foglie sovrapposte N numero di foglie che si incontrano prima di trovare due foglie sovrapposte 12 Maggio / 64

36 Numeri di Fibonacci e Natura Qualche proprietà della successione di Fibonacci La successione di Fibonacci è caratterizzata dalla relazione di ricorrenza f n+1 = f n + f n`1 Dividendo per f n si ricava Posto f n+1 f n = 1 + f n`1 f n si ha R n+1 = f n+1 f n R n = f n f n`1 R n+1 = R n 12 Maggio / 64

37 Numeri di Fibonacci e Natura Per n abbastanza grande e R n! da cui = = ` ` 1 = 0 e = 1 + p 5 2 = 1 p5 2 = 1: :::: > 1 12 Maggio / 64

38 Numeri di Fibonacci e Natura La successione di Fibonacci soddisfa molte identità tra cui nx f k = f 1 + f 2 + f 3 + : : : f n = f n+2 ` 1 (*) k=1 nx f 2k`1 = f 2n (*) k=1 nx k=1 f 2 k = f nf n+1 (*) f n`1 f n+1 ` f 2 n = (`1)n (Identità di Cassini) 12 Maggio / 64

39 Scomporre e Ricomporre Consideriamo il quadrato di lato 21 scomposto come in figura. 12 Maggio / 64

40 Scomporre e Ricomporre E ricomponiamo le parti come segue ottenendo un rettangolo di lati 13 e Maggio / 64

41 Scomporre e Ricomporre Ma 21 2 = 441 6= 442 = 13 ˆ 34?!? 12 Maggio / 64

42 Scomporre e Ricomporre L identità di Cassini f n`1 f n+1 ` f 2 n = (`1) n consente di costruire un puzzle che si puó scomporre e ricomporre perdendo o guadagnando una unità di area come mostra la seguente figura 12 Maggio / 64

43 Scomporre e Ricomporre f n`1 f n+1 ` f 2 n = (`1)n La differenza di una unità è più evidente per numeri di Fibonacci più piccoli. 12 Maggio / 64

44 Numeri di Fibonacci ed arte La sezione aurea compare spesso nelle opere d arte. 12 Maggio / 64

45 Numeri di Fibonacci ed arte 12 Maggio / 64

48 Numeri di Fibonacci ed arte Il corpo umano viene rappresentato con proporzioni auree. 12 Maggio / 64

49 La spirale logaritmica T Si definisce spirale logaritmica una curva descritta nel piano da un punto P tale che α P T Il raggio vettore OP ed il vettore tangente alla curva PT formino un angolo fissato P O α α P T 12 Maggio / 64

50 La spirale logaritmica T L equazione α P ( cot ) j( ) = ke ρ(θ) O θ descrive le proprietá geometriche della spirale logaritmica 12 Maggio / 64

51 La spirale logaritmica La spirale aurea è una spirale logaritmica che per = ı=2 j vale ffi. Ha equazione j( ) = e b dove b = 2 ln(ffi) = cot( ) per cui ı 72:9 ı Se j 1 = e b ; j 2 e b( +ı=2) j 3 e b( +ı) si ha j 1 j 3 = j 2 2 e j 1 é medio proporzionale tra j 1 e j 3. Inoltre j 3 j 2 = j 2 j 1 = ffi 12 Maggio / 64

52 La spirale logaritmica ρ3 ρ2 ρ1 Pertanto il rettangolo avente lati j 1 + j 3 e j 2 è aureo così come i rettangoli aventi lati j 1, j 2 e j 2, j 3 ρ3 ρ2 ρ1 12 Maggio / 64

53 La spirale di Fibonacci Consideriamo ora due quadrati di lato 1 sovrapposti e tracciamo due quarti di circonferenza in essi inscritti 12 Maggio / 64

54 La spirale di Fibonacci Affianchiamo alla loro sinistra un quadrato di lato 2 e tracciamo un quarto di circonferenza in esso inscritta 12 Maggio / 64

55 La spirale di Fibonacci Aggiungiamo sotto alla figura ottenuta un quadrato di lato 3 e tracciamo un quarto di circonferenza in esso inscritta 12 Maggio / 64

56 La spirale di Fibonacci Aggiungiamo a destra della figura ottenuta un quadrato di lato 5 e tracciamo un quarto di circonferenza in esso inscritta 12 Maggio / 64

57 La spirale di Fibonacci Aggiungiamo a sinistra un quadrato di lato 8 e tracciamo un quarto di circonferenza in esso inscritta 12 Maggio / 64

58 La spirale di Fibonacci Aggiungiamo a sinistra un quadrato di lato 13 e tracciamo un quarto di circonferenza in esso inscritta Proseguiamo con un arco di circonferenza di raggio Maggio / 64

59 La spirale di Fibonacci La curva ottenuta si chiama spirale di Fibonacci ha evidenti connessioni con la sezione aurea. e compare molto spesso in natura. Ad esempio nel Nautilus. 12 Maggio / 64

60 La spirale di Fibonacci Nautilus è un genere di molluschi cefalopodi tetrabranchiati, considerato estinto in seguito ai ritrovamenti fossili risalenti al Paleozoico, che è stato osservato per la prima volta in vita solamente nel 1829, pertanto è classificato come fossile vivente, per quanto la sua conchiglia, proveniente dai commerci con le Indie orientali, fosse ben nota ed usata in oreficeria già nel secolo XVII. Il nautilus si presenta come una grossa conchiglia (anche oltre i 20 cm di diametro a sezione di spirale logaritmica) con l apertura rivolta verso l alto in cui vive un corpo molle con una grossa testa La conchiglia ha una superficie liscia e bianca con screziature rosso arancio, è sottile e liscia, avvolta dorsalmente su uno stesso piano. Altre specie presentano una conchiglia madreperlacea o di colore bianco brillante. Il nicchio è concamerato, presenta cioè un canale che collega i vari compartimenti e permette al gas azotato ivi contenuto di passare attraverso i setti trasversali che delimitano le camere, favorendo il galleggiamento dell animale, nella sua tipica posizione verticale, tramite opportune regolazioni di pressione. I setti, inoltre, sostengono strutturalmente la conchiglia quando l animale si immerge a grandi profondità ed è sottoposto a pressioni notevoli. Il nautilus, intervenendo sulle varie percentuali di liquido e gas nei vari setti, effettua una grande escursione batimetrica (di profondità) tra il giorno (dove si sposta a profondità di 500 metri) e la notte (dove si avvicina alla superficie dell oceano). All interno del nicchio sono presenti circa zone divise da pareti di madreperla, chiamate setti, che aumentano di numero con l aumentare dell età: sono le camere che il corpo dell animale occupa a mano a mano che aumenta di dimensione. Solo l ultimo e più esterno dei setti è occupato costantemente dalle parti molli dell organismo, dotato di circa 90 tentacoli privi di ventose, di un becco corneo, una radula ed un imbuto ottenuto dalla modificazione del tubo. 12 Maggio / 64

61 La spirale di Fibonacci La spirale di Fibonacci e la spirale aurea sono simili ma non coincidenti. 12 Maggio / 64

62 I solidi Platonici Trai solidi Platonici il dodecaedro e l icosaedro sono identificati da una terna di rettangoli mutuamente ortogonali di proporzioni auree. 12 Maggio / 64

63 I solidi Platonici 12 Maggio / 64

64 I solidi Platonici Maggio / 64