fase 2 fase 1 icosaedro All origine degli assi i tre rettangoli aurei fase 3 icosaedro troncato

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3 Quest anno scolastico 2008/2009 al nostro CFP, durante le lezioni di DISEGNO TECNICO ci siamo dedicati alle sezioni auree e alle tavole per la costruzione di un pallone da calcio, in versione puff di forma sferica, da realizzare in laboratorio TAPPEZZERIA. Abbiamo scoperto che il pallone da calcio è formato da 12 pentagoni e 20 esagoni. Quando è ben gonfiato e ci giochiamo sembra una sfera, un solido perfetto; se invece lo osserviamo con + attenzione scopriamo che la sua superficie è formata da pentagoni ed esagoni regolari cuciti assieme. Abbiamo quindi voluto scoprire la sua struttura/origine geometrica e siamo giunti a capire che il nostro gettonatissimo PALLONE DA CALCIO è un poliedro, chiamato per la precisione ICOSAEDRO TRONCATO. LIMANDO I 12 VERTICI di un ICOSAEDRO,che è costituito da 20 FACCE triangolari(il solido platonico regolare e perfetto + vicino alla sfera, formato da 20 triangoli equilateri) si ottengono le 12 facce in più rigorosamente pentagonali, mentre le rimanenti superfici danno forma agli altri 20 esagoni( al posto dei 20 triangoli)

4 icosaedro fase 1 fase 2 fase 3 icosaedro troncato All origine degli assi i tre rettangoli aurei

5 Perché DIVINO? Questo particolare poliedro viene utilizzato per fabbricare palloni perché, una volta gonfiato, approssima la sfera fino al 95%, eliminando così ogni eventuale rimbalzo imprevisto. Si potrebbe ritenere indubbiamente il gioco più antico del mondo, almeno da quando la terra è detta sferica! L ICOSAEDRO, lo abbiamo visto, è il solido platonico più vicino alla perfezione sferica, tuttavia, nonostante la sua complessità, nel 1509 il frate francescano Luca Pacioli, nel suo libro De diiviina proporziione, rese evidente una tecnica per costruirlo e, insieme, l inequivocabile condizione strutturale per la sua ORIGINE DIVINA. Alla base del suo metodo infatti, sta l utilizzo di TRE RETTANGOLI AUREI disposti sui tre piani xy, xz e yz e intersecati tra loro sull incidenza delle rispettive mediane, all origine dei tre assi, centro del solido. Il primo incontro con la Divina Proporzione avviene in Geometria. La proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide recita così: dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore, la Sezione Aurea di un segmento, è la parte media proporzionale tra l intero segmento e la parte rimanente. Collegando alternativamente i vertici del decagono si ottiene il pentagono regolare inscritto nel cerchio; tracciatone due diagonali dallo stesso vertice, essendo l angolo alla circonferenza metà di quello al centro di 2π/5, si ripropone con il lato opposto al vertice il triangolo isoscele con angolo al vertice di π/5; ne segue che in un pentagono regolare il lato è la sezione aurea della diagonale. Si può altresì dimostrare che le diagonali si intersecano secondo le loro sezioni auree. Per questi motivi alla stella a cinque punte disegnata sulle diagonali di un pentagono venivano riconosciuti poteri magici.

6 UdA- DISEGNO GEOMETRICO- TAPPEZZERIA - MATEMATICA Durante la preparazione dell UNITA di APPRENDIMENTO ci siamo rivolti anche al professore di Matematica, con la seguente domanda: in che modo, attraverso il ricorso ad un equazione matematica, possiamo riconoscere la corrispondenza così sorprendente della divina proporzione (sezione aurea), nella costruzione dell icosaedro? Era necessario CONFERMARE l identica lunghezza dei lati dei triangoli componenti l icosaedro costruito sui 3 rettangoli aurei. DIMOSTRIAMO che il lato minore di ciascuno dei 3 rettangoli aurei è = a ciascuna delle diagonali che, a partire dai 2 vertici adiacenti si uniscono al vertice del rettangolo perpendicolare al primo. DATO IL LATO =1 LA PROPORZIONE AUREA SI ESPRIME CON L EQUAZIONE x /1=1/(x 1) OVVERO: = x+1 AB=1; CO= x /2; MO= (x 1)/2 = (x /2)-(1/2) applichiamo il teorema di Pitagora per trovare CM x 1 CM= ( ) ( ) applichiamo il teorema di Pitagora per trovare AC AC=CB = ( ) ( ) =1=AB ABBIAMO DIMOSTRATO CHE AB è LUNGHEZZA UNITARIA UGUALE PER GLI ALTRI LATI DEL TRIANGOLO EQUILATERO - MODULO DELL ICOSAEDRO COSTRUITO SUI TRE RETTANGOLI AUREI

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8 LE FASI DI REALIZZAZIONE L idea di trasformare il pallone da calcio in un puff speciale per il nostro spazio studio, o per il soggiorno di casa, costruito con le nostre mani ci è piaciuta da subito e abbiamo scelto le misure definitive rapportandole in scala una volta realizzato il modellino cartaceo. Prima con le tavole di disegno tecnico e poi in laboratorio TAPPEZZERIA abbiamo anche imparato come ridurre in scala il disegno del nostro pallone e poi come preparare lo SVILUPPO BIDIMENSIONALE DEI PEZZI, stesi uno vicino all altro, affiancandoli aperti su una superficie piana (vedi disegno). L importante era mantenere il criterio giusto per l accostamento. In partenza sembrava un impresa impossibile, per le nostre competenze iniziali: 32 pezzi tutti cuciti insieme, mentre si accostavano, davano forma ad una superficie che andava mano a mano curvando Come dimostrano le foto, dal taglio al cucito e infine la definitiva chiusura tramite lampo, le operazioni di confezionamento del pezzo ci hanno insegnato che solo con l applicazione di un criterio e l esercizio costante è possibile ottenere i risultati con soddisfazione!

9 SVILUPPO BIDIMENSIONALE PER LA REALIZZAZIONE DI UN PALLONE DI CALCIO ALIAS ICOSAEDRO TRONCATO Si distribuiscono secondo una corrispondenza stellare a partire dal centro del pentagono, che scegliamo come punto di partenza, 20 esagoni + 12 pentagoni. NB = IL CRITERIO PER ESEGUIRE CORRETTAMENTE l accostamento è sempre lo stesso: ad ogni esagono si fanno corrispondere alternati sui lati 3 pentagoni e 3 esagoni MENTRE OGNI PENTAGONO PORTA SUI 5 LATI 5 ESAGONI

10 Esiste una molecola sferica formata da anelli esagonali e pentagonali insieme (come un pallone da calcio) di atomi di carbonio? Quella più nota con le tipiche facce esagonali e pentagonali si chiama fullerene C 60 (la formula rappresenta una molecola costituita da 60 atomi di carbonio legati tra loro). La molecola C 60 è la più simmetrica possibile (la più rotonda) nello spazio tridimensionale. La gabbia delle molecole di fullerene ha un diametro tra 0,7 ed i 1,5 nanometri. Il C 60 ha un diametro di circa 0,7 nanometri, cioè circa 10 volte più grande di un atomo. Vale anche la pena di ricordare che il nome fullerene viene da quello di Buckmister Fuller, l architetto che ha progettato abitazioni a forma di cupole geodetiche basate su pentagoni ed esagoni

11 De diiviina proporziione dalla matematica alle scienze Anche nel corpo umano troviamo rapporti aurei: l ombelico è posto ad una quota che è in rapporto aureo con l altezza max dell individuo Famosa è la rappresentazione di Leonardo dell UOMO di VITRUVIO, nel quale il corpo è inscritto in un quadro e in un cerchio. Nel quadrato l h dell uomo è pari alla distanza tra le estremità delle mani con le braccia distese. La retta xy passante per l ombelico divide i lati AB e BC esattamente in rapporto aureo tra loro. Siccome è aureo il rapporto tra falangi, tra braccio e avambraccio etc. Ma la sezione aurea si insinua anche nei regni della Natura :Φ è uno di quei misteriosi numeri naturali che sembrano essere alla base della struttura del cosmo. Ma è nei fiori, più che altrove, che la natura ha voluto ricordarci la sua sapienza matematica. Le varie specie di margherite e girasoli hanno petali in numero della successione di Fibonacci che abbiamo visto legata al rapporto aureo. Le curve che si osservano in pigne ed ananas sono spirali logaritmiche, legate anch esse alla sezione aurea. Così si succedono gli stami nelle corolle di margherite e girasoli. La diiviina proporziione è dunque riscontrabile sotto molteplici forme, dalla GALASSIA all accrescimento spiraliforme del NAUTILUS, nella spaziatura delle foglie lungo lo stelo e nella girandola dei semi di un GIRASOLE, come davvero contasse i cicli di rivoluzione del suo sole. Analogamente, osservando attentamente il firmamento, le spirali delle galassie sono logaritmiche ed è presumibile che tali siano le traiettorie delle stelle attratte al centro della galassia. L elemento comune nell evolversi delle forme nel nostro universo, dal DNA alle origini del cosmo, è rappresentato dalla spirale logaritmica, detta anche spirale aurea ; attraverso la quale lo sviluppo armonico di ogni essere è disegnato in una relazione infinita e continua, dall infinitamente piccolo all infinitamente grande!!

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