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1 Anna Montemurro Math Genius CORSO DI MATEMATICA Contiene: Î Lezioni e attività interattive Î Giochi matematici Î Percorsi di DIDATTICA INCLUSIVA Ambiente educativo Digitale LIBRO MISTO E-BOOK CONTENUTI INTEGRATIVI ZONA MATEMATICA

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3 Math Genius 1 Corso di matematica Ambiente educativo Digitale Libro digitale sfogliabile (PDF) Testo del libro misto in formato elettronico Contenuti Digitali Integrativi Esercizi, dimostrazioni, schemi, immagini, documenti collegati al libro misto Libreria Digitale Archivio online dei libri digitali adottati ebook Fruibile online e offline, integrato con tutte le risorse e i servizi LIM Risorse e suggerimenti per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale InClasse Piattaforma di e-learning per l insegnamento personalizzato Portali tematici Aree online per aggiornarsi, preparare lezioni, contattare autori ed esperti Minisiti di prodotto Contenuti web collegati al libro misto RISORSE DIGITALI LIBRO MISTO STRUMENTI E SERVIZI Formazione e assistenza Corsi, eventi, seminari, assistenza online e sul territorio Competenze Risorse per organizzare la didattica per competenze Didattica inclusiva Strumenti per una didattica a misura dei singoli studenti (DSA-BES) Estensioni multimediali Risorse digitali offline su Pen Drive, Cd/Dvd Rom Invalsi Esercizi per prepararsi alle prove nazionali App Frasari linguistici, dizionari, letture in italiano e in lingua CLIL Materiali per la didattica in lingua straniera Insegnare, imparare, crescere deascuola.it

4 Math Genius Numeri Indice UNITÀ 1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI IL GIOCO DI GENIUS Euro-test Frazioni decimali 1. Numeri decimali limitati 4 Imparo il metodo Le operazioni con i numeri decimali limitati Numeri decimali periodici semplici Numeri decimali periodici misti 1. Frazioni generatrici di numeri decimali 1 Imparo il metodo Operazioni ed espressioni con i numeri decimali periodici Troncamento e arrotondamento 16 STORIE DELLA MATEMATICA Il segreto dell occhio di Horus 18 MATH HELP 0 PALESTRA MATEMATICA VERSO LE COMPETENZE 4 AUTOVERIFICA 44 UNITÀ ESTRAZIONE DI RADICE IL GIOCO DI GENIUS Radici figurate 4.1 La radice quadrata 46. Quadrati perfetti 48.3 Proprietà delle radici quadrate 0.4 Radice quadrata approssimata Imparo il metodo Uso delle tavole numeriche 4. Numeri irrazionali assoluti Radice quadrata di un espressione 6 SFIDE MATEMAGICHE Estrazioni prodigiose 8 MATH HELP 60 PALESTRA MATEMATICA 6 VERSO LE COMPETENZE 4 AUTOVERIFICA 6 UNITÀ 3 RAPPORTI E PROPORZIONI IL GIOCO DI GENIUS La cisterna 3.1 Rapporto tra due numeri 8 3. Rapporto tra grandezze omogenee Rapporto tra grandezze non omogenee Riduzione e ingrandimento in scala La proporzione e la proprietà fondamentale Proprietà dell invertire Proprietà del comporre Proprietà dello scomporre Calcolo del termine incognito 3. Proporzioni continue Ricerca del medio proporzionale 4 Imparo il metodo Applicazioni delle proprietà delle proporzioni 6 3. Proporzioni particolari Catena di rapporti 0 STORIE DELLA MATEMATICA Quesiti imperiali MATH HELP 4 PALESTRA MATEMATICA 6 VERSO LE COMPETENZE 136 AUTOVERIFICA 138 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Esercizi BES CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Esercizi BES Algoritmo della radice quadrata Radice quadrata di un numero decimale e di una frazione Radice cubica Esercizi di riepilogo Esercizi BES

5 UNITÀ 4 FUNZIONI E PROPORZIONALITÀ IL GIOCO DI GENIUS Problemi alla mano Grandezze costanti e grandezze variabili Concetto di funzione Funzioni empiriche Funzioni matematiche Grandezze direttamente proporzionali Rappresentazione grafica della proporzionalità diretta Grandezze inversamente proporzionali Rappresentazione grafica della proporzionalità inversa 1 Imparo il metodo Risolvere problemi del tre semplice 14 Imparo il metodo Risolvere problemi del tre composto 18 Imparo il metodo Risolvere problemi di ripartizione 160 SFIDE MATEMAGICHE Ma che combinazione! 164 MATH HELP 166 PALESTRA MATEMATICA 168 VERSO LE COMPETENZE 186 AUTOVERIFICA 188 UNITÀ PERCENTUALE, INTERESSE SEMPLICE, SCONTO IL GIOCO DI GENIUS Aumento scontato 18.1 Percentuale 10. Rappresentazione grafica delle percentuali 1.3 Interesse semplice Formule inverse Montante 14.4 Sconto commerciale 18 STORIE DELLA MATEMATICA Una somma straordinaria 00 MATH HELP 0 PALESTRA MATEMATICA 04 VERSO LE COMPETENZE 16 AUTOVERIFICA 18 Spazio e figure UNITÀ 6 IL CALCOLO DELLE AREE IL GIOCO DI GENIUS Il triangolo rosso Figure piane congruenti ed equivalenti 0 6. Il principio di equiscomponibilità 6.3 La misura di una superficie Area del rettangolo 6 6. Area del quadrato Area del parallelogrammo Area del triangolo Area del triangolo rettangolo La formula di Erone Area del rombo Area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari Area del trapezio Area di una qualsiasi figura piana 4 SFIDE MATEMAGICHE ll rettangolo misterioso 44 MATH HELP 46 PALESTRA MATEMATICA 48 VERSO LE COMPETENZE 8 AUTOVERIFICA 80 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Esercizi BES Esercizi di riepilogo Esercizi BES Esercizi di riepilogo Esercizi BES

6 Math Genius Indice UNITÀ IL TEOREMA DI PITAGORA IL GIOCO DI GENIUS Mattonelle pitagoriche 81.1 Il teorema di Pitagora 8 Imparo il metodo Due facili dimostrazioni del teorema di Pitagora 84. Le terne pitagoriche 86.3 Calcolo delle misure dei lati di un triangolo rettangolo 88.4 Applicazione del teorema di Pitagora ad alcuni quadrilateri 0. Applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli 4.6 Applicazione del teorema di Pitagora al rombo 8. Applicazione del teorema di Pitagora ai trapezi Applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli 304. Distanza tra due punti 306 STORIE DELLA MATEMATICA Quei numeri un po irrazionali 308 MATH HELP 3 PALESTRA MATEMATICA 31 VERSO LE COMPETENZE 336 AUTOVERIFICA 338 UNITÀ 8 LA SIMILITUDINE IL GIOCO DI GENIUS Formati prodigiosi Il concetto di similitudine Criteri di similitudine dei triangoli Relazione tra le altezze di due triangoli simili Relazione tra i perimetri e le aree di due poligoni simili Il primo teorema di Euclide Il secondo teorema di Euclide Il teorema di Talete 3 8. Costruzione di figure simili 34 STORIE DELLA MATEMATICA La statura di Talete 36 MATH HELP 38 PALESTRA MATEMATICA 360 VERSO LE COMPETENZE 36 AUTOVERIFICA 38 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Coordinate del punto medio di un segmento Poligoni sul piano cartesiano Esercizi BES CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Esercizi BES UNITÀ LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO IL GIOCO DI GENIUS La leggenda di Didone 3.1 La circonferenza Il cerchio 380. Gli elementi di una circonferenza 38.3 Proprietà degli archi e delle corde Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza 386. Posizioni reciproche di due circonferenze Angoli al centro e alla circonferenza 30. Relazioni tra angoli al centro e angoli alla circonferenza 3.8 Settore, segmento e corona circolare 34 STORIE DELLA MATEMATICA La forma del suono 36 MATH HELP 38 PALESTRA MATEMATICA 400 VERSO LE COMPETENZE 416 AUTOVERIFICA 418 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Esercizi BES

7 UNITÀ POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI IL GIOCO DI GENIUS Il segmento enigmatico 41.1 Poligoni inscritti in una circonferenza 40. Poligoni circoscritti a una circonferenza 4.3 Triangoli inscritti e circoscritti 44.4 Quadrilateri inscritti 46. Quadrilateri circoscritti 48.6 Poligoni regolari 430. Area di un poligono regolare 43.8 Relazione tra l apotema e il lato di un poligono regolare 434 Imparo il metodo Area di un poligono regolare con l uso delle costanti 436. Area di un poligono circoscritto a una circonferenza 438. Applicazione del teorema di Pitagora alla circonferenza, ai poligoni inscritti e circoscritti e ai poligoni regolari 440 MATH HELP 44 PALESTRA MATEMATICA 444 VERSO LE COMPETENZE 464 AUTOVERIFICA 466 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Esercizi BES Dati e previsioni UNITÀ 11 L INDAGINE STATISTICA IL GIOCO DI GENIUS Telepatia collettiva L indagine statistica La raccolta dei dati Rilevamento e tabulazione dei dati Elaborazione dei dati Rappresentazione e interpretazione dei dati 46 STORIE DELLA MATEMATICA Statistici in tenda 480 MATH HELP 48 PALESTRA MATEMATICA 484 VERSO LE COMPETENZE 4 AUTOVERIFICA 44 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Esercizi BES APPENDICE RISPOSTE 46 GLOSSARIO 48 TAVOLE 00

8 Math Genius Presentazione Come è fatto il tuo libro Ciao ragazzi. Mi chiamo Math Genius. Vi guiderò nel vostro nuovo libro di matematica alla scoperta del meraviglioso potere dei numeri. Prima di iniziare lo studio di ogni unità del libro ci divertiremo con un piccolo gioco. Potrai sbizzarrirti con le ipotesi, metterti alla prova e confrontarti con i compagni. Esploreremo questo mondo poco per volta, in lezioni di due pagine. Leggendo la pagina di sinistra imparerai i concetti che ti servono, cominciando da un problema reale. Nella pagina di destra metti subito alla prova quello che hai imparato, con esercizi che aprono una finestra sulla realtà, ti portano verso il dibattito a confrontarti con i compagni, ti stimolano a usare la a fare verifiche sperimentali e, infine, a sviluppare le prime competenze. Pagine speciali spiegano i metodi per risolvere i problemi e per applicare le regole. Sono chiavi che aprono tante porte nel mondo della matematica.

9 Ma ogni tanto ci fermeremo un momento per incontrare i miei amici e i miei maestri, che con le loro invenzioni hanno cambiato la vita dell umanità, e ci divertiremo ancora, viaggiando in un mondo di scoperte. Affascinanti storie che ti faranno ripensare a ciò che hai studiato da un nuovo punto di vista. E giocheremo ancora con la magia dei numeri: giochi spiegati nel dettaglio, che sfruttano i concetti appena imparati e con i quali potrai stupire e divertire. E se incontri qualche difficoltà non ti dovrai preoccupare. Con le mappe, che riassumono il percorso essenziale dell unità, Genius ti aiuta a recuperare quello che può esserti sfuggito e a capire meglio.

10 Math Genius Presentazione A questo punto sei pronto per andare in palestra. Tanti esercizi, dai più facil i ai più impegnativi, con aiuti e suggerimenti. Gli esercizi del percorso essenziale sono segnalati dal simbolo. Alla fine dell unità avrai raggiunto gli obiettivi fondamentali che ti permettono di costruire le tue competenze matematiche. Puoi verificarlo con la apposita scheda, che tornerà anche a farti riflettere sul gioco con cui è iniziato il percorso: il cerchio è chiuso! Prima di passare a un nuovo argomento facciamo un rapido controllo? L autoverifica di fine unità ti permette di misurare velocemente le tue conoscenze. La matematica prende il volo: nei QUADERNI del tuo corso troverai pagine speciali per consolidare e potenziare le tue capacità. Ricerche, enigmi, ma anche esercizi in inglese e applicazioni della matematica ai problemi della vita quotidiana. Schede particolari sono dedicate all uso dei programmi informatici come aiuto alla risoluzione di esercizi. Alla fine, anche la prova Invalsi non sarà più un problema. E se non ricordi qualcosa Genius ti aiuta! Veri e propri laboratori di matematica ti porteranno a sviluppare pienamente le tue competenze: partendo da situazioni reali sarai invitato a lavorare con diversi strumenti e a proporre soluzioni originali.

11 Unità 1 Strumenti digitali dell unità Frazioni e numeri decimali Videolezioni Autoverifica Esercizi di riepilogo Esercizi BES Esercizi per la classe virtuale IL GIOCO DI GENIUS EURO-TEST 1. Un tuo amico dispone sul tavolo due serie complete delle monete dell euro, ognuna delle quali composta da: euro, 1 euro, 0 centesimi, 0 centesimi, centesimi, centesimi, centesimi, 1 centesimo.. Ti offre quindi la possibilità di prendere o due monete da euro o tutte le altre quattordici insieme. 3. Istintivamente, che scelta compiresti? Le operazioni con i numeri decimali (come quelle con i centesimi di euro) possono essere insidiose, anche a valori bassi. Bisogna, quindi, verificare sempre, per iscritto, un calcolo svolto a mente. Se vuoi conoscere subito la risposta vai a p

12 1.1 Frazioni decimali lorenzo osserva una serie di frazioni e trova che alcune di esse sono accomunate da una caratteristica ben precisa. Quali sono? riesci a individuarle anche tu? IMPARO... Videolezione Osserva le frazioni, cercando di calcolare a mente il quoziente tra numeratore e denominatore: con quali di queste frazioni l operazione ti risulta più facile? Perché? Le frazioni sono particolari perché hanno al denominatore una potenza di. Frazioni come queste si definiscono frazioni decimali. Esse indicano che un intero, per esempio un rettangolo, è stato diviso in, 0, 00 parti uguali e ne sono state considerate una o più. Una frazione si dice frazione decimale se il suo denominatore è una potenza di. Sappiamo che ogni frazione rappresenta il quoziente tra il numeratore e il denominatore. Perciò, per trasformare una frazione nel numero decimale corrispondente, basta dividere il numeratore per il denominatore. Nel caso delle frazioni decimali questa operazione è molto facile. ESEMPIO =: 6 = 0, 6 = 14: 0= 1, 4 = 13: 00= 0, una cifra uno zero decimale due zeri due cifre decimali tre zeri tre cifre decimali Per trasformare una frazione decimale in un numero decimale si scrive il numeratore e si separano in esso con una virgola, a partire da destra verso sinistra, tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore della frazione data. Se occorre, si aggiungono alla sinistra del numeratore tanti zeri quante sono le cifre che mancano. I quozienti ottenuti dalle divisioni riportate nell esempio sono tutti numeri decimali con un numero limitato di cifre decimali. Per questo motivo si chiamano numeri decimali limitati o finiti. Viceversa, dato un numero decimale limitato, possiamo trovare la frazione generatrice che gli corrisponde, cioè la frazione da cui deriva, che lo ha generato. Osserva l esempio. ESEMPIO La frazione generatrice del numero 1,38 è perché: 1, 38 millesimi centesimi decimi unità = = ,1 6 decimi = 6 = 0,6 fraz. dec. m.c.m. = 00 frazione generatrice di 1,38 La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha per numeratore il numero intero ottenuto sopprimendo la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato. n. dec U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

13 PROVO 1 Finestra sulla realtà dell acqua dolce della Terra 0 si trova sotto forma di ghiaccio o di neve. Scrivi il numero decimale corrispondente alla frazione data. Riducendo la frazione ai minimi termini, quali osservazioni puoi fare? Al bowling, Leoluca con un colpo solo ha abbattuto / dei birilli. Completa. / è una frazione.. perché il denominatore è una.... di.. 3 Verso il dibattito Gigi afferma che è una frazione decimale mentre Sandro sostiene 1 che non lo è. Secondo te chi ha ragione? Motiva la risposta. A Gigi B Sandro 4 Quali tra le seguenti frazioni sono frazioni decimali? Come si distinguono dalle altre? Trasforma le seguenti frazioni decimali nei corrispondenti numeri decimali. Che tipo di numeri hai ottenuto? ESERCIZIO GUIDATO 16 = 16 : = 1,6 1 0 " 1 : 0 = 0,01 a. 3 b Indica le uguaglianze corrette e correggi quelle errate. A 38 0 = 3,8 B F 0,00= 0 = 0, C 11 G,0 = H,06 = 06 0 = 11, D 1 I 3,= =,1 E 1, 8 = Completa le seguenti trasformazioni di numeri decimali limitati nelle corrispondenti frazioni generatrici e riduci queste ultime ai minimi termini, se ciò è possibile. a. 6,= 6 b. 3,3 = c. 0,18 = 0,= 0 0,1 = ,00 1, = 16,6 = " = 30, 8,4 = 1, 03 = 1, = 4 1,4 = = ESERCIZI D P. 3

14 1. Numeri decimali limitati quattro amici devono dividere tra loro la spesa per una cena che è di 14 euro. Senza eseguire il calcolo, prevedono che la divisione 14/4 sia esatta, ovvero senza resto. È davvero così? IMPARO... Videolezione Concentrati sul denominatore: puoi ricondurlo a un numero primo? Quale? Per scoprire se i quattro amici hanno ragione, studiamo il comportamento delle seguenti frazioni ordinarie, già ridotte ai minimi termini. 6 0 Vediamo quali numeri si ottengono dividendo il numeratore per il denominatore di ciascuna di esse: 6 " : " 4, " 6 : " 1, " : 0" 1,3 0 I quozienti ottenuti sono tutti numeri decimali limitati o finiti, chiamati così perché hanno un numero limitato di cifre decimali, dovuto al fatto che il resto è uguale a zero. Questo avviene perché i denominatori delle frazioni considerate contengono solo i fattori primi o o entrambi come nel caso di 0 che è uguale a w. Ora possiamo spiegarci il ragionamento dei quattro amici della situazione descritta sopra! Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, si può trasformare in un numero decimale limitato se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, presenta il fattore, il fattore o entrambi, a esclusione di altri fattori. Una frazione ordinaria, avente al denominatore il fattore, il o entrambi, può essere trasformata in una frazione decimale e quindi nel numero decimale limitato corrispondente, moltiplicando opportunamente il numeratore e il denominatore per, per o per entrambi, in modo da ottenere al denominatore una potenza di. In pratica, si applica ad essa la proprietà invariantiva delle frazioni. ESEMPI 3 = = = 3, = = =, 4 = = = 0, w. potenza di multipla di 40) devo moltiplicare per =. 4 U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

15 PROVO 1 Finestra sulla realtà Ben dell acqua dolce della 40 Terra si trova nelle falde acquifere sotterranee. A quale numero decimale corrisponde questa frazione? Come si chiama? Quali sono i fattori primi che compaiono nella fattorizzazione di 40? È confermata la regola sui numeri decimali limitati? Distingui tra le seguenti frazioni quelle decimali e quelle ordinarie, scrivendo nel quadratino corrispondente la lettera D (decimale) oppure O (ordinaria). 1 3 Completa a. Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, si può trasformare in una frazione decimale se il... contiene soltanto i fattori primi... o entrambi. b = ; quindi = 31: 0=... Il quoziente è un numero decimale Osserva attentamente i denominatori delle seguenti frazioni ridotte ai minimi termini e rispondi alle domande a. Quali sono i fattori primi che compaiono nei denominatori delle frazioni date? b. Puoi stabilire senza eseguire le divisioni fra il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione che esse hanno un numero finito di cifre decimali? c. Come si chiamano i numeri che si ottengono da tali divisioni? Verifica sperimentale Verifica che i quozienti corrispondenti alle frazioni date nell esercizio precedente sono tutti numeri decimali limitati, eseguendo per esteso la divisione tra il numeratore e il denominatore di ciascuna di esse. 6 Dopo aver ridotto ai minimi termini le seguenti frazioni, stabilisci se si possono trasformare in numeri decimali limitati. In caso di risposta affermativa, esegui le corrispondenti divisioni e trova i quozienti. Perché è necessario ridurre ai minimi termini le frazioni date? a b Quale proprietà delle frazioni è stata applicata nelle seguenti uguaglianze? A quale scopo? = = = = Completa l esercizio, trasformando le frazioni ordinarie in frazioni decimali = = = ESERCIZI D P. 4

16 1 UNITÀ Imparo il metodo Le operazioni con i numeri decimali limitati Le operazioni con i numeri decimali limitati si possono eseguire in due modi: direttamente, operando con i numeri decimali; trasformando i numeri decimali limitati nelle corrispondenti frazioni decimali e operando con esse. È facile verificare che si ottengono gli stessi risultati. Vediamo alcuni esempi. Addizione Eseguiamo l addizione,4 + 0,41.,40+ 0,41=,81,4 0, = + = = =,81 0 Sottrazione Eseguiamo la sottrazione,6 3,. Moltiplicazione Eseguiamo la moltiplicazione 3,1 1,4. Divisione,6 3,0" 4,1 3,1 1, ,368 Eseguiamo la divisione 4,68 :,6. 4,68 :,6 w / / / / = : w0 60 1,8,6 3, " 6 4, " 0 " 0 " ,1 1, 4 = = = 4, ,68 :,6 1,8 0 : = = = = Potenza Calcoliamo la potenza 1,6. = = = ,6 1,6 1,6,6 1,6 = = =,6 0 6 U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

17 Imparo il metodo Completa 1 Le operazioni con i numeri decimali limitati si possono eseguire in modi: direttamente,. oppure trasformando.. La somma,6 + 4,3 non cambia, usando l uno o l altro metodo.,6 + 4,3 direttamente =.. 6 indirettamente, usando le frazioni = + = Completa la tabella, seguendo l esempio. operazione calcolo diretto trasformazione in frazioni decimali i risultati coincidono? 3, + 1,4 3,0+ 1, 4= = = = 4,6 4, sì 6,34 4, ,4 w, ,4 : Risolvi il seguente problema 3 Solo 1 dell acqua della Terra si trova sulla superficie 40 1 del pianeta: fiumi, laghi ecc. Sommando che cosa ottieni? Trasforma tutte le frazioni in frazioni decimali ed esegui i calcoli. Qual è il significato del risultato ottenuto? Esegui i calcoli utilizzando i due metodi 4 Calcola la potenza 1,3 in due modi: a. direttamente... b. trasformando la base in frazione decimale.. Si ottiene lo stesso risultato? Esegui le seguenti operazioni utilizzando i due metodi. In quali operazioni ritieni che il secondo metodo sia più semplice ed efficace del primo? Motiva la risposta. a.,8 + 4,3,8 + 3,4 b. 1,0 + 0,1 16, 4,6 c. 8,4,36 0,4 0, d. 1,,, 1,48 e.,1 1,3,83 :, f.,8 :,1 16,1 :, i risultati non cambiano. ESERCIZI D P. 6

18 1.3 IMPARO... Numeri decimali periodici semplici il signor tasso, che è un grande appassionato di matematica, vuole pavimentare la sua camera con piastrelle su cui sono scritte solo frazioni ordinarie irriducibili. sapresti aiutarlo ad aggiungerne qualcuna? Videolezione Osserva le frazioni scritte dal signor Tasso: al denominatore compaiono i fattori, o entrambi? Noti una caratteristica comune nei denominatori? Dall osservazione dei denominatori delle frazioni, si deduce che il signor Tasso sicuramente non pensava a numeri decimali limitati! Vediamo che tipo di numeri otteniamo se eseguiamo con la calcolatrice (o per esteso) la divisione tra il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione. = : 3 = 1, periodo 13 = 13 : 11 = 1, periodo Se provi a effettuare la divisione in colonna : 3 = 1,6666 vedrai che essa non termina mai perché c è sempre un resto, che in questo e si 18 = 18 : =, periodo I quozienti ottenuti sono tutti numeri decimali illimitati, perché subito dopo la virgola presentano una cifra o un gruppo di cifre che si ripetono illimitatamente. Questa cifra o gruppo di cifre è detto periodo e a questi numeri si dà il nome di numeri decimali periodici semplici (eseguendo le divisioni in colonna non troviamo mai un resto uguale a zero). Questo avviene perché i denominatori delle frazioni date, ridotte ai minimi termini, non contengono né il fattore né il fattore. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini si può trasformare in un numero decimale periodico semplice se il suo denominatore contiene fattori primi diversi da o. Per abbreviare la scrittura dei numeri periodici si usa mettere un trattino sopra la cifra o il gruppo di cifre che si ripetono, oppure racchiudere il periodo in una parentesi tonda. Perciò, riferendoci agli esempi riportati sopra, scriveremo: = 1,66666 = 1,6 oppure 1,(6) 3 13 = 1, = 1,18 oppure 1,(18) =,1481 =,148 oppure,(148) 8 U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

19 PROVO 1 Finestra sulla realtà Circa 1/3 delle riserve di acqua dolce della Terra sono utilizzate in agricoltura. A quale numero decimale corrisponde tale frazione? Esegui la divisione per esteso: 1 : 3 = Per rappresentare tale situazione è più significativa la frazione o il numero decimale? Esprimi la tua opinione. Osserva i denominatori delle seguenti frazioni ordinarie irriducibili e rispondi alle domande a. Quali sono i fattori primi che compaiono nei denominatori delle frazioni date?... b. Tra i fattori primi ci sono il o il? sì no c. Le frazioni date si possono trasformare in frazioni decimali? Perché? sì no d. Il quoziente tra il numeratore e il denominatore ha un numero limitato di cifre? sì no e. Come si chiamano i numeri che si ottengono da tali divisioni?... 3 Verifica sperimentale Verifica che i quozienti corrispondenti alle frazioni date nell esercizio sono tutti numeri decimali periodici semplici, eseguendo la divisione per esteso tra il numeratore e il denominatore di ciascuna di esse Osserva il quoziente della seguente divisione e completa le frasi: = 14: 3= 4,6666 = 4,(6) 3 a. La parte intera del numero decimale 4,6666 è... b. Il periodo del numero decimale 4,6666 è... c. La scrittura 4,(6) sta a indicare che la cifra 6... e si può scrivere anche ponendo un trattino... Completa la tabella, seguendo l esempio. frazione fattori primi che compaiono al denominatore divisione tipo di numero decimale 3 w 40 : 1 = Scrivi la parte intera e quella decimale dei seguenti numeri decimali periodici semplici, individuando il periodo e scrivendo il numero stesso in forma abbreviata., ,4444 0, 6, Scrivi dieci frazioni irriducibili che diano origine a numeri decimali periodici semplici. In che modo devi scegliere i denominatori delle frazioni? Quali fattori primi non devono contenere? Verifica le tue scelte trasformando ciascuna frazione in numero decimale e di ciascuno indica il periodo. ESERCIZI D P.

20 1.4 IMPARO... Numeri decimali periodici misti Videolezione prima di uscire, luisa deve fare solo tre divisioni: :6; :1 e 13:1, ma non riesce a concluderle perché c è sempre un resto e non riconosce nel quoziente un numero periodico semplice. Sai aiutarla? Prova a usare la calcolatrice. Dopo la virgola i numeri si ripetono o non si ripetono? Osserviamo il risultato delle divisioni: = : 6 = 1, # 6 antiperiodo periodo = : 1= 0, # 1 antiperiodo periodo 13 = 13 : 1 = 1, # 1 antiperiodo periodo Se provi a effettuare la divisione e si legge I quozienti ottenuti sono tutti numeri decimali illimitati. Nella parte decimale, tra la virgola e il periodo, compare una cifra o un gruppo di cifre che non si ripete, detto antiperiodo; a questi numeri si dà il nome di numeri decimali periodici misti. Questo avviene perché i denominatori delle frazioni date contengono il fattore, il, o entrambi insieme ad altri fattori diversi da o da. Infatti, negli esempi proposti sopra si ha che: 6 = 3 1 = 3 1 = 3 Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, origina un numero decimale periodico misto se il suo denominatore contiene i fattori primi o o entrambi insieme ad altri fattori. Riprendiamo gli esempi precedenti e scriviamo in forma abbreviata i numeri decimali periodici misti, ponendo un trattino sul periodo o racchiudendo quest ultimo tra parentesi tonde = 1,16666 = 1,16 oppure 1,1(6) = 0,13333 = 0,13 oppure 0,1(3) = 1, = 1,083 oppure 1,08(3) U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

21 PROVO 1 Finestra sulla realtà Enrico, Andrea e Giuseppe ordinano una pizza al taglio. Enrico ne prende /1, Andrea /1 e Giuseppe la parte rimanente. Trasformando le frazioni nei corrispondenti numeri decimali, sai dire chi dei tre ne ha mangiata di più? Sul tuo quaderno, esegui i calcoli per esteso. In ciascuna delle seguenti frazioni, già ridotte ai minimi termini, individua i fattori primi che compaiono al denominatore e completa le frasi a. Scomponendo in fattori primi i denominatori si ha: 6 = 30 = 18 = 1 =... 1 = = b. I denominatori contengono, oltre al, al o a entrambi, altri.... c. Eseguendo la divisione in colonna tra il numeratore e il denominatore si ottiene un quoziente con un numero... di cifre. d. I quozienti delle suddette divisioni si chiamano numeri decimali.... e. La parola antiperiodo significa che dopo la virgola e prima del... ci sono una o più. 3 Verifica sperimentale Verifica che i quozienti corrispondenti alle frazioni date nell esercizio precedente sono tutti numeri decimali periodici misti, eseguendo per esteso la divisione tra il numeratore e il denominatore di ciascuna di esse. 4 Completa la seguente uguaglianza indicando la parte intera, il periodo e l antiperiodo. = :18= 1,3888 = 1,3(8) Scrivi cinque frazioni irriducibili che diano origine a numeri decimali periodici misti. Poi trasformale nei corrispondenti numeri decimali e in ciascuno di essi indica il periodo e l antiperiodo. In che modo devi scegliere i denominatori delle frazioni? Quali fattori primi devono contenere? 6 Completa la seguente tabella. frazione fattori primi che compaiono al denominatore divisione tipo di numero decimale 11 6 w 3 11 : 6 = ESERCIZI D P

22 1. IMPARO... Frazioni generatrici di numeri decimali Videolezione laura sta acquistando le bibite per la sua festa di compleanno. vuole confrontare il prezzo delle lattine piccole e quello delle bottiglie, ma uno è riferito a 0 cl di prodotto e l altro a un litro e mezzo. come può confrontare questi valori? Per confrontare un numero decimale e una frazione, conviene trasformare uno dei due numeri in modo da ottenere due numeri decimali oppure due frazioni. A che frazione di litro corrispondono 0 cl, cioè 0, litri? Ripassiamo con un esempio come si trova la frazione generatrice di un numero decimale limitato: 0,= = 1 frazione generatrice, ridotta ai minimi termini La ricerca della frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice o di un numero decimale periodico misto è molto complessa. Pertanto ci limiteremo a riportarne le regole. Frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice ha per numeratore la differenza fra il numero dato, considerato senza la virgola, e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo e per denominatore tanti quante sono le cifre del periodo. ESEMPI, = = 3 13 Ð 13 13, = = ,3 = = 14 frazione decimale 3 è la frazione generatrice di,. Frazione generatrice di un numero decimale periodico misto La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto ha per numeratore la differenza fra il numero dato, considerato senza la virgola, e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo (compreso l antiperiodo) e per denominatore tanti quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell antiperiodo. 36 Ð 3 ESEMPI,36 = = Ð 14 1, 43 = = Ð ,163= = si scrive uno zero. 1 U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

23 PROVO 1 Indica con una crocetta la frazione generatrice di ciascun numero decimale limitato. 1, , , 0 00 Completa la tabella, seguendo l esempio. numero decimale periodico semplice 3 Completa la tabella, seguendo l esempio. frazione generatrice,3 3 1 "" 3 4,3, 3,1 8 1,0 4 0,3 6 numero decimale periodico misto frazione generatrice 0, "" 0 0 1,06 4,0 3,16 1,3 0,01 4 Riconosci se le seguenti frasi sono vere o false. a. Veronica: La frazione generatrice di 1,(8) è la stessa di 1,(80). V F b. Sithy: La frazione che corrisponde al numero decimale,() è /. V F c. Gianni: Il denominatore della frazione generatrice del numero 0,() è. V F d. Claudia: Il numero decimale 1,(6) è stato generato dalla frazione /3. V F Nella prima riga sono scritti alcuni numeri decimali e nella seconda le corrispondenti frazioni generatrici, in ordine sparso: 0, 1, 4 1, 40 0, 1, 4 0, Trova gli abbinamenti corretti e completa le seguenti uguaglianze: 0," # # # 1, 4" # # # 1, 40" # # # 0, " # # # 1, 4" # # # 0, 41" # # Ora riduci ai minimi termini le frazioni che non lo sono. Quali osservazioni puoi fare circa i denominatori delle frazioni ridotte ai minimi termini? ESERCIZI D P. 3 13

24 1 UNITÀ Imparo il metodo Operazioni ed espressioni con i numeri decimali periodici Ecco come occorre procedere quando ci si imbatte in operazioni o in espressioni che contengono numeri decimali periodici. Operazioni con i numeri decimali periodici Le operazioni con i numeri decimali periodici si eseguono trasformando dapprima i numeri nelle corrispondenti frazioni generatrici e operando quindi con queste ultime. + ESEMPIO 0,+ 0,16 = = + = = = , 0,1= = = = = , w0, 04 = w = w = , : 1, = : = = w = : (1, 3) = = = = frazioni, quando è possibile. Espressioni con i numeri decimali periodici Per calcolare il valore di un espressione in cui compaiono numeri decimali limitati e numeri decimali periodici, basta sostituire a essi le rispettive frazioni generatrici ed eseguire le operazioni. ESEMPIO 0,+ + 0,4 0,3 = 0 : 0,3 1 = + + = 0 : Prima le ( ), poi = + + = 1 0 : = + : = = + = 60 3 = + = 1 4+ = U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

25 Imparo il metodo Completa Se i numeri decimali 1 Completa le seguenti uguaglianze scrivendo la frazione corrispondente. a.,1 =... 3,4 =.., =. 6,0 non sono altro che =... frazioni, e i numeri b. 4, =. 0,1 8 =... 3,16 =..., naturali frazioni =... c. 0, =... 1, =. 4,0 4 con denominatore =... =. uguale all unità, allora è uguale a Completa le caselle, sapendo che ognuna è la somma delle due caselle che formano la sua base di appoggio. Nei passaggi, semplifica quando è possibile.,3 ESERCIZIO GUIDATO 1 0, 1, 0,1 0, 0,6 1,4 3 Completa le caselle, sapendo che ognuna è la differenza delle due caselle che formano la sua base di appoggio. Nei passaggi, semplifica quando è possibile. 1,3 6,1, 0, 0,4 Esegui le espressioni 4 Calcola il valore della seguente espressione e indica la risposta corretta. 1, 3 1 0,6 3 : A B C D Calcola il valore dell espressione: ( 1,3 0,4 0,3 0,6 ): 0,+ 0,3. Sostituisci nell espressione, al posto dei numeri decimali, le frazioni generatrici. 4 1 = : + = 3 3 = : + = = : + = = + = 8 = = Trasforma a parte, su un foglietto, i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici e riduci queste ultime ai minimi termini, se non lo sono già , 3 = = 0, 4 = 0, 3 = 0,6 = 0, = 3 0,3 = Discuti con i compagni 6 Simone afferma che quando si devono eseguire operazioni con i numeri decimali periodici, occorre prima trasformare ogni numero decimale nella corrispondente frazione generatrice. Marco non è d accordo. Chi ha ragione? Simone Marco # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ESERCIZI D P. 36 1

26 1.6 IMPARO... Troncamento e arrotondamento Videolezione luca, di ritorno dal suo giro in bicicletta, racconta agli amici che ha percorso 3, km. in realtà ha percorso 3,463 km. sta mentendo? Rifletti: nella tua esperienza quotidiana, quando citi quantità, distanze ecc. riporti valori con diverse cifre decimali? Perché? L approssimazione di un numero decimale può avvenire per difetto o per eccesso rispetto: alle unità (se l approssimazione riguarda solo la parte intera del numero); ai decimi (se riguarda la prima cifra decimale); ai centesimi (se riguarda la seconda cifra decimale); ai millesimi (se riguarda la terza cifra decimale). Per esempio, se consideriamo il numero decimale 3,463 e lo approssimiamo per difetto e per eccesso otteniamo: alle unità ai decimi (0,1) ai centesimi (0,01) ai millesimi (0,001) per difetto 3 3,4 3,4 3,46 per eccesso 4 3, 3,43 3,4 Solitamente l approssimazione di un numero decimale alle unità, ai decimi, ai centesimi, ai millesimi avviene secondo le due seguenti modalità: troncamento, che consiste nel considerare le cifre che si vogliono conservare e nel sopprimere tutte le altre situate a destra; arrotondamento, che consiste nel considerare le cifre che si vogliono conservare e nel sopprimere tutte le altre situate a destra secondo il seguente criterio: se la cifra che segue quella da mantenere è uguale o maggiore di, si aumenta di un unità la cifra da mantenere; se la cifra che segue quella da mantenere è minore di, si considera la cifra da mantenere così com è. ESEMPIO Huan esegue una divisione con la calcolatrice e sul display appare il numero 6,3. Qual è la differenza tra l approssimazione per troncamento e per arrotondamento? Vediamola insieme. 6,3 troncamento arrotondamento perché alle unità 6 perché in 6,3 dopo il 6 c è un ai decimi 6, 6, perché in 6,3 dopo il c è un ai centesimi 6, 6,3 perché in 6,3 dopo il c è un ai millesimi 6, 6, perché in 6,3 dopo il c è un 3 Quando si considera un valore approssimato al posto di quello esatto, si commette un errore di approssimazione che è uguale alla differenza fra il valore approssimato e quello esatto. Per esempio, se una fune è lunga 1 cm e noi approssimiamo questa misura a 160 cm, l errore è di (160 1) cm = 3 cm. 16 U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

27 PROVO 1 Finestra sulle realtà Il monte Amiata è alto 138 m. Se invece di tale valore noi indichiamo quello di 130 m, qual è l errore di approssimazione che commettiamo? Nelle seguenti frasi, quali sono secondo te le cifre significative dei numeri decimali? a. Una moto costa 364,84. b. Un filo spinato è lungo 1,041 cm. c. Per andare da casa a scuola Luigi percorre 3,16 m. 3 Completa. a. L approssimazione per difetto alle unità di 6,3 g è... b. L approssimazione per eccesso alle unità di 6,3 g è... c. L approssimazione per difetto ai decimi di 8,34 cm è... d. L approssimazione per eccesso ai decimi di 8,34 cm è. e. L approssimazione per difetto ai centesimi di,8 kg è... f. L approssimazione per eccesso ai centesimi di,8 kg è... 4 Completa. a. Il troncamento ai centesimi del numero 1,436 è 1,43 perché... b. L arrotondamento ai decimi di,331 è,4 perché c. Il valore del numero, arrotondato ai centesimi è... d. Il valore del numero 4,3 troncato ai centesimi è.. Completa le tabelle.,84 1,486 troncamento arrotondamento troncamento arrotondamento alle unità ai decimi ai centesimi ai millesimi alle unità ai decimi ai centesimi ai millesimi È vero o falso che il troncamento ai decimi del numero 4,6 è 4,? Motiva la risposta. L arrotondamento alle unità del numero decimale 3, è 3 o 4? 8 Eseguito un calcolo con la calcolatrice, sul display si legge il numero 1,8. Scrivi: a. il troncamento alle unità del risultato... b.. c. d. Maria ha comprato una borsa da 8,4. Se dice di averla pagata 80 centesimi di euro quale errore di approssimazione commette? ESERCIZI D P. 41 1

28 1 UNITÀ Storie della matematica Il segreto dell occhio di Horus 18 U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

29 Rifetti e prova e la quantità 0,1? Dopo aver fatto i conti, prova a disegnarli 1

30 1 UNITÀ Math Help Le mappe ti aiutano In questa mappa sono sintetizzati i contenuti essenziali dell'unità. Il percorso essenziale prosegue nella Palestra matematica con gli esercizi di base contrassegnati dal simbolo FRAZIONE Una frazione è uguale al quoziente fra numeratore e denominatore. Perciò, per trasformare una frazione nel numero decimale corrispondente basta dividere il numeratore per il denominatore. = : = 4, Le frazioni possono essere decimali o ordinarie. FRAZIONE DECIMALE Il suo denominatore è una potenza di. Genera sempre un numero decimale limitato " 4 : 00" 0,04 Il denominatore presenta i fattori primi o o entrambi a esclusione di altri fattori. Genera sempre un numero decimale limitato. = : 0 1,3 0 = = FRAZIONE ORDINARIA Il suo denominatore è diverso da una potenza di Può generare numeri decimali di tipo diverso, a seconda dei fattori primi che compaiono al suo denominatore. Il denominatore presenta fattori primi diversi da o. Genera sempre un numero decimale periodico semplice. : 3 1, = = Il denominatore presenta i fattori primi o o entrambi insieme ad altri fattori. Genera sempre un numero decimale periodico misto. = = : 1= 0, U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

31 Math Help NUMERO DECIMALE LIMITATO Ha un numero limitato di cifre decimali, dovuto al fatto che il resto è uguale a zero = 4 : 00= 0,04 Frazione generatrice Si scrive: alnumeratore,ilnumero intero (senza virgola); aldenominatore, 1 seguito da uno 0 per ogni cifra decimale. 4 0, 04 = 00 NUMERO DECIMALE PERIODICO SEMPLICE Subito dopo la virgola presenta una cifra o un gruppo di cifre che si ripetono illimitatamente. Questa cifra o gruppo di cifre è detto periodo e si indica con un trattino oppure tra parentesi. = : 3= 1, periodo 1,66666 = 1,6 oppure 1,(6) NUMERO DECIMALE PERIODICO MISTO Tra la virgola e il periodo presenta una cifra o un gruppo di cifre che non si ripete. Questa cifra o gruppo di cifre è detto antiperiodo. 1 = : 1= 0, antiperiodo periodo 0,13333 = 0,13 oppure 0,1(3) Frazione generatrice Si scrive: alnumeratore,ladifferenza tra il numero senza virgola e le cifre che precedono il periodo; aldenominatore,un per ogni cifra del periodo , 6= = = 3 Frazione generatrice Si scrive: alnumeratore,ladifferenza tra il numero senza virgola e le cifre che precedono il periodo; al denominatore,un per ogni cifra del periodo e uno 0 per ogni cifra dell antiperiodo ,13 = = =

32 1 UNITÀ Palestra matematica Frazioni decimali [U1.1 D p. ] RICORDA Per trasformare una frazione decimale nel corrispondente numero decimale si scrive il solo numeratore e si separano in esso con una virgola, da destra verso sinistra, tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore della frazione data. Se occorrono, si aggiungono alla sinistra del numeratore tanti zeri quante sono le cifre che mancano. 1 Scrivi dieci frazioni decimali. Rappresenta graficamente le seguenti frazioni decimali. ESEMPIO Come si scrive 36 decimi? Cerchia la scrittura corretta ,36 + Trasforma le seguenti frazioni decimali in numeri decimali. 4 ESEMPIO =,4 = 0 0, Con delle frecce, associa ciascuna frazione al corrispondente numero decimale. a. 0, b. 0,00 0 0, 00 0,0, 00, RICORDA La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha per numeratore il numero intero ottenuto sopprimendo la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato. 8 Per ogni numero decimale limitato, cerchia la nuvoletta che contiene la sua frazione generatrice. a. 0, b., c. 0, 00 0 U1 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI