Conigli Trasmissione di segnali Semi di girasole Che cosa cè in comune?

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1 Conigli Trasmissione di segnali Semi di girasole Che cosa cè in comune? 4 Marzo 1997

2 La riproduzione dei conigli La trasmissione di segnali su un canale discreto La disposizione dei semi di girasole Le foglie su una pianta I petali di un fiore L albero genealogico di un ape La sezione aurea Puzzles che aumentano di superficie 1

3 I Numeri di Fibonacci Leonardo da Pisa detto Fibonacci cioè figlio di Bonaccio 2

4 Nacque a Pisa attorno al 1170 Morì a Pisa attorno al 1250 Fu educato in Nord Africa da precettori mussulmani Ebbe modo di conoscere ed apprezzare il sistema di numerazione indo-arabica che introdusse per primo in Europa. Le sue opere maggiori sono Liber Abaci (1202) Practica Geometriae (1220) Liber Quadratorum (1225) 3

5 Nel Liber Abaci è contenuto il seguente problema: Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno a partire da un unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia genera una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal suo secondo mese di vita? 4

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7 Si può facilmente constatare che il numero di conigli è dato da M C Se n è il numero dei mesi e c è in numero dei conigli c dipende da n Esprimiamo questo fatto scrivendo c n invece di c avremo che n c n

8 La successione c n fu chiamata successione di Fibonacci da François Édouard Anatole Lucas nato ad Amiens il 4 Aprile 1842 morto a Parigi il 3 Ottobre 1891 La successione di Fibonacci può essere identificata mediante le c 1 = 1 c 2 = 1 c n+1 = c n + c n 1 n 1 (1) 7

9 La successione di Fibonacci può essere espressa mediante la c n = 1 (( ) n ( ) n ) dove è il Rapporto Aureo e si indica solitamente con la lettera τ oppure con la lettera ϕ τ = Il Rapporto aureo permette di risolvere il problema di dividere un segmento in due parti di cui la maggiore è media proporzionale tra la minore ed l intero segmento 8

10 Trasmissione di segnali Supponiamo di voler trasmettere un segnale su un canale discreto usando due simboli di uguale durata S 1 S 2 d 1 = d 2 = t secondi per un tempo T Potremo trasmettere m = T t segnali cioè N(T ) = 2 m messaggi diversi. Pertanto la velocità di trasmissione si potrà calcolare mediante il rapporto m T = log 2 2 m T = log 2 N(T ) T 9

11 Se invece si volessero usare due segnali di diversa durata d 1 d 2 ad esempio d 1 = 1 d 2 = 2 potremmo, trasmettere i seguenti messaggi Unità di tempo Messaggi

12 E potremmo calcolare il numero di messaggi mediante le formule di ricorrenza N(1) = 1 N(2) = 3 N(T ) = N(T 1) + N(T 2) La velocità di trasmissione sarebbe log 2 N(T ) T che per T grande si stabilizza attorno al valore 0.69 o, più precisamente, attorno a

13 Semi di girasole Petali di fiori Disposizione delle foglie di una pianta I semi del girasole sono disposti secondo lo schema seguente. Si può vedere che è possibile identificare spirali orarie e spirali antiorarie disegnate dalla disposizione dei semi. 12

14 Si verifica che il numero di spirali orarie ed antiorarie che si possono osservare in un girasole sono coppie di numeri di Fibonacci successivi. 13

15 Normalmente si osservano 34 e 55 spirali ma anche 89 e 144 spirali Nel 1951 The Scientific Monthly pubblicò la notizia dell osservazione di un girasole con spirali. 144 e

16 Considerazioni simili si applicano al caso dei petali dei fiori; il numero di petali dei fiori di un gran numero di piante è uno dei numeri di Fibonacci. Sono molto comuni fiori che hanno petali. 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89 15

17 Nelle piante le foglie sono disposte lungo il fusto secondo una spirale. Possiamo contare il numero di giri T che bisogna fare attorno al fusto di una pianta per trovare due foglie sovrapposte ed il numero di foglie N che si incontrano lungo il cammino. I numeri N e T sono numeri della successione di Fibonacci. 16

18 ad esempio N T

19 L albero genealogico di un ape Ogni ape maschio viene generato per partenogenesi da uova non fecondate. Ogni ape femmina viene generata da un uovo fecondato. Perciò l albero genealogico di un ape, sia maschio, sia femmina è un po particolare. 18

20 Si vede che gli avi di un ape maschio sono Generazione numero di avi Si vede che tale numero è dato dalla successione di Fibonacci. 19

21 Qualche proprietà della successione di Fibonacci La successione di Fibonacci è caratterizzata dalla relazione di ricorrenza c n+1 = c n + c n 1 Dividendo per c n si ricava c n+1 c n = 1 + c n 1 c n Posto R n+1 = c n+1 c n R n = c n c n 1 si ha R n+1 = R n 20

22 Per n abbastanza grande R n τ e τ = τ da cui τ 2 = τ + 1 τ 2 τ 1 = 0 e τ = τ = 1 ± 5 2 = > 1 21

23 La Sezione Aurea Problema: Dividere il segmento AB in due parti AT e T B delle quali una sia media proporzionale tra l altra ed il segmento intero. A T B Deve essere AB T B = T B AT AT + T B T B = T B AT AT T B + 1 = T B AT 22

24 Se chiamiamo τ = T B AT avremo τ = τ da cui e τ = 1 ± 5 2 = τ = =

25 Se ora consideriamo la successione R n = c n 1 dei rapporti tra due numeri di Fibonacci successivi, possiamo osservare che il suo andamento è del tipo c n e si vede che tende a τ. Più precisamente R 2n τ R 2n+1 τ R 2n+1 < τ < R 2n 24

26 Altre proprietà della successione di Fibonacci. n k=1 c k = c 1 + c 2 + c c n = c n+2 1 n k=1 c 2k 1 = c 2n n k=1 c 2 k = c nc n+1 c n 1 c n+1 c 2 n = ( 1) n 25

27 L ultima uguaglianza c n 1 c n+1 c 2 n = ( 1) n consente di costruire un puzzle che si puó scomporre e ricomporre perdendo o guadagnando una unità di area come mostra la seguente figura 26

28 La scomparsa o la ricomparsa di una unità di area dipende dal fatto che la scomposizione è possibile in quanto le dimensioni dei lati sono date da tre numeri di Fibonacci successivi. 27

29 La sezione aurea compare spesso nelle opere d arte. Gli architetti e gli artisti greci facevano largo uso di rettangoli con il lati in proporzione aurea. La pianta del Partenone è un esempio di questa tendenza. 28

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31 Anche le statue erano scolpite tenendo presente il rapporto aureo Il corpo veniva diviso utilizzando proporzioni auree. 30

32 É anche interessante ricordare che la spirale logaritmica ha evidenti connessioni con la sezione aurea. La spirale logaritmica compare molto spesso in natura. La conchiglia di una specie di nautilo, le zanne degli elefanti, le spirali secondo cui sono disposti i semi di girasole sono logaritmiche. 31

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34 Anche i solidi Platonici hanno a che fare con la sezione aurea Ad esempio il dodecaedro e l icosaedro sono identificati da una terna di rettangoli mutuamente ortogonali di proporzioni auree. 33