Per avere a=0 F 1 + F 2 +F 3 =0 F 3 G. Bracco - Appunti di Fisica Generale

Transcript

1 Misura statica di una forza Dalla seconda legge di Newton abbiamo una definizione dinamica di forza. Ovvero preso un corpo di riferimento la proporzionalità fra F ed a permette di definire la forza. E però possibile definire una forza anche in modo statico tramite la deformazione che un corpo (in quiete) subisce. Utilizziamo una molla con opportuna scala graduata per misurare l allungamento (dinamometro).con tale strumento è possibile stabilire la natura vettoriale della forza. Es.: F 1 F 2 Per avere a=0 F 1 + F 2 +F 3 =0 F 3 1 Diagramma delle forze Per la risoluzione dei problemi è opportuno per ciascun corpo (puntiforme) disegnare tutte le forze ad esso applicate scrivere la seconda legge di Newton scegliere un sistema di riferimento opportuno per semplificare il problema proiettare i vettori sul sistema di riferimento scelto Inoltre bisogna considerare la presenza di vincoli che limitano la libertà di movimento: piani di appoggio, funi o aste, etc. Questi vincoli aggiungono altre equazioni che collegano fra loro le equazioni di Newton dei singoli corpi Per un corpo esteso bisogna tener conto anche del punto di applicazione delle forze 2

2 Attrito radente Quando due corpi sono a contatto nascono delle forze che si oppongono al moto relativo. Consideriamo un corpo appoggiato su un piano e disegniamo il diagramma delle forze direttamente sul corpo. Lungo la verticale c è la forza peso diretta verso il basso e la reazione normale che si equilibrano. In orizzontale applichiamo una forza F e misuriamo il suo modulo. Dobbiamo raggiungere un valore limite prima che il corpo si metta in moto. Quindi esiste una forza f S che fa equilibrio fino al valore limite. Il valore limite è proporzionale alla reazione normale del vincolo N. 3 Oltre questo valore limite una forza di valore inferiore è necessaria a mantenere la velocità costante. Il modulo di questa forza è ancora proporzionale alla reazione normale f S < = f S,max = μ S N coefficiente di attrito statico μ S f K = μ K N coefficiente di attrito dinamico μ K 4

3 Forza gravitazionale E la forza che agisce fra ogni coppia di corpi m A m B F AB = - G r^ AB forza con cui A attrae B (segno -) A F AB B r AB = r B -r A r= r AB distanza da A a B m B m A F BA = - G r^ BA forza con cui B attrae A (segno -) A F BA B da notare che vale il principio di azione e reazione m A m B sono le masse gravitazionali dei corpi, sempre di valore positivo, che l esperienza dimostra essere uguali alle loro masse inerziali G = N m 2 /kg 2 è la costante di gravitazione universale 5 Forza elettrostatica di Coulomb E la forza che agisce fra ogni coppia di corpi aventi una carica q A q B F AB = k r AB ^ forza con cui A interagisce con B q B q A F BA = k r BA ^ forza con cui B interagisce con A q A q B sono le cariche elettriche dei corpi di valore positivo o negativo k = 1/(4 πε 0 ) = Nm 2 /C 2 con ε 0 = C 2 /(Nm 2 ) la costante dielettrica del vuoto 6

4 Al contrario delle forze di attrito che nascono dal contatto fra i corpi (forze di contatto) la forza gravitazionale e quella elettrostatica agiscono a distanza e hanno raggio d azione infinito. La loro struttura matematica è identica, inversamente proporzionale al quadrato della distanza m A m B ^ F AB = - G r AB ed agiscono lungo la congiungente fra i corpi. Esse sono perciò della forma F= f(r) r AB e sono dette forze centrali ^ 7 Nella meccanica classica, le forze si trasmettono istantaneamente ma questo viola che la velocità limite sia quella della luce. Ciò si modifica introducendo il concetto di campo (funzione (in questo caso vettoriale) definita in ogni punto dello spazio-tempo) m A F AB =( - G r AB ) m B =C A m B Es. con C A campo (gravitazionale in questo caso) è il campo generato da A che agisce nel punto dove è presente B. Il campo si propaga con la velocità della luce secondo opportune equazioni del campo (per la gravità: Relatività generale). Analogamente per la forza di Coulomb si definisce il campo elettrico F AB =E A q B ; l Elettromagnetismo descrive con le eq. di Maxwell come si comporta il campo elettrico (in genere non disgiunto da quello magnetico) che vedremo più avanti nel corso. Altri esempi di campi: velocità di un corso d acqua, temperatura di un corpo,. ^ 8

5 Forza peso Nel caso frequente in cui il corpo è sulla superficie terrestre la formula generale si può semplificare considerando ^ che la distanza dal centro della Terra è in pratica sempre uguale al raggio terrestre R=( ±0.02) km m A F AB =( - G r AB )m B = g m B con g accelerazione ^ di gravità (la quantità tra parentesi calcolata per r=r) diretta verso il centro della Terra di massa m A =5.9736x10 24 kg quindi la forza che la Terra esercita su un corpo vicino alla sua superficie (peso) è P=mg (uguale in modulo alla forza che il corpo esercita sulla Terra?) Dalla definizione di accelerazione di gravità il modulo varia sia variando quota, sia per la non perfetta sfericità della Terra, sia per la non omogeneità della Terra al polo g= m s -2 all equatore g= m s -2 per i problemi useremo un valor medio g= m s -2 o con tre cifre significative 9.81 m s -2 9 La forza gravitazionale e quella elettrostatica sono due forze fondamentali della natura da cui discendono le altre che causano il moto dei corpi a livello macroscopico. Esistono altre due forze fondamentali, il cui ruolo è importante a livello subatomico ma i cui effetti sono anche macroscopici (centrali atomiche.) Sono le forze nucleari forti e le forze nucleari deboli. Le prime tengono uniti i costituenti del nucleo atomico che sono sia neutri (neutroni) che carichi (protoni). I protoni per repulsione elettrostatica tenderebbero a far esplodere il nucleo ed è proprio la forza nucleare forte che li mantiene uniti. La forza debole è responsabile dei decadimenti radioattivi e dei processi di fusione che avvengono nelle stelle. 10

6 Una breve nota sui costituenti fondamentali della materia: Per i greci antichi: aria, terra, acqua e fuoco (Empedocle, nel V sec. a.c ) Poi Democrito (400 a.c.) propose l idea di atomo, indivisibile e questa idea rimase per molto tempo. Attorno al 1900, si pensava che gli atomi fossero fatti come delle palline. Si vide però che gli atomi potevano essere classificati in base alle loro proprietà chimiche (come nella tavola periodica): questo fatto lasciava pensare che non fossero fondamentali. Poi si scoprì l elettrone e con esperimenti di diffusione di particelle α si arrivò al concetto di nucleo. Molti anni dopo, gli scienziati hanno scoperto che il nucleo è composto: è fatto di protoni (p) e neutroni (n). I dati sperimentali però hanno mostrato che nemmeno i protoni e i neutroni sono fondamentali -- sono composti da particelle più elementari, chiamate quark. Sembra che i quark e gli elettroni siano fondamentali (?). 11 Adroni: particelle formate da quark Barioni: Protone (uud) e neutrone (udd) (up e down, ma anche strange, charmed, bottom, top). Mesoni: (quark+antiquark) Leptoni Come fanno a stare assieme e interagire? Si è capito che tutte le interazioni (o forze) che riguardano le particelle materiali sono dovute ad uno scambio di mediatori di forza. Pensiamo al gioco del calcio: i giocatori sono le particelle materiali che si passano un pallone, questo è la particella mediatrice di forza che da una spinta quando arriva. Quelle che noi chiamiamo comunemente "forze" sono gli effetti dei mediatori di forza sulle particelle materiali. Classicamente ad un mediatore è associato un campo di forza. P.es. fotone campo 12 elettromagnetico

7 La seguente tabella fornisce un ordine di grandezze delle forze in gioco Pe protoni a distanza di m forza agisce su raggio d azione intensità gravità tutte le masse infinito N debole su quasi tutte le particelle elementari <10-17 m 10-2 N elettromag cariche elettriche infinito 10 2 N forte particelle nucleari m 10 4 N 13 Forza elastica Se un corpo viene sollecitato da una forza, almeno inizialmente le deformazioni sono proporzionali alla forza (legge di Hooke) p.es. deformazione di una molla: F =k(l-l 0 ) F modulo della forza, k costante elastica della molla l lunghezza finale della molla, l 0 lunghezza a riposo Supponiamo che un corpo sia vincolato ad una molla di costante elastica k e che esegua un moto unidimensionale. Fissiamo l origine nella posizione di riposo della molla ( l-l 0 =x ). m O x m X X F F la forza è sempre diretta verso O e quindi la componente F<0 per x>0 F>0 per x<0 da cui F=-kx x O 14

8 L equazione del moto è perciò ma=-kx ovvero a+ (k/m) x=0 x + (k/m) x=0 equazione del moto armonico le cui soluzioni sono del tipo x=a cos (ωt+φ) con A ampiezza dell oscillazione (soluzioni alternative x=a sen (ωt+φ) o x=a cos (ωt) + B sen (ωt+φ) ) ω 2 = k/m pulsazione del moto, φ fase iniziale per t=0 s x=a cos(φ) v= - A ω sin(φ) condizioni iniziali Animazione: molla(phi) In 3 dimensioni la forza elastica si scrive F = - k (r -r 0 ) (isotropa in tutte le direzioni) anche in questo caso si tratta di una forza centrale (rispetto ad r 0 ) come nel caso della forza gravitazionale ed elettrostatica. 15 Attrito viscoso Il moto di un corpo in un fluido (gas o liquido) incontra una resistenza che dipende dalla velocità relativa tra corpo e fluido ^ F=-f(v)v con f(v) una funzione della velocità ed il segno - perché la forza si oppone al moto, si può pensare di sviluppare in serie f(v)= β v + B v per basse velocità F= - β v il coefficiente β è legato alle proprietà del fluido e alle caratteristiche geometriche del corpo, per una sfera di raggio R: β =6π R η con η coefficiente di viscosità del fluido. In aria e con moto turbolento la forza (resistenza aerodinamica) vale F =½CρAv 2 con C coefficiente di resistenza aerodinamica, ρ=massa volumica dell aria (densità), A=sezione max. del corpo 16

9 In entrambi i casi se un corpo cade soggetto alla gravità si osserva che la velocità aumenta fino ad un valore limite Moto unidimensionale: 1) ma=mg- β v la soluzione (costante) a regime è ma=0 v=mg/ β x -βv mg 2) ma=mg-bv 2 ma=0 v= mg/b con B= ½CρA Esercizio: trovare le soluzioni per un corpo che parte da fermo e cade immerso nel fluido. 17 Tensione di una molla: è la forza che agisce su ogni tratto della molla, in particolare ai suoi estremi. Supponiamo che ci siano due masse agli estremi. F +T =m F T T 1 a 1 e F+T=m 2 a 2. F Ma se m 1 0 m 2 0 allora F =-T e F=-T quindi le forze applicate dalla molla m 1 m 2 (tensioni) sono uguali e opposte a quelle che si devono applicare agli estremi per allungarla (o comprimerla) (forze uguali e opposte) (nella figura la molla è allungata altrimenti tutte le forze sono opposte). D altra parte considerando la molla F + F=m molla a molla, ma se m molla 0 allora F =- F cioè la forza ai due estremi è uguale e opposta, quindi la tensione è uguale e opposta agli estremi T =-T. Molla ideale: molla con massa trascurabile che segue la legge di Hooke. Fune ideale= fune che non si allunga (molla con costante elastica k infinita per gli allungamenti) e di massa trascurabile. Genera una tensione uguale e opposta agli estremi (a trazione ma non a spinta). 18

10 La fune determina anche un vincolo sulle posizioni dei corpi che sono da essa collegati: lo spostamento degli estremi è uguale in modulo (il segno dipenderà dalla scelta del sistema di riferimento) Carrucola: essa serve a modificare la direzione della fune che vi si avvolge attorno e quindi della tensione trasmessa dalla fune. V Il perno della carrucola reagisce in modo da mantenere in quiete la carrucola stessa (V). Se la massa è trascurabile e ruota senza attriti (carrucola ideale) allora la tensione si trasmette inalterata, altrimenti la tensione prima e dopo la carrucola è differente e la differenza è necessaria per mettere in rotazione la carrucola 19 Quantità di moto Si definisce quantità di moto il prodotto p= m v (unità kg m/s) la seconda legge di Newton si scrive perciò F= dp/dt (*) In questa forma essa ha validità anche per sistemi a massa variabile (p.es. razzi) o per estendere la meccanica classica anche al caso relativistico in cui la massa di un corpo varia con la velocità o per il processo di quantizzazione della meccanica quantistica. Si definisce impulso di una forza (nell intervallo t 1,t 2 ) la quantità J= F dt l integrale è calcolato fra (t 1,t 2 ). Dalla (*) si può pertanto scrivere dp = F dt cioè fra (t 1,t 2 ), Δp=J Teorema dell impulso 20

11 Momento di una forza e momento della quantità di moto (momento angolare) Per trattare i moti, in particolare le rotazioni, è opportuno introdurre il concetto di momento di una forza (o torcente, unità Nm). Consideriamo il momento rispetto all origine degli assi (polo) t = r F e momento della quantità di moto (o momento angolare) (unità kg m 2 /s) l = r p = r mv deriviamo rispetto al tempo dl/dt=d(r p )/dt = dr/dt p + r dp/dt = v p + r dp/dt = r F poiché v e p sono paralleli, da cui t=dl/dt 21 Se scegliamo un altro punto r 0 (polo) rispetto a cui calcolare i momenti t 0 = (r-r 0 ) F e momento della quantità di moto l 0 = (r-r 0 ) p = (r-r 0 ) mv deriviamo rispetto al tempo dl 0 /dt=d((r-r 0 ) p )/dt = d (r-r 0 ) /dt p + (r-r 0 ) dp/dt = v p -dr 0 /dt p + (r-r 0 ) dp/dt = -v 0 p + (r-r 0 ) F poiché v e p sono paralleli, se il punto r 0 è fisso si ha ancora t 0 =dl 0 /dt (altrimenti t 0 =dl 0 /dt + v 0 p ) r 0 r-r 0 r 22

12 Conservazione del quantità di moto e e del momento angolare Se la risultante delle forze su un corpo è nulla allora dp/dt=0 cioè p è costante: conservazione della quantità di moto Se il momento risultante è nullo dl/dt=0 cioè l è costante: conservazione del momento angolare queste leggi di conservazione sono soprattutto utili nel caso di sistemi formati da più punti materiali. Esse sono di grande importanza poiché hanno validità generale e sono legate all omogeneità (un fenomeno non cambia se si trasla il sistema di riferimento) e isotropia (un fenomeno non cambia se si ruota il sistema di riferimento) dello spazio. Es. nel caso di forze centrali il momento angolare si conserva r f(r) r ^ =0 poiché sono vettori paralleli 23 Esercizio: Una pallina di massa m=2.0 kg è vincolata a muoversi nel piano xy. Se la sua velocità è v =5.0 m/s diretta come la bisettrice del primo quadrante per valori di x crescenti, calcolare la sua quantità di moto ed il suo momento angolare rispetto all origine e rispetto ad punto P=(0.0, 2.0) m. Una pallina di massa m=3.0 kg sta eseguendo nel piano xy la traiettoria descritta da: x=2 cos(2 t) y=2t 2, calcolare il tipo di curva che sta descrivendo, la risultante delle forze ad essa applicata, la quantità di moto ed il momento angolare rispetto all origine per t=1.0 s. 24