STRATEGIE E TECNICHE DI DEMAND PLANNING AND SALES FORECASTING

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1 CORSO DI Gestione della Produzione Industriale 2 Facoltà di Ingegneria STRATEGIE E TECNICHE DI DEMAND PLANNING AND SALES FORECASTING Prof. Fabrizio Dallari Università Carlo Cattaneo Centro di Ricerca sulla Logistica [email protected] 1 IL PROCESSO PREVISIONALE mercato competition 1. tecniche e modelli utenti 3. management e organizzazione 2. sistemi e applicativi environment supply chain 2 1

2 INDICE DEGLI ARGOMENTI TRATTATI ruolo delle previsioni nel processo di pianificazione analisi delle serie storiche modelli basati sullo smorzamento esponenziale fasi del processo di implementazione monitoraggio delle previsioni (indicatori dell errore) applicazioni numeriche e casi aziendali 3 LA PREVISIONE E IL PROCESSO DI PIANIFICAZIONE Sales & Operation Planning Sistema produttivo Sistema distributivo Demand Management Ordini e Previsioni MP WIP PF PF PF Procurement Planning Production Planning & MRP Inventory Planning Sales Forecasting Aggregate Planning Distribution &Transport Planning 4 2

3 F.A.Q. (Frequently Asked Questions) PREVEDERE PERCHÉ? COSA? QUANDO? CHI? COME? QUANTO COSTA? 5 PERCHÉ PREVEDERE? Engineer to order Make to order Assembly to order Make to stock Ship to stock Approvvigion. Produzione Assemblaggio Spedizione Previsioni su materie prime Fasi del ciclo produttivo - distributivo Previsioni su materie prime e componenti Non sono richieste previsioni Previsioni su materie prime, componenti e prodotti finiti Previsioni su materie prime, componenti e prodotti finiti (disaggregata) Alternative produttive - prodotto personalizzato su commessa - prodotto standard su ordine - prodotto personalizzato su moduli standard - produzione di serie - beni di largo consumo Lead Time accettato dai clienti / consentito dal mercato 6 3

4 COSA PREVEDERE? Si parla di previsioni della domanda ma spesso si fanno previsioni delle vendite Produzione (fornitore) Distribuzione Punto vendita (cliente) Cliente finale Fatture emesse ai clienti Ordini consegnati ai clienti Ordini confermati ai clienti Ordini ricevuti dai clienti Vendite (dati POS) sell-out Domanda del cliente finale (lista della spesa) dilazione pagamenti problemi logistici mancanza prodotto politiche di riordino eventi / azioni promozionali 7 COSA PREVEDERE? PRODOTTO business unit 3 LIVELLI DI DI AGGREGAZIONE brand famiglia gruppo comm., tecn. codice articolo punto vendita cliente area comm. totale country totale mondo SKU giorno settimana quindicina mese trimestre anno PERIODO DI RIFERIMENTO MERCATO / AREA GEOGRAFICA Inoltre esistono diverse UNITÀ DI MISURA : kg, litri, pezzi, colli, pallet, euro, etc. 8 4

5 QUANDO PREVEDERE? ORIZZONTE TEMPORALE DI PREVISIONE LUNGO TERMINE (( > 2 3 ANNI) DECISIONI STRATEGICHE (pianificazione per per divisioni, linee linee di di prodotto, mercati) MEDIO TERMINE (1 (1 2 ANNI) DECISIONI TATTICHE (budget annuale; previsioni aggregate) Previsioni su : vendite totali, capacità produttiva, modello di distribuzione,lancio di nuovi prodotti,... vendite totali e per linee di prodotto, prezzi per linee di prodotto, condizioni generali economiche... BREVE TERMINE (( 6 MESI) DECISIONI OPERATIVE (previsioni disaggregate su su base base settimanale e mensile) vendite per codice prodotto, per area geografica, per cliente, prezzi e volumi... 9 GERARCHIA DELLA PIANIFICAZIONE Livello di dettaglio Obiettivo Aggiornamento Piano aziendale Segmento di mercato Redditività/ sviluppo aziendale Poliennale/annuale Piano vendite Famiglia Fatturato Annuale con dettaglio mensile Piano aggregato (budget) Famiglia/unità produttiva Bilanciamento risorse/domanda Annuale con dettaglio mensile Piano principale di produzione Famiglia/prodotto Livellamento, lottizzazione, sequencing Mensile/settimanale MRP Programma operativo Codice articolo Prevedere fabbisogni materiali e capacità Programmare linee Emettere ordini di rifornimento Settimanale / giornaliero con dettaglio orario 1 5

6 LEGGE DI PROPAGAZIONE DEGLI SCARTI L accuratezza delle previsioni : ALL AUMENTARE DEL LIVELLO DI AGGREGAZIONE DI PRODOTTO (es. la previsione fatta a livello di famiglia di prodotto risulta più accurata rispetto alla previsione ottenuta a partire dai singoli prodotti) ALL AUMENTARE DEL LIVELLO DI AGGREGAZIONE NEL TEMPO (es. la previsione fatta su base mensile risulta più accurata rispetto alla previsione ottenuta per le singole settimane) ALL AUMENTARE DEL LIVELLO DI AGGREGAZIONE NELLO SPAZIO (es. la previsione fatta sul totale vendite Italia risulta più accurata rispetto alla previsione ottenuta per le singole Regioni) ALL AUMENTARE DELL ORIZZONTE PREVISIONALE (tanto più è lontano il momento in cui si vuole prevedere quanti più sono gli eventi casuali di disturbo) 11 CHI DEVE PREVEDERE CHE COSA? Le principali funzioni aziendali effettuano previsioni con differenti obiettivi, livelli di aggregazione, unità di misura, periodi di riferimento e orizzonti previsionali Marketing / Vendite Produzione / Acquisti Contabilità / Finanza Logistica Esigenze previsionali analisi nuovi prodotti trend consumi nuovi canali commer. politiche di prezzo effetto promozioni obiettivi di vendita approvv. MP/WIP piano di produzione capacità produttiva investimenti manodopera costo materiali costo del denaro richieste di capitale liquidità tassi e cambi profitti e perdite gestione scorte PF piano consegne addetti magazzino capacità stoccaggio capacità movimentaz. Livello di aggregazione articolo, famiglia SKU, articolo totale azienda, divisione, famiglia SKU Periodo e orizzonte di riferimento annuale, con aggiornamento mensile, trimestrale 1-6 mesi / 1-5 anni con aggiornamento settimanale/mensile annuale, con aggiornamento mensile, trimestrale 1-4 settimane /1-2 anni con aggiornamento settimanale/giornaliero 12 6

7 LIVELLI DI AGGREGAZIONE THE COCA COLA COMPANY Per prodotti. Serve a dimensionare la cap. produttiva degli stabilimenti PRODOTTI VARIANTI... FANTA LIGHT CLASSIC COCA-COLA DIET SPRITE CHERRY Per varianti. Serve a pianificare acquisti di MP e produzione. ARTICOLI... VETRO 1l PET,5l PET 1,5l LATTINA,33l Per articoli. Serve a pianificare le attività di imbottigliamento SKU... L33x6Z7 L33x4AZ4 L33x24Z1 Per SKU. Serve a pianificare le scorte e la distribuzione 13 COME PREVEDERE Domande per la scelta del metodo 1. Numero di clienti pochi: condivisione piani e informazioni, molti: maggiore affidabilità dei metodi statistici 2. Caratteristiche dei dati dati storici a disposizione (ordini, dati POS, bolle, etc.) storicità dei dati (almeno 2 anni per stagionalità) livello di dettaglio dei dati disponibilità di dati / informazioni esterne 3. Numero e tipo di previsioni livello di aggregazione, orizzonte di previsione numerosità dei codici da prevedere numerosità delle combinazioni prodotto/mercato 4. Nuovi prodotti cambio codice articolo, assimilazione, variante, novità assoluta 5. Disponibilità di risorse persone, sistemi IT, budget 6. Accuratezza richiesta identificare le conseguenze / costi derivanti da errate previsioni 14 7

8 QUADRO DELLE METODOLOGIE PREVISIONALI METODI QUALITATIVI E A BASE SOGGETTIVA: - FORZA DI VENDITA - PANEL DI ESPERTI / METODO DELPHI - SCENARI FUTURI / ANALOGIE - INDAGINI DI MERCATO, TEST E SONDAGGI METODI CAUSALI BASATI SU CORRELAZIONE : - REGRESSIONE (lineare, quadratica,multipla,...) - ECONOMETRICI / INPUT-OUTPUT TECNICHE ESTRAPOLATIVE DELLE SERIE STORICHE : - MEDIE MOBILI (semplice, ponderata,..) - SMORZAMENTO ESPONENZIALE (Winters...) - DECOMPOSIZIONE / PROIEZIONE TREND - ARIMA (Box Jenkins) 15 METODI QUALITATIVI E A BASE SOGGETTIVA Il Marketing deve poter influenzare o modificare le proiezioni proposte, in base alla conoscenza che esso ha dell'andamento futuro: delle iniziative cliente delle promozioni programmate previsione di acquisizione di un ordine cliente di grosse dimensioni scadenze legate ad iniziative cliente modifica delle scadenze legate a budget variazioni dell'andamento macroeconomico e comunque di tutte quelle informazioni che possono influenzare i volumi ed il mix di vendita nel medio termine. Market Intelligence Tale modalità di previsione permette al Marketing di focalizzare la propria attenzione sul miglioramento della qualità delle previsioni aggiungendovi il valore derivante dalla proprie specifiche conoscenze sulle vendite future 16 8

9 METODI CAUSALI BASATI SU CORRELAZIONE FATTORI CHE INFLUENZANO LA DOMANDA Company Marketplace Environment Sales data Price, Promotion Service Level Quality Budget Consumer perception Demographics Competition Innovation Random Factors Regulation Economy Business Cycle Weather conditions I metodi causali aiutano a capire quali sono i fattori rilevanti e quale è la relazione con le vendite Demand DB Legami causa/effetto Time 17 TECNICHE QUANTITATIVE BASATE SU SERIE STORICHE AMBITO : pianificazione integrata (gestione delle scorte, pianificazione della distribuzione, programmazione della produzione, etc.) LIVELLO DI DETTAGLIO : codice articolo, SKU, famiglia merceologica ORIZZONTE PREVISIONALE : breve-brevissimo periodo (1-6 mesi) DATI STORICI : - riferiti alle vendite settimanali/mensili/bimestrali - sono disponibili almeno 2 anni di storia (per stagionalità) - domanda di tipo continuativo e prevedibile (coefficiente di variazione : σ/dm) ASSUNZIONE : il futuro sarà come il passato Estrapolazione delle sole componenti prevedibili (trend e stagionalità) NB : le previsioni sono erratiche per definizione Previsioni & Accuratezza 18 9

10 COME PREVEDERE Utilizzo congiunto delle metodologie DB Domanda Metodi Causali base demand Tecniche Estrapolative forecast tunnel P 1 P 2 P 3 P 4 cause effetti a b base forecast Metodi Qualitativi DB eventi info mercato piani MKTG ordini esistenti etc. Market intelligence Consensus forecast group Forecast & Accuracy 19 LE 3C DELL INTEGRAZIONE FUNZIONALE comunicazione se sussiste un semplice scambio di informazioni più o meno strutturato tra i diversi attori che collaborano al processo previsionale; ( : news alla macchina del caffè, : data & info sharing) coordinamento se sono presenti incontri formalizzati e pianificati ossia un gruppo di lavoro o un comitato che si riunisce periodicamente; ( : incontri spot, : gruppo di lavoro ben definito che si riunisce settimanalmente) collaborazione se è presente un interazione di più alto livello tra le parti che si manifesta attraverso lo sviluppo in team delle previsioni e degli obiettivi condivisi che ne guidano la redazione, secondo un approccio consensuale ( : previsioni seguono gli obiettivi del singolo, : KPI di accuracy condiviso) 2 1

11 COME PREVEDERE Organizzazione processo previsionale FINANZA MARKETING PRODUZIONE & LOGISTICA VENDITE 1. MODELLO INDIPENDENTE Ogni funzione sviluppa un proprio forecast ad uso interno sulle proprie esigenze Assoluta inconsistenza tra i vari forecast Nessun coordinamento tra le funzioni Nessuna condivisione informazioni Basse prestazioni previsionali FINANZA MARKETING PRODUZIONE & LOGISTICA VENDITE 2. MODELLO CONCENTRATO Una sola funzione sviluppa le previsioni per tutta le altre (es. Marketing, Logistica) Naturale distorsione del forecast (ownership) Coordinamento limitato e formale Inefficiente utilizzo delle informazioni Basse prestazioni (soprattutto per le funzioni-cliente) 21 COME PREVEDERE Organizzazione processo previsionale FINANZA MARKETING PRODUZIONE & LOGISTICA VENDITE 3. MODELLO NEGOZIATO Ciascuna funzione genera un proprio forecast e partecipa alla negoziazione del final forecast Coordinamento ampio e strutturato (nel corso di riunioni formali) Flusso informativo non ottimizzato e presenza di possibili conflittualità (non collaborativo) Miglioramento delle prestazioni FINANZA Consensus forecast group MARKETING PRODUZIONE & LOGISTICA VENDITE 4. MODELLO CONSENSUALE Esiste un comitato per le previsioni, con rappresentanti di ciascuna area funzionale Logica del consensus forecast : le informazioni dalle diverse aree confluiscono nella previsione Coordinamento, Collaborazione, Comunicazione (3C) Massima condivisione delle informazioni Elevato assorbimento di risorse 22 11

12 GLI APPROCCI ORGANIZZATIVI 23 RICERCA DEMAND PLANNING AILOG IL PROCESSO DI PIANIFICAZIONE DELLA DOMANDA Il processo di Demand Planning nelle aziende italiane: i risultati della Ricerca Ailog LIUC Fabrizio Dallari Direttore del Centro di Ricerca sulla Logistica Università Carlo Cattaneo LIUC Coordinatore Gruppo di Lavoro Ailog Demand Planning Centro di Ricerca sulla Logistica 24 12

13 Classificazione delle logiche previsionali Previsione INDIPENDENTE Funzione 1 Funzione 3 Funzione 2 Funzione 4 Previsione Completa sconnessione tra gli attori del processo previsionale % Comunicazione Coordinamento Collaborazione 47% Funzione 1 Previsione Funzione 3 CONCENTRATA Previsione Funzione 2 Presenza distorsione a Previsione causa dell unicità del punto di vista Funzione 4 Previsione Previsione NEGOZIATA CONSENSUALE Funzione 1 Funzione 2 Funzione 1 Funzione 2 Le diverse previsioni generate Gruppo di oggetto di di lavoro interazioni (conflittuali) Previsione preliminare Previsione preliminare Previsione preliminare Previsione preliminare 27% Comunicazione 26% Approccio ottimale, tuttavia necessita di Funzione molte 3 risorse Team interfunzionale tuttavia necessita di Funzione 4 Funzione 3 Funzione 4 Coordinamento Previsione Collaborazione Previsione 25 Il background: la prima fase della ricerca Ricerca Bibliografica su processo di SF&DP Questionario 1. Indagine on site (2) 2. Indagine telefono (6) Benchmarking Results FASE 1 Consultazione esperti e fornitori di sistemi IT Survey Results Timing : aprile 4 marzo 5 Obiettivo: comprendere la situazione as-is delle practice previsionali, secondo il modello di Mentzer Focus: 1. integrazione funzionale 2. approccio e metodi 3. sistemi IT 4. misura performance Ambito: vari settori industriali Risultati (1): score da 1 a 4 per ciascuna delle 4 dimensioni investigate con interviste dirette Risultati (2): ripartizione % tra le risposte fornite al questionario a risposte multiple somministrato via call center della rivista Logistica 26 13

14 Prima fase: i risultati (1) FMCG 1 4. Misura delle prestazioni 2,95 1. Integrazione funzionale 3, ,73 2. Approccio al problema previsionale FMCG 2 1. Integrazione funzionale 4. Misura 2,85 1 delle prestazioni ,93 1,57 2. Approccio al problema previsionale 1,85 2,9 3. Sistemi IT e applicativi 3. Sistemi IT e applicativi FMCG 3 4. Misura delle prestazioni 2,25 1. Integrazione funzionale ,5 1,8 2. Approccio al problema previsionale FMCG 4 4. Misura delle 3,2 prestazioni 1. Integrazione funzionale 4 3, ,95 2. Approccio al problema previsionale 1,75 3,15 3. Sistemi IT e applicativi 3. Sistemi IT e applicativi 27 Prima fase: i risultati (2) Quali funzioni sono coinvolte nel processo previsionale? Quali modelli previsionali vengono adottati? 1% 8% 86% 8% 73% 6% 64% % risposte % risposte 6% 4% 2% % % risposte % risposte Quali sistemi IT sono utilizzati per generare le previsioni? Su quali aspetti si valuta l impatto della forecast accuracy? 6% 5% 4% 3% 2% 1% % 53% General purpose (e.g. Excel) 39% 42% 29% Self-developed or customized 24% 15% Sales Forecasting tool 14% 15% Sales Marketing Production Logistics Finance Purchase Other 2% Don't know 4% 2% % 8% 6% 4% 2% % 2% Customer service level 1% 1% Qualitative Naive Time series 71% 59% Invent. holding costs 55% Stockout costs 7% 3% Regressive Other Don't know 43% Production costs 9% Other 2% Don't know 28 14

15 Analisi comparativa dei processi di SF & DP Timing : aprile 5 ottobre 6 Questionario 1. Indagine on-site (35) Obiettivo: mappatura e caratterizzazione del processo di SF&DP (funzioni, ruoli, processi e prassi) Focus: a) caratteristiche azienda e filiera b) organizzazione del processo DP c) metodi, sistemi IT e forecast accuracy Ambito: Pharma, Beverage, CPG 2. Condivisione risultati Focus Group Pharma Focus Group Beverage Focus Group CPG non-food Focus Group CPG Food 29 Aziende coinvolte Beverage Pharma CPG non food CPG food (secco) CPG food (fresco) 3 15

16 Metodologia di ricerca a) Contesto aziendale e di filiera Focus Group Beverage b) Organizzazione e processo 35 schede aziendali (anonime) Focus Group Pharma Focus Group CPG non food c) Metodi, sistemi e prestazioni Focus Group CPG food 31 Le sezioni della ricerca Ailog & C-log a) Contesto aziendale e di filiera Peculiarità settore Numero articoli Classi merceologiche Classificazione ABC Incidenza nuovi prodotti Incidenza promozioni Incidenza stagionalità Incidenza azioni competitor Allocazione produzione Quota produzione MTS Numero clienti Canali distributivi b) Organizzazione e processo Organigramma aziendale Descrizione processo di DP Frequenza dei forecast meeting Coordinamento intercompany Numero di planner Persone coinvolte nel processo Skill del personale DP Commitment del top management c) Metodi, sistemi e prestazioni Livello di dettaglio delle previsioni Tipo dati storici utilizzati Top down vs. bottom up Legame tra budget e previsione SW utilizzato Collaborazione con i clienti Integrazione tra DP e ERP Livello di forecast accuracy Indicatore utilizzato Impatti accuracy su costi/kpi Soddisfazione processo Priorità di intervento 32 16

17 Contesto aziendale e di filiera a) Contesto aziendale e di filiera Le aziende intervistate hanno così quantificato le determinanti della domanda: Stagionalità 17% 26% 14% 22/35 7 7?? Temperatura = valori medi = lower bound upper bound = valori medi 11% 11% 9% % 6% Organizzazione e processo Promozioni 17% 18/35 2% Festività Metodi, sistemi e prestazioni 14% 9% 9% 6% 6% 11% 9% Solo OTC Contesto aziendale e di filiera a) Contesto aziendale e di filiera Organizzazione e processo 29% 46% 26% 19/35 14% 11% 3% 3% 9% 6% /35 Nuovi prodotti Azioni competitors?? = valori medi = lower bound upper bound = valori medi Stime qualitative fatte dal MKTG 17% 2 2 Metodi, sistemi e prestazioni 11% 6% 9% 6% 6% Info disponibili solo EX-POST

18 Organizzazione e processo Ownership processo Funzioni che partecipano al processo Contesto aziendale e di filiera 66% 34% % aziende 74% 23% 83% 77% 31% 26% b) Organizzazione e processo Supply chain Marketing/Vendite Frequenza degli incontri 6% Supply chain 37% Operations Marketing Vendite Finanza Customer service 31% n SKU per planner qualità Metodi, sistemi e prestazioni % aziende 9% 14% 17% % aziende 17% NON quantità 11% 3% No meeting Settimanale Bi-settimanale Mensile < >1 35 Metodi, sistemi e prestazioni Qualitativi 89% Contesto aziendale e di filiera Serie storiche 83% Correlazione 23% Organizzazione e processo % aziende c) Metodi, sistemi e prestazioni 36 18

19 Metodi, sistemi e prestazioni Applicativo e sistemi IT 69% Dati storici Contesto aziendale e di filiera % aziende 14% 23% 31% 31% % aziende 17% 9% 6% Organizzazione e processo c) Metodi, sistemi e prestazioni % aziende No Foglio Applicativo DP Tools elettronico integrato stand alone? Accuratezza 33% 21% 18% 15% 12% no < >=9 % aziende Fatturato/ Ordinato Consegnato Altro venduto Valutazione impatti dell'accuratezza 4% stime, non valutazioni 37% 34% solo alcune voci di costo 17% 14% Vendite Immobilizzo Costi Extra costi Extra costi perse scorte obsolescenza logistici produzione 37 Forecast accuracy 1 n Le diverse formule adottate per il calcolo statistico dell errore previsionale non consentono una comparazione precisa tra le forecast accuracy delle aziende intervistate né tra settori 1 D c n i i i= 1 Di P c i n i= 1 i ω i D P i % aziende P i 4% 3% 2% i D P 1 P LT LT SS Forecast accuracy? Beverage Pharmaceutical Grocery non-food 1 n i= 1 1 D P i D i P i D P m 3 m 3 1% 1 n n i= 1 Di Pi ωi P i % <7 % 7-8 % 8-9 % >9 % 1 n n i= 1 Di Pi D i 1 n D P i i= 1 n i= 1 P i i 38 19

20 Principali criticità e roadmap evolutiva PRINCIPALI CRITICITÀ Organizzazione: - confusione interpretativa tra processi di SF e DP attività parallele o duplicate, ownership parziale - conflittualità tra commerciale/supply chain - comunicazione, coordinamento e collaborazione sia cross-functional sia tra attori della filiera (CPFR?) Metodi: - difficoltà a separare promozioni/eventi da baseline - a volte forecast non è estrapolato statisticamente Sistemi IT: - coesistenza di più sistemi per SF e DP (Excel rules) - circolo vizioso : complessità del tool, non adeguate competenze statistiche, mancato trasferimento conoscenza perdita di fiducia e non utilizzo tool Accuracy: - non sempre viene misurata - difficoltà quantificazione impatti su KPI & gap analysis ROADMAP EVOLUTIVA Integrare efficacemente i processi SF e DP Innescare il circolo virtuoso delle 3C e attivare processi collaborativi con gli attori della filiera Elevare il commitment a livello individuale e la sponsorship del top management Utilizzare e manutenere correttamente lo storico (vendite, ordini, promozioni, eventi, share, etc.) Sfruttare al meglio le potenzialità degli applicativi e degli strumenti IT Misurare e correlare analiticamente l accuracy previsionale alle performance e ai costi della SC 39 QUANTO COSTA PREVEDERE? L IMPLEMENTAZIONE DI UN SISTEMA DI PREVISIONE DELLE VENDITE IMPATTA SULLE RISORSE FINANZIARIE, UMANE E TECNOLOGICHE DELL AZIENDA COSTI DI REPERIMENTO E CONSERVAZIONE DEI DATI COSTI DI SVILUPPO E INSTALLAZIONE - analisi, ricerca e acquisizione dati - mantenimento e conservazione DB - traduzione delle informazioni esterne - analisi della situazione attuale - progettazione e parametrizzazione - hardware & software COSTI DI GESTIONE E FUNZIONAMENTO OPERATIVO - recruiting e formazione personale - analisi e monitoraggio continuo - organizzazione del processo MA ESISTE UN TRADE-OFF 4 2

21 QUANTO COSTA PREVEDERE? Costo VALUTAZIONE DI COSTI vs. BENEFICI Costi Totali Costi per previsioni errate vendite perse (stock-out) scorte elevate (SS errore previs.) fermi di produzione, elevati set-up ritardi nelle consegne (disservizio), duplicazione costi per back-log regione ottimale + Accuratezza - Costi del processo previsionale reperimento e conservazione dati sviluppo e installazione SW & HW personale e organizzazione 41 INDICE DEGLI ARGOMENTI TRATTATI ruolo delle previsioni nel processo di pianificazione metodi causali analisi delle serie storiche modelli basati sullo smorzamento esponenziale fasi del processo di implementazione monitoraggio delle previsioni (indicatori dell errore) applicazioni numeriche e casi aziendali 56 21

22 TECNICHE QUANTITATIVE BASATE SU SERIE STORICHE AMBITO : pianificazione integrata (gestione delle scorte, pianificazione della distribuzione, pianificazione della produzione, etc.) LIVELLO DI DETTAGLIO : codice articolo, SKU, famiglia merceologica ORIZZONTE PREVISIONALE : breve-brevissimo periodo ( 12 mesi) DATI STORICI : - riferiti alle vendite settimanali/mensili/bimestrali - sono disponibili almeno 2 anni di storia (per stagionalità) - domanda di tipo continuativo e prevedibile (coefficiente di variazione : σ/dm) ASSUNZIONE : il futuro sarà come il passato Estrapolazione delle sole componenti prevedibili (trend e stagionalità) NB : le previsioni sono erratiche per definizione Previsioni & Accuratezza 57 SIMBOLOGIA ADOTTATA DOMANDA EFFETTIVA relativa al periodo t : D t PREVISIONE fatta alla fine del periodo t per il periodo t+m : P t+m ORIZZONTE PREVISIONALE : m m periodi t-1 t t+1 t+2 t+m Tempo P t+1 P t+2 P t+m D t-1 D t 58 22

23 COMPONENTI DI UNA SERIE STORICA D t : valore della serie storica al tempo t T t : componente di tendenza al tempo t S t : componente di stagionalità al tempo t C t : componente di ciclicità al tempo t t ε t : fluttuazione casuale al tempo t 59 ANALISI DELLE SERIE STORICHE D t = f ( T t, S t, C t ) + ε t componenti sistematiche componente aleatoria PRIMA DI FORMULARE LE PREVISIONI DI VENDITA, È NECESSARIO ANALIZZARE L ANDAMENTO PASSATO DELLA SERIE STORICA PER INDIVIDUARE L ESISTENZA DI EVENTUALI COMPONENTI DI TREND E STAGIONALITÀ 6 23

24 ANALISI DELLE SERIE STORICHE PER IDENTIFICARE LA PRESENZA DI TREND E POSSIBILE IMPIEGARE L ANALISI DI AUTOCORRELAZIONE (ACF) 5 4 D t r k k Valori elevati del coefficiente di autocorrelazione per k=1 e k=2 stanno a significare che dati successivi della serie sono correlati positivamente 61 ANALISI DELLE SERIE STORICHE IN ASSENZA DI TREND L ANALISI DI AUTOCORRELAZIONE CONSENTE DI VERIFICARE LA STAZIONARIETÀ DELLA SERIE STORICA 3 D t +1 2 r k k Valori modesti del coefficiente di autocorrelazione che assume valori vicini a zero per scarti temporali (k) superiori a 2 o

25 ANALISI DELLE SERIE STORICHE SE UNA SERIE STORICA E STAGIONALE MA POSSIEDE UN TREND MARCATO, QUEST ULTIMO PUÒ RISULTARE DOMINANTE NELL ANALISI ACF, COMPROMETTENDO LA BONTÀ DELL ANALISI DELLE SERIE STORICHE 2 15 D t +1 1 r k k E necessario ricorrere al metodo delle differenze prime per rendere la serie stazionaria al fine di rilevarne la componente di stagionalità. 63 ANALISI DELLE SERIE STORICHE DEPURAZIONE DELLA COMPONENTE DI TREND 2 15 D t METODO DELLE DIFFERENZE PRIME D t Data una serie di n valori (D 1, D 2, D t, D n ) si determina la serie delle differenze prime : D t = D t D t Tale serie consta di n-1 valori e risulta stazionaria se la serie di partenza presenta un trend lineare 64 25

26 ANALISI DELLE SERIE STORICHE L ANALISI DI AUTOCORRELAZIONE SULLA SERIE DELLE DIFFERENZE PRIME RIVELA L ESISTENZA DI UNA COMPONENTE STAGIONALE DI PASSO L=6 IN CORRISPONDENZA DI k TALE PER CUI r k E MASSIMO 1 D t +1 r k La caratteristica di periodicità della componente stagionale di passo 6 è inoltre confermata anche dal valore del coefficiente di autocorrelazione in corrispondenza di scarti temporali multipli di 6 (k=12, 18) -1 k 65 INDICE DEGLI ARGOMENTI TRATTATI ruolo delle previsioni nel processo di pianificazione analisi delle serie storiche: metodo di decomposizione modelli basati sullo smorzamento esponenziale fasi del processo di implementazione monitoraggio delle previsioni (indicatori dell errore) applicazioni numeriche e casi aziendali 66 26

27 ANALISI DELLE SERIE STORICHE METODO DI DECOMPOSIZIONE D t T t S t E un metodo che consente di identificare le principali componenti in cui una serie storica può essere suddivisa Richiede in primo luogo di identificare il modello di rappresentazione della serie storica : C t additivo : D t =T t +S t +C t +ε t t ε t moltiplicativo : D t =T t S t C t ε t 67 ANALISI DELLE SERIE STORICHE Decomposizione Il metodo prevede di scorporare una alla volta le principali componenti della serie storica mediante la seguente procedura (modello moltiplicativo): 1. determinazione della componente congiunta di trend e ciclicità mediante il calcolo della media mobile MM t : T t C t MM t 2. determinazione della componente stagionale attraverso il calcolo dei coefficienti di stagionalità : S t ε t = D t D t T t C t MM t 3. depurazione dalla componente di stagionalità dell effetto delle fluttuazioni casuali ε t come media dei valori S t ε t sulle diverse stagioni 68 27

28 ANALISI DELLE SERIE STORICHE Decomposizione 4. destagionalizzazione della serie storica ottenuta dividendo ciascun valore della serie per il corrispondente coefficiente stagionale : D t S t = T t C t ε t 5. determinazione della componente di tendenza attraverso l'identificazione di una curva di regressione (ad esempio lineare) dei valori destagionalizzati della serie in funzione del tempo: T t = a + b t 6. determinazione dei fattori ciclici attraverso la rimozione dalla serie storica delle componenti di stagionalità e casualità (mediante la media mobile) e della componente di tendenza (mediante la regressione): C t = MM t T t 69 ANALISI DELLE SERIE STORICHE Decomposizione Esempio : applicare il metodo di decomposizione alle vendite trimestrali di videoregistratori riportati in tabella (si assuma un modello moltiplicativo) Anno Trim. Dt 1995 I 57 II 5 III 7 IV I 67 II 61 III 77 IV I 7 II 65 III 74 IV I 72 II 68 III 9 IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

29 ANALISI DELLE SERIE STORICHE Decomposizione 1. Si applica una media mobile centrata di ordine k=4 (per filtrare l eventuale stagionalità su base annuale) Anno Trim. D t MM t (4) MM t (2) 1995 I 57 II 5 627,5 III 7 652,5 64, IV 74 68, 666, I ,5 688,8 II 61 72, 78,8 III ,5 723,8 IV ,5 732, I 7 73, 733,8 II , 722,5 III 74 72, 717,5 IV ,5 723, I ,5 747,5 II 68 87,5 787,5 III 9 IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV ANALISI DELLE SERIE STORICHE Decomposizione 2/3. Si determinano i coefficienti di stagionalità per ogni trimestre (valori medi per eliminare la componente irregolare) Anno Trim. D t MM t D t / MM t 1995 I 57 II 5 III 7 64, 1,94 IV ,3 1, I ,8,973 II 61 78,8,861 III ,8 1,64 IV ,5 1, I 7 733,8,954 II ,5,9 III ,5 1,31 IV ,8 1, I ,5,963 II ,5,863 III 9 IV 93 1,2 1,1 1,,9,8 S t Trim. S t I,963 II,875 III 1,63 IV 1,13 Σ = 4 I II III IV 72 29

30 ANALISI DELLE SERIE STORICHE 4. Si ricava la serie dei valori di domanda destagionalizzati Decomposizione Anno Trim. D t S t D t / S t 1995 I 57, II 5, III 7 1, IV 74 1, I 67, II 61, III 77 1, IV 83 1, I 7, II 65, III 74 1, IV 77 1, I 72, II 68, III 9 1, IV 93 1, I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV ANALISI DELLE SERIE STORICHE Decomposizione 5. Si determina la retta di regressione sui dati di domanda destagionalizzati Anno Trim. D t / S t T t =a + b t 1995 I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV a : 598 b : 13, I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

31 ANALISI DELLE SERIE STORICHE Decomposizione 6. Infine si valuta la componente dovuta ad andamenti congiunturali ciclici (sovra-annuali) Anno Trim. MM t T t =a + b t C t = MM t / T t 1995 I 612 II 625 III 64, 639 1,1 IV 666, , I 688, ,33 II 78, ,41 III 723, ,42 IV 732,5 78 1, I 733, ,16 II 722,5 736,982 III 717,5 75,957 IV 723,8 763, I 747,5 777,962 II 787,5 791,995 III 85 IV SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Holt 2. Infine si calcolano le previsioni mese per mese (m=1) per tutti i bimestri a disposizione e successivamente (dal 6 bimestre del 1998) si formulano le previsioni per il futuro (m=1, 2, 3, 4,...) Anno Bim. D t M t T t P t , , , , , , , , , , ,9 184 m=1 189 m=2 193 m=3 197 m=

32 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Holt 2 α=,3 γ=,5 2 α=,3 γ=, α=,1 γ=,3 2 α=,3 γ=, INDICE DEGLI ARGOMENTI TRATTATI ruolo delle previsioni nel processo di pianificazione analisi delle serie storiche: stagionalità modelli basati sullo smorzamento esponenziale fasi del processo di implementazione monitoraggio delle previsioni (indicatori dell errore) applicazioni numeriche e casi aziendali 78 32

33 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Brown DATA LA SERIE STORICA DI VALORI DELLA DOMANDA D 1, D 2,, D t LA PREVISIONE PER IL PERIODO t+1 VALE : P t+1 = α. D t + (1-α). P t α : COEFFICIENTE DI SMORZAMENTO ( α 1) LA PREVISIONE E OTTENUTA DALLA MEDIA PONDERATA TRA IL VALORE ATTUALE D t E LA PREVISIONE PRECEDENTE P t 79 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Coefficiente di smorzamento IMPULSE ,5,3,1 Risposta del modello di smorzamento esponenziale a segnali tipici in funzione del coefficiente di smorzamento STEP ,5,3, RAMP ,5,3,1 Il ritardo nella risposta del modello semplice in presenza di una componente di trend : E = T / α 8 33

34 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Holt AL TERMINE DEL PERIODO t E POSSIBILE CALCOLARE LA PREVISIONE PER IL GENERICO PERIODO FUTURO t+m : P t + m = M t + m T t m : ORIZZONTE DI PREVISIONE LA PREVISIONE E OTTENUTA A PARTIRE DAL VALORE DELLA MEDIA SMORZATA M t, CORRETTA MEDIANTE IL TREND SMORZATO T t ED IL RELATIVO ORIZZONTE PREVISIONALE m 81 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Holt AL TERMINE DEL PERIODO t, DISPONENDO DEL NUOVO DATO DI DOMANDA, SI AGGIORNANO I VALORI DI MEDIA E TREND SMORZATO: Media : Trend : ( 1 α) ( M T ) M t = α Dt + t 1 + t 1 ( M M ) + ( 1 γ ) Tt = γ t t 1 Tt 1 α, γ : COEFFICIENTI DI SMORZAMENTO ( α, γ 1) LE RELAZIONI DI AGGIORNAMENTO DELLA MEDIA E DEL TREND SEGUONO IL PRINCIPIO DELLO SMORZAMENTO ESPONENZIALE 82 34

35 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Holt Il modello di Holt si applica in presenza di trend e per domande non stagionali (o preventivamente destagionalizzate) richiede 3 dati f (D t, M t-1, T t-1 ) La previsione P t+m contiene tutti i dati storici (D t, D t-1,, D 1 ) ponderati con valori decrescenti I valori di α e γ condizionano la reattività del modello previsionale All aumentare di m diminuisce l accuratezza delle previsioni In alternativa è possibile attenuare la componente di trend proiettata nel futuro mediante un parametro Φ [ ;1] 83 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Holt Esempio : applicare il modello di Holt alla serie storica degli ordini bimestrali riportati nella tabella sottostante Anno Bim. D t

36 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Holt 1. Assumendo i valori iniziali M 1 =9 e T 1 =5 si procede ad aggiornare bimestre per bimestre i valori di M t e T t (si assumano inizialmente α=,3 e γ=,5) Anno Bim. D t M t T t , , , , , , , , , , ,9 85 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Holt 2. Infine si calcolano le previsioni mese per mese (m=1) per tutti i bimestri a disposizione e successivamente (dal 6 bimestre del 1998) si formulano le previsioni per il futuro (m=1, 2, 3, 4,...) Anno Bim. D t M t T t P t , , , , , , , , , , ,9 184 m=1 189 m=2 193 m=3 197 m=

37 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Holt 2 α=,3 γ=,5 2 α=,3 γ=, α=,1 γ=,3 2 α=,3 γ=, SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Winters AL TERMINE DEL PERIODO t E POSSIBILE CALCOLARE LA PREVISIONE PER IL GENERICO PERIODO FUTURO t+m : ( Mt + m Tt ) St L m P t+ m = + m : ORIZZONTE DI PREVISIONE LA PREVISIONE E OTTENUTA A PARTIRE DAL VALORE DELLA MEDIA SMORZATA M t, CORRETTA MEDIANTE IL TREND SMORZATO T t ED IL RELATIVO ORIZZONTE PREVISIONALE m 88 37

38 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Winters AL TERMINE DEL PERIODO t SI AGGIORNANO I VALORI SMORZATI DELLA MEDIA, TREND, STAGIONALITA' : Media : Trend : Stagionalità : M T S t t t = = = D α S γ β t t L + ( 1 α) ( M + T ) t 1 t 1 ( M t M t 1) + ( 1 γ ) Tt 1 D M t t + ( 1 β ) S t L 89 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Winters Il modello di Winters si applica direttamente ai dati della serie storica della domanda, in presenza di trend e di stagionalità richiede 4 dati f (D t, M t-1, T t-1, S t+m-l ) La previsione P t+m contiene tutti i dati storici (D t, D t-1,, D 1 ) ponderati con valori decrescenti I valori di α, β, γ condizionano la reattività del modello All aumentare di m diminuisce l accuratezza delle previsioni 9 38

39 SMORZAMENTO ESPONENZIALE Modello di Winters D : domanda M : valor medio Dt-3 Dt-4 Mt+mTt Dt-2 Mt-1 Mt Mt-2 Dt-1 Dt t-4 t-3 t-2 t-1 t t+1 t+2 t+3 91 INDICE DEGLI ARGOMENTI TRATTATI ruolo delle previsioni nel processo di pianificazione analisi delle serie storiche: stagionalità modelli basati sullo smorzamento esponenziale fasi del processo di implementazione monitoraggio delle previsioni (indicatori dell errore) applicazioni numeriche e casi aziendali 92 39

40 SCHEMA GENERALE DI IMPLEMENTAZIONE FASE FASE Depurazione dei dei dati dati storici storici di di vendita vendita FASE FASE 1 Inizializzazione delle delle tecniche previsionali Almeno 2 anni se la domanda è stagionale (ovvero 2 cicli di stagionalità) FASE 2 Adattamento delle tecniche previsionali Scelta dei parametri di di funzionamento Simulazione della previsione sui dati storici Analisi degli scostamenti rilevati 1 anno (ovvero un ciclo di stagionalità) FASE 3 Previsione della domanda per il il futuro 6 mesi - 1 anno 93 IMPLEMENTAZIONE Fase. Depurazione dati QUALSIASI MODELLO DI ESTRAPOLAZIONE DELLE SERIE STORICHE PROIETTA NEL FUTURO UNA PREVISIONE CHE E BASATA SULLE SOLE COMPONENTI PREVEDIBILI NECESSITÀ DI DEPURARE LA SERIE DEI DATI Informazioni e dati storici Sistema previsionale Previsioni La qualità dei risultati previsionali dipende dalla qualità dei dati di input (GI-GO : Garbage In - Garbage Out) Qualsiasi sia il modello statistico utilizzato, ad un dato errato o non coerente corrisponderà sempre una previsione poco accurata 94 4

41 IMPLEMENTAZIONE Fase 1. Inizializzazione E NECESSARIO DEFINIRE I VALORI INIZIALI DELLE RELAZIONI RICORSIVE DEI MODELLI DI BROWN, HOLT E WINTERS : Brown (1) : Pt+1= α Dt + ( 1 α) P t Holt (2) : ( ) ( ) Mt = α Dt + 1 α M t 1 + T t 1 Winters (3) : M t D t = α + ( 1 α) t 1 + T S t 1 t L ( M ) 95 IMPLEMENTAZIONE Fase 1. Inizializzazione ESEMPIO : data una serie storica mensile e stagionale, si calcolano i valori iniziali di media, trend e stagionalità sui dati storici dei primi 2 anni a consuntivo ? t t= 96 41

42 IMPLEMENTAZIONE Fase 1. Inizializzazione 1 8 METODO ANALITICO ? t Media Media M (t=) T (t=) S (t=),i 97 IMPLEMENTAZIONE Fase 1. Inizializzazione METODO ANALITICO trend iniziale : T (t=) = M 2 M 1 12 = =25,2 media iniziale : M (t=) = M T (t=)= ,2 =68 stagionalità iniz.: S (t=),gen = M 1 D gen,1 D gen,2 + M 2 2 * idem per febbraio, marzo,... = =,646 *

43 IMPLEMENTAZIONE Fase 1. Inizializzazione 1 8 INIZIALIZZAZIONE MEDIANTE REGRESSIONE MM t (12)? Retta di regressione y = a + b t t M (t=) T (t=) S (t=),i 99 IMPLEMENTAZIONE Fase 1. Inizializzazione INIZIALIZZAZIONE MEDIANTE REGRESSIONE Retta di regressione y = a + b t Metodo dei minimi quadrati a = 17 b = 23,7 trend iniziale : T (t=) = b =23,7 media iniziale : M (t=) = a + b 24 = ,7 24 = 675,8 1 43

44 IMPLEMENTAZIONE Fase 1. Inizializzazione INIZIALIZZAZIONE MEDIANTE REGRESSIONE D gen,1 + D gen,2 stagionalità iniz.: S (t=),gen = a + b 1 2 a + b 13 = , , =,932 * * idem per febbraio, marzo, IMPLEMENTAZIONE Fase 1. Inizializzazione CONFRONTO TRA I DUE METODI DI INIZIALIZZAZIONE analitico regressione M (t=) ,8 T (t=) 25,2 23,7 2,5 2 Metodo analitico Metodo con regressione S (t=),i 1,5 1,5 gen feb mar apr mag giu lug ago set ott nov dic 12 44

45 IMPLEMENTAZIONE Fase 2. Adattamento UNA VOLTA DEFINITI I VALORI INIZIALI DELLE PRINCIPALI VARIABILI DEL MODELLO, E POSSIBILE AVVIARE IL PROCEDIMENTO PREVISIONALE A PARTIRE DAL PRIMO PERIODO A DISPOSIZIONE (nell esempio : gennaio 23) P t 13 IMPLEMENTAZIONE Fase 2. Adattamento Dal periodo t= si effettua una previsione simulata mese per mese (m=1), ignorando i dati di domanda (noti) del mese successivo 14 45

46 IMPLEMENTAZIONE Fase 2. Adattamento DOPO AVER SIMULATO LE PREVISIONI PER TUTTO IL 23 (12 VALORI DI PREVISIONE), SI POSSONO ANALIZZARE GLI SCOSTAMENTI TRA LA DOMANDA EFFETTIVAMENTE VERIFICATASI E LA RELATIVA PREVISIONE 12 8 P 3 23 P 12 4 P 1 P INDICE DEGLI ARGOMENTI TRATTATI ruolo delle previsioni nel processo di pianificazione analisi delle serie storiche: stagionalità modelli basati sullo smorzamento esponenziale fasi del processo di implementazione monitoraggio delle previsioni (indicatori dell errore) applicazioni numeriche e casi aziendali 16 46

47 IL MONITORAGGIO DELLE PREVISIONI IN QUALSIASI PROCESSO PREVISIONALE IL SISTEMA DI MONITORAGGIO NE RAPPRESENTA UNA DELLE COMPONENTI FONDAMENTALI - sono cambiati dei legami o dei rapporti tra le variabili interne al modello LE POSSIBILE CAUSE DI SCOSTAMENTO - sono emerse delle nuove variabili esplicative - si sono modificate alcune componenti del modello - sono sopraggiunti degli eventi particolari o anomali 17 IMPLEMENTAZIONE Fase 2. Simulazione 23 L errore di previsione per il periodo t è definito come differenza tra il valore effettivo della domanda ed il valore previsto per quel periodo P 1 P 2 P 3 P E t = D t P t min α, β, γ { MSE } 18 47

48 MONITORAGGIO DELLE PREVISIONI Indicatori dell errore ME (Mean Error) : ERRORE MEDIO ME = n E t = 1 n t indica se l'errore è mediamente in eccesso o in difetto (BIAS) : modello A modello B ME < ME > DM < PM DM > PM ME A ME B 19 MONITORAGGIO DELLE PREVISIONI Indicatori dell errore MAD (Mean Absolute Deviation) : SCARTO MEDIO ASSOLUTO MAD = n t= 1 n E t modello A misura la consistenza degli errori in valore assoluto gli errori di segno opposto non si autocompensano non consente di cogliere la correlazione degli errori modello B 11 48

49 MONITORAGGIO DELLE PREVISIONI Indicatori dell errore MAPE (Mean Absolute % Error): ERRORE ASSOLUTO MEDIO % MAPE = n t= 1 E t D n t 1 consente di confrontare serie di valori differenti su scala percentuale a parità di errore in valore assoluto, il MAPE penalizza maggiormente gli errori commessi in periodi a bassa domanda perde significato se la serie presenta valori di domanda nulli 111 MONITORAGGIO DELLE PREVISIONI Indicatori dell errore SDE (Standard Deviation of Errors) : DEVIAZIONE STD ERRORI SDE = n t= 1 ( E ) t n 1 2 fa riferimento ad un campione di n osservazioni (il termine n-1 rappresenta il numero di gradi di libertà ovvero il numero di dati della serie storica che sono indipendenti tra loro) è fondamentale per il dimensionamento delle scorte di sicurezza

50 MONITORAGGIO DELLE PREVISIONI Indicatori dell errore MSE (Mean Square Error) : ERRORE QUADRATICO MEDIO MSE = n ( Et ) t = 1 n 2 penalizza maggiormente gli errori elevati in valore assoluto fornisce indicazioni simili allo SDE l unità di misura risultante è poco pratica (unità al quadrato) 113 IMPLEMENTAZIONE Fase 3. Previsione INFINE, SULLA BASE DEI RISULTATI DELLA SIMULAZIONE CONDOTTA NELLA FASE PRECEDENTE, E POSSIBILE PROIETTARE NEL FUTURO LE PREVISIONI Alla fine del periodo di simulazione vengono generate le previsioni per i prossimi 6 mesi (con la configurazione ottimale del modello di previsione) 114 5

51 IMPLEMENTAZIONE Fase 3. Previsione NON APPENA SI DISPONE DI UN NUOVO DATO DI DOMANDA, E POSSIBILE AGGIORNARE LE VARIABILI DI FUNZIONAMENTO DEL MODELLO E FORMULARE ALTRE PREVISIONI PER IL FUTURO Alla fine del mese 13 vengono riformulate le previsioni per i prossimi 6 mesi (in questo caso il periodo congelato è solo il mese +1 ) 115 IMPLEMENTAZIONE Fase 3. Previsione AZIONI SPECIALI (politiche di marketing, offerte speciali, campagne di vendita, promozioni,...) A t+m EFFETTI DI CALENDARIO (festività mobili, giorni lavorativi, ) S t+m ALTRE INFORMAZIONI (commesse particolari, andamento del mercato, azioni della concorrenza, ) K t+m P t+m = P t+m. S t+m. A t +m +K t+m