Studio di un sistema massa molla

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1 Corso di Teoria dei Sistemi A.A. 00/003 Esercitazione atlab n. Studio di un sistema massa molla F Equazioni fisice ce descrivono il sistema olla Pistone (smorzatore) F m F p & x Bilancio di forze.. & x F + F m + F p Scelta delle variabili di stato e di ingresso Riferimenti istruzioni e funzioni atlab x x u x F definizione di variabili e matrici (e vettori) ; 0.5; ; A [0 ; -/ /]; Equazioni differenziali x Equazione di uscita y x + u definizione di un modello state-space sys ss(a,b,c,d); autovalori di una matrice eig(a) definizione di un vettore equispaziato t linspace(0,0.5,0); t 0:0.05:0.5; visualizzazione grafica del movimento libero initial(sys,x) Si vuole rappresentare il sistema come y A x + B u C + D u Nel caso in esame d dt y x x Caso non lineare x 0 0 x + x x u x [ 0] + [ 0] e x + u 0 u visualizzazione grafica del movimento forzato risposta ad impulso di ampiezza unitaria impulse(sys) risposta a scalino di ampiezza unitaria step(sys) salvataggio dei dati in vettori (specificando il vettore tempo) [yl,tl,xl] initial(sys,x,t); [yf,tf,xf] impulse(sys,t); tracciamento di grafici (con griglia) plot(t,yl+yf), grid on ciclo for for i:0 istruzioni del ciclo Utilizzo della DEE in Simulin dee (da riga di comando atlab)

2 Codice atlab TEORIA DEI SISTEI N.O. Esercitazione atlab n. / atlab è un interprete di comandi. Gli stessi comandi ce si possono digitare dal prompt possono essere editati in un file con estensione.m: tutte le istruzioni vengono interpretate ed eseguite in sequenza digitando il nome del file dal prompt (senza estensione.m). N.B. NON ASSEGNARE AI AD UN FILE O AD UNA VARIABILE UN NOE CHE INIZI CON UN CARATTERE NUERICO!!! Il simbolo "" indica i commenti L'istruzione per pulire il worspace cancellando tutte le variabili in memoria è la seguente clear all SISTEA DINAICO RAPPRESENTATO COE "STATE-SPACE" Inseriamo (definiamo) le variabili (il ";" a fine riga impedisce la visualizzazione). In questo caso si tratta dei parametri del sistema in esame.0; 0.5; 0.5; g N/m N*s/m Inseriamo poi le matrici del sistema dinamico in esame: ogni sequenza di valori separata da un ";" rappresenta una riga della matrice (ad es. B è un vettore colonna, mentre C è un vettore riga) A [0 ; -/ -/]; B [0; /]; C [ 0]; D [0]; Definiamo poi il sistema dinamico studiato come una "variabile" qui denominata "sys". "ss" è una funzione atlab ("state space"). Per una completa descrizione dell'utilizzo di ciascuna funzione si digiti "elp nomedellafunzione". "elp" da solo restituisce un elenco di tutti i "toolbox" (insiemi di istruzioni e funzioni) disponibili -> "elp nometoolbox" offre un elenco delle istruzioni e funzioni del singolo toolbox sys ss(a,b,c,d); Si provi ora a lanciare "sys" dal prompt. OVIENTO LIBERO Visualizziamo graficamente l'andamento dell'uscita del sistema conseguente ad una perturbazione dello stato ("movimento libero"). Il sistema massa - molla è all'equilibrio in x [0 0], u 0. initial(sys,[ 0]) Come specificato dall'elp ("elp initial"), è possibile far

3 calcolare alla funzione i valori dell'andamento di stato e uscita, anzicé tracciarli graficamente. Questo si può fare successivamente con la funzione "plot". Salviamo gli andamenti di stato e uscita, più il vettore tempo, in Y,T,X (la sequenza delle uscite dipe da come è stata scritta la funzione initial). In questo esempio si pone x, x 0 (è come se il carrello venisse spostato in x, e poi rilasciato con velocità iniziale nulla). [Y,T,X] initial(sys,[ 0]); si può ance specificare l'istante di tempo finale (tf) tf 40; [Y,T,X] initial(sys,[ 0],tf); oppure tutto il vettore tempo: equispaziato fra 0 e 40 secondi, e di 000 elementi t linspace(0,40,000); [Y,T,X] initial(sys,[ 0],t); (in questo caso T coinciderà con t); Tracciamo ora i grafici: ) andamento dell'uscita (Y) plot(t,y), grid on (ascisse tempo; ordinate spostamento) ("grid on" è un'opzione ce fa tracciare una griglia sul grafico) ) andamento dei due stati (X è una matrice con due vettori colonna corrispondenti agli andamenti dei due stati x e x) (ascisse tempo; ordinate spostamento e velocità) - movimento dello stato nello spazio delle variabili plot(x(:,),x(:,)), grid on (ascisse e ordinate variabili di stato x e x) plot(x(:,),x(:,)), grid on, axis([- ]) ( axis consente di fissare la scala della figura). N.B. Sia V una matrice di tot rige e colonne. - V(i,j) seleziona l'elemento sulla riga i e colonna j di V; - V(:,j) seleziona tutta la colonna j-esima; - V(i,:) seleziona tutta la riga i-esima; - V(i,) seleziona l'ultimo elemento della riga i; - V(,j) seleziona l'ultimo elemento della colonna j; - V(:,) seleziona tutta l'ultima colonna; - V(,:) seleziona tutta l'ultima riga. Si provi ora a ripetere la stessa prova pono nei dati iniziali del sistema 0 (modificando il file.m e rilanciandolo; N.B. le modifice risultano attive dopo ce il file è stato salvato). Si noti ce le oscillazioni scompaiono per valori di >. Per aprire più figure figure() figure() 3

4 plot(x(:,),x(:,)), grid on CICLO FOR Ripetiamo ora quanto visto in precedenza in un ciclo for in cui facciamo variare il valore di, assegnandogli di volta in volta un valore preso da un vettore H ce definiamo H [ ]; Ad ogni esecuzione del ciclo, cambiando andrà ridefinita la matrice A ed il sistema sys for i :5 H(i); A [0 ; -/ -/]; sys ss(a,b,c,d); [Y,T,X] initial(sys,[ 0],t); figure() plot(t,y), grid on, old on figure() plot(x(:,),x(:,)), grid on, old on pause - il comando "old on" consente di sovrascrivere un grafico senza cancellare il contenuto già presente; - il comando "pause" atte ce l'utente dia "invio" per proseguire. (N.B. "invio" va dato con atlab finestra attiva) RISPOSTA AD IPULSO (OVIENTO FORZATO) Ripristino del sistema iniziale 0.5; A [0 ; -/ -/]; sys ss(a,b,c,d); Risposta ad impulso di ampiezza unitaria impulse(sys) oppure [Y,T,X] impulse(sys,t); Come nel caso precedente, tracciare gli andamenti di Y e di X. Si noti ce la risposta ad impulso tracciata coincide con quella ce si ottiene studiando il movimento libero dello stato con condizione iniziale [0 ]. TRENO DI IPULSI Supponiamo di sollecitare il sistema con un treno di impulsi dati con frequenza preimpostata (ad. es uno al secondo). Inizialmente il sistema sarà all'equilibrio, con x [0 0]. Se dopo un secondo dal primo impulso ricevuto lo stato si troverà in un punto differente, conseguentemente al secondo impulso la sua evoluzione nel tempo sarà data dalla somma di due contributi (esso il sistema lineare, vale il principio di sovrapposizione degli effetti): - il movimento libero (ce si calcola con la initial); - il movimento forzato (ce si calcola con la impulse); 4

5 Si tratterà di calcolare di volta in volta gli andamenti di stato e uscita del sistema, concatenando i risultati in vettori Y, X e T. t linspace(0,,0); x [0 0]; Y []; X []; T []; for i :5 [yl,tl,xl] initial(sys,x, t); [yf,tf,xf] impulse(sys,t); Y [Y; yl+ yf]; X [X; xl+xf]; T [T t+(i-)]; x xf(, :) + xl(,:); N.B. t è un vettore riga, yl, yf, xl ed xf sono vettori colonna. DOANDA: nel codice c'è un elemento ridondante ce potrebbe essere portato fuori dal ciclo for: quale? figure() plot(t,y), grid on figure() figure(3) plot(x(:,),x(:,)), grid on "close all" ciude tutte le figure 5