L infinito. Alberto ALBANO. Dipartimento di Matematica Università di Torino. Il mondo greco. Il Rinascimento. La Matematica moderna

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1 mondo L Alberto ALBANO Dipartimento di Università di Torino

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3 Le origini del problema mondo Nelle prime riflessioni del pensiero, compare una domanda fondamentale: la materia può continuare ad essere divisa in parti sempre più piccole oppure esistono parti indivisibili? Sebbene la domanda riguardi un oggetto concreto, la materia, essa può essere formulata anche per lo spazio oppure per il tempo. Inoltre, è evidentemente sottointesa la questione: in quante parti?

4 Osservazioni mondo 1 Se ammettiamo una divisibilità senza fine, è chiaro che dobbiamo ammettere infinite parti. 2 Gli indivisibili potrebbere essere in quantità finita oppure infinita. 3 Possono anche esistere infinite parti, ma non infinitamente divisibili (i numeri interi). Prima di andare avanti, sforziamoci di immaginare una risposta, secondo quello che conosciamo. Vedremo se la nostra risposta sarà sensata.

5 Alcune risposte mondo Pitagora (circa a.c.) Tutto è numero, e l universo è costituito dai numeri naturali. In questo caso ci sono infiniti elementi, ma non sono infinitamente divisibili. Democrito (circa a.c.) materia è composta da un numero di elementi indivisibili infinitamente piccoli. Parmenide (circa a.c.) I principi fondamentali della scuola eleatica sono: unità, immutabilità e necessità dell essere, espressa dalla celebre frase: Solo l essere è e non può non essere. l accessibilità dell essere al solo pensiero razionale e la condanna del mondo sensibile e della conoscenza sensibile come apparenza.

6 Commenti alle risposte classiche mondo 1 Pitagora pensa che tutto sia commensurabile, cioè che esista un unità di misura per tutte le lunghezze (il numero 1). scoperta degli irrazionali contraddice questo punto di vista. 2 Democrito pensa come noi? E ha ragione? 3 Sembra difficile sostenere che esista UNA cosa sola, ma in effetti è difficile anche sostenere che ce ne siano infinite, come vedremo.

7 I paradossi di mondo (circa a.c.), allievo di Parmenide, sviluppò quattro famosi argomenti volti a mostrare la contradditorietà insita nei concetti di movimento (e cioè cambiamento), molteplicità e divisibilità. Vediamoli come li riporta nella Fisica.

8 1. Dicotomia mondo Non c è movimento, poiché ciò che si muove deve arrivare a metà del suo cammino prima di poter giungere alla fine. (Fis., VI, 9, 239 b 10) È il più sorprendente. sembra considerare la somma infinita Oggi, dopo l invenzione del calcolo infinitesimale e del concetto di convergenza, affermiamo che la somma è 1, e quindi l oggetto riesce a percorrere tutta la distanza, ma ci chiede di sommare al contrario e non è per niente chiaro come si possa fare.

9 2. Achille mondo più lento nella corsa non sarà mai raggiunto dal più veloce: giacché colui che insegue dovrà cominciare per raggiungere il punto da cui è partito il fuggitivo, di modo che il più lento sarà sempre in vantaggio. (Fis., VI, 9, 239 b 14) Questo sembra più facile. Questa volta sommiamo nel verso giusto e oggi pensiamo di saper dare una risposta corretta mediante il concetto di convergenza.

10 3. Freccia mondo In ogni istante la freccia occupa uno spazio pari alla sua lunghezza. Dunque la freccia è immobile nell istante e per tutto il tempo in cui si muove la freccia è immobile. (Fis., VI, 9, 239 b 29) punto è che, se in un istante (indivisibile) di tempo la freccia si muovesse, allora l istante si potrebbe dividere, per esempio in un istante più piccolo in cui la freccia percorre metà della distanza. ribatte che il tempo non è composto da adesso indivisibili, come non lo è nessun altra grandezza.

11 mondo Ma anche questo non sembra giusto. Scrive Frankel (Zeno of Elea s attacks on plurality, Amer. J. Philology 63 (1942), 1-25): mente umana, nel cercare di formarsi una nozione precisa del movimento, si trova di fronte a due aspetti del fenomeno. Sono entrambi inevitabili, ma al tempo stesso si escludono a vicenda. Possiamo considerare il fluire continuo del movimento; sarà allora impossibile concepire un oggetto in una posizione specifica. Oppure immaginiamo che l oggetto occupi una delle posizioni attraverso le quali la conduce il movimento; e nel fissare il nostro pensiero su quella posizione particolare non possiamo fare a meno di fissare l oggetto stesso e fermarlo per un breve istante.

12 mondo I paradossi di sono tutti del tipo: movimento continuo e divisibilità infinita conducono ad un assurdo. risposta di è ben nota: poiché non si può certo negare il movimento, è l ad essere abbandonato. Egli afferma I matematici non hanno bisogno dell, né lo usano Ma questo non è proprio vero, e introduce due concetti famosissimi: l in potenza e l in atto. È quest ultimo a causare i problemi, mentre è il primo ad essere usato nella matematica.

13 In entrambi i casi p 1, p 2,..., p n non sono tutti i numeri primi, contro l ipotesi. Quindi vi sono infiniti numeri primi. Teorema di Euclide Teorema (El., Libro IX, Prop. 20) mondo Esistono infiniti numeri primi. Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che i numeri primi siano solo un numero finito e siano p 1, p 2,..., p n tutti i numeri primi. Consideriamo il numero N = p 1 p 2 p n + 1. N è un numero primo oppure no. Nel primo caso abbiamo trovato un numero primo maggiore e quindi diverso da tutti i numeri p 1, p 2,..., p n. Nel secondo caso sia p un numero primo che divide N: poiché nessuno dei numeri p 1, p 2,..., p n divide N, abbiamo che p è un numero primo diverso da tutti questi.

14 Teorema di Euclide mondo dimostrazione è quella data da Euclide, ma l enunciato del teorema no. In effetti l enunciato di Euclide è: Teorema (Elementi, libro IX, Prop. 20) I numeri primi sono più di ogni molteplicità proposta di numeri primi. Questo enunciato evita ogni riferimento all, ed è ciò che Euclide dimostra effettivamente. L di Euclide, come in tutta (o quasi) la matematica greca, è un in potenza, proprio come dice.

15 matematica greca mondo Vi sono molti altri casi di ragionamenti simili nella matematica greca, volti ad evitare l uso dell in atto e a sostituirlo con dimostrazioni per assurdo che usano solo il concetto di in potenza. Gli esempi più famosi sono dovuti ad Eudosso (circa a.c.): la teoria delle proporzioni (libro V degli Elementi) e il metodo di esaustione (libro XII degli Elementi). Sono entrambi concetti sofisticati, il primo molto vicino alla definizione attuale di numero reale, e il secondo a tutti gli effetti una definizione quasi corretta del concetto di area. Questo mostra il grado di perfezione tecnica raggiunto dalla matematica greca.

16 I primi tentativi mondo primo ad avanzare l idea di un universo fu Nicola da Cusa, nel De docta ignorantia (1440). mondo di Copernico (De revolutionibus orbium coelestium, 1543) è invece finito e fu Giordano Bruno a sostenere per primo che la sfera copernicana delle stelle fisse si estende infinitamente verso l alto (De l universo e mondi, 1584). Per questo Giordano Bruno fu bruciato come eretico nel Nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638), affronta i paradossi dell, con la dovuta cautela.

17 mondo più famoso esempio di riguarda i numeri interi: è possibile mettere in corrispondenza biunivoca i numeri interi (positivi) con i quadrati perfetti n n 2 Sebbene vi siano molti numeri interi che non sono quadrati perfetti, tuttavia nel numero, se concepir lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti i numeri tutti insieme. comprende che il numero dei quadrati perfetti è non inferiore a quello di tutti i numeri, ma non riesce a dire che è uguale e conclude gli attributi di eguale, maggiore e minore non hanno luogo ne gl infiniti, ma solo nelle quantità terminate.

18 mondo Inoltre, affermava che non solamente non si possa dire un esser maggiore d un altro, ma né anco che e sia maggior d un finito. è a un passo dalla soluzione, ma non vi arriva. Occorreranno ancora due secoli prima che Bernard Bolzano pubblichi nel 1840 il suo libro Paradossi dell (riedito da poco in italiano).

19 mondo concetto fondamentale è quello di insieme: Si dice insieme una collezione in cui l ordine delle parti è irrilevante, e in cui niente di essenziale è cambiato se viene cambiato solo l ordine. È chiaro che se possiamo concepire un insieme come una entità singola, allora l insieme dei numeri interi è, ed è un attuale. insieme è allora semplice: Definizione Un insieme è se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

20 mondo Da questo punto di vista, aveva dimostrato che l insieme dei numeri interi positivi è. Naturalmente questo non è niente di nuovo, lo sapeva già. problema dell non è nella sua definizione, ma nel suo uso. È possibile usare l in atto (almeno nella sua versione matematica) senza incorrere in paradossi?

21 Cardinalità mondo primo matematico che sviluppò una teoria degli insiemi infiniti fu Georg ( ). Definizione Due insiemi hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca fra loro. Per esempio, N = numeri interi positivi e Z = numeri interi relativi hanno la stessa cardinalità, come si vede dalla corrispondenza n/2 n pari n n + 1 n dispari 2

22 Cardinalità mondo dimostrò che l insieme N dei numeri interi positivi e l insieme Q dei numeri razionali hanno la stessa cardinalità, e la sua dimostrazione è nota come primo procedimento diagonale. dimostrò che molti insiemi infiniti avevano la stessa cardinalità, ma non riusciva a dimostrare che anche R, l insieme dei numeri reali, ha la cardinalità di N.

23 Cardinalità mondo Finalmente trovò una dimostrazione, ma la sorpresa fu grande: egli dimostrò che R non è in corrispondenza biunivoca con N e quindi non tutti gli infiniti sono uguali. sua dimostrazione è nota come secondo procedimento diagonale ed è così semplice che vale la pena di vederla.

24 secondo procedimento diagonale mondo Teorema Non esiste una corrispondenza biunivoca fra N e l intervallo (0, 1). Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che f : N (0, 1) sia una corrispondenza biunivoca, e rappresentiamo i numeri reali come numeri decimali. Possiamo scrivere, sfruttando f, tutti i numeri dell intervallo (0, 1) in fila: a 1 = 0, a 11 a 12 a 13 a a 2 = 0, a 21 a 22 a 23 a a 3 = 0, a 31 a 32 a 33 a a 4 = 0, a 41 a 42 a 43 a

25 mondo Allora il numero b = 0, b 1 b 2 b 3 b 4... definito da { 3 a ii > 5 b i = 7 a ii 5 non compare nella lista di numeri che abbiamo scritto, e quindi non avevamo scritto tutti i numeri. Dunque f non è biunivoca, contro l ipotesi.

26 Euclide e mondo Le dimostrazioni di Euclide e di sembrano molto simili: supponiamo per assurdo di conoscere tutti gli elementi di un insieme, e da questa conoscenza costruiamo un ulteriore elemento. Però: Euclide suppone di conoscere tutti i numeri primi e che questi siano in quantità finita. Non c è dunque bisogno di in atto in nessun punto della dimostrazione.

27 Euclide e mondo suppone di conoscere tutti i numeri dell intervallo (0, 1), e che questi siano in corrispondenza biunivoca con N, che è. Abbiamo perciò bisogno di un in atto proprio all inizio della dimostrazione. Solo il considerare l in atto permette di ottenere che non tutti gli infiniti sono uguali.

28 Quanti infiniti ci sono? mondo Vediamo quindi che si era sbagliato: non tutti gli infiniti sono uguali, e alcuni sono più infiniti di altri. Per ora abbiamo due esempi di : N ed R. Ce ne sono altri? Già si rese conto che con una semplice generalizzazione del secondo procedimento diagonale si poteva dimostrare che: Teorema Se X è un insieme, e Y è l insieme di tutti i sottoinsiemi di X, allora la cardinalità di Y è maggiore della cardinalità di X. Otteniamo una infinità di infiniti.

29 Come sono fatti gli infiniti? mondo continuò la sua indagine: gli infiniti sono come i numeri interi, che si succedono l uno all altro in passi discreti o come i numeri reali, che si addensano? risposta è: ogni ha un successore, proprio come i numeri interi, e non come i numeri reali. cardinalità di N viene usualmente denotata con ℵ 0, e la cardinalità di R, detta la cardinalità del continuo con c. Sappiamo che ℵ 0 < c, ma è vero che c è il primo dopo ℵ 0? Detto in un altro modo: ci sono altri infiniti fra ℵ 0 e c?

30 mondo domanda che abbiamo appena formulato viene di solito detta ipotesi del continuo e David Hilbert, in una famosa conferenza nel 1900, la mise al primo posto in una lista di 23 problemi che indicò come i più importanti della matematica. In un certo senso oggi sappiamo la risposta, che è piuttosto sorprendente.

31 Indipendenza mondo Nel 1940 Kurt Gödel dimostrò che l ipotesi del continuo è consistente con gli assiomi della teoria degli insiemi, e cioè non può essere confutata. Nel 1963 Paul Cohen dimostrò che l ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi, e cioè non può essere dimostrata. Ci chiediamo perciò: l ipotesi del continuo è vera o è falsa?

32 I fondamenti della mondo Dal punto di vista della teoria degli insiemi, l ipotesi del continuo non è né vera né falsa, ma questo ci fa capire che il nostro concetto di insieme è talmente vago da non poter rispondere ad una domanda così semplice e fondamentale. Nessuno vieta di aggiungere qualche altro assioma alla teoria degli insiemi, in modo da poter rispondere alla questione, ma dobbiamo scegliere: vogliamo che sia vera o falsa? Ma quando mai, in matematica, abbiamo avuto la possibilità di scegliere la risposta ad un problema? E poi, chi sceglie?

33 Sociologia e psicologia della mondo matematica di oggi non è l unica possibile: è stata sviluppata tramite un processo storico e sociale che ha portato l umanità a concentrarsi su certi problemi piuttosto che su altri. Probabilmente tutti abbiamo la stessa concezione dei numeri interi, ma i paradossi di ci fanno capire che ordini di superiore, come quello dei numeri reali, possono essere problematici. questione che sta dietro l ipotesi del continuo è simile: è logicamente possibile sostenere pareri contrapposti sulla natura dei numeri reali, e solo la storia ci darà la risposta su quale visione verrà adottata.

34 Per i curiosi mondo risposta che sta raccogliendo più consensi è: l ipotesi del continuo è falsa, cioè ci dovrebbero essere degli infiniti fra ℵ 0 e c. motivo è: in questo modo potremo dimostrare teoremi più interessanti. Non c è bisogno di sottolineare l aspetto psicologico e sociologico piuttosto che matematico di questa risposta.