CAPITOLO SESTO APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA MECCANICA DELLE TERRE

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1 CAPITOLO SESTO APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA MECCANICA DELLE TERRE

2 6.1 - Introduzione Nella sua accezione più ampia, la reologia è lo studio della deformazione dei corpi naturali. La reologia ha lo scopo di classificare le proprietà materiali dei corpi dal punto di vista meccanico, di indicare le metodologie sperimentali più adatte per la determinazione di tali proprietà e di costruire modelli, matematicamente completi, atti a rappresentarle convenientemente. Tra i modelli classici fondamentali assumono interesse preminente quelli del solido elastico, del mezzo plastico e di quello viscoso. L'interesse per la reologia nella meccanica delle terre risiede principalmente nella possibilità di inquadrare razionalmente i fenomeni osservati, tenuto conto della notevole complessità del comportamento meccanico dei materiali in esame. Rimandando al capitolo successivo a quello della determinazione sperimentale delle caratteristiche meccaniche delle terre lo sviluppo analitico dettagliato dei principali modelli di comportamento, ha ora interesse prendere in esame i modelli reologici semplici e alcune delle loro più comuni combinazioni al fine di poter in seguito osservare i risultati sperimentali con un minimo di sensibilità e di confidenza verso i principali comportamenti meccanici. Per rendere più facile ed immediata la rappresentazione delle caratteristiche meccaniche con i modelli reologici si impiega, come si vedrà, una particolare simbologia intuitiva, utile per descrivere sinteticamente il comportamento dei materiali e per illustrare qualitativamente le proprietà peculiari di un modello Il modello di solido elastico Il modello di solido elastico è caratterizzato da una legge costitutiva, indipendente dal tempo, nella quale le sollecitazioni e le deformazioni sono in relazione biunivoca tra loro. Ciò significa che una stessa sollecitazione, anche se applicata ripetutamente, produce sempre la stessa deformazione e che, nel caso di sollecitazioni cicliche, l'energia spesa nella deformazione viene completamente restituita al termine.del ciclo, cosicché il lavoro di deformazione dipende solo dagli estremi della trasformazione e non dal percorso seguito. In reologia il sim bolo del solido elastico è una molla elicoidale (fig. 6.1 a). Indicando con la sollecitazione applicata alle estremità della molla e con s il corrispondente accorciamento, la relazione che descrive il comportamento

3 88 LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE del modello reologico di solido elastico è = f(s) (6.1 ) ovvero, nel caso di solido elastico lineare (molla di Hooke), =Ks (6.2) con K = cost (fig. 6.1 b). a) 5 ig Modello reologico di solido elastico. b) Il mode1l9 di mezzo plastico Il modello di mezzo plastico è caratterizzato dall'esistenza di determinate soglie di sollecitazione raggiunte le quali si manifestano deformazioni permanenti e indipendenti dalla durata del processo che le genera (deformazioni plastiche). Il simbolo reologico del mezzo plastico è rappresentato dal morsetto ad. attrito (corpo di Saint Venant, fig. 6.2a) caratterizzato da un valore limite, *, della sollecitazione applicata per il quale iniziano le deformazioni plastiche. Raggiunto il valore limite, l'incremento di deformazione plastica può avvenire a sollecitazione costante, oppure può richiedere un aumento o una diminuzio

4 CAP. VI - APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA 89 MECCANICA DELLE TERRE ne della sollecitazione applicata. Questi possibili comportamenti caratterizzano, rispettivamente, il modello di mezzo plastico perfetto e quelli incrudenti positivamente e negativamente (fig. 6.2b). * * r-e:~ i~. 6.:2 -lttodemo reologico di mezzo plastico. L'incremento di deformazione plastica può essere espresso nella forma l ds P = --- d* (6.3 ) H dove H prende il nome di coefficiente di incrudimento. Se si indica con À la pendenza della retta su cui si localizzano gli incrementi di deformazione plastica (fig. 6.3), risulta d* l H=ds P =~. (6.4) Rimuovendo la sollecitazione esterna dopo aver seguito il percorso OAB non si manifesta alcun recupero della deformazione accumulata (tratto Be). Se, a partire dal punto C, si incrementa di nuovo la sollecitazione esterna, un mezzo plastico con incrudimento non nullo conserva la memoria della precedente deformazione attraverso una variazione del valore limite *.

5 90 LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE o C ds P -I 5 ig. 6:3 - asi di carico e scarico -in un mezzo plastico Il modello di mezzo viscoso Il modello di mezzo viscoso è caratterizzato dalla esistenza di un legame, tra la sollecitazione applicata e la velocità della defonnazioné corrispondente. La velocità di deformazione si annulla all'annullarsi della sollecitazione...,' Il simbolo reologico del mezzo viscoso è l'ammortizzatore.idraulico, costituito da uno stantuffo che scorre senza attrito in un cilindro-pieno di liqui.lo (Hg. 6.4a). La legge costitutiva del modello reologico di mezzo viscoso è rappresentata dalla relazione =f(s), (6.5) dove s=ds/dt è la velocità di deformazione.j Se la relazione (6.5) è lineare (ammortizzatore di Newton), cioè del tipo -(6.6) con 11 = cost, allora il mezzo è detto viscoso perfetto, o newtoniano. Il coeffi-. ciente 11 prende il nome di costante di viscosità, o semplicemente viscosità. Le relazioni (6.5) e (6.6) sono riportate in diagramma nella fig. 6.4b.

6 CAP. Vl- APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA 91 MECCANICA DELLE TERRE a) b) ig Modello reologico di mezzo viscoso Modelli reologici complessi I diversi modelli reologici semplici possono essere combinati tra loro per costituire modelli più complessi, che meglio si prestano a descrivere il comportamento meccanico dei materiali reali. I modelli semplici possono essere collegati tra loro in serie o in parallelo: nel primo caso la deformazione risultante è data dalla somma delle deformazioni dei singoli componenti e la sollecitazione rimane la stessa in ognuno di questi; nel secondo caso si ha una situazione inversa. I modelli reologici che più frequentemente ricorrono nella Meccanica delle Terre sono: - il corpo di Maxwell - il corpo'di Kelvin - il corpo di Bingham. Il corpo di Maxwell è costituito dal collegamento in serie di una molla di Hooke e di un ammortizzatore di Newton (fig. 6.Sa). In queste condizioni si ha: = pe = V (6.7) (6.8)

7 92 LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE dove gli apici v ed e specificano le componenti viscose ed elastiche delle sollecitazioni e delle defonnazioni. K 'TJ a) b) c) ig. 6.S - Modelli reologici complessi (a) Corpo di Maxwell (b) Corpo di Kelvin (c) Corpo di Bingham. Tenuto conto delle (6.2) e (6.6), la legge costitutiva del corpo di Maxwel1 può essere ricavata imponendo la condizione (6.8). Si ottiene la relazione: l TI s= J dt K :. sk= + Jdt (6.9) T rel dove T rel =TI/K prende il nome di tempo di rilassamento. Inoltre, tenuto conto che per la (6.8) la velocità di defonnazione del corpo di Maxwell è s=se + Sv, la legge costitutiva può essere espressa anche nell'altra fonna:.. s= - + TI K (6.10)

8 CAP. VI- APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA 93 MECCANICA DELLE TERRE L'espressione (6.9) mostra chiaramente che, se il tempo t di applicazione della sollecitazione esterna è piccolo rispetto al tempo di rilassamento (t «Trel ), il corpo di Maxwell si comporta come un mezzo elastico: infatti e, quindi, sk ~. Jdt«Dalla espressione (6.1 O), invece, si rileva che, se il tempo di applicazione della sollecitazione esterna è grande rispetto al tempo di rilassamento (t» Trel ), il corpo di Maxwell si comporta come un mezzo viscoso: infatti e, quindi, Trel «.Se la sollecitazione esterna = o è applicata istantaneamente, a partire da un valore iniziale nullo, ed è mantenuta indefinitamente, dalla (6.9) si ottiene l'espressione sk = o + o T rel o :. s(t) = ( t) 1+ - K t Trel che è riportata graficamente nella fig. 6.6 e che mostra come ad una deformazione elastica istantanea faccia seguito una deformazione, dipendente dalla sola viscosità del corpo, che si sviluppa indefinitamente. Se lo stato di deformazione di un corpo di Maxwell viene modificato dall'applicazione istantanea di una deformazione s = so, a partire da un valore iniziale nullo, che è mantenuta indefinitamente, dalla (6.10) si ottiene l'espres SIOne = - Trel (t) = e-t/trel, o

9 94 LEZIONI DI MÈCCANICA DELLE TERRE con o =Kso, riportata graficamente nella fig s 1 t T rel t ig. 6.6 Deformazione del ig. 6.7 Deformazione del corpo di. Maxwell corpo di Maxwell per (t ~ t o ) = o. pers(t ~ t o ) =So' Questo fenomeno di variazione della sollecitazione prende il nome di ''rilassamento". Il corpo di Kelvin è costituito dal collegamento in parallelo di una molla di Hooke e di un ammortizzatore di Newton. (fig. 6.5b). In queste condizioni si ha: = e + V (6.11 ) (6.12) Sostituendo le (6.2) e (6.6) nella (6.11) si ottiene l'equazione costitutiva del corpo di Kelvin: =Ks + 71 s. (6.13) Integrando la (6.13) nell'ipotesi che la deformazione iniziale del corpo sia nulla e che ad esso sia applicata istantaneamente una sollecitazione = o' mantenuta poi indefinitamente, si ottiene la relazione s(t) = - (l - e-t/tret) = seo - e-t/tret) K. dove Tret =l1/kè detto, in questo caso, tempo di ritardo (fig. 6.8).

10 CAP. VI - APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA 95 MECCANICA DELLE TERRE 5 se Tret t ig Defonnazione del CorpO di Kelvin per (t ~ t o ) = o. In. queste condizioni, la defonnazione del COrpO di Kelvin evolve con legge che dipende dalle caratteristiche elastiche e viscose del mezzo e raggiunge, a tempo infinito, la deformazione che compete alla componente elastica. TI corpo di Bingham è costituito dal collegamento in serie di una molla di Hooke e dell'insieme di un ammortizzatore di Newton e di un morsetto d'attrito tra loro connessi in parallelo (fig. 6.5c). Il comportamento del corpo di Bingham, nel caso in cui il morsetto d'attrito rappresenta un mezzo plastico perfetto, è descritto dalle relazioni costitutive = Ks per < * = * + TI s per ~ * cosicché il valore di soglia * della sollecitazione separa il comportamento puramente elastico da quello puramente viscoso. Trascurando la componente viscosa e tenendo conto dei fenomeni di incrudimento, il corpo di Bingham si presta particolarmente bene, almeno a livello qualitativo, a descrivere il comportamento elasto-plastico delle terre. Per determinare le relazioni tra sollecitazioni e deformazioni che si ottengono in queste condizioni, ci si riferisca alla fig Incrementando la sollecitazione esterna a partire da uno stato iniziale in cui = O e s = O, il corpo manifest-a un comportamento elastico fino a che < (*)A. Superata la soglia di plasticizzazione, il corpo mostra un comportamento che risente sia della sua componente elastica che di quella plastica.

11 96 LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE I ds P (lii)s =er o D H 5 ig Defonnazione di un mezzo elasto-plastico incrudente. L'incremento di defonnazione elasto-plastica vale pertanto: ds =À. d*. L'incremento di defonnél;zione plastica può essere ricavato sommando algebt:icamente tutti gli incrementi didefonnazione nel percorso ABC. Si ottiene ds - ds e =ds P e quindi, tenuto conto che ds e =K d*. ds P = ds ds e = (À. - K)d*. In questo caso il coefficiente di inerudimento vale dunque d* 1 H= -.- = -- ds P À. - K