Al fine di catturare matematicamente la nozione di conseguenza logica introduciamo i concetti fondamentali di modello e soddisfacibilità.

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1 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA Conseguenza logica. 7 Le condizioni di verità, unite ai principi semantici fondamentali che le sottendono, ci permettono di decidere, per ogni 2EL, quale tra 0 e 1 è il valore di v( ). Questo è un primo passo fondamentale nella caratterizzazione della logica degli eventi che farà da ossatura alla logica dell incerto che vogliamo sviluppare. Come vedremo è parte della definizione del concetto stesso di evento che le condizioni sotto le quali risulti vero o falso siano sempre univocamente determinabili. E questo è esattamente 8 ciò che ci garantisce la semantica proposizionale classica con le condizioni di verità sui connettivi e le tavole di verità che ci permettono di calcolarle in modo e ettivo. Lo scopo di questa sezione è mostrare come la semantica proposizionale classica ci permetta di articolare il secondo e decisivo passo nella costruzione dalla logica degli eventi: il concetto di conseguenza logica classica. Si tratta senza dubbio del singolo concetto più importante di tutta la logica. Il concetto di conseguenza è essenzialmente relazionale. Dato un insieme EL siamo interessati a determinarne le conseguenze logiche, ovvero quegli enunciati che siamo forzati ad accettare sotto l ipotesi che accettiamo tutti gli enunciati in. Esistono molti modi di intendere l espressione essere forzati ad accettare, ma quella di gran lunga più illuminante è dovuta a uno dei più grandi logici di tutti i tempi, Alfred Tarski. Let us consider an arbitrary class of sentences and an arbitrary sentence which follows from the sentences of this class. From the point of view of everyday intuitions it is clear that it cannot happen that all the sentences of the class would be true but at the same time the sentence would be false 9. Al fine di catturare matematicamente la nozione di conseguenza logica introduciamo i concetti fondamentali di modello e soddisfacibilità. 10 Definizione 2.23 (Modello). Siano V l insieme di valutazioni su L e EL. Diciamo che v 2 V è un modello di,sev( )=1per ogni 2. 7 Questa versione: 14 febbraio Nel caso più semplice, quello degli eventi non condizionati. 9 A. Tarski On the concept of following logically, History and Philosophy of Logic, Volume 23, Number 3, pp , La nozione di modello è di importanza centrale nello studio della logica matematica tanto che una delle sue aree più attive è appunto designata con il nome di Teoria dei modelli.

2 16 HYKEL HOSNI Figura 2. Alfred Tarski (14 gennaio 1902, Varsavia - 26 ottobre 1983, Berkeley) ritratto al Tarski Symposium del 1971, Berkeley Definizione 2.24 (Soddisfacibilità). Diciamo che se ha un modello. ELè soddisfacibile Si usa semplificare la notazione scrivendo v( ) = 1 per dire che v è u n modello di. z } { z} { Esempio Siano L = {p, q} e ={ p! q, q }. L insieme di tutte le valutazioni su L è dunque il seguente: v 1 : v(p) =v(q) =0 v 2 : v(p) =v(q) =1 v 3 : v(p) = 0; v(q) =1 v 4 : v(p) = 1; v(q) =0 1 2 Segue dalla definizione 2.23 che l insieme dei modelli di quelle valutazioni che assegnano 1 a 1 e 2,ecioèv 2 e v 3. è dato da tutte A questo punto possiamo dare una definizione completamente rigorosa della nozione di conseguenza logica, che Tarski enuncia come segue:

3 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 17 We say that the sentence follows logically from the sentences of the class if and only if every model of the class is at the same time a model of the sentence. 11. Definizione 2.26 (Conseguenza tarskiana). Diciamo che segue logicamente da e scriviamo se ogni modello di = è un modello di. In altre parole: =,8v 2 V, se v( ) = 1 allora v( ) =1. Si usa spesso riferirsi a logica delle premesse. come all insieme delle premesse ea la conseguenza Esercizio 7. Cosa vuol dire che non segue logicamente da? Osservazione Il concetto di conseguenza logica tarskiana è un concetto formale. In particolare questo significa che la sua determinazione è indipendentemente dalle intuizioni che abbiamo sugli enunciati in questione. Esempio 2.28 (Sull esistenza di Dio). Supponiamo che il linguaggio di Benedetto sia L = {d, p, e} che possiamo interpretare come segue: d: Dio esiste p: Dio è pregato e: le preghiere vengono esaudite Supponiamo inoltre che Benedetto accetti come insieme di premesse = { 1, 2}, dove 1: d! (p! e) 2: p Poiché = d (esercizio!) Benedetto è forzato ad accettare che Dio esiste (d) assumendo che non lo preghiamo e che se Dio esiste allora non è vero che se lo preghiamo le nostre preghiere verranno esaudite. Esercizio 8. Determinare, giustificando la risposta, se la seguente a ermazione è vera o falsa: se non ha modelli, allora = è vero per qualsiasi. 11 A. Tarski On the concept of following logically, History and Philosophy of Logic, Volume 23, Number 3, pp , 2002

4 18 HYKEL HOSNI Esempio Siano che è soddisfatto da = {p! q, q}. Dall esempio precedente sappiamo v 2 = v(p) =v(q) =1e v 3 = v(p) = 0; v(q) =1. Poniamo = p _ q e ' = p ^ q. Poiché v 2 ( ) =v 2 (') = 1 abbiamo e '. Nel secondo caso, ma 2 ' dal momento che v 3 ( ) = 1 e v 3 (') = Agenti logici. Il nostro interesse per una logica dell incertezza ci porterà a identificare una relazione di conseguenza con un agente idealizzato. In sostanza immaginiamo che tutte le facoltà di ragionamento di un agente siano catturate dalla nozione di conseguenza logica. In altre parole interpretiamo gli enunciati in come le informazioni (tutte e sole le informazioni!) che un agente ha a sua disposizione in un dato istante (che comunque non ci interessa specificare)., unito alle sue conseguenze logiche, può molto naturalmente essere interpretato come tutto ciò che l agente dà per scontato (in un dato istante). Questo corrisponde a tutti gli enunciati che hanno un modello e quindi sono veri. Lo scopo principale della logica probabilistica è di estendere, senza cuciture evidenti, questo insieme con enunciati che l agente non dà per scontati, ma ritiene più o meno plausibili. L idealizzazione principale che facciamo sull agente logico in questione è che questi non sia soggetto a limitazioni cognitive (computazionali), né sia soggetto ad errori di calcolo. Poiché il nostro interesse è costruire un modello normativo di ragionamento razionale (in condizioni di incertezza) non possiamo prendere queste limitazioni in considerazione. O almeno non siamo forzati a farlo Il metodo delle tavole di verità. Sotto l ipotesi della finitezza del linguaggio L, le tavole di verità costituiscono un metodo e ettivo, cioè algoritmico, per decidere se = 12.Perdeciderese = è su ciente considerare tutte le valutazioni che soddisfano e controllare se queste soddisfano omeno. Esempio Siano, come sopra, = {p! q, q}, = p _ q e ' = p ^ q. Possiamo quindi costuire immediatamente la tavola di verità ra gurata nella Tabella deve ovviamente essere un insieme finito.

5 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 19 p q ' ) ) Tabella 4. Tavola di verità ridotta. Segue dalla definizione 2.26 che le righe (cioè le valutazioni) rilevanti a determinare se e ' sono conseguenze logiche di sono la prima e la terza (contrassegnate da )). Nel primo caso, v 1 ( ) =v 1 (') = 1, quindi = e = '. Nel secondo caso = ma 6 = ' dal momento che v 3 ( ) = 1 ma v 3 (') =0 Esercizio 9. Verificare se i seguenti insiemi di formule sono soddisfacibili: (1) ={ _ ', } (2) ={ _ ',, '} (3) ={! ',! ', ( _ )! } Esercizio 10. Dimostrare usando il metodo delle tavole di verità che p! q = ((p! q)! p) Definizione 2.31 (Equivalenza logica)., ' 2ELsono logicamente equivalenti, scritto ', se8v 2 V, v( ) =v('). Le seguenti sono formulazioni alternative della definizione di equivalenza logica. Proposizione ' () 8v 2 V, v( ) =v(') (2.4) () 8v 2 V, v( ) =1, v(') = 1 (2.5) () 8v 2 V, v( ) =0, v(') = 0 (2.6) () 8v 2 V, v( ) =1) v(') =1e8v 2 V, v(') =1) v( ) =1 (2.7) () = ' e ' = (2.8) () =! ' e = '! (2.9) () 8v 2 V, v(! ') =1e v('! ) = 1 (2.10) () 8v 2 V, v((! ') =1^ v('! )) = 1 (2.11) () = (! ') ^ ('! ) (2.12)

6 20 HYKEL HOSNI Dimostrazione. Esercizio Tautologie e contraddizioni. Il concetto di conseguenza logica ci permette di definire due classi di enunciati particolarmente importanti. Definizione 2.33 (Tautologie). Diciamo che è una tautologia se v( ) = 1 per ogni v 2 V. Poiché tutte le valutazioni (su L) sono modelli di una tautologia, ; =. Di solito omettiamo di menzionare l insieme vuoto e scriviamo =. Segue quindi che le tavole di verità ci forniscono anche una procedura per decidere 13 se un dato enunciato è o meno una tautologia. Esempio Possiamo verificare che = q! (p! q) è una tautologia costruendo la tavola di verità per p! q e per poi determinare quella di : p q p! q Esercizio 11. Determinare se le seguenti formule sono tautologie: (1) _ ' (2)! (! ) (3)! (! ') (4) ( _ ') ^ ( _ )! _ (' ^ ) (5) ( _ ') ^! ' (6) (! ')! ((! ')! ) La nozione di tautologia ha un ovvia nozione duale. Definizione Diciamo che è una contraddizione se v( ) = 0 per ogni v 2 V. Esercizio 12. Possiamo equivalentemente definire una contraddizione come un enunciato tale che =, 8 2EL.Perché? Se un enunciato non è una tautologia nè una contraddizione, si dice che è contingente. Esercizio 13. Dato 2ELdimostrare che 13 Questo, a rigore, è vero in virtù di un importante teorema che garantisce la decidibilità (ovvero la risolvibilità in linea di principio) del problema.

7 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 21 (1) è una tautologia se e solo se è una contraddizione. (2) è contingente se e solo se è contingente