RECENTI PROGRESSI NELLA GEOMETRIA PROIETTIVA DIFFERENZIALE DEGLI IPERSPAZI

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1 RECENTI PROGRESSI NELLA GEOMETRIA PROIETTIVA DIFFERENZIALE DEGLI IPERSPAZI Di ENRICO BOMPIANI. Dopo le classiche ricerche di Monge e della sua scuola, ove accanto a proprietà metriche differenziali di una superficie dello spazio ordinario vengono anche studiate proprietà di carattere proiettivo, passa un lungo periodo di tempo, dovuto forse al rapido ed esuberante sviluppo della geometria metrica nella Francia stessa, prima che 1' indagine geometrica volga di nuovo i suoi sforzi a quel ramo di geometria che s' indica col nome piuttosto moderno di proiettivo-differenziale. Si raccolgono in esso quei risultati di geometria differenziale che appartengono (secondo un concetto del Klein) al gruppo proiettivo (invarianti cioè per una trasformazione di questo gruppo). Scarsa eredità ha lasciato a noi il secolo passato in questo campo ; la teoria delle tangenti coniugate di Dupin per le superficie dello spazio ordinario ne costituisce certo la parte più preziosa. La proiettività di Chasles fra punti e piani tangenti lungo una generatrice di una rigata appartiene pure a questo gruppo. Alla ricerca delle proiettività di Chasles degeneri si riduce il problema della distribuzione in sviluppabili delle rette di una congruenza, e a questo equivale a sua volta la determinazione di un doppio sistema coniugato di linee sopra una superficie. Più recenti (1882) sono alcuni risultati del Koenigs sul modo di comportarsi di una congruenza o di un complesso lineare rispetto ad una congruenza o ad un complesso qualsiasi nelp intorno di una generatrice. Questi teoremi, dati da Koenigs come analoghi al teorema di Meusnier (di natura metrica, non proiettiva) non sembrano facilmente ricollegarsi agli altri ricordati, ed occorre infatti salire agli iperspazi perchè vengano in piena luce le diverse analogie*. In Italia si veniva intanto sviluppando la geometria proiettiva degli iperspazi; nel 1886 il Prof. Del Pezzo ottenne per via sintetica i primi resultati relativi a spazi pluritangenti a varietà immerse in un ambiente qualsiasi. Poco dopo, nel 1888, il Prof. Segre estese ai sistemi oo n ~ x di rette di 8 n le proprietà focali di una congruenza di $ 3. * Tralascio di ricordare, perchè non interviene nel seguito, una ricerca del Darboux (1880) "sur le contact des courbes et des surfaces."

2 GEOMETRIA PROIETTIVA DIFFERENZIALE DEGLI IPERSPAZI 23 Un ventennio trascorse inoperoso sopra questi risultati, fatta eccezione per le ricerche del Wilczynski (relative allo spazio ordinario) che avrò poi occasione di ricordare. In una serie di lavori pubblicati dal 1906 al 1910 il Prof. Segre ha ripreso e condotto ad un elevato grado di perfezione questo ramo di geometria iperspaziale *. Il contributo che ad esso recano, sotto Y impulso del Segre, giovani geometri in Italia e fuori può perciò caratterizzarsi veramente italiano. Io mi propongo di dare uno sguardo all' opera compiuta, cercando di porre in luce le idee fondamentali, e di completarne in qualche punto lo svolgimento. * * * Due tipi di problemi si pongono in quest' ordine di ricerche. Un primo problema, che può dirsi ristretto, ha per oggetto lo studio della costruzione dell' intorno di un punto di una varietà in un ambiente qualsiasi. Il secondo, problema esteso, ricerca caratteri che interessano la costruzione di tutta la varietà (per es. 1' esser costituita da spazi lineari). Vediamo come si pongano e si risolvano le quistioni del 1 tipo. Partiamo dallo spazio ordinario. All' intorno del 1 ordine di un punto di una superficie si sostituisce il piano tangente : le proprietà proiettivo-differenziali del 2 ordine risultano dal considerare le intersezioni di esso con i piani infinitamente vicini. Per porre la questione analoga nel modo più generale ci conviene introdurre una nuova locuzione. Consideriamo sopra una varietà V m le curve passanti per un suo punto ed aventi ivi uno stesso 8 V osculatoref ; gli Sh(h >v) osculatori a queste curve nel puuto comune, se non riempiono 1' ambiente, appartengono ad un determinato spazio che dirò h-osculatore alla varietà secondo lo S v fissato, o di indici h, v. Se lo 8 V è il punto stesso (v = 0) lo spazio definito (ove esista) si dirà semplicemente h-osculatore o, se si vuole, per avere una locuzione più simile all' ordinaria e a quella adottata dal Del Pezzo, h-tangente alla V m nel punto J. Così definiti questi spazi rimane a studiare la legge di distribuzione degli spazi osculatori in essi contenuti. Fissato uno spazio 8h-i osculatore (v = h 1) gli S h osculatori ivi a curve della varietà descrivono intorno ad esso un sistema lineare che riempie lo spazio A-osculatore alla V m secondo lo Sh-i. Ma le cose si presentano diversamente quando lo S v osculatore fissato abbia dimensione minore di h 1. Alcuni dei teoremi relativi sono stati studiati dal Prof. Segre e la ricerca può essere agevolmente continuata servendosi degli stessi metodi da lui usati. * Di questi lavori citerò, come più importanti, i due seguenti: "Su una classe di superficie degli iperspazi legate colle equazioni lineari alle derivate parziali di 2 ordine," Atti Acc. Scienze di Torino, voi. xlii, "Preliminari di una teoria delle varietà luoghi di spazi," Bendic. Cir. Matem. Palermo, t. xxx, Gli altri si trovano negli Atti della B. Acc. delle Scienze di Torino, nel periodo di tempo ricordato. Tralascio nel seguito le indicazioni particolari relative alle memorie del Prof. Segre. f Intendo con ciò di fissare anche gli spazi osculatori di dimensione inferiore, quando essi non vengano determinati dallo S v ; cfr. "Sopra alcune estensioni dei teoremi di Meusnier e di Eulero " (in corso di stampa negli Atti delv Accad. d. Scienze di Torino, 1913.). % Cf. P. Del Pezzo " Sugli spazi tangenti ad una superficie o ad una varietà immersa in uno spazio di più dimensioni," Bend. Acc. di scienze Fis. Mat. di Napoli, fase. 8, 1886.

3 24 ENRICO BOMPIANI Ad assicurarne 1' interesse basterà ricordare che, seguendo le idee di Pluecker e di Klein, in questa geometria può ritenersi inclusa la geometria proiettiva di un qualsiasi elemento generatore dello spazio, e la stessa geometria metrica di un ambiente qualsiasi. E basta infatti una semplice interpretazione di linguaggio per ritrovare i teoremi ricordati di Koenigs sui sistemi di rette in $ 3 *, alcuni recenti teoremi di C. L. E. Moore "f- sui sistemi di rette in S 4 o di cerchi in S 3, e infine un' estesissima generalizzazione dei teoremi di Meusnier e di Eulero per una qualsiasi varietà immersa in un ambiente di dimensione arbitraria. La nozione di coniugio potrà estendersi in diverso modo (in relazione alla dimensione della varietà e dell' ambiente) imponendo speciali condizioni d' incidenza a spazi osculatori a curve uscenti dai punti successivi di una curva assegnata. Le direzioni che danno luogo all' incidenza voluta possono dirsi coniugate alle tangenti alla curva data negli stessi punti, ma la corrispondenza non ha in generale carattere involutorio. Volendo generalizzare la nozione di asintotica, si cercherà se esistono sulla varietà curve, o, in generale, varietà di dimensione inferiore, tali che alcuni loro spazi osculatori siano legati da speciali condizioni d' appartenenza con spazi di dimensione conveniente, osculatori alla varietà data. La determinazione di queste curve sopra una varietà costituisce un problema del 2 tipo. Per portare un esempio, sopra una superficie generale di S 4 si può definire un sistema oo 2 di curve tali che lo $ 3 osculatore ad una di esse in un punto riesca ivi tangente alla superficie (mentre non esistono in generale sulla superficie asintotiche nel senso ordinario). Interpretando questo risultato nello spazio ordinario si ottengono teoremi noti sulle congruenze di rette e di sfere. A queste proprietà di carattere generale ne andranno sostituite altre per quelle varietà tali che gli intorni di tutti i loro punti siano costruiti in modo particolare. Può darsi infatti che alcuni degli spazi A-osculatori sopra definiti siano di dimensione minore di quella prevista dal caso generale. Questo fatto si esprime analiticamente ponendo dei legami lineari omogenei fra le coordinate proiettive dei punti che definiscono quegli spazi A-osculatori ; cioè scrivendo che le coordinate proiettive omogenee di un punto della varietà e le loro derivate fino anquelle di un certo ordine sono fra loro legate linearmente ; o, più in breve, che le coordinate di un punto della varietà sono soluzioni di un sistema di equazioni alle derivate parziali, lineari ed omogenee. Alle superficie che rappresentano un' equazione di Laplace ha dedicato un' importante memoria il Prof. Segre. Dall' esistenza di un doppio sistema coniugato di linee sulla superficie si deduce, come fa il Darboux per lo spazio ordinario, la trasformazione di Laplace per 1' equazione ricordata. Servendosi di questa imagine geometrica riesce facile * " Sur les propriétés infinitésimales de l'espace réglé," Annales de VÊcole normale, 1882 (2), t. 11. t "Infinitesimal properties of lines in # 4, with applications to circles in Ss," Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, vol. XLVI, n 5, X Cf. la mia nota "Sopra una trasformazione classica di Sophus Lie," Atti B. Accad. dei Lincei, voi. XXI, serie 5, 1912, f. 11.

4 GEOMETRIA PROIETTIVA DIFFERENZIALE DEGLI IPERSPAZI 25 assegnare dei criteri perchè 1' equazione data sia integrabile col metodo di Laplace *. Come già accennava il Prof. Segre nel suo lavoro, le ricerche ivi contenute sono suscettibili di diverse estensioni. In luogo di una sola equazione del 2 ordine a 2 variabili si può per es. considerare un sistema di più equazioni del 2 ordine a k variabili indipendenti ; il Terracini, in una memoria sulle Vjc che rappresentano più di ~A '- equazioni di Laplace linearmente indipendenti "f-, assegna loro una proprietà (non caratteristica però) che le riavvicina alle sviluppabili dello spazio ordinario. Il caso k = 3 era già stato ampiamente trattato in una memoria del Sig. C. H. SisamJ. Un altra estensione delle ricerche del Segre si ha invece considerando una o più equazioni di ordine superiore al secondo. In particolare, 1' equazione a due variabili, di qualsiasi ordine, a caratteristica completa, ha un' imagine geometrica del tutto simile a quella dell' equazione di Laplace : si può costruire per essa una successione di trasformate e assegnare condizioni sufficienti affinchè la sua integrazione sia ricondotta a quella di equazioni a derivate ordinarie. * * * Come si è visto il principio del metodo per lo studio di proprietà proiettivodifferenziali consiste nel sostituire all' intorno di un punto uno spazio lineare di dimensione conveniente. Si presenta quindi come particolarmente interessante, sotto un doppio punto di vista, lo studio delle varietà luoghi di spazi : sia per la costruzione della teoria generale, sia per vedere come si semplifichino per esse le proprietà osservate per una varietà qualsiasi. I fondamenti di una teoria delle varietà luoghi di spazi sono stati posti dal Prof. Segre nella Memoria citata del In essa sono trattate le questioni essenziali relative agli spazi tangenti, agli spazi caratteristici, alla nozione di sviluppabilità e alle sue diverse estensioni nonché molte delle questioni generali prima accennate per una varietà qualsiasi. I metodi svolti in questa memoria sono serviti di modello nelle ricerche successive che già abbiamo avuto occasione di ricordare. Un indirizzo completamente differente per la geometria proiettivo-differenziale nello spazio ordinario veniva sviluppato dal Wilczynski in una serie di Memorie la cui pubblicazione incomincia nel 1901 : ne formano oggetto lo studio delle curve piane e sghembe, delle rigate, delle superficie curve, delle congruenze di rette e dei sistemi di curve piane. II Wilczynski, mettendosi dal punto di vista già adottato dall' Halphen nella sua Tesi e nei lavori successivi ( ) per la rappresentazione di curve piane e sghembe, si è servito di un sistema di equazioni differenziali lineari opportunamente scelte per rappresentare gli enti ricordati. Dalle proprietà del sistema scelto risulta che il corrispondente ente geometrico è definito a meno di una trasformazione * Cf. la mia memoria sull' equazione di Laplace (Rendiconti del Gire, Mat. di Palermo, t. xxxiv, fase, in, 1912). t Circolo Matematico di Palermo, t. xxxni, X "On Three Spreads satisfying four or more homogeneous linear partial differential equations of the second order," American Journal of Mathematics, vol. xxxn, n 2, 1911.

5 26 ENRICO BOMPIANI proiettiva: gli invarianti del sistema sono dunque atti a definire le proprietà proiettive dell' ente in esame. Ed il Wilczynski è riuscito infatti a dare forma invariantiva alla teoria delle rigate, delle superficie, e delle congruenze di rette, arricchendola in molti punti di nuovi risultati*. Nulla di più naturale che tentarne 1' estensione agli iperspazi. E 1' estensione è certo ricca d' interesse, perchè se da un lato la rappresentazione analitica fornisce un nuovo mezzo per lo studio degli enti geometrici, dall' altro il modello geometrico sussidia dell' intuizione ad esso propria la ricerca analitica. Ne valga ad esempio la memoria " Sugli invarianti differenziali proiettivi delle curve in un iperspazio " f in cui il Prof. Berzolari ha esteso i resultati dell' Halphen. Consideriamo le superficie rigate di uno spazio qualsiasi 8 n. Servendosi della nozione generale di spazio A-osculatore ad una varietà in un punto, si riesce a stabilire per queste superficie una teoria delle curve tracciate su di esse e definite da proprietà proiettive, del tutto analoghe alle asintotiche sulle rigate di S 2. Insieme a questo sistema di curve, che potremmo chiamare quasi-asintotiche, vien definito un altro sistema di curve associate ad esse, che in generale non appartengono alla rigata : se vi appartengono coincidono con le curve prima definite. Questo accade per es. nello spazio ordinario. Se la rigata è algebrica rientrano in questa classe generale di curve quasi-asintotiche le direttrici minime già studiate dal Prof. Segre J. Dall' esistenza di queste curve si può dedurre una classificazione proiettiva delle rigate in un iperspazio ; la natura proiettiva dell' intorno di una generatrice generica può caratterizzarsi mediante alcuni numeri interi che dirò indici di sviluppabilità, dei quali il più grande rappresenta il massimo numero di generatrici consecutive linearmente indipendenti. Una rigata di S n si dirà del tipo generale quando i suoi indici di sviluppabilità hanno i massimi valori possibili. Una rigata qualsiasi si può rappresentare per mezzo di un sistema di 2 equazioni differenziali lineari ed omogenee e ad esse può riportarsi la nozione degli indici di sviluppabilità. Queste considerazioni possono estendersi in direzioni diverse. Possono considerarsi sistemi semplicemente infiniti di spazi lineari S^; una loro rappresentazione si otterrà servendosi di un sistema di k equazioni differenziali lineari omogenee. Oppure potranno considerarsi sistemi più volte infiniti di rette o di spazi qualsiasi rappresentati da sistemi di equazioni alle derivate parziali. Se, per limitarci a quanto s' è detto sopra, abbiamo in vista un sistema più volte infinito di rette, il problema analogo a quello della ricerca delle sviluppabili in una congruenza di S 3 consisterà nel ricercare entro il sistema le rigate aventi i minimi indici di sviluppabilità * Per i lavori del Wilczynski anteriori al 1906 (che si riferiscono in modo particolare ai sistemi di rette) si può vedere il suo libro Projective differential geometry of curves and ruled surfaces (Teubner, 1906). Gli altri si trovano in Transactions of the American Mathematical Society nel periodo indicato. + Annali di Matematica, s. n, t. xxvi (1897). X "Sulle rigate razionali in uno spazio lineare qualunque" (Atti delv Accad. d. Scienze di Torino, voi. xix, 1881), ed. altre note sullo stesso argomento (ibid., 1885 e 1886).

6 GEOMETRIA PROIETTIVA DIFFERENZIALE DEGLI IPERSPAZI 27 possibili. Queste sono sviluppabili nel senso ordinario solo, in generale, per i sistemi oo w_1 di S n. Non è forse illecito sperare che le considerazioni geometriche di Fano e di Enriques sulle varietà algebriche che ammettono infinite trasformazioni proiettive*, alle quali si debbono progressi notevoli nella teoria della equazione differenziale lineare le cui soluzioni sono legate da relazioni algebriche, porteranno anche aiuto nel campo più vasto al quale ho cercato ora d' accennare f. * Cf. per es. 1' esposizione del Fano nei Math. Ann. Bd 53 (1899), p t Neil' intervallo di tempo trascorso fra la lettura di questa comunicazione e la stampa degli Atti (Febbraio 1913) sono apparsi i seguenti lavori sull' argomento che e' interessa : A. Ranum : " On the Projective Differential Geometry of N-dimensional Spreads generated by GO 1 Flats" (Ann. di Matern, pura ed applicata, s. in, t. xix, p. 205). E. Cairo : " Sopra un sistema 2 di superficie P di S n " (Periodico di Matematica, anno xxvn, fase, vi; anno xxvin, fase. ni). E. Artom : " Bicerche proiettive sulle linee tracciate in una superficie immersa in uno spazio a più dimensioni^ (Periodico di Matematica, anno xxvin, fase. n).