Poligoni, Poliedri e Volumi

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1 Poligoni, Poliedri e Volumi

2 Poligoni Un poligono è una figura con n la5, definita da un insieme ordinato di almeno 3 pun5 nel piano, nel quale ogni punto è collegato al successivo (e l ul5mo al primo) con un segmento di re>a.

3 Poligoni Due ver5ci si dicono adiacen5 se sono uni5 da un lato Un poligono è semplice se ogni coppia di la5 non consecu5vi non ha pun5 in comune Un poligono semplice divide il piano in due par5: l area interna al poligono e quella esterna

4 Poligoni Un ver5ce di un poligono è convesso se l angolo interiore è minore di 180 Se l angolo è maggiore, il ver5ce si dice concavo Un poligono è convesso se per ogni coppia di pun5 interni al poligono, la congiungente è interna al poligono Un poligono che non è convesso è concavo Un poligono con uno o più ver5ci concavi è concavo, ma un poligono con solo ver5ci convessi non è necessariamente convesso Il triangolo è l unico poligono sempre convesso

5 Poligoni I poligoni convessi possono essere vis5 come un so>oinsieme dell conce>o di insieme dei pun* convessi nel piano Un insieme di pun5 convessi è un insieme di pun5 in cui qualsiasi linea tra due pun5 è cos5tuita da pun5 dell insieme Dato un insieme di pun5 S, il guscio convesso (convex hull) di S, denotato con CH(S) è il più piccolo insieme di pun5 convessi che con5ene S

6 Esempi

7 Test di Convessità su Quadrilateri Spesso, oltre ai triangoli, all interno di una mesh vi sono anche quadrilateri. Il test di convessità su un quadrilatero può essere fa>o in maniera semplice rispe>o ad un test di un poligono ad n la5 Assumendo che i ver5ci del quadrilatero ABCD siano co- planari, occorre testare che le due diagonali giacciano nell interno del quadrilatero Tale test è equivalente al fa>o che le due diagonali si intersechino

8 Quadrilateri

9 Test di convessità su quadrilateri Mediante considerazioni geometriche, si dimostra che un test equivalente a quelli precedentemente elenca5, consiste nel verificare che l avvolgimento dei due triangoli ABD e BDC sia opposto, ovvero (BD x BA) (BD x BC) < 0 (AC x AD) (AC x AB) < 0

10 Test di convessità su poligoni Per poligoni con numero di ver5ci maggiore di 4 occorre controllare che per ogni lato del poligono, gli altri ver5ci giacciano tuz da una parte rispe>o al lato. La complessità di tale algoritmo è O(n^2) Altri test sono più veloci ma possono dare risulta5 erra5 zig- zag angoli interni < 180

11 Poliedri Un poliedro è la controparte di un poligono in 3 dimensioni E una regione di spazio connessa e limitata Ha la forma di un solido con più facce I poliedri dividono lo spazio in due regioni, interna ed esterna

12 Politopi Un poliedro convesso è definito anche un politopo. Come un poligono, i politopi possono essere defini5 come l intersezione di un numero finito di semispazi

13 Simplesso Un d- simplesso è il guscio convesso di d+1 pun5 in uno spazio d- dimensionale Uno 0- simplesso è un punto Un 1- simplesso è una re>a Un 2- Simplesso è un triangolo Un 3- simplesso un tetraedro la proprietà di un simplesso è che la rimozione di un singolo punto riduce la dimensione del simplesso

14 Computazione dei gusci convessi I gusci convessi possono essere u5lizza5 come volumi per geometrie di collisione Diversi algoritmi per la computazione di ques5 sono sta5 propos5

15 Andrew s Algorithm Uno dei più robus5 e facili da implementare Nella prima passata, occorre ordinare tuz i pun5 da sinistra a destra Nelle seguen5 seconda e terza passata, le catene dei la5 da sinistra a destra, corrisponden5 rispezvamente alla catena superiore ed inferiore del guscio Il guscio si ozene conne>endo le due catene

16 Andrew s Algorithm A B C D E G F

17 Quick Hull Algorithm Funziona bene sia in due che in tre dimensioni 1. Nel primo step viene iden5ficata una Bounding Box dell insieme di pun5 2. I pun5 che cos5tuiscono la BB saranno anche ver5ci del guscio convesso Ogni punto interno non farà parte del guscio convesso 3. Per ogni lato del guscio convesso occorre trovare il punto più lontano, che cos5tuirà un triangolo assieme ai due estremi del lato Ogni punto appartenente a questo triangolo non può essere un ver5ce del guscio convesso 4. La procedura del punto 3 si ripete ricorsivamente

18 Quick- Hull algorithm

19 Computare il punto più distante da un lato int PointFarthestFromEdge(Point2D a, Point2D b, Point2D p[], int n) { Vector2D e = b a; e_perp = Vector2D(- e.y, e.x); int bestindex = - 1; float maxval = - FLT_MAX; rightmostval = - FLT_MAX; for (int i=1; i<n; i++) { float d = dot(p[i] a, e_perp); float r = dot(p[i] a, e); if ( d > maxval (d == maxval && r > rightmostval) { bestindex = i; maxval = d; rightmostval=r; } } return bestindex; }

20 Bounding Volumes Un Bounding Volume è un volume che incapsula uno o più oggez di natura più complessa. L idea è quella di u5lizzare tali volumi più semplici, come sfere o parallelepipedi, per compiere dei test di sovrapposizione. Usandoli, è possibile computare velocemente una mancata sovrapposizione

21 Cara>eris5che Desiderabili test di intersezione poco costoso in termini computazionali Aderenza stre>a con la geometria Semplice da calcolare Poca memoria richiesta

22 point inclusion, ray intersection with the volume, and intersection with planes and polygons. Principali Tipologie di BV Test più veloce, meno memoria richiesta SPHERE AABB OBB 8-DOP CONVEX HULL Figure 4.2 Types of bounding volumes: sphere, axis-aligned bounding box (AABB), oriented bounding box (OBB), eight-direction discrete orientation polytope (8-DOP), and convex hull. Migliore approssimazione della forma, migliore culling

23 Axis Aligned Bounding Box Un parallelepipedo orientato in maniera tale da avere le facce orientate normali agli assi del sistema di riferimento La sua cara>eris5ca è la rapidità con cui si può computare un test di sovrapposizione Il test coinvolge semplicemente la comparazione di valori di coordinate

24 Implementazione ) (b) (c) struct AABB { Point min; Point max; }; struct AABB { Point min; float d[3]; }; struct AABB { Point center; float radius[3]; };

25 Intersezione AABB- AABB Il test è abbastanza immediato, indipendentemente dalla rappresentazione Nel caso di rappresentazione min- max l implementazione può essere la seguente: int testaabb(aabb a, AABB b) { if( a.max[0] < b.min[0] a.min[0] > b.max[0]) return 0; if( a.max[1] < b.min[1] a.min[1] > b.max[1]) return 0; if( a.max[2] < b.min[2] a.min[2] > b.max[2]) return 0; return 1; }

26 Computare ed aggiornare le AABB Per il test di overlap è necessario che le due AABB siano nello stesso sistema di riferimento Può essere quello di tenere entrambe le AABB in world space oppure di trasformare una AABB nello spazio locale dell altra Efficienza ed accuratezza

27 Sfere Altro bounding volume molto comune Sono anche invarian5 alle rotazioni Dal punto di vista della memoria, è il bounding volume meno costoso struct Sphere { Point c; float radius; }

28 Computare una Bounding Sphere Una tecnica semplice ed approssima5va può essere computare prima l AABB dei pun5. Il centro di tale AABB sarà il centro della sfera Il raggio è dato dal punto più lontano dal centro Ci sono altre tecniche per creare sfere che si ada>ano meglio

29 Test Sfera- Sfera int testspheresphere (Sphere a, Sphere b) { Vector d = a.c b.c; float dist2 = dot(d,d); float radiussum = a.r + b.r; return dist2 <= radiussum*radiussum; }

30 Oriented Bounding Box (OBB) E un parallelepipedo orientato in maniera arbitraria Può essere rappresentato in diverse maniere 8 ver5ci 6 piani un ver5ce e 3 ve>ori ortogonali un centro, una matrice di orientamento e 3 semi- lunghezze Onerosa in termini di risorse computazionali struct OBB { Point c; Vector u[3]; Vector e; }