Esercizi: i rendimenti finanziari

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1 Esercizi: i rendimenti finanziari Operazioni algebriche elementari Distribuzione e dipendenza Teoria di probabilità Selezione portafoglio p. 1/25

2 Esercizio I Nella tabella sottostante relativa all indice CAC40 si chiede di riempire opportunamente le celle vuote. p t a t r t s t 01/07/ /08/ /09/ /10/ Soluzione Si usano le formule inverse di definizione dei rendimenti, iniziando a ricostruire il prezzo p 2. p 2 = ( 47.45) = p 3 = e ( ) = (oppure exp( )) p 4 = ( ) = p. 2/25

3 Esercizio II Siano noti i rendimenti assoluti di un titolo. Sapendo che il rendimento relativo del 01/08/2002 è s 2 =0.0325, si ricostruisca la serie dei prezzi p t. t 01/07/ a t 01/08/ /09/ /10/ /11/ /14/ Soluzione Sapendo che a 2 = p 2 p 1 =0.387 e sapendo che s 2 = p 2 p 1 p 1 = a 2 p 1 =0.0325, si ricava che p 1 = a 2 s 2 = = Le successive relazioni sono immediate, e si ha: p 2 = p 1 + a 2 = = fino ad ottenere p 6 = p 5 + a 6 = ( 0.308) = p. 3/25

4 Esercizio III Conoscendo la serie dei rendimenti relativi s t (in %), si determini: 1) la serie dei log-rendimenti r t 2) il rendimento nell intero periodo t =0, 1,...,5. 02/14/ t s t (in %) 02/15/ /18/ /19/ /20/ /21/ Soluzione Si tenga presente che in questo esempio lavorare con i dati in % È SBAGLIATO! La relazione tra rendimenti tiene sul dato grezzo non su quello modificato per agevolare la lettura (double-check!). 1. r 1 =ln(1+s 1 )=ln( )=ln( ) = %. 2. r SETT = 5 i=1 r i = = Il titolo ha perso circa lo 0.7% nella settimana. p. 4/25

5 Esercizio IV Data la seguente serie dei prezzi del titolo Banca Agricola Mantovana: Data p t 02/14/ /15/ /18/ /19/ /20/ /21/ a) si calcoli la serie dei corrispondenti rendimenti relativi; b) si applichi la formula di aggregazione temporale più opportuna per determinare il rendimento settimanale a partire da quelli giornalieri e se ne verifichi la validità. Commentare il risultato ottenuto. p. 5/25

6 Esercizio IV - soluzione Data p t s t 1+s t 02/14/ /15/ /18/ /19/ /20/ /21/ s SETT =( ) 1= s SETT =( )/9.267 = Il titolo ha perso il 4.06 % circa nella settimana. p. 6/25

7 Esercizio V Vengono riportati i prezzi di chiusura dei titoli Fiat ed E.Biscom t Fiat E.B 02/14/ /21/ Ipotizzando di possedere un portafoglio costituito da 2500 azioni E.Biscom e da 7500 azioni Fiat: a) si determini il rendimento (relativo e logaritmico) del portafoglio nella settimana di riferimento; b) Si determini il rendimento (relativo e logaritmico) dei singoli titoli nella settimana di riferimento e si proceda all aggregazione cross-section di tali rendimenti. Si commentino i risultati ottenuti p. 7/25

8 Esercizio V - soluzione p A 0 = = p A 1 = = s A =( )/ = r A =ln(199925/220310) = a) b) s Fiat = s E.B = r Fiat = r E.B = w Fiat = w E.B = I pesi sono calcolati al tempo 0, indicando con questa espressione che Fiat pesa il 52.83% circa, dato che w Fiat = = Le verifiche cross-section sono calcolate come: r A =ln[ exp( ) exp( )] = s A = ( ) ( ) = Il portafoglio A ha perso il 9.2% (o 9.7%) nella sett. di riferimento p. 8/25

9 Esercizio VI Conoscendo la seguente serie dei rendimenti relativi in percentuale del MIB 30: a) Si determini l indice di asimmetria e si dica se la serie è simmetrica o asimmetrica con livello di significatività del 5%; b) Si calcoli l indice di curtosi e si dica se la serie ha curtosi pari a 3 oppure diversa da 3, con il medesimo livello di significatività. c) Si calcoli il test JB e si dica se si può accettare la Gaussianità della serie in esame (al 5% di significatività). DATA t r t DATA t r t 15/02/ /02/ /02/ /02/ /02/ /02/ /02/ /02/ /02/ /03/ /02/ p. 9/25

10 Esercizio VI - soluzione Il fatto che i dati siano in percentuale non deve trarre in inganno. Gli indici sk e ku sono normalizzati e non risentono dell unità di misura. a-1) Questa parte della soluzione è banale e ridondante (serve a prendere pratica con la simbologia). Si devono calcolare la media e la varianza, usando la calcolatrice. r =ˆµ R = r t = 1 ( ) = t=1 t=1 ˆσ R 2 = (r t r) 2 = 1 [ ( ) ( ) 2] 11 = (da cui si ricava) Ŝd R = ˆσ R = = a-2) Per calcolare sk ˆ R si inizia considerando gli scarti dalla media al cubo (no calcolatrice, in generale) dati da 1/11 [ ( ) ( ) 3] = Quindi: ˆ sk R = = p. 10/25

11 Esercizio VI - soluzione a-3) Si formula l ipotesi nulle H 0 : sk R =0contro l alternativa bilaterale H 1 : sk R 0. Si usa il test Z sk = SK ˆ R N(0, 1) sotto H 0. La 6/T realizzazione campionaria è quindi data da z sk = /11 =1.46 (minore di 2 in modulo) Il test cade nella zona di accettazione; questo significa che il fatto di avere osservato un valore diverso da zero in ŝk R è effetto del caso. La serie r t può essere pensata come la realizzazione di un processo stazionario R t con distribuzione marginale R simmetrica. p. 11/25

12 Esercizio VI - soluzione b-1) Per calcolare ku ˆ R si inizia considerando gli scarti dalla media alla quarta (no calcolatrice, in generale) dati da 1/11 [ ( ) ( ) 4] = Quindi: ˆ ku R = = b-2) Si formula l ipotesi nulle H 0 : ku R 3=0(o H 0 : ku R =3) contro l alternativa bilaterale H 1 : ku R 3 0(o H 1 : ku R 3). Si usa il test Z ku = data da KU ˆ R 3 24/T N(0, 1) sotto H 0. La realizzazione campionaria è quindi z ku = /11 = (minore di 2 in modulo) Il test cade nella zona di accettazione di H 0 ; questo significa che il fatto di avere osservato un valore diverso da 3 in ˆku R è ancora effetto del caso. La serie r t può essere pensata come la realizzazione di un processo stazionario R t la cui distribuzione marginale R ha code Gaussiane. p. 12/25

13 Esercizio VI - soluzione c) Per calcolare il test JB abbiamo già tutto quello che serve. Ricordando che la formula del test è jb = T [ [ ] 2 skr ˆ 1 [ ] ] 2 + kur ˆ si può sostituire ciò che occorre e si ottiene jb = 11 6 [[1.0832] [ ]2 ] = Tale numero, per α =0.05, va confrontato con il 95-esimo quantile di una χ 2 2, cioè quel numero z α tale per cui P (χ 2 2 z a lpha) =0.95. Si ha che z α =5.99. Il test cade nella zona di accettazione dell ipotesi nulla, cioè si può dire che la serie è Gaussiana. N.B. La congruenza dei diversi tests non è sempre assicurata, anche se per T grande solitamente la coerenza è garantita. p. 13/25

14 Esercizio VII Nella tabella sottostante sono riportati i valori della funzione di autocorrelazione stimata su una serie storica di 300 osservazioni. Nell ultima colonna vengono riportati i percentili della distribuzione χ 2 k. k ˆρ(k) 95-esimo quant. χ 2 k ) si dica quali valori della funzioni possono essere considerati significativi ad un livello di significatività del 5%; 2) si dica se vi è autocorrelazione fino al lag 4. E fino al lag 6? (si utilizzino gli opportuni percentili contenuti nell ultima colonna della tabella). p. 14/25

15 Esercizio VII - soluzione 1) I valori-soglia del test asintotico sono calcolati tramite i valori ±1.96 (T 0.5 ). Usare 2 (più facile da ricordare) può andare bene ugualmente. Le bande sono, quindi, ±0.113, da cui emerge che i valori ai lag k =5, 6 sono significativamente diversi da 0. 2) Il valore dei test Q nei lag richiesti è, rispettivamente, [ ] q 4 = ( ) =2.692, e 296 [ q 6 = ( ) ] = Si conclude che analizzando il blocco delle prime 4 AC l ipotesi nulla H 0 : ρ(1) =...= ρ(4) = 0 non si può rifiutare (2.692 <9.49). Al contrario, dall analisi del blocco delle prime 6 AC, l ipotesi nulla H 0 : ρ(1) =...= ρ(6) = 0 non si può accettare (34.62>12.59) e quindi almeno una delle 6 AC è statisticamente diversa da zero. Sono, infatti, i valori che eccedono le bande asintotiche a gonfiare il valore di q 6. N.B. Il p-value del test per q 6 vale (distrib.chi(34.62;6) in Excel). p. 15/25

16 Esercizio VIII Sia data la serie di rendimenti relativi (in %) dell indice di borsa inglese FTSE. Si sviluppino i seguenti punti: a) rappresentazione grafica di s t e s t+2 ; b) stima di ˆρ(2) e calcolo della significatività della stima al 5%. giorni t s t 23/08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /09/ /09/ /09/ /09/ p. 16/25

17 Esercizio VIII - soluzione a) Il grafico si ottiene associando ad ogni valore al tempo t il corrispondente valore al tempo t +2, i.e. si rappresentano le coppie della seguente tabella con grafico a dispersione, dove è del tutto arbitraria la scelta delle coordinate (x, y) in virtù della proprietà di simmetria di cui gode il coefficiente di correlazione. t s t s t st s t p. 17/25

18 Esercizio VIII - soluzione b) La stima ˆρ(2) è il coefficiente di correlazione del grafico precedente. Quindi, per la proprietà di invarianza a trasformazioni lineari di cui gode il coeff. di corr. lineare, si può SEMPRE lavorare con i dati in %. Svolgendo i calcoli si ha: s = 1/T 10 t=1 s t =1/10 ( ) = ˆγ(0) = ( ) ( ) 2 10 = ˆγ(2) = ( )( ) +...+( )( ) 10 = Da questo si deduce che ˆρ(2) = = c) In questo esempio T è piccolo, quindi le bande asintotiche sono piuttosto ampie. I limiti sono dati da ± = ±0.62. Tuttavia, impostando l ipotesi H 0 : ρ(2) = 0, si deve accettare H 1 : ρ(2) 0dato che ˆρ(2) è inferiore al valore-soglia della banda di confidenza al 95%. In termini finanziari questo significa che (in media) ogni 2 giorni è lecito attendersi una inversione di tendenza nei rendimenti. p. 18/25

19 Esercizio - distribuzione Gaussiana Sia Y una v.c. Gaussiana con densità f Y (y) = 1 2π4 e 1 2( y 5 2 ) 2. 1) Si determinino media e varianza di Y. 2) Si calcolino Pr(Y 5) e Pr(Y 3). 3) Si calcolino Pr(3 Y 7), Pr(3 Y 6) e Pr(Y > 8). 4) Sia data S N(2, 9) incorrelata con Y si dica come è distribuita la v.c. R = Y + S. p. 19/25

20 Distribuzione Gaussiana - soluzione 1) Per la definizione di densità Gaussiana si ha immediatamente che la media è µ Y =5e la varianza è σy 2 =4. Il grafico di questa distribuzione può essere tracciato in Excel usando la funzione distrib.norm. 2) Si ha Pr(Y 5) = 0.5 per simmetria intorno alla media. Per calcolare Pr(Y 3) si dovrebbe calcolare 1 3 2π4 e 1 2( x 5 2 ) 2 dx (complicato, ma fattibile con Excel). Si preferisce standardizzare per poi usare le tabelle disponibile sui testi di base. In pratica so procede come segue: ( Y 5 Pr(Y 3) = Pr(Y 5 3 5) = Pr = Pr(Z 1) definendo la v.a. Z = Y 5 2 = F Z ( 1) = L integrale nascosto in Pr(Z 1) è quello tabulato sui libri. ) N(0, 1) p. 20/25

21 Distribuzione Gaussiana - soluzione 3) Conviene sfruttare la proprietà della df (che vale sempre, non solo per le v.c. Gaussiane), tale per cui, dati 2 numeri reali a e b, con a<bsi ha Pr(a Y b) =F Y (b) F Y (a). Si tenga anche presente del teorema della probabilità contraria Pr(Y > y)=1 Pr(Y y). Nel primo caso, tuttavia, si può sfruttare la simmetria dei 2 quantili rispetto al valore medio (µ Y =5) ed osservare che, per tale simmetria, Pr(Y > 7) = Pr(Y 3), da cui si evince che Pr(3 Y 7) = 1 2Pr(Y 3) = 1 2Pr(Z 1) = p. 21/25

22 Distribuzione Gaussiana - soluzione In generale, comunque, conviene standardizzare per confrontare il valore della df normale standardizzata con quelli riportati sul libro di inferenza di base. La probabilità successiva sarà quindi ( 3 5 Pr(3 Y 6) = Pr 2 Y = Pr( 1 Z 0.5) definendo la v.a. Z = Y 5 2 = F Z (0.5) F Z ( 1) = = Infine, utilizzando il teorema della prob. contraria, ( Y 5 Pr(Y > 8) = Pr 2 > ) ) =Pr(Z>1.5) = 1 Pr(Z 1.5) = 1 F Z (1.5) = p. 22/25

23 Distribuzione Gaussiana - soluzione 4) Usando i risultati teorici riportati nelle slides è immediato osservare che R è la somma di 2 Gaussiane incorrelate (e quindi indipendenti) e sarà quindi Gaussiana con E(R) =E(Y )+E(S) =5+2=7 e Var(R) =Var(Y )+Var(S)+2Cov(Y,S)=4+9+0=13 In altri termini si avrà, R N(7, 13). p. 23/25

24 Esercizio - momenti teorici Siano date 2.v.c Y N(0, 9) e S χ 2 5 con Cor(Y,S)=0.5. 1) Determinare quale funzione f applicata a Y porta ad avere una nuova v.c. R = f(y ) tale che R χ 2 1. Qui il trucco è quello di capire se si può trovare una riparametrizzazione tale che da Y si possa arrivare ad una v.c. Gaussiana standard. Prendendo, per esempio, la v.c. 1 Y N(0, 1) (1) 3 dato che E ( 1 3 Y ) = 1 3 E(Y )=0e ( Var 1 3 Y ) = ( ) Var(Y )= 1 9 9=1. (Hint: provare, come controprova, a vedere cosa succede usando, ad esempio, la trasformazione 2+9Y ). Pertanto il quadrato della v.c. dell espressione (1) è, per definizione, una chi-quadrato. Cioè, data la v.c. iniziale Y, la v.c. definita dalla trasformazione r = f(y) =( 1 3 y)2 genera il risultato cercato, i.e. R = [ 1 3 Y ] 2 χ 2 1. p. 24/25

25 Esercizio - momenti teorici 2) Definendo W = Y + S si calcolino media e varianza di W. Sebbene il dominio delle 2 v.c. sia differente, è comunque possibile studiare la v.a. W che somma le 2 v.c. di partenza. In particolare noi ci concentreremo sui momenti della v.c. W, anziché sulla sua df (che è complicata anche dalla correlazione tra Y e S). Comunque, adottando le formula standard per il calcolo dei momenti non occorre conoscere come è distribuita W. Si osservi che E(W )=E(Y )+E(S) =0+5=5 e Var(W )=Var(Y )+Var(S)+2Cov(Y,S) resta quindi da calcolare Cov(Y,S). Ricordando che Cor(Y,S)= Cov(Y,S) Sd Y Sd S si ha Cov(Y,S)= Concludendo Var(W ) =9+10+(2 4.74) p. 25/25