UNIVERSITA DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II CORSO DI RICERCA OPERATIVA II docente Ing. Giuseppe Bruno ESERCIZI CAPITOLO 2 - TECNICHE DI PREVISIONE

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II CORSO DI RICERCA OPERATIVA II docente Ing. Giuseppe Bruno ESERCIZI CAPITOLO 2 - TECNICHE DI PREVISIONE Esercizio 1 In tabella sono riportati i valori delle variabili X e Y X Y Si costruisca il diagramma di dispersione. Si individui, empiricamente, una retta di regressione di Y su X e si effettuino considerazioni qualitative e/o quantitative sulla correlazione tra le due variabili. Esercizio 2 In tabella è riportato il fatturato in miliardi di un'azienda relativo agli ultimi due anni suddiviso per trimestri. Si effettui una previsione del fatturato per i successivi 4 trimestri. Si descriva il procedimento utilizzato. Anno Primavera Estate Autunno Inverno Esercizio 3 Si calcoli la media mobile di ordine 3 e 4 della seguente serie storica. Si illustri la formula ricorsiva che lega la media mobile di ordine j alla media mobile di ordine j Esercizio 4 Si effettui la "destagionalizzazione" della seguente serie storica Esercizio 5 In tabella è riportato il fatturato in miliardi di un'azienda relativo agli ultimi due anni suddiviso per trimestri. Si effettui una previsione del fatturato per i successivi 4 trimestri. Si descriva il procedimento utilizzato. Esercizio 6 Si consideri la seguente serie storica Anno Primavera Estate Autunno Inverno

2 Periodo Y i Si calcoli la serie delle medie mobili pesate di ordine 2 assumendo come pesi i valori 0.4 e 0.6. Si determino quindi i valori dei parametri MAD e MSE spiegandone il significato. Esercizio 6 Considerando i dati riportati in tabella, si determini la curva di regressione lineare che correla le due variabili X e Y. Si indichi il coefficiente di correlazione e giustifichi il risultato. X Y Esercizio 7 In tabella sono riportati i dati di vendita trimestrali di un testo universitario negli ultimi tre anni. Trimestre Anno 1 Anno 2 Anno Si calcoli la media mobile di ordine 4 e se ne illustri graficamente l'andamento. Si calcolino gli indici stagionali e si individui qualitativamente una proiezione del trend. 2

3 CAPITOLO 3 - TECNICHE EURISTICHE Esercizio 3.1 Si descriva un algoritmo di Simulated annealing per la risoluzione del problema del commesso viaggiatore. Si specifichi e si giustifichi una possibile scelta della cooling schedule nella ipotesi che la soluzione iniziale presenti un valore della funzione obiettivo pari a 800. Si facciano delle considerazioni sulla complessità dell'algoritmo descritto. Esercizio 3.2 Si consideri un problema dello zaino per il quale i valori e i pesi degli oggetti sono riportati in tabella: oggetto Peso valore Supponendo che la capacità dello zaino sia 3, si individui un possibile schema di algoritmo genetico in grado di risolverlo descrivendo, in particolare, i possibili operatori genetici applicati al problema. Esercizio 3.3 In tabella è riportata la matrice dei costi per la risoluzione di un problema di commesso viaggiatore. Si supponga che la soluzione corrente sia data dalla sequenza di nodi Si consideri, quindi, un algoritmo migliorativo basato su una mossa di inserzione di un nodo in una nuova posizione. Si determini la nuova soluzione corrente individuata sulla base di questa mossa e si specifichi la complessità computazionale di questa operazione. Ipotizzando di utilizzare un algoritmo di simulated annealing, si indichi l'espressione della probabilità di accettare, come nuova soluzione, la successione di nodi Esercizio 3.4 Si consideri il problema di ottimizzazione: Nodi Matrice dei costi z = 4x 1 - x 2 + 2x 3 +3x 5-2x 1 x 3-5x 1 x 5 +3x 2 x 4-4x 4 x 5 Max! sottoposto a x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 3 x j =0/1 ed il seguente insieme di possibili soluzioni: x 1 x 2 x 3 x 4 x Si applichi a questo insieme di soluzioni, assunto come popolazione iniziale, un passo completo di un algoritmo genetico. 3

4 Esercizio 3.5 Si consideri il problema di TSP sul grafo descritto dalla matrice dei minimi percorsi riportata in tabella. A B C D E F A B C D E F Si consideri come soluzione iniziale la successione di nodi A D F C E B A. A partire da questa soluzione si applichi un algoritmo di Tabu Search considerando come mossa lo scambio di posizioni tra due nodi consecutivi fino al raggiungimento di un minimo locale (si consideri tabu l esecuzione della sola mossa inversa). Si evidenzino in generale le differenze esistenti tra la Tabu search e le altre tecniche migliorative (tecniche di ricerca locale, Simulated Annealing, Algoritmi genetici). 4

5 CAPITOLO 4 - LOCALIZZAZIONE Esercizio 4.1 Si risolva il problema di Simple Plant Location descritto dalle seguenti tabelle: nodi r j nodi Si descriva il modello matematico e si indichi il valore delle variabili decisionali per la soluzione individuata del problema. Esercizio 4.2 Si illustri il problema dell'albero minimo con vincoli di capacità (il nodo "0" rappresenta il nodo centrale). Si risolva il problema con riferimento all'insieme dei nodi le cui distanze reciproche sono riportate nella seguente tabella Nodo nel caso in cui la capacità massima sia pari a 5 e la domanda sia rappresentata dal seguente vettore Nodo d i Esercizio 4.3 Si descriva l'algoritmo di Esau-Williams per la risoluzione del problema dell'albero con vincoli di capacità (si assuma il nodo 1 come nodo centrale di riferimento). Si applichi l'algoritmo alla rete la cui matrice dei minimi percorsi è descritta nella tabella seguente nella ipotesi che il valore di capacità massima è pari a 10. Nodi j domanda d j Nodi

6 Esercizio 4.4 Si consideri la matrice dei minimi percorsi indicata in tabella e si consideri il problema di 3- mediana; si ipotizzi che, per la sua risoluzione, si utilizzi un algoritmo genetico a partire dalla popolazione di 5 elementi rappresentata in tabella. Si applichi a questa popolazione l'operatore di riproduzione. Si illustrino gli algoritmi genetici soffermandosi, in particolare, sull'aspetto della convergenza prematura. Si descriva il modello matematico del problema di p-mediana evidenziando il significato delle variabili e dei vincoli. Nodo popolazione Esercizio 4.5 Si illustri il problema della p-mediana e si risolva il problema per p=2 con riferimento all'insieme dei nodi le cui distanze reciproche sono riportate nella seguente tabella Nodo Si indichi il modello matematico del problema ed il valore assunto dalle variabili decisionali nell'esempio in questione. Esercizio 4.6 Si effettui, attraverso una analisi grafica del problema, un passo dell'algoritmo di 3-mediana considerando il problema sul grafo rappresentato in figura. Si supponga che le distanze tra i nodi siano rappresentate dalle distanze euclidee e che la soluzione iniziale sia rappresentata dai nodi (1, 2, 3). Si giustifichi la risposta ottenuta

7 CAPITOLO 5 - GESTIONE DELLE SCORTE Esercizio 5.1 Si illustri la classificazione ABC e la si effettui sull'insieme dei prodotti descritto in tabella: Numero d'ordine Prodotto Quantità Valore medio 1 A B C D E F G H Esercizio 5.2 Un'azienda tratta un prodotto per il quale vi è una richiesta costante di 3000 unità al mese nel periodo estivo (giugno, luglio, e agosto). L'azienda si rifornisce da un clente che, mensilmente, fornisce 3000 unità di prodotto con tempo di consegna di 10 giorni (si supponga nulla la disponibilità iniziale di scorta). Si indichino il valore massimo di scorta disponibile ed il valore medio di scorta in magazzino. Si quantifichi il costo di immagazzinamento della scorta nell'ipotesi in cui il costo di una unità del prodotto sia di Lit 2000 ed il costo di immagazzinamento per unità di prodotto è pari al 3% all'anno. Si illustri la differenza tra politiche a punto d'ordine e politiche a riordino periodico nella gestione delle scorte. Esercizio 5.3 Una clinica privata utilizza 816 confezioni di un certo medicinale all anno. Il costo di ordinazione è pari a 12 mentre il costo di mantenimento in magazzino è di 4 all anno per confezione. Se il costo di ciascuna confezione è di 20 si determini il costo totale minimo per l acquisto ed il mantenimento della scorta per un anno. Si supponga, poi, che la ditta fornitrice sia disposta a concedere uno sconto di 4 a confezione nel caso si effettuino ordini di almeno 100 confezioni. Si determini, in questo caso, la politica ottimale di approvvigionamento. Esercizio 5.4 La domanda di acquisto di un certo prodotto è di 1800 unità nel periodo del primo semestre. Si ipotizzi un costo per unità di prodotto di Lit 1000 e un tasso di interesse pari al 5% all anno. Si determini la politica ottimale di approvvigionamento. Esercizio 5.5 Una azienda vende un confezioni di matite per le quali vi è una richiesta costante di confezioni all'anno al costo di Lit 2500 a confezione. I costi di ordinazione sono pari a Lit mentre i costi di mantenimento della scorta in magazzino sono pari al 20% del costo. Considerando un anno composto da 250 giorni lavorativi, nell'ipotesi in cui il tempo di consegna è pari a 5 giorni, si calcoli il valore del lotto economico, il punto di riordino ed il valore dei costi per il lotto economico considerato. Esercizio 5.6 Si consideri un problema di gestione delle scorte caratterizzato da una domanda totale annua del prodotto pari a 200 e per il quale il lotto economico è pari a 20. Considerando un anno composto da 250 giorni lavorativi e supponendo che il tempo medio di consegna è di 10 giorni, si determini il punto d ordine nel caso in cui di domanda costante durante l anno. Si ipotizzi successivamente la distribuzione della domanda durante il tempo di consegna sia rappresentabile da una distribuzione 7

8 normale con µ=12 e σ=2.5; si determini il punto di riordino nel caso si è disposti ad accettare di andare sottoscorta non più di una volta all anno. Esercizio 5.7 Si consideri un problema di gestione delle scorte a domanda discreta in cui si assume che l'orizzonte temporale di riferimento sia l'anno suddiviso in 12 periodi della durata di un mese; la distribuzione della domanda è indicata in tabella mentre i parametri di costo sono C o =180, c % =0,16 e C=170. Si applichi la tecnica del lotto economico e si indichino le giacenze risultanti per periodo ed il costo complessivo di gestione della scorta. Periodo Totale Domanda Esercizio 5.8 Si determini la politica di gestione delle scorte per il problema a domanda discreta descritto in tabella nel caso di applicazione di una tecnica del costo totale minimo nell ipotesi di costo di ordinazione pari a 100, costo unitario del prodotto pari a 50 e costo di mantenimento della scorta pari a 18% su 12 periodi. Si confronti il risultato ottenuto in termini di costo di gestione con il caso in cui la domanda sia supposta continua e costante giustificandone il risultato. Periodo Totale Domanda Esercizio 5.9 Si consideri un problema di gestione delle scorte a domanda discreta in cui si assume che l'orizzonte temporale di riferimento sia l'anno suddiviso in 12 periodi della durata di un mese; la distribuzione della domanda è indicata in tabella mentre i parametri di costo sono C o =180, c % =0,16 e C=170. Si applichi la tecnica del minimo costo unitario e si indichino le giacenze risultanti per periodo ed il costo complessivo di gestione della scorta. Periodo Totale Domanda Esercizio 5.10 Si determini la politica di gestione delle scorte per il problema a domanda discreta descritto in tabella nel caso di applicazione di una tecnica del costo totale minimo nell ipotesi di costo di ordinazione pari a 80, costo unitario del prodotto pari a 40 e costo di mantenimento della scorta pari a 24% su 12 periodi e si valutino i costi totali di gestione. Si confrontino i risultati ottenuti con quelli prodotti da una tecnica lotto per lotto. Periodo Domanda

9 CAPITOLO 6 - SCHEDULING Esercizio 6.1 Si utilizzi la regola di Johnson per ottenere la schedulazione ottimale delle lavorazioni i cui tempi di processamento sono descritti nella tabella seguente: Macchina A Macchina B Esercizio 6.2 Si utilizzi la regola di Johnson per ottenere la schedulazione ottimale del problema Flow Shop per il quale i tempi di processamento sono rappresentati in tabella (si supponga che l'ordine della schedulazione sia A-B) Lavorazione Macchina A Macchina B Esercizio 6.3 In un problema di schedulazione di tipo R/preemptive/C max con 5 operazioni e 2 macchine, supponendo che la matrice T dei tempi di processamento ottimali sia rappresentata nella seguente tabella Operazione Macchina Macchina si individui una schedulazione ammissibile e si descriva il modello matematico del problema. Esercizio 6.4 Si consideri il seguente problema di schedulazione P C max con 7 operazioni e 3 macchine. Operazione Tempi e si determini una schedulazione del problema. Esercizio 6.4 Si consideri il problema di Flow Shop descritto in tabella e si determini la schedulazione. Si illustrino i problemi di scheduling di tipo Flow Shop e Job Shop descrivendo, per essi, le tecniche di schedulazione. Operazione Macchina 1 Macchina 2 A 5 5 B 4 3 C 4 2 D 2 7 E 5 7 F

10 Esercizio 6.5 Si consideri l'insieme di lavorazioni indicate in tabella e si effettui una schedulazione considerando diverse liste di priorità. Si calcolino, quindi, per ciascuna lista di priorità, i principali parametri di valutazione (C max, ΣC j, Σ(C j -d j )) e si commentino i risultati ottenuti. Lavorazione Tempo di processamento p j Scadenza d j A 6 4 B 5 6 C 10 8 D 7 12 E 8 10 Esercizio 6.6 Si effettui una schedulazione della seguente lista di lavorazioni job tempo priorità su macchina singola utilizzando più regole di priorità Esercizio 6.7 Si consideri un problema di P C max su 3 macchine relativo alle seguenti lavorazioni: Lavorazione P j A 8 B 12 C 10 D 14 E 10 F 6 G 8 Si determini la schedulazione secondo la regola LPT. Considerando la soluzione individuata come soluzione corrente, si applichi una mossa di scambio tra lavorazioni assegnate alle macchine con il maggiore ed il minore C max, individuando, se esistono, eventuali mosse migliorative. Con riferimento alla mossa descritta, si determini la probabilità di transizione dello scambio D-A in un algoritmo di Simulated Annealing. Esercizio 6.8 Si consideri il problema di Flow Shop descritto in tabella e si determini la schedulazione. Si illustrino i problemi di scheduling di tipo Flow Shop e Job Shop descrivendo, per essi, le tecniche di schedulazione. Operazione Macchina 1 Macchina 2 A 5 5 B 4 3 C 4 2 D 2 7 E 5 7 F 6 10 Esercizio 6.9 Si consideri un problema di 3F C max in cui le lavorazioni richiedono il passaggio in sequenza presso le macchine 1, 2 e 3 e si determini una schedulazione secondo il metodo di Gupta 10

11 descrivendone le caratteristiche. Esercizio 6.10 Si consideri la seguente lista di operazioni Lavorazione P 1 P 2 P 3 A B C D E F Operazione p j r j A 5 2 B 5 7 C 3 10 D 4 4 E 6 12 F 6 9 E si effettui la schedulazione su una macchina considerando, come funzione obiettivo, la minimizzazione della somma del tempo di flusso. Esercizio 6.11 Si descrivano in generale i problemi di tipo Job Shop e l algoritmo utilizzabile per risolvere il problema J2 n j 2 C max. Si consideri un problema di Job Shop (J3 n j 3 C max ) su 3 macchine in cui i tempi di processamento su ciascuna macchina sono indicati in tabella insieme con la successione delle operazioni richieste. Lavorazione p 1 p 2 p 3 Successione A B C D E F Si effettui la schedulazione applicando in successione un algoritmo per il problema J2 n j 2 C max considerando le macchine 1 e 2 e un algoritmo 1 r j C max per determinare la schedulazione sulla macchina 3. Esercizio 6.12 Si applichi la regola di Gupta per risolvere il problema 3F C max considerando la seguente lista di operazioni Operazione p 1j p 2j p 3j A B C D E F Esercizio

12 Si consideri un problema di Flow Shop su 3 macchine (i tempi di processamento sono indicati in Tabella) in cui la successione delle macchine da visitare è data da Si schedulino le lavorazioni secondo l'ordine crescente del tempo di processamento totale su tutte le macchine. A partire dalla soluzione così determinata si applichi una iterazione d i una procedura migliorativa che consideri, come mossa, lo scambio tra due jobs successivi della soluzione corrente. Per ciascuna delle soluzioni individuate, inoltre, si determini la probabilità di accettazione nel caso si applicasse un algoritmo di Simulated Annealing (si assuma T=50). Macchina 1 Macchina 2 Macchina 3 Job Job Job Job Job

13 CAPITOLO 7- ROUTING Esercizio 7.1 Si descriva un algoritmo euristico per la soluzione di un problema di routing in cui si suppone che esistano un deposito, n/2 nodi di prelievo e n/2 nodi di consegna e per il quale bisogna individuare un circuito a costo minimo che parte ed arriva al deposito, visita nell'ordine l'insieme dei nodi prelievo e l'insieme dei nodi consegna. Si illustri l'algoritmo attraverso un semplice esempio grafico costruito a piacere. Esercizio 7.2 Si risolva il problema di Vehicle routing rappresentato in figura ipotizzando una domanda unitaria e supponendo che i veicoli abbiano una capacità pari a 5. deposito Esercizio 7.3 Si illustri l'algoritmo di Clarke and Wright risolvendo il problema riportato in figura considerando la domanda in ciascun nodo unitaria, la capacità dei veicoli pari a 3 e il costo di collegamento proporzionale alla distanza euclidea tra i nodi (in grigio è indicato il deposito). Esercizio 7.4 Si consideri il seguente grafo descritto dalla matrice dei minimi percorsi riportata in tabella. Si applichi l algoritmo di saving a partire dal nodo A per risolvere il TSP. Considerando inoltre la presenza di una domanda come quella indicata in tabella e supponendo i veicoli a disposizione di capacità pari a 5, si determini la soluzione del CVRP utilizzando l algoritmo di Clark and Wright. Si illustrino i risultati graficamente e numericamente. A C B E F D A B C D E F G A 0 B 10 0 C D E F G G B C D E F G Domanda

14 Esercizio 7.5 Si consideri la matrice dei minimi percorsi riportata in tabella. Si applichi un algoritmo di saving per risolvere il TSP partendo, come nodo iniziale, dal nodo A e si illustri la procedura utilizzata. A B C D E F G A B C D E F G Esercizio 7.6 Si consideri il problema di TSP sul grafo descritto dalla matrice dei minimi percorsi riportata in tabella e si risolva il problema utilizzando l'algoritmo di saving. A B C D E A B C D E

15 CAPITOLO 8 - Project management Esercizio 8.1 Si consideri il seguente grafo rappresentativo di un progetto (i valori riportati indicano la durata delle attività in settimane). Si individuino le attività critiche ed una schedulazione al più presto del progetto riportando il corrispondente diagramma di Gantt Esercizio 8.2 Si consideri un progetto suddiviso nelle attività riportate in tabella. Attività Durata Attività precedenti Risorse impiegate A 4-3 B 2 A 4 C 10 A 2 D 4 A 5 E 1 B 5 F 6 E, C 3 G 2 E, C 4 H 6 F 6 I 2 G, D 8 J 2 H, I 4 Si costruisca il diagramma PERT individuando le attività critiche. Si determini una possibile schedulazione associando ad essa il diagramma delle risorse. Esercizio 8.3 Si consideri il seguente grafo rappresentativo di un progetto (i valori riportati indicano nell'ordine la durata delle attività e le risorse richieste). Si determini una schedulazione al più presto ed il diagramma delle risorse ad essa associato. 1 6, 1 5,1 2 1,2 4 5, 2 5 5,2 5,2 6 4,2 2,1 3 4,2 15