FARE MATEMATICA FARE MATEMATICA

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1 FARE MATEMATICA FARE MATEMATICA Sonia Sorgato Un idea di laboratorio per la matematica nella scuola primaria 19 settembre 2017

2 Il laboratorio Sì, ma come? Il laboratorio a scuola: gli elementi cardine (contenuto, esperienza, pensiero) Il laboratorio a partire da una domanda e da una situazione problematica Che cos è un problema Racconto di esperienze La valutazione: idee per capire 2

3 Perché parliamo di laboratorio? Le quattro discontinuità la scuola richiede prestazioni individuali, mentre il lavoro mentale all esterno è spesso condiviso socialmente; la scuola richiede un pensiero privo di supporti, mentre fuori ci si avvale di strumenti cognitivi o artefatti; la scuola coltiva il pensiero simbolico, nel senso che lavora su simboli, mentre fuori dalla scuola la mente è sempre direttamente alle prese con oggetti e situazioni; a scuola si insegnano capacità e conoscenze generali, mentre nelle attività esterne dominano competenze specifiche, legate alla situazione. [Resnick, 1995] 3

4 Perché parliamo di laboratorio? L attività tipica delle classi tradizionali è l esercizio, in cui non si lavora sugli oggetti matematici, ma su loro rappresentazioni simboliche e il lavoro è normalmente decontestualizzato. La matematica diventa un gioco fatto di regole rigide su simboli di cui non trapela il significato. Per esempio, per rispondere al quesito «1325:17» non è indispensabile immaginare un testo in cui si chiede di suddividere pacchi di riso in 17 parti uguali o di distribuire 17 caramelle fino a esaurire quelle disponibili. Si può eseguire la divisione pensando a un quoziente (q) e a un resto (r) che permettono di trasformare la relazione data nell altra: «1.325 = 17q + r». Non esiste una «matematica concreta», esiste invece la possibilità di contestualizzare calcoli e formule attraverso problemi che danno significato ai numeri ed esiste la possibilità di riconoscere proprietà e teoremi come schemi che sostengono situazioni reali, attraverso l ipotesi del «teorema in atto» [Vergnaud, 1995]. Si restituisce così un significato ai simboli. (Longo, 2015) 4

5 Nelle Indicazioni Nazionali Realizzare attività didattiche in forma di laboratorio, per favorire l operatività e allo stesso tempo il dialogo e la riflessione su quello che si fa. Il laboratorio, se ben organizzato, è la modalità di lavoro che meglio incoraggia la ricerca e la progettualità, coinvolge gli alunni nel pensare, realizzare, valutare attività vissute in modo condiviso e partecipato con altri, e può essere attivata sia nei diversi spazi e occasioni interni alla scuola sia valorizzando il territorio come risorsa per l apprendimento. 5

6 Nelle Indicazioni Nazionali In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come momento in cui l alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive. 6

7 L esperienza (Dewey, 1915) L unica via diretta per un miglioramento dei metodi dell istruzione e dell insegnamento consiste nel concentrarsi sulle condizioni che esigono, promuovono e mettono alla prova il pensiero. Il pensiero è il metodo dell apprendimento intelligente, dell apprendimento che mette a profitto e ricompensa la mente. 7

8 L esperienza (Dewey, 1915) Lo stadio iniziale di quell esperienza in sviluppo che si chiama pensiero è l esperienza. Questa osservazione può sembrare un banale truismo. E dovrebbe esserlo ma disgraziatamente non lo è. Al contrario, il pensiero è spesso considerato nella teoria filosofica e nella pratica educativa come qualcosa di tagliato fuori dall esperienza e capace di essere coltivato isolatamente. 8

9 L esperienza (Dewey,1915) L errore fondamentale dei metodi di istruzione consiste nel postulare negli allievi un esperienza precedentemente acquisita. Quello su cui abbiamo insistito fin qui è invece la necessità di una situazione realmente empirica come fase iniziale del pensiero. 9

10 L esperienza (Nigris, 2007) Non basta coinvolgere i ragazzi in attività più o meno stimolanti perché si attivi la motivazione, si promuova l apprendimento e lo sviluppo del soggetto. Come ci hanno mostrato, da Comenio in poi, molti studi psicologici e pedagogici, esistono esperienze che non sono educative, o che semplicemente non risultano efficaci [ ]. In altri casi, il fare e il far fare ai bambini non ha senso perché non corrisponde a uno scopo, a un obiettivo, a un bisogno; al contrario, a volte si può assistere anche a casi in cui il fare è così finalizzato e costretto da non lasciare spazi all espressione e alla creatività personale. 10

11 L esperienza implica l intelligenza del senso delle cose (Longo, 2015) Quello che caratterizza l esperienza come momento formativo non è il fare come fatto meccanico, ma capire una cosa, un fatto, scoprirne il senso. L esperienza quindi implica l intelligenza del senso delle cose, è fonte di conoscenza a patto di porsi domande e verificare le risposte. 11

12 Dal gesto al pensiero e dal pensiero al gesto (Manara, 2015) Considereremo laboratorio, allora, non solo un luogo e un tempo in cui si compiono azioni riconoscibili dal materiale manipolato, ma ogni volta che le azioni didattiche - anche in classe - sono caratterizzate dalla ricerca di consapevolezza della loro origine e del loro scopo, cioè sono rese razionali non dall oggetto ma dal soggetto. Con questa premessa, possiamo affermare che la matematica è profondamente implicata con l idea del laboratorio, attribuendo consapevolmente a tale parola il doppio «movimento» del pensiero che è necessario a un vero e stabile apprendimento: dal gesto al pensiero e dal pensiero al gesto. 12

13 Il laboratorio Spazio specializzato-ambiente di apprendimentoapproccio didattico? (Zecca, 2016) Quale oggetto del laboratorio? Quale spazio? Quale attività? 13

14 Il laboratorio a partire da una domanda, da una situazione problematica È indispensabile distinguere fra problemi genuini e problemi finti o simulati. È un problema e basta? La domanda suggerisce qualcosa che rientri in qualche situazione di esperienza personale? È il tipo di esperimento che si presterebbe a svegliare l osservazione e a stimolare il tentativo al di fuori della scuola? (Dewey, 1915) 14

15 Il problema e la scuola Processi di scolarizzazione del sapere La matematica è la scienza severa di Euclide e qualcos altro. (Polya, 1967) 15

16 Le idee dei bambini Il problema è qualcosa che dobbiamo risolvere con operazioni, dati, risposta. Io davanti a un problema a volte non riesco subito a risolverlo invece altre volte mi viene subito l operazione e la risposta. Letizia, classe quarta 16

17 Le idee dei bambini Per me un problema è un testo con la domanda e la risposta alla domanda è nascosta nel testo. Per trovare la risposta bisogna fare operazioni tipo +, -, :; x. Alessandro, classe quinta 17

18 L età del pastore Un pastore ha 12 pecore e 6 capre. Quanti anni ha? 18

19 19 Vanessa: Quanti anni ha?! Roberta: Non si può sapere, come facciamo? Federico: Io lo so. Marco: C è scritto quante pecore Francesca S.: 19. Vanessa: 18. Roberta: 18. Martina: Come avete fatto a fare 18? Vanessa: Ho contato gli animali. Insegnante: Conti gli animali e vengono fuori gli anni? Luca: 12 e 6 fa 18. Martina: Fa 18.

20 Insegnante: Ma cosa hai contato? Martina: Ma lui ha contato gli animali, i bambini non possono saperlo quanti anni ha! Federico: Se mettiamo insieme 12 e 6 fa 18. Marco O.: 20. Mattia: Ha 26 anni Insegnante: Se perde un animale Marco: Ne ha 17. Insegnante: Se perde un animale perde anche gli anni? Martina: Non si può, noi non possiamo rispondere, non si sa quale numero mettere. Vanessa. Metto un numero a caso. 20

21 Dopo un laboratorio di giochi matematici: le idee dei bambini Per me un problema è una cosa che per essere risolta ha bisogno di: logica, studio e un minimo di impegno. Inoltre un problema è qualcosa che non si può risolvere da soli perché in classe quelli che ci dà la maestra sono esercizi e non problemi. Quindi un problema non si può risolvere da soli ma un esercizio sì. Alessandro, classe quarta. 21

22 Dopo un laboratorio di giochi matematici: le idee dei bambini Per me un problema cambia significato a seconda della situazione: ad esempio in classe è un esercizio che aiuta a tenersi allenato nella matematica, può diventare una verifica per mettersi alla prova; può diventare un occasione di amicizia quando lo si fa a gruppo. Secondo me bisognerebbe dare nomi diversi a questi tre tipi di problemi perché sono cose molto utili. Per me un problema è giusto quando non è troppo semplice perché se no non serve a niente. Riccardo, classe quinta 22

23 Dopo un laboratorio di giochi matematici: le idee dei bambini Io credo che il problema è una battaglia, un combattimento da eseguire che è talmente difficile che è un impresa. Giovanni, classe quarta 23

24 Il problema e Polya Risolvere problemi significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente raggiungibile. Risolvere problemi è un impresa specifica dell intelligenza e l intelligenza è il dono specifico del genere umano: si può considerare il risolvere problemi come l attività più caratteristica del genere umano. 24

25 Nelle Indicazioni Nazionali Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo a esercizi di carattere ripetitivo o a quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola. Gradualmente, stimolato dalla guida dell insegnante e dalla discussione con i pari, l alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che si intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive. 25

26 Schoenfeld (1992) L istruzione matematica dovrebbe fornire gli studenti di un senso della disciplina, un senso del suo scopo, potere, uso e storia. Dovrebbe dar loro un senso di cosa sia la matematica e di come essa è fatta, ad un livello appropriato in ragione dell esperienza e della comprensione dello studente. Come risultato delle loro esperienze di istruzione, gli studenti dovrebbero apprendere a valutare la matematica e a confidare nelle proprie capacità di fare matematica. 26

27 Una sperimentazione in una classe seconda Maestra, ma il problema è con il più o con il meno? 27

28 Impianto della sperimentazione 28

29 Gruppo sperimentale: 4 classi seconde Test iniziale standard: prove di verifica di primo quadrimestre Gruppo di controllo: 4 classi seconde Test iniziale standard: prove di verifica di primo quadrimestre Trattamento sperimentale: risoluzione di 7 problemi non standard in piccolo gruppo Test finale non standard individuale Test finale non standard individuale Test finale standard: prove di verifica di secondo quadrimestre Test finale standard: prove di verifica di secondo quadrimestre 29

30 Prova non standard Lunedì hanno regalato alla maestra Loriana una caramella ma è troppo poco perché ha 25 alunni. La maestra prova a fare una magia: tocca la caramella con la bacchetta magica e si trova davanti 2 caramelle. Purtroppo questa magia funziona solo una volta al giorno. Martedì mattina tocca le 2 caramelle di nuovo con la bacchetta e se ne trova 4 davanti. Secondo voi, se ha la pazienza di fare una magia ogni giorno con le caramelle che ha, riuscirà giovedì a dare una caramella a ognuno dei suoi alunni? E se non ce la fa giovedì, quando ci riuscirà? 30

31 31 Risultati e analisi della prova non standard

32 Livello 0 Applicazione di modelli standard in una situazione non congrua 32

33 33 Livello 0,25 Accenno all utilizzo di una strategia non convenzionale

34 Livello 0,5 Utilizzo di una strategia non convenzionale ben strutturata 34

35 Livello 0,75 Utilizzo di una strategia convenzionale non conclusa o con imprecisioni 35

36 Livello 1 Utilizzo di una strategia convenzionale strutturata e senza imprecisioni 36

37 Risultati complessivi del gruppo sperimentale Livello 0 0,25 0,5 0,75 1 Numero di bambini 9/69 12/69 32/69 4/69 12/69 Percentuale 13% 17,3% 46,3% 5,7% 17,3% Risultati complessivi del gruppo di controllo Livello 0 0,25 0,5 0,75 1 Numero di bambini 45/79 14/79 14/79 2/79 4/79 Percentuale 56,9% 17,7% 17,7% 2,5% 5% 37

38 Confronto dei risultati del test non standard Percentuale livello 0 Somma delle percentuali livello 0,25 0, 5 0,75-1 Gruppo di controllo 56,9% 43, 1 % Gruppo sperimentale 13 % 87 % percentuale livello Somma delle percentuali livello 0,25-0,5-0, Gruppo di controllo Gruppo sperimentale

39 Confronto dei risultati del test STANDARD Sintesi dei risultati gruppo sperimentale Sintesi dei risultati gruppo di controllo 39

40 40 Laboratori: esempi Dai contenuti alla realizzazione

41 41 Il laboratorio per introdurre nuovi algoritmi

42 42 Il laboratorio per introdurre nuovi algoritmi

43 Il laboratorio dei giochi matematici 6. LA TORTA ALLA FRUTTA (Cat. 4, 5, 6, 7) Paola ha invitato i suoi amici per festeggiare il suo compleanno. Il papà le ha preparato una squisita torta di frutta e, per accontentare tutti, l ha tagliata in fette, della stessa grandezza e con lo stesso numero di frutti su ciascuna fetta. Quando la festa è finita, Paola vede che è rimasta una sola fetta di torta. Su questa fetta conta 17 frutti ed esclama: Hai utilizzato davvero molti frutti per fare la torta, papà! Questa figura rappresenta la fetta di torta, posata sul tavolo, vista dall'alto: Quanti frutti ha utilizzato in tutto il papà di Paola per decorare l intera torta? Spiegate come avete trovato la vostra risposta. Rally matematico transalpino,

44 Il laboratorio dei giochi matematici Giulia: Dovevamo trovare quanti frutti ha utilizzato il papà per decorare l intera torta. Nel testo non c era scritto quante erano le fette di torta e allora noi per trovare il numero abbiamo fatto dei giri. Flavio: per me non è importante il numero di frutti ma le fette. Abbiamo utilizzato il goniometro per girare le fette e scoprire quante ce ne sono. Diego: abbiamo costruito la torta e abbiamo capito quanti erano i bambini. Flavio: i frutti sono 153. Giulia: noi abbiamo messo un foglio sopra la torta disegnata e abbiamo fatto le rotazioni che ci servivano per fare un cerchio, abbiamo continuato a girare, abbiamo unito le righe. Abbiamo fatto 17 per 8 volte. 44

45 Flavio: anche a noi 8 fette! Alessandro: no, 9 perché una fetta avanza. Giacomo: no, si arriva a 360. Maestra: a noi cosa interessa sapere? Yara: ci serve sapere quante fette c erano nella torta. Maestra: quindi erano 8 o 9? Camilla: nel nostro gruppo la risposta è il papà ha tagliato 9 fette e i frutti sono 153. Abbiamo fatto un cerchio che era la torta e abbiamo misurato con il goniometro. 360: è il cerchio, l angolo giro. 45

46 Il laboratorio di origami STORIA, BISOGNI E MATEMATICA, CLASSE SECONDA inserimento di una bambina cinese neoarrivata (percorso di geometria con l utilizzo degli origami) necessità di lavorare sugli aspetti relazionali e sul clima sociale della classe introduzione del disegno geometrico e di un linguaggio specifico della geometria in un contesto di senso 46

47 Incipit I b a m b i n i d e l l a 1 ^ B vorrebbero imparare a fare un origami: come possiamo fare? 47

48 Le proposte dei bambini e le fasi del percorso IL PRODOTTO: costruzione di un piccolo libro con le istruzioni per realizzare un origami (scelta degli origami più semplici da proporre ai bambini più piccoli) realizzazione di un testo regolativo collettivo disegno delle diverse fasi costruzione di una cartelletta origami come dono per i bambini più piccoli per conservare tutti gli origami realizzati per le insegnanti delle classi prime e seconde: incontro per la formazione delle coppie in modo che si potesse instaurare la relazione tutor-tutee incontro con i bambini 48

49 49 il libro delle istruzioni

50 50 la cartelletta origami

51 51 l incontro con i bambini

52 52 Le lettere dei bambini di prima

53 53 Il laboratorio di falegnameria in una classe quarta

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55 55 Fasi del progetto discussione rispetto alla progettazione dello scaffale progettazione su carta dello scaffale in piccolo gruppo (ogni gruppo progetta il proprio scaffale scegliendo forma e misura in base allo scopo del progetto) realizzazione dello scaffale in miniatura (modello da riprodurre successivamente in scala) riflessione sulle misure e la scelta della scala discussione e scelta in grande gruppo dello scaffale da realizzare in una scala più grande in base ai criteri di fattibilità emersi durante la discussione iniziale (deve stare in piedi, dipende dal materiale, l altezza dello scaffale deve essere adeguata anche per un bambino di prima ) realizzazione dello scaffale scelto dal grande gruppo con l aiuto di un genitore esperto: acquisto dei materiali, scelta della scala, attività sulle proporzioni con la finalità di fornire le indicazioni per la realizzazione, costruzione dello scaffale.

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60 Yara: dobbiamo ricordare che non è detto che se il modellino sta in piedi sia altrettanto solido anche ingrandito. Diego: ma non è detto che cada Rebecca: potremmo farlo in modo che non cada, che resista. Diego: volevo dire così: ora faccio una dimostrazione. Si possono utilizzare tanti cubi. Sonia: devono essere aperti per posizionare gli oggetti, oppure potremmo fare anche altre forme. Diego: possiamo fare uno scaffale simile a un cubo, può essere di 21 cm e di 15 cm. Flavio: secondo me è impossibile fare così. Diego: mi spiego meglio, in orizzontale di 21 cm ma lo scaffale vero dovrà essere più grande, per esempio di 60 cm. Antonio G.: per non farlo cadere, come ipotesi, invece di usare tante cose per fare gli appoggi, direi di usarne 4 della stessa grandezza. 60 Progettazione

61 Giacomo: sì, altrimenti diventa tutto storto, se lo tocchi cade e non combacia. Antonio: dovremmo utilizzare 2 assi di legno per farlo più solido. Il modellino vorrei che fosse in verticale 15 cm e in orizzontale 20 cm. Quello vero 1,25 m in altezza e 1,30 m in orizzontale. Riccardo: Dipende anche dal tipo di legno, se usiamo quel legno rischia di spezzarsi. Riccardo: anche se il modellino è perfetto potrebbero esserci dei problemi con quello vero. Giacomo: vorrei dire una cosa su quello che ha detto Riccardo: il materiale non è molto duro, bisogna mettere due assi di legno vicine per farlo più resistente. Giulia P.: per lo scaffale sono troppo piccole le assi di legno che abbiamo. Giulia R.: posso portare un modellino di uno scaffale da casa. Francesca R.: possiamo mettere due pezzi grandi in verticale e uno in orizzontale. 61

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67 Dai modelli alla scelta condivisa Sonia: dobbiamo scegliere il modellino che il papà di Giulia ci aiuterà a realizzare in una scala più grande. I criteri per sceglierlo non sono la bellezza del modellino o il fatto che l abbia fatto il mio amico. Dobbiamo trovare dei criteri che siano utili al papà di Giulia. Antonio G.: uno scaffale bello potrebbe essere delicato, deve essere con molto spazio, deve essere resistente. Devono esserci molte assi per tenerlo, che lo tengano fermo, la base deve essere rinforzata. Giacomo: il mio ha due assi e quindi può tenere più peso, è più spesso. Alessandro: è più confortevole. Sonia: dipenderà anche dal tipo di legno che abbiamo. Diego: Ci sono alcuni scaffali che non possono essere scelti perché hanno le assi storte. Giacomo: anche il mio è storto ma quello non importa perché è solo un modellino, poi il papà di Giulia lo realizzerà dritto. Ci sono altri scaffali invece che sono tagliati molto bene. Sonia: questa cosa è interessante: perché secondo voi è storto? Cosa è successo? Sofia: non hanno usato abbastanza colla e la limatura del legno non era giusta. Giulia P.: è venuto storto perché il legno non ci stava dentro, abbiamo provato a limarlo. Giacomo: ma quello è solo un modellino, diciamolo: tutti i modellini sono un po storti! 67

68 Sofia: magari con altre due o tre lezioni di falegnameria impareremo a tagliare dritto! Sonia: ma siete già stati bravissimi, è giusto far venire fuori le criticità! Rebecca: noi all inizio volevamo farlo dritto, ci aspettavamo di più poi è venuto così. Giacomo: però sono belli! Giulia: il nostro ovviamente poi non verrà così, serviranno i chiodi Sonia: ci sono sicuramente delle rifiniture da fare nel modello grande. Giacomo: questo è come lo schizzo del progetto. Sonia: sì, è un progetto in tre dimensioni. Flavio: tridimensionale. Diego: il modellino di Camilla, Yara e Francesca C. è molto bello, sono state molto precise ma penso che non sia finito, ci può stare Sonia: cosa manca secondo te? Diego: farei un unica barra laterale, altrimenti è troppo impegnativo, farei un unico pezzo, sarebbe stato più veloce. Sonia: sono sicuramente dei suggerimenti, ora ritorniamo ai criteri. Flavio: nello scaffale grande devono esserci due assi per farci stare delle scatole. 68

69 Sofia: per me Giacomo e Ale hanno detto una cosa giusta: deve essere spesso. Giacomo: deve essere solido. Mattia: non deve essere troppo costoso o troppo pesante da spostare. Diego: io sceglierei il modellino spesso perché più cose ci sono, più pesante è. Due assi sono sicuramente più resistenti. Giacomo: è vero che con due assi è più pesante però se i bambini di prima vanno vicino è più facile che lo scaffale si rompa, è quindi meglio che sia un legno unico in modo che sia più sicuro per i bambini piccoli. Sonia: quindi dobbiamo valutare l aspetto economico e anche la sicurezza. Sofia: se decido di farlo spesso il lavoro deve essere preciso altrimenti diventa un pasticcio. Camilla: se decidiamo di farlo spesso senza fare i due strati dobbiamo stare attenti a non metterci cose pesanti. Sonia: quello sicuramente, non possiamo mettere cose pesanti. 69

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73 La valutazione: idee per capire Strumenti di lavoro -l osservazione -l analisi delle pratiche attraverso la discussione -l analisi degli elaborati dei bambini (individuali e di gruppo) -il diario di bordo 73

74 Bibliografia Barbieri S. et al. (2015), Fare Matematica, Pearson, Milano. Bolondi G. (2005), La matematica quotidiana, Mimesis,Milano. Dewey J. (1963), Democrazia e educazione, La Nuova Italia, Firenze. Freinet C. (2002), La scuola del fare, Junior, Bergamo. Longo A. P., Esperienza e apprendimento. Una sinergia anche per la matematica?, in Emmeciquadro n Giugno Manara R., Il laboratorio di matematica: in classe e oltre, in Emmeciquadro n.59-dicembre Nigris E. (2007), Esperienza e didattica. Le metodologie attive, Carocci Editore, Roma. Zecca L. (2016), Didattica laboratoriale e formazione. Bambini e insegnanti in ricerca, Franco Angeli, Milano. Riferimenti per i problemi difficili Bonaiti I. et al. (2006), La formica e il miele, Mimesis, Milano. 74