Sviluppo di una popolazione isolata: modello lineare e non lineare

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1 Sviluppo di una popolazione isolata: modello lineare e non lineare Primo incontro del Progetto Lauree Scientifiche Dipartimento di Informatica Università di Verona Piove di Sacco, 22 dicembre 2005

2 Un pò di storia su Malthus Rev.do Thomas (Robert) Malthus (?/2/ /12/1834), curato inglese ad Albury (vicino ad Oxford), nel suo saggio An Essay on the Principle of Population pubblicato nel 1798, ipotizzò che una popolazione che non ha scambi con l esterno cresce sempre più dei propri mezzi di sussistenza. Aveva delle visioni pessimistiche sia come demografo che come economista.

3 Un pò di storia su Malthus Rev.do Thomas (Robert) Malthus (?/2/ /12/1834), curato inglese ad Albury (vicino ad Oxford), nel suo saggio An Essay on the Principle of Population pubblicato nel 1798, ipotizzò che una popolazione che non ha scambi con l esterno cresce sempre più dei propri mezzi di sussistenza. Aveva delle visioni pessimistiche sia come demografo che come economista.

4 La teoria di Malthus sulla popolazione: I Qualche considerazione matematica. Malthus predisse che la crescita di una popolazione matematicamente è una crescita geometrica, ovvero il tasso di crescita è lineare. Se pertanto x 0 è il numero di individui iniziali, dopo un certo tempo x 1 = x 0 + g x 0, con g scalare, che è detto fattore di crescita (o growth rate). Allora x 1 = (1 + g)x 0, x 2 = (1 + g)x 1 = (1 + g)[(1 + g)x 0 ] = (1 + g) 2 x 0 e al passo k x k = (1 + g) k x 0 g R (1) che si vede subito essere una progressione geometrica di ragione 1 + g. Domanda: come varia la popolazione? Risposta: in funzione di g e del valore iniziale x 0.

5 La teoria di Malthus sulla popolazione: I Qualche considerazione matematica. Malthus predisse che la crescita di una popolazione matematicamente è una crescita geometrica, ovvero il tasso di crescita è lineare. Se pertanto x 0 è il numero di individui iniziali, dopo un certo tempo x 1 = x 0 + g x 0, con g scalare, che è detto fattore di crescita (o growth rate). Allora x 1 = (1 + g)x 0, x 2 = (1 + g)x 1 = (1 + g)[(1 + g)x 0 ] = (1 + g) 2 x 0 e al passo k x k = (1 + g) k x 0 g R (1) che si vede subito essere una progressione geometrica di ragione 1 + g. Domanda: come varia la popolazione? Risposta: in funzione di g e del valore iniziale x 0.

6 La teoria di Malthus sulla popolazione: I Qualche considerazione matematica. Malthus predisse che la crescita di una popolazione matematicamente è una crescita geometrica, ovvero il tasso di crescita è lineare. Se pertanto x 0 è il numero di individui iniziali, dopo un certo tempo x 1 = x 0 + g x 0, con g scalare, che è detto fattore di crescita (o growth rate). Allora x 1 = (1 + g)x 0, x 2 = (1 + g)x 1 = (1 + g)[(1 + g)x 0 ] = (1 + g) 2 x 0 e al passo k x k = (1 + g) k x 0 g R (1) che si vede subito essere una progressione geometrica di ragione 1 + g. Domanda: come varia la popolazione? Risposta: in funzione di g e del valore iniziale x 0.

7 La teoria di Malthus sulla popolazione: I Qualche considerazione matematica. Malthus predisse che la crescita di una popolazione matematicamente è una crescita geometrica, ovvero il tasso di crescita è lineare. Se pertanto x 0 è il numero di individui iniziali, dopo un certo tempo x 1 = x 0 + g x 0, con g scalare, che è detto fattore di crescita (o growth rate). Allora x 1 = (1 + g)x 0, x 2 = (1 + g)x 1 = (1 + g)[(1 + g)x 0 ] = (1 + g) 2 x 0 e al passo k x k = (1 + g) k x 0 g R (1) che si vede subito essere una progressione geometrica di ragione 1 + g. Domanda: come varia la popolazione? Risposta: in funzione di g e del valore iniziale x 0.

8 La teoria di Malthus sulla popolazione: II La successione (o progressione) geometrica (1) converge se e solo se 1 + g < 1 per ogni popolazione iniziale x 0. Ma dobbiamo comprendere che significato dare a convergenza o divergenza. Convergenza quando 2 < g < 0. Se 2 < g 1 allora 1 < 1 + g < 0 e x k sarà negativo per k dispari e positivo altrimenti. Ovvero non sapremo dire nulla. Se g = 1, 1 + g = 0 e quindi x k = 0, k. Se 1 < g < 0, 1 + g < 1 e x k < x 0 ovvero la popolazione si estingue! Ci sono due altri casi da considerare: g = 0. In tal caso la popolazione rimane inalterata x k = x 0, k. Divergenza quando g > 0. Infatti, se 1 + g > 1 che implica x k > x k 1 > > x 0 : la popolazione cresce esponenzialmente.

9 La teoria di Malthus sulla popolazione: II La successione (o progressione) geometrica (1) converge se e solo se 1 + g < 1 per ogni popolazione iniziale x 0. Ma dobbiamo comprendere che significato dare a convergenza o divergenza. Convergenza quando 2 < g < 0. Se 2 < g 1 allora 1 < 1 + g < 0 e x k sarà negativo per k dispari e positivo altrimenti. Ovvero non sapremo dire nulla. Se g = 1, 1 + g = 0 e quindi x k = 0, k. Se 1 < g < 0, 1 + g < 1 e x k < x 0 ovvero la popolazione si estingue! Ci sono due altri casi da considerare: g = 0. In tal caso la popolazione rimane inalterata x k = x 0, k. Divergenza quando g > 0. Infatti, se 1 + g > 1 che implica x k > x k 1 > > x 0 : la popolazione cresce esponenzialmente.

10 La teoria di Malthus sulla popolazione: II La successione (o progressione) geometrica (1) converge se e solo se 1 + g < 1 per ogni popolazione iniziale x 0. Ma dobbiamo comprendere che significato dare a convergenza o divergenza. Convergenza quando 2 < g < 0. Se 2 < g 1 allora 1 < 1 + g < 0 e x k sarà negativo per k dispari e positivo altrimenti. Ovvero non sapremo dire nulla. Se g = 1, 1 + g = 0 e quindi x k = 0, k. Se 1 < g < 0, 1 + g < 1 e x k < x 0 ovvero la popolazione si estingue! Ci sono due altri casi da considerare: g = 0. In tal caso la popolazione rimane inalterata x k = x 0, k. Divergenza quando g > 0. Infatti, se 1 + g > 1 che implica x k > x k 1 > > x 0 : la popolazione cresce esponenzialmente.

11 La teoria di Malthus sulla popolazione: II La successione (o progressione) geometrica (1) converge se e solo se 1 + g < 1 per ogni popolazione iniziale x 0. Ma dobbiamo comprendere che significato dare a convergenza o divergenza. Convergenza quando 2 < g < 0. Se 2 < g 1 allora 1 < 1 + g < 0 e x k sarà negativo per k dispari e positivo altrimenti. Ovvero non sapremo dire nulla. Se g = 1, 1 + g = 0 e quindi x k = 0, k. Se 1 < g < 0, 1 + g < 1 e x k < x 0 ovvero la popolazione si estingue! Ci sono due altri casi da considerare: g = 0. In tal caso la popolazione rimane inalterata x k = x 0, k. Divergenza quando g > 0. Infatti, se 1 + g > 1 che implica x k > x k 1 > > x 0 : la popolazione cresce esponenzialmente.

12 La teoria di Malthus sulla popolazione: II La successione (o progressione) geometrica (1) converge se e solo se 1 + g < 1 per ogni popolazione iniziale x 0. Ma dobbiamo comprendere che significato dare a convergenza o divergenza. Convergenza quando 2 < g < 0. Se 2 < g 1 allora 1 < 1 + g < 0 e x k sarà negativo per k dispari e positivo altrimenti. Ovvero non sapremo dire nulla. Se g = 1, 1 + g = 0 e quindi x k = 0, k. Se 1 < g < 0, 1 + g < 1 e x k < x 0 ovvero la popolazione si estingue! Ci sono due altri casi da considerare: g = 0. In tal caso la popolazione rimane inalterata x k = x 0, k. Divergenza quando g > 0. Infatti, se 1 + g > 1 che implica x k > x k 1 > > x 0 : la popolazione cresce esponenzialmente.

13 La teoria di Malthus sulla popolazione: II La successione (o progressione) geometrica (1) converge se e solo se 1 + g < 1 per ogni popolazione iniziale x 0. Ma dobbiamo comprendere che significato dare a convergenza o divergenza. Convergenza quando 2 < g < 0. Se 2 < g 1 allora 1 < 1 + g < 0 e x k sarà negativo per k dispari e positivo altrimenti. Ovvero non sapremo dire nulla. Se g = 1, 1 + g = 0 e quindi x k = 0, k. Se 1 < g < 0, 1 + g < 1 e x k < x 0 ovvero la popolazione si estingue! Ci sono due altri casi da considerare: g = 0. In tal caso la popolazione rimane inalterata x k = x 0, k. Divergenza quando g > 0. Infatti, se 1 + g > 1 che implica x k > x k 1 > > x 0 : la popolazione cresce esponenzialmente.

14 Esempio x 0 = 100, k = 0, 1,..., 10.

15 Il modello non lineare di Verhlust: I Pierre Verhulst (Brussels, 28/10/ /2/1849) era un matematico che si interessò di biologia e in particolare della legge di crescita di una popolazione. Nel 1838 in Verhulst, P. F. Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement, Corresp. Math. Phys. 10: , propose un nuovo modello di crescita della popolazione, assumendo non più una crescita costante ma con fattore di crescita g(x) = ax + b, a > 0. Partendo da una popolazione iniziale x 0, la (1) al passo k si scriverà come x k+1 = x k + g(x k ) x k = ax 2 k + (1 + b)x k. (2)

16 Il modello non lineare di Verhlust: I Pierre Verhulst (Brussels, 28/10/ /2/1849) era un matematico che si interessò di biologia e in particolare della legge di crescita di una popolazione. Nel 1838 in Verhulst, P. F. Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement, Corresp. Math. Phys. 10: , propose un nuovo modello di crescita della popolazione, assumendo non più una crescita costante ma con fattore di crescita g(x) = ax + b, a > 0. Partendo da una popolazione iniziale x 0, la (1) al passo k si scriverà come x k+1 = x k + g(x k ) x k = ax 2 k + (1 + b)x k. (2)

17 Il modello non lineare di Verhlust: I Pierre Verhulst (Brussels, 28/10/ /2/1849) era un matematico che si interessò di biologia e in particolare della legge di crescita di una popolazione. Nel 1838 in Verhulst, P. F. Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement, Corresp. Math. Phys. 10: , propose un nuovo modello di crescita della popolazione, assumendo non più una crescita costante ma con fattore di crescita g(x) = ax + b, a > 0. Partendo da una popolazione iniziale x 0, la (1) al passo k si scriverà come x k+1 = x k + g(x k ) x k = ax 2 k + (1 + b)x k. (2)

18 Il modello non lineare di Verhlust: II 1 L equazione (2) ha senso se a > 1 e 0 x 1+b popolazione deve essere sempre 0). 2 Il modello è equivalente alla mappa quadratica T : R + R + x T (x) = ax 2 + (1 + b)x. a (perchè la (3) 3 Consideriamo la trasformazione lineare x = (1+b) a y, che mappa l intervallo [0, (1 + b)/a], dove la parabola T (x) 0 in (3), in [0, 1]

19 Il modello non lineare di Verhlust: II 1 L equazione (2) ha senso se a > 1 e 0 x 1+b popolazione deve essere sempre 0). 2 Il modello è equivalente alla mappa quadratica T : R + R + x T (x) = ax 2 + (1 + b)x. a (perchè la (3) 3 Consideriamo la trasformazione lineare x = (1+b) a y, che mappa l intervallo [0, (1 + b)/a], dove la parabola T (x) 0 in (3), in [0, 1]

20 Il modello non lineare di Verhlust: II 1 L equazione (2) ha senso se a > 1 e 0 x 1+b popolazione deve essere sempre 0). 2 Il modello è equivalente alla mappa quadratica T : R + R + x T (x) = ax 2 + (1 + b)x. a (perchè la (3) 3 Consideriamo la trasformazione lineare x = (1+b) a y, che mappa l intervallo [0, (1 + b)/a], dove la parabola T (x) 0 in (3), in [0, 1]

21 Il modello non lineare di Verhlust: III Otteniamo ( ) 1 + b 2 ( ) 1 + b T (y) = a y 2 + (1 + b) y (4) a a Semplificando si ottiene avendo posto κ = (1+b)2 a. T (y) = κy 2 + κy (5)

22 Il modello non lineare di Verhlust: III Otteniamo ( ) 1 + b 2 ( ) 1 + b T (y) = a y 2 + (1 + b) y (4) a a Semplificando si ottiene avendo posto κ = (1+b)2 a. T (y) = κy 2 + κy (5)

23 Il modello non lineare di Verhlust: IV 1 Possiamo allora studiare la mappa discreta x k+1 = κ x 2 k + κ x k, 0 κ 4. (6) 2 Pertanto, partendo da un x 0 (0, 1], scelto un valore di κ [0, 4], itereremo la mappa (6) un certo numero di volte, ottenendo un punto del cosidetto diagramma di Verhlust.

24 Il modello non lineare di Verhlust: IV 1 Possiamo allora studiare la mappa discreta x k+1 = κ x 2 k + κ x k, 0 κ 4. (6) 2 Pertanto, partendo da un x 0 (0, 1], scelto un valore di κ [0, 4], itereremo la mappa (6) un certo numero di volte, ottenendo un punto del cosidetto diagramma di Verhlust.

25 Il modello non lineare di Verhlust: V