Università degli Studi della Basilicata

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1 verstà degl Std dell Bslt FACOLTA' DI INGGNRIA Corso d lre selst Igeger Me Tes d lre Gsdm Modelloe teor e mer d gs ot RLATORI Prof. Aldo Bofglol Dr. Atoo D Agol CANDIDATO Rffele Pee Mtr. 747 IM Ao Ademo

2 Ide Itrodoe... Modello termohmo er gs d lt temertr.... Il lsm Modello termodmo Modello hmo Modello hmo er l r Ft delle roretà termodmhe... Le eqo dell fldodm Le eqo d oservoe qoe d oservoe dell mss.... qoe d oservoe dell qttà d moto....4 qoe d oservoe dell eerg....5 qo d Nver-Stokes qo d lero... 6 Fltto slttg er gs rele Itrodoe.... Aroo Volm Ft.... Aroo Fltto Slttg....4 Deomosoe rtterst delle eqo d lero D Leroe oservtv Geerloe d Vokr-Motgè Dstrboe del resdo Codo l otoro Itrodoe... 66

3 4. Codo l otoro NSCBC Metodo del flsso orrettvo Fltto slttg D er gs rele Itrodoe Deomosoe rtterst delle eqo d lero D er gs rele Leroe oservtv delle eqo d lero D er gs rele Rsltt delle smlo Itrodoe Il Flsso d Rylegh Smlo merhe er flsso d Rylegh D Modello o sorgete vrble Smlo er l modello o sorgete vrble... Colso... 7 Bblogrf... 9 Aede A: Proretà termdmhe dell r... Aede B: Trsformo Jobe... Aede C: Code mero Fortr... 9

4 Itrodoe Negl ltm dee lo stdo teoro e mero de gs ot h vto delle otevol rdte ell mbto delle lo dstrl ed erosl delle teologe he ovolgoo erform he s trovo llo stto d lsm. A s d ò, s è reso eessro svlre modell hm e termodm grdo d revedere mer rt le roretà termodmhe e d trsorto de gs lot dlle odo er rslt vldo l modello d gs erfetto. Nell mggor rte delle lo, e o bo rossmoe, è ossble osderre l lsm odo d eqlbro lole termodmo e hmo: qesto modo o è eessro osderre le reo hmhe mer eslt. L ooe gs ò essere ottet medte l meto d temertr dovto d sorgete d lore o gre d sr elettr, er rte del resete lvoro d tes è stto dedto llo stdo del flsso dmesole, o vsoso, o sorgete ter d lore, oto lettertr ome flsso d Rylegh. A tle soo è stto modfto ode d smloe srtto lgggo FORTRAN he tl l soltore rossmto d Roe [] er smlre flss stor -dmesol. Il ode è stto oortmete modfto gggedov l modello termodmo del lsm, osì ome reetemete roosto d D Agol et l. []. o degl elemet hve ell geerloe del metodo mero è osttto dll leroe oservtv, eessr grtre he he le eqo dsrette oservo mss, eerg e qttà d moto. tldo l ode d smloe osì modfto è stto ossble odrre vltoe omrtv delle tà revsol de de modell: lsm e gs erfetto, l vrre delle odo l ed l otoro. Soo oltre stte mlemette le oorte odo l otoro eessre er smlre degtmete flss sbso. L seod rte del lvoro d tes è osstto ell estesoe dell redett metodolog llo so bdmesole. Il ssggo d de dmeso sl omort otevol omlo d rttere teoro, or rm he mero. Tl roblemthe soo stte ffrotte medte tteto lvoro d rer bblogrf he h ortto ll formloe d orgle modello teoro-mero dtto ll smloe del flsso d lsm omrmbl s retol d lolo mgle trgolr, medte shem mer d dstrboe del resdo o Fltto Slttg [8].

5 Ctolo Modello termohmo er gs d lt temertr 4

6 . Il lsm Co l terme lsm vee dto gs globlmete etro, osttto d see s rhe he etre le ql ossoo essere: elettro, o, tom o moleole. Lo stto d lsm ò essere otteto dedo gs osttto d rtelle etre l feomeo dell ooe er meo d sr elettr o d meto d temertr. rmetro molto mortte er l determoe delle rttersthe d lsm è l grdo d ooe, oss l froe d see ote rsetto lle see totl. lsm he reset grdo d ooe bsso vee detto debolmete oto, metre o he reset grdo d ooe rossmo ll tà vee detto omletmete oto []. Ne gs osttt d see etre, s ssme he le moleole o gl tom tergso tr d loro solo er meo d ollso bre e he qd sego trettore rette tr rto ed l sessvo. Ne lsm l rese d see rhe rede rlevt le tero lgo rggo d to olombo, dovte m elettromget, er sgol rtell rsete otemoremete dell rese d ttte le ltre. A s d tle rtterst le rtelle reset lsm ossoo resetre de mot estremmete omless, rttert d sett ollettv []. Sesso l lsm vee osderto ome l qrto stto dell mter, è mortte sottolere erò he l ssggo d stto d gs etro lsm o reset le dsottà d fse the de ssgg d stto o (gs-lqdo, lqdo-soldo, gs-soldo). () (b) Fgr. Trettore the d rtell etr gs () e d rtell r lsm (b) [] Negl ltm dee le lo dstrl del lsm ho regstrto osderevole svlo. I rtolre teologe svlte mbto metllrgo, ome d esemo l tglo e l sldtr l lsm, o mbto erosle, ome gl sd term er l retro de veol 5

7 sl o l otrollo MD er flss erso, rhedoo modell mer semre ù rt er lo stdo e l smloe del omortmeto s termodmo he fldodmo de lsm. Per molte d tl lo è ossble ssmere l otes d eqlbro lole s hmo he termodmo, è ossble qd modellre l omortmeto del lsm osderdo soltto de vrbl termodmhe, ome d esemo l ressoe o l temertr [].. Modello termodmo All metre dell temertr, l modello vldo er gs lormete erfett rslt degto ohé s dell ttvoe dell eerg vbrole, l dede dell eerg ter dll temertr dvet d to o lere. Alle lte temertre oltre o è ossble osderre l gs emmeo termmete erfetto, ohé l rese d reo hmhe lter l omosoe del gs. Il modo ù geerle d trttre gs rele è qd qello d osderrlo o eqlbro s termo he hmo, tle trttoe omort erò otevol svtgg er qto rgrdo l osto omtole. L trodoe dell otes d eqlbro termohmo lole ermette qd d otteere delle smlo de gs d lt temertr sffetemete rte, o osto omtole reltvmete bsso. D osdero d to termodmo, s ottee he flsso eqlbro termohmo lole reset roretà lol fo d de sole vrbl d stto dedet [4]. Nel modello tlto el resete lvoro, l gs vee osderto ome msel d NC see hmhe, og delle ql vee osdert ome gs termmete erfetto; le roretà termodmhe dell msel vegoo qd esresse foe d qelle delle sgole see. L eerg ter er tà d mss e è r : e e NC (.) T, e ( T) dove e e soo rsettvmete l destà e l eerg ter er tà d mss dell -esm see, T l temertr e l destà dell msel deft ome somm delle destà delle sgole see: Nel resete lvoro verrà dto ome gs rele, gs he o è é termmete e é lormete erfetto. 6

8 N C (.) L eerg ter er tà d mss vee esress dvers mod seod delle see hmhe, d esemo er gs btomo termmete erfetto ò essere esress ome somm dell eerg trslole, rotole, vbrole, elettro e dl lore d formoe, 5 R f e ( T) RT e T el h, (.) / e dove l otrbto vbrole è stto rossmto qello d oslltore rmoo semle, o k r ll temertr vbrole rtterst dell moleol osdert. L h ostte dell see -esm è r R / m, è l ostte versle de gs ed l mss molre dell see. Il otrbto dovto ll eerg elettro vee geerlmete trsrto. Per gs mootomo l eerg ter er tà d mss vee esress ome: m è f e ( T) RT eel, h (.4) metre er elettroe lbero vle l segete esressoe: e ( T) R T h (.5) f L ressoe P ò essere ottet ombdo le eqo d stto er le sgole see hmhe o l legge d Dlto: dove R R R N C N C R T RT P P T, (.6). S ottee qd he l etl dell msel ò essere determt ome: h ht, e P / et, R T (.7) 7

9 Ife s ottee l eqoe dell eerg ter er tà d volme: NC. T, e e T Dlle eqo reedet s eve he le roretà termodmhe dedoo s dll temertr he dll omosoe hm. I odo d eqlbro lole, s T he dedoo soltto d de vrbl termodmhe.. Modello hmo L omosoe hm d msel d gs ò essere determt rsolvedo sstem o lere d N eqo le ogte soo T e C [4]. Somo he l mero d elemet tom, ls gl elettro lber, s essere esress ome sege: N, llor l geer see hm X ò X j N Z Z Z,, j, N (.8) dove j Z d l elemeto j-esmo e, j l mero d elemet j reset ell see. L k-esm reoe vee ò essere esress ome: N C NC r, k X, k X (.9) dove e r,k,k soo rsettvmete oeffet stehometr de reget e de rodott dell k- esm reoe. Dll oservoe de le e delle rhe s ottee l segete reloe: NC, j m NC, j m t, j... N (.) 8

10 dove l esressoe destr rreset l omosoe dell msel d stte fssto t. Ioltre er og reoe è ossble srvere l eqoe d eqlbro segete: K k C N m, N C r, k m k k N C N (.), K k t K è l ostte d eqlbro dell reoe k-esm ll ressoe. k Lo stto termohmo d msel d gs è oto dll rsoloe del sstem d eqo dto dlle (.6 -.). Tl eqo osttsoo sstem otevolmete omlesso d eqo o ler ote tr d loro, l rsoloe ò essere ottet tldo dvers lgortm. Nel resete lvoro è stto osderto l lgortmo resetto d D Agol et l. [], he osste ell rsoloe d eqoe d eqlbro ll volt. L seqe delle reo vee determt rtre dll reoe ù lot dll eqlbro..4 Modello hmo er l r Per lre le relo mostrte elle seo reedet ll r è eessro seglere modello hmo er l omosoe dell r. ssedo l r se omost ll r er l 78.8% V/V d oto, er l.95% V/V d ossgeo e er l restte.97% V/V d rgo ed ltr gs, è ossble osderre l r osttt eslsvmete d oto ed ossgeo. L selt dell rte del modello hmo, oss delle see hmhe d trsrre, dede fortemete d rge d ressoe e d temertr osdert. D segto vegoo mostrt l modell rortt lettertr [4]: L Ar Mtre (AM) è omost dlle seget see etre Ο, Ν,Ο,Ν,ΝΟ legte dlle seget reo hmhe: O O O 9

11 N N N NO N O L Ar Mtre (AM) omrede he le see ote e gl elettro Ο, Ν,Ο,Ν,ΝΟ,ΝΟ, e oltre reset l segete reoe ggtv NO N e L Ar Mtre (AM) è omost dlle seget see Ο, Ν,Ο,Ν,ΝΟ,ΝΟ,Ο, Ν,Ο, Ν,e ed è rttert dlle seget reo hmhe ggtve: O O N N O O N N O N e e e e Tl msele reseto de rge d vldtà lmtt s er qto rgrd l temertr he er qto rgrd l ressoe. Cosderdo rge ù mo è eessro trodrre delle lteror see hmhe metdo osì otevolmete l omlesstà del modello: Msel resett [] Ο, Ν,Ο,Ν,Ο, Ν,Ο, Ν, Ν,Ο, Ν,Ο, Ν 4,Ο 4, ΝΟ,ΝΟ,e Tle msel reset vldtà molto estes s er l temertr he er l ressoe (5-6. K e. tm). Nelle fgre. e. vee mostrt l oetroe delle see hmhe dell msel reedete ll ressoe d br e l vrre dell temertr. S ot

12 ome l resere dell temertr, le oetro delle see trsrte dl modello AM dveto rlevt. Fgr. Froe molre delle see hmhe, d lt oetroe, reset ell r l vrre dell temertr Fgr. Froe molre delle see hmhe, bss oetroe, reset ell r l vrre dell temertr

13 Fgr.4 Froe molre delle see hmhe dell msel AM l vrre dell temertr [4].5 Ft delle roretà termodmhe Il ft delle grdee termodmhe, fo delle see hmhe reset ell r, rge esteso d temertr e ressoe (5 6 K e. tm), rreset roblem omlesso s del omortmeto o mootoo delle vrbl foe dell temertr. Per teere oto d tle omortmeto soo stte trodotte le seget fo []: Gss T ;, e( q ), T T ;, T q (.) Sgmode e( q) T ;,, e( q) e( q) T T ;, T q (.) Fo sel

14 w T T;, e (.4) T T ;,,, w w T ;, w T (.5) T T ;, w L dede delle fo reedet dll ressoe vee esress osderdo rmetr d ft,,, w, ome fo oloml del logrtmo dell ressoe. Il geero rmetro d ft s ò esrmere qd ome j j j log (.6) tldo le fo..4 è ossble esrmere le qttà termodmhe foe d de sole vrbl, l temertr T e l ressoe. L esressoe dell destà kg / m è l segete: P M (.7) RT dove M è l mss molre med kg/ mol esress dll segete reloe: 6 j j M (.8) j Le esresso dell eerg ter sef e J / kg e dell eerg ter er tà d volme J / m s rvo rtre d qell dell etl: h j T j j 7 j T (.9) j j e h (.)

15 e h (.) Fgr.5 Destà l vrre dell temertr er dfferet vlor d ressoe (.,.,,, tm) Fgr.6 tl l vrre dell temertr er dfferet vlor d ressoe (.,.,,, tm) I Aede A vegoo rortt oeffet tlt er ft e od d lolo Mtlb tlt. 4

16 Note le fo,t e,t, è stto ossble vertrle otteedo delle tbelle l ressoe e l temertr soo stte esresse foe dell destà e dell eerg ter er tà d volme: Coosedo,, T, T, T T, form tbellre oltre è stto ossble determre mermete le dervte rl dell ressoe rsetto ll destà, tà d volme, e rsetto ll eerg ter er (.) (.) L rte delle tbelle, oss l mero d od dell grgl, è stt selt mer tle d lmtre l errore d teroloe e otemoremete o omromettere l effe omtole. Fgr.7 Pressoe l vrre dell eerg ter er tà d volme e dell destà 5

17 Tl tbelle soo stte vldte effettdo ofroto o ft ottet d Tehll et l. [5]. I tle rtolo l eqoe d stto tlt è l segete h h e e (.4) e h e. L reloe st er l ft d vee rortt d segto: Y Z YZ Y 4 5 Y Z YZ e 6 Z Y Z Y YZ 7 Z 9 (.5) 8 dove Y log.9 (.6) Z log (.7) I oeffet dell eqoe.5 soo stt rortt ede A. Fgr.8 Pressoe l vrre dell eerg ter er tà d volme e destà ostte( kg/m ), ofroto tr l ft NASA e le Tbelle 6

18 Ctolo Le eqo dell fldodm 7

19 . Le eqo d oservoe Le eqo he govero l fldodm soo bste slle seget legg d oservoe fodmetl:. Coservoe dell Mss. Coservoe del Mometo. Coservoe dell eerg L eqoe slre he s ottee ldo l oservoe dell mss vee dett eqoe d ottà. L oservoe del Mometo o è et ltro he l seod legge d Newto, ertto ess è eqoe vettorle. Ife l eqoe d oservoe dell eerg osste el rmo ro dell termodm. Per hdere l sstem d eqo dervt dlle legg d oservoe è eessro osderre delle relo ggtve tr le roretà del fldo; esemo to è l eqoe d stto he leg tr loro le roretà termodmhe del fldo. Ioltre è eessro sefre le odo l e l otoro. Le legg d oservoe s ossoo esrmere mer del ttto geerle er grdee s slr he vettorl [6]. Cosdermo geero volme d otrollo VC fssto ello so e lmtto d serfe SC, l eqoe d oservoe dell geer qttà Q form eler s ò srvere ome: t VC Qd SC F d S d S d (.) VC V SC S 8 Fgr. Volme d otrollo e serfe d otrollo

20 Nell (.) F rreset l vettore de flss ttrverso l serfe ftesmle d, S V e rreseto l terme sorgete rsettvmete d volme e d serfe ed l vettore ormle ll serfe d. Il vettore de flss s ò somorre terme ovettvo r SS FC Q e terme dffsvo determto dll legge d Fk F D q dove è oeffete d dffsoe, è l destà del fldo ed è tle he q Q. Pohé l volme d otrollo è ostte el temo l dervt rsetto l temo s ò ortre ll tero del sego d tegrle ome sege t VC Qd VC Q d, osderdo oltre l teorem t d Gss è ossble esrmere gl tegrl d serfe reset ell (.) tegrl d volme: VC Q d t SC F d S d S d (.) VC V SC S Qest ltm esressoe ermette d srvere l eqoe d oservoe form dfferele: Q F t S V S S (.) Nel so l qttà oservt s vettore Q, flss e l terme sorgete d serfe dveto de tesor, metre l terme sorgete d volme dvet vettore; s ottegoo qd le seget esresso er le eqo d oservoe form tegrle e dfferele: VC Q d t SC F d VC SV d SS d (.4) SC Q F t S V S S (.5) 9

21 I term ovettv e dffsv del flsso qesto so s esrmoo el modo segete F Q C F q D È mortte sottolere he le eqo (.) e (.4) resto vlde he rese d dsottà delle grdee he rttero l flsso, ome d esemo le ode d rto el so d flsso omrmble. Le forme dfferel (.) e (.5) delle eqo d oservoe soo vlde solo rego le roretà del fldo vro modo oto; er l ssggo dll form tegrle qell dfferele è leto solo sotto l otes he l soloe delle eqo d oservoe s ot.. qoe d oservoe dell mss L eqoe d oservoe dell mss s ottee dll geer legge d oservoe slre (.) sosttedo Q l mss er tà d volme, oss l destà. Cosderdo l fldo omogeeo term sorgete s llo ohé o soo reset reo hmhe, oltre tl so l flsso è dto mete dll omoete ovettv. VC d t SC d (.6) Attrverso l teorem dell dverge s ottee: VC d t VC d (.7) e qd form dfferele t (.8)

22 D Itrodedo l oertore d dervt sostle o ovettv deft ome : s Dt t ottee l segete esressoe o oservtv dell eqoe d ottà D Dt (.9). qoe d oservoe dell qttà d moto Dll seod legge dell dm s ottee he l vroe dell qttà d moto ll tero del volme d otrollo è dt dl flsso dell qttà d moto ttrverso l serfe ù l somm delle fore estere V F get sl volme d otrollo e delle fore S F j get sll serfe d otrollo. Dll eqlbro delle fore get s ò srvere qd form eler l eqoe d oservoe form tegrle VC d t SC d F V j F S j (.) esltdo le fore estere s ottee: VC d t SC d VC fd SC T d (.) dove f rreset l geer for ester gete sll elemeto ftesmo d volme d e T l geero vettore degl sfor get sll elemeto ftesmo d serfe d. L esressoe del tesore degl sfor dede dll tr del fldo osderto, rtolre ssmedo l fldo Newtoo esso è dto dll somm d otrbto dovto ll ressoe sotro e d tesore degl sfor vsos τ ; s ò srvere qd he Sosttedo l esressoe del tesore degl sfor ell (.) s ottee: T I τ. VC d t SC d VC fd SC I d SC τ d (.)

23 L form dfferele dell (.) s ottee ldo l teorem dell dverge ome sege VC t t d τ f VC τ f d (.) (.4) Cosderdo l oertore d dervt sostle e l eqoe d oservoe dell mss s ottee l segete form o oservtv er l eqoe dell qttà d moto D τ f Dt (.5) Nel so d fld Newto l tesore degl sfor vsos τ ò essere esresso dll segete reloe ostttv: I D t e soo de oeffet d vsostà e D τ (.6) Ife dottdo l otes semlftv d Stokes seodo s ottee l osddett eqoe d Nver-Stokes er flss omrmbl.. D f Dt I D (.7).4 qoe d oservoe dell eerg L eqoe d oservoe dell eerg è drett osege del rmo ro dell termodm. L vroe dell eerg totle del fldo oteto el volme d otrollo è r ll somm del lvoro omto sl sstem ell tà d temo L e del lore forto l sstem ell tà d temo Q. I form eler s ò srvere:

24 VC d t SC d L Q (.8) dove e è l eerg ter totle. L ote smbt dl sstem o l mbete estero s ò somorre de omoet, l rm dovt ll oe delle fore d volme L V e l seod dovt ll oe delle fore d serfe L S. L f d e L T d (.9) V VC S SC Alogmete è ossble somorre l ote term smbt dl sstem de term Q S. Il terme Q V e Q V è terme d geeroe d lore ter legto d esemo delle reo hmhe o rsldmet d to ohmo dovt srhe elettrhe, dovto llo smbo termo he vvee ttrverso l serfe d otrollo. Q S è vee terme Q q d e Q Φ d (.) V VC S SC o q s è dto l lore er tà d volme geerto, metre o Φ l flsso termo er tà d re he ttrvers l serfe d otrollo. L legge d Forer ermette d legre l flsso termo, modo roorole l grdete d temertr T medte l segete reloe: Φ kt (.) dove è l odbltà term. Tle oeffete è legto modo roorole ll vsostà dm medte l mero d Prdtl C Pr, er el so d flss vsd l flsso termo Φ è llo. Sosttedo le esresso (.9-.) ell (.8) s gge ll form tegrle dell eqoe d oservoe dell eerg VC d t SC d VC f d SC T d qd SC τ d I d VC SC (.)

25 e ttrverso l teorem d Reyolds s ottee l s form dfferele: t f τ T q (.) Alogmete qto ftto er le eqo d oservoe dell mss e dell qttà d moto, s ò trodrre l oertore d dervt sostle ell (.) otteedo osì l segete form o oservtv er l eqoe d oservoe dell eerg: D f τ T q (.4) Dt lterore formloe ltertv s ottee trodedo l etl totle t f τ T q (.5).5 qo d Nver-Stokes Le eqo (.8), (.4) e (.) vegoo deomte eqo d Nver-Stokes, esse osttsoo l modello d desroe dell dm de fld ù geerle ossble. È ossble esrmere tl eqo mer omtt el segete modo [6]: t F - F S v (.6) dove è l vettore olo (5) delle vrbl oservtve 4

26 F e F v soo de tesor (5) he rreseto rsettvmete flss vsd e vsos F I F v τ T τ ed S è l vettore de term sorgete S f q. f Le eqo desrtte dll (.6) osttsoo set d eqo lle dervte rl o ler ote o soloe lt solo l s rtolr. I rtolre l eqoe d oservoe dell mss è eqoe lle dervte rl del rmo orde d to erbolo, metre le eqo d oservoe dell qttà d moto e dell eerg, s dell rese de term vsos, soo del seodo orde d to rbolo-erbolo. Nelle rego l effetto de term vsos è rlevte, ome d esemo rossmtà delle ret solde, l omortmeto d tl eqo è d to rbolo, metre elle restt rego è d to erbolo. L eqoe (.6) ò essere res dmesole medte oort ormloe delle vrbl fldodmhe, ò ermette d esrmere le eqo d Nver-Stokes foe d l rmetr dmesol ome l mero d Reyolds o l mero d Mh. Ad esemo s ò tlre l segete roedr d ormloe [7]: * * *, y,, y, * *,, V t, t * V, L L T T * * e, e, T V *, V *, * l sterso d le vrbl dmesolte, l de le odo d flsso dstrbto ed L è l grde rtterst del flsso st ell defoe del mero d Reyolds 5

27 6 L V Re. S ottee qd l segete form er le eqo (.) * * * * * S F - F * v * t (.7) dove * * * * * * * * * * * * * * f f S q I * * * * * * * * * * F * * * * * τ τ Pr M T Re * v F (.8) Nelle (.8) soo stte trodotte delle vrbl dmesol ggtve le esresso vegoo rortte d segto * * * * e, * * * *, L V τ τ *, L V * f f, L V q q * C Pr, RT V M.6 qo d lero Dlle eqo (.8) s ot he er vlor del mero d Reyolds elevt term vsos dveto trsrbl, tl so è ossble osderre l flsso vsdo e rvo d smbo termo o l estero. Le eqo he e dervo tle so vegoo dette eqo d lero e reseto omortmeto rmete erbolo. L eqoe (.6) s rde qd ll segete esressoe:

28 7 S F t (.9) Il tesore de flss F ò essere somosto osderdo le se omoet lgo gl ss oordt rtes ome sege Ge y e Fe F (.) Nell (,) vettor F, G ed rreseto le omoet del flsso lgo rsettvmete gl ss, y e. D segto vegoo esltt osderdo le omoet del vettore velotà t w v,, w v F, vw v v G, w vw w (.) s ottee qd l segete esressoe er l eqoe (.9) S G F y t (.) Nel so d flsso omrmble l mo d for estero dovto ll ttroe grvtole o d otrbt rlevt er geerlmete vee trsrto, oltre se o soo reset sorget d lore tere l tero terme sorgete S ò essere trsrto otteedo le eqo d lero omogeee y t G F (.) Nel so dmesole s ottee l segete eqoe

29 t F (.4) Il sstem d eqo defto dll (.9) eesst d reloe ostttv he defs le roretà termodmhe del fldo osderto. Tmete vee osdert l eqoe d stto (OS) del gs, T omgt dll defoe dell eerg ter e e, T. Come è stto gà esosto el rgrfo., le solo delle eqo d oservoe form dfferele devoo essere delle fo d to oto, metre el so dell form tegrle l soloe ò mmettere he delle dsottà d rm see. Per l sstem d eqo form dfferele le solo vegoo dette fort, metre er qello form tegrle vegoo dette debol. Nel so l mo fldodmo mmett delle dsottà, elle vre oe d ottà, s vro dverse solo fort. Tl solo ote dro rordte tr d loro orrsode delle dsottà medte delle oorte relo ote o l ome d odo d Rke-goot. Bsog otre oltre he el so delle eqo d lero roess rreversbl legt lle vsostà o soo reset, ertto è eessro osderre delle lteror odo he ermetto d esldere le solo o fshe; tl odo redoo l ome d odo etrohe. 8

30 Ctolo Fltto Slttg er gs rele 9

31 . Itrodoe Per l rsoloe mer delle eqo d oservoe erbolhe è d fodmetle mort l selt del modello d dsretoe de term ovettv. A seod del to d dsretoe del domo sle o del to d rresetoe fole delle vrbl dedet, s ottegoo dvers t d ro. L roo trdole osste dsretoe Volm Ft (FV) etrt slle elle, e s rresetoe dsot delle vrbl dedet. L teroe tr elle det vee qd modellt osderdo roblem d Rem er og terf. dsretoe sle etrt s vert ttosto he slle elle, ed rresetoe delle vrbl d to oto soo legt l osddetto roo Fltto Slttg (FS) o Resdl Dstrbto (RD). Tle roo reset otevol vtgg er qto rgrd l dsretoe de term ovettv el so mltdmesole. D segto doo breve desroe degl ro FV e FS D verrà resett l geerloe er gs rele del metodo FS er le eqo d lero D e D.. Aroo Volm Ft L roo Volm Ft s bs s dsretoe del to mostrto fgr. [8]. I tle to d dsretoe og volme fto ovvero og ell, vee dvdt modo voo d odo. Nel so dmesole l ell esm è etrt sl odo e vee dvdt d t ;, tl er e h. Il vlore ssto dlle vrbl dedet e od eqvle l vlore medo ell ell orrsodete, oltre l rresetoe fole delle vrbl dedet vee osdert d to lere e dsot trtt, er ll terf soo reset delle dsottà. Segedo tle roo, le eqo d lero D (q..4) ossoo essere rossmte medte l segete forml d dsretoe: F F (.)

32 F e F rreseto vlor de flss lolt rsettvmete ll terfe e. A s dell rresetoe fole dsot, er lolre flss lle terfe è eessro rsolvere l segete roblem d Rem [9] F t, L, R se se (.) Fgr. Dsretoe sle FV D [8] L rsoloe del roblem d Rem el so d eqo d oservoe o ler ò essere ffrott rsolvedo mer rossmt l roblem estto o rsolvedo mer estt roblem rossmto. A qest ltm tegor rtee l ù oosto ed tlto de rsoltor del roblem d Rem oss qello resetto d Roe e rm 8 []. I tle metodo l eqoe d oservoe estt vee sosttt d eqoe rossmt d to lere. Aldo l regol dell te ll eqoe (.) s ossoo rsrvere le eqo d lero ell osddett form qs-lere: t A (.) dove A è l mtre job del vettore de flss

33 F A (.4) Nel metodo d Roe l mtre job estt vee sosttt d mtre ostte A, foe degl stt L e R, s ottee osì l segete roblem d Rem rossmto. t A, L R (.5) A L R deve essere selt mer tle d essere rresettv delle L mtre A, odo lol L e Roe ome Proretà : R, ed oltre deve rsettre l segete set d roretà, deomto d L R (). A, vettorle F A L, R (). osttse loe lere dllo so vettorle llo so h tovlor rel,,,..., m, e orrsodete set d L R tovettor lermete dedet L, R L R (). A A (v). A, se L e m r, r,..., r R soddsf l segete reloe F A L, R (.6) L roretà () ssr he l roblem rossmto oserv l rttere erbolo del sstem o lere orgle. L roretà () ssr l osste o le legg d oservoe, metre l roretà (v) è odoe sffete er ssrre he l metodo s oservtvo. Qest ltm roretà ermette d dervre lgebrmete l mtre A ome foe d o stto medo detto stto medo d Roe tle er s ò srvere A A. Nel so d gs erfetto lo stto medo ò essere defto foe d de sole vrbl, gre ll roretà d omogeetà del rmo grdo dell foe F. Tmete le de vrbl he vegoo selte soo l velotà e l etl totle, s ottee qd he

34 A A, (.7) Sosttedo l (.7) ell (.6) s ottee he le mede e vegoo defte dlle seget esresso []: L L R R (.8) L R L L L R R R (.9). Aroo Fltto Slttg L roo Fltto Slttg o Resdl Dstrbto, otrrmete ll roo FV s bs s rresetoe ot delle vrbl dedet e sl to d dsretoe mostrt fgr.. I tle so le elle reseto ome vert od dell dsretoe, rtolre s ottee he l ell vete de h er vert od lolt e t e ed h qd me r h. Nell toro d og odo dell grgl vee defto volme d otrollo, detto volme d otrollo medo, dvdto d t e e vete me h dove: e [8]. Pohé s ssme he l rresetoe fole s d to oto, l roo FS o rhede l tlo del modello d Rem er l determoe del flsso ll terell. Fgr. Dsretoe sle FS D [8]

35 All bse dell roo FS o RD v soo l oetto d flttoe o resdo e l oetto d segle []. L flttoe vee ssot s ell ed è r ll tegrle de flss lgo l froter dell ell, rreset qd l blo de flss lgo l ell. All eqlbro s ottee he l flttoe è ll er og ell, er s ò ffermre he ess rreset msr d qto s ell s trov lot dll eqlbro. Il segle rreset vee l froe d flttoe he vee vt d o de vert he rod l ell osdert. Cosderdo l eqoe d oveoe slre o velotà ostte w w (.) t s ottee he l flttoe reltv ll ell è r w w d d w t w (.) L dstrboe dell flttoe, oss l determoe de segl d vre od e, vee ftt bse l sego dell velotà. I rtolre l flttoe vee somost omoete ostv e egtv, tl er.,,,, Qd l odo esmo vee vt l flttoe ostv dell ell e qell egtv dell ell, ome mostrto fgr.. 4 Fgr. Dstrboe dell flttoe er l eqoe dell oveoe slre

36 S ottee qd l segete shem d dsretoe er l eqoe (.) w w t (.) t vee selto mer tle d rsettre l ot odoe d stbltà t CFL (.) Per qto rgrd le eqo d lero è ossble lre l metodo svlto er le eqo erbolhe slr osderdo le seget tre fs dstte []: Deomosoe rtterst Leroe oservtv Dstrboe d to wd Nell rm fse l sstem d eqo erbolhe ote fr d loro, osttto dlle eqo d lero, vee trsformto sstem d eqo d oveoe slr. L seod fse osste el determre leroe lole del roblem (.) tle er veg rsettt l odoe (.6). Ife è eessro determre o shem d dstrboe del resdo he s d to wd..4 Deomosoe rtterst delle eqo d lero D S osder le eqo d lero D t F (.4) dove e F 5

37 6 Per gs dele è ossble esrmere l vettore d flss vsd ome foe del vettore delle vrbl oservtve F F el segete modo [8]: F (.5) L.5 è stt ottet osderdo he er gs erfetto vlgoo le seget relo (.6) (.7) e (.8) Dfferedo l (.5) rsetto l vettore delle vrbl oservtve, s ottee l mtre job de flss he omre ell form qs-lere delle eqo d lero (.) A (.9)

38 7 (.) Pohé l sstem (.4) è d to erbolo, l mtre A reset degl tovlor rel e set omleto d tovettor lermete dedet. I rtolre el so dmesole reset seget tre tovlor:,, (.) dove è l velotà del soo e s esrme ome (.) Gl tovlor ossoo essere rresett medte l mtre dgole,, dg Λ. A tl tovlor vegoo ssot degl tovettor destr e sstr rggrt rsettvmete elle mtr R ed L R (.) L (.4)

39 8 Pohé vlgoo le seget relo RΛ AR (.5) ΛL LA (.6) l mtre A ò essere fttort el segete modo: L R A (.7) Tle somosoe ermette d dgolre le eqo d lero D rededole sstem d eqo d oveoe slr. Iftt remoltldo l eqoe (.) er l mtre degl tovettor sstr s ottee t t t ΛL L LA L A L t W Λ W (.8) soo stte defte le vrbl rttersthe W ome: L W (.9) Il set d eqo (.8) è osttto qd d tre eqo slr d oveoe o ote tr loro w t w k k k (.) d l rm rreset l od d etro e le ltre de le ode sthe rsettvmete veloe e let. Le (.) ossoo essere esltte ome sege:

40 t t t t t t (.) (.) (.) Cosderdo l oertore d dervt sostle trodotto el rgrfo., s ò srvere dove k D Dt k :. t k D Dt k w (.4) Fgr. Crve rttersthe el o -t [8] Dll esressoe (.4) s ottee he le vrbl rttersthe resto ostt lgo delle rve he vegoo dette rve rttersthe. Tl rve, el o t, ho tgete r k d dt,, (.5) 9

41 Nel so d gs rele, o geerle el so d gs vete geer eqoe d stto, er oter lolre l mtre job A è eessro esrmere l ressoe ome foe geer delle vrbl oservtve [4]., m, (.6) dove m è l qttà d moto ed è l eerg ter totle er tà d volme. L eqoe (.6) o rreset reloe d to termodmo; ftt el so d gs eqlbro termodmo l ressoe dede soltto d de vrbl termodmhe. srmere l ressoe medte l (.6) ermette qd d determre mer oveete term dll mtre job dedet dll eqoe d stto. Dfferedo l (.6) s ottee d d d mdm (.7) le dervte rl dell ressoe rsetto lle vrbl oservtve soo r :, m,,, m m (.8) m, ssedo l ressoe foe d de sole vrbl termodmhe, ome d esemo l destà e l eerg ter, e, o l destà l eerg ter er tà d volme, he m m, sege (.9) Cosderdo l foe (.6), l vettore de flss vsd s esrme el segete modo: F,,,, m,, (.4) 4

42 4 s ò qd determre l mtre job er l so d gs rele ome sege m m A (.4) Gl tovlor dell mtre A reseto l stess form del so d gs erfetto, s ottee ftt,,,,,, (.4) dove l velotà del soo è esress ome (.4) Gl tovettor destr e sstr dell mtre (.4) vegoo rortt d segto R (.44) S rorto er omlete ssgg lgebr: det I A m m m m m m

43 4 L (.45) Not l mtre degl tovettor sstr è ossble dgolre le eqo d lero he er l so d gs rele otteedo osì l eqoe (.8). Nel so l eqo d lero o so omogeee, oss el so s resete l terme sorgete l eqoe (.8) s srve ome sege S W Λ W t (.46) dove LS S. I tle so le vrbl rttersthe o resto ostt lgo le rve rttersthe, ftt l esressoe.4 dvet l segete k k k s w Dt D (.47) l terme k ŝ d l tsso d vroe dell vrble rtterst k w, lgo l rv rtterst esm k. Le vrbl rttersthe el so d gs rele reseto l stess form del so d gs erfetto. S rorto d segto ssgg lgebr m m m L W m m m m m m

44 4 D segto vee esltto l terme Ŝ s er gs rele f q f q q S (.48) he er gs erfetto f q f q q S (.49) Nel so d flss omrmbl è ossble osderre trsrble l mo d fore estere, otteedo qd le seget esresso semlfte er l (.48) e l (.49) q q q S (.5) q q q S (.5)

45 .5 Leroe oservtv Assmedo rresetoe dell soloe d to lere trtt e d to oto, ome rresetto fgr., è eessro determre leroe dell eqoe (.4) tle er l flttoe reltv lle vrbl oservte Φ s vltt mer estt [] F F Φ d d (.5) t l grdete de flss vee vltto ome sege F d F (.5) tldo l form qs-lere delle eqo d lero (.) è ossble srvere F Φ d A d A (.54) l grdete del vettore delle vrbl oservtve vee medto ell ell ome sege d (.55) ed A è med sll ell dell mtre job de flss, vltt mer tle he veg rsetttl l odoe d oservoe segete F A F F A (.56) 44

46 45 leroe oservtv el seso dell (.56), grtse he osderdo l tero domo d lolo, flss ter s eldo mer tle d lsre solo otrbt l bordo [8] F F A N N (.57) L odoe (.57) vee deft geerlmete ome roretà teleso del resdo ed è fodmetle ffhé lo shem osderto s e d determre orrettmete le vro delle vrbl orrsode d solo dsote ome gl rt. L mtre A vee osdert vltdo l mtre job orrsode d o stto medo μ, foe degl stt de vert dell ell e,, μ A A (.58).5. Stto medo er gs erfetto Per gs erfetto lo stto medo ò essere otteto osderdo l rmetro vettore segete, trodotto d Roe [] Z (.59) Tle selt è rtolrmete oveete ohé og omoete del vettore delle vrbl oservtve e del vettore de flss vsd rslt essere foe blere delle omoet d Z ome esresso dlle (.6) e (.6) (.6) F (.6)

47 46 l ressoe è foe qdrt delle omoet d Z : (.6) S ottee qd he le mtr jobe Z B e Z F C soo fo ler delle omoet d Z : Z B (.6) Z F C (.64) Cosderdo l rmetro vettore o dmeto lere ell ell s ottee he l grdete Z è ostte ed è r : d Z Z Z Z (.65) Cosderdo le eqo (.6-.65) s ottee he grdet med (.5) e (.55) s esrmoo ome sege: d d d Z Z Z Z B Z Z Z Z Z (.66)

48 47 d F F d d Z F Z Z Z F Z C Z Z Z F Z (.67) ssedo B e C ler rsetto Z s ottee he lo stto medo Z è r ll med rtmet tr Z e Z. Z Z Z (.68) Sosttedo le (.66) e l (.67) ell (.56) è ossble otteere qd l esressoe dell mtre A Z B Z A Z C Z F AB Z Z C Z B Z C A Z A (.69) S ò otre ome l (.69) s foe mete de rort e ql odoo o le mede defte dlle (.8) e (.9) R L R R L L Z (.7)

49 48 R L R R L L Z (.7) Lo stto medo er gs erfetto è qd dvdto mete dl vettore,, μ. L deomosoe rtterst del roblem lerto mer oservtvo ò essere otteto vltdo orrsode dello stto medo Z, le esresso lthe resette el rgrfo.4,, (.7) Z R R (.7) l velotà del soo vee esress ome (.74) e vee trodott l destà med R L Z (.75) Ife l mtre degl tovettor sstr è r R Z R L Z L. L flttoe ò essere qd vltt el segete modo d W RΛ F Φ (.76)

50 dove dg,, Λ e LZ W..5. Stto medo er gs rele Nel so d gs rele he reset eqoe d stto geer, o è verft l roretà d omogeetà d rmo grdo dell foe F, er o è ossble dvdre lo stto medo osderdo soltto de vrbl termodmhe ome el so d gs erfetto. Per oter estedere l leroe roost d Roe gs rel soo stt roost lettertr dvers ro. È ossble dstgere tr tl ro de fmgle rl [4]: rm, he omrede l mggor rte de metod roost [5-8], bst s form qs-job dell mtre A, e seod fmgl s osder form strettmete Job dell mtre A. Nel rmo so s soe he l mtre lert s dell form segete A A μ qj (.78) lo stto medo vee ssto ome sege qj m μ,,,, (.79) I tle so A vee dett form qs-job ohé term, e Ê rreseto le dervte dell foe vltte orrsode d o stto medo, m de rmetr ggtv he vegoo trodott dll roedr d leroe. oveete d tle formloe è he le dervte mede dell ressoe, Ê e delle ogte rtfl e qd o oservo l loro sgfto termodmo. Cò ò ortre delle osstee el so tl qttà vego tlte er l determoe d ltre vrbl termodmhe ome l velotà del soo, l qle determ l strttr dell deomosoe rtterst del roblem lerto [9]. I metod he rtegoo ll seod fmgl [4] vegoo ostrt osderdo lo stto medo foe d sole tre vrbl dedet. Geerlmete s soe he lo stto medo s del segete to m m o soo 49

51 dove, qd soo delle vrbl dedet. Aμ A A μ (.8) J J. I qesto so le dervte dell ressoe soo fo dello stto medo e m m (.8) Lo stto medo vee otteto rsolvedo l sstem d eqo dto dll (.56), s ssme he l mtre job bb l form dt dll (.8). Pohé l rm eqoe d tle sstem vee detmete soddsftt ( ) è eessro trodrre eqoe slemetre er oter determre lo stto medo. Tmete s osder l segete eqoe m m (.8) I qesto modo s ottee sstem d tre eqo vet tre ogte, m,. Per gs d lt temertr molto sesso o è dsoble l esressoe lt dell eqoe d stto, er o è ossble tlre metod bst sll formloe strettmete Job. Nel so dell formloe qs-job, lo stto medo o è vomete determto μ,,,, è mggore ohé l mero d ogte defte dl vettore slro del mero d odo esresse dll eqoe (.56). L mosoe dell odoe (.56) qd o bst d sol d ssrre l votà dello stto medo ome vvee el so d gs erfetto, er è eessro osderre delle odo ggtve. Assmedo er e l stess form ottet er gs erfetto s ottee he rmetr ggtv rslto legt tr loro modo lere dll segete esressoe qj m mm (.8) Tle esressoe ermette d rdrre l mero de grd d lbertà dell soloe d tre de. Ife s moe l odoe (.9) tr rmetr, Ê m e 5 (.84) m

52 er morre l osste de rmetr o l loro sgfto termodmo e er rdrre l mero d grd d lbertà dell soloe d o. I segto verrà dmostrto he ssmedo er l eqoe d stto l esressoe geer dt dll (.6), s gge ll stess defoe dello stto medo, r tldo dvers metod. Cosderdo l rmetro vettore defto dll (.59), è ossble otteere l geerloe dell roo orgle d Roe, mostrto el rgrfo.5.. Per oter determre le mtr C e B è eessro oosere l dfferele dell ressoe term de dfferel delle omoet del rmetro vettore [4]. Dll defoe d etl totle s rv he d d( ) d (.85) Sosttedo l (.85) ell (.7) s ottee d d d( ) m d (.86) I term reset ell eqoe (.86) soo flmete esrmbl foe delle omoet del rmetro vettore d d (.87) d d d (.88) d( ) d d (.89) Assmedo he s vld l (.8) s ottee l segete dsretoe ( ) m( ) (.9) e qd 5

53 5 ) ( m m (.9) è stto ssto he l rmetro vettore vr lermete ell ell ome el so d gs erfetto, e qd Z Z Z. Dll (.9) sege mer ble he: ),,, ( m m Z B (.9) ),,, ( m m Z C (.9) fe s ottee l esressoe dell mtre lert,,, m m m B C A Z A (.94) m m qj μ A (.95) e rreseto le sl mede d Roe (.7) e (.7).

54 È ossble ggere ll stess esressoe dello stto medo ottet ttrverso l tlo del rmetro vettore, sosttedo drettmete l esressoe (.95) ell (.56). Per l rm eqoe s ottee l dettà segete: (.96) L seod eqoe è gle ( ) ( ) (.97) m e ò essere rsrtt sdo l (.9) ome sege ( ) ( ) m ( ) ( ) (.98) tldo l (.84) s ottee ( ) ( ) ( ) (.99) L ter eqoe è gle ( ) ( ) (.) m sosttedo l (.8) s ottee ( ) ( ) (.) L (.99) e l (.) reseto ome soloe le stesse esresso (.7) e (.7)ottete er l so d gs erfetto. Ife è ossble determre lo stto medo moedo le seget esso settrl ell eqoe (.56) 5

55 54 r W RΛ F (.) r W R (.) soo gl tovlor dell mtre A esress dll (.95) (.4) r soo orrsodet tovettor destr, rolt elle oloe dell mtre R segete R (.5) e soo le testà delle ode rttersthe, oè le omoet del vettore β : ) ( ) ( L β (.6) R L e. L velotà del soo deft el lolo degl tovlor è r ) ( (.7) Ahe qesto so er e s ottegoo le esresso ottete d Roe er gs erfett.

56 55.5. Determoe delle dervte dell ressoe Per omletre l formloe geerle q roost, è eessro vltre le dervte mede dell ressoe (.8) term delle dervte d oorte vrbl termodmhe bse ll eqoe d stto selt. Nelle odo d eqlbro termodmo lole, l ressoe ò essere rfert d ltre de vrbl termodmhe ttrverso geer eqoe d stto dell form ), ( ),, ( m (.8) dove l vrble ò essere l eerg ter, er tà d mss e o er tà d volme ε, ore l temertr T. A seod dell selt ftt, le dervte dell ressoe (.8) e l mtre Job del flsso ssmoo form dfferete, fledo osì l determoe dello stto medo d Roe. L vltoe delle dervte mede dell ressoe ò essere effettt segedo le fs: Selt dell eqoe d stto ell form (.8); D osdero termodmhe, dedrre le relo: m e D,,,,...,,,, (.9) he soddsfo l (.7); Assmere he le relo (.9) reseto ome vlor med: m e D,,,,...,,,, (.) Iserre le relo (.) ell (.8). Come esemo s osder gs erfetto er vle ) ( m (.)

57 Le dervte dell ressoe soo flmete lolbl m ( ) (.) Soedo he le relo (.) vlgo he er vlor med ed seredole ell (.8) s ottee ( ) ( ) ( ) (.) Dfferedo l (.) e sosttedo ell (.) s rv ( ) ( ) (.4) he è soddsftt ohé vle l eqoe (.). Le dervte sor srtte rovo he er gs erfetto lo stto medo d Roe è defto modo voo e he l formloe geerle dt dlle eqo (.8) e (.95) s rde esttmete llo shem orgle er gs erfetto..6 Geerloe d Vokr-Motgè Nel resete lvoro vee osdert l leroe form qs-job resett d Vokr e Motgè [5], vegoo selte ome vrbl termodmhe dedet l destà e l eerg ter er tà d volme (, ) (.5) Dfferedo l (.5) s ottee d d d (.6) dove 56

58 , (.7) Rorddo he m (.8) s ò esrmere l eqoe d stto ome sege m (.9), Aldo l regol dell dervoe te ll (.9) s ottegoo le dervte dell ressoe ell form dt dll (.9), m, (.) Sosttedo vlor med delle (.) ell eqoe (.8) s ottee m (.) Dll defoe d eerg totle er tà d volme s ottee m (.) Gre ll eqoe (.) term tr retes qdre s eldoo, er s h (.) L reloe (.) rreset l eqvlete dsreto dell (.6), teso ell mbto dell roo qs-jobo. Tle reloe lere o è sffete defre mer vo lo stto medo. 57

59 Per defre modo voo vlor d e, Vokr e Motgè roogoo roedr he tl le formo dte d de stt termodm L e R dvdt orrsode de od ed. Tl stt soo dvdt mete dlle de vrbl termodmhe e. Fgr.4 Possbl erors tr gl stt termodm L ed R Itegrdo l eqoe (.6) lgo o de ossbl erors tr gl stt L ed R e sdo l (.) s rrv lle relo geerl seget [ ( t), ( t)] dt (.4.) [ ( t), ( t)] dt (.4.b) l rmetro t è ormlto modo he t L = e t R =. Come mostrto d Tom [9] lo stto medo dede fortemete dl erorso lgo l qle vee esegt l tegroe. Vokr e Motgé roogoo d tegrre le eqo (.4) lgo l erorso lere defto ome sege: t t t R t R (.5) L estt vltoe degl tegrl (.4) è, geerle, lboros ed rt è eessr rossmoe. S ò esre d rossmre vlor delle dervte qell del to medo 58

60 (, ) (.6.) M M M (, ) (.6.b) M M M lo stto medo è defto d ( R)/ e ( R)/, ore seodo l metodo de tre M L M L ( L )/ (.7.) R ( L )/ (.7.b) R Ife, qdo de stt L ed R soo molto dstt, s ò lre l regol d Smso ( 4 ) / 6 (.8.) L M R ( 4 ) / 6 (.8.b) L M R volt trovt vlor rossmt e è eessro determre vlor e he verfo l (.) e he otemoremete soo l ù vo ossble vlor rossmt. Tle roedr ò essere formlt geometrmete ome roeoe del to (, ) sll rett deft dll eqoe (.). Fgr.5 Proeoe dello stto medo rossmto sll rett (.) 59

61 I rtolre e vegoo deft ome vlor d e he mmo l foe segete f, (.9) s Tle to d mmoe vee selt er ssrre he le dervte mede dell ressoe rsltt so dedet dll ostte rbtrr trodott ell defoe d []. S ottegoo le seget relo D s D (..) D D (..b) soo stt trodott seget rmetr D ( s) ( ) s h (.) dove h è vltto ldo l rodotto h, l stess forml d tegroe st er e. Qdo o tedoo ero, le esresso (.) o dveto sgolr. Qesto ò dere el so s he tedoo ero; el seodo so he l è llo er l roblem o s oe. L selt dell eerg ter er tà d volme e dell destà ome vrbl termodmhe dedet, ermette d mmre l mero d vrbl dedet he devoo essere medte ell ell. I qesto modo, lo stto medo d Roe è defto ome μ,,, (.) VM Bsog rordre he vlor d e geerle o odoo o vlor he s otterrebbero dll tegroe estt delle (.4). Comqe l tegroe rossmt segt dll fse d 6

62 6 roeoe ermette otteere o d vlor d e tl er l odoe (.56) s soddsftt. S rort fe l esressoe dell mtre A VM μ A (.) e dell velotà del soo (.4).7 Dstrboe del resdo volt determto l blo de flss modo oservtvo s og ell è eessro dstrbre l flttoe od seodo o shem d to wd. L deomosoe rtterst ermette d sddvdere l flttoe rfert lle vrbl oservtve Φ tre omoet k he rreseto l blo de flss delle ode rttersthe [8]. Dqe s ò srvere k k k r R φ R Φ (.5) k rreset l flttoe ssot ll esm k od rtterst e vee determt osderdo l eqoe (.) tlt er l eqoe d oveoe slre k k k k k k w d w d t w (.6)

63 Le velotà mede orrsodoo gl tovlor dell mtre job medt ll Roe. L dstrboe vee ftt qd sddvdedo l flttoe ssot d og vrble rtterst rte drett l odo e drett l odo el segete modo φ φ φ Λ W Λ W (.7) dg,, Λ e dsretoe er l (.8): Λ Λ Λ. Dll (.7) s rv l segete shem d t W W Λ W Λ W (.8) Nel so d flsso sbsoo l flttoe orrsodete lle rme de vrbl rttersthe vee vt l odo, metre qell orrsodete ll ter vee vt l odo, ome mostrto fgr (.6). Fgr.6 Dstrboe dell flttoe el so d flsso lolmete sbsoo [8] Per flsso sersoo vee ttte le omoet dell flttoe vegoo vte l odo Fgr.7 Dstrboe dell flttoe el so d flsso lolmete sersoo [8] 6

64 6 Cosderdo l eqoe (.7) è ossble sddvdere l mtre Job de omoet, ostv ed egtv, mer log qto ftto er l mtre degl tovlor Λ. L RΛ A (.9) dove A A A. Dll (.9) è ossble sddvdere l flttoe esress foe delle vrbl oservtve ell omoete drett l odo e o drett l odo A A Φ Φ Φ (.4) s ottee qd lo shem d tegroe temorle esresso foe delle vrbl oservtve A A t (.4) Per l so d gs rele le omoet dell mtre A s esrmoo ome sege:

65 64 Nel so s osder l rese del terme sorgete, le eqo d lero s deomogoo ome esresso dll (.46) k k k k s w t w (.4) L flttoe ssot d og vrble rtterst vee qd lolt ome sege k k k k k k s w d s w d t w (.4) l terme s rreset l terme sorgete medo ell ell, lolto orrsode dello stto medo qj s s μ. Per l terme sorgete esresso dll (.48) s ottee: q q q S (.44) volt determt l flttoe, lo shem d dstrboe è deto qello mostrto er l so d flsso rvo d terme sorgete.

66 Ctolo 4 Codo l otoro 65

67 4. Itrodoe L selt d odo l otoro rorte rreset o de roblem hve er l rsoloe mer delle eqo d Nver-Stokes o d lero. Affhé l soloe delle eqo d oservoe esst e s è eessro seglere odo l otoro er l roblem s be osto; oltre è eessro seglere oort dsretoe, tle d o regdre l rte e l stbltà del metodo d rsoloe tlto ll tero del domo d lolo [6]. Geerlmete vegoo dstte de tegore d odo l otoro: le odo l otoro fshe e le odo l otoro merhe. Le odo l otoro fshe soo legte lle formo he rogo dll estero verso l tero del domo d lolo, rtolre dedoo dlle vrbl ssote lle rttersthe etrt el domo. Le restt odo l otoro vegoo deomte merhe, qto soo legte lle rttersthe set dl domo e qd dedoo dll soloe lolt ll tero del domo. Tl odo l otoro devoo essere selte modo tle d essere osstet o le roretà fshe del flsso, e omtbl o l metodo mero d rsoloe. I fgr 4. e 4. vegoo mostrte le rve rttersthe etrt ed set, rsettvmete er flsso sersoo ed o sbsoo, tbell 4. vee rortto vee l mero d vrbl d morre er flsso dmesole vsdo. Le odo l otoro soo stte mlemette segedo de ro dvers, o bsto sll me delle ode rttersthe e l ltro sll defoe d flsso orrettvo elle elle l bordo. Fgr 4. Crttersthe etrt ed set dl domo er flsso sersoo dmesole [6] 66

68 Fgr 4. Crttersthe etrt ed set dl domo er flsso sbsoo dmesole [6] Iflow Otflow Sbsoo Sersoo Tbell 4. Nmero d odo l otoro fshe 4. Codo l otoro NSCBC Il metodo bsto slle rttersthe è l osddetto metodo NSCBC (Nver-Stokes Chrterst Bodry Codtos), trodotto d Thomso [] e svlto sessvmete d Posot e Lele []. L de bse d tle roo è qell d esrmere le odo l otoro fshe term d mee delle ode etrt el domo d lolo. Per ssrre he l roblem s be osto, le ode set dl domo o devoo essere sefte, m devoo essere lolte rsolvedo sl bordo le stesse eqo d oservoe tlte ll tero del domo d lolo. L determoe delle odo l otoro orrette ò essere ottet medte delle relo d omtbltà tr le vrbl selte ome odo l otoro fshe e l me delle ode etrt. Rferedos lle vrbl rmtve, e s ottegoo, er flsso dmesole vsdo, le seget relo d omtbltà dette LODI (Lol Oe-Dmesol Ivsd) []: 67

69 L L L - t t L L - t L L - (4.) (4.) (4.) dove è l velotà del soo e L, L e ssote rsettvmete lle velotà rttersthe, Le L vegoo dte dlle seget esresso: - L rreseto le mee delle ode rttersthe e. w L (4.4) w L (4.5) w L (4.6) tldo le relo è ossble determre delle relo d omtbltà vlde er ltre grdee ome l temertr, l etro o l etl totle []: T T - t - L s L t T L L (4.7) (4.8) h t M L L - - L M. (4.9) Note le relo d omtbltà è ossble esrmere le odo l otoro fshe term d mee delle ode rttersthe, d esemo fedo rfermeto ll eqoe 4. s ottee - he morre l ressoe ostte odo l bordo eqvle rhedere he L L, ore dll 4.8 s ottee he morre l etro ostte odo l bordo eqvle rhedere he L s llo tle odo. Cosderdo vettor L, L, L rttersthe W w,w,w s ottee: 68 L e l vettore delle vrbl

70 69 W Λ L (4.) dove è l mtre degl tovlor. Medte l 4. è ossble determre l flttoe elle elle l bordo ome: L Λ R A F L L L R W Λ R D segto vegoo rortt l esem d mlemetoe. 4.. Otlet sbsoo Nel so d otlet sbsoo le ode soo ttte set dl domo tre qell ssot ll tovlore, er è eessro sefre sol odoe l otoro fs. I rtolre moedo l ressoe stt ll otlet gle qell del flsso dstrbto, s ottee roblem be osto, er vee selt l segete esressoe er l me dell od rtterst etrte L []: l L (4.) l è dmesoe rtterst del domo d lolo e è rmetro he v selto oortmete. Per vlor d elevt l otlet rslt essere molto rflessvo, rtolre er l otlet rslt essere totlmete rflessvo; er vlor tedet ero s ottee vee otlet erfettmete o-rflessvo.

71 4.. Ilet sbsoo Per let sbsoo le ode rttersthe etrt soo dvdte mete dgl tovlor ostv, er è eessro sefre de odo l otoro. Affhé l roblem rslt be osto bsog fre rtolre tteoe ll selt delle vrbl d sefre ome odo l otoro fshe. I rtolre s dmostr he l selt d e ome odo l otoro fshe dà logo d roblem ml osto [6]; oltre è stto mostrto he flsso sbsoo storo, o re gle ll let e ll otlet, ò overgere solo o he, el so veg seft stess vrble ll let e ll otlet [6]. L selt d ed ome vrbl d sefre ll gresso, vee dà logo d roblem be osto [], er l me delle rttersthe etrt L e L s ò esrmere ome: l L (4.) L (4.4) l Molto sesso er let sbsoo s osdero fsste l temertr totle e l ressoe totle, tl so le mee delle ode rttersthe vegoo esresse ome: l o o L R T T (4.5) l o o L (4.6) 4.. Otlet ed let sersoo Per otlet sersoo le ode rttersthe soo ttte set er o è eessro sefre ess odoe l otoro fs. Nel so d let sersoo è eessro vee ferre l me d ttte le ode rttersthe medte le eqo d omtbltà Fssdo le vrbl rmtve, e s ottegoo le seget relo: 7

72 l L (4.7) L l (4.8) L l (4.9) 4. Metodo del flsso orrettvo Nelle elle l bordo l resdo orretto ò essere otteto gggedo ll flttoe lolt om Φ terme orrettvo orr Φ, tle he le odo l otoro fshe so rsettte: Φ Φ om Φ orr om orr F F F (4.) Nel so le odo l otoro vego esresse term delle vrbl rmtve V,, t, è eessro esrmere l flsso elle elle l bordo foe del grdete del vettore V, mer tle d grtre he l leroe s oservtv F F V Z Z Z Z Z df F dz F d d d (4.) Z d Z V Z ell ell L mtre V Z o è lere rsetto lle omoet del vettore Z, er o è ossble determre l grdete medo d V ell ell semlemete ome V V ottee qd: [], s dv dv d d d ell ell ell V Z dz V d d Z Z Z. (4.) Sosttedo ell eqoe. l esressoe del grdete d Z e dell mtre eslt l esressoe del grdete d V ome sege: Z V Z s 7

73 7 d d ell V V (4.) dove e. Il grdete delle vrbl rmtve ssme l stess esressoe s el so d gs erfetto he el so d gs rele; s ottee ftt he: d d ell V (4.4) Per rgo d semltà esostv vee trodotto l vettore,, V tle er V V. Le destà mede e vegoo osderte rsetto ll ell er l let, e rsetto ll ell er l otlet. Il flsso elle elle l bordo ò essere qd esresso foe delle vrbl rmtve: Ilet b om om b om om b Δ Δ V Q V V Q V V V Q V V Q V V Q F F F b b om om V Q V F F

74 7 Otlet om b om om om b b b V Q V V Q V V V Q V V Q V V Q F F F om b om V Q V F F Il terme orrettvo è qd r : om b orr V Q V F (4.5) b om orr V Q V F. (4.6) I term he reseto l e b s rfersoo lle odo l otoro fshe moste; l mtre Q è r llo Jobo del flsso rsetto l vettore delle vrbl rmtve t,, V lolto orrsode dello stto medo Z Z V F Q Z Q Z V Z Z Z F Z V F Q (4.7) er gs dele s ottee: V F Q. (4.8) Nel so d geer eqoe d stto s ottee vee: m m V F Q (4.9)

75 74 rtolre osderdo l geerloe d Vokr e Motgé l mtre (4.9) s rde ll segete: V F Q (4.) Bsog sottolere he el so d gs rele l mtre Q vee deft ome sege foe s Z he d e. D segto vegoo rortt l esem d mlemetoe er otlet sbsoo o ressoe ostte, ed let sbsoo o destà e velotà ostt. om om b orr Q V Q V F (4.) b l b l b om orr Q V Q V F. (4.)

76 Ctolo 5 Fltto Slttg D er gs rele 75

77 5. Itrodoe Gl shem d to FV etrt slle elle, vegoo estes l so mltdmesole osderdo sere d roblem d Rem lolmete dmesol, lgo le dreo orml lle fe delle elle. Tle to d geerloe reset otevol svtgg s dell tr dmesole del modello fso tlto. L estesoe mltdmesole dell roo FS d ltro to ermette d otteere dsretoe gemete mltdmesole delle eqo d lero mltdmesol []. L trle estesoe dell rresetoe lere ot sst er l so dmesole (fgr.) è qell d osderre grgl osttt d elemet d form trgolre s le vrbl dedet vro mer lere e oto. Fgr 5. Rresetoe fole lere delle vrbl dedet el so bdmesole I fgr 5. vee mostrt l ell elemetre d form trgolre e le orml he dvdo le fe. Le orml lle fe ossoo essere lolte ome sege y j y k e j k e y o j, k, ermtoe rolre dove l vettore, y. dvd l odo esmo. Le orml lle fe soo tl he 76

78 Fgr 5. Cell elemetre e orml lle fe L serfe dell elemeto trgolre ò essere lolto ome: ST 4 (5.) Cosderdo l eqoe slre d oveoe lere D w λ w (5.) t è ossble srvere l grdete dell vrble dedete ome: w S T wds S T wd w (5.) S T I tle so l flttoe sll elemeto trgolre T vee lolt ome T λ wds S λ w (5.4) S T T Sosttedo l (5.) ell (5.4) s ottee er l flttoe l segete esressoe T w λ. 77

79 Fedo rfermeto lle eqo d lero D t F F G t y (5.5) (5.6) l esressoe dell flttoe ssme l segete form: F G y T Φ ds F ds ds (5.7) S T t S T S T Aldo l teorem dell dverge, l flttoe ò essere ottet loldo l segete tegrle rtle S T d Fdy Gd T Φ F (5.8) S T Not l flttoe dell ell T è eessro determre l dstrboe od ome mostrto fgr 5. mer tle he Φ T Φ Φ Φ. T T j T k Fgr 5. Dstrboe dell flttoe D 78

80 Nel resete lvoro verrà ffrott mete l geerloe l so D dell deomosoe rtterst e dell leroe oservtv delle eqo d lero srtte er gs rele, verrà qd trlst l trttoe reltv ll dstrboe dell flttoe od. 5. Deomosoe rtterst delle eqo d lero D er gs rele Per oter determre l strttr rtterst delle eqo 5.5 è eessro determre l form qs lere segete t A (5.9) l mtre job è r A F (5.) sdo l otoe vettorle s ò srvere he l vettore delle vrbl oservtve e l vettore de flss soo r rsettvmete,, e,, F []. Cosderdo l (5.5) è ossble somorre l mtre job A elle se omoet rtese A Ae (5.) Be y dove A e B soo le mtr jobe delle omoet rtese del flsso F e G. L erboltà del sstem d eqo (5.9) ml he l mtre A A (5.) bb tovlor rel ed set omleto d tovettor destr e sstr er og versore e y e y os e se, selto mer rbtrr. y 79