Progettazione strutturale e nuove normative

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1 Progettazione strutturale e nuove normative Corso di aggiornamento Ordine degli ingegneri della provincia di Catanzaro

2 Progetto/verifica agli stati limite di sezioni in c.a. Catanzaro, 16 e 23 febbraio 2007 Aurelio Ghersi

3 Argomento delle lezioni Dalle tensioni ammissibili agli stati limite: Che scelte filosofiche ci stanno sotto? Come si opera? Modo di procedere e formule completamente nuove oppure simili a quelle vecchie? Come cambiano i risultati: in assenza di sisma? e in presenza di sisma?

4 Dalle tensioni ammissibili agli stati limite Catanzaro, 16 febbraio 2007 Aurelio Ghersi

5 Verifica delle sezioni e sicurezza strutturale

6 Quali sono gli obiettivi della progettazione strutturale? Una struttura deve essere progettata e costruita in modo che: Con accettabile probabilità rimanga adatta all uso per il quale è prevista, tenendo nel dovuto conto la sua vita presupposta e il suo costo Con adeguati livelli di accettabilità sia in grado di sopportare tutte le azioni o influenze, cui possa essere sottoposta durante la sua realizzazione e il suo esercizio, e abbia adeguata durabilità in relazione ai costi di manutenzione Eurocodice 2, punto 2.1

7 Come garantire che la struttura sopporti le azioni...? Modello del materiale Modello della struttura Modello dei carichi

8 Materiale Problemi: Incertezze sul valore della resistenza Non linearità del legame costitutivo f y f y

9 Incertezza sulla resistenza provino f y [MPa] Portando a rottura 100 provini si ottengono risultati fortemente diversi A quale fare riferimento?

10 Incertezza sulla resistenza numero di campioni (frequenza) pochi più campioni valore della resistenza f

11 Incertezza sulla resistenza densità di probabilità A quale valore della resistenza ci si deve riferire? frattile 5% = valore al di sotto del quale ricade il 5% dei dati sperimentali Area sottesa = 0.05 (5% dei campioni) valore caratteristico f k molti campioni Area sottesa = 1 (100% dei campioni) valore della resistenza valore medio f m f non cautelativo

12 Incertezza sulla resistenza A quale valore della resistenza ci si deve riferire? f k valore della resistenza f Il riferimento fondamentale è sempre il valore caratteristico

13 Incertezza sulla resistenza provino f y [MPa] Portando a rottura 100 provini si ottengono risultati fortemente diversi 430 MPa A quale fare riferimento? f yk Valore caratteristico frattile 5% = valore al di sotto del quale ricade il 5% dei dati sperimentali

14 Azioni Azioni permanenti G peso proprio, altri carichi che non variano nel tempo Azioni variabili Q carichi variabili di esercizio, carichi da vento o da neve Azioni eccezionali A esplosioni, urti di veicoli, terremoti

15 Incertezza sulle azioni Valori nominali peso di elementi di dimensioni e caratteristiche ben definite Esempio: peso proprio della soletta di un solaio Siamo sicuri che verranno realizzati esattamente come previsto?

16 Incertezza sulle azioni Valori massimi Esempio: massimo carico variabile su un solaio (in base alla destinazione d uso) Siamo sicuri che non saranno mai superati?

17 Incertezza sulle azioni solaio q [kn/m 2 ] Esaminando il sovraccarico massimo in 100 solai per abitazione si trovano valori fortemente diversi A quale fare riferimento?

18 Incertezza sulle azioni densità di probabilità A quale valore delle azioni ci si deve riferire? Area sottesa = 0.95 (95% dei campioni) valore caratteristico F k frattile 95% = valore al di sotto del quale ricade il 95% dei dati sperimentali valore delle azioni F

19 Incertezza sulle azioni A quale valore delle azioni ci si deve riferire? F k valore delle azioni F Il riferimento fondamentale è sempre il valore caratteristico (anche quando non viene indicato esplicitamente)

20 Incertezza sulle azioni solaio q [kn/m 2 ] Esaminando il sovraccarico massimo in 100 solai per abitazione si trovano valori fortemente diversi A quale fare riferimento? 2.0 kn/m 2 q k Valore caratteristico frattile 95% = valore al di sotto del quale ricade il 95% dei dati sperimentali

21 E possibile fare il calcolo utilizzando i valori caratteristici della resistenza e delle azioni? A occhio, non sembra abbastanza sicuro. Ma come si può valutare la probabilità di avere un crollo? Esempio F Per esprimere un giudizio dobbiamo confrontare il momento M S che sollecita la sezione col momento M R che essa può sopportare

22 Probabilità di crollo F Il momento massimo M S che sollecita la sezione dipende dal valore della forza densità di probabilità della forza densità di probabilità del momento sollecitante M S forza momento sollecitante

23 Probabilità di crollo F Il momento massimo M R che la sezione può sopportare dipende dalla resistenza del materiale densità di probabilità della resistenza densità di probabilità del momento resistente M R resistenza momento resistente

24 Probabilità di crollo Confronto tra M S e M R densità di probabilità del momento M S F M R M S M R M 0 p 2, probabilità di avere M R < M S p 1, probabilità di avere M S M 0 momento sollecitante resistente p 1 x p 2 = probabilità di avere M R < M 0 (collasso) Ripetendo per tutti i valori di M 0 si trova la probabilità totale di collasso

25 E possibile fare il calcolo utilizzando i valori caratteristici della resistenza e delle azioni? No, perché la possibilità di avere resistenza inferiore o azioni superiori porta ad un rischio di crollo non sufficientemente basso E necessario applicare coefficienti di sicurezza In che modo?

26 Prima possibilità: applicare un coefficiente di sicurezza alla resistenza Diagrammi sperimentali f ck f uk f yk c Calcestruzzo s Acciaio f ctk Si considerano ammissibili valori delle tensioni molto ridotti rispetto a quelli di rottura c c f ck s s f yk

27 Prima possibilità: applicare un coefficiente di sicurezza alla resistenza Diagrammi di calcolo f ck f uk f yk c Calcestruzzo s Acciaio f ctk Per valori delle tensioni inferiori a quelli ammissibili il legame tensioni-deformazioni è lineare E possibile quindi applicare tutte le formule della teoria di elasticità lineare, il principio di sovrapposizione degli effetti, ecc. ecc.

28 Prima possibilità: applicare un coefficiente di sicurezza alla resistenza Metodo delleverifica tensioni ammissibili La verifica consiste nel calcolare la tensione massima (prodotta dalle azioni, prese col valore caratteristico) M max F M max max e controllare che sia inferiore a quella ammissibile max

29 Seconda possibilità: applicare un coefficiente di sicurezza ai carichi Diagrammi sperimentali f ck f uk f yk Calcestruzzo Acciaio f ctk F Usando i legami costitutivi sperimentali, si valuta il carico che porta a collasso la struttura

30 Seconda possibilità: applicare un coefficiente di sicurezza ai carichi Calcolo a rottura Diagrammi sperimentali f ck f uk f yk Calcestruzzo Acciaio f ctk F Si considera accettabile un carico ridotto rispetto a quello di collasso F k F u Fk F u

31 Terza possibilità: applicare coefficienti di sicurezza sia alla resistenza che ai carichi Si parte da considerazioni probabilistiche densità di probabilità del momento M S M R momento Effettuare i calcoli usando i valori caratteristici, cioè controllare che M Sk M Rk non garantisce una probabilità di crollo sufficientemente bassa M Sk M Rk

32 Terza possibilità: applicare coefficienti di sicurezza sia alla resistenza che ai carichi Si parte da considerazioni probabilistiche densità di probabilità del momento M S M S M R M R Per avere una bassa probabilità di crollo le due distribuzioni di probabilità devono essere ben distinte MM Sk Sk M Sd momento M Rk M Rk M Rd Ciò può essere ottenuto facendo riferimento a valori di carichi e resistenza corrispondenti a differenti probabilità di occorrenza

33 Terza possibilità: applicare coefficienti di sicurezza sia alla resistenza che ai carichi Azioni F d F F k Al posto del valore caratteristico F k (frattile 95%) F k F d azioni F si usa come valore di calcolo F d un frattile più alto (99.5%) Convenzionalmente, si passa dal valore caratteristico al valore di calcolo applicando un opportuno coefficiente di sicurezza

34 Terza possibilità: applicare coefficienti di sicurezza sia alla resistenza che ai carichi Resistenza f cd f ck m f d f k resistenza f Al posto del valore caratteristico f k (frattile 5%) si usa come valore di calcolo f d un frattile più basso (0.5%) Convenzionalmente, si passa dal valore caratteristico al valore di calcolo applicando un opportuno coefficiente di sicurezza

35 Terza possibilità: applicare coefficienti di sicurezza sia alla resistenza che ai carichi Verifica alloverifica stato limite ultimo La verifica consiste nel calcolare le caratteristiche di sollecitazione, prodotta da azioni maggiorate M Sd M Sd F k F d e controllare che siano inferiore a quelle resistenti, determinate con una resistenza ridotta M Sd M Rd

36 Terza possibilità: applicare coefficienti di sicurezza sia alla resistenza che ai carichi Verifica allo stato limite ultimo Le caratteristiche di sollecitazione che la sezione può sopportare devono essere valutate tenendo conto della non linearità del legame costitutivo M Rd f ck f uk f yk f cd Calcestruzzo f yd Acciaio f ctk Le caratteristiche di sollecitazione prodotte dai carichi possono essere valutate con analisi non lineare, ma più comunemente si usa un analisi lineare M Sd

37 ... Tornando agli obiettivi Metodo degli stati limite Sopportare tutte le azioni... cioè evitare il collasso... Verifica allo stato limite ultimo (SLU) Rimanere adatta all uso... ovvero limitare: deformazioni fessurazione (per c.a.) ecc. Verifica allo stato limite di esercizio (SLE)

38 E per strutture in zona sismica... Sopportare tutte le azioni... cioè evitare il collasso nel caso di terremoto con periodo di ritorno molto alto Verifica allo stato limite ultimo (SLU) Rimanere adatta all uso... ovvero limitare i danni nel caso di terremoto con periodo di ritorno più basso Verifica allo stato limite di danno (SLD)

39 Tornando alle azioni... Basandosi su considerazioni probabilistiche F k Usato nel metodo delle T.A. F k azioni F Usato per stati limite di esercizio F k Valore caratteristico (frattile 95%)

40 Tornando alle azioni... Basandosi su considerazioni probabilistiche F k F d F F k F 1.4 per azioni permanenti 1.5 per azioni variabili F k F d azioni F Usato per stato limite ultimo F d Valore di calcolo (un frattile più alto, 99.5%)

41 Tornando alle azioni... o, nel caso del sisma possibilità di superamento FSLD F SLU 50% in 50 anni 10% in 50 anni F SLD azioni F F SLU Valori corrispondenti a differente probabilità di superamento in un tempo assegnato (50 anni)

42 Tornando alle azioni... Inoltre, per azioni variabili F k F d F F k 1 F k 1 dipende dal tipo di carico 1 F k F k F d azioni F carico variabile per abitazione 1 F k Valore frequente (un frattile basso) 0.2 per vento

43 Tornando alle azioni... Inoltre, per azioni variabili F k F d F F k 1 F k 2 F k 2 2 F k F k 1 F k F k F d azioni F 2 2 dipende dal tipo di carico 0.3 c. var. per abitazione 0 per vento Valore quasi permanente (un frattile ancora più basso)

44 Tornando alle azioni... Infine, quando si accoppiano più azioni variabili indipendenti, sia per lo stato limite ultimo... Si usa per l azione meno gravosa un frattile più basso 0 F d 0 F d F d azioni F 0 F d Valore di combinazione (un frattile più basso)

45 Tornando alle azioni... Infine, quando si accoppiano più azioni variabili indipendenti, sia per lo stato limite ultimo... che per gli stati limite di esercizio Si usa per l azione meno gravosa un frattile più basso 0 F k 0 F k F k azioni F c. var. per abitazione 0.6 per vento 0 F k Valore di combinazione (un frattile più basso)

46 Tornando alle azioni... Infine, quando si accoppiano più azioni variabili indipendenti Si usa per l azione meno gravosa un frattile più basso 0 F k o frattili ancora minori 2 F k 1 F k F k azioni F 1 Fk 2 F k

47 Il cemento armato dalle tensioni ammissibili agli stati limite

48 Riferimenti normativi Per il metodo delle tensioni ammissibili: D.M. 14/2/92 Per il metodo degli stati limite: D.M. 9/1/96 (include il NAD per EC2: sezione III della parte prima del D.M.) Eurocodice 2 D.M. 14/9/05

49 Legami costitutivi del materiale Legami sperimentali f ck f uk f yk Calcestruzzo Acciaio f ctk Modelli di comportamento 1 per deformazioni e tensioni molto basse: comportamento elastico lineare calcestruzzo resistente anche a trazione Usato solo per situazioni particolari Ad esempio: fessurazione

50 Legami costitutivi del materiale Legami sperimentali f ck f uk f yk c Calcestruzzo s Acciaio f ctk Modelli di comportamento 2 per deformazioni e tensioni maggiori: comportamento elastico lineare calcestruzzo non resistente a trazione Usato per il metodo delle tensioni ammissibili Ma anche per verifiche S.L.E.

51 Legami costitutivi del materiale Legami sperimentali f ck f uk f yk f cd Calcestruzzo f yd Acciaio f ctk Modelli di comportamento 3 per deformazioni e tensioni ancora maggiori: comportamento non lineare calcestruzzo non resistente a trazione Usato per le verifiche allo stato limite ultimo

52 Calcestruzzo tensione di rottura Possibili valori di riferimento per la tensione di rottura: R ck resistenza di provini cubici usata dalla normativa italiana f ck resistenza di provini cilindrici usata dalla normativa europea (EC2)

53 Relazione tra R ck e f ck Provino cubico Piatto della macchina di prova R ck il provino, compresso, si accorcia e si dilata per attrito tra piatto e provino nascono forze trasversali La presenza di queste forze riduce il rischio di rottura Aumenta la resistenza

54 Relazione tra R ck e f ck Provino cilindrico Piatto della macchina di prova f ck f ck R ck fck R ck La presenza delle forze non influisce sul rischio di rottura il provino, compresso, si accorcia e si dilata; nascono forze trasversali ma la rottura avviene lontano dagli estremi La resistenza è minore

55 Relazione tra R ck e f ck La versione originaria dell EC2 classifica il calcestruzzo in base a entrambe le resistenze C20/25 Resistenza cubica 25 MPa Resistenza cilindrica 20 MPa Secondo il NAD italiano (DM96), si classifica il calcestruzzo in base alla resistenza cubica e da questa si determina la resistenza cilindrica R ck = 25 MPa f ck = 0.83x25 = MPa NOTA BENE: per i parametri meccanici del calcestruzzo fare riferimento alla normativa vigente

56 Legame costitutivo di calcolo del calcestruzzo Legame più realistico con k 1 ( k 2) c f c c k c cu EC2, punto E f c0 c1 c f cm f c c c f c = 20 MPa c1 = cu = cu Si usa solo in casi particolari: analisi plastiche; determinazione della duttilità

57 Legame costitutivo di calcolo del calcestruzzo Legame semplificato f cd c 2 c (2 f cd ) con c cu c cu Si usa per valutare la resistenza della sezione EC2, punto

58 Legame costitutivo di calcolo del calcestruzzo Valore di calcolo della resistenza f cd c f cd f ck c con c c per strutture in c.a. ordinario per strutture in c.a.p c cu Coefficiente che tiene conto della riduzione di resistenza per carichi di lunga durata 0.85 EC2, punto NAD Potrebbe diventare =1 3

59 Legame costitutivo di calcolo del calcestruzzo Esempio Calcestruzzo di classe R ck = 25 MPa f ck = MPa 11 f cd MPa c f cd MPa c cu f cd MPa Si ricorda che c 8.5 MPa

60 Legame costitutivo di calcolo del calcestruzzo Esempio Calcestruzzo di classe R ck = 25 MPa f ck = MPa 11 f cd MPa c f cd MPa c cu f cd MPa Ma che fine ha fatto? Rck fcd MPa 1.9 DM05: f cd

61 Legame costitutivo di calcolo dell acciaio Possibili alternative f uk s 1 - Legame elasticoperfettamente plastico, con limite 10 x 10-3 f yk f yd Acciaio yd su Legame tradizionale EC2, punto

62 Legame costitutivo di calcolo dell acciaio Possibili alternative f uk s 1 - Legame elasticoperfettamente plastico, con limite 10 x 10-3 f yk f yd Acciaio 2 -Legame elastoplastico con incrudimento, con limite 10 x 10-3 yd su Legame poco usato EC2, punto

63 Legame costitutivo di calcolo dell acciaio Possibili alternative f uk s 1 - Legame elasticoperfettamente plastico, con limite 10 x 10-3 f yk f yd Acciaio 2 -Legame elastoplastico con incrudimento, con limite 10 x 10-3 yd su Legame elasticoperfettamente plastico, senza limiti In molti casi può semplificare la trattazione

64 Legame costitutivo di calcolo dell acciaio Valore di calcolo della resistenza f uk f yk s f yd f yk s f yd Acciaio con s 1.15 yd su EC2, punto

65 Legame costitutivo di calcolo dell acciaio Esempio f uk s Acciaio Fe B 44 k f yk = 430 MPa f yd Acciaio Fe B 38 k f yk = 375 MPa f yd MPa MPa f yk 374 f MPa yd yd su Acciaio Modulo elastico E s = MPa Acciaio Fe B 44 k yd Acciaio Fe B 38 k yd

66 Verifica tensioni ammissibili 1 - Analisi dei carichi si utilizzano i valori caratteristici 2 - Risoluzione (analisi strutturale) si utilizza sempre un analisi lineare; si ottengono le caratteristiche di sollecitazione (es. M) 3 - Verifica della sezione si determinano le tensioni massime e le si confronta con quelle ammissibili in alternativa, si determina la massima caratteristica di sollecitazione sopportabile (es M max ) che corrisponde al raggiungimento della tensione ammissibile e la si confronta con quella sollecitante

67 Verifica stato limite ultimo 1 - Analisi dei carichi si utilizzano i valori di calcolo circa 1.45 x quelli caratteristici a volte, analisi non lineare 2 - Risoluzione (analisi strutturale) si utilizza normalmente un analisi lineare; si ottengono le caratteristiche di sollecitazione (es. M Sd ) 3 - Verifica della sezione si determina la massima caratteristica di sollecitazione sopportabile (es M Rd ) che corrisponde al raggiungimento della deformazione limite e la si confronta con quella sollecitante

68 Verifica - confronto T.A. S.L.U. Carichi valori caratteristici valori di calcolo (circa 1.45 maggiori) Risoluzione Verifica solo analisi lineare controllo delle tensioni valutazione di car.soll. massime di solito analisi lineare (car.soll. circa 1.45 maggiori) --- valutazione di car.soll. resistenti (maggiori di quanto?)

69 Sforzo normale

70 Verifica tensioni ammissibili c n n 15 s c c c 0. 7 c c altrimenti la sezione non può portare alcun momento flettente N max 0.7 c ( A c n A s )

71 Verifica stato limite ultimo Quando il legame tensioni-deformazioni non è lineare non è più possibile applicare le formule della Scienza delle costruzioni ma occorre rifarsi direttamente alle condizioni di equilibrio tra tensioni e deformazioni N da M z da y M y da z Trazione Compressione

72 Verifica stato limite ultimo 3 c c f cd c c f cd calcestruzzo s f yd c1 cu f yd c N Rd f cd A c f yd A s acciaio N Rd f la sezione non può portare alcun momento flettente cd 1.25 A c f yd A s yd (consigliata) c1

73 Verifica - confronto TA N max 0.7 A n 0. 7 c c c A s SLU N Rd dei carichi Stesso rapporto 8.8 f cd 1.25 A c 374 f yd A s Rapporto molto maggiore Calcestruzzo di classe R ck = 25 MPa Acciaio Fe B 44 k

74 Verifica - confronto TA N max 0.7 A n 0. 7 c c c A s Allo stato limite ultimo, l acciaio compresso conta molto di più SLU N Rd 8.8 f cd 1.25 A c 374 f yd A s Calcestruzzo di classe R ck = 25 MPa Acciaio Fe B 44 k

75 Progetto tensioni ammissibili c La norma impone A A s c n 15 N max 0.7 c A c (1 n ) Si determina la sezione di calcestruzzo A c N c e poi l armatura A s A c

76 Progetto stato limite ultimo c1 La norma impone che l armatura porti almeno il 15% dello sforzo normale N 0.85 Rd N Sd f cd 1.25 A c f yd 0.15 A s N Sd Si determina la sezione 0.85 N Sd Ac di calcestruzzo f /1. 25 cd e l armatura A s 0.15 f yd N Sd

77 Progetto - confronto Si ipotizza che N Sd (SLU) = 1.45 N (TA) TA La sezione è quasi invariata (7% in meno allo SLU) SLU A A c c N f 1/10.4 1/6.66 cd N c Sd /1.25 A A s s /2493 f yd N A c Sd /833 N c L armatura è molto diversa (circa la metà allo SLU) Calcestruzzo di classe R ck = 25 MPa Acciaio Fe B 44 k

78 Progetto - commento Operando allo stato limite ultimo è possibile ridurre l armatura nelle sezioni soggette a solo sforzo normale o in alternativa - è possibile ridurre la sezione lasciando invariata la percentuale di armatura Questa affermazione non vale in zona sismica, perché le sezioni sono soggette anche a forte momento flettente e devono essere molto resistenti per garantire un comportamento duttile della struttura

79 Esempio - edificio a 6 impalcati

80 Materiali utilizzati Calcestruzzo R ck = 25 MPa E c 5700 R ck MPa 3 2 f ctk R ck 1.62 MPa f cd 11.0 MPa Acciaio Fe B 44 k E s MPa f yd yd MPa

81 Carichi unitari Solaio g k = 5.3 kn/m 2 per TA per SLU g d = 1.4x5.3 = 7.5 kn/m 2 q k = 2.0 kn/m 2 q d = 1.5x2.0 = 3.0 kn/m 2 Balconi g k = 3.9 kn/m 2 q k = 4.0 kn/m 2 g d = 1.4x3.9 = 5.5 kn/m 2 q d = 1.5x4.0 = 6.0 kn/m 2 Tompagno g k = 7.2 kn/m g d = 1.4x7.2 = 10.1 kn/m Travi 30x60 70x24 g k = 3.7 kn/m g k = 2.4 kn/m g d = 1.4x3.7 = 5.2 kn/m g d = 1.4x2.4 = 3.4 kn/m

82 Riepilogo carichi (per pilastri) per TA per SLU Solaio (g+ 0.9 q) 7.1 kn/m kn/m 2 Balconi (g+ 0.9 q) 7.5 kn/m kn/m 2 Tompagno 7.2 kn/m 10.1 kn/m Travi 30x60 70x kn/m 2.4 kn/m 5.2 kn/m 3.4 kn/m

83 Scarico al piano tipo pilastro

84 Scarico al piano tipo pilastro per TA carico solaio m X kn tompagno 6. 0 m X trave em. trave sp m 6. 0 m X 5.2 X per TA kn kn kn kn

85 Scarico al piano tipo pilastro per TA kn

86 Scarico al piano tipo pilastro per TA kn

87 Scarico al piano tipo pilastro per TA kn

88 Dimensionamento pilastro 3 Scarico al piano kn piano N (kn) A c (cm 2 ) sezione Peso proprio medio 14.4 kn kn A c f cd N Sd / Con TA, alla base

89 Dimensionamento pilastro 7 Scarico al piano kn piano N (kn) A c (cm 2 ) sezione Peso proprio medio 21.0 kn kn A c f cd N Sd / Con TA, alla base

90 Dimensionamento pilastro 11 Scarico al piano kn piano N (kn) A c (cm 2 ) sezione Peso proprio medio 24.1 kn kn A c f cd N Sd / Con TA, alla base

91 Dimensionamento pilastro 15 Scarico al piano kn piano N (kn) A c (cm 2 ) sezione Peso proprio medio 11.4 kn kn A c f cd N Sd / Con TA, alla base

92 Armature longitudinali dei pilastri (EC2 punto ) (1) Di regola le barre d armatura devono avere diametro non minore di 12 mm. (2) La quantità minima di armatura longitudinale totale A s,min deve di regola essere determinata con la seguente equazione: dove: 0,15 N A 0, 003 Sd s, min fyd f yd è la tensione di snervamento di calcolo dell armatura; N Sd è la forza di compressione assiale di calcolo; A c è l area della sezione trasversale del calcestruzzo. NOTA BENE: in zona sismica le armature sono maggiori (min 1%) A c

93 Armatura minima nei pilastri (EC ) A A s,min c,nec 0, 15 N f yd cd Sd 0, 85 N f Sd A A s,min c,nec 0, 15 NSd / fyd 0. 0, 85 N / f 176 Sd cd f f cd yd Ad esempio Acciaio FeB 44 K: f yd = N/mm 2 Calcestruzzo R ck 25: f cd = 11.0 N/mm 2 A A s,min c,nec fyd f cd 0. 5%

94 Armature del pilastro 11 al primo ordine 40x70 Armatura minima (su tutta la sezione): A s,min = 0.5% A c = 14.0 cm cm cm cm 2 A s,tot = 15.4 cm 2 > A s,min

95 Armature longitudinali dei pilastri (EC2 punto ) (3) Di regola, anche nelle sovrapposizioni, l area dell armatura non deve essere maggiore di 0,08A c. (4) Le barre longitudinali devono, di regola, essere distribuite lungo il perimetro della sezione. Per pilastri aventi sezione trasversale poligonale, almeno una barra sarà disposta in ogni spigolo. Per pilastri di sezione circolare, il numero minimo di barre è 6.

96 Verifica di sezioni inflesse

97 Verifica tensioni ammissibili c A s x c max s / n n h d c s / n As b Dati: Geometria della sezione Armature Incognite: Posizione dell asse neutro Tensioni massime

98 Verifica tensioni ammissibili c A s x c max s / n N s n N c h d c As s / n N s b Per trovare l asse neutro: S n = 0 (l asse neutro è baricentrico) oppure: N c + N s + N s = 0 (equilibrio alla traslazione)

99 Verifica tensioni ammissibili Equazione di secondo grado, con soluzione: 2 s s s s s s A A n c A A d 2 b 1 1 b A A n x ) ' ( ) ' ( ) ' ( E poi: y I M con: 2 s 2 s 3 x d n A c x n A 3 b x I ) ( ) ( '

100 Verifica stato limite ultimo c A s = u As x cu s f cd n h d c b A s Dati: Geometria della sezione Armature s Incognite: Posizione dell asse neutro Momento resistente

101 Verifica stato limite ultimo c n A s = u As x cu s f cd N s N c h d c A s s N s b Per trovare l asse neutro: N c + N s + N s = 0 (equilibrio alla traslazione)

102 Imporre questa condizione è facile, perché: c A s = u As x cu s f cd N s n h d c s s. f yd A s b yd ' s x c x cu in molti casi s > yd N s = A s f yd

103 Imporre questa condizione è facile, perché: c A s = u As x cu s f cd N s n h d c A s s N s b si ha sempre s > yd N s = A s f yd

104 Imporre questa condizione è facile, perché: c n A s = u As x cu s f cd N s N c h d c A s s N s b Il coefficiente tiene conto del fatto che la tensione nella parte compressa N c = b x f cd non è costante per sezione rettangolare, = 0.810

105 Individuazione dell asse neutro Se s > yd (o quando non vi è armatura compressa) la condizione di equilibrio è una equazione di primo grado, con soluzione: x ( A s A' b In caso contrario diventa una equazione di secondo grado, con soluzione analoga a quella delle tensioni ammissibili s ) f cd f yd x A s cu yd A' s fyd 2 b f cd A s cu yd A' s 2 fyd 2 b f cd 2 cu yd A' s c f yd b f cd

106 Momento resistente c n A s = u As x cu s f cd N s N c x h d c A s s N s b Si determina imponendo l equilibrio alla rotazione (rispetto a un punto qualsiasi) M Rd = N s (d x) + N s (x c) per sezione rettangolare, = 0.416

107 Dati: Sezione Armature Esempio verifica di sezione rettangolare 30x50 A s = 420 A s = 414 M Sd = 160 knm Calcestruzzo R ck = 25 MPa Acciaio FeB44k Procedura: 1 individuazione dell asse neutro (si può ipotizzare che l armatura compressa sia snervata, controllare se è vero e in caso contrario passare all equazione di secondo grado) 2 - determinazione del momento resistente 3 - confronto tra M Sd e M Rd

108 Esempio individuazione dell asse neutro Se l armatura compressa è snervata: x ( A s A' b s ) f cd f yd ( ) cm Con questa posizione dell asse neutro: x c ' x s cu Poiché s > yd la posizione trovata è esatta

109 Esempio calcolo del momento resistente M Rd = N s (d x) + N s (x c) 1 Ns kn 1 N' s kn M Rd [ ( ) ( )] 10 2 M Rd knm Si noti che x c Poiché M Sd è minore di M Rd la sezione è verificata

110 Progetto di sezioni inflesse

111 Progetto tensioni ammissibili c c n x x d c c s / n h d c s / n As b 1 - Si assegna il diagramma di tensioni che si vuole avere nella sezione

112 Progetto tensioni ammissibili c h d c n x N c = b x = 0.5 = c x z c b A s s / n 2 - Si impone l equilibrio alla rotazione rispetto all armatura M = N c z M b d c ( d d) N s braccio della coppia interna z = d x

113 Progetto tensioni ammissibili c h d c c n b A s x s / n 2 - Si impone l equilibrio alla rotazione rispetto all armatura M = N c z M b d c ( d d) Si ottiene: r M con: b d 2 r 2 d r 1 M b ( 1 ) c

114 Progetto tensioni ammissibili c c x x n N c h d z c As s / n N s = A s s b z = d x 3 - Si impone l equilibrio alla rotazione rispetto alla risultante N c M = N s z M A s s z A s M 0. 9 d s

115 Progetto tensioni ammissibili h d c n A s = u As x c s / n x d ' s s c c s x c d x / n c s / n b As Analogamente per sezione a doppia armatura r dipende da u (e da c/d) d A r' s M b M 0. 9 d s

116 Progetto stato limite ultimo c x cu f cd n h d x d cu cu su c b A s s = su 1 - Si assegna il diagramma di deformazioni che si vuole avere nella sezione Il valore scelto per s condiziona la duttilità della sezione Buona duttilità con su = 10 x 10-3

117 Progetto stato limite ultimo c n x cu f cd N c h d c b A s s = su 2 - Dall equilibrio alla rotazione rispetto all armatura si ottiene con: d r r M b N s 1 ( 1 ) f cd

118 Progetto stato limite ultimo c n A s = u As x cu s f cd N s N c h d c A s s = su N s b ovvero, in presenza di doppia armatura d r' M b

119 Progetto stato limite ultimo c n A s = u As x cu s f cd N s N c h d c A s s = su N s b 3 - Dall equilibrio alla rotazione rispetto alla risultante di compressione si ottiene A s M 0. 9 d f yd

120 Duttilità della sezione Un parametro fondamentale nel valutare il modo in cui la sezione giunge al collasso è la duttilità. Duttilità = rapporto tra rotazione ultima e rotazione corrispondente allo snervamento dell armatura tesa Una sezione che presenti una rottura duttile dà chiari segnali di preavviso (elevata fessurazione, notevole incremento della deformazione) che possono mettere in allarme e consentire interventi prima del crollo In zona sismica la capacità di deformarsi plasticamente permette di dissipare con cicli isteretici

121 Duttilità della sezione - esempio Sezione 30x50 u=0.6 M Rd = 300 knm su > 10 x 10-3 x=11.0 cm = Buona duttilità M 300 snervamento SLU c = A s = 11.5 cm sezione 3050 x=11.0 cm 100 u=0.6 A s = 19.2 cm s =

122 Duttilità della sezione - esempio Sezione 30x50 u=0.3 M Rd = 300 knm su = 4.5 x 10-3 x=20.2 cm = Duttilità discreta M 300 snervamento SLU A s = 6.2 cm 2 c = sezione 3050 x=20.2 cm 100 u=0.3 A s = 20.6 cm s =

123 Duttilità della sezione - esempio Sezione 30x50 u=0.08 M Rd = 300 knm su = 1.8 x 10-3 x=30.3 cm = Bassa duttilità M 300 SLU c = A s = 1.9 cm sezione 3050 u=0.08 A s = 23.5 cm 2 x=30.3 cm s =

124 Quanto vale il coefficiente r? Tensioni ammissibili: dipende da calcestruzzo e acciaio per R ck = 25 MPa e FeB44k: r = Stato limite ultimo: dipende solo dal calcestruzzo per R ck = 25 MPa: r =

125 Esempio progetto di sezione a semplice armatura Tensioni ammissibili: M = 115 knm M 115 d r m b M A s cm 0. 9d s 2 uso 30x60 Stato limite ultimo: M Sd = 170 knm M 170 d r m b M A s cm 0. 9df yd 2 uso 30x60

126 Che relazione c è tra r ed r? Sia per TA che per SLU: r ' r 1 s' u con s' ' s s,max u A' A s s Si noti che s dipende principalmente dal copriferro c (o meglio, dal rapporto = c/d) Ma per TA s è sempre basso (meno di 0.5) mentre per SLU s è molto spesso pari a 1 (è minore solo per travi a spessore)

127 Valori di r (R ck = 25 MPa, FeB44k) Tensioni ammissibili Stato limite ultimo = 0.05 = 0.10 = 0.20 = 0.05 = 0.10 = 0.20 u s = 0.43 s = 0.35 s = 0.20 u s = 1.00 s = 1.00 s =

128 Valori di r /r (R ck = 25 MPa, FeB44k) Tensioni ammissibili Stato limite ultimo = 0.05 = 0.10 = 0.20 = 0.05 = 0.10 = 0.20 u s = 0.43 s = 0.35 s = 0.20 u s = 1.00 s = 1.00 s =

129 Contributo dell armatura compressa Il contributo dell armatura compressa nelle verifiche di resistenza allo SLU è diverso da quello fornito nelle verifiche alle TA Come si vede, ciò è dovuto al fatto che nel caso di stato limite ultimo l armatura compressa lavora al massimo o quasi (s 1) mentre nel metodo delle tensioni ammissibili essa ha un tasso di lavoro molto più basso di quello ammissibile (s )

130 Esempio progetto di sezione a doppia armatura (u=0.25) Tensioni ammissibili: M = 115 knm M 115 d r m b era m per u=0 uso 30x60 Stato limite ultimo: M Sd = 170 knm M 170 d r m b era m per u=0 uso 30x50

131 Criteri di buona progettazione (SLU) Per il progetto della sezione assumere un valore r = o (corrisponde a u 25%) Per travi molto basse (a spessore) assumere valori un po maggiori r = (corrisponde a u 25%)

132 Criteri di buona progettazione (SLU) Per il progetto dell armatura tesa considerare un braccio della coppia interna pari a 0.9 d Per sezioni a forte armatura (sconsigliate per la carenza di duttilità) il braccio della coppia interna dovrebbe essere minore (0.8 d)

133 Criteri di buona progettazione (SLU) Per il progetto dell armatura compressa determinare la differenza tra M Sd e momento resistente per u = 0 M 0 bd r 2 2 M M sd M 0 A ' s d M c f yd

134 Prescrizioni sull armatura Armatura minima: A s 0.6 f yk b d 0.15 % b d Armatura massima: A s 3 % b h A ' s 3 % b h

135 Verifica di sezioni soggette flessione composta

136 Verifica tensioni ammissibili c A s c max s / n x h d n c s / n As b Dati: Geometria della sezione Armature Coppia M-N Incognite: Posizione dell asse neutro Tensioni massime

137 Verifica tensioni ammissibili Il procedimento è abbastanza lungo e complesso, perché occorre: Controllare se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo d inerzia - delle sole armature (se N è di trazione) - di armature omogeneizzate e calcestruzzo (se N è di compressione) Imporre la condizione I n = e n S n se il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo (equazione di terzo grado, per sezione rettangolare)

138 Verifica stato limite ultimo c A s = u As cu s f cd x h d n c b A s Dati: Geometria della sezione Armature Coppia M-N s Incognite: Posizione dell asse neutro Momento resistente

139 Verifica stato limite ultimo c A s = u As cu s f cd N s x N c h d n c A s s N s b Per trovare l asse neutro: N c + N s + N s = N Sd (equilibrio alla traslazione) E poi calcolare M Rd, con equilibrio alla rotazione

140 Verifica stato limite ultimo La risoluzione presenta difficoltà analoghe a quelle viste per la flessione semplice Per sezione rettangolare, parzializzata e con armature snervate, si ottiene un equazione di primo grado che ha come soluzione N (A Sd s A' s ) fyd x b f altrimenti si ottiene una equazione di secondo grado Individuato il diagramma, si calcola facilmente il momento resistente M Rd, da confrontare con M Sd cd

141 Domini M-N per flessione composta retta

142 Domini di resistenza tensioni ammissibili Dominio di resistenza, o curva di interazione = insieme delle coppie M-N per cui σ max è uguale a σ Per ricavare una coppia M-N del dominio sezione si assegna un diagramma c c si calcolano M ed N N da M y da

143 Domini di resistenza tensioni ammissibili Dominio di resistenza, o curva di interazione = insieme delle coppie M-N per cui σ max è uguale a σ Per ricavare una coppia M-N del dominio M si calcolano M ed N N M N da y da e si riporta la coppia M N nel diagramma

144 Domini di resistenza tensioni ammissibili Dominio di resistenza, o curva di interazione = insieme delle coppie M-N per cui σ max è uguale a σ Ripetendo con tutti i possibili diagrammi M N si ottiene il dominio completo

145 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni M s s N

146 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni 0 M s s N

147 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni c c M s s N

148 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni M c c 0 N

149 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni M c. 7 0 c N

150 Domini di resistenza tensioni ammissibili Cambiando l armatura, si ottengono tanti diagrammi M A s = 0 N

151 Domini di resistenza stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione = insieme delle coppie M-N per cui ε max è uguale a ε lim Per ricavare una coppia M-N del dominio sezione si assegna un diagramma di ε di σ c cu c f cd si calcolano M ed N N da M y da

152 Domini di resistenza stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione = insieme delle coppie M-N per cui ε max è uguale a ε cu Per ricavare una coppia M-N del dominio M si calcolano M ed N N M N da y da e si riporta la coppia M N nel diagramma

153 Domini di resistenza stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione = insieme delle coppie M-N per cui ε max è uguale a ε cu Ripetendo con tutti i possibili diagrammi M N si ottiene il dominio completo

154 Domini di resistenza stato limite ultimo Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni M N

155 Domini di resistenza stato limite ultimo A su B 0 B A M su C C C cu yd C D cu 0 cu D E N c1 E su

156 Domini di resistenza stato limite ultimo Cambiando l armatura, si ottengono tanti diagrammi M A s = 0 N

157 Domini: confronto tra TA e SLU Il confronto può essere effettuato sovrapponendo i domini ricavati per TA e SLU Poiché i carichi allo SLU sono maggiori (di ) di quelli alle TA, il dominio relativo alle TA deve essere opportunamente scalato (ad esempio x 1,45)

158 Domini: confronto tra TA e SLU M Senza armatura TA SLU N Differenze abbastanza modeste

159 Domini: confronto tra TA e SLU M SLU Con armatura TA N Nessuna differenza in trazione Differenze molto forti in compressione

160 Progetto e verifica allo SLU con i domini M-N (sezioni rettangolari, A s = A s )

161 Dominio M-N allo SLU L andamento delle curve è in più tratti parabolico M punto di massimo A s M s,rd tratti parabolici M c,rd A s = 0 N N s,rd N c,rd

162 Dominio M-N allo SLU Il punto di massimo momento si ottiene derivando M M b x f cd h 2 x 2 A s f yd h 2 c dm dx 0 b f cd h 2 2 x 0 h 119 x h h Il punto di massimo è individuato da N N crd M M crd M srd N c,rd b h f cd M M c,rd s,rd A s b h 2 f (h 2 c) f yd cd

163 Dominio M-N allo SLU M s,rd A s (h 2 c) f yd M punto di massimo M c,rd b h 2 f cd M s,rd M c,rd A s tratti parabolici A s = 0 N Massimo sforzo normale di trazione N 2 A s,rd s f yd N s,rd N c,rd N c,rd b h f cd

164 Valori base per dominio M-N Calcestruzzo Acciaio N N c,rd b h f cd N 2 A s,rd s f yd M M c,rd b h 2 f cd M s,rd A s (h 2 c) f yd

165 Formulazione analitica Momento resistente: M Rd (M c,rd M s,rd ) 1 N N Rd c,rd N N c,rd s,rd m con m 1 N N c,rd c,rd N s,rd

166 Formulazione analitica Verifica di resistenza: M c,rd M Sd M s,rd N N Sd c,rd N N c,rd s,rd m 1 con m 1 N N c,rd c,rd N s,rd

167 Formule alternative per N Sd < 0 (tensoflessione) M M Sd s,rd N N Sd s,rd 1 per 0 < N Sd < N c,rd M Sd M M c,rd s,rd N Sd N N c,rd c,rd 2 1 per N Sd > N c,rd M c,rd M Sd M s,rd N N Sd c,rd N N c,rd s,rd n 1 con n 1 N N c,rd c,rd N s,rd 2

168 Confronto M 600 knm A s = 15 cm 2 rigorosa approssimata eq. unica A s = kn -150 N approssimata eq. a tre tratti -600

169 Esempio verifica a pressoflessione Dati geometrici Sezione 40x70 A s = A s = 3 Ø14 3 Ø cm 2 Materiale Calcestruzzo R ck =25 MPa Acciaio FeB44k 2 Ø14 Sollecitazioni N sd = 1300 kn M sd = 350 knm 3 Ø14

170 Esempio verifica a pressoflessione Valori resistenti del calcestruzzo: N N c,rd c,rd 289 b h f kn cd M M c,rd c,rd b h f knm cd

171 Esempio verifica a pressoflessione Valori resistenti dell acciaio: N s,rd 2 A s f yd N s,rd kn M M s,rd s,rd A s h 2cf knm yd

172 Esempio verifica a pressoflessione knm ) (262.2 N N N N 1 ) M (M M m s,rd c,rd c,rd Rd s,rd c,rd Rd Momento resistente: N N N 1 m s,rd c,rd c,rd Sd M Rd M Sezione verificata

173 Esempio verifica a pressoflessione Oppure: m M c,rd M Sd M s,rd N N Sd c,rd N N c,rd s,rd m Sezione verificata

174 Progetto della sezione Le espressioni possono essere trasformate in formule per il progetto della sezione d r M b Il coefficiente r è in questo caso dipendente da: - sforzo normale adimensionalizzato = N Sd / 2 N c,rd - percentuale geometrica di armatura che si vuole disporre = A s / b h - caratteristiche dei materiali

175 Valori di r =0 =0.002 =0.004 =0.006 =0.008 =

176 Progetto dell armatura Il momento affidato alle armature è M Sd,red M Sd M c,rd 1 N Sd N N c,rd c,rd 2 L armatura necessaria è quindi A s M z Sd,red f yd z è il braccio della coppia interna costituita dalle armature z h 2 c 0.9 d Nota: la formula vale rigorosamente solo per 0 N Sd N c,rd

177 Esempio progetto dell armatura Dati geometrici Sezione 40x70 Sollecitazioni N sd = 1300 kn M sd = 350 knm M Sd,red knm Armatura necessaria: A s cm 2

178 Domini M-N per flessione composta deviata

179 Pressoflessione deviata Procedimento per la costruzione del dominio M y -M z -N - analogo a quello descritto per pressoflessione retta - più complicato per l inclinazione dell asse neutro 0 cu f cd f yd A sz x n y h d c A sy z b A sz A sy yd yd a) deformazioni f yd cls acc b) tensioni

180 Dominio alle TA M y N M z Notare la sezione trasversale: la presenza contemporanea di M y e M z è molto penalizzante

181 Dominio allo SLU M y N M z

182 Dominio allo SLU M y M 600 knm A s = 15 cm N kn -150 N -300 M z

183 Dominio allo SLU M y M M z z,rd p M M y y,rd q 1 Consiglio: usare p = q = 1.5 N M z N 2 N c, Rd = 0.75 = 1 M y = 0 = 0.25 = 0.5 = 0.25 M z

184 Considerazioni Nel calcolare il momento resistente M Rd,y si dovrebbe prendere in considerazione anche l armatura sul lato verticale A s,y e viceversa A s,z

185 Considerazioni Ciò porterebbe ad un incremento del momento resistente M 600 knm A sz = 15 cm 2, A sy = 6 cm A sz = 15 cm 2 A sz = 0, A sy = 6 cm A sz = kn -150 N

186 Considerazioni Ciò porterebbe ad un incremento del momento resistente m sy,rd sz,rd c,rd c,rd Rd sy,rd sz,rd c,rd Rd N N N N N 1 ) M M (M M sy,rd sz,rd c,rd sy,rd c,rd N N N N N 1 m con

187 Considerazioni Contemporaneamente, la presenza di momento nella direzione trasversale riduce il momento resistente N 2 N c,rd = 0.75 = 1 M y M y,rd = 0 = 0.25 = 0.5 = M y,rd M z M z,rd M* z,rd 0.9 M z,rd

188 Indicazioni operative Finché il momento trasversale non è eccessivo, i due effetti si compensano E possibile progettare a pressoflessione retta, separatamente per le due direzioni, e poi effettuare un controllo a pressoflessione deviata

189 FINE Per questa presentazione: coordinamento realizzazione A. Ghersi A. Ghersi, M. Muratore, E. Marino ultimo aggiornamento 15/02/2007