Energia, lavoro e potenza

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1 Energia, lavoro e potenza Energia potenziale gravitazionale Figura 1. Schema di una centrale idroelettrica Nell immagine soprastante osservate uno schema di una centrale idroelettrica. Al di là del funzionamento specifico della centrale, quello che si può notare è che l acqua che fa girare la turbina arriva attraverso una condotta forzata in discesa e quindi si trova, in partenza, a un livello superiore, a una maggiore altezza. Su questa quantità di acqua agisce la forza peso che dipende dalla massa dell acqua. Questa massa di acqua ferma a una certa altezza possiede una quantità di energia nota come energia potenziale gravitazionale in quanto è un energia in potenza e dipende dalla forza peso e quindi dalla gravità. Questa energia dipende anche dall altezza del lago dove viene pescata l acqua rispetto all altezza del lago di svuotamento. L energia potenziale gravitazionale si esprime nel modo seguente: E p =m g h Dove E p è l energia potenziale gravitazionale, m è la massa del corpo, g è l accelerazione di gravità (9.81 m s 2 ) ehèl altezza (in metri) a cui si trova il corpo. L unità di misura dell energia è il Joule (J). 1J =1 kg m2 s 2 L altezza h dipende dal punto di partenza al quale si fa riferimento. Nel caso della centrale l acqua scende da un lago artificiale posto a una certa altezza fino a un lago finale posto a un altezza inferiore. Posso quindi considerare l altezza del lago finale uguale a 0 e quindi h è uguale alla differenza di quota fra i due laghi. Oppure posso ritenere 0 il livello del mare e quindi posso calcolare l altezza come la differenza fra le due quote. 1

2 Esempio 1. Se il lago artificiale si trova 100 metri più in alto di quello di svuotamento allora l altezza è 100 metri. Se il lago artificiale si trova a 2200m sul livello del mare e quello di svuotamento a 2080m sul livello del mare, l altezza sarà di 2200m 2080m=120m. Oltre all energia potenziale gravitazionale vorrei citarvi altri tipi di energia potenziale: quella elastica (quando comprimete una molla), quella chimica racchiusa nei legami chimici e quella di un corpo caldo. Esercizi: Esercizio 1. Un libro di massa 350g si trova su un tavolo alto 60cm. Calcola l energia potenziale posseduta dal libro. Esercizio m 3 di acqua si trovano in un bacino artificiale posto alla quota di 1850m sul livello del mare. Se l energia potenziale di questa massa di acqua è di 3.68GJ calcola la quota sul livello del mare a cui si trova il lago di svuotamento. Energia cinetica Adesso facciamo cadere la massa di acqua (oppure il libro) che all inizio erano fermi. Osserveremo un movimento e quindi i due corpi (acqua, rispettivamente libro) acquistano una velocità che dipende dall accelerazione di gravità. L energia potenziale gravitazionale si sta trasformando in energia di movimento detta anche energia cinetica. Quando l acqua o il libro raggiungono il punto più basso, raggiungono anche la velocità massima prima di fermarsi. In questo punto tutta l energia potenziale gravitazionale si è trasformata in energia cinetica. Possiamo quindi dire che l energia potenziale gravitazionale iniziale è uguale all energia cinetica posseduta al momento di giungere al punto più basso. In altre parole: E p =E c Dove E p è l energia potenziale gravitazionale nel punto più alto e E c è l energia cinetica nel punto più basso subito prima di fermarsi quando la velocità è massima. L energia cinetica mi permette di calcolare la velocità che avrà un corpo a una certa altezza se conosco l altezza di partenza e la massa del corpo. L energia cinetica si esprime nel modo seguente: E c = 1 2 m v2 Dove E c è l energia cinetica, m è la massa e v è la velocità. In pratica, ritornando all esempio del libro: Altezza E p E c Altezza =h m g h 0 1 Altezza =0 0 2 m v2 Tabella 1. Conservazione dell energia Le due energie sono uguali. Di conseguenza posso racchiuderle in una equazione che mi permette sia di derivare la velocità finale se conosco l altezza iniziale, sia di derivare l altezza iniziale se conosco la velocità finale. m g h= 1 2 m v2 2

3 Se conosco h determino v: v= 2 g h Se conosco v determino h: h= v2 2 g In entrambi i casi la massa sparisce, infatti due oggetti che hanno la stessa identica forma ma massa diversa cadono dalla stessa altezza con lo stesso moto uniformemente accelerato e arrivano al suolo con la stessa velocità finale. Esercizi Esercizio 3. Un cubo di metallo di massa 2kg cade da un altezza di 2 metri. Calcola l energia potenziale [ iniziale, m] l energia cinetica finale e la velocità finale J, 4.43 s Esercizio 4. Una pallina da tennis raggiunge il suolo con una velocità di 8.2m/s. Se la massa della pallina da tennis è di 120 grammi calcola l energia cinetica e l altezza da cui è caduta. Esercizio 5. Un sasso di massa 500g è fermo sulla cima di una montagna alta 1000m. Supponendo che non vi siano ostacoli durante la caduta e che la resistenza dell aria sia trascurabile, con che velocità il sasso raggiunge [ m] la base della montagna? 140 s La conservazione dell energia meccanica L energia non può crearsi, non può distruggersi ma può solo trasformarsi. Se quindi ho un corpo in quiete a una determinata altezza, questo corpo possiederà un energia potenziale gravitazionale. Se ii corpo si muoverà acquistando velocità, la sua energia potenziale si trasformerà in energia cinetica senza disperdersi. La somma delle due energie in ogni istante del moto sarà costante in assenza di forze dispersive come l attrito. Questo principio è definito principio di conservazione dell energia meccanica. E meccanica =E p +E c Se ritorniamo all esempio del libro che cade, durante la caduta tutta l energia potenziale si trasforma in energia cinetica nel rispetto del principio sopra esposto. Al momento dell impatto a terra il corpo si ferma e la velocità diventa 0 così come l energia cinetica. Essendo il libro all altezza di 0 anche la sua energia potenziale è 0. Dove è finita tutta l energia contenuta nel corpo? Si è dispersa trasformandosi in calore a causa dell impatto sul terreno e quindi della forza contraria al moto esercitata dal pavimento e uguale in modulo e direzione ma di verso opposto alla forza peso. L energia cinetica si trasforma in calore e quindi il nostro principio diventa più generale. In un sistema chiuso l energia totale viene conservata anche se con forme diverse da quelle iniziali. Se consideriamo l universo come un sistema chiuso allora possiamo dire che tutta l energia dell universo non può crearsi, non può distruggersi, ma può unicamente trasformarsi. Nel tempo tutta l energia si trasformerà in calore che, a causa della continua espansione dell universo, si diluirà in uno spazio sempre maggiore per cui andremo inevitabilmente verso un universo vuoto, privo di vita e freddo. Il lavoro Dopo la positiva conclusione del paragrafo precedente, analizziamo una nuova definizione di energia. L energia può essere definita come la capacità di un corpo di compiere un lavoro. 3

4 Per capire questa definizione dobbiamo capire cosa si intende con lavoro in fisica. Il lavoro è una grandezza fisica derivata che rappresenta lo spostamento dovuto all applicazione di una forza a un corpo. Se sposto un corpo di 1m su una superficie piana applicando una forza pari a 1N, allora la mia forza ha compiuto un lavoro di 1J. 1J =1N 1m Di conseguenza possiamo avere diversi tipi di lavoro. Se la forza si applica nella stessa direzione dello spostamento il lavoro sarà positivo mentre se si applica in direzione opposta il lavoro sarà negativo. Se la forza è perpendicolare alla direzione di spostamento il lavoro è nullo. Quindi tenere in mano una borsa senza salire, scendere o camminare in una qualsiasi direzione equivale a compiere un lavoro nullo anche se abbiamo utilizzato energia muscolare. Se la forza è esattamente parallela allo spostamento e con lo stesso verso il lavoro sarà positivo massimo. L=F s Figura 2. Lavoro massimo Se la forza agisce nel verso dello spostamento, ma con un angolo fra 0 gradi compreso e 90 gradi non compreso, il lavoro sarà positivo ma non massimo. L=F s Figura 3. Lavoro proporzionale alla forza parallela Dove F è la parte di forza parallela allo spostamento. Se la forza è perpendicolare allo spostamento allora il lavoro è nullo. 4

5 Figura 4. Lavoro nullo Le forze come quelle di attrito agiscono nella stessa direzione ma con verso opposto allo spostamento. Se queste forze hanno un angolo di azione superiore a 90 gradi ma inferiore a 180 gradi, allora il lavoro non sarà massimo: Figura 5. Scomposizione delle forze Se l angolo è di 180 gradi allora il lavoro sarà massimo L= F s Figura 6. Lavoro massimo negativo Il lavoro resistente Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, ma verso opposto produce un lavoro resistente (negativo). La forza di attrito produce un lavoro resistente, negativo, come è visibile nella figura sottostante. In questo caso nuovamente si ha: Figura 7. Lavoro negativo dell attrito. L= F s 5

6 In conclusione e schematicamente: forza motrice forza resistente forza lavoro nulla Figura 8. Schema riassuntivo del lavoro per un oggetto in moto Figura 9. Il lavoro Esercizi Esercizio 6. Calcola il lavoro compiuto da una forza di 40N per spostare un corpo di 12 metri se la forza è parallela allo spostamento con un angolo di zero gradi e con un angolo di 45 gradi. [480J,339.41J] Esercizio 7. Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso su un corpo che si sposta in linea retta di 5 metri. Esercizio 8. Calcola il lavoro della forza di attrito su un auto se l intensità della forza è di 400N e l auto si ferma in 20 metri. [8000J] Esercizio 9. Calcolare il lavoro fatto da una forza verticale nello spostamento orizzontale di 1m di un corpo che si muove a velocità costante. 6

7 Energia e lavoro termico Il lavoro può essere convertito in energia termica. Questo succede abbastanza spesso. Per esempio quando si utilizza il freno di un mezzo di trasporto generalmente l energia cinetica viene convertita tramite l attrito del freno in energia termica (calore) che poi viene ceduto all ambiente circostante. Il rapporto tra energia meccanica e termica è stato oggetto di studio di Joule con i suoi esperimenti storici in cui una certa quantità misurabile di energia potenziale / meccanica venga convertita in energia termica. Figura 10. Esperimento di Joule 7

8 Joule misurò l aumento di temperatura dell acqua causato dall attrito delle pale mosse a loro volta dalla caduta del grave. Riusci quindi a definire la legge del calore specifico: L=C sp m T in cui C sp, il cosiddetto calore specifico, è una costante del materiale che riceve l energia ricavata dal lavoro del grave, m è la massa in kg del materiale che riceve il lavoro e T è la differenza di temperatura tra l inizio e la fine del trasferimento di energia ( T =T f T i ). Il valore del C sp dell acqua è estremamente elevato rispetto a quello di molte altre sostanze, ed è, in unità standard internazionali, pari a kj kg K. Nota 2. Si noti come la conversione da energia meccanica a calore avviene in modo facile e completo grazie all attrito. La conversione contraria del calore in energia meccanica invece è difficile ed è impossibile che avvenga in modo quantitativo. Questo perché l energia meccanica è ordinata mentre il calore consiste nel moto caotico delle particelle e ha una forte componente di disordine. Questo disordine viene chiamato in termodinamica entropia. Lo studio in dettaglio di questi fenomeni esula dagli obiettivi di questo corso. Si noti tuttavia come il rendimento massimo di un motore termico (che converte energia termica in energia meccanica) è dato dalla relazione η = T1 T2 T 1 dove T 1 >T 2 (T 1 è la temperatura della sorgente di calore più caldo che cede energia, T 2 la temperatura del bacino ricevente). Per avere un rendimento η=1 sarebbe necessario che T 2 fosse pari a T 2 = 0K e la qual cosa è evidentemente impossibile. Per tutti i motori 2termici un parametro interessante è quindi quello del rendimento, come avremo modo di vedere nell ultima unità didattica. Esercizi Esercizio 10. Calcolare l aumento di temperatura che teoricamente potrebbe avere 1 m 3 di acqua dopo essere caduta per 1000m di quota in un tumultuoso ruscello che converte l energia potenziale in energia termica tramite l attrito del suo flusso turbolento, trascurando totalmente la dispersione di calore verso l ambiente. Se cambiassimo il quantitativo di acqua, cambierebbe la differenza di temperatura? [2.34K, no] 8

9 La potenza La potenza è definita come la quantità di energia trasferita o di lavoro compiuto in un unità di tempo e si misura in Watt (W ). 1W =1 J s La potenza può essere meccanica (dovuta all energia potenziale che si trasforma in energia cinetica che fa spostare un corpo), elettrica (legata al flusso di elettroni) o termica (legata al flusso di calore). La potenza non va confusa con il calcolo del consumo energetico dal punto di vista elettrico. La fattura dell elettricità è calcolata con ii consumo energetico correlato alla potenza e si usa come unità di misura il kwh o chilowattora. In poche parole: P = L t Dove P è la potenza, L è il lavoro e t è il tempo. Esercizi Esercizio 11. Calcola la potenza dovuta a una forza di 200N che sposta un corpo di 5 metri in 2 secondi. [500W] Esercizio 12. Calcola l energia emessa da una lampadina da 100W che rimane accesa per 5 minuti. Esercizio 13. Una macchina con una potenza di W viene usata per spingere un corpo su una strada per 110 m. Il tempo impiegato è di 2 minuti. Calcola la forza applicata dalla macchina ai corpo. [ N] Esercizio 14. Cosa vuol dire avere un utenza elettrica di 2kW? Cosa succede se sono accesi uno scaldabagno (1.8kW) e un frigorifero (0.5kW)? Esercizio 15. Calcola quanto tempo impiega una piastra elettrica di 2.4 kw a scaldare da 25 C fino a 100 C una padella contenente 2.5 kg di acqua, trascurando la dispersione termica. [327s] Esercizio 16. Considerando l esercizio precedente, si calcoli quanta acqua viene usata da una centrale idroelettrica con un salto di 250m per fornire l energia necessaria, considerando un rendimento dell 80% delle turbine e trascurando qualsiasi ulteriore perdita di energia nella filiera. 9

10 Esercizi misti Esercizio Un uomo spinge orizzontalmente un carrello per 15 metri su una superficie priva di attrito, con una forza costante di 10N. Che lavoro compie? Se per percorrere questi 15 metri impiega 30 secondi, qual è la potenza media? Se invece di spingere il carrello orizzontalmente usasse una forza che forma un angolo di 30 con il pavimento, quale sarebbe il lavoro compiuto? [150J, 5W, 130J] Esercizio 18. Calcolare le energie cinetiche di: a) Un rugbista di 110 kg che corre a 8.1 m/s; [3608J] b) Un proiettile di 4.2 grammi che vola alla velocità di 950 m/s; [1895J] c) Una nave di tonnellate che naviga a 32 nodi. (1 tonnellata = 1000 kg, 1 nodo = 1852 metri all ora) [ J] Esercizio 19. Un oggetto di 10 kg si sta inizialmente muovendo in linea retta alla velocità di 5 m/s, su un piano privo di attrito. Viene applicata una forza parallela alla direzione del moto, ma verso opposto, per rallentare l oggetto, che si ferma 2 metri più avanti. Qual era l intensità di tale forza? [62.5N] Esercizio 20. Se nell esercizio precedente ci fosse stato attrito (kad = 0.4), quale sarebbe stata l intensità della forza? [23.3N] Esercizio 21. Un alpinista raggiunge un rifugio dopo una camminata di 700 metri di dislivello. Quale energia potenziale ha acquisito? [ j] Esercizio 22. Un ragazzo, partendo da fermo, scende lungo uno scivolo ad acqua. Arriva alla fine dello scivolo con una velocità di 12 m/s. Quanto era alto lo scivolo? [7.35m] Esercizio Qual è la costante di una molla che immagazzina 25 J di energia potenziale elastica quando è compressa di 7.5 cm dalla sua posizione di riposo? [8889N/m] Esercizio 24. Si ha una molla in posizione verticale: una estremità è fissata al pavimento, mentre sull altra estremità è appoggiata una pietra di 8kg. La molla è compressa dal peso della pietra di 10 centimetri. Qual è la costante della molla? La pietra viene spinta in basso di altri 20 cm, e poi rilasciata. Quale altezza raggiungerà la pietra? [784N/m, 20cm] Esercizio 25. Una forza F di intensità 2N agisce orizzontalmente, verso destra, su un corpo che si muove nella stessa direzione, su un piano privo di attrito. La velocità v del corpo in un certo istante è di 3 m/s. Qual è la potenza dovuta alla forza in quell istante? [6W] Esercizio 26. Un uomo si allena sollevando di mezzo metro un peso di 5 kg. Se fa 20 sollevamenti in un minuto, qual è la sua potenza media? [8.2W] 1. Questo ed i successivi esercizi sono tratti da: 2. Per chi volesse svolgere gli esercizi con le molle ricordo le due leggi di Hooke (forza elastica ed energia elastica): F =k s e E p = 1 2 k s in cui k è la costante della molla in N e s è lo spostamento in m dalla posizione di riposo. m 10