Introduzione alla Gestione dei Rischi Finanziari

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1 Introduzione alla Gestione dei Rischi Finanziari Maria Letizia Guerra Università degli Studi di Urbino Carlo Bo Facoltà di Economia La dispensa raccoglie il materiale di studio per la preparazione dell esame nell insegnamento Metodi Computazionali per i Mercati Finanziari, nel corso di laurea in Economia, indirizzo mercati finanziari, Università di Urbino. Gli articoli e le monografie distribuite dalla docente durante il corso completano la dispensa e ulteriori approfondimenti sono da ricercare anche nella bibliografia.

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3 Indice 1 Richiami di Matematica Finanziaria Indicatoridirendimento Indicatoridirischiosità Indicatoriperilportafoglio Lastrutturadeirendimentiperscadenze I Rischi IlRischiodiMercato IlValueatRisk(VaR) EstensionedelconcettodiValueatRisk IlRischiodiCredito IlRischiodiLiquidità Microstrutturadeimercati Indicatorediliquidità:Bid-askspread I Titoli Derivati Forward PronticontroTermine Futures Futuressutassidiinteresse Floater Swap Opzioni Hedge Spread Combinazioni Valutazione dell Opzione ModelloBinomiale ModellodiBlack-Scholes Metodi Monte Carlo per la Valutazione di Opzioni Finanziarie OpzionisuiTassid Interesse AlcuneOpzioniEsotiche DerivatiinItalia

4 4 INDICE 3.8 Nota sul Nobel per l Economia Esercizi RichamidMatematicaFinanziaria ForwardeFutures Swap Opzioni... 84

5 Capitolo 1 Richiami di Matematica Finanziaria La matematica finanziaria è la disciplina che si occupa dei calcoli relativi allo scambio tra importi monetari pagabili in epoche diverse; cercheremo di ricordare in questo ambito solo gli elementi necessari per proseguire la lettura dei capitoli successivi. Si definisce regime di capitalizzazione una relazione matematica che descrive il formarsi dell interesse al trascorrere del tempo; tale processo di formazione degli interessi proietta in avanti nel tempo, rispetto ad oggi, il valore di un capitale aggiungendo gli interessi maturati. Si definisce regime di attualizzazione (o sconto) la relazione che porta indietro nel tempo il valore di un capitale disponibile in futuro rispetto ad un determinato tassodiscontoeregimefinanziario. I regimi di capitalizzazione più utilizzati sono quello semplice e quello composto e accenneremo brevemente anche a quello continuo che, come vedremo, è quello utilizzato nella moderna teoria finanziaria. Nella capitalizzazione semplice gli interessi crescono in misura direttamente proporzionale al tempo e in generale è il regime utilizzato per operazioni di durata inferiore all anno. La relazione che lega il montante al capitale è la seguente: M = C (1 + it) Se si possiede un certificato di deposito emesso da una banca per un valore nominale di 3000 euro, durata 6 mesi e tasso di interesse 10% lordo annuo, la somma totale dovuta al cliente al lordo della ritenuta e alla scadenza del titolo sarà: µ M = = Simmetricamente si può ricavare il valore attuale di un capitale disponibile 5

6 6 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA ad un epoca futura come: V 0 = C = M (1 + it) Geometricamente la relazione tra tempo e montante nella capitalizzazione semplice è una retta con coefficiente angolare pari al tasso d interesse i eche interseca l asse delle ordinate nel valore pari al capitale iniziale. Nel RIS (regime di capitalizzazione degli interessi semplici) ricavare un tasso periodale è immediato poichè è sufficiente dividerlo o mltiplicarlo per il numero di periodi di riferimento; un tasso annuale del 3% corrisponderà ad un tasso mensile: i 12 = 0.03 = = 0.25% 12 Nella capitalizzazione composta gli interessi generati in un certo periodo vanno ad accrescere il capitale iniziale per fruttare nuovi interessi nel periodo successivo. Tale regime è quello più utilizzato nelle valutazioni finanziarieela relazione che lega la somma odierna a quella futura è: M = C (1 + i) t Simmetricamente è possibile ricavare il valore attuale: V 0 = C = M (1 + t) i Geometricamente la relazione tra tempo e montante in questo regime è di tipo esponenziale poichè il valore del montante aumenta in misura più che proporzionale al trascorrere del tempo. Nel RIC (regime di capitalizzazione degli interessi composti) per calcolare tassi equivalenti relativi a periodi diversi si utilizza la seguente relazione: i k =(1+i) 1 k 1 (1.1) dove con i k si indica il tasso relativo alla k-esima frazione dell anno, ad esempio i 4 è il tasso trimestrale e i 6 è il tasso bimensile. Ad esempio un tasso annuale del 12.5% corrisponde ad un tasso semestrale: i 2 =( ) 1 2 1=6.067% La relazione inversa alla (1.1) si utilizza per calcolare tassi riferiti a periodi più lunghi di quello dato: i =(1+i k ) k 1 (1.2) ad esempio il tasso biennale corrispondente ad un triemestrale i 4 =3.2% èdato da: i biennale =( ) 8 1=28.66%

7 1.1. INDICATORI DI RENDIMENTO 7 Nella capitalizzazione continua, infine, la relazione che lega montante a capitale è: M = Ce it e si assume che la frequenza di capitalizzazione tende ad essere infinita e quindi avviene in modo continuo. Nel seguito ci riferiremo ad i indicandolo con R (rate) per uniformità con la notazione internazionale. 1.1 Indicatori di rendimento Il rendimento di un obbligazione è il prodotto di due componenti: quella di reddito staccato (interessi che maturano al tasso nominale pagati tramite le cedole) e quella di reddito incorporato (differenza tra il prezzo di smobilizzo e quello di acquisto). In particolare il calcolo del rendimento di un titolo a tasso fisso può essere fatto seguendo tre diversi criteri: rendimento nominale, rendimento immediato e rendimento effettivo a scadenza. Il primo si calcola come rapporto tra la cedola e il valore del rimborso e non tiene in considerazione il corrispondente prezzo di acquisto. Il rendimento immediato si calcola come rapporto tra la cedola e il corso secco; il corso secco è il prezzo abitualmente quotato nei listini di borsa 1 ed esprime il solo valore capitale del titolo, al netto del rateo di interessi maturato. Il pezzo tel quel comprende invece, oltre al valore capitale del titolo, gli interessi in corso di maturazione. Per evidenti motivi, il rendimento effettivo a scadenza è quello maggiormente utilizzato ed è quel tasso i 0 che soddisfa la seguente uguaglianza: nx F k P = (1 + i 0 ) t k k=1 (1.3) dove P è il prezzo tel quel del titolo e F k sono i singoli flussi attesi del titolo. Con un esempio vediamo meglio come le tre interpretazioni diano luogo a risultati differenti. Si dispone di un titolo con scadenza 2 anni, valore nominale 100, cedola semestrale 5.5%, a cui corrisponde un interesse annuo nominale dell 11%, prezzo corrente (corso secco) pari a 98. Se si effettua la valutazione ad un mese dall emissione e si tralascia nei calcoli l effetto fiscale, si ottengono i seguenti indicatori di rendimento annuali lordi: rendimento nominale = cedola valore di rimborso = = 11% 1 I mercati azionari di Borsa Italiana si articolano in: Mercato Telematico Azionario (MTA, comunemente Borsa), Nuovo Mercato e Mercato Ristretto. Dall aprile 2001 il Mercato Telematico Azionario è stato suddiviso nei segmenti: blue chips, star e segmento di borsa ordinario. Blue Chips è il segmento dedicato alle azioni con capitalizzazione superiore ad un livello soglia di 800 milioni di euro, ne fanno parte le azioni appartenenti al Mib30. Star (segmento titoli con alti requisiti) è rivolto alle aziende con capitalizzazione medio-piccola operanti nei settori più tradizionali dell economia. Il segmento di borsa ordinario è suddiviso a sua volta in due classi in funzione della liquidità dei titoli.

8 8 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA rendimento immediato semestrale = cedola corso secco = = rendimento immediato = ( ) 2 1=11.54% rendimento effettivo a scadenza, ottenuto risolvendo rispetto ad i la seguente equazione: = 5.5 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 4 (1.4) in cui il prezzo tel quel è stato ricavato sommando il corso secco pari a 98 e il rateo di interessi pari a poichè la valutazione viene fatta ad un mese e quindi = La soluzione della (1.4) può essere fatta per via numerica o più semplicemente utilizzando la funzione TIR.COST di Excel, si tratta infatti di trovare gli zeri positivi del polinomio: x 4 5.5x 3 5.5x 2 5.5x 5.5 =0 e in questo caso l unico zero accettabile risulta i =5, 81% che è un tasso lordo semestrale e va convertito in annuale con la solita relazione vigente in regime composto: ( ) 2 1=11.96% La relazione esistente tra il prezzo e il tasso effettivo di rendimento è inversa ed è rappresentabile da una curva convessa: se si verifica un rialzo dei tassi nel mercato allora il prezzo del titolo a cedola fissa deve diminuire. 1.2 Indicatori di rischiosità La funzione di tali indicatori è quella di qualificare il rendimento di un titolo associando ad esso una misura di rischiosità; tale rischiosità non è altro che la variazione del prezzo di mercato indotta dalla volatilità dei rendimenti a scadenza. Un grossolano indicatore di rischio potrebbe essere la vita residua poichè al crescere di quest ultima aumenta la probabilità che si verifichino oscillazioni impreviste nei tassi d interesse e quindi aumenta il rischio di subire le conseguenze negative della volatilità. Il solo fattore temporale non può però essere assunto come valido indicatore poichè non tiene conto dei flussi futuri, occorre allora introdurre un indicatore di durata e di volatilità dei prezzi dei titoli: la duration oduratamediafinanziaria, introdotta da Macaulay nel La duration è definita come la media delle scadenze dei flussi attesi ponderati nel seguente modo: D = nx k=1 t k F k (1+i) t k nx k=1 F k (1+i) t k (1.5)

9 1.2. INDICATORI DI RISCHIOSITÀ 9 dove nx k=1 F k (1+i) t k non è altro che il prezzo tel quel P. La duration esprime quindi deitempi: seitempidistaccodellacedolasonoespressiingiornianchela duration sarà espressa in giorni e così via. Un titolo sarà tanto più rischioso quanto maggiore è la sua duration; essa sarà un valore sempre positivo e sempre minore o uguale alla vita residua dell obbligazione. Vediamo il calcolo della duration nel caso del titolo a cedola fissa (ad esempio un BTP) citato in precedenza con scadenza due anni, valore nominale 100, tasso nominale annuo 11% con cedole semestrali 5.5% e prezzo di acquisto (tel quel) pari a 98. t k (semestri) flussi flussi attualizzati peso % sul prezzo t k peso % % % % totali 98 (prezzo tel quel) 100% 3.733(semestri) duration Volendo esprimere la duration (pari a semestri) in anni, è sufficiente dividere a metà quella espressa in semestri ( anni) poichè all interno dell anno si considera il regime semplice. Le grandezze che influenzano il valore della duration sono: la grandezza dei flussi F k e la loro distribuzione temporale. In particolare esiste una relazione di proporzionalità diretta tra la periodicità delle cedole e il valore della duration; se da un titolo a cedola annuale si passa ad uno a cedola semestrale la duration si abbassa poichè una parte dei flussi cedolari vengono anticipati. il tasso di attualizzazione. La relazione tra tasso e duration è inversa, all aumentare del tasso diminuirà infatti la duration. la vita residua del titolo preso in esame. La duration diminuisce per effetto del semplice scorrere del tempo. Un altra importante interpretazione della duration è quella che la considera un indicatore di volatilità dei prezzi dei titoli nel mercato. 2 I singoli flussi sono pari alla cedola al netto della ritenuta fiscale del 12.5%, = ( ) = = 4.65% % = Il flusso al quarto periodo è dato dalla somma della cedola netta e del nominale al netto della ritenuta sullo scarto di emissione: [(100 98) 12.5%] = ( ) 4 = % =

10 10 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA Per volatilità si intende comunemente la variazione istantanea del prezzo di un titolo conseguente ad un cambiamento istantaneo dei tassi di mercato. La variazione istantanea può essere calcolata tramite la derivata della funzione che lega il prezzo e il rendimento nel seguente modo: D = dp 1+i di P ovvero: dp P = D di (1.6) 1+i D dove l espressione 1+i è detta duration modificata e consente di stimare la variazione percentuale del prezzo al variare del rendimento a scadenza. La relazione in (1.6) può esere riscritta per esplicitare al meglio la proprietà che la duration modificata ha nel descrivere la variazione relativa del prezzo conseguente ad una variazione del rendimento: P P DM (i i) P dove P e i indicano rispettivamente il livello iniziale del prezzo e del rendimento a scadenza, P e i quelli successivi alla variazione e DM èladurationmodificata. In generale l evidenza empirica mostra che nelle stime effettuate con la duration si verifica un errore per eccesso in caso di rialzo dei tassi e un errore per difetto in caso di riduzione, tuttavia la duration è un buon indicatore di volatilità poichè maggiore è il suo valore e più pronunciata risulta la reattività dei prezzi a variazioni del rendimento. Nelle scelte di titoli per la composizione del proprio portafoglio, a parità di rendimento e duration è possibile prendere in considerazione la convessità del titolo cioè il grado di curvatura prezzo/rendimento: i titoli più convessi (con maggiore curvatura) risultano più appetibili in quanto il loro prezzo aumenta in caso di ribasso dei tassi e non scende troppo in caso di rialzo degli stessi. La convessità viene calcolata con una formula che non è intuitiva come quelle viste finora: C = nx tk + t 2 k k=1 F k (1+i) t k P 1.3 Indicatori per il portafoglio Gli indicatori di rendimento e di volatilità relativi ad un singolo titolo possono essere estesi all analisi di portafoglio mediante il calcolo di medie ponderate. In particolare la duration modificata media DM p del portafoglio corrisponde alla media delle duration modificate dei titoli componenti, ponderata per l incidenza di ogni titolo sul portafoglio, vale a dire: DM p = nx j=1 DM j P j VN j VM p

11 1.4. LA STRUTTURA DEI RENDIMENTI PER SCADENZE 11 dove P j èilprezzotelqueldelj-esimotitolo,vn j è la quantità in portafoglio del j-esimo titolo, DM j è la duration modificata del j-esimo titolo e VM p èil valore di mercato del portafoglio. La misura del rendimento medio del portafoglio i p è più complessa in quanto irendimentiascadenzadeisingolititolivengonopesatiinfunzionedeiprodotti del valore di mercato e della duration modificata in modo da attribuire una incidenza superiore ai titoli che hanno una duration più alta. Analiticamente si ha: i p = nx j=1 i j P j VN j VM p DM j DM p Vediamo un esempio di calcolo della duration modificata e del rendimento di un portafoglio composto da tre titoli. Nella tabella si riportano le caratteristiche dei tre titoli: Titoli Cedola Prezzo Tasso Duration (semestri) Duration Modificata BOT 6mesi % BTP 4 anni 6.0% % BTP 8 anni 5.0% % Vediamo ora il calcolo della duration modificata del portafoglio: Titoli Valore Nom Prezzo Controvalore Composizione P DM DM*pesi/100 BOT 6mesi % BTP 4 anni % BTP 8 anni % Portafoglio % Per il calcolo del rendimento medio dell ipotetico portafoglio: Titoli Tasso DM Composizione P DM/DM p Rendimento BOT 6mesi 4% % % 10 BTP 4 anni 5% % % BTP 8 anni 6% % % Portafoglio % % 1.4 La struttura dei rendimenti per scadenze La struttura dei rendimenti per scadenze (term structure) è uno strumento di analisi del mercato monetario e finanziario finalizzato alio studio delle relazioni tra rendimenti (tassi) e scadenze (tempi). Essa viene solitamente usata: a) per valutare la correttezza dei prezzi dei titoli obbligazionari espressi dal mercato, al fine di individuare i titoli che possono considerarsi sovra/sottostimati in base 9 ( ) /100 = = ( ) /100 = %

12 12 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA al confronto tra il rendimento a scadenza che li caratterizza e quello di titoli simili per durata; b) nell analisi rischio/rendimento, mediante simulazioni dei possibili risultati connessi all assunzione di posizioni in titoli per un determinato orizzonte temporale; c) per il pricing degli strumenti derivati; per quanto riguarda i futures, ad esempio, la forma della term structure determina la relazione tra i prezzi sul mercato a pronti e sul mercato future. Poiché esistono diverse nozioni di rendimento in relazione alla tipologia dei tassi presi in considerazione (spot, forward, yield), è opportuno fare qualche precisazione in merito. Il rendimento effettivoascadenza(yieldtomaturity) è quel tasso che eguaglia la somma dei valori attuaii delle prestazioni attese del titolo al suo prezzo tel quel. Disponendo di tale tasso per un campione di titoli obbligazionari è possibile costruire la relazione tra rendimenti a scadenza e durata residua espressa in un dato momento dal mercato, che fornisce una visione d insieme della struttura dei prezzi. Tuttavia, le informazioni che possono trarsi dalla yield to maturity curve possono essere forvianti per le limitazioni insite nella costruzione stessa di tale curva, che è specifica del titoli scelti per le varie scadenze (ogni punto della curva dipende da caratteristiche proprie del titolo) a non consente confronti tra strumenti finanziari disomogenei (per durata, cedola, etc.). In particolare, la curva dei tassi a scadenza risente di un incoerenza di fondo, nel senso che, poiché ogni flusso finanziario viene attualizzato a un tasso pari allo yield to maturity del titolo cui è associato, è possibile che flussi uguali che maturino a una stessa data vengano valutati in modo diverso perchè associati a titoli diversi. Sarebbe come dire che 100 euro pagati tra un anno da uno stesso debitore hanno un valore che può variare a seconda che siano dovute a titolo di interesse su un debito triennale piuttosto che decennale! Per questo ai fini di pricing il mercato correla rendimenti a scadenze facendo riferimento ad una curva diversa: la curva dei tassi spot. I tassi spot sono i rendimenti effettiviascadenzadeititolidipurosconto(zerocouponbond), ossia titoli senza cedola che pagano gli interessi in un unica soluzione unitamente alla restituzione del capitale, e che pertanto non danno alcun flusso intermedio tra l emissione a l estinzione. II loro valore si ricava risolvendo rispetto al tasso la relazione generale nx F k P = (1 + i 0 ) t (1.7) k e sarà pertanto: s k = k=1 µ 1 Ck t k 1 P dove C k è il valore di rimborso del titolo, s k il tasso spot relativo alla k-esima scadenza, t k la scadenza del titolo e P il prezzo. Il vantaggio di costruire la curva dei rendimenti per scadenza utilizzando i tassi spot anzichè gli yield risiede nel fatto che gli zero-

13 1.4. LA STRUTTURA DEI RENDIMENTI PER SCADENZE 13 coupon non dipendono dalla cedola e permettono così di individuare in modo univoco la relazione tra rendimenti e scadenze. A titolo di esempio si supponga di valutare un titolo con cedola annuale pari al 10% con durata residua 3 anni, quotato 94 nel mercato in un mercato in cui si suppone che la curva dei tassi spot a tre anni sia: tasso spot 1 anno: 10%, tasso spot 2 anni: 11%, tasso spot a 3 anni: 12%. Il prezzo corretto del titolo risuta in realtà essere: 10 ( ) + 10 ( ) ( ) 3 =95.5 che è quindi sottovalutato sul mercato e quindi l operatore potrebbe essere interessato ad acquistarlo.

14 14 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA

15 Capitolo 2 IRischi Il concetto di rischio 1 è strettamente legato alla figura dell intermediario finanziario che negli ultimi anni ha visto crescere la propria capacità di influenzare il mercato; oggi infatti l intermediario può creare prodotti derivati e offrire pacchetti integrati per la gestione del rischio. 2.1 Il Rischio di Mercato Il concetto di rischio di mercato indica l insieme degli effetti delle fluttuazioni dei prezzi nei mercati sulle prospettive future (guadagni o perdite) nell attività di intermediazione. Nell ambito del rischio di mercato possiamo individuare alcune sotto tipologie particolarmente significative: rischio su azioni; rischio di tasso; rischio di cambio; basis risk. Il rischio su azioni è il rischio associato alla gamma dei prodotti riferiti a titoli azionari e indici di mercato. A seconda del tipo di informazione che vogliamo rappresentare sui rischi del portafoglio azionario possiamo limitare l analisi alle fluttuazioni complessive del prezzo di ogni singola azione, oppure possiamo scomporre tali fluttuazioni utilizzando le tecniche APT a CAPM distinguendo le componenti di rischio sistematico e rischio specifico. Il rischio di tasso è rappresentato dall incertezza associata all andamento dei tassi di interesse ed è misurato dall impatto che tale andamento ha sui flussi di cassa e sul valore di mercato delle attività e passività. Il rischio di cambio è 1 More details in: 15

16 16 CAPITOLO 2. I RISCHI rappresentato dal rischio associato a una posizione in divisa estera per effetto di movimenti sfavorevoli nei cambi. Il basis risk è il rischio connesso all uso di prodotti derivati utilizzati per coprire posizioni in prodotti primari Il Value at Risk (VaR) Prima degli anni 90, il panorama delle tecniche di valutazione dei rischi finanziari era radicalmente diverso da quello che incontriamo oggi nelle unità di controllo del rischio. I paradigmi utilizzati rispecchiavano un sistema di intermediazione finanziaria nel quale gran parte del rischio finanziario era legato, oltre al rischio di insolvenza delle controparti, alla cosiddetta attività di trasformazione delle scadenze, cioe l attività di raccolta di fondi su scadenze diverse da quelle di impiego. Si tratta di un attività tipica dell intermediazione bancaria tradizionale, che conduce direttamente ai concetti di maturity mismatching (disallineamento delle scadenze): una variazione dei tassi influenza il differenziale tra flussi di interessi attivi e passivi dell intermediario; duration mismatching (disallineamento della durata media finanziaria): una piccola variazione dei tassi modifica il valore di mercato delle attività in misura diversa rispetto alla variazione di valore delle passività. A partire dagli anni novanta si è diffuso un importante strumento di analisi dei rischi finanziari che va sotto il nome di Value at Risk (VaR) e che ha dato via alle moderne tecniche di risk management. Ben presto questo nuovo attore ha monopolizzato la scena, sia nel dibattito sulla gestione del rischio sia nell operatività quotidiana degli intermediari finanziari. Il concetto di Value at Risk è basato in maniera fondamentale su strumenti del calcolo delle probabilità: nella definizione più comune il Value at Risk è la perdita di valore di un portafoglio in un determinato lasso di tempo, a un certo livello di probabilità. In concreto, se il lasso di tempo prescelto è un giorno, il VaR è la perdita di valore che è probabile osservare, per esempio a un livello di probabilità del 95%, in una giornata: in questo particolare caso, il VaR è definito Daily Earnings at Risk (DEaR), e cioè reddito giornaliero a rischio. Il significato operativo di questa misura è la quota di capitale che l intermediario deve tenere a disposizione per far fronte a queste perdite eventuali per un certo lassoditempo.e chiarocheilfattoretempoentrainquestamisuradirischio come il periodo necessario a smobilizzare la posizione: cosi, nel DEaR misuriamo la perdita che otterremmo sul valore di una posizione, se questa venisse chiusa al termine della giornata. La scelta del tempo di smobilizzo è dunque legata alla capacità del mercato di assorbire la posizione che viene chiusa, una caratteristica nota come liquidity, e sulla quale torneremo piu a fondo in seguito. Per ora, ci basta sottolineare che il Value at Risk fornisce risposta alla domanda: di quanto capitale abbiamo bisogno per avere una buona probabilità di resistere a movimenti avversi del mercato nel tempo necessario a smobilizzare la posizione? L innovativa indicazione della probabilità di perdita ci permette quindi di determinare i mezzi liquidi da accantonare per far fronte a eventuali movimenti avversi del mercato. Sotto questo profilo, il concetto di Value at Risk può

17 2.1. IL RISCHIO DI MERCATO 17 essere ricondotto a quello del margine nell operatività dei mercati dei contratti derivati. Quando accediamo ad una posizione su tali mercati, infatti, il broker ci chiede a titolo di cauzione un deposito di titoli con elevato grado di liquidità (moneta o titoli di stato), noto come margine, in modo da poter garantire che eventuali perdite sulla posizione su un lasso di tempo necessario a chiudere la posizione stessa vengano assorbite da tale margine: nell ipotesi in cui le perdite erodano parzialmente le somme presenti su questo deposito, il broker richiede (margin call) la reintegrazione del margine stesso, salvo chiudere la posizione se non riceve riscontro a tale richiesta. E chiaro che il ruolo di questo deposito è quello di garantire l integrità del mercato a fronte di difficoltà finanziarie da parte degli investitori. Nello stesso modo, il ruolo del capitale accantonato a sostegno dell operatività di un unità di business di un intermediario finanziario è quello di garantire l intermediario stesso di fronte a difficoltà finanziarie. Il Value at Risk (VaR) è una misura della perdita potenziale di capitale che può insorgere, a un dato livello di confidenza e in un intervallo di tempo definito, a causa di movimenti avversi nelle variabili finanziarie rilevanti. Un portafoglio il cui VaR è stato valutato a un livello di fiducia del 95% non dovrebbe subire perdite superiori a quelle stimate in 95 casi su 100. Il calcolo del capitale a rischio nella metodologia VaR richiede i seguenti passi: valutazione della posizione a rischio (tasso, cambio..) per ogni unità operativa; calcolo della volatilità storica o implicita e delle correlazioni fra i fattori di rischio; valutazione del tempo minimo di liquidazione per tipologia di posizione; scelta del livello di probabilità (o intervallo di confidenza). Il capitale a rischio, ovvero la massima perdita potenziale per il livello di probabilità stabilito, è dato dalla combinazione delle quattro componenti sopra descritte. Se con V t t =1, 2,..., n rappresentiamo la serie storica del rendimento (o del logrendimento) della nostra posizione finanziaria V, siha: P =[V n+1 < VaR]=α essendo α la probabilità di aver una perdita maggiore di VaR. Il Value at Risk è quindi un quantile corrispondente in genere al 5% o all 1% della distribuzione di probabilità del rendimento della posizione finanziaria V su un orizzonte temporale prefissato (un giorno, una settimana, ecc.) Adifferenza del DEaR, il concetto di VaR tiene conto del fatto che, sebbene il valore mark to market delle posizioni possa variare in maniera brusca, non è possibile disfare immediatamente, nell arco di una giornata lavorativa, posizioni di dimensioni rilevanti, a meno di subire un forte impatto di prezzo (price impact), cioè un ribasso (rialzo) abnorme del mercato all arrivo dell ordine di vendita (acquisto). Il concetto di price impact appartiene alla letteratura sulla microstruttura dei mercati finanziari (la branca dell economia che studia l organizzazione e l architettura del mercati finanziari e il suo effetto sul comportamento degli operatori e sul processo di formazione del prezzo). Le tecniche di valutazione del rischio basate sul VaR non tengono conto in maniera

18 18 CAPITOLO 2. I RISCHI esplicita di tali effetti di microstruttura (e quindi differenze nell organizzazione e nell efficienza dei mercati e differenze di liquidity dei titoli), e queste vengono rappresentate assumendo che il portafoglio venga smobilizzato in un tempo sufficiente a evitare turbative sul mercato. Tale tempo di smobilizzo deve essere scelto all inizio dell analisi per ogni diverso portafoglio in base a considerazioni circa il mercato e la liquidità dei titoli. Le direttive impartite dal Comitato di Basilea nel1986 raccomandano comunque l impiego di un tempo di smobilizzo non inferiore a 10 giornate lavorative. Quando la misura del rischio avviene su un orizzonte temporale di investimento superiore al giorno, la massima perdita potenziale, cioe il VaR, si calcola moltiplicando il DEaR per la radice quadrata del numero di giorni di detenzione: questa pratica è basata sull assunzione che gli shock che raggiungono il mercato siano indipendenti. Il calcolo del DEaR per un singolo flusso di cassa nell approccio parametrico richiede la determinazione dei seguenti elementi: il valore di mercato dello strumento o della posizione, che indicheremo con V x ; la sensibilità di tale valore alle variazioni del fattore di rischio, dv/di; la volatilità del fattore di rischio i ponderata per il livello di confidenza prescelto nell ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti e/o dei cambi. Esempio. Supponiamo di detenere una posizione in euro pari a 46, 6 milioni di euro in un (ipotetico) zero coupon bond decennale. Supponiamo di aver stimato che la volatilità del rendimento a scadenza 10 anni non sia superiore a ±1, 995% al 90% di probabilità. Per calcolare la corrispondente variazione percentuale sul valore da noi posseduto possiamo applicare la seguente formula: DEaR = V x D 1+i i σ di i Supponendo che la duration modificata sia pari a 9.26 e che il tasso di rendimento a 10 anni sia pari a 7.96 otteniamo: DEaR = = Pertanto abbiamo il 10% di probabilità di perdere, su questa posizione, più di euro nell arco di 24 ore! Esempio. Il VAR di un titolo azionario è definito come il prodotto del valore di mercato MV per la volatilità del prezzo ponderata per il livello di confidenza prescelto (per il 90% il fattore di ponderazione è 1, 65) DEaR = MV S 1.65 σ S E possibile suddividere il rischio del titolo nella componente specifica e in quella sistematica: σ 2 S = β 2 Sσ 2 M + σ 2 ε s la componente di rischio specifico σ 2 ε s può essere resa trascurabile con un adeguata politica di diversificazione del portafoglio, per cui possiamo scrivere DEaR = MV S 1.65 σ S = MV S β S 1.65 σ M

19 2.1. IL RISCHIO DI MERCATO 19 La scelta del modello DEaR e VaR è legata in maniera determinante alla scelta di una dinamica stocastica per i rendimenti. In questo contesto utilizziamo l assunzione più semplice che può essere fatta riguardo alla distribuzione dei rendimenti. L ipotesi è che i rendimenti siano rappresentati secondo una distribuzione normale, o gaussiana: più propriamente, nell applicazione di RiskMetrics TM2 si parla di distribuzione localmente gaussiana. Alle problematiche della stima della volatilità e della distribuzione dei rendimenti è dedicata la seconda parte del nostro corso. Il problema della non normalità dei rendimenti deve quindi essere ben presente al risk manager, anche se egli utilizza un ipotesi di distribuzione normale per le sue valutazioni di rischio. In realtà, come vedremo in questo capitolo, l utilizzo della distribuzione normale rende piuttosto agevole il calcolo del Value at Risk anche per portafogli molto vasti. Mostriamo ora un esempio di calcolo del VaR storico. Consideriamo 750 valori dell indice Italiano MIB30 dall aprile 1997 all aprile 2000, ne calcoliamo i 2 RiskMetrics was a free service offered by JP Morgan in 1994 to promote value-at-risk (VaR) as a risk management tool. At the time, VaR was used by some financial firms, but was largely unheard of among corporate treasuries, energy firms and commodity trading firms. RiskMetrics was one of three factors that lead to widespread adoption of value-at-risk by both financial and non-financial firms during the mid 1990s. The other two factors were the Group of 30 Report and the 1996 amendment to the Basel Accord. Founded in 1978, the Group of 30 is a non-profit organization of senior executives, regulators and academics. Through meetings and publications, it seeks to deepen understanding of international economic and financial issues. In 1993, it published a groundbreaking study called Derivatives: Practices and Principles. The work helped shape the emerging field of financial risk management. It has come to be known as the G-30 Report. In the early 1990s, there was an active debate in the United States and other countries about risks posed by the rapidly growing and largely unregulated OTC derivatives market. In the Summer of 1992, Paul Volker, chairman of the Group of 30, approached Dennis Weatherstone, chairman of JP Morgan, and asked him to lead a study of derivatives industry practices. Weatherstone formed an international steering committee and a working group of senior managers from derivatives dealers, end users and related legal, accounting and academic disciplined. They produced a 68-page report, which the Group of 30 published in July It describes then-current derivatives use by dealers and end-users. The heart of the study is a set of 20 recommendations to help dealers and end-users manage their derivatives activities The Basel Committee, established by the central-bank Governors of the Group of Ten countries at the end of 1974, meets regularly four times a year. It has about thirty technical working groups and task forces which also meet regularly. The Committee s members come from Belgium, Canada, France, Germany, Italy, Japan, Luxembourg, the Netherlands, Spain, Sweden, Switzerland, United Kingdom and United States. Countries are represented by their central bank and also by the authority with formal responsibility for the prudential supervision of banking business where this is not the central bank. The present Chairman of the Committee is Mr Jaime Caruana, Governor of the Bank of Spain, who succeeded Mr William J McDonough on 1 May The Committee does not possess any formal supranational supervisory authority, and its conclusions do not, and were never intended to, have legal force. Rather, it formulates broad supervisory standards and guidelines and recommends statements of best practice in the expectation that individual authorities will take steps to implement them through detailed arrangements - statutory or otherwise - which are best suited to their own national systems. In this way, the Committee encourages convergence towards common approaches and common standards without attempting detailed harmonisation of member countries supervisory techniques.

20 20 CAPITOLO 2. I RISCHI Figura 2.1: L ipotesi di normalità della definizione di VaR logaritmi e poi i le differenze tra il valore odierno e il valore del giorno precedente; tale differenza prende il nome di logrendimento. Dopodichè in Excel è sufficiente utilizzare la funzione PERCENTILE e si ottiene il valore richiesto: VaR al 95%=PERCENTILE(cellainiziale:cellafinale;0,05)= VaR al 99%=PERCENTILE(cellainiziale:cellafinale;0,01)= Seguendo la definizione ne consegue che le seguenti relazioni sono valide: P =[V n+1 < ] = 95% P =[V n+1 > ] = 5% dove V n+1 è il logrendimento ln(s n+1 ) ln(s n ). L HELP di Excel afferma che la funzione PERCENTILE: restituisce il k-esimo dato percentile di valori in un intervallo. È possibile utilizzare questa funzione per stabilire una soglia di accettazione. Ad esempio, si può decidere di esaminare i candidati con un punteggio superiore al 90 percentile. Se poi si considerano 500 valori futuri a partire da aprile 2000 si vuole osservare quante volte si è violato il valore trovato del VaR; si trovano 27 violazioni su 500 corrispondenti al 5.4% che è cosiderato un valore accettabile. Ovviamente se calcolo il VaR oggi, nota una finestra di 750 valori passati, mi aspetto che per 473 valori futuri su 500 la mia stima del VaR sia corretta Estensione del concetto di Value at Risk L utilizzo del VaR è stato ed è ancora molto criticato dagli accademici e altre misure di rischio sono state introdotte. Nonostante questo il VaR è tuttora utilizzato da molte istituzioni e per migliorarne le prestazioni è necessario dare una

21 2.1. IL RISCHIO DI MERCATO 21 Figura 2.2: Istogramma per le perdite giornaliere del MIB30 accurata descrizione delle code della distribuzione dei rendimenti (profit loss) che non può essere ben rappresentata da una distribuzione normale. Un analisi delle code con il Q-Q plot 3 mostra che nelle code l approssimazione è scarsa e il VaR non può essere ben stimato dal quantile di una distribuzione normale. Una possibile soluzione è quella di rappresentare la distribuzione dei rendimenti con una distribuzione diversa dalla normale e che goda della proprietà di leptocurtosi (indice di curtosi > 3) che è causa delle code grasse. Possibili esempi di tali distribuzioni possono essere la distribuzione t-di student, la distribuzione iperbolica o altre, i cui parametri possono essere stimati utilizzando tutte le osservazioni passate disponibili sui rendimenti della posizione finanziaria X. La teoria dei valori estremi è una delle possibilità per estendere il concetto di VaR. Essa si occupa dello studio di eventi rari ed è inizialmente nata nell ambito della previsione di catastrofi naturali. Nelle applicazioni finanziarie l evento raro può corrispondere al fallimento di una società, al crollo del prezzo di un titolo azionario o di un portafoglio. La Teoria dei valori estremi (Extreme Value Theory) si affianca all analisi statistica standard, che analizza i fenomeni nella media fornendo strumenti di diagnostica come appunto il QQ-plot, per studiare gli eventi rari, ovvero quelli che si trovano nelle code di una distribuzione. In particolare, l applicazione della EVT in ambito finanziario cerca di stimare 3 Grafico in cui riportiamo in ascissa i quantili teorici per la distribuzione normlae e in ordinata i quantili della distribuzione empirica.

22 22 CAPITOLO 2. I RISCHI Figura 2.3: Q-Q plot per il MIB30 Figura 2.4: Possibili distribuzioni per le code grosse.

23 2.2. IL RISCHIO DI CREDITO 23 la forma distribuzione del rendimento di una posizione finanziaria solamente per quanto riguarda le code di tale distribuzione e la si basa sull analisi dei soli dati estremali nella serie storica dei rendimenti passati. La formalizzazione della teoria prevede l individuazione di indici sintetici che generalizzino la media e la varianza ma lasciamo alla seconda parte del corso l analisi delle proprietà probabilistiche. 2.2 Il Rischio di Credito Il concetto di rischio di credito rappresenta l aspetto più tradizionale e al tempo stesso più rilevante dell attivita di intermediazione finanziaria. Può sorprendere il fatto che solo di recente le tecniche finanziariedimisurazioneegestionedel rischio siano state rivolte in maniera diretta all analisi dell esposizione creditizia. Una probabile spiegazione di questo ritardo è da attribuire al fatto che, a partire dalla fine degli anni 80, le autorità di vigilanza dei maggiori paesi hanno affrontato il problema del rischio di credito con l introduzione tout court dei vincoli di capitale (capital ratios), non incentivando così lo sviluppo di modelli interni come è avvenuto per il rischio di mercato. Una spiegazione ulteriore è da ricercare nelle complicazioni che l introduzione del rischio di credito introduce nei modelli di valutazione delle poste dell intermediario e nella misurazione dell esposizione. Sotto il profilo formale, introdurre il rischio di credito significa assumere che i valori nominali delle poste dell attivo e del passivo siano anch essi grandezze aleatorie. Le grandezze nominali possono variare indipendentemente dagli sviluppi del mercato a causa di episodi di insolvenza da parte dei debitori o delle controparti. Da questa definizione emerge immediatamente la rilevanza di questa fonte di rischio: di fronte alle perdite generate da un episodio di insolvenza, che ammontano tipicamente a una percentuale cospicua, se non a tutto l ammontare investito, le perdite originate da fluttuazioni dei mercati possono risultare a prima vista trascurabili. Per rendere pienamente ragione di questo tipo di confronto non deve però essere dimenticato che molto raramente l attivita di investimento degli intermediari finanziari è concentrata su un numero limitato di debitori, anche grazie alla presenza generalizzata di limiti posti dalle autorità di vigilanza alla concentrazione dell esposizione verso un ventaglio troppo ristretto di clienti. In definitiva una perdita su crediti misurata con numeri a una cifra, per esempio intorno al 3-5%, può essere considerata un buon risultato di gestione del rischio di credito. La complessità che viene introdotta nei modelli finanziari con il rischio di credito è dovuta in buona sostanza ai problemi che sorgono nella fase di valutazione (marking to market) dei titoli e dei contratti. La presenza di rischio di credito: a) altera la forma del payoff, tipicamente in maniera non lineare, b) modifica la gestione e le strategie di copertura del rischio. Per quanto riguarda il primo punto, anche il contratto più semplice, come quello di debito, può divenire particolarmente complesso in presenza del rischio

24 24 CAPITOLO 2. I RISCHI di credito, con la comparsa di opzioni implicite e altre forme di non linearità. Da questo segue immediatamente il secondo punto, e cioè il fatto che trascurare il rischio di credito conduce fatalmente a errori nella valutazione dei contratti e nelle strategie di copertura, anche rispetto alle altre forme di rischio, come il rischio di mercato. Inoltre questa fonte di rischio è presente nella larga maggioranza delle attivita di intermediazione, e ne rappresenta anzi l elemento caratterizzante. Fatta eccezione per le attivita svolte su mercati organizzati dotati di cassa di compensazione e garanzia, come i mercati futures, gran parte dei contratti che coinvolgono l intermediario finanziario sono OTC (over the counter), basati quindi sulla responsabilita bilaterale delle parti e con una sostanziale esposizione al rischio di credito. In particolare, l esposizione creditizia tradizionale che vedeva gli impieghi al centro del problema ha ceduto il passo a una valutazione di questo tipo di rischio anche nelle attività di negoziazione: è comune parlare di rischio di credito in relazione agli impieghi e alle variazioni del merito creditizio degli emittenti, e di rischio di controparte, legato a variazioni del merito di credito di controparti nei contratti derivati. Considerare il rischio di credito introduce nuovi elementi e parametri per la valutazione dei titoli. Si tratta di un nuovo orizzonte temporale, che si riferisce alla mutazione del merito di credito dell emittente o della controparte (default time) e della percentuale dell esposizione che si ritiene possibile, o probabile, recuperare nell eventualità d insolvenza della controparte (recovery rate). L evento rilevante per quanto attiene al rischio di credito non si concretizza esclusivamente e necessariamente nell episodio di insolvenza, quanto nella variazione della probabilità di insolvenza e della quota dell esposizione che verrebbe persa nell ipotesi di default: il prodotto di questi due elementi indica la perdita attesa, che concorre a determinare il credit spread, cioe il differenziale tra il rendimento del titolo con rischio di credito a quello privo di rischio (risk free) corrispondente. Disegnare un modello del credit spread significa quindi modellare il recovery rate e la probabilità di default. La scelta del modello dipende dall informazione disponibile. Una possibilità è quella di osservare il bilancio dell azienda: assumiamo di conoscere la volatilità dell attivo e la struttura del passivo, oltre ai costi della procedura concorsuale di liquidazione dell azienda. In questo caso è possibile costruire un modello strutturale del rischio di credito dell azienda, nel quale la probabilità di default e il recovery rate sono ottenuti in funzione del valore di mercato dell impresa, la sua volatilità e la struttura del passivo. In alternativa, nei modelli detti in forma ridotta, o intensity based, i fattori che determinano il credit spread possono essere modellati indipendentemente dalla struttura dell azienda assumendo per esempio un processo di Poisson a salti per gli episodi di insolvenza e un modello probabilistico appropriato per il recovery rate. Una possibile scelta è anche quella di modellare direttamente la perdita attesa, senza identificare i due fattori che la costituiscono. Un ulteriore alternativa è quella di sfruttare l eventuale classificazione del merito di credito dell emittente o della controparte fornita dall intermediario o da agenzie specializzate (le agenzie di rating) per ottenere stime della dinamica a dei cambiamenti del merito di credito dell azienda in oggetto. In tutti i casi, la calibrazione del modello può

25 2.2. IL RISCHIO DI CREDITO 25 essere ottenuta sia sulla base di dati storici sia con l utilizzo dell informazione implicita nelle quotazioni di mercato. Infine, la tendenza più recente è quella di proporre modelli misti nei quali le informazioni di tipo strutturale sulla controparte sono utilizzate per determinare in modo indipendente i due fattori che concorrono a determinare il credit spread: una possibilità è, per esempio, quella di far dipendere la probabilità di default, ma non il recovery rate, dal valore dell attivo dell azienda e dalla sua volatilità. Fin da questa sommaria descrizione dei problemi emerge come la conoscenza delle diverse alternative per la valutazione del rischio di credito sia un requisito essenziale per organizzare a sfruttare al meglio l informazione disponibile. Per capire l effetto del rischio di credito sul valore di un contratto introduciamo l analisi con un modello molto stilizzato. Un imprenditore al tempo t deve finanziare un progetto che sarà completato al tempo futuro T e produrrà un valore V(T).Al tempo t it valore finale del progetto non è conosciuto con certezza perche l effettiva realizzazione di V(T) dipenderà da fattori che non sono sotto il controllo dell imprenditore, come i rischi connessi alla realizzazione o la situazione di mercato a conclusione del progetto. Per finanziarsi, l imprenditore si rivolge a una banca, o al mercato, chiedendo un prestito e promettendo di restituire l ammontare B al tempo di conclusione del progetto. L ammontare B è il valore facciale, o nominale, del debito contratto dall imprenditore: per semplicità, assumiamo che il debito sia strutturato come uno zero coupon bond di maturità T. Il contratto prevede che al tempo T, quando viene osservato il valore del progetto, l imprenditore renda ai creditori la somma B se il valore del progetto è maggiore, e trasferisca invece la proprietà del progetto se il suo valore è minore di B. In termini formali, possiamo scrivere: valoredeldebitoascadenza=min (B,V (T )) Il contratto implica che alla conclusione dell esecuzione del progetto l imprenditore raccolga, a titolo di capitale, la differenza tra il valore del progetto e quello del debito, se questa è positiva, e zero altrimenti. In termini formali abbiamo: valore del capitale a scadenza = V (T ) min(b,v (T )) = max(v (T ) B,0) e il valore del capitale ha la stessa forma di un opzione che dà diritto ad acquistare (call) il progetto (il sottostante) a un prezzo B (il prezzo di esercizio o strike), pari al valore facciale del debito. Si noti che questa caratteristica emerge dalla struttura del contralto, che è basato sul principio di responsabilità limitata (limited liability) dell imprenditore. Segue che il valore dei titoli emessi dall impresa sono prodotti con pay-off non lineare. Nell esempio descritto valutare il rischio di cerdito significa calcolare il valore di un opzione secondo le tecniche che descriveremo in seguito. Vediamo di analizzare in settaglio gli eventi creditizi; ci sono sostanzialmente due tipi di eventi che possono modificare il valore di una obbligazione (bond) soggetta a rischio di default:

26 26 CAPITOLO 2. I RISCHI il default dell emittente (es. Cirio, Parmalat, Argentina,...) una variazione positiva o negativa del merito di credito dell emittente, cioè della percezione che il mercato ha della capacità dell emittente di far fronte al suo indebitamento ( downgrading, upgrading ) (es. Telecom dopo incorporazione di Tim, Italia dopo la riduzione delle tasse??) Il merito di credito è misurato per lunga consuetudine su una scala qualitativa attraverso un rating che è un giudizio qualitativo espresso sulla base di dati fondamentali (bilanci, relazioni semestrali, qualità del management nel caso di emittenti corporate, dati macroeconomici, crescita, situazione politica nel caso di emittenti sovereign ) da parte di agenzie di valutazione indipendenti. I rating sono un concetto di natura essenzialmente qualitativa, anche se viene spesso usato come se fosse quantitativo. Ci sono sostanzialmente tre agenzie internazionali di rating che dominano il mercato: Moody s, Standard and Poor s, Fitch. Queste agenzie pubblicano regolarmente i rating delle principali società che lo richiedono e dichiarano le loro eventuali prospettive di cambiamento (innalzamento o abbassamento del rating) ( outlook ). In Italia solo i principali gruppi industriali hanno un rating; in alternativa molte banche, come suggerito anche dagli accordi di Basilea, si dotano di un sistema di rating cosiddetto interno. Figura 2.5: Scale di rating Moody s

27 2.3. IL RISCHIO DI LIQUIDITÀ 27 Figura 2.6: Definizioni dei ratings- Moody s 2.3 Il Rischio di Liquidità Introduciamo ora brevemente una delle problematiche di frontiera delle tecniche di misurazione del rischio. Analizziamo le fonti di rischio legate al funzionamento e all organizzazione dei mercati su cui gli intermediari acquistano e vendono leloroposizioni.unaccennoaquestaproblematicaèstatointrodottoinoccasione dell analisi del rischio di controparte dei derivati: in particolare, abbiamo sottolineato la differenza tra strategie di copertura su mercati regolamentati e organizzati, come i mercati futures e quelle attuate in contratti bilaterali tra le parti, i cosiddetti mercati over the counter (OTC). La scelta di operare su questi due tipi di mercati dipende dalla valutazione di pregi e difetti di queste due forme di organizzazione dello scambio: da un lato i mercati organizzati non forniscono prodotti personalizzati in grado di offrire la copertura perfetta di una posizione, ma offrono prodotti che possono essere utilizzati da un gran numero di operatori per esigenze di copertura diverse, con basso rischio di credito e la possibilità di chiudere le posizioni con immediatezza e con costi estremamente ridotti; dall altro lato sul mercato OTC è possibile disegnare qualsiasi prodotto, rispondendo alle necessità di ogni operatore, a prezzo di un piu rilevante rischio di credito e della difficoltà di chiudere le posizioni se il cambiamento della situazione lo impone. Il secondo aspetto coinvolto, dopo il rischio di credito, è quello che riguarda le proprietà di liquidità del mercato.

28 28 CAPITOLO 2. I RISCHI Figura 2.7: Scale di rating Standard and Poor Si dice che un mercato è liquido quando consente di smobilizzare una posizione a basso costo. In questa prospettiva, l ambito della discussione si estende oltre il confronto tra mercati futures style e mercati OTC, e riguarda qualsiasi forma di organizzazione degli scambi. Sotto questo aspetto, un mercato può essere definito come qualsiasi struttura che consente di vendere o acquistare prodotti, nel nostro caso attività finanziarie. Il mercato non coincide quindi necessariamente con un luogo fisico, nel quale avvengono gli scambi: su molti mercati le contrattazioni per esempio avvengono per via telefonica, su altri attraverso reti telematiche o con meccanismi ancora diversi. Un mercato non è neppure caratterizzato necessariamente da continuità degli scambi: per esempio, nel momento in cui vengono avviate le negoziazioni per la ristrutturazione finanziaria o la liquidazione di un impresa in difficoltà, si apre un mercato che ha per oggetto la determinazione del valore dei claims, cioè dei titoli che le diverse parti detengono nell impresa. In tutti questi casi, le diverse forme di mercato sono accomunate dalle stesse finalità: consentire la realizzazione degli scambi e favorire la formazione di un prezzo che assicuri l equilibrio tra domanda e offerta delle parti interessate. E per facilitare il raggiungimento di queste finalità che la storia dei mercati, di quelli finanziari in particolare, è contrassegnata dalla progressiva evoluzione dei cosiddetti mercati organizzati, cioè mercati dotati di una struttura e regole di contrattazione, definite da organi istituzionali o di au-

29 2.3. IL RISCHIO DI LIQUIDITÀ 29 Figura 2.8: Definizione dei ratings Standard and Poor

30 30 CAPITOLO 2. I RISCHI REVISIONI RATING Data: 11/13/ /13/2004 Nome società Data Tipo rating Agnzia Rating corrente Ult rating Paese Telecom Italia SpA 07/12/2004 Outlook S&P STABLE IT Telecom Italia SpA 07/12/2004 Outlook Fitch NEG IT Telecom Italia SpA 07/12/2004 Outlook DBRS STABLE IT Meliorbanca SpA 29/11/2004 Outlook Moody's NEG IT Cassa di Risparmio di Parma e Piacenza SpA 25/11/2004 Breve term Moody's P-1 IT Cassa di Risparmio di Parma e Piacenza SpA 25/11/2004 Long Term Bank Deposits Moody's A1 IT Cassa di Risparmio di Parma e Piacenza SpA 25/11/2004 Outlook Moody's STABLE IT Cassa di Risparmio di Parma e Piacenza SpA 25/11/2004 Bank Financial Strength Moody's B- IT Finmatica SpA 24/11/2004 Senior Unsecured Debt Fitch D C IT Finmatica SpA 24/11/2004 Breve term Fitch D B IT Banca Agricola Mantovana Scrl 17/11/2004 Outlook S&P NEG IT Banca Monte dei Paschi di Siena SpA 17/11/2004 Outlook S&P NEG IT Banca Nazionale del Lavoro SpA 17/11/2004 Outlook S&P STABLE IT Banca Toscana SpA 17/11/2004 Outlook S&P NEG IT Banco Popolare di Verona e Novara Scrl 17/11/2004 Senior Unsecured Debt Fitch A+ A IT Banco Popolare di Verona e Novara Scrl 17/11/2004 Outlook Fitch STABLE IT Safilo SpA 16/11/2004 LT Local Issuer Credit S&P B *- B IT Safilo SpA 16/11/2004 LT Foreign Issuer Credit S&P B *- B IT Safilo SpA 16/11/2004 Outlook Fitch NEG IT Markel Capital Trust I 15/11/2004 Outlook Fitch STABLE IT Figura 2.9: Ultimi eventi creditizi italiani toregolamentazione che mirano ad assicurare liquidità agli scambi e trasparenza nel processo di formazione dei prezzi. In parallelo con questa evoluzione si è anche sviluppata una particolare disciplina dell analisi economica, nota come microstruttura dei mercati finanziari, che ha il fine di studiare l organizzazione dei mercati e i suoi effetti sulla liquidità degli scambi e la trasparenza dei prezzi. Oltre l organizzazione del mercato, un altroelementochedeterminaladif- ficoltà di attribuire un valore di realizzo alla posizione è legato alla varietà dei titoli offerti sul mercato stesso, il problema che tecnicamente è noto come incompletezza dei mercati. Diciamo che i mercati sono completi quando per ogni titolo o contratto derivato è possibile identificare un portafoglio che garantisca lo stesso valore del titolo stesso. Più precisamente, si descrive una strategia dinamica di investimento che consenta di replicare in ogni istante il valore del titolo. La presenza di costi di transazione o vincoli di tipo istituzionale rende ovviamente priva di realismo questa assunzione: inoltre, anche in assenza di queste frizioni di tipo istituzionale, la strategia di replica è descritta nel tempo continuo e richiede la riallocazione del portafoglio in ogni istante di tempo. L effetto di questo problema di incompletezza dei mercati è che il prezzo non risulta determinato in modo univoco, perchè non esiste un unica strategia di replica dei prodotti finanziari: al più, possiamo selezionare strategie di replica che siano migliori delle altre rispetto al loro costo e alla loro performance, cioè la loro capacità di seguire da vicino l andamento del prezzo del titolo. L impatto sulla misurazione e gestione del rischio è chiaro: scegliere una strategia di valoriz-

31 2.3. IL RISCHIO DI LIQUIDITÀ 31 zazione, piuttosto che un altra, modifica sia il valore corrente della posizione che il valore della posizione negli scenari futuri. Determinare con chiarezza i principi guida per la determinazione del prezzo è quindi un requisito essenziale per la costruzione di un sistema di controllo del rischio. Si tratta anche del momento più delicato: scegliere il sistema di valorizzazione determina infatti la ripartizione di proftti e perdite tra diverse unità operative dell intermediario, e la mancanza di chiarezza su questo fronte può determinare problemi di gestione della struttura e la distorsione degli incentivi del personale operativo del front office Microstruttura dei mercati La teoria della microstruttura dei mercati studia l effetto dell organizzazione degli scambi sul processo di determinazione del prezzo e sull ordinato svolgimento delle contrattazioni. In questo ambito si vogliono dare sono alcuni cenni poichè si ritiene che la descrizione dei principi di fondo di questa disciplina sia un requisito importante per la comprensione dei sistemi di misurazione del rischio. All interno dell unita di controllo del rischio di un intermediario devono infatti essere presenti risorse che acquisiscono e approfondiscono l informazione sul sistema di funzionamento degli scambi sui mercati e gli effetti che questi possono avere sul valore delle posizioni in particolari momenti di stress. Una classificazione di massima del meccanismo di organizzazione degli scambi sui mercati fa riferimento innanzitutto alla presenza o meno di intermediari che espongono quotazioni alle quali sono disposti ad acquistare o vendere titoli e contratti finanziari. Questi operatori sono definiti market makers (o operatori primari) e il sistema di scambio è denominato quote driven. Gli operatori primari si impegnano a esporre prezzi di acquisto e vendita per determinati prodotti finanziari per un certo ammontare e gestiscono scorte di tali prodotti per fare fronte alla domanda da parte degli altri investitori e operatori. Esempi di questo tipo di organizzazione del mercato sono forniti dal mercato telematico dei titoli di stato italiani (MTS) e dalla figura degli specialist sul mercato americano. Una forma organizzativa di tipo alternativo è quella nella quale gli ordini che derivano dagli investitori vengono incrociati direttamente sul mercato, in un meccanismo di tipo order driven. Il meccanismo di matching degli ordini di acquisto e vendita deve avvenire nel rispetto degli eventuali limiti di prezzo imposti dall investitore e delle priorità di prezzo e tempo: gli ordini devono essere incrociati con quelli di segno opposto più convenienti, dando la precedenza a quelli arrivati sul mercato per primi. La tipologia del mercato è un elemento di estrema rilevanza per il risk manager, esso investe direttamente il problema del costo di smobilizzo e la liquidità delle posizioni. La questione è particolarmente intricata in mercati che prevedono la presenza di market makers. Il rischio di perdita è in questo caso strettamente legato al comportamento di questi operatori. Il mestiere del market maker non è certo il più agevole che si possa pensare: egli deve essere pronto ad assorbire eccessi di domanda e di offerta, anche se dietro ogni scambio e ogni movimento di mercato si possono nascondere informazioni privilegiate sul-

32 32 CAPITOLO 2. I RISCHI l andamento futuro dei corsi dei titoli. Il problema di riconoscere il cosiddetto informed trading è ciò che rende la vita.difficile e rischiosa per ogni operatore primario sul mercato. Il boom degli strumenti derivati non ha certo migliorato le cose e ha reso ancor più difficile la scoperta di informed trades. La presenza di prodotti derivati ha infatti indotto sui mercati cash un enorme aumento degli scambi, motivati dalla gestione di operazioni di arbitraggio, spesso concentrati in momenti particolari, rendendo cosi più oneroso e rischioso il compito dei market makers: una delle spiegazioni che è stata data al crollo di Wall Street del 19 ottobre 1987 è proprio centrata sull indecisione o l incapacità degli specialist di assorbire un flusso di ordini particolarmente consistente. Come reagiscono gli operatori principali a momenti di particolare tensione del mercato è una questione ancora discussa: una reazione comprensibile è quella di un aumento degli spread, cioe della differenza tra prezzi in vendita e in acquisto in momenti di particolare volatilità. Altri elementi che rappresentano una discriminante nell organizzazione del mercato sono legati alla tecnologia di scambio. Su alcuni mercati gli scambi avvengono continuamente nell arco della giornata, mentre in altri gli ordini vengono accumulati e incrociati in aste periodiche. Ovviamente it sistema di asta continua puo essere sostenuto su mercati particolarmente liquidi. In alcuni mercati i due tipi di organizzazione convivono: sul mercato italiano, per esempio, dove il meccanismo di scambio è quello dell asta continua, l apertura degli scambi avviene attraverso un asta. Inoltre, spesso nei mercati organizzati èprevistalapresenzadisistemidisalvaguardia, i cosiddetti circuit breakers, che consentono di sospendere le transazioni in momenti di particolare tensione del mercato: si tratta di un momento estremamente particolare, in cui il mercato cambia radicalmente la propria struttura con lo scopo di raffreddareletensioni a migliorare la liquidità degli scambi. E ovviamente compito dell unità di controllo del rischio approfondire il comportamento dei mercati in questi momenti particolarmente delicati. Elementi di dibattito tra gli specialisti di microstruttura dei mercati sono infine l utilizzo di strumenti telematici per la definizione e/o esecuzione degli scambi, piuttosto che la contrattazione alle grida e la scelta di consentire agli investitori di mantenere l anonimato. Non è difficile apprezzare la rilevanza di queste scelte organizzative per la valutazione del rischio delle posizioni. In ogni caso, la valutazione del grado di liquidità di ogni mercato richiede la predisposizione di indicatori e strumenti di tipo quantitativo che consentano di simulare il costo di smobilizzo Indicatore di liquidità: Bid-ask spread Il margine denaro lettera, o bid ask spread nella dizione anglosassone, rappresenta il più immediato indicatore di liquidità di un mercato: si tratta infatti del differenziale tra le quotazioni alle quali è possibile vendere e acquistare titoli sul mercato. Una prima analisi del costo di smobilizzo delle posizioni può essere quindi basata sulla dimensione e soprattutto sulle fluttuazioni del bid ask spread. Analisi di questo tipo richiedono tipicamente la costruzione di un buon

33 2.3. IL RISCHIO DI LIQUIDITÀ 33 archivio dati sul libro ordini del mercato o sulle quotazioni esposte dagli operatori primari. Poichè la costruzione di questi database è particolarmente gravosa, nella letteratura sulla microstruttura dei mercati finanziari sono state proposte misure che consentono di valutare almeno in via approssimata il costo di smobilizzo di una posizione. La più famosa di queste misure è dovuta a un lavoro di Roll del Questa misura è ottenuta a partire dalla serie storica dei prezzi di transazione (o prezzi tick by tick) ed è basata sull ipotesi di efficienza informativa dei mercati. L idea di base è che in mercati efficienti il prezzo di mercato riflette tutta l informazione disponibile dagli operatori, cosicchè successive variazioni di prezzo non risultano tra loro correlate: in altri termini, per esempio, sulla base di un aumento del prezzo non è possibile prevedere un aumento o una diminuzione futura. L ipotesi di efficienza dei mercati richiede quindi che la media delle quotazioni denaro e lettera non sia correlata serialmente e che l arrivo di ordini di acquisto e vendita sia ugualmente probabile. Sulla base di queste ipotesi, Roll mostra che una stima del costo di smobilizzo a data da: costo di smobilizzo=2 p cov ( p t, p t 1 ) dove p rappresenta la ariazione del prezzo tra una transazione e l altra.

34 34 CAPITOLO 2. I RISCHI

35 Capitolo 3 I Titoli Derivati I rischi che abbiamo descritto nel capitolo precedente hanno prodotto una grande quantità di titoli derivati nel mercato e hanno fatto diventare l attività del gestore dei rischi una delle più richieste nei mercati finanziari. I derivati sono strumenti finanziari così definiti in quanto il loro profilo di costo/rendimento deriva dai parametri di costo/rendimento di altri strumenti principali, chiamati sottostanti, che possono essere materie prime, valute, tassi di interesse, titoli, indici azionari. Gli sviluppi teorici sui derivati risalgono agli anni settanta, il boom sugli scambi agli anni ottanta e negli anni novanta si è assistito allo sviluppo della financial engineer che studia l introduzione di prodotti innovativi per i derivati. Le conseguenze macroscopiche dello sviluppo dei mercati degli ultimi 30 anni sono: la globalizzazione dei mercati (informazione tecnologica, internet, deregolamentazione, eliminazione dei cambi in seguito all euro), l aumento di volatilità e dei rischi e il calo dei costi di transazione. 3.1 Forward Il contratto forward venne introdotto e studiato da Hicks nel 1939 il quale distinse le tipologie di contratti in tre classi: contratti spot quando le 2 parti (acquirente e venditore) eseguono immediatamente lo scambio, contratto forward quando il contratto viene firmato oggi per uno scambio futuro e contratto di prestito il quale è stabilito oggi ma una parte lo esegue subito e una parte in futuro. Oggi i forward sono contratti scambiati fuori dai mercati regolamentati, precisamente nei mercati OTC. Alla data odierna in t si firma l impegno ad acquistare il giorno S uno zero coupon bond che scade in T, con t < S < T. L acquirente del contratto forward pagherà il giorno S un ammontare prestabilito Q in cambio del titolo che scade in T; Q (t, S, T ) è il prezzo forward contrapposto ai prezzi spot P (t, S) e P (t, T ) e in particolare il prezzo forward è un elemento contrattuale. Quando si scrive 35

36 36 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI un contratto, infatti,.il prezzo del contratto è nullo poichè nessuno paga niente ad alcuno. Il prezzo Q (t, S, T ) deve soddisfare il principio di non arbitraggio e affinchè ciò avvenga deve essere verificata la seguente relazione: Q (t, S, T )= P (t, T ) P (t, S) 100 = P (t, T )(1+R (t, s))s t (3.1) dove R (t, s) è il rendimento, il tasso, valido da t ad S. La relazione fondamentale per tutti i prezzi forward risulta essere: h Q (t, S, T )=V t (V (S)) (1 + R (t, s)) s ti (3.2) dove V t (V (S)) è il prezzo odierno del prezzo spot che vigerà alla data S. Esplicitando il tasso in (3.1) si ottiene: R (t, s) = ed equivalentemente per il tasso forward: µ R FW (t, S, T )= µ 100 ( 1 S t) 1 P (t, S) 100 Q (t, S, T ) ( 1 T S ) 1 La scrittura Q (t, S, T )= P (t, T ) P (t, S) 100 va interpretata in termini di tassi e si possono quindi scrivere le seguenti uguaglianze: 100 Q (t, S, T )= (1 + R FW (t, S, T )) T S e quindi: dacuisiricava: P (t, T ) P (t, S) = 100 (1+R(t,T )) T t 100 (1+R(t,S)) S t 100 (1 + R FW (t, S, T )) T S = 100 (1+R(t,T )) T t 100 (1+R(t,S)) S t (1 + R FW (t, S, T )) T S t (1 + R (t, T ))T = (3.3) S t (1 + R (t, S)) (1 + R (t, S)) S t (1 + R FW (t, S, T )) T S =(1+R (t, T )) T t che è una relazione di non arbitraggio per i tassi spot e forward.

37 3.2. PRONTI CONTRO TERMINE 37 La relazione fondamentale in (3.2) può essere adattata al caso dei titoli con cedola nel seguente modo: h Q (t, S, T )=[V t (V (S))] (1 + R (t, s)) s ti I (t, S) (3.4) dove I (t, S) è il flusso cedolare riferito all epoca di distacco della cedola maturata nell intervallo temporale da t a S. 3.2 Pronti contro Termine I pronti contro termine (PCT) sono contratti di acquisto a pronti e vendita a termine o viceversa. Esistono dei PCT detti di investimento dove acquisto a pronti (in t) e vendo a termine(in S), rappresentano un modo di investire a breve delle disponibilità finanziarie. In caso di valutazione di un titolo PCT le tre grandezze che entrano in gioco sono: B (t, T ) l ammontare del pagamento a pronti; Q (t, S) prezzo forward del contratto RAT (t, S) rateo di interessi, cioè gli eventuali flussi cedolari che il titolo genera tra t e S capitalizzati in S. Esse devono esere legate in modo univoco per soddisfare il principio di non arbitraggio, in particolare deve valere B (t, T )=V aloreattuale [Q (t, S)+RAT (t, S)] che, esplicitando il prezzo forward e introducendo il tasso di interesse, diventa: Q (t, S) =B (t, T )(1+R (t, S)) S t RAT (t, S) (3.5) dove RAT (t, S) =I (t, S)(1+R (t, S)) S t 3.3 Futures Il future 1 è un contratto mediante il quale due parti si accordano sull acquisto o la vendita di un attività ad una certa data futura ad un prezzo prefissato; qui le parti, a differenza delle opzioni che analizzeremo in seguito, assumono obblighi reciproci di adempiere in futuro ad una determinate prestazione. In 1 In Italia il Mercato Italiano dei Futures (MIF) è stato istituito con decreto del Ministro del Tesoro del 18 febbraio 1992 e successivamente modificatodald.m E unmercato telematico, che si avvle delta stessa rete utilizzata dal Mercato dei Titoli di Stato (MTS), dove vengono negoziati contratti futures su titoli di Stato e opzioni sul Btp futures. I contratti negoziati sono standardizzati; ad esempio, il future sul BTP decennale trattato al MIF ha come titolo nozionale sottostante il BTP con cedola del 6% 8%, l importo minimo è di euro a valore nominate, la consegna è trimestrale (marzo, giugno, settembre, dicembre), i titoli consegnabili sono.i BTP con vita residua tra gli 8,5 e i 10 anni dalla consegna.

38 38 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI relazione alla natura del bene sottostante al contratto si possono distinguere due principali tipologie di futures: a) commodity futures, che hanno ad oggetto attività reali (merci); b) financial futures, che hanno ad oggetto attività finanziarie, e precisamente titoli (bond futures), tassi d interesse (interest rate futures), indici di borsa (stock index futures), oppure valute (currency futures). In questa sede faremo riferimento solamente ai contratti financial futures. I fincancial futures sono contratti a termine caratterizzati dalla standardizzazione di tutti gli elementi contrattuali (attività finanziaria sottostante che sarà scambiata a termine, importo, scadenza, tempi e modalità di liquidazione dei contratti) e sono negoziati in mercati regolamentati. Le transazioni avvengono bilateralmente tra gli operatori (come nei contratti a termine) ma il regolamento avviene tramite la Clearing House, che assume così la veste di unica controparte di tutte le negoziazioni; la presenza di questo ente intermediario serve a minimizzare il rischio di credito, in quanto per gli operatori il rischio legato all inadempienza della controparte negoziale (la Clearing House, appunto) è verosimilmente piuttosto remoto. Nel Mercato Italiano dei Futures (MIF) questo ruolo è assunto dalla Cassa di Compensazione e Garanzia 2,cheassume così il rischio di insolvenza, garantendo il buon fine di tutte le transazioni concluse; essa è sottoposta alla vigilanza della Banca d Italia e della Consob 3. 2 La Cassa di Compensazione e Garanzia è una società di capitali autonoma che ha rapporti solo con i propri aderenti, che possono essere di due tipi: aderenti generali, che possono svolgere attività di compensazione sia per conto proprio che per conto terzi; aderenti individuali, che possono svolgere attività di compensazione solo per conto proprio. Tutti gli altri operatori (non membri) devono rivolgersi a un aderente generale per la compensazione delle operazioni svolte. 3 La Commissione Nazionale per le Società e la Borsa, (CoNSoB), è stata istituita con la legge 7 giugno 1974, n E un autorità amministrativa indipendente con il compito di controllare il mercato mobiliare italiano. La sua attività è rivolta alla tutela degli investitori, all efficienza e alla trasparenza del mercato. Per questo scopo: regolamenta la prestazione dei servizi di investimento da parte degli intermediari, gli obblighi informativi delle società quotate e le offerte al pubblico di strumenti finanziari; autorizza la pubblicazione dei prospetti informativi in caso di offerte pubbliche di vendita edeidocumentid offerta in caso di offerte pubbliche di acquisto; l esercizio dei mercati regolamentati; l esercizio dell attività di gestione accentrata degli strumenti finanziari; le iscrizioni agli Albi; vigila sulle società di gestione dei mercati e sulla trasparenza e l ordinato svolgimento delle negoziazioni nonché sulla trasparenza e la correttezza dei comportamenti degli intermediari e dei promotori finanziari; sanziona i soggetti vigilati, direttamente o formulando una proposta al Ministero del tesoro, del bilancio e della programmazione economica; controlla le informazioni fornite al mercato dalle società quotate e da chi promuove offerte al pubblico di strumenti finanziari nonché le informazioni contenute nei documenti contabili delle società quotate; accerta eventuali andamenti anomali delle contrattazioni su titoli quotati e compie ogni altro atto di verifica di violazioni delle norme in materia di abuso di informazioni privilegiate (insider trading) e di aggiotaggio su strumenti finanziari.

39 3.3. FUTURES 39 Le negoziazioni sono regolate attraverso il sistema dei margini di garanzia, imposti a tutela della Cassa, che ha lo scopo fondamentale di minimizzare ogni rischio operativo legato alle negoziazioni effettuate dai diversi operatori, senza per questo compromettere il grado di liquidità del mercato. In linea di massima, gli operatori che volessero stipulare un contratto future devono versare alla Cassa due diversi tipi di margini: il margine iniziale e il margine di variazione. Il margine iniziale è sostanzialmente un deposito cauzionale, di importo pari a una piccola percentuale del valore nominale della posizione aperta, che gli operatori devono versare alla Clearing House alla stipula di ogni contratto al fine di coprire le eventuali perdite del primo giorno di negoziazione. Tale percentuale viene determinata in funzione della volatilità del valore deil attività finanziaria sottostante al future; ciò vuol dire che verranno richiesti margini maggiori per quelle attività che presentano un elevato grado di volatilità dei prezzi al variare delle condizioni di mercato, oppure per quelle fasi di mercato caratterizzate da una elevata instabilità delle variabili finanziarie. II margine di variazione consiste invece nel regolamento delle variazioni di quotazione (in aumento o diminuzione) registrate dal sottostante nel corso delle giornate operative a partire dalla stipula del contratto. Più precisamente, al termine di ogni giornata di contrattazioni la Clearing House comunica ufficialmente i prezzi dei contratti future; la differenza tra la quotazione di chiusura del giorno di riferimento e di quello immediatamente precedente viene quindi accreditata o addebitata sul conto dell operatore a seconda che sia positiva o negativa rispetto alla posizione assunta sul mercato. Gli importi versati a copertura dei margini vengono tenuti dalla Cassa fino alla scadenza dell operazione. Peraltro, la transazione a cui il contratto si riferisce generalmente non è eseguita a termine in quanto la posizione viene solitamente chiusa alla scadenza (o prima) con un operazione di segno opposto. Immaginiamo che un operatore decida di acquistare un contratto future del valore nominale di 100mila euro di Btp al prezzo di 99,10. Al momento della negoziazione del contratto, sia chi compra sia chi vende dovrà versare alla Clearing House il margine iniziale, che ipotizziamo essere pari all 1,5% del. valore nominale del contratto. Supponendo che il prezzo di chiusura di quello stesso giorno sia pari a 98,90, il meccanismo del mark to market porterà la Clearing House ad incassare dall acquirente, a titolo di margine di variazione, la differenza tra il prezzo di acquisto e il prezzo di chiusura, il tutto moltiplicato per il valore nominale della posizione assunta (nel nostro caso 0,20 x /100 = 200 euro), somma che la Clearing House riverserà contestualmente sul conto dei margini del venditore. Se il giorno successivo la quotazione di chiusura del future scende a 98,58 analogamente a prima la Clearing House preleva dal conto dei margini dell acquirente il relativo ammontare e lo versa sui conto dei margini del venditore. Quando il terzo giorno la quotazione del titolo sale a 98,80 il conto dei margini dell acquirente viene accreditato dell ammontare corrispondente, e così via sino alla chiusura della posizione. Nel momento in cui l acquirente chiude la sua posizione la sua perdita netta cumulata è pari al guadagno netto del vendi-

40 40 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI tore del future. Il meccanismo descritto del mark to market non è presente nei forward poichè alla scadenza del contratto si scambia il seguente differenziale: P (S, T ) Q (t, S, T ) mentre nei futures il differenziale viene spezzato giorno per giorno: 1 Giorno Q (t +1,S,T) Q (t, S, T ) 2 Giorno Q (t +2,S,T) Q (t +1,S,T) sino ad arrivare al giorno di scadenza prezzo spot= Q (S, S, T ) Q (S 1,S,T) In definitiva la variazione giornaliera del conto/margini di un venditore di un future sarà: C = q 100 V N dove V N è il valore nominale del future, q è la variazione giornaliera della quotazione; nel caso dell acquirente si avrà invece: C = q 100 V N Le principali caratteristiche e differenze tra i forward e i futures sono di seguito elencate: - i forward sono contratti bilaterali over the counter mentre i futures si sambiano su mercati regolamentati con una Clearing Hose; - i forward possono essere personalizzati tenendo conto delle caratteristiche delle controparti mentre i futures sono standardizzati per importo, scadenze e sottostante; - la liquidazione del forward avviene a scadenza quella del future prevede il meccanismo del mark to market e quindi un rischio minore; - nel caso del forward non è prevista la chiusura anticipata ma occorre attendere la scadenza mentre nel future la chiusura anticipata si ottiene sottoscrivendo un contratto di segno opposto. Il principio di non arbitraggio (mercato efficiente) è l ipotesi base su cui si fonda la derivazione del prezzo di un generico futures. Tale principio afferma che, in equilibrio, il profitto generato da un operazione finanziaria priva di rischio deve essere nullo. Si deduce allora che il prezzo del futures è detrminato correttamente se non è possibile ricavare un profitto da operazioni sul mercato a pronti e su quello a termine. Nella realtà sono due le operazioni che si possono fare e che vengono dette cash and carry e reverse cash and carry. Nella primasiacquistailtitoloaprontiprendendoaprestitolasommanecessaria e contemporaneamente si vende il relativo contratto futures: alla scadenza del futures si consega il titolosottostante e con la somma incassata si restituisce il prestito. Nel reverse cash and carry si vende il titolo e si acquista il futures. Se

41 3.3. FUTURES 41 si effettua un cash and carry su un titolo che non produce reddito a scadenza (uno zero coupon o un azione senza dividendi) il prezzo di equilibrio del futures sarà: F t,t = S t (1 + r t,t ) T t dove F t,t è la quotazione del futures alla data t con scadenza in T, S t è il prezzo deltitoloaltempoter t,t èiltassodifinanziamento sul periodo (t,t); a destra dell equazione è indicato il costo e a sinistra il ricavo. L azienda o il privato che effettua una compravendita in futures può avere due finalità prevalenti: di copertura (hedging) di posizioni sul mercato a pronti 4 ; di speculazione, scommettendo sul rialzo o ribasso di prezzo dell attività sottostante; una terza finalità meno diffusa è quella di arbitraggio, che ha il fine di sfruttare momentanee anomalie tra i mercati a pronti e a termine 5. In generale i futures (e in generale i derivati) permettono di gestire in modo efficiente i rischi legati all andamento di un portafoglio poichè possono essere pensati come una sorta di polizza assicurativa. Azioni di investimento quali l acquisto di titoli di Stato (soggetti al rischio connesso con l andamento dei tassi d interesse), la compravendita in valute (soggetta al rischio di cambio) e la compravendita in azioni (soggetta al ris- 4 Le operazioni di copertura servono a ridurre il rischio. Quando si utilizzano i futures, esistono diversi modi per compensare un esposizione al rischio di oscillazioni del prezzo di un attività. In linea di massima, se l esposizione comporta un profitto quando il prezzo dell attivita sale e una perdita quando scende è opportuno usare una copertura corta (short hedge); questo terrnine vuol dire che occorre assumere una posizione corta in futures (vendere futures) e. indica una strategia opportuna per chi, ad esempio, possiede un attività che pensa di vendere.in futuro. Se invece I esposizione comporta un profitto quando il prezzo dell attivita scende e una perdita quando sale è opportuno usare una copertura lunga (long hedge); ciò vuol dire che occorre assumere una posizione lunga in futures (comprare futures) e indica una strategia opportuna per chi, ad esempio, vuole o deve acquistare un attività in futuro. 5 L arbitraggio consiste nel bloccare un profitto privo di rischio entrando simultaneamente in transazioni che riguardano due o piu mercati. Ad esempio, è possibile effettuare un arbitraggio quando il prezzo futures di un attività si porta fuori linea rispetto al suo prezzo spot a pronti. Si ipotizzi,ad esempio, che il prezzo di un azione, trattata sia alla borsa di New York che a quella di Londra, sia di 172 dollari a New York e di 100 sterline a Londra mentre il tasso di cambio dollaro/sterlina sia di 1,75 dollari contro 1 sterlina. Date queste condizioni, un arbitraggista potrebbe simultaneamente comprare 100 azioni a New York e venderle a Londra per ottenere senza rischio un profitto di (1,75 x ) x 100 = 300 dollari, in assenza di costi di transazione. Probabilmente, la presenza di costi di transazione eliminerebbe le possibilità di arbitraggio per i piccoli investitori ma offrirebbe comunque la possibilità alle grandi società finanziarie di portare a casa dei profitti. E tuttavia evidente che opportunità di arbitraggio del tipo di quelie ora descritte non possono durare a lungo. Per effetto dell interazione delle forze di domanda a offerta, quando gli arbitraggisti compreranno le azioni a New York il prezzo in dollari aumenterà; analogamente, per effetto della vendita delle azioni a Londra il prezzo in sterline verrà spinto verso il basso. Di conseguenza, i due prezzi delle azioni diventeranno rapidamente equivalenti in base al tasso di cambio corrente. In generale, le opportunità di arbitraggio non esistono nei mercati efficienti; del resto, poichè è difficile che i mercati siano completamente efficienti, il meccanismo sopra descritto e la stessa esistenza degli arbitraggisti indicano che di fatto i prezzi quotati nella maggior parte dei mercati fmanziari offrono delle opportunità, seppur piccolissime, di arbitraggio.

42 42 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI chio di fluttuazioni di prezzo) possono essere efficacemente protette mediante l utilizzo dei futures. Le coperture perfette (perfect hedge) sono tuttavia molto rare e le principali cause possono essere evidenziate come segue: la durata della copertura è diversa dalla scadenza naturale del futures; la merce o il sottostante che deve essere coperto non coincidono con l attività sottostante del futures; non è nota esattamente la data di acquisto o di vendita della merce o del sottostante. Tali cause generano il cosiddetto rischio base, definito come: P s P f dove P s è il prezzo a pronti dell attività da proteggere e P f è il prezzo del contratto futures da usare. Ad influenzare il rischio base in maniera rilevante è la scelta del contratto futures. Quando si deve coprire un rischio finanziario sorto dalla compravendita di una merce o di un sottostante su cui non è disponibile un future allora si eseguono delle analisi statistiche; si studiano le correlazioni esistenti tra l andamento dei prezzi di due o più attività e si sceglierà quel derivato che avrà la più alta correlazione con il bene sul quale si desidera effettuare l hedge. Riguardo al tempo è possibile affermare che il rischio base è legato al tempo in maniera direttamente proporzionale: maggiore è la distanza temporale tra la scadenza della copertura e la data di scadenza del future più grande è il rischio base Futures su tassi di interesse Gli interest rate futures sono contratti che hanno come sottostante un attività il cui valore dipende essenzialmente dal livello dei tassi d interesse; in Italia un esempio di contratti di questo tipo sono i futures su titoli di Stato a più lunga scadenza (BTP a 5, 10 anni). Vediamo ora di spiegare i relativi concetti di nozionale e di titoli effettivamente consegnabili. In generale, quando si parla di contratti future ci si riferisce ad accordi per I acquisto o la vendita di un attività identificata da caratteristiche ben definite enonmodificabili, da consegnare a una data futura, per un dato prezzo che esprime il valore attribuito alle sue future disponibilità. Questo è senz altro vero, ad esempio, per i futures su valute, dove l oggetto del contratto è un ammontare definito di una certa valuta. Per altri tipi di sottostante, quali per esempio i Btp, a meno di non creare tanti mercati quanti sono i diversi titoli in circolazione, si impone l obbligo di cercare qualche criterio che consenta di riferire allo stesso contratto le diverse scadenze e tipologie disponibili. Questo consentirebbe di creare un unico mercato, al contempo di riferimento e sufficientemente liquido per garantire la continua negoziabilità dei contratti stipulati. La soluzione individuata a tale problema è concettualmente semplice, anche se la sua realizzazione introduce delle complicazioni ulteriori rispetto al future

43 3.3. FUTURES 43 tradizionale: anzichè definire come sottostante un titolo esistente, si può pensare di scegliere. un titolo fittizio le cui caratteristiche siano perfettamente definite e note alla data di scadenza di ogni future. Sarà questo lo strumento finanziario che costituisce il comune termine di confronto tra tutti gli altri titoli. Questo titolo astratto, detto nozionale, è identificato dalla durata, dal livello e dalla periodicità della cedola; per esempio, nel caso dei future BTP, il contratto è convenzionalmente riferito a un titolo nozionale, in relazione al quale il mercato esprime le proprie valutazioni. Una volta definito il titolo convenzionalmente utilizzato per la quotazione, restadarisolvereunaltroproblema: seilprezzodelfutureèriferitoaduntitolo di caratteristiche definite ma che non esiste, qual è il rapporto che intercorre tra questo nozionale e i diversi titoli esistenti? In altre parole, come è possibile ottenere il prezzo a termine di un titolo. esistente nota la quotazione del future? Sarebbe possibile risolvere il problema se fosse. possibile determinare un fattore di conversione tra il prezzo del nozionale e il titolo di cui intendo determinare il prezzo a termine. La determinazione di questo fattore può essere fatta nel modo che descriviamo brevemente. Per costruzione sappiamo che, il giorno di consegna del future, il nozionale vale 100 e rende esattamente la cedola (annuale) con cui è definito. Che prezzo dovrà avere allora un determinato titolo per essere finanziariamente equivalente al nozionale il giorno di consegna del future? La risposta a quest ultima domanda è semplice: il prezzo cercato è quella quotazione che determina un rendimento a scadenza del titolo in questione pari al rendimento a scadenza del nozionale, che come abbiamo visto è perfettamente determinato. II fattore di conversione f c cercato è dunque il valore relativo del titolo reale rispetto a quello nozionale; entrambi i titoli sono valutati a una stessa data, quella di consegna, e inunastessacondizionefinanziaria, per convenzione quella in cui il rendimento a scadenza è pari al tasso cedolare del titolo nozionale. Si ha pertanto: f c = CS c CS n dove CS c è il corso secco del titolo consegnabile alla data di scadenza. del contratto e CS n (=100) è il corso secco del titolo nozionale aila data di scadenza del contratto. Nella pratica, poichè possono esistere diverse convenzioni per il caicolo dei prezzi, le singole Borse stabiliscono dei criteri inderogabiii per il calcolo del fattore di conversione. Ad esempio, sia al LIFFE (London International Financial Futures Exchange) che al MIF (Mercato Italiano dei Futures) si procede nel seguente modo: si calcola il prezzo del titolo consegnabile alla prima data di stacco cedola successiva alla scadenza del contratto future, in modo da effettuare i calcoli su semestri interi (i Btp hanno infatti tutti cedole semestrali); il prezzo così ottenuto viene attualizzato alla data di consegna dei titoli; il risultato dell operazione è il prezzo tel quel del titolo consegnabile; si sottrae il rateo di cedola in corso di maturazione alla data di consegna, ottenendo il corso secco del titolo consegnabile;

44 44 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI si divide il corso secco cosi ottenuto per il corso secco del titolo nozionale (per definizione pari a 100), ottenendo il fattore di conversione del titolo consegnabile. Il calcolo del corso secco richiede l uso di una formula complessa che non riportiamo ma il significato generale è quello descritto. Se il contratto giunge a scadenza, perchè non è stato Iiquidato prima dal suo possessore, si arriva a dover consegnare (in caso di vendita del future) ovvero a ricevere (in caso di acquisto) un titoio che, in realtà, non esiste sul mercato. Grazie però al meccanismo del fattore di conversione, sarà possibile mettere in relazione un insieme di titoli assimilabili al nozionale che potranno essere consegnati in sua vece (delivery basket). Alla scadenza del contratto ii venditore, non potendo consegnare un titolo nozionaie, consegnerà dunque uno dei titoli presenti nel delivery basket. Egli, se da un lato ha I obbligo contrattuale di consegnare un titolo con un rendimento pari a quello del nozionale, dall altro ha la facoltà di scegliere quale titolo consegnare tra quelli disponibili. La scelta ricadrà ovviamente su quello che gli consentirà di ottenere il massimo profitto o la minima perdita relativa; in tale contesto, tale titolo è detto cheapest to deliver (CTD). Ognuno dei titoli consegnabili è caratterizzato da un proprio fattore di conversione f ci rispetto al titolo nozionale, che consente di poter confrontare tra loro i singoli titolidel paniere, il titolo cheapest to deliver per il venditore del future è quello per il quale risulta verificato il problema di ottimizzazione definito dalla seguente formula di incasso: maxq f ci + RAT i PTQ i =maxq f ci PSEC i i i Q f ci prezzo del future quotato per il fattore di conversione i-esimo RAT i rateo di interesse alla data di consegna PTQ i prezzo tel quel del titolo i-esimo 3.4 Floater I floater sono titoli a cedola variabile; la cedola che viene pagata a scadenza non è stata stabilita al tempo t =0ma viene fissata al momento del distacco sulla base di determinati tassi presenti al momento nel mercato. Se mi chiedo quale sia il prezzo oggi di un titolo che tra un anno mi renderà il tasso ad un anno più il valore nominale, dovrò risolvere: V 0 (100 + R 1 ) = 100 vale a dire R = R 1 se il tasso ad un anno R 1 sarà ad esempio 6%, incasserò: = 100

45 3.5. SWAP 45 Nel caso di un titolo a 2 anni conosco la cedola R 1, perchè è data dal tasso tra 0 e 1, ma non è nota la cedola R 2 ; il valore nominale pari a 1 è soggetto ad esempio alla capitalizzazione: 1 (1 + R 1 ) (1 + R 1 ) ³1+ r 2 e si avrà quindi: 1=V 0 ³(1 + R 1 ) ³1+ r 2 = V 0 ³³1+ r 2 + r 1 ³1+ r 2 Il floater al tempo intermedio di distacco della cedola R 1 redistribuisce l ammontare degli interessi e quindi riporta al valore 1 l ammontare del titolo considerato, è come se il titolo venisse sempre riportato alla pari ad ogni periodo di distacco cedola. 3.5 Swap Lo swap è un contratto in base al quale due parti assumono il reciproco impegno a scambiarsi pagamenti periodici su un capitale di riferimento.(detto nozionale) per un periodo di tempo prefissato. Le più comuni tipologie di swap hanno ad oggetto tassi d interesse (interest rate swaps) o valute (currency swaps). Nella forma contrattuale più semplice meglio nota come plain vanilla swap I accordo delle parti prevede lo scambio di un pagamento a tasso di interesse fisso per tutta la durata del contratto con un pagamento a tasso di interesse variabile, calcolato in funzione deil andamento di un determinato indice. Nei plain vanilla swaps le date di liquidazione dei flussi coincidono, in modo da rendere possibile il regolamento per compensazione; il parametro di indicizzazione utilizzato per i pagamenti a tasso variabile è generalmente un tasso di mercato monetario avente scadenza pari al periodo di liquidazione degli interessi, solitamente il LIBOR 6 (a3oa6mesi)oeuribor 7. 6 LIBOR is the rate on dollar-denominated deposits, also know as Eurodollars, traded between banks in London. The index is quoted for one month, three months, six months as well as one-year periods. LIBOR is the base interest rate paid on deposits between banks in the Eurodollar market. A Eurodollar is a dollar deposited in a bank in a country where the currency is not the dollar. The Eurodollar market has been around for over 40 years and is a major component of the International financial market. London is the center of the Euromarket in terms of volume. The LIBOR rate quoted in the Wall Street Journal is an average of rate quotes from five major banks. Bank of America, Barclays, Bank of Tokyo, Deutsche Bank and Swiss Bank. The most common quote for mortgages is the 6-month quote. LIBOR s cost of money is a widely monitored international interest rate indicator. 7 European banks considered that the introduction, in 1999, of the single currency made it necessary to establish a new interbank reference rate within the Economic and Monetary Union: Euribor. Euribor (Euro Interbank Offered Rate) is the benchmark rate of the large euro money market that has emerged since It is sponsored by the European Banking Federation (FBE), which represents the interests of 3,000 banks in the 15 Member States of the European Union and in Iceland, Norway and Switzerland and by the Financial Markets Association

46 46 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI Lo swap è uno strumento estremamente flessibile e questo è sicuramente uno dei motivi del suo rapido sviluppo nel campo dell asset liability management In particoiare esso consente di: a) modificare il costo delle passività o il costo del rischio.di mercato, mediante la trasformazione di un prestito a tasso variabile in uno a tasso fisso e/o viceversa (liability swap); b) completare il mercato mediante la creazione di attivita sintetiche, ossia ottenute dalla combinazione di swaps con obbligazioni o strumenti del mercato monetario in modo da ottenere attività con caratteristiche tecniche diverse da quelle reperibili sul mercato (asset swap). Solitamente si ricorre alla teoria dei vantaggi comparati per spiegare i motivi che spingono le parti a stipulare un contratto swap. Talvolta alcune società sembrano avere dei vantaggi comparati nel mercato del tasso fisso mentre altre sembrano averli in quello a tasso variabile. Dovendo negoziare un finanziamento, una società potrebbe allora ricorrere a quel mercato dove ha un vantaggio, ma ciò potrebbe portare a indebitarsi ad un tasso (ad esempio quello fisso) diversodaquellodesiderato(supponiamoquellovariabile). Questasituazione potrebbe essere risolta da uno swap, che ha proprio I effetto di trasformare un finanziamento a tasso fisso in uno a tasso variabile, o viceversa. Un esempio potrà chiarire meglio il concetto. Supponiamo che due società, A e B, abbiano bisogno di un finanziamento di 1 milione. per 5 anni e che possano indebitarsi alle condizioni riportate di seguito. Supponiamo inoltre che la società B voglia indebitarsi a tasso fisso mentre la società A voglia indebitarsi a un tasso variabile indicizzato al LIBOR a 6 mesi. Società Tasso fisso Tasso variabile A 10% Libor6m + 0.3% B 11.2% Libor6m + 1% Dai dati dell esempio emerge evidentemente che il mercato attribuisce alla società B un rating creditizio piu basso, in quarto B paga un tasso più alto di A. In entrambi i casi tuttavia, le differenze non sono identiche in quanto B paga 1,20% in piu di A sul tasso fisso e solo 0,70% in più su quello variabile; B sembra (ACI). Euribor is the rate at which euro interbank term deposits are offered by one prime bank to another prime bank and is published at a.m. Euribor was first published on 30 December 1998 for value 4 January The choice of banks quoting for Euribor is based on market criteria. These banks are of first class credit standing. They have been selected to ensure that the diversity of the euro money market is adequately reflected, thereby making Euribor an efficient and representative benchmark. Since its launch, Euribor has become a reality on the derivatives markets and is the underlying rate of many derivatives transactions, both OTC and exchange-traded. Eonia (Euro OverNight Index Average) is the effective overnight reference rate for the euro. It is computed as a weighted average of all overnight unsecured lending transactions undertaken in the interbank market, initiated within the euro area by the contributing banks. Eonia is computed with the help of the European Central Bank. The banks contributing to Eonia are the same as the Panel Banks quoting for Euribor. Since its launch, Eonia is the underlying rate of numerous derivatives transactions.

47 3.5. SWAP 47 quindi avere un vantaggio comparato nel mercato del tasso variabile mentre A sembra averlo su quello del tasso fisso. L ammontare in gioco è il differenziale tra 1.20 e 0.70=0.50, in queste condizioni puo essere profittevole per entrambi stipulare uno swap per spartirsi quel 0.50 in termini di minori tassi da pagare. Uno swap in cui A indebitato al tasso fisso del 10% annuo riesca a ricostruire i flussi di un finanziamento a tasso variabile e B indebitato al tasso variabile LIBOR + 1,00% per anno riesca a ricostruire i flussi di un indebitamento a tasso fisso. Assumiamo che A e B stipulino direttamente lo swap, anche se ciò accade piuttosto raramente a causa della presenza di intermediari; in tal caso possiamo ipotizzare che in base agli accordi presi, A paghi a B un interesse del LIBOR a 6 mesi su un capitale di 1 milione. e, in contropartita, B paghi ad A un flusso di interessi al tasso fisso del 9,95% sullo stesso capitale. In sostanza, la società A ha tre tipologie di flussi di cassa, perchè 1. paga il 10,00% annuo a finanziatori esterni (mercato); 2. riceve il 9,95% annuo da B; 3. paga il LIBOR a B. Considerati insieme, i primi due cash flows comportano un costo di 0,05% annuo; di conseguenza, considerando l effetto netto dei tre cash flows, e come se A pagasse il LIBOR + 0,05% annuo per avere un finanziamento a tasso variabile. Ad ogni modo, considerando che A avrebbe potuto finanziarsi direttamente sul mercato a tasso variabile al LIBOR + 0,30% annuo, il profilo finanziario complessivo dell operazione fa risparmiare ad A uno 0,25% annuo. Prendiamo in esame i flussi di cassa della società B. Anche B ha tre tipologie di flussi, poiche: 1. paga il LIBOR + 1,00% annuo ai finanziatori esterni (mercato); 2. riceve il LIBOR da A; 3. paga ii 9,95% annuo ad A. Considerati insieme, i primi due cash flows comportano un costo dell 1,00% annuo; di conseguenza, considerando l effetto netto dei tre cash flows, è come se B pagasse il 10,95% annuo per indebitarsi a tasso fisso. Considerando the B avrebbe potuto finanziarsi direttamente sul rnercato a tasso fisso all 11,20% annuo, il profilo finanziario complessivo dell operazione fa risparmiare a B uno 0,25% annuo. Lo swap ha quindi migiiorato la posizione sia di A che di B di uno 0,25% annuo; in altri termini si può dire che l accordo ha comportato un guadagno totale di 0,50% annuo. Gli swaps vengono generalmente scambiati nei mercati non regolamentati (over the counter) senza esborsi di cassa iniziali. In linea teorica, le controparti interessate potrebbero concludere direttamente un contratto di swap, solitamente pero vi è l intervento di un intermediario finanziario. Quando nel contratto interviene un intermediario finanziario (ad esempio una banca), questi diventa la controparte diretta dei singoli contraenti. Riprendendo l esempio fatto in precedenza, ciò vuol dire che le società A e B anzichè contattarsi direttamente trattano esclusivamente con un intermediario finanziario; ma vuol dire anche che ii guadagno potenziale dell operazione (0,50% annuo nel nostro caso) viene diviso tra A, B, e l intermediario.

48 48 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI Con un contratto swap si consente ai soggetti di indebitarsi a tassi inferiori sfruttando le informazioni che consentono di ricavare la struttura per scadenza dei tassi swap con una tecnica che va sotto il nome di bootstrapping. Tale tecnica può essere applicata per la ricerca dei tassi spot che hanno esattamente le scadenze dello swap. In particolare per calcolare il tasso spot ad un anno utilizzerò il tasso swap R SW (1) ad un anno nel seguente modo: 100 = R SW (1) 100 R 1 = R SW (1) 1+R 1 e per il calcolo di R 1 analogamente si procederà: 100 = R SW(2) R SW(2) R 1 (1 + R 2 ) 2 Ã! R SW (2) 100 R 2 = R SW (2) R 1 La metodologia probabilmente più diffusa di pricing per gli swap si basa proprio sulle informazioni desumibili dalla term structure. Questa viene utilizzata dapprima per determinare il valore attuale dei flussi della parte fissa e poi per ricavare i tassi.forward impliciti nella curva dei tassi spot necessari per stimare i flussi di pagamento della parte variabile; dopodichè, la struttura dei tassi spot viene utilizzata per attualizzare tutti i flussi di pagamento, sia della parte fissa che della parte variabile. II prezzo di uno swap (Ps) al tempo t sarà dato dalla differenza tra il valore attuale della somma dei pagamenti da ricevere e il valore attuale della somma dei pagamenti da effettuare. Collocandoci nell ottica del ricevente il tasso fisso (F), in formule sarà: Ps t = nx k=1 F (1 + s t+k ) k nx k=1 f t+k,t+k+1 (1 + s t+k ) k dove f t+k,t+k+1 è il tasso forward relativo al periodo da t + k a t + k +1, s t+k è il tasso spot riferito alla scadenza t + k, Fèiltassofisso e Ps t è il prezzo dello spot al tempo t. Per il principio di equivalenza finanziaria, al momento della stipula del contratto, lo swap vale zero. Se ne deduce che il tasso fisso F sarà quel tasso che, una volta noti gli spot e i forward, eguaglia la parte fissa a quella variabile: nx k=1 f t+k,t+k+1 (1 + s t+k ) k = nx k=1 e quindi al momento della stipula deve valere: nx F = k=1 nx k=1 f t+k,t+k+1 (1+s t+k ) k 1 (1+s t+k ) k F (1 + s t+k ) k

49 3.5. SWAP 49 Si consideri ad esempio un ipotetico swap con le seguenti caratteristiche: scadenza: 3 anni notional value: 100 milioni. periodicità: annuale tasso variabile: LIBOR a 1 anno per la prima scadenza, tassi forward su depositi trimestrali a 2 e 3 anni per le scadenze successive Tempo (anni) Tasso spot Fattore sconto Tasso variabile Valore attuale % = % = ( ) 1 ( ) % 1 ( ) 2 = % ( ) 2 = % 1 ( ) 3 = % ( ) 3 = Totale F = =10.60% Unaltrotipodiffuso di swap è il currency swap, nel quale il capitale e gli interessi espressi in una divisa sono scambiati contro capitale ed interessi espressi in un altra divisa. Molteplici sono le possibilità di adoperare gli swap per gestire i flussi di cassa e svariati sono gli obiettivi inseguiti dagli utilizzatori di tale strumento. Generalmente, gli swap sono usati per ricoprire o modificare posiziona di rischio e per adeguare un deterrmnato flusso ad una desiderata struttura.. Essi vengono anche utilizzati al fine di cogliere valore nel rnercato. Per esempio, grazie ad uno swap, è possibile ridurre l effetto costo di un finanziamento o aumentare il rendimento realizzato su un investimento. Questo cogliere valore dal mercato è ottenibile sia arbitraggiando differenti segmenti del mercato sia avvantaggiandosi di anomalie del mercato. Inoltre, gli swap consentono di accedere indirettamente a mercati non facilmente o non efficientemente accessibili. Per esempio, una società americana non conosciuta in Giappone potrebbe indebitarsi in Yen ricorrendo ad un currency swap che le consenta di trasformare il suo debito in dollari in un debito in Yen. Un altro esempio è rappresentato da una società con basso rating di credito che si vede preclusa la possibilità di accedere all indebitamento a lungo termine. Mediante un interest rate swap, la società può trasfomare il suo debito a tasso variabile a breve termine in un debito a tasso fisso a medio lungo termine. Il domestic currency swap è una transazione finanziariamediantelaquale due controparti, aventi delle posizioni di uguale ammontare ma di segno opposto nella stessa valuta, annullano i rischi di cambio connessi a tali posizioni. Generalmente, in un contratto domestic currency swap le controparti sono costituite da un esportatore e da un importatore, i quali desiderano prefissare il valore del tasso di cambio al quale verranno regolati loro rapporti.in valuta. Naturalmente, l interesse ad intraprendere il contratto è reciproco quando l esportatore teme una possibile svalutazione del suo credito e l importatore una rivalutazione del suo debito.

50 50 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI La caratteristica fondamentale dell operazione, è che può essere pensata come la combinazione di due contratti forward poichè non vi è lo scambio degli importi valutari sottostanti. Infatti alle scadenze stabilite, le parti si scambiano solamente le differenze che si saranno verificate tra il tasso di cambio effettivo e il tasso di cambio prefissato. Di fatto, quindi, il domestic currency swap si sostanzia in un contratto regolato in euro indicizzato ad una valuta estera. Tale tipo di swap presuppone l intermediazione di un operatore bancario o finanziario, il quale, tra l altro, si assume il rischio di insolvenza di una delle due parti. Altre tipologie di swap sono le seguenti, ma molte altre ne vengono continuamenteintrodotteneimercati. Uno zero coupon swap è uno swap in cui una delle controparti fa un pagamento in un unica soluzione invece che produrre pagamenti durante la vita dello swap. Generalmente questo unico pagamento viene effettuato alla scadenza dello swap, ma le parti potrebbero anche accordarsi per un pagamento in unica soluzione da effettuarsi all inizio oppure durante la vita dello swap. Un basis swap è uno swap in cui si scambia un tasso variabile con un altro tasso variabile. Un forward swap (o deferred swap) è uno swap in cui c e un significativo lassotemporaletraladataincuiloswapvienenegoziatoeladataeffettiva dello swap. Un extendable swap è un contratto in cui le due parti hanno la possibilità di estendere la vita dello swap e un puttable swap è un contratto in cui una delle parti ha l opzione di porre fine anticipatamente al contralto. Una forma di contratto che combina swap e opzioni è rappresentato dallo swaption, uno strumento derivato che concede al detentore il diritto di decidere se mettere in atto, ad una data e a condizioni determinate, uno swap. 3.6 Opzioni La Chicago Board Options Exchange (CBOE) fu creata nell Aprile 1973 dal Chicago Board of Trade per trattare opzioni su azioni. Le opzioni vennero introdotte principalmente per controbilanciare l instabilità dei tassi di interesse e di cambio. Lo stesso anno fu pubblicato il modello di Black-Scholes che ha rappresentato una pietra miliare della moderna finanza matematica ed è stato il primo modello di valutazione in tempo continuo ad essere utilizzato immediatamente nei mercati finanziari. Abbiamo già descritto le caratteristiche del mercato e i rischi a cui puo andare incontro un intermediario. Le opzioni sono uno strumento moderno ed efficace per proteggersi al rischio di mercato. Le opzioni possono essere di tipo call o put a seconda che si decida di acquistare o vendere una certa quantità di arance, azioni Fiat, indici di borsa, sterline o grano. CALL: ad una prefissatadatafutura(calleuropea), detta scadenza, il possessore del contratto ha il diritto (ma non l obbligo) di acquistare dalla controparte

51 3.6. OPZIONI 51 Payoff Payoff E S T E S T Call lunga Payoff Call corta Payoff E Put lunga S T E Put corta S T Figura 3.1: Operazioni elementari con call e put un attività finanziaria, detta sottostante, ad un prezzo prefissato, detto prezzo di esercizio. L attività finanziaria (o titolo) sottostante può prevedere l acquisto di una o più azioni o obbligazioni, o di un indice di borsa, o di una determinata quantità di una merce (materie prime come oro, petrolio, rame o prodotti agricoli, etc.), o di una valuta estera o di futures. Il possessore è investito di un diritto mentre chi emette il contratto (lo scrivente) è investito di un obbligo. A forma di compensazione di questo obbligo il possessore paga allo scrivente una somma ( spesso chiamata premio): il problema dell option pricing è determinare quanto si debba pagare per ottenere questo diritto. Tale diritto verrà esercitato solo se alla scadenza il prezzo del sottostante sarà superiore al prezzo di esercizio. Se il possessore può esercitare il suo diritto in qualsiasi momento dall emissione fino alla scadenza l opzione si dice americana. La somma che il possessore di un opzione call europea può ottenere alla data di scadenza è: c =max(s E,0) (3.6) dove c è il valore intrinseco, S il prezzo del sottostante e E il prezzo di esercizio. Esiste anche un valore temporale nel senso che può avvenire di possedere

52 52 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI una opzione americana con cui si sta guadagnando ma decidere di non esercitare subito. PUT: quando il possessore acquista il diritto a vendere il sottostante. Il possessore di una put europea eserciterà il suo diritto solo se il prezzo del sottostante sarà inferiore al prezzo di esercizio alla data di scadenza: p =max(e S, 0) (3.7) Quattro tipi di operazioni elementari sono possibili con le opzioni, come descrtto in figura 3.1: 1)acquisto di una call(o posizione lunga su una call); 2)acquisto di una put; 3)vendita di una call; 4)vendita di una put. Le opzioni europee sono caratterizzate dal loro valore finale detto payoff alla scadenza. Supponendo che E sia sempre il prezzo di esercizio e S T il prezzo finale del titolo sottostante, il valore finale (payoff) di una call lunga europea è: max (S T E,0) (3.8) da cui si deduce che: se S T >El opzione viene esercitata, se S T E non viene esercitata. Per una call corta il valore finale sarà: Per una put lunga: max (S T E,0) = min (E S T, 0) (3.9) Infine per una put corta il valore finale vale: max (E S T, 0) (3.10) max (E S T, 0) = min (S T E,0) (3.11) I prezzi di esercizio delle opzioni vengono decisi dalla Borsa. Riguardo alle date di scadenza una caratteristica dell opzione su azione è il mese in cui tale scadenza cade. La scadenza precisa è rappresentata dalle ore 22:59 del sabato successivo al terzo venerdi del mese di scadenza, quest ultimo è l ultimo giorno in cui l opzione viene trattata. Chi ha acquistato un opzione ha tempo fino alle 16:30 di venerdi per ordinare al broker di esercitare. Il broker a sua volta ha tempo fino alle 22:59 del giorno dopo (sabato) per compilare il modulo con cui comunica alla Borsa la volontà di esercitare. Una terminologia particolare riguarda la posizione del possessore di un opzione rispetto ai flussi di cassa che questa genera. Un opzione si dice in the money (nel caso call S>E) quando comporterebbe un flusso di cassa positivo se venisse esercitata in quel momento. Ovviamente l esercizio avviene solo se l opzione è in the money.un opzione si dice invece at the money se il flusso di cassa generato

53 3.6. OPZIONI 53 è nullo (nel caso call S = E). Infine si dice out of the money se l esercizio genera un flusso negativo (nel caso call S<E). Un aspetto caratteristico del mercato delleopzioniriguardalamodalitàdi contrattazione. Le Borse hanno dei soci a cui è assegnato un seggio e i soci sono gli unici autorizzati ad entrare nel floor. Gli scambi in Borsa vengono regolati da individui detti market makers. Un market maker stabilisce per un opzione un prezzo denaro (bid) e un prezzo lettera (ask). Il bid è il prezzo con il quale è disposto a comprare, l ask quello con il quale è disposto a vendere. Al momento della contrattazione il market maker non sa se sta facendo il prezzo per un investtore che acquista o che vende. Ovviamente l ask è maggiore del bid e la differenza è detta bid-ask spread. Esistono dei limiti fissati dalla Borsa per i valori che tale spread può assumere. Si dicono invece floor brokers coloro che eseguono gli ordini per conto dei broker che a loro volta ricevono gli ordini dagli investitori. Riguardo ai depositi di garanzia, quando si acquistano calls e puts si deve pagare l intero prezzo. Quando si vendono opzioni bisogna effettuare un deposito di garanzia presso il proprio broker che a sua volta lo effettuapressolaocc (Options Clearing Corporation), la quale garantisce che i venditori di opzioni mantengano gli impegni. Il deposito di garanzia serve quindi ad accertare che l investitore non sia insolvente all esercizio dell opzione e la dimensione di tale deposito dipende dalle circostanze. Quando un investitore vuole esercitare un opzione deve avvertire il suo broker,questoasuavoltaavverteilsociodellaoccchegliregolaleoperazioni. La OCC sceglie a caso un socio che abbia una posizione corta sulla stessa opzione. Il socio a questo punto, seguendo una procedura stabilita, sceglie un investitore che abbia venduto l opzione. Se l opzione è una call l investitore deve vendere il titolo al prezzo di esercizio, se è una put deve acquistare il titolo sempre al prezzo di esercizio. In questo modo si dice che l investitore è stato assegnato. Comunque non tutte le opzioni vengono trattate in Borsa. La maggior parte delle opzioni su valuta e su tassi di interesse vengono trattate nel mercato OTC (Over The Counter), ad esempio tra due istituti finanziari o tra un istituto e i suoi clienti societari. Le opzioni nell OTC di solito sono più costose di quello che sarebbero se fossero trattate in Borsa. Questo poichè l istituzione finanziaria vuole coprirsi dai rischi. Ifattoricheinfluenzano il valore delle opzioni possono essere identificati nei sei seguenti. 1) Il prezzo corrente dell azione. 2) Il prezzo di esercizio. Per come è definito il valore finale di una call, le calls valgono di più al crescere del prezzo dell azione e valgono di meno al crescere del prezzo di esercizio. Le puts si comporteranno in maniera opposta. 3) La vita residua. L effetto di questo fattore è diverso a seconda che si parli di opzioni americane o europee. Nel caso di opzioni americane le calls e le puts valgono di più al crescere della vita residua. Se si considerano due opzioni che differiscono solo per la data di scadenza allora chi possiede l opzione americana con la vita residua maggiore ha maggiori opportunità di esercizio del possessore

54 54 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI dell opzione con vita residua minore. Per le opzioni europee tale relazione di crescenza non sussiste più poichè possono essere esercitate solo alla scadenza. 4) La volatilità del prezzo dell azione, cioè l incertezza sui futuri movimenti del prezzo del titolo. Nell ambito della matematica finanziaria classica la definizione di volatilità può essere messa in relazione a quella di altri importanti parametri quali l elasticità e la duration. Nella valutazione di strumenti finanziari, tali parametri forniscono informazioni riguardo alla sensitività del valore attuale rispetto a variazioni inattese dei tassi di interesse. L elasticità del prezzo è il rapporto tra il cambiamento percentuale del prezzo e il cambiamento percentuale dei tassi di interesse nel mercato per un coupon e un valore facciale dati. La duration è una misura dell elasticità. La volatilità allora può essere definita come il rapporto percentuale tra i cambiamenti di prezzi e i cambiamenti dei tassi nel mercato. Poichè la volatilità fornisce una misura dell incertezza sui movimenti dei prezzi futuri, ha assunto un ruolo fondamentale in ogni campo di ricerca in finanza. Il fine di un modello per la volatilità è quello di descrivere la varianza condizionale istantanea, sia per una serie storica che per un processo stocastico. Il valore delle call e delle put aumenta al crescere della volatilità. Infatti chi possiede una call trae beneficio dagli aumenti di prezzo dell azione ma ha un rischio inferiore limitato nel senso che anche in caso di riduzione del prezzo, il massimo che si può perdere è il prezzo dell opzione. La situazione è speculare nel caso della put. 5) Il tasso di interesse privo di rischio. L influenza di questo fattore sul valore delle opzioni è meno chiara. All aumentare dei tassi di interesse il tasso di crescita del prezzo dell azione tende ad aumentare. Per chi ha un opzione, il valore attuale di ogni futuro flusso di cassa diminuisce. Questi effetti tendono a far diminuire il prezzo di una put. Nel caso di una call invece il primo effetto domina il secondo e quindi all aumentare del tasso privo di rischio il valore della call aumenta. 6) I dividendi attesi durante la vita dell opzione. I dividendi fanno diminuire il prezzo delle azioni nel giorno in cui vengono staccate e quindi i prezzi delle call diminuiscono e quelli delle put aumentano. Quindi la relazione tra valore della call e dividendi è negativa mentre è positiva per la put. L ipotesi di non arbitraggio è quella su cui si basa la maggior parte dei modelli nei mercati finanziari. Tale ipotesi viene abbreviata con la dicitura AOA, in inglese è detta no free-lunch. L arbitraggio viene definito come un opportunità di investimento senza costi che consenta un guadagno certo. In particolare si consideri r il tasso certo applicato sul deposito bancario, vi è opportunità di arbitraggio se si riesce a trovare un investimento che con certezza renda più di r. Se esistesse un tale investimento un investitore cercherà di prendere a prestito soldi dal suo deposito bancario remunerato al tasso r per investirli in questo nuovo investimento più profittevole. Ciò porterà la banca ad alzare il tasso di interesse fino a che i due investimenti avranno uguale rendimento. Un rendimento superiore al tasso di interesse può infatti essere solo legato

55 3.6. OPZIONI 55 ad un fattore di rischio. Non tutti gli investitori sono propensi al rischio, ci sarà chi lascia il denaro depositato e chi investe. Una immediata applicazione del principio di non arbitraggio è data dalla relazione di parità put-call che lega il valore del titolo sottostante a quello delle opzioni di tipo put e call e al loro prezzo di esercizio. Supponiamo che un investitore costruisca un portafoglio Π acquistando il titolo sottostante, un opzione europea di tipo put e venda inoltre un opzione europea di tipo call,con stessa scadenza T e stesso prezzo di esercizio E. Il valore del portafoglio Π sarà: Π = S + p c (3.12) alla scadenza il valore è uguale con certezza al prezzo di esercizio: Π = S +max(e S, 0) max (S E,0) = E (3.13) Nel caso in cui Π fosse diversi da E si possono verificare delle opportunità di arbitraggio. Dunque: S + p c = Ee r(t t) (3.14) S + p = Ee r(t t) + c (3.15) la (3.15) è la nota put-call parity (valida solo per le opzioni europee). Tutte queste osservazioni sono valide se i titoli non pagano dividendi Hedge Si chiama copertura una qualsiasi transazione volta alla rimozione totale o parziale di un rischio indesiderato. Hedger è quindi colui che vuole ridurre il rischio e un tale operatore preferisce coprirsi dal rischio piuttosto che conseguire un profitto. La figura (3.2) mostra la situazione di un portafoglio composto da una posizione lunga sull azione e da una posizione corta su una call. In questo caso la strategia prende il nome di vendita di una call coperta. La posizione lunga sull azione copre l investitore dalla possibilità di un forte rialzo del prezzo dell azione. La linea tratteggiata indica la relazione tra profitto e prezzo dell azione per ciascuno dei titoli nel portafoglio, mentre la linea continua mostra la relazione tra profitto e prezzo dell intero portafoglio. La figura (3.3) combina una posizione corta su una put con una posizione corta sull azione. Si parla di vendita di una put difensiva. Esistono anche l acquisto di una put difensiva e l acquisto di una call coperta Spread Una strategia operativa mediante spreads si ha nel caso in cui si assumono posizioni su due o più opzioni dello stesso tipo (due o più calls o due o più puts).

56 56 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI Profitto E S T Figura 3.2: Acquisto di azione e vendita di call Il bull spread (spread al rialzo) è una delle strategie più diffuse; si realizza, ad esempio, comprando una call ad un certo prezzo di esercizio e vendendo una call con prezzo di esercizio più alto. Entrambe le opzioni devono essere scritte sullo stesso titolo ed avere la stessa scadenza. In figura la linea continua indica la somma dei profitti delle due posizioni indicati con la linea tratteggiata. Un bull spread richiede sempre un investimento iniziale perchè il valore dell opzione venduta è sempre minore di quelo dell opzione comprata in quanto il prezzo di una call diminuisce sempre al crescere del prezzo di esercizio. Se E 1 è il prezzo di esercizio della call comprata, E 2 è quello della call venduta e S T è il prezzo dell azione alla data di scadenza allora il valore finale del bull spread nei vari casi è il seguente: prezzo dell azione valore call lunga valore call corta valore totale S T E 2 S T E 1 E 2 S T E 2 E 1 E 1 <S T <E 2 S T E 1 0 S T E 1 S T E In pratica l investitore ha una call con prezzo d esercizio E 1 e decide di rinunciare a parte dei suoi profitti vendendo una call con prezzo di esercizio E 2. Rinuncia in vista del fatto che riceverà il prezzo dell opzione con prezzo di esercizio E 2. I tre diversi tipi di spread vengono elencati in ordine decrescente rispetto al rischio, nel primo caso ad esempio gli spread costano molto ed è piccola la probabilità di un elevato valore finale: 1) entrambe le calls sono out of the money; 2) una call è in the money e l altra è out of the money; 3) entrambe le calls sono in the money.

57 3.6. OPZIONI 57 Profitto E S T Figura 3.3: Vendita put e vendita azione I bull spreads possono essere fatti anche attraverso puts, in questo caso si ottiee un immediato flusso di cassa positivo ma il valore finale è minore di uno spread ottenuto mediante calls. Un altra classe di spreads è rapresentata dai bear spreads (spread al ribasso). In questo caso, contrariamente al bull, l investitore spera che il prezzo dell azione scenda. In questo caso la strategia è simile alla precedente ma il prezzo d esercizio della call acquistata è magiore del prezzo d esercizio della call venduta. Se E 1 è il prezzo di esercizio della call venduta, E 2 è quello della call comprata allora il il valore finale del bear spread è il seguente: prezzo dell azione valore call lunga valore call corta valore totale S T E 2 S T E 2 E 1 S T (E 2 E 1 ) E 1 <S T <E 2 0 E 1 S T (S T E 1 ) S T E Anche nei bear spreads si possono utilizzare le puts, in questo caso è necessario un esborso iniziale. Si noti come, relativamente alla terminologia, un mercato al rialzo si definisca bullish e bearish viceversa. Un butterfly spread si otitene, infine, assumendo una posizone su opzioni con tre diversi prezzi di esercizio. Ad esempio è possibile comprare due calls, una con prezzo di esercizio basso E 1 e una con prezzo di esercizio abbastanza alto E 3, e vendere una call con prezzo di esercizio E 2 intermedio. Questa strategia genera una perdita se c è una significativa variazione del prezzo dell azione e il profilo dei profitti è riassunto nella tabella:

58 58 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI Bull Spread mediante Calls Profitto X 1 X 2 S T Figura 3.4: prezzo dell azione valore 1 call lunga valore 2 call lunga S T E E 1 <S T E 2 S T E 1 0 E 2 <S T E 3 S T E 1 0 S T >E 3 S T E 1 S T E 3 valore calls corte valore totale S T E 1 2(S T E 2 ) E 3 S T 2(S T E 2 ) 0 Se tutte le opzioni sono europee l utilizzo delle puts genera esattamente lo stesso spread ottenuto con le calls e questo può essere verificato utilizzando la put call parity. Un calendar spread si attua quando le opzioni utilizzate hanno tutte stesso prezzo di esercizio ma diversa scadenza. Il profilo è simile a quello del butterfly spread Combinazioni Una combinazione è una strategia operativa mediante opzioni che fa uso di calls e puts sullo stesso titolo. Lo straddle è una delle combinazioni più frequenti. Si tratta di comprare una call e una put con prezzo d esercizio e scadenza uguali.

59 3.6. OPZIONI 59 Bear Spread mediante Calls Profitto X 1 X 2 S T Figura 3.5: Quando alla scadenza delle opzioni il prezzo dell azione è vicino al prezzo di esercizio E, lo straddle comporta una perdita. Lo straddle risulta particolarmente indovinato quando l investitore prevede una forte variazione del prezzo dell azione ma non sa in quale direzione questa variazione avverrà, cioè in mercati particolarmente volatili. Lo straddle in figura è detto inferiore o in acquisto, lo straddle in vendita si attua vendendo una call e una put con stesso prezzo di esercizio e scadenza. Quest ultima strategia è molto rischiosa poichè se ci sono notevoli variazioni del prezzo dell azione, le perdite possono essere illimitate Valutazione dell Opzione Il valore di un opzione è idealmente formato da due componenti: La prima è detto valore intrinseco (linea continua verde in figura) ed è legata al risultato economico che l opzione consente potenzialmente di realizzare: nel caso di una call esso sarà pari alla differenza tra il prezzo del sottostante e lo strike. Questa componente può essere considerata il valore minimo dell opzione. La seconda componente è legata alla viota residua del contratto, ossia al tempo che manca alla sua scadenza ed è comunemente definita valore temporale (area in arancio tra la linea tratteggiata e qualla continua). Il valore temporale è positivamnete correlato con la vita residua dell opzione e quindi se la scednza si avvicina tale valore tende a zero. E questo il valore che permette di sfruttare l essenza probabilistica del contratto, consistente nella dinamica futura stocastica del prezzo del sottostante. Il valore totale dell opzione (linea tratteggiata viola) si avvicina al valore intrinseco con lo scorrere del tempo e al limite, cioè alla

60 60 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI Butterfly Spread mediante Calls Profitto X 1 X 2 X 3 S T Figura 3.6: scadenza, il valore della call è esattamente il suo payoff ecoincideconilvalore intrinseco Modello Binomiale Il modello binomiale, originariamente proposto da Cox, Ross e Rubinstein nel 1979, consiste in una procedura numerica che viene utilizzata per prezzare diversi tipi di opzione. In sostanza, il modello binomiale prevede la costruzione di un albero che descrive l andamento futuro dei prezzi. Nel modello CRR si assume che sul mercato la domanda e l offerta si incontrino con frequenza regolare in una successione discreta di istanti e che si formi una serie discreta di prezzi. Vediamo ora brevemente come si ricava il prezzo di un opzione utilizzando un albero binomiale ad un periodo; si indichi con S il valore del sottostante e con f il valore del derivato, nel nostro caso dell opzione. Ad una data futura può accadere che il prezzo del sottostante e del derivato aumentino o diminuiscano e che producano nuovi valori S u e f u (up,nelcasodicrescita)es d e f d (down, nal caso di diminuizione). La figura (3.9) illustra quanto descritto. Si ipotizzi ora di definire un portafoglio costituto acquistando una quantità di azioni e vendendo un opzione, il portafoglio Π dovrà soddisfare l ipotesi di assenza di rischio e dovrà essere quindi soddisfatta l uguaglianza: S u f u = S d f d da cui si ricava la quantità di sottostante da acquistare affinchè l ipotesi di

61 3.6. OPZIONI 61 Straddle Profitto X S T Figura 3.7: assenza di rischio resti valida: = f u f d S u S d che risulta essere uguale al quoziente tra la variazione dell azione e quella del sottostante e si indica spesso con la denominazione rapporto di copertura. Il portafoglio alla scadenza T avrà un valore positivo se i movimenti dei prezzi avranno registrato un movimento verso l alto e quindi il valore di Π oggi sarà: (S u f u ) e RT e tale valore dovrà eguagliare il valore oggi il valore S f ottenuto senza considerare futuri movimenti, per l ipotesi di assenza di arbitraggio. L uguaglianza sarà allora: S f =(S u f u ) e RT da cui è possibile ricavare: f = S f u f d f u f d S u e RT + f u e RT S u S d S u S d e con qualche calcolo solo algebrico f = S f u f d S (u d) S f u f d u S (u d) e RT + f u e RT f = f u f d (u d) + µ Sufu + Suf d + f u Su f u Sd S (u d) e RT

62 62 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI valore call valore intrinseco valore dell opzione valore temporale E S Figura 3.8: Il valore totale di un opzione f = f µ u f d (u d) + Sufd f u Sd e RT S (u d) f = f µ u f d (u d) + ufd f u d e RT (u d) fu f u de RT + uf d e RT f d f = u d fu e RT f u d + uf d f d e RT f = e RT u d ert µ d u e RT f = u d f u + f d e RT u d f = ert d u d f u + µ 1 ert d u d f d e RT si giunge alla relazione finale per la determinazione del prezzo dell opzione f =[pf u +(1 p) f d ] e RT avendo posto: p = ert d u d dove p indica la probabilità di rialzo e 1 p la probabilità di ribasso.

63 3.6. OPZIONI 63 S u f u S u -f u S f S f S d f d S d -f d Figura 3.9: Albero binomiale per il sottostante e il derivato e per il portafoglio Nel caso a più periodi, il calcolo del prezzo dell opzione è più complesso e si fa ricorso all utilizzo di software dedicati per la creazione del completo albero binomiale, dopodichè si segue la procedura detta di backward induction che in breve riassumiamo così: si considerano i nodi finali dell albero (gli ultimi a destra); si assegna a ciascun nodo il valore che l opzione europea (call o put) assumerebbe in corrispondenza di quel prezzo finale; si retrocede nell albero binomiale (muovendosi verso sinistra) e si calcola il valore dell opzione ad ogni nodo (questo è facilmente realizzabile dato che basta ponderare per la rispettiva probabilità p o 1-p i valori, già conosciuti, che l opzione puó assumere nel passo successivo e quindi scontarli per il tasso di interesse r); si procede in questo modo finchè si arriva al nodo iniziale (quello da cui origina tutto l albero): il prezzo dell opzione ricavato per questo nodo corrisponde al valore odierno dell opzione. Si puó provare matematicamente che, nel caso delle opzioni europee, la soluzione ricavata dal modello binomiale converge verso quella ricavabile usando il modello di Black e Scholes (figura 3.10) e tale convergenza si ha con il crescere del numero dei periodi nell albero. Il modello binomiale, possiede tuttavia una maggiore flessibilità di quello di Black e Scholes perchè puó essere utilizzato anche per calcolare il prezzo di opzioni diverse da quelle europee, ad esempio delle opzioni americane anche in caso in cui l azione sottostante all opzione corrisponda un dividendo. In pratica, dato che il modello binomiale replica passo per passo i possibili andamenti futuri del prezzo, è possibile anche inserirvi ulteriori informazioni relativamente a flussi di cassa che si concretizzano durante la vita dell opzione (es. i dividendi), mantenendo sostanzialmente inalterata la procedura per calcolare il prezzo dell opzione.

64 64 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI Convergenza del modello binomiale al modello di Black-Scholes 12,87 12,86 12,85 12,84 Call binomiale Black-Scholes 12,83 12,82 12,81 12, n = numero di suddivisioni di T Figura 3.10: L uso del modello binomiale è diventato molto popolare con l avvento dei personal computers che permettono il calcolo rapido di alberi anche molto complessi. Da qualche anno, sono diventati anche relativamente popolari gli alberi trinomiali, cioè gli alberi in cui da ciascun nodo partono non due ma tre possibili traiettorie future del prezzo. Gli alberi trinomiali hanno trovato applicazione nel calcolo delle opzioni sui tassi di interesse e sulle obbligazioni. Anche se la procedura numerica diviene necessariamente piú complessa, essa non cambia nella sostanza da quella utilizzata nei modelli binomiali. A titolo di esempio e per spiegare meglio la tecnica backward induction calcoliamo ora il prezzo di un opzione call nel caso di un modello a due periodi: 6 mesi e 12 mesi, supponendo una flat term structure of interest rates, cioè una struttura dei tassi piatta con e RT = I dati relativi all opzione sono un prezzo di esercizo E = 110 e fattore di crescita dei prezzi u =1.1752, fattore di decrescita d = Il modello binomiale descritto è rappresentato in figura (3.11). All epoca T=12, cioè al secondo periodo il valore della call è 28.1 = nel caso uu ed è 0 in tutti gli altri casi. Se si considera un portafoglio che consiste nell investire m 1 quote el titolo rischioso che è il sottostante dell opzione e B 1 quote nel titolo non rischioso, per assenza di opportunità di arbitraggio tale portafoglio dovrà replicare il valore della call c 1 al primo periodo e quindi dovrà

65 3.6. OPZIONI 65 S 0 uu= =S 0 S 0 u=117.5 S 0 ud= S 0 du= S 0 d=88.57 S 0 dd=78.44 Figura 3.11: L albero binomiale a due periodi valere: c 1 = m 1 S 0 u + B 1 = m B 1 (3.16) ma per ricavare m 1 e B 1 è necessario risolvere il sistema ad un periodo successivo ½ m1 S 0 uu + B 1 e RT =28.1 m 1 S 0 ud + B 1 e RT =0 ½ m B = 28.1 m B = 0 da cui ½ m1 =0.826 B 1 = e applicando (3.16) si trova il prezzo della call al primo periodo: Il valore della call oggi sarà: c 1 =13.64 c 0 = m 0 S 0 + B 0 = m B 0 (3.17) ottenendo m 0 e B 0 dal sistema ½ m0 S 0 u + B 0 e RT =28.1 m 0 S 0 d + B 0 e RT =0 ½ m B = m B = 0 da cui ½ m0 = B 0 = 40.50

66 66 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI e applicando (3.17) si trova il prezzo della call al primo periodo: c 0 =6.62 In definitiva la metodologia backward induction imposta il valore del portafoglio al periodo t +1 esimo per ricavare il prezzo della call al periodo t esimo Modello di Black-Scholes Il modello sviluppato quasi contemporaneamente da Fischer Black e Myron Scholes, e da Robert Merton nel 1973 segna la pietra miliare dei modelli finanziari in tempo continuo, con riflessi che vanno oltre l ambito dell option pricing. La formulazione originale riguarda le opzioni europee su azioni scambiate a pronti. Nel 1976 Black proponeva un estensione alle opzioni su contratti a termine, basata su una formulazione equivalente al modello base e matematicamente più parsimoniosa. Nel 1983 Garman e Kohlhagen dimostrarono come il modello base di Black- Scholes-Merton, elaborato per la valutazione delle opzioni azionarie, possa essere esteso, con le sue assunzioni di base, alle opzioni valutarie. In particolare, il modello originario non fornisce una corretta valutazione delle opzioni su valute, poiché in queste ultime sono coinvolti due tassi d interesse. Per cui il modello di Garman-Kohlhagen, che ricalca il modello dei dividendi proporzionali di Samuelson e Merton, vede la sua originalità nel fatto di considerare il ruolo chiave dei tassi d interesse privi di rischio applicati sulle valute coinvolte nel contratto d opzione. Nello stesso anno in cui Garman e Kohlhagen elaborarono il loro modello un altro autore, Grabbe, pubblicò una sua formula di valutazione delle opzioni valutarie di stile europeo, riprendendo il modello di Black del 76. L elemento che contraddistingue questi due modelli consiste nel fatto che mentre il modello di Garman-Kohlhagen utilizza il cambio spot, quello di Grabbe utilizza il cambio a termine. Tuttavia, se viene applicata la teoria keynesiana della parità dei tassi d interesse, si può agevolmente dimostrare come i due modelli siano in realtà le facce di una stessa medaglia. Per arrivare ad una formulazione analitica del modello per la valutazione di opzioni nel continuo facciamo alcune premesse. L ipotesi di assenza di arbitraggio permette di delineare alcune importanti caratteristiche che il prezzo di un opzione deve avere. I modelli di valutazione delle opzioni richiedono la formulazione di ipotesi riguardo al modo in cui i prezzi si evolvono nel tempo, cioè riguardo alla loro distribuzione di probabilità. L ipotesi fondamentale è che i prezzi delle azioni seguano una passeggiata aleatoria (random walk); in questo caso il tasso di variazione del prezzo di un azione è distribuito normalmente e a sua volta il prezzo in qualsiasi istante futuro è distribuito in modo log-normale, cioè i prezzi possono assumere solo valori positivi. Nel caso di una distribuzione lognormale del prezzo i due parametri che ne descrivono il comportamento sono il tasso di variazione atteso b e la volatilità del

67 3.6. OPZIONI 67 prezzo σ. Inunmodelloplain vanilla si assumono tali parametri costanti e gli shocks sono rumori bianchi cioè variabili aleatorie indipendenti, identicamente distribuite in modo normale. Per la sua semplicità è assunto come modello standard del quale si possono considerare varie generalizzazioni. Il tasso di variazione atteso è il tasso di rendimento medio annualizzato relativo ad un breve periodo di tempo. Tale tasso dipende dalla rischiosità del titolo stesso in modo direttamente proporzionale e anche dai vari tassi di interesse nell economia. Per stimare b occorre osservare questo tasso di variazione per intervalli di tempo molto piccoli e poi farne la media aritmetica. Per stimare la volatilità σ del prezzo si può utilizzare una serie storica dei suoi tassi di variazione. Gli intervalli di tempo in cui si fanno le rilevazioni sono costanti (ogni minuto, giorno,..), n+1 sono le osservazioni, S i è il prezzo dell azione alla fine dell i-esimo intervallo e T la lunghezza dell intervallo in anni, allora si possono definire le quantità: µ Si q i =ln (3.18) S i 1 e una stima delle deviazioni standard delle variabili (3.18) è: Ã! nx dvs = (q i q) 2 n 1 i=1 (3.19) con q media delle q i.di conseguenza dvs è una stima di σt 1 2. Sulla scelta del numero di osservazioni sembra opportuno considerare i prezzi di chiusura giornalieri degli ultimi giorni, che possono essere giorni di calendario o lavorativi. Figura 3.12: MYRON S. SCHOLES 1997 Nobel Laureate in Economics for a new method to determine the value of derivatives. Background: Born: 1941 Residence: California, USA Education: Ph.D. 69 from the University of Chicago, USA Affiliation: Stanford University, Stanford, USA

68 68 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI Le deduzioni che vengono fatte con il modello di Black e Scholes, quali ad esempio la formula di valutazione per una call europea, restano comunque valide se la volatilità σ è considerata come funzione deterministica del tempo, vediamo in che modo. Prima di descrivere il modello di Black e Scholes è opportuno riassumere tutte le ipotesi da cui si ottiene la loro analisi. Il mercato non consente opportunità di arbitraggio. Gli scambi sul mercato avvengono in tempo continuo. Nel mercato non vi sono costi di transazione. La vendita allo scoperto è consentita senza alcun limite. Il titolo sottostante non paga dividendi nel periodo interessato dal contratto di opzione. Il titolo sottostante è infinitamente divisibile; si possono quindi scambiare quantità non intere del titolo sottostante. In generale un tale mercato è detto perfetto. Le ipotesi sono in effetti poco realistiche ma in modelli più complicati con ipotesi più realistiche non si ottengono formule per il prezzo di un opzione che spieghino meglio di Black Scholes i prezzi osservati sul mercato. In un tale mercato vi sono due asset le cui dinamiche sono: db t = rb t dt (3.20) ds t = bs t dt + σs t dw t (3.21) Il processo del prezzo B è quello di un titolo privo di rischio poichè manca il termine dw. Una interpretazione naturale di un asset privo di rischio è quella che lo fa corrispondere ad un deposito bancario con interesse a breve pari a r costante. La soluzione di (3.20) è: B t = B 0 e rt (3.22) e rappresenta l evoluzione del deposito bancario. Il prezzo di un titolo finanziario è soluzione della SDE (3.21). Il processo del prezzo S è un moto Browniano geometrico cioè il logaritmo del prezzo è un moto Browniano. Il moto Browniano geometrico in particolare è un processo di Markov e questo è coerente con l ipotesi che il mercato sia efficiente. Il comportamento di un titolo viene quindi identificato da due parametri: il valor medio b e la deviazione standard σ, che in questo caso sono supposti costanti. In termini finanziari la deviazione standard è la volatilità. Black e Scholes utilizzano tecniche tipiche dell arbitraggio e uno strumento finanziario molto potente noto come risk neutral valuation, per calcolare il prezzo di una call Europea. Essi mostrano che sotto le classiche ipotesi del modello, esiste una strategia per una copertura non rischiosa delle opzioni nel senso che è possibile replicare perfettamente il payoff di un opzione. Esiste un unico prezzo razionale per l opzione. Il risultato fondamentale riguarda il fatto che il prezzo F di una opzione europea deve soddisfare l equazione fondamentale alle

69 3.6. OPZIONI 69 differenze parziali (PDE): 1 2 σ2 S 2 F SS + rsf S rf + F t =0 (3.23) Il prezzo finale dell opzione determina la condizione al contorno che origina una particolare soluzione della PDE, cioè il prezzo corrente dell opzione F 0. Tale prezzo corrente può essere calcolato per giungere al famoso risultato rappresentato dalla formula di Black e Scholes: dove F 0 = SN (d 1 ) Ee rτ N (d 2 ) (3.24) d 1 = d 2 = ln S E + ³r + σ2 2 τ (3.25) στ 1/2 τ ln S E + ³r σ2 2 = (3.26) στ 1/2 = d 1 στ 1/2 e N ( ) è la funzione di distribuzione cumulativa per una variabile normale standardizzata. Le preferenze degli investitori non sono dati richiesti nella formula. Il prezzo: F 0 = BS σ 2 ; S, E, τ, r (3.27) dipende dal prezzo del sottostante, dal prezzo strike (prezzo al quale il titolo sottostante può essere acquistato o venduto all esercizio), dal tempo mancante alla maturità dell opzione e dal tasso di interesse del titolo privo di rischio, tutte variabili osservabili nelle specifiche del contratto o nel mercato. L unica variabile che deve essere stimata in modo ragionevole è la volatilità σ. Ecco perchè è spesso considerata la variabile più significativa nell option pricing. La sensibilità di F 0 rispetto alla volatilità è data dalla quantità: F 0 σ ed è detta vega, è una quantità crescente rispetto a σ. Poichè gli agenti nel mercato non accettano di buon grado l ipotesi di volatilità costante, utilizzano una strategia detta vega hedging il cui scopo è quello di coprirsi dal rischio cambiando i valori della volatilità del titolo soggiacente all opzione. Ad esempio la sensibilità vega rivela che un errore di 0.1 punti sulla volatilità provoca un errore di 87 centesimi sul prezzo della call. Un concetto importante legato alla volatilità è quello della volatilità implicita, definita come il valore di σ (τ) che, per i dati storici noti F 0,S,E,r e τ, risolve l equazione (3.27). Quando si utilizza in pratica la formula di B.S. tutte le variabili di stato e i parametri devono essere identificati, tra questi un ruolo chiave ha ovviamente la volatilità. La volatilità implicita, invece, non fa riferimento ad alcuna nozione statistica e il concetto fondamentale su cui si basa è quello secondo il quale in un mercato ricco di liquidità le leggi dell offerta e della domanda permettono di

70 70 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI fissare dei prezzi di equilibrio che ottengono il consenso del mercato; in una tale situazione lo strumento di riferimento essenziale è appunto la volatilità implicita che è ottenuta come incognita dalla formula di valutazione di una call osservando un prezzo ad un certo istante. Una contraddizione evidente col modello teorico nasce dal fatto che in questo modo non c è una sola volatilità implicita per ogni titolo, ma ce ne sono tante quante i diversi prezzi di esercizio; d altra parte però il mercato utilizza la volatilità implicita come indicatore di rischiosità, nel senso che il titolo con valori di volatilità implicita più alti è anche il più rischioso. Errori di valutazione nel modello B.S. Senza dubbio il modello di Black e Scholes per l option pricing si è dimostrato uno strumento molto efficiente per scambiare e coprire opzioni, ciò non toglie che esso presenti alcune incongruenze che la recente ricerca sta cercando di affrontare e risolvere. La determinazione della volatilità nel modello di Black Scholes è l aspetto più problematico. Contrariamente alle ipotesi del modello sembra che la volatilità subisca variazioni nel tempo e non possa essere approssimata da valori costanti per periodi di tempo abbastanza lunghi. Inoltre vi sono problemi per la misura diiretta di questo parametro. Infatti numerosi studi mostrano che l utilizzo del modello Black-Scholes per opzioni che hanno stessa scadenza, evidenzia una variazione della volatilità implicita in funzione del prezzo di esercizio che graficamente è il cosiddetto effetto smile (la formula di Black Scholes tende a sovrastimare le opzioni at the money e a sottostimare quelle out of the money). Volatility Smiles: Entrambe le Code sono Spesse (tipico delle valute) Volatility Smiles: Sinistra Spessa e Destra Sottile (tipico delle azioni) Volatilità implicita Volatilità implicita Prezzo d'esercizio Prezzo d'esercizio Svariati modelli per la ricerca del prezzo di titoli derivati e valutazione di tassi hanno messo in evidenza come l assunzione del modello Black-Scholes in cui la volatilità è considerata costante, non è più sufficiente a descrivere le dinamiche nei mercati finanziari. La risposta a tali critiche del modello B.S. è rappresentata dal grande numero di modelli di volatilità stocastica che sono stati recentemente introdotti in letteratura; ciò nonostante B.S. resta quello più largamente utilizzato per la sua semplicità. Questa situazione ci permette di osservare come la matematica ap-

71 3.6. OPZIONI 71 plicata alle scienze economiche presenti delle evidenti diversità rispetto a quella applicata ad altre discipline, quali la fisica. In quest ultimo caso infatti è stabilita l esistenza di un modello reale a cui il ricercatore cerca di avvicinarsi sempre più tramite dei modelli matematici. Nel caso delle applicazioni economiche invece non esiste sempre un modello reale, ma se c è un ampio consenso su un certo modello, è quello che diventa vero. Nel capitolo 4 si introduce brevemente un modello discreto per la volatilità che risolve molti problemi derivanti dall assunzione di volatilità costante Metodi Monte Carlo per la Valutazione di Opzioni Finanziarie I metodi di simulazione Monte Carlo si sono rivelati uno strumento efficace e computazionalmente flessibile per la risoluzione di problemi in ambito finanziario in tutti quei casi in cui non esite una soluzione esatta (in forma chiusa) e quindi ènecessarioapprossimarepervianumericalasoluzione. Ladenominazione Monte Carlo è stata introdotta all inizio della seconda guerra mondiale da Von Neumann e Ulam mentre lavoravano al progetto Manhattan 8, presso il centro di 8 Il progetto Manhattan per la realizzazione della bomba atomica viene avviato dal Presidente F.D.Roosevelt, nel 1942, in collaborazione con il governo britannico; inizia così l asservimento a scopi bellici della sperimentazione. Alcuni scienziati, preoccupati della probabile utilizzo militare si astennero fin dal 1939 dal continuare la ricerca. Il progetto Manhattan cercava di assicurare le condizioni indispensabili per la produzione di energia dal processo di fissione nucleare. Il nome in codice del progetto americano è Manhattan Engineer District, MED. L operazione si svolse nella massima segretezza, la maggior parte dei capi militari americani ne vennero tenuti all oscuro. L idea di realizzare l arma atomica viene suggerita al governo americano dai fisici, preoccupati che gli scienziati tedeschi realizzino la bomba per primi. Nel ristretto ambito della comunità scientifica internazionale la possibilità di arrivare alla costruzione dell arma atomica si diffonde alla fine del 1938 quando i chimici tedeschi Otto Hahn e Fritz Strassmann ottengono la prima fissione nucleare. Nell autunno del 1938 il mondo è in attesa di un altra guerra mondiale. Le notizie provenienti dalla Germania nazista sono allarmanti. Tutti gli scienziati di origine ebrea sono fuggiti, privando la Germania di un patrimonio scientifico straordinario. Nel mondo accademico gli attacchi contro la fisica ebraica sono continui. In questa pesante atmosfera i fisici ebrei Leo Szilard e Edward Teller, che si sono rifugiati in America, si incontrano nell estate del 1939 con il padre della relatività, Albert Einstein, per convincerlo a scrivere al Presidente Roosevelt. Sono loro a spiegare al grande fisico le implicazioni della scoperta della fissione nucleare da parte dei chimici tedeschi. Einstein avverte subito il pericolo e di fronte alla possibilità che la Germania nazista arrivi a costruire la bomba atomica, nell agosto del 1939, abbandonando le sue posizioni pacifiste, accetta di firmare la lettera che il suo vecchio amico Szilard ha preparato e discusso con lui. La lettera di Einstein arriverà sul tavolo del presidente Roosevelt solo qualche mese dopo. Ma bisognerà attendere fino al 1941 prima che Roosevelt decida di dare il via al progetto quando i servizi segreti inglesi confermeranno che la Germania sta costruendo la bomba atomica. Il progetto Manhattan mette in moto una macchina produttiva e di ricerca che non ha precedenti nella realizzazione di un singolo manufatto e che trasformerà profondamente il rapporto tra militari, industria e mondo della ricerca scientifica. Con l entrata in guerra degli U.S.A i tempi per la realizzazione della bomba atomica subiscono una grande accelerazione dovuta anche ai grandi interessi economici che si nascondono dietro un progetto che richiede praticamente fondi illimitati.

72 72 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI ricerche nucleari Los Alamos nel New Mexico; nella scelta del nome gli studiosi si ispirarono all aleatorietà dei guadagni che caratterizza la celebre casa da gioco del principato monegasco. Von Neumann e Ulam utilizzarono la simulazione di numeri casuali per generare i parametri delle equazioni che descrivevano la dinamica delle esplosioni nucleari; era così possibile ottenere le soluzioni delle equazioni senza utilizzare i dati sperimentali che avrebbero dovuto avere un numero troppo alto. Il termine Monte Carlo Method può essere anche utilizzato come sinonimo di Simulazione Stocastica. I modelli di valutazione delle opzioni finanziarie, data la loro complessità, utilizzano spesso il metodo Monte Carlo poichè non è possibile esplicitare, come è invece possibile in Black e Scholes, il prezzo oggi del contratto di opzione. Alla base di ogni applicazione c è sempre l ipotesi di non arbitraggio (AOA absence of arbitrage o equivalentemente no free lunch). In generale il valore dell opzione si ottiene attualizzando il valore atteso del payoff dell opzione al tasso privo di rischio R; nel caso di una call europea tale attualizzazione sarà: C 0 = e R(T t) E [max (S T E,0)] dove T t è il tempo mancante alla scadenza e E èalsolitoilprezzodiesercizio. Per valutare il prezzo dell opzione oggi è necessario individuare una serie di possibili path (sentieri) per il prezzo futuro del bene sottostante, sfruttare l ipotesi di assenza di rischio e ricavare il prezzo come media attualizzata dei possibili payoff futuri. La prima applicazione in finanza del metodo Monte Carlo è stata introdotta da Boyle nel 1977 con l articolo: Options: A Monte Carlo Approach apparso nel Journal of Financial Economics. In maniera più formale, si genera una sequenza di processi che rappresentano le possibili traiettorie del prezzo S i,t per i =1,..., N dove N deve essere un numero grande intorno a 10000; tale generazione sfrutta degli algoritmi per la generazione di numeri casuali e i più frequenti sono Box-Muller e Polar- Marsaglia. Noto il prezzo di esercizio si calcolano gli N payoff, uno per ogni processo di prezzo generato e la media campionaria di tali payoff attualizzati è la stima del prezzo dell opzione oggi. E [C 0 ]= 1 N NX i=1 ³ e R(T t) max (0,S i,t E) Il 17 settembre 1942, il generale Leslie R.Groves viene nominato responsabile del MED. La realizzazione della bomba atomica comportò la costruzione del laboratorio di Los Alamos, dell impianto Oak Ridge e quello di Hanford. I laboratori di fisica delle università di Berkeley in California, di Chicago in Illinois, e della Columbia a New York, furono i centri di ricerca coinvolti nel Progetto Manhattan. Quando il 2 dicembre 1942 all università di Chicago il fisico italiano Enrico Fermi ottenne, al costo di circa un milione di dollari, la prima reazione a catena controllata utilizzando l uranio, la possibilità di realizzare la bomba atomica era diventata una realtà. Per il fisico ungherese, Leo Szilard, che tanto aveva fatto per dare avvio al progetto Manhattan e che con Fermi era responsabile dell esperimento, quel successo fu un giorno che sarebbe passato alla storia dell umanità come una giornata nera.

73 3.6. OPZIONI Opzioni sui Tassi d Interesse Le opzioni su tassi di interesse si differenziano dalle altre tipologie di opzioni per l attività sottostante, appunto individuata in un tasso di interesse. Anche qui, come nelle opzioni su azioni, si individuano opzioni che danno il diritto e non l obbligo di incassare un determinato tasso di interesse (strike rate) ad una certa data, e opzioni che, al contrario, danno il diritto di pagare un determinato tasso di interesse. Contrariamente alle opzioni su azioni, la terminologia comune a riguardo delle opzioni su tassi di interesse individua tre tipologie conosciute: interest rate Cap, interest rate Floor e interest rate Collar. Le opzioni di tipo cap sono opzioni tramite le quali l acquirente incassa la differenza, alle scadenze stabilite, fra il tasso variabile di riferimento scelto e il tasso strike predeterminato. Ovviamente ciò è possibile quando il tasso variabile di riferimento è maggiore del tasso strike, mentre nel caso contrario l opzione non verrà esercitata, quindi si perderà solo il premio pagato. Questo tipo di opzioni vengono di norma utilizzate da chi si indebita (ad esempio a tasso variabile) per proteggersi da aumenti dei tassi di interesse che andrebbero ad incrementare gli oneri finanziari dell indebitamento. Quindi, un cap ha l obiettivo di fissare un tetto all esborso finanziario inerente ad un indebitamento, senza però eliminare i vantaggi inerenti ad una discesa dei tassi di interesse, che vanno a diminuire gli oneri finanziari. La similitudine con le opzioni di tipo call non deve trarre in inganno, poiché, solo in un caso elementare un cap coincide con una call su tassi di interesse; in realtà un cap può essere considerato come un portafoglio di opzioni calls, e il numero di tali opzioni è dato dal numero di tassi forwards che devono essere estrapolati dalla curva a termine dei tassi di interesse. Altra peculiarità riguarda il fatto che il flusso di interessi viene calcolato su un capitale convenzionale di riferimento che non viene mai scambiato. Una opzione floor da il diritto all acquirente di incassare, alle scadenze stabilite, la differenza (se negativa) fra il tasso variabile di riferimento e il tasso strike. Questa tipologia di contratti viene utilizzata da chi è creditore a tasso variabile e si vuole proteggere da eventuali cadute dei tassi di interesse, che andrebbero a diminuire le entrate relative al finanziamento erogato. La struttura del floor risulta simile alla struttura delle opzioni put, possiamo infatti considerare un floor come un portafoglio di opzioni put scritte su tassi forwards. Anche in questo caso, come per il cap, il numero delle opzioni put da considerare, dipenderà dal numero di contratti forwards che devono essere estrapolati dalla struttura a termine dei tassi. Se ad esempio il floor ha durata triennale e prevede lo scambio dei flussi di interesse ogni semestre, allora significa che vi sono cinque tassi forwards da stimare e quindi il valore del floor sarà dato dal valore di cinque opzioni puts scritte su tassi forwards.

74 74 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI In definitiva gli interest rate caps e gli interest rate floor possono essere considerati una combinazione di un opzione e di un forward rate agreement. Sia il detentore di un Interest Rate Cap sia l emittente di un Interest Rate Floor risultano essere le parti venditrici del tasso fisso. In entrambi i casi ricevono un tasso corrente e pagano un tasso fisso, con la particolarità che, da una lato il detentore dell Interest Rate Cap non pagherà nessun differenziale se il tasso corrente è inferiore al tasso fisso, dall altro, l emittente dell Interest Rate Floor non riceverà alcun differenziale se il tasso corrente è superiore al tasso fisso. Viceversa sia l emittente di un Interest Rate Cap sia il detentore di un Interest Rate Floor risultano essere le parti acquirenti del tasso fisso. Il collar è una combinazione tra il Cap e il Floor, non viene erogato niente se il tasso di mercato si mantiene all interno della banda di oscillazione delimitata superiormente dal Cap e inferiormente dal Floor. Diversamente scatta la valorizzazione dei delta se vengono superati tali limiti. Più precisamente, un Collar si scompone in un acquisto di un Cap più una simultanea vendita di Floor con strike Cap maggiore dello strike Floor. I contratti di Interest Rate Cap & Floor sono contratti di tipo OTC non quotati in mercati ufficiali. I contratti Cap & Floor possono essere sottoscritti per diverse finalità: hedging (copertura) della struttura di A & L. della Banca; trading (negoziazione) in conto proprio, cioè di tipo speculativo; trading (negoziazione) per conto clientela, cioè per attività intermediazione. Solitamente l holder (acquirente) di un Floor o di un Cap ha finalità di hedging con aspettative di ribasso dei tassi nel primo caso e di rialzo nel secondo Alcune Opzioni Esotiche Le opzioni esotiche (non standard) sono quelle opzioni che sono diverse dalle americane e europee. Esse possono essere completamente definite dal corrispondente pay-off alla scadenza e si dicono path-independent, oppure possono essere path-dependent quando il valore dell opzione alla scadenza dipende anche in qualche modo dagli stock prices osservati durante tutta la vita dell opzione. Oltre a quelle che elenchiamo ne esistono svariate altre come le russe, le parigine e sono tutti contratti di opzione che vengono trattati nel flessibile mercato OTC per adattarsi alle esigenze dell investitore. Opzioni Binarie In generale sono di tipo europeo e pagano un dollaro alla scadenza se sono inthemoney,zeroaltrimenti. Ancheinquestocasoesistonoopzionibinariedi tipo call o put. Opzioni su Opzioni (Compound Options) Si possono avere opzioni su call o put e quindi call su call, call su put, put su call e put su put. Una call su call è definita dal suo payoff ascadenzat.selostrikepriceè

75 3.6. OPZIONI 75 K, il payoff di una compound option è: ½ Call[S (T ),T1 T ; K CC [S (T ), 0; K] = 1 ] K; se >0 0 ;altrimenti dove Call[S (T ),T 1 T ; K 1 ] è il valore in T di una call europea con maturità T 1 T estrikepricek 1. L opzione viene esercitata in T se il valore della call europea sottostante è maggiore dello strike price K. In modo analogo si ricavano ipayoff degli altri tipi di compound options. Opzioni di Scelta Una opzione di scelta consiste nell opzione di comprare una call o una put. Si consideri una opzione di scelta che matura alla data T. Essa è scritta su una call che matura in T 1 ( T ) con strike price K 1 e su una put che matura in T 2 ( T ) con strike price K 2. Il payoff dell opzione di scelta in T è: Max{ call [S(T ),T 1 T ; K 1 ], put [S(T ),T 2 T ; K 2 ]} Opzioni a Barriera Il payoff non dipende solamente dal prezzo finale del titolo sottostante ma anche dal fatto che si verifichi o meno l evento che il sottostante abbia raggiunto un prezzo barriera durante la vita dell opzione. Tale prezzo barriera può essere superiore e in questo caso si parla di opzioni up and in e up and out. Oppure può essere inferiore: opzioni down and in e down and out. Tali opzioni sono molto utili e vediamo di vederlo con un esempio di opzione call down and out. Una compagnia deve fare un pagamento in 51 giorni di 200 milioni di franchi francesi. La compagnia è certa del fatto che il franco acquisterà valore rispetto al dollaro nel periodo in questione. Per coprirsi dal rischio la compagnia può: 1) scambiare opzioni call europee ordinarie che fissano il prezzo del franco francese. Nei 51 giorni però il franco può anche perdere valore rispetto al dollaro e la compagnia vuole coprirsi in modo più adeguato. 2) La compagnia può invece scambiare una call down and out. Se il tasso di cambio franco dollaro non scende mai al di sotto di una barriera inferiore fissata allora a maturità è come possedere una call ordinaria. Se il tasso scende sotto il valore barriera allora l opzione down and out cessa di esistere. La valutazione di tali opzioni è basata sul concetto di stopping time probabilistico. Opzioni Look-Back Il prezzo di esercizio dipende dal prezzo massimo o minimo raggiunto dal titolo sottostante nella durata del contratto. Si consideri una call lookback con data di inizio T 0 precedente alla data odierna 0. Durante la vita dell opzione da T 0 a oggi si è osservato m 0 che è il valore minimo raggiunto dal tasso di cambio. L opzione arriva a maturità T e m è il valore minimo dello stesso tasso nel periodo da oggi a T. Il valore di m è noto solo quando l opzione è giunta al tempo T. A questo punto si può guardare indietro e determinare m. Il payoff sarà sempre positivo a meno che il valore minimo non si presenti alla scadenza

76 76 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI ed è della forma: S(T ) Min(m 0,m) Per una put lookback avremo il payoff: Max(M 0,M) S(T ) Opzioni Asiatiche (Average Options) In questo caso il payoff dell opzione dipende da un valore medio dei prezzi del titolo sottostante su un periodo prefissato. La forma più comune di opzioni average è fixed strike, queste sono molto diffuse in svariati mercati. 3.7 Derivati in Italia Quali derivati sono negoziati in Italia? Il FIB 30 e il Mini FIB sono contratti future sull indice MIB 30 (indice rappresentativo delle blue chips, ossia delle trenta azioni quotate più liquide ed a più elevata capitalizzazione). L acquisto di un contratto FIB 30 e Mini FIB, obbliga l acquirente ad acquistare il sottostante ad un prezzo definito entro una data prestabilita. In questo caso il sottostante è un indice e pertanto l acquirente non sarà obbligato a comprare tutte le 30 azioni facenti parte dell indice stesso ma dovrà semplicemente pagare o ricevere la differenza tra il prezzo stabilito e il prezzo dell indice alla data di scadenza. Il FIB 30 e il Mini FIB si differenziano per la dimensione del contratto. Per il FIB 30 la dimensione è pari al prodotto tra il prezzo del future e il valore del moltiplicatore del contratto (5C=); per il Mini FIB è pari al prodotto tra il prezzo del future e il valore del moltiplicatore del contratto (1C=). Adifferenza del FIB 30 e del Mini FIB, il Fidex è un contratto avente come attività sottostante l indice midex, che è l indice rappresentativo dei 25 titoli immediatamente successivi alle blue chips quotati sul Mercato Telematico azionario. L indice Midex rappresenta quindi l andamento delle azioni a media capitalizzazione. I titoli che hanno un future corrispondente sono sette: Generali, STMicroelectronics, Eni, Enel, Telecom Italia, Tim e Unicredito.La liquidità dei contratti nel mercato IDEM Stock futures è garantita dalla presenza di due market maker per i quali sono previsti obblighi di quotazione continuativa. I contratti hanno scadenze trimestrali (marzo, giugno, settembre e dicembre) e mensili, l ultimo giorno di negoziazione è stabilito al terzo venerdì del mese di scadenza. Gli orari di negoziazione - dalle 9.15 alle sono gli stessi previsti per gli altri contratti derivati. Dal 22 luglio data dell avvio delle negoziazioni degli stock futures - al 30 dicembre 2002, sono stati conclusi circa 60 mila contratti standard sui cinque strumenti in negoziazione. Il futures su TIM è risultato il più scambiato ( contratti standard), seguito da Telecom Italia (10.897), ENI (10.463), Unicredito Italiano (9.615) ed Enel (4.049). Il Mibo è un contratto di opzione, di tipo call (opzione di acquisto) o put (opzione di vendita), avente come sottostante l indice azionario MIB 30.

77 3.7. DERIVATI IN ITALIA 77 L opzione attribuisce all acquirente, dietro pagamento di un premio, il diritto a riscuotere, a scadenza, un importo pari al prodotto tra il valore assegnato a ciascun punto dell indice e la differenza tra il valore dell indice stabilito al momento della stipula del contratto (strike price) e il valore dell indice alla scadenza (prezzo spot), secondo la procedura del cash settlement. A differenza del FIB 30 e del MiniFIB 30, che sono contratti simmetrici in cui entrambe le controparti si impegnano ad eseguire a scadenza le condizioni definite nel contratto stesso, il MIBO 30 offre una facoltà (un opzione appunto) al buyer, mentre comporta l adempimento di un obbligo da parte del writer. Ciò implica che, stipulando un future si rischia una perdita tanto maggiore quanto più elevata è la variazione negativa di prezzo, mentre, acquistando un opzione la massima perdita in cui si incorre è pari al premio pagato. Quindi, nel caso di andamento sfavorevole del mercato, il pagamento del premio svolge una funzione assicurativa, costituendo un limite alla perdita; viceversa, nel caso di un andamento favorevole nei prezzi dell underlying, il premio comporta una riduzione dei guadagni. Le opzioni su azioni sono contratti che danno il diritto ad acquistare (call) o vendere (put) entro una certa data una determinata quantità di titoli azionari ad un prezzo prefissato. Quale broker online offre la possibilità di negoziare i derivati? Nel 2002 è raddoppiato il numero di broker online che offrono i prodotti IDEM passando da 7 a 15. Ad oggi sono attivi: Banca dell alta Padovana, Banca Mediolanum, Banca della Rete, Banca Sella, Directa SIM, Fineco, Gestrade, IW Bank, Interactive Broker, IntesaTrade, Millennium SIM, Nuovi Investimenti SIM, Sivori & Partners SIM, Twice SIM. Il numero di broker che invece offre la possibilità di negoziare online derivati scambiati sui mercati esteri è ancora limitato. Ad oggi sono attivi sull Eurex e sul CME (Chicago Mercantile Exchange) i seguenti broker: Banca Sella, IW Bank e Twice.

78 78 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI 3.8 Nota sul Nobel per l Economia 2003 WHAT ABOUT HETEROSKEDASTICITY? Figura 3.13: Robert F. Engle 2003 Nobel Laureate in Economics for methods of analyzing economic time series with time-varying volatility (ARCH) Education: PhD Economics Cornell University 1969 MS Physics Cornell University 1966 BS Williams College, 1964, with Highest Honors in Physics Teaches: Topics in Financial Econometrics Futures and Options Research Interests: Financial Econometrics Time Series Analysis Volatility and Risk Management Empirical Market Microstructure Engle ha introdotto una metodologia per modellare l eteroschedasticità di un generico processo y t che si evolve nel tempo a valori discreti. In particolare quando si considera il modello ARCH(1) si considera un processo y t tale che: y t = α + t

79 3.8. NOTA SUL NOBEL PER L ECONOMIA dove t N (0,h t ) con la varianza che soddisfa appunto le proprietà di un processo ARCH ad un periodo temporale: h t = γ 0 + γ 1 2 t 1 (3.28) e quindi h t è una stima deterministica della volatilità. Poichè la volatilità non è sempre direttamente osservabile con certezza, la vera volatilità 2 t èdefinita nel seguente modo 2 t = h t + ω t (3.29) e quindi (3.28) può essere riscritta tenendo conto di (3.29): 2 t = γ 0 + γ 1 2 t 1 + ω t dove ω t è l errore tra la parte detreministica della volatilità h t e l attuale volatilità 2 t. Un modello autoregressivo condizionale eteroschedastico (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation, ROBERT ENGLE, Econometrica, July 1982) diordinep (ARCH(p)) descrive l andamento della volatilità degli errori di un processo y t che può essere ad esempio una serie storica di dati. Se h t è una funzione lineare allora la dinamica della serie storica delle volatilità soddisfa le seguenti proprietà: con 2 t = γ 0 + γ 1 2 t 1 + γ 2 2 t γ p 2 t p + ω t E (ω t ) = 0, E(ω t ω t )=λ 2, E(ω t ω τ )=0, E 2 t = h t I modelli ARCH hanno rappresentato un nuovo ed efficare metodo per descrivere le dinamiche della volatilità in finanza in ambiente discreto; poichè una buona stima del modello ARCH si ha con periodi temporali troppo lunghi, Bollerslev nel 1986 ha introdotto i Generalized ARCH (GARCH) con due gradi di libertà: GARCH(p,q) definiti nel seguente modo: dove y t = α + t t N (0,h t ) con la varianza che soddisfa appunto le proprietà di un processo ARCH ad un periodo temporale: h t = γ 0 + γ 1 2 t 1 + β 1 h t 1 (3.30)

80 80 CAPITOLO 3. I TITOLI DERIVATI

81 Capitolo 4 Esercizi 4.1 Richami d Matematica Finanziaria Calcolare i tre tipi di rendimento nominale immediato e effettivo per un titolo obbligazionario a scadenza 2 anni, valore nominale 100, cedola annuale 13%, prezzo corrente (corso secco) pari a 97, effettuando la valutazione a sei mesi dall emissione e tralasciando nei calcoli l effetto fiscale. 4.2 Forward e Futures Determinare il prezzo forward di un BOT a 6 mesi da scambiare tra 3 mesi, sapendo che i prezzi a pronti per scadenze fino a un anno sono i seguenti: durata prezzo spot 3mesi mesi mesi mesi 94.1 Soluzione. Q (t, t +3,t+3+6)= P (t, t +9) = 100 = P (t, t +3) 99.5 Calcolare il prezzo a termine per scadenza 3 mesi di un BTP che ha prezzo a pronti tel quel e staccherà tra 3 mesi una cedola di 5, sapendo che il tasso d interesse a 3 mesi è 4.2%. Soluzione. Q FW = 102.5( ) =

82 82 CAPITOLO 4. ESERCIZI Calcolare il prezzo a termine per scadenza 3 mesi di un BTP che ha prezzo a pronti tel quel e staccherà tra 6 mesi una cedola di 5, sapendo che il tasso d interesse a 3 mesi è 3.8%. Soluzione. Q FW = 101.8( ) 3 12 = Dalle quotazioni futures indicate in tabella determinare la variazione del conto/margini dell acquirente di un contratto di euro alla fine del 2 e3 giorno: Soluzione. giorno quotazioni futures q 2 = = = q 3 = = = Dalle quotazioni futures indicate in tabella determinare la variazione del conto/margini di un venditore di un future del valore nominale di euro alla fine del 2 e3 giorno: Soluzione. 4.3 Swap giorno quotazioni futures q 2 = =1.3 C 2 = = q 3 = = 2.8 C 3 = = Determinare la struttura per scadenza a 1 e 2 anni dei tassi swap indicati in tabella: durata tasso swap 1 anno 6.9% 2 anni 5.1% Soluzione: 1) 100 = R 1 R 1 =6.9%

83 4.3. SWAP 83 2) Ã 100 = R 1 (1 + R 2 ) 2 R 2 = R 1! 1 2 1=5.05% Se i tassi swap a 1 e 2 anni sono 5.3% e 6.8% rispettivamente, calcolare la struttura per scadenza dei tassi spot a 1 e 2 anni col metodo bootstrapping. Soluzione: 100 = R 1 R 1 =5.3% 100 = 6.8 µ R 1 (1 + R 2 ) 2 R 2 2 = 1=6.85% Due imprese possono indebitarsi a tasso fisso e a tasso variabile secondo la seguente tabella tasso fisso tasso variabile impresa A 10% Euribor + 0.5% impresa B 12% Euribor + 1.5% Se A vuole indebitarsi a tasso variabile e B a tasso fisso verificare se hanno convenienza a sottoscrivere un contratto swap. Soluzione: TF TV 10 E E % +1% Le imprese hanno convenienza a sottoscrivere il contratto poiché...

84 84 CAPITOLO 4. ESERCIZI. 4.4 Opzioni Calcolare e disegnare il payoff a scadenza di un portafoglio costituito da 1 azione e 2 call emesse sull azione, con strike K. Soluzione: ½ S Π = S T 2max(0,S T K) = T S T K S T 2(S T K) =2K S T S T >K acquisto azione E S t payoff totale 2 call corte Figura 4.1: Calcolare e disegnare il payoff a scadenza di un portafoglio costituito da 2 put e 1 call acquistate, scritte su una medesima azione, con strike K. Soluzione: Π =2max(0,K S T )+1 max (0,S T K) =2max(0,K S T ) min (0,K S T ) Calcolare il valore temporale di una put che quota 2.85 sapendo che lo strike è 100 e il sottostante quota Soluzione: 2.85 = VALINTR+ VALTEMP VALINTR=max(0, ) = 1.5 VALTEMP = =1.35

85 4.4. OPZIONI 85 2 put lunghe payoff totale call lunga E S t Figura 4.2: Scrivere e disegnare il payoff a scadenza di un portafoglio costituito da una call acquistata con strike 60 e una put venduta sullo stesso sottostante, con strike 30. Soluzione: Π =max(0,s T 60) max (0, 30 S T ) call lunga payoff totale S t put corta Figura 4.3: Scrivere e disegnare il payoff a scadenza di un portafoglio costituito da una call acquistata con strike 60 e una put acquistata sullo stesso sottostante, con strike 40.

86 86 CAPITOLO 4. ESERCIZI Soluzione: Π =max(0,s T 60) + max (0, 40 S T ) put lunga payoff totale call lunga S t Figura 4.4: Si consideri una put europea che scade fra 6 mesi, con prezzo di esercizio di 42,00 C=, scritta su un titolo che non paga dividendi. Sia il prezzo corrente del titolo 40,00 C= eiltassoeffettivo annuo di interesse privo di rischio del 12,75%. Supponendo che in t=0 sul mercato sia presente una call con stesso prezzo di esercizio e stessa scadenza della put in esame, stabilire quale strategia operativa realizzare con tali opzioni avendo aspettative di forte volatilità del prezzo del titolo sottostante. Costruire inoltre la tabella del pay-off derivante dalla strategia scelta. Soluzione: la strategia da realizzare in mercati ad alta volatilità è denominata straddle e consente di combinare una call e una put su uno stesso sottostante e con stesso prezzo di esercizio nel seguente modo Se il prezzo corrente dell azione è 100 e il prezzo di esercizio è pari a 110, si determini il prezzo dell opzione call supponendo che gli indici up e down ad un periodo successivo (esempio un semestre) valgano rispettivamente 1.25 e 0.75 e che e RT = Soluzione: utilizzando la teoria degli alberi binomiali ad un periodo ricaviamo dapprima i possibili valori finali della call: c u = max ( , 0) = 15 c d =max(75 110, 0) = 0 e poi il prezzo oggi del nostro contratto di opzione call, avendo prima calcolato: p = =0.5608

87 4.4. OPZIONI 87 c 0 =[pc u +(1 p) c d ] e RT =[(0.5608) 15] =8.16

88 88 CAPITOLO 4. ESERCIZI

89 Bibliografia [1] S. Benninga, Modelli finanziari, la finanza con excel, McGraw-Hill, [2] F. Caparrelli, A.M. D Arcangelis, La gestione del portafoglio obbligazionario, EDIBANK, [3] R. Cesari, Introduzione alla finanza del risparmio gestito, CLUEB, [4] R.Cesari, E.Susini, Introduzione alla Finanza Matematica (mercati azionari, rischi e portafogli), McGraw-Hill, [5] U. Cherubini, G. Della Lunga, Il rischio finanziario, McGraw-Hill, [6] R.L. D Ecclesia, L. Gardini, Appunti di Matematica Finanziaria I, Giappichelli, [7] M.L. Guerra, L. Stefanini, Matematica per le applicazioni economiche e finanziarie, Edizioni Goliardiche, [8] J. C. Hull, Opzioni, futures e altri derivati, Ed. Il sole 24ORE, [9] F. Metelli, Il rischio finanziario, Ed. Il sole 24ORE, [10] E. Saltari, Introduzione all Economia Finanziaria, La Nuova Italia Scientifica, SEGUONO: LUCIDI DELLA DOTT.SSA CASCIATI, PROMETEIA BOLOGNA, CHE ILLUSTRANO LE FASI FONDAMENTALI DEL RISK MAN- AGEMENT TRAMITE Value at Risk; DUE CAPITOLI DEL LIBRO DI TESTO ON LINE DEL PROF. ANDREA CONSIGLIO, UNIVERSITA DI PALERMO, PER AP- PROFONDIMENTI SU FUTURES E SWAP. 89

90 Market Risk Per rischio di mercato si intende, secondo il Comitato di Basilea*, il rischio di perdite delle posizioni del portafoglio di proprietà (trading book) a seguito di sfavorevoli movimenti dei prezzi di mercato. Il metodo di stima più utilizzato per la misurazione dei rischi di mercato è il Value at Risk: Il VaR è il capitale massimo che ci si può aspettare di perdere: su uno strumento / portafoglio (es. titolo / trading book) in un periodo di riferimento (es. 10 gg.) con una probabilità predefinita (es. 99%) Il VaR è in grado di stimare, in modo omogeneo, le perdite potenziali dovute a: - Rischio generico (azionario, di interesse, di cambio) - Rischio specifico (condizione dell emittente) *Comitato di Basilea per la Vigilanza Bancaria, Progetto di supplemento all accordo sui requisiti patrimoniali per incorporare i rischi di mercato, Basilea, aprile 1995 e successive modifiche. Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 7

91 Rischio azionario Il rischio azionario è il rischio dovuto alle fluttuazioni nel prezzo delle attività di tipo azionario scambiate sui mercati finanziari. Il prezzo di un azione riflette le aspettative che gli analisti hanno sugli utili futuri dell azienda a cui l azione fa riferimento. Quando variano le aspettative, gli operatori dei mercati reagiscono di conseguenza: se ci si aspetta maggiori utili dall azienda, cresce la domanda delle azioni dell azienda e quindi cresce il prezzo. Viceversa, se gli analisti modificano al ribasso le loro aspettative sugli utili, diminuisce la domanda (e cresce l offerta, poiché chi sta investendo nell azione desidera venderla prima di subire perdite). Questa variazione della domanda e dell offerta provoca una diminuzione del prezzo dell azione, che può portare ad una perdita in conto capitale. Esempio: 2000, crisi del mercato azionario tecnologico Valore in di un portafoglio di azioni tecnologiche fino al marzo 2000 e dopo la crisi del settore tecnologico /09/99 16/11/99 16/01/00 16/03/00 16/05/00 16/07/00 16/09/00 16/11/00 Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 8

92 Rischio interesse Il rischio d interesse consiste nella possibile variazione del valore di un attività finanziaria al variare dei tassi d interesse. Tra le attività finanziarie, le obbligazioni a tasso fisso e i fondi obbligazionari a lungo termine sono gli strumenti più comuni maggiormente esposti al rischio di tasso d interesse. La loro esposizione è proporzionale alla loro duration. Il prezzo di un obbligazione a tasso fisso diminuisce se aumentano i tassi di interesse. Esempio: 1994, annus horribilis del mercato obbligazionario Valore in di un portafoglio di obbligazioni internazionali fino alla fine del 1993 e dopo la crisi del mercato obbligazionario 04/11/93 18/11/93 02/12/93 16/12/93 30/12/93 13/01/94 27/01/94 10/02/94 24/02/94 10/03/94 24/03/94 07/04/94 21/04/94 Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 9

93 Rischio cambio Il rischio di cambio consiste nella possibile variazione del valore di un attività finanziaria al variare del valore della divisa in cui è espressa tale attività. Il tasso di cambio tra due divise dipende da numerosi fattori macroeconomici (differenze nei tassi di interesse dei Paesi, bilance dei pagamenti dei Paesi, politiche monetarie etc.). Per un investitore, il rischio di cambio riguarda gli strumenti finanziari denominati in valuta estera detenuti in portafoglio. Se la divisa estera diminuisce di valore rispetto alla valuta domestica, il valore degli strumenti finanziari diminuisce di conseguenza. Esempio: Anni , periodo in cui si è assistito ad una forte oscillazione del valore del dollaro americano rispetto all euro Valore in di un investimento in dollari americani fino alla fine del 2000 e dopo la svalutazione del dollaro 12/11/99 12/03/00 12/07/00 12/11/00 12/03/01 12/07/01 12/11/01 12/03/02 12/07/02 12/11/02 12/03/03 12/07/03 12/11/03 Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 10

94 Rischio specifico Il rischio specifico consiste nel rischio che la controparte non adempia, in tutto o in parte, ai propri obblighi (per esempio al rimborso del proprio debito). Nei mercati finanziari, le obbligazioni emesse dalle aziende (corporate) e da alcuni Paesi emergenti sono particolarmente esposte al rischio specifico. Esempio: Anno 2002, crisi di fiducia degli investitori relativamente alla possibilità del governo argentino di rimborsare il debito pubblico Valore in di un portafoglio di obbligazioni argentine fino al giugno 2001 e dopo la crisi argentina /01/99 04/04/99 04/07/99 04/10/99 04/01/00 04/04/00 04/07/00 04/10/00 04/01/01 04/04/01 04/07/01 04/10/01 04/01/02 Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 11

95 Distribuzione di probabilità dei rendimenti Per misurare i rischi di mercato di un attività finanziaria è utile costrire la distribuzione di probabilità dei rendimenti. La distribuzione di probabilità dei rendimenti di un attività finanziaria è la relazione tra i rendimenti che lo strumento ha realizzato e la frequenza con cui gli stessi si sono verificati. Si è soliti rappresentare la distribuzione di probabilità mediante un grafico a barre, in cui sulle ascisse sono indicati i rendimenti e sulle ordinate la probabilità/frequenza con cui i rendimenti sono ottenuti. Esempio Esempio di di distribuzione distribuzione di di probabilità probabilità dei dei rendimenti rendimenti Frequenza 50% 33% 17% Da - 10% a 0% Da 0% a +10% Da + 10% a +20% Rendimenti Il grafico rappresenta una distribuzione di probabilità dei rendimenti di uno strumento che realizza un rendimento tra il 10% e il 20% con il 17% di probabilità, un rendimento tra 0% e 10% con il 50% di probabilità e un rendimento tra-10% e 0% con il 33% di probabilità. Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 12

96 Distribuzione di probabilità dei rendimenti - esempio Il grafico mostra un esempio di distribuzione di probabilità dei rendimenti. La frequenza di rilevazione è annuale. I valori delle ascisse sono rappresentati in punti base (10 punti base significa 1%). Distribuzione normale Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 13

97 Confronto tra distribuzioni La distribuzione di probabilità dei rendimenti permette anche un agevole confronto tra strumenti finanziari diversi. Il grafico illustra le distribuzioni relative ad un indice azionario ed un indice obbligazionario mondiali. Si nota come la distribuzione dei rendimenti dell indice azionario sia più larga rispetto a quella dell indice obbligazionario: ciò significa l investimento azionario permette di ottenere rendimenti elevati (a destra nel grafico) rispetto a quello obbligazionario, ma anche di subire perdite più consistenti. Confronto tra distribuzioni di probabilità dei rendimenti ESEMPLIFICATIVO Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Indice obbligazionario JPMorgan Indice azionario MSCI Proprietary & Confidential 14

98 Distribuzione di probabilità di valore Data la distribuzione di probabilità dei rendimenti è possibile ricavare in modo intuitivo la distribuzione di probabilità del valore di un investimento. Dalla Dalla distribuzione distribuzione dei dei rendimenti rendimenti alla alla distribuzione distribuzione del del valore valore frequenza 50% 33% 17% frequenza Da - 10% a 0% Da 0% a 10% Da 10% a 20% rendimenti I due grafici mostrano le distribuzioni di probabilità dei rendimenti e del valore dell investimento. 50% 33% 17% Valori in Da a Da Da a a Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 15

99 Definizione Il VaR è la stima dell ammontare massimo che può essere perduto con riferimento ad uno specifico orizzonte temporale t e ad uno specifico livello di confidenza p. P VaR ( V VaR ) = 1 p = f ( v) dv La formula vale per una generica distribuzione; nel caso di distribuzione normale il calcolo si semplifica notevolmente VaR Camilla Casciati La probabilità che le perdite siano maggiori di µ 1,65 σ è il 5% in questo intervallo si concentra il 90% delle possibili realizzazioni Financial Planning & Risk Management µ 1,65σ µ µ + 1,65σ Livello di Confidenza 95% Proprietary & Confidential 17

100 Market Risk Measurement vs. Market Risk Management Le attività del Market Risk Manager possono essere distinte in due macro categorie: misurazione dei rischi di mercato utilizzo o supporto all utilizzo delle misure di VaR in chiave gestionale La realizzazione di entrambe le attività è incentivata dall Organismo di Vigilanza e necessaria alla validazione del modello da parte dello Stesso. Market Risk Measurement Produzione dell informazione VaR L obiettivo del Market Risk Manager non è più solo quello di misurare il rischio di un portafoglio, per quanto complesso e articolato, di attività e passività finanziarie, ma anche quello di fornire uno strumento gestionale utile per la conduzione efficiente di una complessa organizzazione quale è la banca. In questo senso la misurazione del rischio di mercato tramite tecniche VaR è solo il primo passo. Market Risk Management Utilizzo dell informazione VALIDATO da Banca d Itali a La gestione dei rischi di mercato può essere vista come attività: di controllo per assicurare che i limiti operativi e le deleghe attribuite siano rispettate di consulenza alle unità direttive, nel definire i limiti e le deleghe operative, nel valutare le performance delle BU/desk non su misure di redditività assoluta ma corrette per il rischio, nella ridefinizione periodica del capitale da assegnare a ciascuna BU, etc. alle unità operative, per individuare le eventuali strategie da adottare per coprire un determinato rischio, per raggiungere determinati risultati entro limiti di rischio prefissati, etc. Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 36

101 Le fasi del Market Risk Measuring Il processo di Market Risk Measuring tramite l utilizzo di modelli VaR coinvolge attività che vanno dall acquisizione dei dati fino alla produzione della reportistica ed alla verifica della consistenza del modello. Market Risk Measuring Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Storicizzazione Alimentazione Parametrizzazione Elaborazione Calcolo Reportistica Stresstesting Backtesting Il processo di misurazione dei rischi inizia con l individuazione dei rischi a cui è soggetto il portafoglio di negoziazione della Banca. Camilla Casciati In base alle tipologie di strumenti finanziari e ai rischi originati sono individuati i modelli di misurazione del rischio più appropriati. La fase di alimentazione riguarda sia i dati relativi alle informazioni che descrivono gli strumenti finanziari che quelli che descrivono i mercati. La fase di parametrizzazione permette di replicare sul sistema di sintesi la struttura della Banca La fase di calcolo comprende il mapping ed il clumping dei singoli strumenti finanziari, il calcolo del valore del portafoglio, delle misure di VaR fino alla interpretazione e validazione dei risultati prodotti. Financial Planning & Risk Management La reportistica deve essere prodotta quotidianamente ma può essere generata on demand per soddisfare esigenze specifiche sia dell Alta Direzione sia della Finanza. L attività di storicizzazione fa parte della normale attività di back-up delle informazioni ma è anche propedeutica alla successiva fase di backtesting. In questa ultima fase è necessario constatare la bontà del modello utilizzato attraverso prove di stress ed il raffronto tra il VaR stimato (exante) e le P&L effettivamente realizzate (expost). Proprietary & Confidential 38

102 Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Individuazione (una tantum e per la nuova operatività) delle tipologie di rischi di mercato alle quali il portafoglio di negoziazione del Banca è esposto. Il punto di partenza per tale attività è il censimento dell operatività. Finalità Permette di censire in modo puntuale le tipologie di rischio di mercato evidenziando quelle misurate / misurabili tramite modelli interni. Linee guida Il requisito patrimoniale a fronte dei rischi di mercato risulta dalla somma dei seguenti requisiti: a) con riferimento al portafoglio titoli non immobilizzato: rischio di posizione; rischio di regolamento; rischio di controparte; rischio di concentrazione b) con riferimento all'intero bilancio: rischio di cambio; rischio di posizione su merci Il rischio di posizione comprende due distinti elementi: 1) il rischio generico, che si riferisce al rischio di perdite causate da un andamento sfavorevole dei prezzi della generalità degli strumenti finanziari negoziati. Per i titoli di debito questo rischio dipende da una avversa variazione del livello dei tassi di interesse; per i titoli di capitale da uno sfavorevole movimento generale del mercato; 2) il rischio specifico, che consiste nel rischio di perdite causate da una sfavorevole variazione del prezzo degli strumenti finanziari negoziati dovuta a fattori connessi con la situazione dell'emittente. Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 39

103 Market Risk Measuring Individuazione dei modelli Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Realizzazione Individuazione (una tantum e per la nuova operatività) del modello (approccio parametrico, simulazione, integrazione rischio generico + specifico, etc.) più adatto per la misurazione dei rischi di mercato con evidenza di eventuali gap rispetto agli strumenti in dotazione. Passi Metodi Identificare le posizioni Scegliere i fattori di rischio Simulazione Storica Monte Carlo Varianza-Covarianza full valuation full valuation local valuation Trovare tutte le posizioni negli strumenti finanziari reattive al rischio di mercato Identificare i fattori di rischio che influenzano gli strumenti in portafoglio Finalità Determinare le distribuzioni dei fattori di rischio Calcolare le distribuzioni dai dati storici Generare i valori Stimare standard deviation e correlazioni Permette di individuare, a fronte delle peculiarità dei diversi approcci, i modelli di misurazione dei rischi che meglio rispondono alle esigenze del Banca, tenendo in considerazione non solo gli aspetti metodologici ma anche quello tecnologici. Legare i fattori di rischio all portafoglio Calcolare la distribuzione del portafoglio Dedurre il VaR (dati p e t) Esprimere le componenti del portafoglio come funzione dei fattori di rischio (mark-to-market) Simulare i valori del portafoglio Ordinare i valori delle perdite e selezionare quello che viene superato con probabilità 1 p Decomporre le posizioni rispetto ai fattori di rischio (risk mapping/clumping) Calcolare la s.d. del portafoglio supponendo distribuzioni normali Moltiplicare la s. d. del portafoglio per α e t Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 40

104 Market Risk Measuring Alimentazione dati del Banca Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Definizione (una tantum), estrazione e controllo (giornaliero) di tutte le informazioni relative alle posizioni finanziarie soggette ai rischi di mercato. Realizzazione Front Office Back Office Finalità Permette di rappresentare correttamente tutta l operatività di pertinenza dell Aggregato di Vigilanza per la misurazione dei rischi di mercato. Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 41

105 Market Risk Measuring Alimentazione dati di mercato Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Definizione (una tantum), estrazione e controllo (giornaliero) delle informazioni di mercato necessarie alla misurazione dei rischi di mercato. PROMETEIA fornisce il Servizio RISKSize perfettamente integrato al sistema ALMPro. MASTER ANAGRAFICO PROMETEIA Realizzazione FRONT MASTER OFFICE ANAGRAFICO File di posizione File di anagrafica QUALITY CHECK Finalità Permette di rappresentare correttamente i fattori di rischio che determinano le variazioni di valore del portafoglio oggetto di analisi. Identificativo prodotto Codice FdR, Beta, greche RISKSize DATAMART PER IL SISTEMA DI CONTROLLO DIREZIONALE INPUT ALMPro Statica Dinamica INPUT ALMPro VaR CFG QUALITY CHECK Tableaux de bord Tableaux de bord Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 42

106 Market Risk Measuring Parametrizzazione Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Storicizzazione Alimentazione Parametrizzazione Elaborazione Calcolo Reportistica Stresstesting Backtesting Descrizione Definizione (una tantum) ed aggiornamento (qualora sia necessario) della parametrizzazione del sistema ALMPro modulo VaR di PROMETEIA. Realizzazione GRUPPO BPVN IMMOBILIZZATO RISCHIO STRUTTURALE POSIZIONI DIREZIONALI DIVISIONE PRIVATE E FINANZA FUNZIONE PIANIFICAZIONE E FINANZA STRUTTURALE FUNZIONE FINANZA DI GRUPPO FUNZIONE PRIVATE BANKING & RISPARMIO GESTITO FUNZIONE INVESTMENT BANKING Finalità Permette di replicare la struttura della Banca (Piano dei Conti, Struttura organizzativa della Finanza). Si noti che essendo il modulo VaR appartenente alla suite integrata ALMPro parte della parametrizzazione è comune per i moduli ALM e VaR. UFFICIO ALMO E ASSET ALTERNATIVI FUNZIONE TESORERIA E CAMBI FUNZIONE CORPORATE & FINANCIAL INSTITUTION POSIZIONI PAREGGIATE CUSTOMER DESK FUNZIONE CONSULENZA & NEGOZIAZIONE RETAIL FUNZIONE FINANZA PUBBLIICA E PRODOTTI FI FUNDING FUNZIONE FUNZIONE RISPARMIO GESTITO MERCATI FINANZIARI UFFICIO UFFICIO MERCATI MONETARI MERCATO UFFICIO E CAMBI OBBLIGAZIONARIO GESTIONE PROPRIETA BANCHE DEL GRUPPO UFFICIO UFFICIO MERCATO MERCATO PRIMARIO AZIONARIO FUNZIONE STRUMENTI DERIVATI UFFICIO UFFICIO DERIVATI AZIONARI E DERIVATI SU TASSI PRODOTTI STRUTTURATI E SU CAMBI FUNZIONE PRODOTTI FINANZIARI ED ASSICURATIVI Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 43

107 Market Risk Measuring Calcolo Varianza e Covarianza Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Camilla Casciati Descrizione Validazione (una tantum) ed esecuzione (giornaliera) delle procedure di calcolo del VaR del sistema ALMPro modulo VaR di PROMETEIA. Il modulo utilizza ad oggi il calcolo del VaR secondo l approccio Varianza-Covarianza. Nel 2005 sarà rilasciata la nuova release che prevede il calcolo del VaR secondo un approccio di simulazione storica per la gestione sia del rischio generico che specifico. Finalità Permette la stima del VaR. Financial Planning & Risk Management Realizzazione Il VaR si ottiene dalla seguente formula: VaR f ( ) ( ) P V VaR = 1 p = che si semplifica notevolmente nel caso in cui f sia distribuita normalmente VaR La probabilità che le perdite siano maggiori d µ 1,65 σ è il 5% Proprietary & Confidential 44 v dv in questo intervallo si concentra il 90% delle possibili realizzazioni µ 1,65 σ µ µ + 1,65 σ Livello di confidenza 95%

108 Market Risk Measuring Calcolo Mapping e Clumping Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Validazione (una tantum) ed esecuzione (giornaliera) delle procedure di mapping e clumping elaborate dal sistema ALMPro modulo VaR di PROMETEIA Realizzazione MAPPING Flussi di cassa 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Finalità CLUMPING Permette la rappresentazione del profilo finanziario dello strumento tramite un numero limitato di componenti elementari. Con il clumping i flussi originali relativi alla componente Interest sono standardizzati su un numero limitato di scadenze. Rendimenti r 2 % r 1 % σ 1 T 1 T T 2 σ 2 flusso di cassa originario Scadenze Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 45

109 Market Risk Measuring Calcolo Valore Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Camilla Casciati Descrizione L interpretazione dei risultati è la fase più delicata dell intero processo di misurazione dei rischi di mercato. Prima della pubblicazione della reportistica occorre effettuare: - analisi di controllo: ricerca di eventuali dati anomali e delle motivazioni. - analisi andamentali: confronto dei risultati con quelli dei giorni precedenti individuando motivi di eventuali variazioni anomale affiancando un analisi dei mercati finanziari. Finalità Permette il perseguimento di uno degli obiettivi della Funzione di Market Risk Management ossia il monitoraggio dei rischi di mercato Financial Planning & Risk Management 0 Realizzazione Esemplificativo di report andamentale CVaR VaR Duration 01/09/ /09/ /09/ /09/2000 Storia 07/09/ /09 / /09/ /09/ /09/ /09 / /09/ /09/ /09 / /09/ /09/ /09/ /09 / /09/ /09/ /09/ /09/ /10/2000 Proprietary & Confidential 46 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00

110 Market Risk Measuring Reportistica produzione quotidiana Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Realizzazione Definizione (una tantum) e produzione (giornaliera) della reportistica relativa al monitoraggio dei rischi di mercato sul portafoglio di negoziazione ed eventualmente sul portafoglio immobilizzato. Esemplificativo di report direzionale data di riferimento Tipologia Rischio Interesse e Liquidità Mercato Credito Indicatori Limiti Rischio Limiti Rischio Limiti Rischio I1 7% I2 10% I3 < 1 Finalità Permette la distribuzione, a tutti i livelli del Banca, delle informazioni relative al monitoraggio dei rischi di mercato. Max (Regola 1, 2 o 3) VaR Globale Indicatori Limiti % Utilizzo I1 7% 50% I2 10% 92% I3 < 1 80% Regola 1, 2, 3 valore Limite 80% VaR Globale 40 mln 35% Rischio credito % Grafico di % Utilizzo Rischio credito I1 100% 80% 60% 40% 20% 0% I2 % Utilizzo VaR Globale I3 Importi in mln Euro Regola 1, 2, 3 Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 47

111 Market Risk Measuring Reportistica produzione on demand Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Produzione di reportistica on demand. Realizzazione Esemplificativo di report di operativo Finalità Permette di rispondere ad esigenze specifiche delle varie Funzioni del Banca. VaR Rischio VaR Rischio VaR Rischio Descrizione Market Value VaR Interesse Cambio Azionario Totale Banca xxx xxx xxx xxx xxx INVESTIMENTO xxx xxx xxx xxx xxx Obbligazioni xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx Tasso Fisso Tasso Variabile xxx xxx xxx xxx xxx Tasso Zero Coupon xxx xxx xxx xxx xxx Obbligazioni strutturate xxx xxx xxx xxx xxx Callable/Puttable xxx xxx xxx xxx xxx Convertibili xxx xxx xxx xxx xxx Altre xxx xxx xxx xxx xxx Azioni xxx xxx xxx xxx xxx Azioni italiane xxx xxx xxx xxx xxx Azioni estere xxx xxx xxx xxx xxx IRS xxx xxx xxx xxx xxx Basis xxx xxx xxx xxx xxx Fix to float xxx xxx xxx xxx xxx Zero Coupon xxx xxx xxx xxx xxx Opzioni su azioni xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx TESORERIA xxx xxx xxx xxx xxx Depositi xxx xxx xxx xxx xxx Operazioni Forex Spot xxx xxx xxx xxx xxx Spot xxx xxx xxx xxx xxx Forex xxx xxx xxx xxx xxx OIS xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx INTERMEDIAZIONE xxx xxx xxx xxx xxx Opzioni su cambi xxx xxx xxx xxx xxx IRS xxx xxx xxx xxx xxx 14,72% 5,44% Rischio Interesse Rischio Cambio 79,85% Rischio Azionario VaR totale VaR Interesse /1 21/1 9/2 28/2 16/3 4/4 24/4 16/5 2/6 21/6 10/7 Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 48

112 Market Risk Measuring Storicizzazione Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Definizione (una tantum) e salvataggio (giornaliero) del database, della reportistica prodotta e dei dati di mercato. Realizzazione VARIABILI Present Value Capitali VaR: Value at Risk CVaR: Component VaR Finalità Permette il back-up del sistema di misurazione dei rischi di mercato e la predisposizione della base dati per la validazione del modello. Volatilità Correlazioni DATI DI MERCATO Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 49

113 Market Risk Measuring Stresstesting e Backtesting Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Definizione (una tantum) e produzione (settimanale) delle analisi di stress-testing e backt-testing.. Realizzazione Esemplificativo dei risultati di backtesting Finalità Permette la verifica della bontà del modello utilizzato per il calcolo del rischio di mercato Esemplificativo di Backtesting P&L VaR 95% /10/ /10/ /10/ /10/ /11/ /11/ /11/ /11/ /12/ /12/ /12/ /12/ /01/ /01/ /01/ /01/ /02/ /02/ /02/ /03/ /03/ /03/ /03/ /04/ /04/ /04/ /04/ /05/ /05/ /05/ /05/2001 Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 50

114 Market Risk Measuring Evoluzione e perfezionamento Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Nuovi sviluppi Descrizione Evoluzione / perfezionamento del sistema di Market Risk Measuring Realizzazione 4 -th generation model (rischio generico + specifico) Finalità Permette di mantenere il sistema di market risk measuring aggiornato rispetto alle evoluzioni dei mercati finanziari, delle metodologie di stima dei rischi di mercato e delle soluzioni tecnologiche -3-4 gen-01 apr-01 lug-01 ott-01 gen-02 apr-02 lug-02 ott-02 gen-03 Parmalat , VaR 95 % frequenza teorica: 5% frequenza empirica: 3.1% numero osservazioni: 636 apr-03 lug-03 Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 51

115 Market Risk Measuring Documentazione Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Measuring Individuazione dei rischi Individuazione dei modelli Alimentazione Elaborazione Calcolo Reportistica Storicizzazione Stresstesting Backtesting Descrizione Definizione (una tantum) e compilazione di template che documentino le varie fasi del processo di misurazione dei rischi di mercato. Realizzazione Scheda Desk Monitoraggio operatività della Finanza Finalità Permette di mantenere traccia delle attività svolte e nel contempo di rispondere ai requisiti qualitativi richiesti per la Validazione da parte di Banca d Italia. Scheda Prodotto Scheda Limiti Architettura informativa Monitoraggio rischi di mercato di dettaglio Descrizione della filiera informativa Descrizione della filiera informativa Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 52

116 AGENDA Attività e processi per il Market Risk Manager Market Risk Measuring (produzione dell informazione VaR) Market Risk Management (utilizzo dell informazione VaR)

117 Market Risk Management Utilizzo operativo Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Management Utilizzo del VaR in sala mercati Risk Controlling Definizione del grado di avversione al rischio Definizione dei limiti operativi e delle deleghe Risk Taking Effettiva assunzione dei rischi nel rispetto dei limiti Risk Controlling Controllo del rispetto dei limiti e dei sub-limiti Definizione di azioni correttive Risk Adjusted Performance Measuring Risk / Capital Allocation Descrizione Verifica della bontà delle coperture, supporto alla individuazione di nuove strategie di hedging, etc Realizzazione Esemplificativo di titolo coperto tramite IRS Finalità Permette l introduzione di una gestione attiva del rischio in base anche a misure probabilistiche Titolo IRS Posizione Capitali VaR CVaR Lunga Lunga Corta Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 55

118 Market Risk Management Definizione dei limiti operativi e delle deleghe Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Management Utilizzo del VaR in sala mercati Risk Controlling Definizione del grado di avversione al rischio Definizione dei limiti operativi e delle deleghe Risk Taking Effettiva assunzione dei rischi nel rispetto dei limiti Risk Controlling Controllo del rispetto dei limiti e dei sub-limiti Definizione di azioni correttive Risk Adjusted Performance Measuring Risk / Capital Allocation Descrizione Definizione (una-tantum) e controllo (giornaliero) dei limiti operativi affiancando agli indicatori deterministici quelli probabilistici. Realizzazione 100 Area Finanza Finalità Permette il controllo dei rischi di mercato entro limiti prefissati in coerenza con il grado di avversione al rischio stabilito dal Consiglio di Amministrazione Tesoreria Azionario Obbligazionario Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 56

119 Market Risk Management Risk Adjusted Performance Measuring Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Management Utilizzo del VaR in sala mercati Risk Controlling Definizione del grado di avversione al rischio Definizione dei limiti operativi e delle deleghe Risk Taking Effettiva assunzione dei rischi nel rispetto dei limiti Risk Controlling Controllo del rispetto dei limiti e dei sub-limiti Definizione di azioni correttive Risk Adjusted Performance Measuring Risk / Capital Allocation Descrizione Consulenza all Alta Direzione nel valutare le performance della BU/desk Finanza non su misure di redditività assoluta ma corrette per il rischio Realizzazione Finalità Supporto ai progetti di Value Based Management Permette la realizzazione di un sistema di rilevazione di Risk Performance Measures per la BU/desk Finanza Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 57

120 Market Risk Management Risk / Capital Allocation Evoluzione / perfezionamento / documentazione del sistema di Market Risk Management Utilizzo del VaR in sala mercati Risk Controlling Definizione del grado di avversione al rischio Definizione dei limiti operativi e delle deleghe Risk Taking Effettiva assunzione dei rischi nel rispetto dei limiti Risk Controlling Controllo del rispetto dei limiti e dei sub-limiti Definizione di azioni correttive Risk Adjusted Performance Measuring Risk / Capital Allocation Descrizione Consulenza all Alta Direzione nella ridefinizione periodica del capitale da assegnare a ciascuna BU/desk. Realizzazione Finalità Supporto ai progetti di Value Based Management Aumentare il Valore per l azienda Camilla Casciati Financial Planning & Risk Management Proprietary & Confidential 58

121 Capitolo 6 Futures 6.1 Definizione di future Il future è un contratto stipulato tra due controparti, legalmente vincolante, per la consegna oppure per il ricevimento di una particolare attività finanziaria ad una data futura prestabilita ed a un prezzo concordato al momento della stipula del contratto. L attività finanziaria scambiata è anche nota come sottostante o underlying asset. Il contratto future differisce da un contratto forward per alcuni aspetti fondamentali: 1. i contratti future sono stipulati in un mercato regolamentato ed hanno caratteristiche standard riguardo la quantità, l attività sottostante e la data di consegna. Al contrario, un contratto forward è un accordo fra due parti che può contemplare date di consegna, quantità e specifiche dell attività finanziaria sottostante, di tipo personalizzato (nel caso di titoli obbligazionari, oggetto del contratto forward potrebbero essere titoli con scadenza e cedola qualsiasi). 2. il valore di un future è aggiornato alla fine di ogni seduta borsistica ed eventuali guadagni/perdite sono regolati ogni giorno. Questo meccanismo è detto mark to market. Al contrario, in un contratto forward la transazione monetaria avviene soltanto alla data di consegna T. 3. la posizione aperta in un future (acquisto o vendita a termine) può essere chiusa in qualsiasi momento prima della scadenza del contratto, attraverso un operazione di segno opposto. La chiusura di un contratto forward prima della data di consegna non è automatica ed implica una trattativa fra le parti.

122 6.2 Caratteristiche di un future 130 In questo capitolo si studieranno i future sui tassi a breve (future sull EURI- BOR a 3 mesi) e sui tassi a lungo (future sul BTP a 10 anni o sul Bund a 10 anni). In particolare, si vedrà come questi strumenti possono essere utilizzati per l hedging di posizioni su titoli a reddito fisso, al fine di ridurre il rischio da tasso d interesse. 6.2 Caratteristiche di un future In un contratto future una delle due parti si impegna a comprare, e di conseguenza l altra parte si impegna a vendere, una quantità prestabilita del sottostante. Per quanto riguarda i future sui tassi, il sottostante è rappresentato da un titolo a lungo periodo con caratteristiche ben definite, o da un tasso d interesse di a breve periodo. L ammontare e l istante in cui sarà consegnato il sottostante contribuiscono a definire in maniera uniforme un contratto future sui tassi. Nelle Figure 6.1, 6.2 e 6.3 sono riportate, rispettivamente, le specifiche contrattuali di un contratto future sull EURIBOR a tre mesi, del future sul BTP a 10 anni e del future sul Bund a 10 anni 1. Per entrambi i contratti è specificato l ammontare di valore facciale che sarà scambiato nelle date di consegna (p.es: un contratto future sul BTP implica lo scambio di 100,000e di valore facciale). Le date di consegna sono anch esse specificate (p.es.: il future sull EURIBOR a tre mesi ha come mesi di consegna Marzo, Giugno, Settembre e Dicembre, più altri due mesi che permettono 22 mesi di contrattazioni a cavallo di due anni). Si osservi che, nel caso del future sui BTP (come in tutti i future sui tassi a lungo periodo) è specificata anche la cedola del BTP scritto nel contratto. Alcune specifiche possono variare a secondo dei mercati in cui sono contrattati i future (luogo e date di consegna), ma nella sostanza, non esiste alcuna differenza fra un BTP future scambiato al MIF ed uno scambiato al LIFFE (le specifiche riportate nelle precedenti figure sono quelle relative al LIFFE). Il prezzo di un contratto future è ufficialmente pubblicato ogni giorno lavorativo dalla società responsabile del mercato future. Un operatore che acquista un contratto future assume una long position e s impegnerà a consegnare l ammontare prescritto per ogni contratto acquistato alla data di consegna. Si osservi che, come per un contratto forward, acquistare un future non implica alcun esborso di denaro. Il prezzo di mercato rappresenta il prezzo futuro con cui sarà regolamentata la transazione al momento della consegna. 1 In seguito, si farà riferimento soltanto al Bund a 10 anni. Dopo la convergenza dei tassi europei e l integrazione monetaria non esiste differenza fra un Bund ed un BTP. In un futuro prossimo, questi titoli dovrebbero scomparire per far posto ad un titolo della Federazione Europea. Copyright c Andrea Consiglio

123 6.2 Caratteristiche di un future 131 Three Month Euribor Interest Rate Future Unit of trading 1,000,000 Delivery months March, June, September, December, and two serial months, such that 22 delivery months are available for trading, with the nearest three delivery months being consecutive calendar months Delivery day First business day after the Last Trading Day Last trading day Two business days prior to the third Wednesday of the delivery month Quotation minus rate of interest Minimum price movement ( 12.50) (Tick size & value) Trading hours Trading Platform: LIFFE CONNECT central order book applies a combination of time/price and pro-rata algorithm, Block Trading Facility. Contract standard: Cash settlement based on the Exchange Delivery Settlement Price. Exchange Delivery Settlement Price (EDSP): Based on the European Bankers Federations Euribor Offered Rate (EBF Euribor) for three month Euro deposits at Brussels time (10.00 London time) on the Last Trading Day. The settlement price will be minus the EBF Euribor Offered Rate rounded to three decimal places. Where the EDSP Rate is not an exact multiple of 0.005, it will be rounded to the nearest or, where the EDSP Rate is an exact uneven multiple of , to the nearest lower (e.g. a EBF Euribor Offered Rate of becomes 2.535). Unless otherwise indicated, all times are London times. Figura 6.1: Specifiche di un contratto future sull EURIBOR a tre mesi. Copyright c Andrea Consiglio

124 6.2 Caratteristiche di un future 132 Italian Government Bond (BTP) Future (denominated in Euro) Unit of trading 100,000 nominal value notional Italian government bond with 6% coupon Delivery months March, June, September, December, such that the nearest three delivery months are available for trading Delivery day Tenth calendar day of delivery. If such a day is not a business day for the Stanza Milan, then the Delivery Day will be the following business day for the Stanza Milan Last trading day Four Stanza Milan business days prior to the Delivery Day Quotation Per 100 nominal Minimum price movement 0.01 ( 10) (Tick size & value) Trading hours Trading platform: LIFFE CONNECT central order book applies price/time priority trading algorithm, Basis Trading Facility, Block Trading Facility. Contract standard: Delivery may be made of any Buoni del Tesoro Poliennali (BTP) with 8 1/2 to 10 1/2 years remaining maturity as at the tenth calendar day of the delivery month, provided that any such BTP has a minimum amount in issue of 2,000,000,000. Delivery will take place through the Stanza Milan and must be made via a financial institution that has an account in its own name in the Stanza Milan. Exchange Delivery Settlement Price (EDSP): The LIFFE market price at Italian time on the Last Trading Day. The invoicing amount in respect of each deliverable BTP is to be calculated by the price factor system. A final List of Deliverable BTPs and their price factors will be announced by the Exchange ten working days prior to the Last Trading Day of the delivery month. Adjustment will be made for the pro rata gross coupon interest accruing as at the Delivery Day. Unless otherwise indicated, all times are London times. Figura 6.2: Specifiche di un contratto future sul BTP a 10 anni denominato in euro. Copyright c Andrea Consiglio

125 6.2 Caratteristiche di un future 133 German Government Bond (Bund) Future (denominated in Euro) Unit of trading 100,000 nominal value notional German government bond with 6% coupon Delivery months March, June, September, December, such that the nearest three delivery months are available for trading Delivery day Tenth calendar day of delivery month. If such a day is not a business day in Frankfurt then the Delivery Day will be the following Frankfurt business day Last trading day Frankfurt time Two Frankfurt business days prior to the Delivery Day Quotation Per 100 nominal Minimum price movement 0.01 ( 10) (Tick size & value) Trading hours Trading platform: LIFFE CONNECT central order book applies price/time priority trading algorithm, Basis Trading Facility, Block Trading Facility. Contract standard: Delivery may be made of any Bundesanleihe with 8 1/2-10 1/2 years remaining maturity as at the tenth calendar day of the delivery month, providing that any such Bund has a minimum amount in issue of 2,000,000,000 as listed by LIFFE. Delivery may be made via accounts at (i) Deutsche Börse Clearing AG 1 (ii) Euroclear; or (iii) Cedel S.A. Exchange Delivery Settlement Price (EDSP): The LIFFE market price at Frankfurt time on the Last Trading Day. The invoicing amount in respect of each deliverable Bund 2 is to be calculated by the price factor system. A final List of Deliverable Bunds and their price factors will be announced by the Exchange ten market days prior to the Last Trading Day of the delivery month. Adjustments will be made for full coupon interest accruing as at the Delivery Day. Unless otherwise indicated, all times are London times. Figura 6.3: Specifiche di un contratto future sul Bund a 10 anni denominato in euro. Copyright c Andrea Consiglio

126 6.2 Caratteristiche di un future 134 Nella Figura 6.4 sono riportate le quotazioni del future sull EURIBOR a tre mesi (Liffe). Se si indica con l K il tasso future, come si evince dalle specifiche contrattuali, il future è quotato a 100 l K. L acquirente di un contratto future con consegna in Dicembre, acquisterà un deposito EURIBOR al tasso l K = = 3.41%. Acquistare un deposito EURIBOR equivale ad un operazione finanziaria di investimento (come acquistare un BOT). Pertanto, alla consegna sarà versato un ammontare pari a K, per ricevere il valore facciale del deposito scritto nel contratto future dopo tre mesi. Il prezzo del deposito si ottiene attualizzando al tasso l K il valore facciale del deposito, ( τ ) 1 K = C 1 + l K. (6.1) n Gli operatori con una posizione lunga sono obbligati a depositare alla consegna (Dicembre) un ammontare pari a, K = ( ) = 991,661e, 365 per ricevere 1,000,000e dopo tre mesi. Se si indica con L(T,T + τ) il valore attuale in T di un euro esigibile in T + τ, alla consegna l operatore con una posizione lunga subirà una perdita netta se L(T,T + τ) < K, ovvero, se il tasso EURIBOR spot nell istante T è maggiore di l K. Alla data di consegna T, l operatore con una posizione lunga nel future si è impegnato ad investire al tasso l K. Se in T il tasso spot EURIBOR è maggiore di l K, il deposito realizzerà una perdita dovuta ai minori interessi percepiti. Il risultato monetario L(T,T + τ) K è noto come payoff del contratto derivato. Nella Figura 6.5 è riportato il payoff in funzione dei prezzi L(T,T + τ). Si noti che il grafico del payoff di una posizione lunga in un future è uguale a quello per una posizione lunga spot, con la sola differenza che il prezzo di riferimento è il prezzo future K. In maniera speculare vendere un future consiste nell assumere una posizione corta. Nel caso dei future sull EURIBOR vendere un contratto comporta la vendita di un deposito a tre mesi remunerato al tasso EURIBOR. In questo caso l operazione finanziaria è equivalente ad un operazione di finanziamento a tre mesi al tasso l K, prefissato al momento della vendita del future. L operatore con una posizione corta sul future con scadenza Dicembre riceverà una somma pari a 991,661e e s impegnerà a pagare 1,000,000e dopo tre mesi. Se alla consegna, T, il tasso spot per operazioni EURIBOR a tre mesi, l(t,t + τ), è maggiore del tasso scritto sul contratto future, l K, l operatore Copyright c Andrea Consiglio

127 6.2 Caratteristiche di un future 135 Figura 6.4: Quotazioni di future sui tassi a breve e sui tassi a lungo in data 25/09/2001 (sinistra) ed in data 05/10/2001 (destra). (Fonte: Il Sole24ORE.) Copyright c Andrea Consiglio

128 6.2 Caratteristiche di un future L(T, T + 3) K L(T, T + 3) Figura 6.5: Profitti/perdite di una posizione lunga in un future sull EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T,T +τ) si è indicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi. con una posizione corta beneficierà della riduzione del prezzo del deposito. Vendendo il future si è praticamente fissato il tasso a cui è possibile indebitarsi in Dicembre. Se al momento della consegna il tasso EURIBOR a tre mesi è maggiore di quello pattuito con il future, il finanziamento al tasso l K < l(t,t + τ) procurerà un guadagno in termini di minori uscite per interessi. Nella Figura 6.6 è riportato il payoff a scadenza di una posizione short sull EURIBOR a tre mesi. Si osservi che il grafico del payoff di una posizione corta in un future è uguale a quello per una posizione short spot. In questo caso i profitti/perdite sono calcolati rispetto al prezzo future e non rispetto la prezzo spot (si veda Figura 5.1). Si indicherà con F(t,T) il prezzo in t di un future con consegna in T. Come si può notare è stato omesso il parametro s che indica la scadenza del titolo sottostante. In effetti, un future ha interesse finanziario fino alla data di consegna T. Inoltre, i future sono contratti standardizzati e l asset sottostante (p.es: BTP a 10 anni) è implicitamente definito nelle specifiche contrattuali. Una volta entrati in un future, il prezzo del sottostante è fissato ed è pari a Copyright c Andrea Consiglio

129 6.2 Caratteristiche di un future L(T, T + 3) K L(T, T + 3) Figura 6.6: Profitti/perdite di una posizione corta in un future sull EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T,T +τ) si è indicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi. K. Se si esplicita l istante in cui avviene la negoziazione sarà, K(t) = F(t,T). Nelle date successive il prezzo del future evolve secondo gli andamenti del titolo sottostante. Un operatore che in una data successiva entrerà nello stesso future fisserà il prezzo di consegna al livello, K(t + 1) = F(t + 1,T). Nella Figura 6.4 sono riportate le quotazioni dei futures sui tassi relativi alla data di contrattazione del 05/10/2001. In data 25/09/2001, il prezzo future per un Bund a 10 anni consegna Dicembre è F(t 1,T) = Gli operatori che assumeranno una posizione nel future in questione, fisseranno il prezzo di consegna a K(t 1 ) = F(t 1,T) = In data 05/10/2001, il prezzo dello stesso future è F(t 2,T) = , quindi K(t 2 ) = F(t 2,T) = Di solito un contratto future non viene mantenuto fino alla consegna. Hedgers e speculatori mantengono il contratto fino a quando è conveniente per le rispettive strategie. La chiusura di un contratto future consiste nell assumere una posizione uguale e contraria. Per esempio, se Tizio è short su 5 contratti future, la chiusura di tale posizione implica l acquisto di 5 contratti future. Copyright c Andrea Consiglio

130 6.3 Il meccanismo del mark to market 138 In questa maniera i proventi della posizione short si annullano con quelli della nuova posizione long. Alla fine di ogni giornata di negoziazione, la società che gestisce il mercato dei future cancella le posizioni uguali e contrarie di ogni operatore. La somma delle operazioni long rimanenti (specularmente, la somma delle posizioni short) determina la consistenza del mercato ed è nota come open interest. 6.3 Il meccanismo del mark to market Il mark to-market è uno degli aspetti che maggiormente caratterizza ed influenza il prezzo di un future. Tale meccanismo permette di ridurre il rischio di default dovuto a movimenti avversi del mercato, ovvero il rischio che, eventi rari (ma possibili), producano perdite tali che gli operatori non possano onorare il contratto sottoscritto. Per esempio, se si vende un contratto sull EURIBOR a 95 ed alla consegna il prezzo spot di un deposito EURIBOR è pari a 100, la perdita (5 euro), moltiplicata per il numero di contratti future, può essere consistente. Anche in presenza del meccanismo di mark to market numerosi sono gli esempi di società fallite per operazioni avventurose in future. Alla fine di ogni sessione di mercato, la Cassa di Compensazione e Garanzie (Clearing House) indica il prezzo ufficiale per ogni tipologia di future contrattato. Tale prezzo è anche noto come prezzo di chiusura o daily settlement price. Il settlement price è utilizzato per regolare le posizioni aperte di ogni operatore presente nel mercato. In particolare, se si indica con F(t 1,T) il prezzo di chiusura al tempo t 1, con F(t,T) il prezzo di chiusura al tempo t, con C il nozionale del contratto e con n il numero di contratti, il flusso generato da una posizione short o long è dato da, MTM(t 1,t) = nc [F(t,T) F(t 1,T)]. (6.2) Per una short position, n è un numero negativo, mentre per una long position, n è positivo. Dalla (6.2) si evince che un aumento del prezzo future implica una perdita per le posizioni short (F(t,T) F(t 1,T) > 0), quindi, la posizione short sarà obbligata al pagamento dell ammontare dato dalla (6.2). In maniera speculare la long position riceverà l ammontare corrispondente per ogni contratto sottoscritto. In ogni contratto future è specificato il movimento minimo del prezzo (tick) che è significativo per il calcolo del flusso mark to market, nonchè il valore di tale movimento. Per esempio, il tick del future sul Bund a 10 anni è pari Copyright c Andrea Consiglio

131 6.3 Il meccanismo del mark to market 139 allo 0.01% del valore facciale 2 ed il valore di ogni tick è pari a 10e (si veda Figura 6.3). Se si indica con η(t 1,t) il numero di tick e con σ l ampiezza del tick, si ha che, F(t,T) F(t 1,T) η(t 1,t) =. (6.3) σ Il flusso mark to market generato da una posizione in n contratti future è dato da, MTM(t 1,t) = nη(t 1,t)φ, (6.4) dove φ è il valore di un singolo tick. Per costruzione la (6.2) e la (6.4) forniscono lo stesso flusso mark to market. La (6.4), comunque, è utilizzata più frequentemente in quanto per taluni contratti future l applicazione della (6.2) necessita una modifica dei dati di input. In particolare, si ricorda che il future sull EURIBOR è quotato a 100 l K dove l K è un tasso a tre mesi su base annuale. Nel computo del flusso MTM(t 1,t) è necessario riportare il tasso su base trimestrale, quindi l K /4. Ciò comporterebbe la modifica dei prezzi future della (6.2). Per ovviare a tale inconveniente nelle specifiche contrattuali di ogni future è specificato il valore di ogni tick. Nel caso del future sull EURIBOR a tre mesi il valore del tick dovrebbe essere pari a 0.005% = 50e. Riportando il valore del tick su base trimestrale si ottiene 50/4 = 12.5e (si veda Figura 6.1). Esempio 6.1: In data 25/09/2001 un operatore ha una posizione long in n 1 = 5 contratti future sull EURIBOR a tre mesi consegna Dicembre 2001 ed una posizione short su n 2 = 3 contratti future sul Bund a 10 anni consegna Marzo L evoluzione del settlement price dei due contratti è riportata nelle tabelle di seguito. Il flusso mark to market di ogni posizione è riportato nell ultima colonna. Si osservi che il flusso totale fra la prima e l ultima data di contrattazione è uguale alla somma algebrica dei mark to market giornalieri, η(1, 6) = = 125, da cui, MTM(1, 6) = = 7,812.5e 2 In pratica il tick è pari ad 1 bp (0.01/100 = ) Copyright c Andrea Consiglio

132 6.4 Prezzi future e forward 140 t F(t,T) F(t 1,T) φ η(t 1,t) n 1 MTM(t 1,t) totale Per applicare la (6.2) è necessario modificare i prezzi dei future riportando il tasso su base trimestrale. Si verifica facilmente che i prezzi future utilizzando tassi trimestrali sono, F(1, T) = e F(6, T) = , da cui, MTM(1, 6) = ( ) = 7,825e 3. t F(t,T) F(t 1,T) φ η(t 1,t) n 2 MTM(t 1,t) totale Prezzi future e forward Come visto nei capitoli precedenti, il prezzo di un contratto forward è identificato da tre parametri che indicano, rispettivamente, l istante di valutazione, la consegna e la scadenza del titolo. Quando non è importante specificare la scadenza del titolo il parametro corrispondente si può omettere. In tal caso il simbolo B(t,T,s) diventa B f (t,t). In questo caso l apice è importante per non confondere il prezzo forward con un prezzo spot. Nella letteratura finanziaria di solito si preferisce utilizzare una simbologia più semplice e quindi si indica il prezzo di un contratto forward con f(t,t). D ora innanzi, quando non è importante specificare la scadenza del titolo sottostante in un contratto forward, per identificare il prezzo forward si utilizzerà il simbolo f(t,t). Di conseguenza, si indicherà con B(t) il prezzo spot del titolo sottostante. 3 La differenza è dovuta ad errori di arrotondamento. Copyright c Andrea Consiglio

133 6.4 Prezzi future e forward 141 Come visto nel paragrafo 1.4.1, un FRA definisce implicitamente il prezzo forward di un operazione di finanziamento o investimento a termine. Il meccanismo finanziario che sottende un FRA è simile a quello di un contratto future sui tassi a breve. In pratica, un EURIBOR a tre mesi consegna Dicembre 2001 (data di negoziazione 5/10/2001) permette di fissare il tasso a tre mesi per un o.f. che avrà inizio fra due mesi, proprio come un FRA 2x5. La differenza principale è che un contratto FRA è regolato alla data di fixing e nessun pagamento è previsto prima di questa data. Nel paragrafo 2.2 si è dimostrata la relazione che lega i prezzi a pronti ed i prezzi a termine. Dato che un contratto future non è sostanzialmente diverso da un contratto forward, un FRA ed un future sul tasso a breve, con le stesse caratteristiche, dovrebbero avere lo stesso prezzo. Come si dimostrerà in seguito, i prezzi future e forward coincidono solamente nel caso di evoluzione deterministica della struttura dei tassi. Nella realtà i prezzi future e forward differiscono. Il principale responsabile di questa discrepanza è il meccanismo di mark to market associato all aleatorietà dei tassi d interesse. La relazione fra prezzi a pronti e forward assicura che, B(t,T,s) = B(t,s)M(t,T), dove M(t, T) = 1/B(t, T). Utilizzando il modello esponenziale con intensità pari a δ, la precedente relazione può essere scritta come, B(t,T,s) = B(t,s)e δ (T t). Alla luce della simbologia appena introdotta, si ha che, f(t,t) = B(t)e δ (T t) (6.5) Il prezzo forward dato dalla (6.5) è anche noto come prezzo cash and carry. Dalla (6.5) si evince che: (i) il prezzo forward si ottiene capitalizzando il prezzo spot al tasso di mercato, identificato in questo caso da una struttura costante pari a δ, (ii) il prezzo forward è maggiore del prezzo spot, a meno che non siano previsti pagamenti certi del sottostante prima della consegna (per es.: il pagamento di cedole), (iii) alla consegna, t = T, il prezzo forward e spot devono coincidere, quindi, il prezzo spot del sottostante convergerà al prezzo future via via che ci si avvicina alla data di consegna. La (6.5) si può derivare analizzando il valore del contratto forward prima della consegna. Si consideri un contratto forward negoziato in t 0 con consegna in T e si indichi con f(t 0,T) il prezzo sottoscritto. Alla consegna il valore del contratto Copyright c Andrea Consiglio

134 6.4 Prezzi future e forward 142 forward è dato dalla differenza fra il prezzo spot B(T) ed il prezzo sottoscritto K = f(t 0,T). In ogni istante t, con t 0 t T, il valore del payoff è dato da, V (t) = [B(T) K] e δ (T t). Ricordando che B(t) = B(T)e δ (T t), si ottiene che, V (t) = B(t) K e δ (T t). Come è noto nell istante di sottoscrizione il valore del future è pari a zero. Quindi, data l ipotesi di assenza di arbitraggi non rischiosi, deve essere, V (t 0 ) = B(t) K e δ (T t) = 0, da cui si ricava facilmente la (6.5). Come già accennato il prezzo di un contratto future è diverso da quello di un contratto forward similare. Tale differenza è imputabile al meccanismo di mark to market, associato alla fluttuazione aleatoria della struttura dei tassi. Si può dimostrare che l uguaglianza fra i prezzi forward e future si realizza soltanto nel caso (molto improbabile) in cui la struttura dei tassi evolva in maniera deterministica. Nel caso di evoluzione deterministica della struttura si verifica che, B(T,s) = B(t,s) B(t,T). (6.6) Ricordando che M(t,s) = 1/B(t,s) e M(t,T) = 1/B(t,T), sostituendo nella (6.6) con semplici passaggi algebrici si ottiene che, M(t,s) = M(t,T)M(T,s) Si considerino tre istanti temporali t t 1 T e si assuma che la struttura dei tassi evolva in maniera deterministica, quindi M(t,T) = M(t,t 1 )M(t 1,T). Si ipotizzi inoltre che nel mercato siano negoziati dei contratti forward e future sullo stesso underlying asset, e che nell istante t 1 sia valutato il flusso mark to market dei future. Si consideri la seguente strategia: (a): vendita allo scoperto in t di n contratti forward con consegna in T al prezzo f(t,t), dove n = M(t,T); (b): acquisto in t di m contratti future con consegna in T al prezzo F(t,T), dove m = M(t,t 1 ); Copyright c Andrea Consiglio

135 6.4 Prezzi future e forward 143 (c): acquisto in t 1 di h contratti future con consegna in T al prezzo F(t 1,T), dove h = m [M(t 1,T) 1]. Nell istante t 1 il flusso mark to market del future è dato da, m [F(t 1,T) F(t,T)]. Se si indica con B(T) il prezzo spot alla consegna dell underlying asset, il valore delle tre posizioni finanziarie nell istante di consegna T è riassunto nei seguenti tre punti: (a): payoff della posizione short in forward, A(T) = n [B(T) f(t,t)] = (b): payoff della posizione long in future, = M(t,T) [B(T) f(t,t)] ; B(T) = m [B(T) F(t,T)] + h [B(T) F(t 1,T)] = = M(t,t 1 )M(t 1,T) [B(T) F(t 1,T)] ; (c): valore in T del flusso generato in t 1, C(T) = {m [F(t 1,T) F(t,T)]}M(t 1,T) = = M(t,t 1 )M(t 1,T) [F(t 1,T) F(t,T)]. La somma dei tre flussi genera il seguente payoff totale, A(T) + B(T) + C(T) = M(t,T) [B(T) f(t,t)] + + M(t,t 1 )M(t 1,T) [B(T) F(t 1,T)] + + M(t,t 1 )M(t 1,T) [F(t 1,T) F(t,T)]. (6.7) Data l ipotesi di evoluzione deterministica della struttura, con semplici passaggi algebrici la (6.7) diventa, A(T) + B(T) + C(T) = M(t,T) [f(t,t) F(t,T)]. (6.8) Il portafoglio che genera la (6.8) è composto da contratti forward e future. Ricordando che nell istante di stipula sia i forward che i future hanno valore pari a zero, per evitare arbitraggi non rischiosi, anche il valore finale del portafoglio deve essere nullo. Essendo M(t,s) > 1, affinchè A(T) + B(T) + C(T) = 0 deve essere, f(t,t) F(t,T) = 0, Copyright c Andrea Consiglio

136 6.4 Prezzi future e forward 144 da cui scaturisce l uguaglianza fra i prezzi future e forward. Si osservi che questo risultato è stato ottenuto soltanto in virtù dell ipotesi di evoluzione deterministica della struttura. Come più volte sottolineato, il mercato dei tassi è soggetto a fluttuazioni aleatorie continue, il chè relega l ipotesi di evoluzione deterministica nel campo dell irrealtà. Riassumendo, dal punto di vista teorico non è corretto utilizzare la formula cash and carry per determinare il prezzo di un future. Comunque, analisi empiriche hanno trovato che la differenza fra un prezzo future e forward è trascurabile per contratti su brevi periodi, e che tali discrepanze sono più consistenti nei mercati dei future sulle materie prime. Per questo motivo molti autori utilizzano la formula cash and carry come una valida approssimazione dei prezzi future. Esempio 6.2: In data 19/10/2001 il future sul tasso EURIBOR a tre mesi, consegna Novembre (esattamente il 19/11/2001), è quotato a Il tasso future implicito è pari a = 3.486%. Verificare che il tasso future sull EURIBOR a tre mesi è dato dalla formula cash and carry. Fra un mese, una o.f. spot a quattro mesi avrà vita a scadenza pari a tre mesi. Si indichi con B(0) il prezzo, per ogni euro di nominale, di tale deposito. I tassi EURIBOR ad un mese ed a quattro mesi, su base 360, rilevati in data 17/10/2001, valuta 19/10/2001, sono, rispettivamente, l(0, 1) = e l(0, 4) = Le intensità equivalenti ad i tassi l(0, 1) ed l(0, 4) sono date da, δ(0, 1) = ln( /360) = δ(0, 4) = ln( /360) = Il prezzo B(0) si ottiene facilmente come, B(0) = e = Per la formula cash and carry il prezzo del future sarà, F(0, 1) = B(0)e δ(0,1) = e = Il tasso implicito nel prezzo F(0, 1) è pari a, ( ) ( ) l K = = La quotazione del future è quindi, F(0, 1) = 100 l K = = Copyright c Andrea Consiglio

137 6.5 Hedging con future sui tassi a breve 145 Dato che le o.f. utilizzate nel calcolo del prezzo del future sono riferite a periodi molto brevi, di solito si ricorre al modello lineare per il calcolo del tasso future. In particolare si avrà, [ ] 1 + l(0, 4) 120/ l K = l(0, 1) 30/ = [ ] / = / = Lo studente verifichi che in data 17/10/2001 4, il prezzo future con consegna Dicembre (esattamente il 17/12/2001) è dato dalla formula cash and carry utilizzando gli opportuni tassi EURIBOR. I dati necessari possono essere scaricati dalla banca dati de Il Sole24Ore disponibile presso la biblioteca centrale. 6.5 Hedging con future sui tassi a breve Come più volte sottolineato, l obiettivo di una strategia di hedging consiste nel proteggere il valore corrente o futuro di una posizione finanziaria da movimenti avversi del mercato. L operatore che implementa una strategia di hedging agirà in modo da bilanciare l effetto della fluttuazione dei tassi sulla propria posizione finanziaria con la variazione dei prezzi nella posizione di hedging. Il meccanismo di hedging è identico a quello analizzato nel paragrafo 5.4. Un aumento dei tassi produce una perdita nel valore di una posizione lunga. In tal caso sarà necessario vendere allo scoperto un certo ammontare di future in quanto la posizione corta beneficia della riduzione dei prezzi (si ricorda che un aumento dei tassi riduce i prezzi). In maniera analoga, la costruzione di un hedge di una posizione corta si realizza tramite l acquisto di future. Se si indica con F la variazione del prezzo del future, l hedge ratio si ottiene risolvendo la seguente equazione, da cui, V = α F, (6.9) α = V F. (6.10) 4 La formula cash and carry è sempre valida. Si sono considerati periodi con frequenza mensile in quanto i dati a nostra disposizione sono per scadenze con frequenza mensile (la struttura dei tassi EURIBOR). Gli analisti hanno a disposizione i valori dei tassi con frequenza minore di un mese (giornaliera, settimanale, etc.). Copyright c Andrea Consiglio

138 6.5 Hedging con future sui tassi a breve 146 Come è noto la variazione del valore della posizione da coprire è data da, V = V MD(0,V ) i La variazione assoluta del prezzo di un future dipende dall andamento del sottostante. La modified duration di un future sui tassi a breve è data dalla misura della volatilità del tasso sottostante, per esempio, l EURIBOR a tre mesi. Se si indica con MD(0,L) la modified duration di un deposito EURIBOR a tre mesi, si ha che, Sostituendo nella (6.10) si ha che, F = F MD(0,L) i α = V F MD(0,V ) MD(0, L) (6.11) Esempio 6.3: In data 01/06/01 la John Hull s.r.l. ha avuto la conferma che il 01/09/01 riceverà un pagamento di 10,000,000 e. La direzione finanziaria intende investire l intero ammontare in un deposito a sei mesi remunerato al tasso EURIBOR + 40 bp. In data 01/06/01 il tasso EURI- BOR a 6 mesi è l(0, 6) = 4.446%. Gli analisti della società si aspettano una riduzione dei tassi e decidono di limitare l eventuale mancato guadagno operando una copertura con future sul tasso EURIBOR. La probabile riduzione dei tassi provocherà un aumento del prezzo del deposito EURIBOR. Per esempio, se il tasso EURIBOR rimanesse costante al 4.446%, in data 01/09/01, per ogni euro investito, cioè per ogni euro di capitale che si riceverà a scadenza, si pagheranno ( ) 0.5 = Se il tasso EURIBOR subisse una flessione di 80 bp, per ogni euro investito si pagheranno ( ) 0.5 = Per controbilanciare il mancato guadagno (o i maggiori costi) è necessario assumere una posizione in future in modo da beneficiare dalla riduzione dei tassi. Una riduzione dei tassi implica un aumento dei prezzi, quindi, una posizione long in future produrrà quell offset necessario a limitare la perdita dovuta alla riduzione attesa dei tassi. In data 01/06/01 i futures sul tasso EURIBOR quotati al LIFFE sono riportati nella Tabella 6.1. Come si può notare non sono quotati future con consegna in date posteriori al 01/09/2001. In questo caso è necessario acquistare un future con scadenza anteriore al 01/09/2001, e riproporre la strategia di copertura per il rimanente periodo. Come accennato, le posizione in future non sono condotte fino Copyright c Andrea Consiglio

139 6.5 Hedging con future sui tassi a breve 147 Scadenza Apertura Chiusura Chiusura preced. Giugno Luglio Agosto Tabella 6.1: Prezzi future sull EURIBOR a tre mesi. LIFFE del 01/06/01. Quotazioni alla consegna. Di solito si preferisce chiudere la posizione con una operazione uguale e contraria prima della consegna. Si ipotizzi di acquistare dei future con consegna Luglio 5 e di rivenderli in data 03/07/01. Nella stesso giorno si acquisteranno dei future con scadenza Settembre che saranno a loro volta rivenduti il 01/09/01. Questa strategia è anche nota come rolling the hedge forward. Il numero di contratti future che è necessario acquistare è dato dalla (6.11). La modified duration del sottostante è quella del deposito EURIBOR a tre mesi, quindi, 0.25 MD(0,L) = = , dove, i(0, 0.25) = è il tasso EURIBOR a tre mesi. Se si indica con MD(0,E6) la modified duration di un deposito EURIBOR a 6 mesi, è facile verificare che essa è data da, MD(0,E6) = = , dove, i(0, 0.5) = Il prezzo del deposito a sei mesi è dato dal valore attuale di un euro esigibile alla scadenza, quindi, Applicando la (6.11) si ha che, B(0, 0.5) = ( ) 0.5 = α = = Quindi, per ogni euro di capitale nel deposito a sei mesi è necessario assumere una long position di 2 euro in future sull EURIBOR a tre mesi. Si osservi che il rapporto fra le modified duration è praticamente uguale al rapporto fra 5 Come specificato nel contratto la consegna si effettua due giorni prima del terzo mercoledì del mese di consegna. Per il future in esame la consegna è prevista il 16/07/01. Copyright c Andrea Consiglio

140 6.5 Hedging con future sui tassi a breve 148 Scadenza Apertura Chiusura Chiusura preced. Luglio Agosto Settembre Tabella 6.2: Prezzi future sull EURIBOR a tre mesi. LIFFE del 03/07/01. Quotazioni le duration, infatti, ( )/( ) = Anche il rapporto fra i prezzi si può approssimare ad ad uno, quindi, l hedge ratio è in effetti funzione soltanto del rapporto delle duration. Il valore facciale di contratti future che è necessario acquistare è pari a = 20,000,000 e, ovvero 20 contratti future. Molti autori riportano direttamente la formula per determinare il numero di contratti future da acquistare. Tenendo conto delle approssimazioni suvviste, il numero di contratti future è dato da, n f = FV V FV L D(0,V ) D(0,L), (6.12) dove FV V ed FV L sono, rispettivamente, il valore facciale della posizione da coprire ed il valore facciale di un contratto future. La strategia di copertura prevede la vendita in data 03/07/01 dei 20 contratti future con consegna Luglio. Nella Tabella 6.2 sono riportati i prezzi relativi alla data in questione. La vendita dei 20 contratti future a al prezzo di produce un profitto della posizione long. Il numero di tick maturato nel periodo [01/06 03/07] è pari a, η(0, 0.088) = = 6; il flusso mark to market è dato da, MTM(0, 0.088) = = 1,500e Nella stessa data saranno acquistati 20 contratti future con consegna in Settembre 6. La strategia di hedging terminerà il 01/09/01, quando la John Hull s.r.l. effettuerà il deposito di 10,000,000 e remunerato al tasso EURIBOR + 40 bp. In tale data il tasso EURIBOR a sei mesi è pari a l(0, 0.5) = 4.123%, il che conferma le attese degli analisti dell azienda. Il prezzo di un contratto 6 Il giorno di consegna è previsto per il 17/09/01. Copyright c Andrea Consiglio

141 6.6 Hedging con future sui tassi a lungo ,000, ,226, , Figura 6.7: Flusso di cassa dell operazione di investimento nel deposito EURIBOR + 40 bp. Al montante finale deve essere aggiunto il guadagno ottenuto dalla compravendita di future. future con consegna Settembre è pari a Il numero di tick ed il flusso mark to market sono, rispettivamente, η(0, 0.164) = = MTM(0, 0.164) = = 3,500e. Dalla compravendita dei contratti future si è ottenuto un guadagno pari a = 5,000 e. Il flusso originato dall operazione di investimento nel deposito EURIBOR è riportato nella Figura 6.7. In particolare, V (0.5) = [1 + ( ) 0.5] = 10,231,150e 7. L holding period return è pari a, hpr(0, 0.5) = = La strategia di hedging ha limitato il mancato guadagno dovuto alla riduzione dei tassi. Infatti, il rendimento percentuale ottenuto è circa 10 bp maggiore del tasso a cui è stato effettuato il deposito ( ). È importante sottolineare che l obiettivo della strategia di hedging è quello di limitare le eventuali perdite. Se, per esempio, si fosse realizzato un aumento dei tassi, la posizione long avrebbe prodotto delle perdite. In tal caso le maggiori entrate dovute all aumento dei tassi sarebbero state assorbite dalle perdite nella posizione long in future. 6.6 Hedging con future sui tassi a lungo Le strategie di hedging sui tassi a lungo non differiscono sostanzialmente da quelle viste per i tassi a breve. Nei prossimi due paragrafi si analizzeranno 7 Si osservi che il guadagno ottenuto dalla vendita dei future potrebbe essere a sua volta investito in un deposito a sei mesi. Copyright c Andrea Consiglio

142 6.6 Hedging con future sui tassi a lungo 150 alcune caratteristiche peculiari dei future sui tassi a lungo e le modifiche necessarie per correggere la relazione per il calcolo dell hedge ratio Fattore di conversione Come si evince dallo schema contrattuale del future sul Bund a 10 anni (si veda fig. 6.3), una posizione short in un future obbliga il venditore a consegnare 100,000e di nominale di un Bund con coupon pari al 6%. Nella pratica un titolo con tali caratteristiche è difficilmente reperibile sul mercato, soprattutto per quanto riguarda la scadenza. Di solito il venditore ha l opzione di scegliere fra un insieme di titoli con scadenza fra 8 anni e mezzo e 10 anni e mezzo. Per neutralizzare l effetto dovuto a coupon e scadenze differenti, la LIFFE, come tutti i mercati di future, fornisce un fattore di conversione che permette di equiparare un qualsiasi bond al titolo specificato nel contratto future. Il fattore di conversione è dato dal valore attuale delle cedole future attualizzate al tasso del coupon riportato dal contratto. Come è noto, se il tasso cedolare è pari allo yield utilizzato per scontare il flusso, l obbligazione prezza alla pari, quindi, il fattore di conversione è pari ad uno. In effetti, se il titolo che sarà consegnato ha un coupon pari a quello specificato nel contratto, nessuna conversione è necessaria. Per ogni euro di nozionale, l importo monetario che riceverà il venditore del future è dato da, V (T) = EDSP CF + R(f), (6.13) dove, EDSP è il cosiddetto exchange delivery settlement price del future alla data di consegna (fissato dalla clearing house), CF è il fattore di conversione ed R(f) è il rateo. Esempio 6.4: Si ipotizzi che il titolo scelto per la consegna sia un Bund con scadenza 9 anni e tre mesi e cedola c = 6.5% annuale. Il numero di mesi che mancano alla scadenza sono esattamente = 111. Il numero di cedole piene che saranno pagate dal titolo è pari a m = 18 (il quoziente di 111/6), mentre la prossima cedola è pagata fra tre mesi (il resto di 111/6). Se si indica con T la data di consegna del sottostante, con t S la data di pagamento della cedola successiva e con t P la data dell ultima cedola pagata, il fattore di conversione è dato da, { CF = (1 + y s ) t S T t S t c P 2 + c 2 c ( ) T tp, 2 t S t P [ 1 (1 + ys ) m y s ] + (1 + y s ) m } + (6.14) Copyright c Andrea Consiglio

143 6.6 Hedging con future sui tassi a lungo 151 dove y s è il tasso cedolare del sottostante specificato nel contratto future (nel caso di future sul Bund e sul BTP, y s = 0.06/2). c/2 c/2 c/2 t P T t S t S + τ t S + 2τ Figura 6.8: Flusso cedolare per il calcolo del fattore di conversione. Se si ipotizza che t S t P = 180 e t S T = T t P = 90, il fattore di conversione è pari a, CF = ( ) 0.5 [ = ( ) ( ) 18 ] + Si osservi che il fattore di conversione è superiore ad uno in quanto il bond che sarà consegnato ha un coupon maggiore del 6% annuale. Se si ipotizza che l EDSP = , il venditore allo scoperto riceverà, per ogni euro di nominale, un ammontare pari a, V (T) = = , per un totale di = 103, e Lo studenti verifichi che un titolo con scadenza 9 anni e sette mesi e cedola c = 5% ha un fattore di conversione CF = Cheapest to delivery L investitore che ha assunto una short position in un future ha la possibilità di scegliere fra un insieme di titoli a lungo periodo per effettuare la consegna cui si è impegnato sottoscrivendo il contratto in questione. In ogni istante prima della consegna (t T), il valore della posizione short è dato da, V (t,t) = F(t,T)CF + R(f). Il costo sostenuto per acquistare il titolo al prezzo spot B(t) è pari a: V (t) = B(t) + R(f). Copyright c Andrea Consiglio

144 6.6 Hedging con future sui tassi a lungo 152 LIST OF DELIVERABLE BUNDS GERMAN GOVERNMENT BOND ( BUND ) CONTRACT (DENOMINATED IN EURO) (6% COUPON) - PRICE FACTORS AND ACCRUED INTEREST DELIVERY MONTH: SEPTEMBER 2002 Last Trading Day: 6 September 2002 Delivery Day: 10 September 2002 BUND ISIN* CODES COUPON (%) MATURITY PRICE FACTOR DE Jul DE Jan , DE Jul GROSS ACCRUED INTEREST (EUR) Key: * International Securities Identification Number Price Factor: price factor expressed as a fraction of par Accrued Interest: gross accrued interest on euro 100,000 face value as at Delivery Day rounded to the nearest euro-cent Invoicing Amount: (1,000 x EDSP x price factor) + Accrued Interest Issue Date: 22 August 2002 Figura 6.9: Titoli candidati per consegna Settembre 2002 del future sul Bund con cedola al 6%. (Fonte: LIFFE 22/08/02). Il rendimento netto è quindi, F(t,T)CF B(t). (6.15) La parte short sceglierà quel titolo che massimizza la (6.15), ovvero, il titolo meno costoso da consegnare. Tale titolo è noto con il nome di cheapest to delivery, in breve CTD. Chiaramente, in ogni istante t < t T l identità del titolo CTD cambia. L individuazione del CTD dipende da numerosi fattori fra cui la struttura dei tassi. Di solito, se la parte finale della struttura è abbastanza piatta ed è posizionata su tassi superiori al 6%, il CTD sarà il titolo con il coupon minore. Nel caso contrario, il CTD sarà il titolo con il coupon maggiore. Nella Figura 6.9 sono riportati i titoli CTD in data 22/08/02 per il Bund con cedola 6% per consegna Settembre Il concetto di CTD è molto importante per la determinazione dell hedge ratio. Si osservi che il titolo effettivamente consegnato sarà proprio il CTD, quindi il prezzo del future dipende da un sottostante che é il CTD. Nei future sui tassi a breve, il sottostante è ben identificato ed è dato dal tasso sul deposito EURIBOR a tre mesi. Data la correlazione fra prezzo del future e prezzo spot del CTD, la variazione Copyright c Andrea Consiglio

145 6.6 Hedging con future sui tassi a lungo 153 assoluta del prezzo del future sarà data da, F CF CTD MD(0,F) = V CTD MD(0, V CTD ). (6.16) Se si indica con V il titolo da coprire tramite una posizione in future, l hedge ratio è dato da, α = V MD(0, V ) F MD(0,F). (6.17) Dalla (6.16) si ricava che, F MD(0,F) = V CTD MD(0, V CTD ) CF CTD. Sostituendo nella (6.17) si ottiene che, α = V V CTD MD(0, V ) MD(0, V CTD ) CF CTD. (6.18) Di solito gli operatori preferiscono utilizzare direttamente la dollar duration (anche nota come basis point volatility). In tal caso l hedge ratio è dato da, α = BPV (0, V ) BPV (0, V CTD ) CF CTD, (6.19) dove con BPV (, ) si è indicata la basis point volatility dei titoli coinvolti. Esempio 6.5: Un gestore di fondi obbligazionari è preoccupato per il possibile rialzo dei tassi che avrebbe come conseguenza la riduzione del valore di mercato del proprio portafoglio. Per questo motivo decide di implementare una strategia di copertura con future sul Bund. La posizione in future deve beneficiare dell aumento dei tassi, ossia della riduzione dei prezzi, quindi, è necessario vendere dei contratti future in modo da coprire la posizione long nel portafoglio. Il valore nominale del portafoglio (la somma dei valori nominali dei singoli titoli componenti il portafoglio) ammonta a 100,000,000 e e la sua BPV (0, Π) = Il nominale di un contratto future sul Bund ammonta a 100,000e, la basis point volatility del suo CTD è BPV (0, V CTD ) = 5.19 ed il fattore di conversione è CF CTD = Per ogni euro di valore nominale del portafoglio sarà necessario vendere allo scoperto, α = = di valore nominale del contratto future. Il numero di contratti future è dato da, n f = = Copyright c Andrea Consiglio

146 6.6 Hedging con future sui tassi a lungo 154 Come accennato nell Esempio 3.2, alterando la duration del portafoglio è possibile avvantaggiarsi delle variazioni attese della struttura dei tassi. Acquistando o vendendo contratti future è possibile modificare la duration di un portafoglio senza ricorrere alla vendita o acquisto di titoli, che in alcuni casi potrebbe essere onerosa. Per esempio, se gli analisti prevedono una riduzione dei tassi (shift parallelo della struttura verso il basso), acquistando future è possibile aumentare la duration del portafoglio è quindi beneficiare maggiormente dall incremento atteso dei prezzi. Si indichi con BPV (0, Π T ) il target di BPV per il portafoglio in esame. Acquistando un certo ammontare di valore facciale in future è possibile aumentare la BPV attuale in modo da raggiungere l obiettivo prefissato, quindi, BPV (0, Π T ) = BPV (0, Π) + γbpv (0,F), dove con BPV (0,F) si è indicata la BPV del future (si veda la relazione 6.16). Per ogni euro di valore nominale del portafoglio è necessario acquistare pertanto γ = BPV (0, Π) BPV (0, Π T ), (6.20) BPV (0,F) euro di valore nominale di contratti future. Dalla (6.16) si deduce che, BPV (0,F) = BPV (0, V CTD ) CF CTD. Sostituendo nella (6.20) si ottiene che, γ = BPV (0, Π T ) BPV (0, Π) BPV (0, V CTD ) CF CTD. (6.21) Esempio 6.6: Il fondo obbligazionario della Polifemo SGR ha un valore nominale di 12,800,000e. Il fondo è composto da titoli di stato italiani a medio lungo periodo. Nella Tabella 6.3 sono riportate le caratteristiche di ogni titolo in portafoglio. Gli analisti non sono certi dell aumento dei tassi, quindi, invece di effettuare una copertura totale, che annullerebbe un eventuale guadagno nel caso di shift della struttura in senso contrario, si decide di ridurre la duration del portafoglio. Come è noto una duration più bassa attenua le oscillazioni del valore del portafoglio. La basis point volatility del portafoglio è pari a, BPV (0, Π) = = Copyright c Andrea Consiglio

147 6.6 Hedging con future sui tassi a lungo 155 IT IT IT Totale Scadenza 01/01/ /11/ /11/2027 Nominale 2,600,000 e 3,700,000 e 6,500,000 e 12,800,000 e Rend. Netto Rateo Prezzo Val. di Merc. 2,985, e 3,852, e 7,410, e 14,247, e Pesi MD BPV Tabella 6.3: Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di mercato e volatilità sono riferite al 08/01/2002. (Fonte: Il Sole24Ore). ed il gestore decide per una BPV target pari a 5. Nel caso si realizzasse l aumento previsto dei tassi, la perdita di valore del portafoglio sarebbe contenuta per un 50% dalla posizione short in future. Gli analisti prevedono che il periodo di instabilità dei tassi potrebbe estendersi fino maggio. Si decide pertanto di vendere dei contratti future sul Bund a 10 anni con consegna in Giugno. Da alcune analisi si deduce che il CTD potrebbe essere il Bund DE con scadenza il 04/01/2011, cedola del 5.25%, fattore di conversione CF CTD = e basis point volatility BPV (0, V CTD ) = Per ogni euro di nominale del portafoglio, il valore nominale di contratti future è dato da, γ = = Il numero di contratti future da vendere è pari a, n f = = In data 08/01/2002 il prezzo di un future sul Bund a 10 anni, consegna Giugno, quotato all EUREX è F(0, 0.5) = (Fonte: Il Sole24Ore del 08/01/2002). In Maggio gli analisti considerano terminata la fase di instabilità dei tassi, quindi l hedge può essere rimosso. In data 08/05/2002, 4 mesi dopo, viene chiusa la posizione short acquistando lo stesso numero di contratti sul Bund consegna Giugno al prezzo di F(0.3, 0.5) = La discesa del prezzo future garantisce un guadagno per le posizioni short. Il numero di tick è pari Copyright c Andrea Consiglio

148 6.6 Hedging con future sui tassi a lungo 156 IT IT IT Totale Scadenza 01/01/ /11/ /11/2027 Nominale 2,600,000 e 3,700,000 e 6,500,000 e 12,800,000 e Rend. Netto Rateo Prezzo Val. di Merc. 3,009, e 3,781, e 7,222, e 14,014, e Pesi MD BPV Tabella 6.4: Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di mercato e volatilità sono riferite al 08/05/2002. (Fonte: Il Sole24Ore). a, η(0, 0.3) = = Ogni tick vale 10e ed il flusso mark to market produce un guadagno pari a, MTM(0, 0.3) = = 121,030e Nella Tabella 6.4 sono riportati i valori di mercato del portafoglio in data 08/05/2002. Si osservi che i rendimenti netti registrano una variazione percentuale pari a circa il 2%. Il rendimento del BTP a 5 anni ha subito una aumento relativo più consistente che si attesta intorno al 7%. Il valore del portafoglio si è ridotto in termini assoluti di circa 233,000e, pari ad una variazione relativa del 1.6%. Grazie al guadagno ottenuto dalla posizione in future le perdite sono state contenute. Il risultato finale consiste in una perdita netta di circa 78 bp, contro i 160 bp che si sarebbero realizzati senza la copertura parziale attuata. L ipotesi fondamentale che sottende le strategie illustrate in questo capitolo è che la struttura evolva per shift paralleli. Come visto nell esempio precedente tale ipotesi non sempre si verifica nella realtà. Lo shift non proprio parallelo della struttura dei tassi non ha avuto conseguenze deleterie sull hedge, in quanto il titolo a cinque anni ha un contributo residuale rispetto a quello degli altri titoli in portafoglio. Copyright c Andrea Consiglio

149 Capitolo 7 Swaps 7.1 Definizione di Swap Uno swap è contratto stipulato tra due controparti per lo scambio di flussi finanziari, secondo specifiche modalità. In questo capitolo si studieranno swap i cui flussi finanziari si riferiscono ad interessi periodici denominati in una stessa valuta (interest rate swap, in breve IRS). Il contratto swap più comune è il cosiddetto plain vanilla IRS. In tali contratti la controparte A pagherà alla controparte B un importo a tasso fisso calcolato su di un nozionale per un certo numero di anni. Allo stesso tempo, la controparte B pagherà alla controparte A un importo al tasso variabile calcolato sullo stesso nozionale e per lo stesso numero di anni. Questo tipo di swap è caratterizzato dallo scambio di un flusso a tasso variabile con uno a tasso fisso. Tali contratti sono anche detti fixed/float swap. Di solito il tasso fisso è annuale mentre quello variabile è il LIBOR o EURIBOR a sei mesi. Graficamente, il flusso originato da un plain vanilla IRS è rappresentato nella Figura 7.1. Controparte A Tasso Fisso EURIBOR Controparte B Figura 7.1: Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS.

150 7.2 Gli swap per la gestione del rischio di tasso Gli swap per la gestione del rischio di tasso Il principale utilizzo degli swap é il controllo del rischio da tasso d interesse. Gli swap possono efficacemente, ed a basso costo, trasformare una posizione a tasso variabile in una a tasso fisso, e viceversa. I contraenti di prestiti a tasso variabile possono beneficiare di tali trasformazioni quando è previsto un aumento dei tassi. Alla stessa maniera, attività finanziarie a tasso variabile possono produrre perdite sostanziali nel caso di un declino dei tassi. In questo caso i titoli in portafoglio possono essere integrati con uno swap in modo da trasformare il flusso a tasso variabile in un flusso a tasso fisso. Strategie similari si possono implementare nel caso in cui un aumento atteso dei tassi rende più conveniente passare da un tasso fisso ad un a tasso variabile. Nella realtà le controparti non entrano direttamente in contatto per la stipula di un determinato contratto swap. Di solito esiste un intermediario finanziario o una banca che cura la domanda e l offerta della componente fissa e di quella variabile di uno swap. Nella Figura 7.2 è rappresentato il flusso swap delle due controparti con l intermediario finanziario. Controparte A Tasso Variabile Tasso Fisso Tasso Variabile Intermediario Finanziario Tasso Fisso Tasso Variabile Controparte B Tasso Variabile Figura 7.2: Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS con un intermediario finanziario. Esempio 7.1: Nella Figura 7.2 sono rappresentati flussi swap delle due controparti. La controparte A ha contratto un prestito a tasso variabile (freccia verso il basso in uscita). La società prevede un rialzo dei tassi e decide di entrare in uno swap per trasformare il prestito a tasso variabile in un prestito a tasso fisso. Si ipotizzi che il debito sia stato contratto al tasso EURIBOR + 40bp per un nozionale di 2,500,000e e per una durata di 5 anni. La società decide di entrare in uno swap a tre anni in cui pagherà un importo, calcolato sul nozionale, al tasso fisso swap i sw = 3.86% annuo e riceverà un importo, sempre calcolato sul nozionale, al tasso variabile EURIBOR. Il contratto swap Copyright c Andrea Consiglio

151 7.2 Gli swap per la gestione del rischio di tasso 159 è stipulato in data 01/10/99 ed i flussi di cassa sono scadenzati ad intervalli di sei mesi. Il primo scambio di flussi avviene sei mesi dopo, il 01/04/00. Il flusso a tasso variabile è calcolato utilizzando il tasso EURIBOR a sei mesi registrato alla stipula del contratto swap, ossia il tasso EURIBOR del 01/10/99, in particolare, l(0, 0.5) = 3.3% su base annua. In generale, per ogni euro di nozionale, i flussi originati dal prestito e dallo swap sono i seguenti: 1. pagamento del tasso variabile l(t 1, t) + 40bp; 2. incasso del tasso variabile l(t 1,t); 3. pagamento del tasso fisso i sw. Il tasso netto che si ottiene è un tasso fisso pari a, i n (t) = [l(t 1,t) + 40] + l(t 1,t) i sw = (i sw + 40). (7.1) Ricordando che le o.f. al tasso EURIBOR utilizzano come convezione temporale la base [Act/360], mentre per il tasso swap si utilizza la stessa convezione dei titoli di stato, [Act/Act], i flussi in data 01/04/00 (primo semestre) sono dati da, V (1) = = 48,382e V(1) = = 41,938e, dove con V (1) si è indicato il flusso a tasso fisso e con V(1) il flusso a tasso variabile. Il flusso netto dei pagamenti, V n (1), è dato da, V n (1) = ( ) ( ) = 53,464.83e. 360 Il tasso netto i n (1), su base annuale, si ottiene come, i n (1) = = , ossia, i sw Nella Tabella 7.1 sono riportati i flussi scambiati nel corso della vita dello swap. Lo studente verifichi che il tasso netto è costante in ogni periodo. Si osservi che l obiettivo della controparte A è quello di trasformare il tasso variabile in un tasso fisso. Ciò implica che, nel caso in cui il tasso EURIBOR è minore del tasso fisso swap, la controparte A dovrà pagare la differenza. Il Copyright c Andrea Consiglio

152 7.3 Swaps e credit arbitrage 160 k t k τ k EURIBOR V(k) V (k) Flusso Netto 0 01/10/ /04/ /10/ /04/ /10/ /04/ /10/ Tabella 7.1: Flussi originati da un contratto swap plain vanilla fixed/float. meccanismo è uguale a quello dei contratti FRA. In effetti un FRA può essere assimilato ad uno swap con un solo pagamento nella data di liquidazione. Lo scambio realizzato è quello fra un flusso al tasso costante FRA Txs ed uno al tasso variabile l(t,s). 7.3 Swaps e credit arbitrage Uno dei motivi della grande popolarità degli swap è il cosiddetto credit arbitrage. È noto che alcune istituzioni hanno un vantaggio comparativo quando prendono in prestito al tasso fisso anzichè al tasso variabile. Altre istituzioni trovano invece più conveniente prendere in prestito ad un tasso variabile anzichè ad un tasso fisso. Utilizzando gli swap è possibile creare opportunità di finanziamento ad un costo più basso di quello che si riuscirebbe ad ottenere nel mercato dove la società ha un maggiore vantaggio comparativo. Esempio 7.2: Si ipotizzi che la Regione Sicilia, che ha un rating A2, possa prendere in prestito ad un tasso fisso pari al 5.8% annuo ed a un tasso variabile pari ad EURIBOR + 60 bp. Lo Stato Italiano, che ha un rating Aa2, può accedere a finanziamenti ad un tasso fisso pari al 4.7% annuo ed a un tasso variabile pari ad EURIBOR + 20 bp. Dalla Tabella 7.2 si evince che la Regione Sicilia, essendo un ente con qualità creditizia minore, pagherebbe un premio maggiore se si rivolgesse al mercato a tasso fisso. Ricorrendo agli swap è possibile effettuare un arbitraggio sul credit spread nel senso che è possibile appropriarsi di parte dello spread per ridurre il costo del finanziamento fra il premio a tasso fisso e quello a tasso variabile. Il tasso swap denaro per un operazione a 10 anni è i d sw = 4.99% annuo, Copyright c Andrea Consiglio

153 7.3 Swaps e credit arbitrage 161 Stato Italiano Regione Sicilia Premio (bp) Tasso Fisso 4.7% 5.8% 110 Tasso Variabile EURIBOR + 20 EURIBOR Differenza 70 Tabella 7.2: Tassi fissi e variabili per due istituzioni con rischio di credito differenti. quindi, la controparte che riceverà il tasso fisso incasserà un flusso al tasso i d sw, per ogni euro di nozionale. Il tasso lettera per lo stesso contratto swap è i l sw = 5.01%, quindi, la controparte che pagherà il tasso fisso dovrà sborsare i l sw per ogni euro di nozionale. Lo Stato Italiano, avendo un rating migliore, prenderà in prestito al tasso fisso i = 4.7%. I flussi originati dalla posizione debitoria e dallo swap sono: 1. pagamento del tasso fisso i; 2. pagamento del tasso variabile l(t 1,t); 3. incasso del tasso fisso i d sw. Il tasso netto che si ottiene è un tasso variabile pari a, i A n(t) = i d sw i l(t 1,t) = [l(t 1,t) 29], (7.2) con un risparmio pari 49 bp. Per il vantaggio comparativo nel mercato a tasso variabile, la Regione Sicilia prenderà in prestito al tasso variabile EURIBOR + 60 bp. I flussi originati dalla posizione debitoria e dallo swap sono: 1. pagamento del tasso variabile l(t 1, t) + 60; 2. pagamento del tasso swap i l sw; 3. incasso del tasso variabile l(t 1,t). In questo caso il tasso variabile è trasformato in un tasso fisso ed è dato da, i B n (t) = l(t 1,t) [l(t 1,t) + 60] i l sw = [i l sw + 60] = 5.61, (7.3) con un risparmio pari 19 bp. Copyright c Andrea Consiglio

154 7.4 Valutazione degli swap 162 Stato Italiano 4.99% 5.01% Intermediario Finanziario EURIBOR EURIBOR Regione Sicilia 4.7% EURIBOR + 60 Figura 7.3: Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS fra due istituzioni con diverso rating creditizio. V f (t 0 ) i sw V i sw V i sw V [1 + i sw ] V V v (t 0 ) C(t 1 )V C(t 2 )V C(t 3 )V [1 + C(t m )] V t 0 t 1 t 2 t t m Figura 7.4: Rappresentazione grafica di uno swap scomposto in una posizione long in un CBB ed in una posizione corta in un FRN. 7.4 Valutazione degli swap Si consideri un operatore che è entrato in uno swap in cui riceve un tasso fisso e paga un tasso variabile. La posizione nello swap è equivalente ad un posizione long in un CBB, dove la cedola fissa è rappresentata dal tasso swap ricevuto, ed in una posizione short in un FRN, dove la cedola variabile è rappresentata dal tasso EURIBOR (o LIBOR) semestrale (si veda Figura 7.4). Se si indica con V v (t 0 ) il valore della componente variabile e con V f (t 0 ) il valore della componente fissa, per l ipotesi di assenza di arbitraggio, il valore dello swap nell istante t 0 è dato da: V sw (t 0 ) = V f (t 0 ) V v (t 0 ). (7.4) Data la struttura dei tassi spot osservata in t 0, il valore della componente fissa è dato da, V f (t 0 ) = i sw V m B(t 0,t j ) + V B(t 0,t m ). j=1 Copyright c Andrea Consiglio

155 7.4 Valutazione degli swap 163 Il valore di un FRN nell istante di emissione, o in ogni istante di pagamento del flusso, è pari al nozionale dello swap, quindi, V v (t 0 ) = V, Il valore dello swap nell istante t 0 (inizio del contratto) è dato da, V sw (t 0 ) = i sw V m B(t 0,t j ) + V B(t 0,t m ) V. (7.5) j=1 Nelle date in cui sono effettuati i pagamenti il valore dello swap è, V sw (t k ) = i sw V m j=k+1 B(t k,t j ) + V B(t k,t m ) V, (7.6) per k = 1, 2,...,m 1. Come tutti i contratti derivati, nell istante di stipula lo swap ha valore pari a zero. Il tasso swap è quel tasso per cui, V sw (t 0 ) = 0, da cui, i sw (t 0,t m ) = 1 B(t 0,t m ) m j=1 B(t 0,t j ). (7.7) Il tasso i sw (t 0,m) è anche noto come tasso di parità swap o par swap rate e dipende soltanto dalla struttura dei tassi vigente nell istante di valutazione t 0 e dalla scadenza della componente fissa. Nella pagina finanziaria de Il Sole24Ore sono quotati i tassi swap per diverse scadenze (si veda la Tabella 7.3). Di solito il tasso swap è indicato con una notazione che evidenzia la periodicità del tasso variabile. Per esempio, 5Y/6M indica un tasso swap a cinque anni e tasso variabile a 6 mesi. Esempio 7.3: Nell ottobre del 1999 il Banco del Capo è entrato in uno swap al fine di trasformare degli asset a tasso fisso in tasso variabile. Alla stipula il contratto swap a 4 anni prevedeva il pagamento di un tasso fisso pari a i sw = 4.80% contro un tasso EURIBOR + 20bp, su di un nozionale di 10,000,000e. Determinare il valore dello swap due anni dopo. Si ipotizzi che in data 05/10/2001 i pagamenti swap rimanenti siano 4 (due pagamenti per ogni anno rimasto prima della scadenza). Si ipotizzi inoltre che la struttura dei prezzi spot vigente nell istante di valutazione sia quella riportata nella Tabella 7.4. Copyright c Andrea Consiglio

156 7.4 Valutazione degli swap 164 Scadenze Denaro Lettera Tasso Mid 1Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Y/6M Tabella 7.3: Tassi di parità swap per diverse scadenze. Il tasso Mid è la media del tasso denaro e lettera. (Fonte: Il Sole24Ore 05/10/2001). Dal punto di vista del Banco del Capo lo swap consiste in una posizione short in un titolo a cedola fissa ed in una posizione long su un FRN che paga EURIBOR + 20bp. Il valore della componente fissa è dato da, V f (0) = [B(0, 2) B(0, 0.5) B(0, 1) B(0, 1.5) B(0, 2)] = 10,233,461.58e. Ipotizzando per semplicità che l istante di valutazione sia posto in un istante successivo al pagamento dell ultimo flusso swap, il valore della componente variabile coincide con il valore del nozionale più il valore attuale dello spread sull EURIBOR (si veda la 1.127), quindi, V v (0) = [ B(0, 0.5) B(0, 1) B(0, 1.5) B(0, 2)] = 10,038,742.77e Copyright c Andrea Consiglio

157 7.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap 165 Ad un anno dalla stipula del contratto, il valore dello swap è pari a, V sw (0) = = -194,718.81e 1. τ B(0, τ) Tabella 7.4: Struttura dei prezzi spot osservata il 05/10/ Il bootstrap della curva dei tassi swap Utilizzando una procedura ricorsiva simile al bootstrap, è possibile ricavare dalla struttura dei tassi swap la curva dei tassi spot. Si denoti con t l istante di valutazione e con i sw (t,t + k) il tasso swap per scadenze pari a k anni. La relazione di parità impone che, i sw (t,t + k) = 1 [1 + i(t,t + k)] k k j=1 B(t,t + j). Con semplici passaggi algebrici si ricava che, k 1 i sw (t,t+k) B(t,t+j) +i sw (t,t+k) [1 + i(t,t + k)] k = 1 [1 + i(t,t + k)] k. j=1 Mettendo in evidenza il fattore di sconto [1 + i(t,t + k)] k, si ottiene, k 1 [1 + i(t,t + k)] k [1 + i sw (t,t + k)] = 1 i sw (t,t + k) B(t,t + j), da cui si ricava facilmente il tasso spot per o.f. di lunghezza k anni, [ ] 1/k 1 + i sw (t,t + k) i(t,t + k) = 1 i sw (t,t + k) 1. (7.8) k 1 j=1 B(t,t + j) La (7.8) è applicata ricorsivamente partendo dal tasso swap per scadenze pari ad un anno, i sw (t,t + 1). In particolare, si dimostra facilmente che i(t,t + 1) = i sw (t,t + 1). 1 In entrambi i casi si è ipotizzato che i pagamenti fossero scadenzati ad intervalli di 182 giorni. j=1 Copyright c Andrea Consiglio

158 7.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap Tassi Mid Swap Tassi Spot 4.5 Tassi (%) Scadenze (anni) Figura 7.5: Le strutture dei tassi swap e spot osservate il 05/10/2001. Esempio 7.4: Data la struttura dei tassi swap riportata nella Tabella 7.3, i tassi spot per i primi tre anni sono dati da, i(0, 1) = ( ) 1/ i(0, 2) = 1 = [ ] 1/ i(0, 3) = 1 = ( ) Nella Figura 7.5 sono riportati i tassi spot e swap per scadenze fino a 10 anni. Copyright c Andrea Consiglio