Integrali (M.S. Bernabei & H. Thaler)

Integrali (M.S. Bernabei & H. Thaler)

Integrali. Motivazione Che cos é un integrale? Sia f 0 e limitata b a f ( x) dx area f ( x, y) dxdy volume Definizione di integrale: b a dove f ( x) dx lim n n k b a x n c d f ( x k b a ) x f(x) Somma delle altezze ampiezza x

Partizione dell intervallo Sia (a, b) un intervallo di R. Dividiamo l intervallo in n sottointervalli con la stessa ampiezza (n): a = x 0 and b = x n : x i+ x i = x, i = 0,,, n x n x 0 f ( x) dx x n x f x dx = x0 f x dx + x x 0 x x f x dx + + n xn f x dx 3

Somma integrale superiore Assumiamo che f(x) > 0 e limitata per ogni x. Allora la somma integrale superiore maggiora l area compresa tra il grafico della funzione e l asse delle x: xn x 0 n f ( x) M x x i0 i i i M sup i f ( x) : xi x xi 4

Somma maggiorante Graficamente: x 0 x x x n- x n 5

Somma integrale inferiore Analogamente, assumiamo che f(x)>0 per ogni x. Allora la somma integrale inferiore minora l area compresa tra il grafico della funzione e l asse delle x: xn n dove x 0 f ( x) m x x i0 i i i m inf f ( x) : x x x i i i 6

Somma minorante Graficamente: x 0 x x x n- x n 7

Partizioni più fitte In questo modo per ogni partizione dell intervallo (a,b) in (x 0,..,x n ), abbiamo trovato una maggiorazione ed una minorazione per l area: i=0 n x m i (x i+ x i ) n x0 f x dx n i=0 M i (x i+ x i ) Se per n, la somma maggiorante e la somma minorante convergono allo stesso limite, allora esiste l integrale di Riemann della funzione. 8

Limiti superiore e inferiore dell integrale Graficamente: x 0 x x x n- x n 9

Limiti per l integrale Infittendo la partizione, diminuendo cioé la distanza x tra i punti si ha: x 0 x 3 x 5 x n- x n 0

Limiti per l integrale Ancora una volta: x 0 x 5 x 9 x n-4 x n

Funzioni monotone Notiamo che se una funzione é monotona crescente (o decrescente), allora la somma integrale inferiore corrisponde a prendere il valore a sinistra di ogni sottointervallo, mentre la somma integrale superiore a prendere il valore a destra. x 0 x 3 x 5 x n- x n

Funzioni monotone Una funzione monotona in [a,b] é integrabile su [a,b]. Funzioni continue Una funzione continua in [a,b] é integrabile su [a,b]. 3

Integrali definiti se x 0, la somma inferiore e quella superiore tendono all area della funzione. Area: lim n i=0 n b m i x = a f x dx = = lim n i=0 n M i x Notiamo che una variazione infinitesima della variabile x diventa dx.

Integrali definiti Simbolo di integrazione b a f x dx Limite superiore di integrazione Limite inferiore di integrazione Funzione integranda Variabile di integrazione (variabile muta ) E chiamata variabile muta perché il valore dell integrale non dipende da essa.

Integrali definiti Per a<b si definisce l integrale b a f x dx Se a>b poniamo Se a=b allora a b f x dx = 0. b a a f x dx = b f x dx Se la funzione f è negativa l integrale corrisponde all opposto dell area. La definizione di integrale vale per una funzione limitata qualunque (sia positiva che negativa) definita in [a,b].

Proprietà dell integrale Integrale di una costante: a b c dx = c b a ; cε[a, b] e f integrabile su [a,b] si ha che c b b f x dx + c f x dx = a f x dx; a Omogeneità dell integrale a b cf(x) dx = c a b f x dx

Se g è un altra funzione integrabile su [a,b] allora a b f x + g x dx = additività dell integrale a b f x dx + a b g x dx Se f e g sono due funzioni integrabili su [a,b] e f x g x per ogni xε a, b, allora a b f x dx monotonia dell integrale a b g x dx

Se f é una funzione integrabile su [a,b] si ha m(b a) a b f x dx M(b a) dove m = inf f x, x [a, b] M = sup f x, x [a, b]. Teorema della media. Se f é una continua in [a,b] allora esiste un punto c [a, b] tale che a b f x dx = f(c)(b a)

Teorema Fondamentale del Calcolo Teorema fondamentale del calcolo, I parte Se f é integrabile su ab,, allora la funzione F x é continua in ab, a x f t dt

Teorema Fondamentale del Calcolo Teorema fondamentale del calcolo, I parte Se f é continua su ab,, allora la funzione F x a x f t dt ammette derivata in ogni punto di ab,,e df dx d dx a x f t dt f x

Teorema Fondamentale del Calcolo Teorema fondamentale del calcolo, II parte Se f é differenziabile con derivata continua su ab,, allora a x df dx t dt = f x f(a)

Teorema Se f é limitata e continua in eccetto al più un numero finito di punti, allora f é integrabile in ab, ab,

Integrale indefinito Se f è la derivata della funzione F, F è chiamata integrale indefinito o primitiva di f f x dx = F x + C Due integrali indefiniti differiscono per una costante. Esistono infiniti integrali indefiniti di f, uno per ogni C. f x dx = F x + C b a f x dx = F(x) a b = F b F(a)

Integrali di funzioni fondamentali Dalla seguente formula d dx xn+ = n + x n Si deduce che x n dx = xn+ n+ + C Per n intero positivo Esempio: x 4 dx = x5 5 + C

Formule di base per il calcolo degli integrali Polinomi (a n x n + a n x n + +

Esempi x dx = x dx = x + + + C = x + C x dx = x + 3 x + C = + C = + 3 3 x3 + C

Esempio x 5x + 3 dx = x dx 5 x dx + 3 dx = x3 5x 3 0 ( x 3 + 3x + C

Formule di base per gli integrali Funzione esponenziale: e x dx = e x + C Funzione esponenziale: a x dx = ax ln a + C Funzione reciproca: Funzione seno: x dx = ln x + C sin x dx = cos x + C Funzione coseno: cos x dx = sin x + C cos x dx = tan x + C

Esempi 0 π sin x dx = cos x 0 π = = cos π ( cos 0) = + = 0 π sin x dx = cos x π 0= = cos(π) ( cos 0) = + = 0

Applicazioni in fisica: Posizione, Velocità e Accelerazione Derivata Se s = s(t) é la posizione di un oggetto che si muove su una retta al tempo t, allora ds dv Velocità = v = Accelerazione = a = dt dt Forma Integrale s( t) v( t) dt v( t) a( t) dt

Metodo di Integrazione per parti La Regola del Prodotto dice che, se f e g sono funzioni differenziabili, allora d f ( x ) g ( x ) f ( x ) g '( x ) g ( x ) f '( x ) dx

Integrazione per parti Secondo la notazione dell integrale indefinito, la precedente equazione diventa f x g x dx = f x g x f x g x dx La formula sopra é chiamata formula di integrazione per parti.

Integrazione per parti Esempio: Trovare x sin x dx Scegliendo f(x) = x e g (x) = sin x. allora, f (x) = e g(x) = cos x. Come funzione g, si prende la primitiva di g.

Integrazione per parti Applicando la formula di integrazione per parti, si ha: xsin x dx f ( x) g( x) g( x) f '( x) dx π Per esempio: 0 x sin x dx = x cos x + sin x π 0 = = π cos π + sin π = π x( cos x) ( cos x) dx x cos x cos x dx x cos x sin x C

Osservazione Se avremmo preso f(x) = sin x e g (x) = x, allora f (x) = cos x e g(x) = x /. Così, l integrazione per parti dà: x xsin x dx (sin x) x cos dx Sebbene la formula sia giusta, l integrale x cos x dx é più difficile di quello di partenza.

Integrazione per parti Esempio: Calcolare ln x dx In questo caso, si ha una sola possibilità di scelta per f e g. Sia f x = ln x e g x = Allora, f x = x g x = x

Integrazione per parti Integrando per parti si ottiene: ln dx x dx x ln x x x x ln x dx x ln x x C L integrazione per parti é efficace in questo caso iperché la derivata della funzione f(x) = ln x é più semplice di f.

Integrazione per parti Esempio: Trovare t e t dt Notiamo che la derivata di t é più semplice da integrare della funzione stessa. Comunque, la funzione e t rimane la stessa quando si fa la derivata o la primitiva.

Integrazione per parti Così, scegliamo f t = t e g t = e t Allora, f t = t e g t = e t L integrazione per parti dà: t e t dt = t e t te t dt

= t e t t e t + e t + C Integrazione per parti Applichiamo di nuovo l integrazione per parti, visto che non riusciamo a calcolare l integrale. Questa volta, scegliamo f(t) = t e g (t) = et t e t dt = t e t te t dt = = t e t (t e t e t dt) =

In particolare t e t dt = t e t t e t + e t 0 = 0 =e e + e = e.

Integrazione per sostituzione Ruolo della Catena: d dx F( g( x)) F'( g( x)) g'( x) Regola dell antiderivata: F'( g( x)) g'( x) dx F( g( x)) La formula sopra é chiamata Formula di Integrazione per sostituzione. C

Integrazione per sostituzione Supponiamo che ci siano due funzioni f, g, e che il punto t 0 é dato. In particolare se u = g(t), allora du = g (t)dt, f ( g( t)) g'( t) dt g ( t) f ( u) g ( t 0 ) du C

Integrazione per sostituzione In particolare se u = g(t), allora du = g (t)dt, b g ( b) f ( g( t)) g'( t) dt f ( u) du a g ( a)

Esempio: x dx u du du u u 3 3 Esempio: 3 x sin sin u u C du 3x du x 3 3 C x 3 sin x dx Sia u = x 3 du = 3x dx du 3x ( cos u) C 3 dx 3 cos Sia u = x du = dx du dx 3 x C

Esempio: sin 3xcos 3x dx Sia u = sin 3x du = 3cos 3x dx u sin3x cos3x dx cos3x du 3cos3x 3 u du du 3cos 3x dx 3 u C 9 sin 3 3x C 9

Esempio: u x du x 3 u C 3 Esempio: x xdx 3 x 3 5cos5xdx C du 5cos u 5 sin u C sin 5x C Sia u = x + du dx = x du = x dx du x dx Sia u = 5x du dx = 5 du = 5 dx du dx 5

dx x x 0 Sia u = x + = g(x) du = 4xdx dx x du 4 x du u x 4 3 3 3 6 3 6 3 4 3 4 4 3 3 3 3 3 3 u u du u Esempio: 3 () (0) g g

Esempio: 0 sin x cos x dx u cos x 0 3 u 9 0 9 du cos x 0 0 9 u du Sia u = sin x = g(x) du = cos x dx du dx cos x g(0) sin 0 0 g sin

Esercizi Risolvere I seguenti integrali indefiniti applicando la regola della sostituzione 3(3x ) 4 dx u = 3x x x x dx u = x + x 3x x 3 dx u = x 3 4x cos x dx xsin x dx u = x u = cos x

Integrazione di Funzioni Pari e Dispari Se f é una funzione pari, allora a a f ( x) dx a 0 f ( x) dx Es. Se f é una funzione dispari, allora x 3 dx 0 a a f ( x) dx 0

Esercizi. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: 6x 3 dx [3 x 3 x + C] 3x 3 x + dx [ 3 4 x4 x + x + C]. Calcolare i seguenti integrali: 0 3x + x + dx [] 0 4x 4 + 3x 3 3x + dx [/0] 3. Calcolare i seguenti integrali: 0 e x + x dx [e /3] ex + e x dx [e /e]

4. Calcolare i seguenti integrali: 0 π sin x dx [] π/4 π/4 cos x dx [ ]

5. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, applicando la regola di integrazione per parti: x cos x dx [ cos x sin x + x sin x + C ] x sin x dx [ x + cos x +x sin x + C ] 3x e x dx [3e x x x + + C ] 6. Calcolare i seguenti integrali definiti, applicando la regola di integrazione per parti: 0 π x cos x dx [4π] 0 x e x dx [e ]

7. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, applicando la regola di integrazione per sostituzione: 6x 7dx 6x 7 3 + C 9 x x + dx 3 x + 3 + C 3e x e x dx + C 3( 3 e x ) 8. Calcolare i seguenti integrali definiti, applicando la regola di integrazione per sostituzione: (x 3) 4 dx [56/5] dx 5 x+3

0 3x + 5 dx [ 7 ] 0 π/8 sin x dx 4 0 log( 3) e x +e x dx π