Le coniche Consideriamo un cono retto a base circolare a due falde ed un piano. Le intersezioni possibili tra le due figure sono rappresentate dallo schema seguente Le figure che si possono ottenere sono quattro come indicato: circonferenza ellisse parabola iperbole Lo schema vuole rappresentare oltre alla giustificazione della classificazione delle figure suddette anche il fatto che avendo un origine comune alcune considerazioni che verranno fatte per la circonferenza, la prima figura che studieremo, saranno poi estese anche a tutte le altre curve che si ottengono utilizzando il procedimento illustrato sopra. Osservazione Consideriamo un cono retto a base circolare tale che il suo asse formi un angolo di ampiezza α con una retta della superficie conica e passante per il vertice del cono stesso (tale retta è detta retta generatrice del cono). le circonferenze si ottengono dall intersezione del cono con un piano perpendicolare al suo asse; le ellissi si ottengono dall intersezione del cono con piani che formano con il suo asse angoli maggiori di α e minori o uguali a π/;
(ciascuna di tali intersezioni appartiene ad una sola delle due falde del cono ed è una curva chiusa) se si interseca il cono con un piano parallelo ad una sua retta generatrice si ottiene la parabola, ogni parabola appartiene ad una sola delle falde del cono e non è una curva chiusa; se si interseca il cono con piani che formano con il suo asse angoli inferiori ad α si determinano le iperboli, curve aperte. Questi piani intersecano entrambe le falde del cono ed ogni iperbole, in quanto insieme di punti, si suddivide in due parti dette rami della conica. Le curve precedenti sono dette coniche non degeneri. Vi sono poi le cosiddette coniche degeneri ottenute servendosi di piani che passano per il vertice del cono: si distinguono i tre casi che seguono. Circonferenza Definizione: si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro. Consideriamo un punto generico C ( ) dato un punto generico ( ) ; r, impostiamo la condizione che il punto P abbia distanza r dal punto C. ( ) + ( ) = r Eleviamo al quadrato entrambi i membri Se poniamo sia ( 1 ;), r = 3 ( ) + ( ) = r P ; ed una distanza fissata C e tracciamo tale relazione nel piano otteniamo il seguente grafico: Quindi l equazione prima scritta rappresenta una circonferenza, quindi
( ) + ( ) = r Consideriamo l equazione appena trovata e svolgiamo i calcoli Equazione della circonferenza noto il centro e il raggio ( ) + ( ) = r + + + r = + + + r Poniamo = = b = c = + r Otteniamo allora: + + a + b + c = Equazione generica della circonferenza Dalle relazioni precedenti si ottiene che data l equazione generica di una circonferenza si ha: il centro è dato dalla formula a b C ; il raggio è dato dalla formula r Equazione della circonferenza = a b + Dalle conoscenze di geometria sappiamo che per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza. Dati i tre punti A, B e C si tracciano le corde AB e BC e poi gli assi delle due corde. Gli assi si intersecano nel centro, a questo punto la distanza tra centro e uno qualsiasi dei punti A, B o C rappresenta il raggio. Avendo centro e raggio è possibile tracciare la circonferenza cercata.
Consideriamo l equazione generica della circonferenza + + a + b + c =, in essa vi sono tre parametri: a, b, c. Condizione di passaggio o di appartenenza: data una funzione ed un punto P, se esso appartiene alla funzione è possibile sostituire l ascissa e l ordinata del punto all interno della funzione e si ottiene una relazione che deve essere vera. Dati tre punti non allineati è possibile sostituire nell equazione generica della circonferenza i valori delle coordinate dei tre punti utilizzando al condizione di passaggio o di appartenenza. Si ottengono tre condizioni, tante quanti i parametri a, b, c da determinare. Mettendo a sistema le tre equazioni ottenute e risolvendo il sistema di ottengono i valori dei parametri che descrivono la circonferenza cercata. Esempio Determinare la circonferenza passante per i seguenti tre punti A ( 1; ), B ( 3;6) e ( 7;) Soluzione C. Sostituiamo le coordinate dei punti nell equazione generale della circonferenza + + a + b + c = e otteniamo il sistema: 1 + 4 + a + b + c = 9 + 36 3a + 6b + c = 49 + 4 7a + b + c = + b + c 3a + 6b + c = 45 7a + b + c 3 b 3 7 ( 5 b ) ( 5 b ) + 6b + c = 45 + b + c 3 b 15 + 6b + 3c + 6b + c = 45 35 + 14b + 7c + b + c 3 b = 15 3b b = 4 + 8 = 15 + 1 b = 4 + 8 = 3 b = 4 = 6 b = 4 c = 3 b 1b + 4c = 6 16b + 8c = 88
b 4c = 6 1b 16b + 8c = 88 b = 15 3b 16b + 8 ( 15 3b) = 88 b = 15 3b 16b 1 4b = 88 b = 15 3b 8b = 3 Posizione reciproca tra retta e circonferenza Determinare la tangente in un punto della circonferenza Da un punto P sulla circonferenza si può tracciare soltanto una retta tangente, come illustra il seguente disegno. P In questa situazione retta e circonferenza si toccano in un punto, pertanto il sistema + + a + b + c = = m + q dovrà avere una sola soluzione. Se si conosce il punto di tangenza ( ) P ; allora è possibile scrivere l equazione = m( ) (che rappresenta il fascio di rette passante per ( ) ; ). È ora possibile
determinare tra le infinite rette, per le quali il coefficiente angolare è espresso genericamente da m, la retta del fascio tangente alla circonferenza nel punto dato.. Tale coefficiente angolare si determina risolvendo il sistema come segue: si ricava la dalla seconda equazione; si sostituisce nella prima equazione al posto di l espressione della ottenuta nella seconda equazione; se retta e circonferenza devono essere tangenti e il sistema deve avere una sola soluzione, l equazione di secondo grado così ottenuta deve avere una sola soluzione, pertanto =, che corrisponde alla condizione di tangenza. Il è espresso in funzione del coefficiente angolare m, risolvendo pertanto l equazione = si ottiene il valore di m cercato per scrivere l equazione della retta tangente alla parabola nel punto dato. Secondo caso: determinare la tangente ad un a circonferenza passante per un punto esterno Questo caso è una generalizzazione del precedente. Consideriamo il seguente disegno. P In questa situazione retta e parabola si toccano in due punti, pertanto consideriamo il sistema + + a + b + c = = m + q
Come visto nel caso precedente poiché la retta passa per il punto P ( ; ) l equazione ( ) = m rappresenta il fascio di rette passante per il punto dato, in cui il coefficiente angolare non è noto. Tra tutte le rette del fascio devo determinare quelle tangenti alla circonferenza. Tale coefficiente angolare si ottiene risolvendo il sistema come nel caso precedente ponendo la condizione di tangenza = per l equazione che si ottiene sostituendo tra le equazioni del sistema. I valori per m possono essere due, in quanto da un punto esterno alla circonferenza si possono condurre sempre due rette tangenti distinte. Vi è solo un caso per il quale fare un osservazione. Consideriamo i seguenti disegni. Caso limite 1 P In questa situazione il sistema + + a + b + c = = m + q permette di calcolare i due valori di m corrispondenti alle rette tangenti. Uno di essi sarà nullo in quanto una delle tangenti è orizzontale (parallela all asse delle che ha coefficiente angolare nullo). Caso limite P
In questa situazione il sistema + + a + b + c = = m + q permette di calcolare un valore di m corrispondente ad una retta tangente obliqua. Il coefficiente dell altra retta non si ricava poiché una retta verticale ha coefficiente angolare infinito. Nel caso in cui il sistema avesse una sola soluzione per le tangenti per un punto esterno alla circonferenza si dovrà procedere per via grafica a determinare la tangente verticale. P Dal disegno si ricava che la distanza tra il centro della circonferenza e la retta verticale è uguale al raggio, quindi l equazione della tangente verticale è proprio l ascissa dell estremo del diametro orizzontale. Posizione reciproca tra due circonferenze Date due parabole + + a + b + c = e + + a + b + c = le loro intersezioni sono date dal sistema: + + 1 1 1 + a1 + b1 + c1 = + a + b + c = E un sistema di secondo grado che può avere: 1. due soluzioni, le circonferenze si intersecano i due punti. una soluzione, le circonferenza sono tangenti; 3. nessuna soluzione, le circonferenza sono esterne.
Osservazione Due circonferenze possono essere tangenti: esternamente internamente Fasci di circonferenze Un fascio di circonferenze è rappresentato da un equazione di una circonferenza in cui compare un parametro che al suo variare fa ottenere circonferenze diverse. Caso 1 + + ak + b + c = Oppure + + a + bk + c = Se il parametro agisce sui coefficienti a o b oppure su entrambi poiché le coordinate del centro sono a b legate proprio a questi coefficienti dalla relazione C ; in questo caso il fascio di circonferenze sarà composto da curve non concentriche di raggio variabile.
Caso + + a + b + kc = Se il parametro non agisce sui coefficienti a o b ma soltanto sul termine noto c, poiché le coordinate a b C ; non dipendono dal parametro in questo caso il fascio di circonferenze sarà composto da curve concentriche di raggio variabile. Caso 3 Se il parametro agisce sia sui coefficienti a o b sia sul termine noto c, il fascio di circonferenze non è concentrico. Osservazione In tutti e tre i casi si dovrà porre la condizione di esistenza per il raggio, che essendo dato dalla formula r = a b + dovrà soddisfare la condizione di esistenza a b + Osservazioni (utili per gli esercizi) Come osservato in precedenza per determinare l equazione della circonferenza servono tre condizioni, tante quanti i parametri a, b, c per costruire il sistema di tre equazioni in tre incognite. Esse si ricavano da: la condizione di passaggio della circonferenza per un punto fornisce una condizione; la conoscenza del centro della circonferenza fornisce direttamente i due parametri a, b, a b basta considerare l equazione generica del centro C ;, il centro effettivo ( ) C C ; C e uguagliare le componenti omologhe; data una retta tangente ad una circonferenza generica porre la condizione di tangenza tra le due da come risultato un equazione che esprime un legame tra i parametri a, b, c da utilizzare per costruire il sistema di tre equazioni in tre incognite che permette di ottenere i valori cercati; l asse di una corda qualsiasi passa sempre per il centro della circonferenza;. dati due estremi di un diametro il punto medio è il centro.
Due rette parallele tangenti la circonferenza hanno distanza tra loro pari al raggio e il punto medio del segmento che congiunge i punti di tangenza è il centro della circonferenza