TERZA LEZIONE (4 ore): INTERAZIONE MAGNETICA Evidenza dell interazione magnetica; sorgenti delle azioni magnetiche; forze tra poli magnetici, il campo magnetico Forza magnetica su una carica in moto; particella carica in moto in un campo magnetico Spettrometro di massa, ciclotrone Campo magnetico generato da una carica puntiforme in moto; confronto tra interazione magnetica e interazione elettrica; Il dipolo magnetico; azioni meccaniche su un dipolo magnetico in campo magnetico esterno; Definizione di corrente elettrica; la corrente elettrica in un conduttore; la densità di corrente; La legge di Ohm e la conducibilità; La potenza elettrica; Esercizi, leggi di Kirchoff, resistori in serie e parallelo;
INTERAZIONE MAGNETICA Dall analisi delle forze che si scambiano delle sbarrette di alcuni minerali di ferro (dopo aver escluso la natura gravitazionale o elettrica delle interazioni) si introduce una nuova proprietà della materia: IL MAGNETISMO
Nelle sbarrette il MAGNETISMO appare concentrato agli estremi, che vengono chiamati poli magnetici. Dalla attrazione o repulsione dei poli si deduce l esistenza di due tipi di poli magnetici: NORD e SUD L interazione tra poli magnetici uguali e repulsiva, mentre l interazione tra poli diversi è attrattiva. Si potrebbe sviluppare un discorso analogo a quello visto con la carica elettrica. Cioè introdurre: l equivalente di una carica magnetica e l equivalente della Legge di Coulomb per il magnetismo STORICAMENTE SI E FATTO COSI
FORZA MAGNETICA SU UNA CARICA IN MOTO Sperimentalmente si osserva che: una carica elettrica in quiete posta in un campo magnetico non subisce alcuna forza; una carica elettrica che si muove con una velocità v in una regione ove esiste un campo magnetico B subisce una forza di modulo proporzionale alla carica e alla componente della velocità perpendicolare al campo magnetico, di direzione perpendicolare al piano definito dal vettore velocità della carica e dal campo magnetico, di verso dato dalla regola della mano destra.
In formula tale forza è esprimibile come: F qv B In modulo la forza vale: F qvbsinα Tramite questa relazione è definibile l unità di misura del campo magnetico: Ns nel S.I. [ B] Cm Tesla
Particella carica in moto in un campo magnetico uniforme 1) Consideriamo una particella di carica q in moto con vettore velocità v perpendicolare al vettore campo magnetico B uniforme. La forza è sempre perpendicolare alla velocità. F qv B F v 0 Quindi la direzione di v cambia ma il modulo rimane costante. Infatti il campo magnetico non compie lavoro, non induce una variazione di energia cinetica, e quindi non cambia v 2 (ossia il suo modulo) potenza
Si instaura quindi un moto circolare uniforme con acc. centripeta v r 2 F m qvb m Quindi il raggio dell orbita è: mv r ; con ω qb v r La velocità angolare è ω q m B detta frequenza ciclotronica
2) Se la carica q entra nel campo magnetico uniforme con direzione non perpendicolare al campo, il vettore velocità può essere scomposto in (i) una componente parallela al campo (che non viene modificata) (ii) una componente perpendicolare al campo (che cambia direzione). Il moto risultante è un elica
ESEMPI 1) Lo spettrometro di massa F r 1 2 2 mv qv mv qb B q V q m v B 2 r q m v 2 Br 2 2 q 2 m V V
2 m el 9.1 10 31 Kg
Campo magnetico generato da una carica in moto Le sorgenti del campo magnetico sono le cariche elettriche in moto. Sperimentalmente si è verificata la seguente legge per il campo generato da una carica q in moto con velocità v: µ 0 qv B 2 4π r µ 0 è detta permeabilità magnetica del vuoto e vale nel S.I. µ 0 4π 10-7 m kg C -2 u r Ricordando che la stessa carica genera un campo elettrico Si vede che E 1 4πε 1 B µ 0ε0 v E 2 c 0 r q 2 u r v E
µ 0 qv B 2 4π r u r N. B. 2 osservatori in moto relativo misureranno velocità della carica diverse e quindi campi magnetici diversi
Confronto tra interazioni elettrica e magnetica Vediamo di confrontare l ordine di grandezza della interazione magnetica con quella elettrica.prendiamo due cariche q e q con velocità v e v rispetto un sistema inerziale. q v q v La forza magnetica tra le cariche è C.M. dovuto a q Forza magn. agente su q F M qvb C.E. dovuto a q vv' qe 2 c La forza elettrica agente sulla carica q è F F M E vv' 2 c F E qe Se prendiamo gli elettroni in un atomo hanno velocità dell ordine di 10 5 m/s F F M E -7 10
CORRENTI ELETTRICHE La corrente elettrica è un flusso di particelle cariche. L intensità di una corrente è definita come la quantità di carica netta che attraversa nell unità di tempo una superficie: I Q t L unità di misura di I nel S.I è C/s detta Ampere (A)
LA CORRENTE ELETTRICA IN UN CONDUTTORE Prendiamo un filo conduttore di sezione S. Nel conduttore ci sono n particelle cariche per unità di volume, ognuna di carica q, in moto con velocità v nella stessa direzione. Attraverso la sezione in B passano nel tempo t le cariche contenute nel volume delimitato dalle sezioni A e B Q nqsv t I Q t nqsv
Definendo la densità di corrente come la corrente che passa per una superficie unitaria I j S nqv Tenendo conto che la velocità è un vettore j nqv La densità di corrente nel S.I. si misura in A/m 2
Legge di Ohm In un materale conduttore (con elettroni liberi) la presenza di un campo elettrico E dà origine ad un moto ordinato degli elettroni che si sovrappone al moto termico casuale. A temperatura costante il rapporto tra la differenza di potenziale fra due punti e la corrente elettrica è una costante detta resistenza elettrica R (Legge di Ohm). VRI Nel S.I. la unità di misura di R è l OHM [Ω] Conducibilità elettrica Se consideriamo un conduttore cilindrico di sezione S e lunghezza l ai cui capi si pone una diff. di pot. V abbiamo: I j V le js σ è detta R R l RS E σe conducibilità elettrica con unità di misura nel S.I. (Ω m) -1
Possiamo mettere in relazione la conducibilità e la resistenza elettrica: R l σ S Si definisce anche la resistività elettrica che nel S.I. si misura in Ω m Tenendo poi conto delle due relazioni: ρ 1 σ j σe j nqv si ottiene v σ E nq mobilità v è la velocità di deriva degli elettroni dovuta al campo elettrico. Quindi i portatori di carica in un conduttore raggiungono una velocità di deriva costante anche se sono sottoposti alla forza del campo elettrico. Si può quindi supporre l esistenza di un meccanismo di perdita di energia cinetica ---> urto con gli atomi.
Potenza elettrica In un materiale conduttore l energia fornita alle cariche per tenerle in moto è persa negli urti con gli atomi (sotto forma di calore, effetto Joule). Supponiamo di voler spostare N cariche q nel tempo t attraverso la diff. di pot. V. L energia per unità di tempo (potenza, P) vale: P P energia t I V RI 2 Nq V t Q V t E v V
E v V P I V RI 2 Energia P t I t V I t RI Se le cariche che costituiscono una corrente devono percorrere un cammino chiuso (circuito), esse hanno bisogno di energia per rimanere in moto nonostante gli urti con il reticolo. ENERGIA FORNITA ENERGIA PERSA IN URTI Q V Q RI da cui in un circuito deve essere fornita dall esterno una energia V (detta forza elettro motrice fem) per vincere la resistenza elettrica totale R
Esercizio Vediamo di calcolare la resistività e la velocità di deriva degli elettroni di un conduttore di rame cilindrico in cui circola una corrente I100 A. densità elettronica 8.49 10 28 elettroni/m 3 diametro d5 mm, lunghezza l1 m diff. di pot. applicata ai capi del filo V 86 mv velocità termica degli elettroni supposti un gas ideale v t (3kT/m e ) 1/2 1.17 10 5 ms -1 velocità di deriva v3.7 10-4 m/s, t transito 45 min!!! resistività rame ρ1.69 10-8 ohm m In un materiale isolante si ricava una semisfera di raggio r 1 1 m, sulla cui superficie si deposita uno strato conduttore, che viene riempita di un liquido con ρ 5 10 10 Ωm. Nel liquido si immerge un elettrodo emisferico di raggio r 2 0.5 m e concentrico con l'altra emisfera. Determinare la corrente che circola nel liquido quando è applicata una tensione tra i due elettrodi V 50 V. resistenza totale R80 GΩ corrente I6.3 pa Esercizio
I 1 Avendo un insieme di conduttori che costituiscono una rete elettrica complessa i principi: (i) di conservazione della carica elettrica e (ii) conservazione dell energia (visto sotto forma di bilancio del potenziale o fem) diventano le leggi di Kirchoff 1. La somma di tutte le correnti (entranti e uscenti) da un nodo è nulla; 2. La somma di tutte le differenze di potenziale lungo un qualsiasi percorso chiuso entro la rete è nulla (si deve tenere conto sia dei generatori di fem che delle perdite negli urti, resistenze) I 2 I 1 +I 2 I 3 +I 4 +I 5 I 3 I 4 I 5 I 1 +I 2 -I 3 +I 4 +I 5 0 + V 1 V 1+ -V 1- R 1 I I R 1 V V- V 2 - V 1 0 _ I + R 2 V V 2 + V 1 R 2 I+ R 1 I _ V 2 V 2+ -V 2- R 2 I
Resistori in serie e in parallelo Resistori R i i1,2, N posti in serie o in parallelo possono essere ridotti ad un resistore equivalente R eq serie parallelo R 1 R eq eq N i 1 N i 1 R i 1 R i