... trasformazioni logaritmiche e semilogaritmiche leggi di crescita e decrescita funzioni composte, domini limiti elementari crescenza e decrescenza di funzioni convessità e concavità di funzioni massimi e minimi locali e globali
Probabilità: l alfabeto Statistica: il minimo indispensabile Dati: statistica descrittiva Inferenza statistica
Quantificare, modellizzare, capire
L alfabeto della statistica: la probabilità Il linguaggio della statistica è il calcolo delle probabilità. probabilità: la logica dell incertezza (e nell incertezza!).
Il mondo aleatorio La probabilità entra in gioco per descrivere fonomeni non deterministici. Eventi : possono verificarsi o meno (non si possono prevedere con certezza)
Il mondo aleatorio Esempi di eventi: lancio una moneta ed esce testa, lancio un dado ed esce 6, da un urna pesco una pallina rossa, domani piove, l esito degli esami del sangue indica colesterolo in eccesso, domani lo spread scende
Eventi Eventi = insiemi (di un universo di casi elementari) A B : si verifica A e/o B; A B : si verifica sia A che B; A \ B: si verifica A ma non B; A c : non si verifica A...
Probabilità di eventi P(E) indica il grado di fiducia sul verificarsi di un dato evento E Probabilità P funzione sugli eventi tale che 0 P(E) 1 per ogni evento E. P({Evento certo}) = 1 P( n E n ) = n P(E n) per eventi a due a due disgiunti.
Probabilità di eventi P(E) indica il grado di fiducia sul verificarsi di un dato evento E Probabilità P funzione sugli eventi tale che 0 P(E) 1 per ogni evento E. P({Evento certo}) = 1 P( n E n ) = n P(E n) per eventi a due a due disgiunti.
Eventi Incompatibili/ disgiunti E 1, E 2 sono incompatibili (disgiunti) se E 1 E 2 = non si può verificare in contemporanea sia E 1 che E 2.
Eventi e casi elementari L universo dei possibili risultati di un esperimento è detto insieme dei casi elementari, ed è spesso indicato convenzionalmente con Ω. Esempi. 1 tiro di una moneta Ω = {T, C} 2 tiro di un dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 tiro di 2 monete (distinguibili) Ω = {(T, C), (T, T ), (C, C), (C, T )} 4 tiro di 2 monete (indistinguibili) Ω = {(T, C), (T, T ), (C, C)} 5 tiro di due dadi (distinguibili) Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (2, 1), (2, 2),..., (6, 5), (6, 6)}
Probabilità uniforme su insiemi discreti finiti Se consideriamo un universo finito di casi elementari Ω = {ω 1,..., ω N } e riteniamo che ogni caso elementare sia egualmente probabile, allora possiamo considerare su Ω la probabilità uniforme: P(A) = A Ω = A N...casi favorevoli su casi possibili...
Probabilità uniforme su insiemi discreti finiti Esempio. Si lanci un dado. Qui Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Assumiamo sugli esiti la probabilità uniforme ( dado non truccato ). Si calcoli la probabilità di A = esca 2; B = esca 6; C = esca un numero divisibile per 3.
Ω = 6 1) A = {2}, allora P(A) = 1/6. 2) B = {6}, allora P(B) = 1/6. 3) C = {3, 6}, allora P(C) = 2/6 = 1/3.
Probabilità uniforme su insiemi discreti finiti Esempio. Si lancino due monete. Qui Ω = {(T, C), (T, T ), (C, T ), (C, C)}. Assumiamo sugli esiti la probabilità uniforme ( dado non truccato ). Si calcoli la probabilità di A = esca testa al primo tiro; B = esca testa al secondo tiro; C = esca almeno una testa; D = esca una testa ed una croce. sol: P(A) = 2/4 = 1/2, P(B) = 2/4 = 1/2, P(C) = 3/4, P(D) = 2/4 = 1/2.
Probabilità uniforme su insiemi discreti finiti Dubbi. Si lancino due monete ma non si tenga conto dell ordine. E sensato considerare Ω = {(T, C), (T, T ), (C, C)}. In questa modellizzazione quali tipi di eventi non posso considerare? E sensato supporre gli eventi equiprobabili in questo caso?
Non sempre la probabilità e uniforme Nessuno vieta di considerare situazioni in cui Ω sia un insieme finito ma la probabilità non sia uniforme su Ω. Esempio. Se penso che la moneta non e equilibrata, nulla mi vieta di assumere Ω = {T, C} e P({C}) = 1/4, P({T }) = 3/4.
Non sempre la probabilità è uniforme Sia Ω = {ω 1,..., ω N } e consideriamo p 1,..., P N positivi tali the p 1 + + p N = 1. Allora posso definire una probabilità su Ω ponendo P(A) = p i. i:ω i A Ad esempio se A = {ω 2, ω 5 } allora P(A) = p 2 + p 5. Ritrovo la probabilità uniforme quando p i = 1 N.
Frequenze Ecco dei dati sui nati 16-15 aprile 2002 S.Camillo Roma Peso frequenza frequenza relativa 0 1Kg 9 9/116 = 0.08 1 1.5Kg 21 21/116 = 0.18 1.5 2Kg 50 50/116 = 0.43 > 2Kg 36 36/116 = 0.31 totale 116 Se scegliamo un neonato a caso fra i nati il 16-15 aprile 2002 S.Camillo Roma la probabilità che il suo peso alla nascita fosse compreso fra 1 Kg e 1.5 Kg è 21/116. Attenzione: non vuol dire che se prendiamo un neonato a caso fra i nati in italia la probabilità che pesi 1-1.5Kg è 0.18!!
Probabilità del complementare di un evento Importante: P(A) + P(A c ) = P(evento certo) = 1 allora P(A c ) = 1 P(A) P(A) = 1 P(A c )
Proprietà: P(A c ) = 1 P(A) P(A \ B) = P(A) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
Si lancino 50 monete equilibrate. Si considerino tutti i casi elementari equiprobabili. Qual è la probabilità che esca almeno uno testa? Ω = 2 50 (ricordatevi la prima lezione...) A = esce almeno una testa A c = non esce nemmeno una testa, ossia A c = {C, C, C,..., C}. Quindi e dunque P(A c ) = 1 2 50 P(A) = 1 P(A c ) = 1 1 2 50
Alleli I (cfr libro) nelle coppie di autosomi ogni gene è presente due volte; gene biallelico: assumiamo il caso più semplice in cui ogni gene abbia solo due varianti alleliche: A e a (una dominante, l altra recessiva); genotipi: AA (omozigote), aa (omozigote), Aa (eterozigote);
Alleli II Quando due gameti si uniscono si assume (prima legge di Mendel) è come se ogni genitore scegliesse a caso uno dei due geni per formare il nuovo gamete. Allora 1) Se g 1 = Aa e e g 2 = Aa allora il gamete figlio fi ha le seguenti probabilità Come mai? P(fi = AA) = 1 4, P(fi = aa) = 1 4, P(fi = Aa) = 1 2.
Alleli III
Alleli III 2) Se g 1 = AA e g 2 = Aa allora Come mai? P(fi = AA) = 1 2, P(fi = aa) = 0, P(fi = Aa) = 1 2.
Alleli III Si ha il fenotipo fn = A se si ha Aa o AA, mentre si ha il fenotipo fn = a si ha solo quando si ha aa (dominante - recessivo). Se g 1 = Aa e e g 2 = Aa allora sia fn il fenotipo del figlio: P(fi = A) = P(AA) + P(Aa) = 3 4, P(fn = a) = P(aa) = 1 4.
... Riferimenti al libro: Capitolo 10, sezione 10.1 e 10.2.