Geometria analitica: curve e superfici

Geometria analitica: curve e superfici geometriche algebriche e matrici e isometrie Riduzione Invarianti Studio di coniche Intersezione con rette e tangenti in forma parametrica 006 Politecnico di Torino 1

come luoghi geometrici Ellisse: insieme dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti F 1 e F, detti fuochi, è costante. Il caso F 1 = F corrisponde alla circonferenza. Iperbole: insieme dei punti del piano la cui differenza delle distanze da due punti F 1 e F, detti fuochi, è costante. Parabola: insieme dei punti del piano equidistanti da una retta d, detta direttrice e da un punto F, F d, detto fuoco. 4 006 Politecnico di Torino

in forma canonica (1/3) Sia C una conica. Scegliamo un sistema di riferimento Oxy nel piano in modo che: Se C è una ellisse o una iperbole, allora F 1 = (c, 0) e F = (-c, 0) con c 0; Se C è una parabola, F = (0, c ) e d : y = -c con c > 0. 5 in forma canonica (/3) Nei sistemi di riferimento del tipo descritto le coniche sono rappresentate da equazioni di forma particolarmente semplice. Si dice in tal caso che le coniche sono in forma canonica. 6 006 Politecnico di Torino 3

in forma canonica (3/3) 7 Ellisse in forma canonica (1/) Se C è una ellisse, C è rappresentata in Oxy da un equazione del tipo: x a y + = 1 dove a b > 0 sono i semiassi e c = a b. Per a = b C è la circonferenza di raggio a e centro O. b 8 006 Politecnico di Torino 4

Ellisse in forma canonica (/) C ha un centro di simmetria (l origine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati). Le intersezioni di C con gli assi, dette i vertici di C, sono i punti (a, 0), (-a, 0), (0, b ), (0, -b ). 9 Iperbole in forma canonica (1/) Se C è un iperbole, C è rappresentata in Oxy da un equazione del tipo: x y = 1 a b dove a >0, b > 0 sono i semiassi e c = a + b. Per a = b C è una iperbole equilatera. 10 006 Politecnico di Torino 5

Iperbole in forma canonica (/) C ha un centro di simmetria (l origine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati). I vertici di C sono i punti (a, 0), (-a, 0). Le rette bx ± ay = 0 sono gli asintoti di C. 11 Parabola in forma canonica Se C èuna parabola, C è rappresentata in Oxy da un equazione del tipo: y = ax dove a > 0 è la concavità e c = 1/4a. C ha un asse di simmetria (asse delle ordinate) e un vertice (l origine). 1 006 Politecnico di Torino 6

Premessa Le coniche si possono rappresentare come luoghi di zeri di particolari polinomi di secondo grado in due variabili. Invertendo tale procedimento, studieremo i luoghi di zeri dei generici polinomi di secondo grado in due variabili. Chiameremo tali luoghi di zeri coniche algebriche. 14 006 Politecnico di Torino 7

Polinomi a due variabili Il generico polinomio di grado in due variabili a coefficienti reali ha forma ( ) 1,1 1,, 1 p x, y = a x + a xy + a y + b x + b y + c, con i coefficienti a i,j non tutti nulli. 15 come luoghi di zeri (1/) Il luogo di zeri C = Z (p ) = {(x, y ) p (x, y ) = 0} di p si dice conica algebrica in R di equazione p (x, y ) = 0. Quindi C : a x + a xy + a y + b x + b y + c = 0 1,1 1,, 1 Se k 0 il polinomio kp (x, y ) definisce la stessa conica, quindi l equazione di C è determinata a meno di un fattore non nullo. 16 006 Politecnico di Torino 8

come luoghi di zeri (/) In questa lezione per conica intenderemo conica algebrica in. Questa definizione, oltre a ellissi, iperboli o parabole, comprende altri insiemi, come si vede dai seguenti esempi. 17 Esempi Se C : x + y + 1 = 0 o C : x +1 = 0, allora C =. Se C : x + y = 0, allora C è il punto (0, 0). Se C : x y = 0, allora C è la coppia di rette incidenti y =± x. Se C : x 1 = 0, allora C è la coppia di rette parallele x =±1. Se C : x = 0, allora C è la retta x = 0. 18 006 Politecnico di Torino 9

degeneri e non degeneri Le ellissi, iperbole e parabole si dicono coniche non degeneri mentre il, i punti, le rette, le coppie di rette (incidenti o parallele) si dicono coniche degeneri. 19 isometriche Se C, C sono coniche e se esiste una isometria f tale che f (C ) = C, C e C si dicono isometriche (tramite f ). Essere isometriche è una relazione di equivalenza: C è isometrica a sé stessa tramite Id ; Se C e C sono isometriche tramite f, allora C e C sono isometriche tramite f -1 ; Se C e C sono isometriche tramite f e se C e C sono isometriche tramite g, allora C e C sono isometriche tramite f o g. 0 006 Politecnico di Torino 10

Elementi fondamentali Poiché le coniche non degeneri sono definite da condizioni metriche, se C e C sono isometriche tramite f e se C è non degenere, anche C lo è e gli elementi fondamentali (fuochi, assi, centro, vertici, asintoti, semiassi, concavità) di C saranno i trasformati di quelli di C tramite f. 1 Riduzione e riconoscimento Proveremo che ogni conica C è isometrica a una conica C in forma canonica tramite una isometria f detta riduzione di C a C. Poiché C può essere inserita in uno degli 8 tipi di coniche individuati (tra non degeneri e degeneri), otteniamo un procedimento di classificazione di C detto riconoscimento di C. 006 Politecnico di Torino 11

Matrice associata Sia 1,1 1,, 1 C : a x + a xy + a y + b y + b y + c = 0. La matrice simmetrica 3 x 3 a1,1 a1, b1 M = C a1, a, b b b c 1 si dice matrice associata alla conica C. 4 006 Politecnico di Torino 1

Equazione matriciale (1/) Posto a1,1 a 1, 1, b = =, = x A B X, a a b y 1,, abbiamo l equazione matriciale t t C : XAX + BX + c = 0. 5 Equazione matriciale (/) La forma quadratica q A (X ) = t XAX si dice parte quadratica, l applicazione lineare l B (X ) = t BX si dice parte lineare mentre c è il termine noto. C è univocamente determinata da M C a meno di un fattore non nullo. 6 006 Politecnico di Torino 13

Esempio Se C :4x + 4y 4xy + 6x y + = 0, allora 4 3 A = B =, 4 1 e 4 :(, ) x ( 3, 1) x C x y + + = 0. 4 y y 7 traslate t t Sia C : XAX + BX + c = 0 una conica. Se la matrice A è diagonale diremo che C è una conica traslata. In particolare, se A = ai con a 0 abbiamo C : ax + ay + b x + b y + c = 0. 1 Quindi C è una circonferenza, un punto o il vuoto. 8 006 Politecnico di Torino 14

a centro Le ellissi e le iperboli in forma canonica sono coniche traslate con parte lineare nulla. In generale, le equazioni del tipo αx + βy γ =0 con α, β non entrambi nulli definiscono le coniche a centro in forma canonica. Queste coniche (se diverse da ) hanno l origine come centro di simmetria e gli assi come assi di simmetria. 9 Parabole Le parabole in forma canonica sono coniche traslate con parte quadratica dipendente solo da x, parte lineare solo da y e termine noto nullo. In generale, le equazioni del tipo αx γ y = 0 con α, γ non nulli definiscono le parabole in forma canonica. Queste coniche hanno l origine come vertice e l asse delle ordinate come asse di simmetria. 30 006 Politecnico di Torino 15

Equazioni di coniche e isometrie (1/) Sia C : p (X ) = t XAX + t BX + c = 0 e sia f (X ) = NX + P una isometria di. Per ogni X esiste un unico ' ' x X = y ' tale che X = f (X ) Allora X = NX + P C se e solo se t t ( ' ) ( ' ) ( ' ) NX + P A NX + P + B NX + P + c = t t t ( ) ( ) = X ' NANX ' + N AP + B X ' + p P = 0. 3 006 Politecnico di Torino 16

Equazioni di coniche e isometrie (/) Osserviamo che p (P ) = t PAP + t BP + c è il valore che il polinomio p assume nel punto P. Posto A = t NAN, B = t N (AP + B ) e c = p (P ), la conica t ètale che f (C ) = C e f -1 (C ) = C. t C ': XA ' X + B ' X + c ' = 0 33 Matrice di riduzione (1/3) Sia C : t XAX + t BX + c = 0. Poiché A è simmetrica, esiste N O () tale che 0 t ' α NAN = A = 0 β dove α, β sono gli autovalori di A. Per ipotesi A O, quindi α e β non sono entrambi nulli. 34 006 Politecnico di Torino 17

Matrice di riduzione (/3) Ricordiamo che: Le colonne [N ] 1 = X α, [N ] = X β di N sono autovettori di A con autovalori α e β rispettivamente e formano una base ortonormale di ; D (A ) = D (A ) = αβ, tr (A ) = tr (A ) = α + β. 35 Matrice di riduzione (3/3) La matrice N si dice matrice di riduzione della conica C. Osserviamo che N non è unica ma che, se α β e se fissiamo l ordine degli autovalori, vi sono quattro matrici di riduzione ottenute cambiando i segni di X α e X β. Se α = β, A = αi, e ogni matrice N O () è di riduzione (caso delle circonferenze). 36 006 Politecnico di Torino 18

Convenzione sugli autovalori Adotteremo le seguenti convenzioni: Se D (A ) > 0, allora α β ; Se D (A ) < 0 e D (M C ) > 0, allora α > 0 e β < 0; Se D (A ) < 0 e D (M C ) < 0, allora α < 0 e β > 0; Se D (A ) = 0, allora α 0 e β = 0. 37 006 Politecnico di Torino 19

Riduzione a coniche traslate Se C : p (X ) = t XAX + t BX + c = 0 e se N è una matrice di riduzione di C, dato P l isometria f (X ) = NX + P trasforma la conica traslata ( ) ( ) ( ) t t t C ': X NAN X + N AP + B X + p P = 0 in C. C è una conica in forma canonica a centro se t N (AP + B ) = O. Ciò equivale a AP + B = O in quanto N è invertibile. 39 a centro La conica C : p (X ) = t XAX + t BX + c = 0 si dice conica a centro se il sistema AX = -B è risolubile. In tal caso, se P è una soluzione di AX = -B e se f (X ) = NX + P, posto γ = -p (P ) abbiamo la conica in forma canonica C ': αx + βy γ = 0. Quindi f è una riduzione di C a C. 40 006 Politecnico di Torino 0

Parabole (1/4) Se C : p (X ) = t XAX + t BX + c = 0 e se il sistema AX = -B è impossibile, allora D (A ) = 0 e A ha autovalori α 0, β = 0. Se B = {X α, X 0 } è una base ortonormale di autovettori per A, prendiamo come matrice di riduzione N la matrice ortogonale che ha come colonne tali versori. 41 Parabole (/4) Se f (X ) = NX + P è un isometria con P qualsiasi, e se C = f -1 (C ) t x C ': αx + N ( AP + B) + p( P) = 0. y Allora si prova che esistono unici P e γ 0 tali che p (P ) = 0 e t N (AP + B ) = (0, -γ ) = -γe. 4 006 Politecnico di Torino 1

Parabole (3/4) Siccome Ne = X 0, tali condizioni equivalgono al sistema (non lineare!) parametrico t t XAX BX c 0 S : + + = AX = B γ X 0 Si prova che esiste un solo γ 0 per cui S ha soluzione P e che tale soluzione è unica. 43 Parabole (4/4) Scegliendo per definire f (X ) = NX + P il punto P e il numero γ che soddisfano alle equazioni di S otteniamo la conica in forma canonica C ': αx γy = 0. Quindi C è una parabola, e f è una riduzione di C a C. 44 006 Politecnico di Torino

Teorema di Riduzione Se C è una conica, allora esiste una riduzione di C a una conica in forma canonica C. Osserviamo che questo teorema assicura che le coniche possono essere riconosciute utilizzando le coniche in forma canonica e permette di ottenere gli elementi fondamentali di una conica C come trasformati degli elementi fondamentali di una sua forma canonica C tramite la relativa riduzione f. 45 Centro e assi di una conica a centro (1/) Sia C una conica a centro e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C. Allora f trasforma l origine e gli assi coordinati in centro e assi di simmetria. Quindi Se P è una soluzione del sistema AX = -B, allora P è centro di simmetria di C ; Le rette passanti per P e con direzione gli autovettori di A sono assi di simmetria di C. 46 006 Politecnico di Torino 3

Centro e assi di una conica a centro (/) In particolare se D (A ) 0 vi è unico centro di simmetria, detto il centro di C ; se inoltre C non è una circonferenza, vi sono due assi di simmetria, detti gli assi di C. 47 Vertice e asse di una parabola Sia C una parabola e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C. Allora f trasforma l origine nel vertice e l asse delle ordinate nell asse di simmetria. Quindi: Se P C è soluzione di AX = -B -γx 0, con X 0 autovettore di A relativo a 0 e allora P èil vertice di C ; X 0 = 1, L asse di simmetria di C è la retta passante per P con direzione X 0. 48 006 Politecnico di Torino 4

Teorema di Invarianza Siano C : t XAX + t BX + c = 0 e C : t XA X + t B X + c = 0 coniche isometriche. Allora D (A ) = D (A ), tr (A ) = tr (A ), D (M C ) = D (M C ), r (M C ) = r (M C ). I numeri D (A ), tr (A ), D (M C ), r (M C ) si dicono numeri invarianti di C. 50 006 Politecnico di Torino 5

Matrici di forme canoniche I numeri invarianti e i Teoremi di Riduzione e di Invarianza ci permettono di riconoscere una conica C : t XAX + t BX + c = 0. Se C è una forma canonica di C, M C ' 0 0 α = 0 0 β 0 0 γ o M C ' 0 0 α = 0 0 γ. 0 γ 0 51 Parabole Posto M C = M e M C = M, osserviamo che nel primo caso D (A ) = αβ = 0 D (M ) = - αβγ = 0 mentre nel secondo D (A ) = 0 e D (M ) = - αγ 0 Quindi se D (A ) = 0 e D (M ) 0, allora C èuna parabola. 5 006 Politecnico di Torino 6

a centro (1/3) Se D (A ) > 0, α e β hanno lo stesso segno (che è il segno di tr (A ) = α + β ) mentre γ ha il segno opposto a D (M ). Se tr (A ) D (M ) < 0, γ ha lo stesso segno di α e β e C è un ellisse; Se tr (A ) D (M ) > 0, γ ha segno opposto a α e β e C = ; Se D (M ) = 0, γ = 0 e C è un punto (l unica soluzione di AX = -B ). 53 a centro (/3) Se D (A ) = αβ < 0, α e β hanno segni opposti. Se D (M ) 0, γ 0 e C è una iperbole; Se D (M ) = 0, γ = 0 e C è una coppia di rette incidenti. Se D (A ) = αβ = 0, α 0, β = 0 e D (M ) = 0. Se r (M ) = 1, allora γ = 0 e C è una retta; Se r (M ) =, allora γ 0 e C è una coppia di rette parallele o il a seconda del segno di α e γ. 54 006 Politecnico di Torino 7

Riconoscimento e caso degenere Riassumendo, ogni conica è classificabile in uno dei seguenti tipi: non degeneri: ellisse, iperbole, parabola; degeneri: punto, retta, coppia di rette incidenti, coppia di rette parallele, vuoto. Dallo studio dei numeri invarianti otteniamo che: Se C è una conica e C, allora C ènon degenere se e solo se D (M C ) 0. 55 Forma canonica con invarianti Se C è una conica a centro e D (A ) 0, abbiamo ( ) ( ) ; γ = D M D A ( ) ( ). Se C èuna parabola, γ =± D M tr A Quindi possiamo ottenere una forma canonica C di C senza calcolare esplicitamente la riduzione di C a C. 56 006 Politecnico di Torino 8

C ( ) Parabola (1/5) Sia C : p x, y = x + y + xy x + 1= 0. Allora 1 1 1 1 1 0 = =, 1 0 1 = 0, = 1, M M D( A) D( M) quindi C è una parabola. 58 006 Politecnico di Torino 9

Parabola (/5) L autospazio di A relativo a 0 ha equazione x + y = 0. 1 Se X 0 = ( 1, 1 ), il vertice è soluzione di x + y x + = ( ) : p X = 0 1 S cioè S : x + y = 1 γ AX = B γ X 0 1 x + y = γ ( ) 1 0 59 Parabola (3/5) Quindi γ = 1 e S è equivalente a da cui + + = 1 x + y = ( x y) x 1 0 5 1 P =,. 8 8 60 006 Politecnico di Torino 30

Parabola (4/5) Poiché α = tr ( A) =, abbiamo la forma canonica C ': x y = 0, quindi C ': y = x. 1 X α è un versore ortogonale a X 0 : sia X α = ( 1,1 ). Allora una riduzione di C a C è f 1 1 1 1 5, x = +. 1 1 y 8 1 (( x y) ) 61 Parabola (5/5) L asse di simmetria è la retta r : t ( 1, 1) + 1 ( 5, 1 ). 8 1 Il fuoco di C è F ' = 0,, quindi il fuoco di C è 4 3 1 F = f ( F ') =,. 4 4 1 1 Poiché f 0, =,0, la direttrice di C è 4 la retta 1 d : t ( 1,1 ) +,0. 6 006 Politecnico di Torino 31

Iperbole (1/5) C Sia C : x + y + 4xy + 6x 4 = 0. Allora 1 3 1 0 = =, 3 0 4 M M D( A) D( M) quindi C è una iperbole. = 3, = 3, 63 Iperbole (/5) Gli autovalori di A sono α = 3 e β = -1 e ( ) ( ) = D M γ D A =1, C : 3x y = 1, da cui 1 con a =, b = 1. 3 quindi abbiamo la forma canonica x y C ': = 1 a b 64 006 Politecnico di Torino 3

Iperbole (3/5) Il centro P di C è l unica soluzione di AX = -B : P = (1, -). Scegliendo gli autovettori 1 1 X α = ( 1,1 ) e X β = ( 1,1) abbiamo la riduzione di C a C : f 1 1 1 1, x = +. 1 1 y (( x y) ) 65 Iperbole (4/5) Gli assi di simmetria di C sono le rette r1 : t ( 1,1) + ( 1, ) e r : t ( 1,1) + ( 1, ). I fuochi di C sono 1 F ' 1, = ( ± a + b,0) = ±,0, 3 quindi i fuochi di C sono F1, = f ( F ' 1,) = 1, ± + ±. 3 3 66 006 Politecnico di Torino 33

Iperbole (5/5) Gli asintoti di C sono le rette b s ' 1, : y =± x =± a 3 x, quindi gli asintoti di C sono le rette s1 = f ( s ' 1) : t 1 ( 1 3,1+ 3) + ( 1, ), s = f ( s ' ) : t 1 ( 1+ 3,1 3) + ( 1, ). 67 Ellisse (1/4) Sia C k : x + y + xy + 6x + k = 0 con k. Allora M Ck 1 3 1 0 = M k =, 3 0 k ( ) ( ) ( ) D A = 3, tr A = 4, D M = 3k 18, k quindi C k è una ellissi per k < 6, un punto per k = 6 e il vuoto per k > 6. 68 006 Politecnico di Torino 34

Ellisse (/4) Sia C = C 5 : x + y + xy + 6x + 5 = 0. Gli autovalori di A sono α = 1 e β = 3 e ( ) ( ) = D M γ D A =1, quindi abbiamo la forma x y canonica C ': x + 3y = 1, da cui C ': + = 1 a b 1 con a = 1, b =. 3 69 Ellisse (3/5) Il centro P di C è P = (-, 1). Scegliendo gli autovettori 1 1 X α = ( 1, 1 ) e X β = ( 1,1) abbiamo la riduzione di C a C : f 1 1 1, x = +. 1 1 y 1 (( x y) ) 70 006 Politecnico di Torino 35

Ellisse (4/5) Gli assi di simmetria di C sono le rette r 1 : t (1, -1) + (-, 1) e r : t (1, 1) + (-, 1). I fuochi di C sono F ' 1, = ( ± a b,0) =,0 ± 3 quindi i fuochi di C sono 1 1 F1 = f ( F ' 1) =, 1 +, 3 3 1 1 F = f ( F ' ) =, 1 +. 3 3 71 Ellisse (5/5) 7 006 Politecnico di Torino 36

degeneri (1/) Sia C k : x + y + xy -x y + k = 0 con k Allora 1 1 1 1 1 1 M C = M = k k, 1 1 k D( A) = D( M k ) = 0, quindi C k è una retta per k = 1 (r (M k ) = 1) mentre C k è o una coppia di rette parallele per k 1. 73 degeneri (/) Poiché C k : (x + y ) -(x + y ) + k = = (x + y 1) + k 1 = 0, C 1 è la retta x + y -1 = 0; C k è la coppia di rette parallele x + y = per k < 1 mentre C k = per k > 1. ± 1 k 74 006 Politecnico di Torino 37

Intersezione tra coniche e rette Dallo studio precedente otteniamo che intersecando una conica C con una retta r abbiamo uno dei seguenti casi: C r = ; C r è un punto; C r sono due punti; C r = r (solo caso degenere). 76 006 Politecnico di Torino 38

Esempio Se C : p (x, y ) = x + y + xy -x + = 0 e se r k : P k (t ) = t (0, 1) + (k, 0) per k, sostituendo abbiamo ( k ( )) p P t = t + kt + k k + = 0 che ha soluzioni Se k > 1, C r k = {P k (t 1 ), P k (t )}; se k = 1, C r 1 = {P 1 (-1) = (1, -1)}; se k < 1, C r k =. t 1, = k ± k. 77 Tangente a una conica Sia C : p (x, y ) = 0 una conica non degenere e sia P C. Una retta r : P (t ) passante per P si dice tangente a C in P se l equazione in t p(p (t )) = 0 è di secondo grado con due soluzioni coincidenti. Per ogni punto di C passa una e una sola retta tangente a C in P, che indichiamo con tg P (C ). 78 006 Politecnico di Torino 39

Equazione della tangente (1/3) Se C : p (x, y ) = t XAX + t BX + c = 0, P C r : P (t ) = tl + P si verifica che l equazione p (P (t )) = 0 diventa t t ( ( )) ( ) ( ) p P t = LAL t + AP + B Lt = 0 in quanto p (P ) = 0. Allora r = tg P (C ) se e solo se t LAL O e t (AP + B )L = (AP + B ). L = 0. e 79 Equazione della tangente (/3) Quindi tg P (C ) è la retta per P di direzione ortogonale a AP + B. Poiché p (P ) = 0 implica - t PAP t BP = t BP + c, abbiamo l equazione ( ) ( )( ) ( ) tg C : AP + B X P = AP + B X + BP + c = 0. P t t t 80 006 Politecnico di Torino 40

Equazione della tangente (3/3) Se P = (x 0, y 0 ), l equazione della tangente si può scrivere in modo esplicito: P ( ): ( 1,1 0 1, 0 1) ( ) tg C a x + a y + b x + + a x + a y + b y + b x + b y + c = 0 1, 0, 0 1 0 0 Per esempio, se C : x + y 4xy 4x + y 1 = 0, il punto P = (-1, -1) C e tg P (C ) : -x + y = 0. 81 Tangenti nei vertici Sia C una conica non degenere e sia P un vertice di C. Per il Teorema di Riduzione abbiamo: Se C è una conica a centro, tg P (C ) è la retta per P parallela all asse di simmetria non contenente P ; Se C è una parabola, tg P (C ) è la retta per P parallela alla direttrice. 8 006 Politecnico di Torino 41

Ellisse in forma canonica x y x y Se C : + = 1, posto = cosθ e = sen θ, a b a b abbiamo la parametrizzazione cos ( ) x = a θ P θ =, θ 0,. = sen π y b θ 84 006 Politecnico di Torino 4

Iperbole in forma canonica x y x Se C : = 1, posto = cosh( t ) e a b a y = senh( t ) abbiamo le parametrizzazioni b () x =± a cosh() t P t =, t R. y = b senh () t L iperbole è unione di due curve in forma parametrica, dette i rami di C. 85 Parabola in forma canonica Se C : y = ax, posto x = t, abbiamo la parametrizzazione () x = t P t =, t R. y = at 86 006 Politecnico di Torino 43

Caso generale Sia C una conica qualsiasi e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C. Se Q (t ) è una parametrizzazione di C, allora P (t ) = NQ (t ) + P è una parametrizzazione di C. 87 Esempio (1/) Sia C : x + y + xy + 6x + 5 = 0. C èuna ellisse e 1 ': 3 1, ((, )) 1 1 x C x + y = f x y = + 1 1 y 1 sono rispettivamente una forma canonica di C e una riduzione di C a C. 88 006 Politecnico di Torino 44

Esempio (/) Poiché C 1 ': Q ( θ ) = cos, sen, θ 3 θ abbiamo la parametrizzazione di C : P 1 1 x = cosθ + senθ 6 = ( ) = 1 1 y = cosθ + senθ + 1 6 ( θ) f Q( θ) 89 006 Politecnico di Torino 45